Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

005003253

Синицын Дмитрий Олегович

Применение методов интегральной геометрии к задачам редукции гамильтоновых систем

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 1 ДЕК 2011

Москва 2011

005003253

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложени Механико-математического факультета Московского государственного униве; ситета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Голо Войслав Любомирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Мантуров Василий Олегович

доктор физико-математических наук, профессор

Радкевич Евгений Владимирович

Ведущая организация: Московский государственный институт эле? троники и математики (технический университет).

Защита диссертации состоится «16» декабря 2011 года в 16 часов 45 мину на заседании диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ имени М.В. Лс моносова по адресу: РФ, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МП Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математическо: факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан «16» ноября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

Актуальность темы

Изучение геодезических линий на римановых многообразиях является классической проблемой дифференциальной геометрии, активно исследуемой и в настоящее время по нескольким основным направлениям.

Ряд исследований посвящен интегрированию уравнений геодезических для конкретных видов поверхностей, например, классический результат Якоби о геодезических на эллипсоиде1, описание метрик на сфере с геодезическим потоком, имеющим квадратичный по скоростям интеграл, полученное В.Н. Колокольцо-вым2, работа A.B. Болсинова, В.В. Козлова, А.Т. Фоменко, в которой с помощью принципа Мопертюи найдены метрики на сфере, геодезические потоки которых возникают из интегрируемых случаев динамики твердого тела3.

Другое направление исследований посвящено замкнутым геодезическим4. Одной из первых работ в этом направлении была статья Пуанкаре5, посвященная нахождению замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях, гомео-морфных сфере. Развитие вариационного подхода к этим вопросам привело к оценкам числа замкнутых геодезических, в том числе замечательному результату Люстерника-Шнирельмана о существовании на поверхности, гомеоморфной сфере, трех замкнутых геодезических без самопересечений. Также были обнаружены классы римановых многообразий, на которых все геодезические являются замкнутыми без самопересечений. Их свойства активно исследуются6.

Также большой интерес привлекают вопросы о проявлениях хаотической динамики в системах, описывающих геодезические. Рассматриваются различные свойства динамики, такие как эргодичность, лиувиллева энтропия, топологическая энтропия и другие. В частности, V. Donnay в работе7 построил пример метрики на сфере, имеющей эргодический геодезический поток. Монография Д.В. Аносова8 посвящена свойствам геодезических потоков на замкнутых ри-

'C.G.J. Jacoby, Vorlesungen über Dynamik, Reiner, Berlin (1884).

B.H. Колокольцев, Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом, Известия АН СССР. Сер. матем. 1982, т. 46, № 5, с. 994-1010.

3А.В. Болсинов, В.В. Козлов, А.Т. Фоменко, Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела, УМН, 1995, 50:3(303), 3-32.

4В. Юшнгенберг, Лекции о замкнутых геодезических, М.: Мир, 1982.

5Н. Poincaré, Sur les lignes geodesique des surfaces convexes, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 237-274.

eA. Бессе, Многообразия с замкнутыми геодезическими, M.: Мир, 1981.

7V. Donnay, Geodesic flow on the two-sphere, Part I: positive measure entropy, Ergod. Th. & Dynam. Sys. 8 (1989) 531-553.

8Д.В. Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. МИАН СССР, 90, ред. И. Г. Петровский, 1967.

мановых многообразиях отрицательной кривизны, в том числе эргодичности.

Еще одно направление исследований возникло из применения к системам, задающим геодезические, топологических методов исследования гамильтоновых систем. Систематическая теория классификации гамильтоновых систем с точностью до естественных топологических изоморфизмов была развита А.Т. Фоменко. В работах9,10,11,12'13,14'15 построены инварианты интегрируемых систем с двумя степенями свободы с точностью до лиувиллевой эквивалентности, т.е. до гомеоморфизма фазовых пространств, переводящего слои лиувиллева слоения одной системы в слои другой. В результате была осуществлена топологическая классификация многочисленных интегрируемых гамильтоновых систем, в том числе геодезических потоков16. Были обнаружены новые изоморфизмы гамильтоновых систем - в смысле топологической классификации. Например, было показано, что задача о геодезических на двумерном эллипсоиде топологически траекторно эквивалентна случаю Эйлера в динамике твердого тела17.

Помимо интегрируемых случаев, представляет интерес также изучение систем, являющихся слабыми возмущениями известных точно решаемых задач. Это объясняется, с одной стороны, распространенностью таких ситуаций в приложениях, когда одни эффекты оказывают малое влияние на систему по сравнению с другими, и с другой стороны, теми дополнительными возможностями для исследования, которые имеются применительно к возмущениям решенных задач. Этот подход, основанный на теории возмущений, является классическим в аналитической механике и применялся со времен Лагранжа и Лапласа.

'Фоменко A.T., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем, Доклады АН СССР, 1986,' т.287, No.5, с.1071-1075.

10Фоменко А.Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости, Известия АН СССР. Серия матем. 1986, т.50, No.6, с.1276-1307.

иФоменко А.Т., Цишанг X., О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике, Доклада АН СССР, 1987, т.294, No.2, с.283-287.

"Фоменко А.Т., ТЬпологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, Функд. анализ и его приложения. 1988, т.22, выл.4, с.38-51.

13Фоменко А.Т., Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем, Успехи математических наук, 1989, т.44, вып.1 (265), с.145-173.

"Фоменко А.Т., Цишанг X., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Известия АН СССР. 1990, т.54, No.3, с.546-575.

1вФоменко А.Т., Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях, Функц. анализ и его приложения. 1991, т.25, вып.4, с.23-35.

16 A.B. Болотов, А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, ТТ. 1, 2. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 444 с. и 448 с.

1тА.В.Болсинов, А.Т.Фоменко, Геодезический поток эллипсоида траекторно эквивалентен интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела, Доклады РАН, 1994, т.339, No.3, с.293-296.

На современном этапе возникает возможность совместить классические методы теории возмущений с топологическим анализом гамильтоновых систем. Одним из первых шагов в этом направлении стала упомянутая работа Пуанкаре18. Рассматривая слабое возмущение стандартной сферы и комбинируя метод усреднения с топологическими соображениями, Пуанкаре получает следствия о числе замкнутых геодезических.

В настоящей работе мы следуем методу Пуанкаре и рассматриваем геодезические на поверхности, являющейся возмущением стандартной (п — 1)-мерной сферы в n-мерном евклидовом пространстве. С помощью стандартного метода усреднения теории возмущений в аналитической механике19 строится асимптотическая редукция системы, описывающей геодезические на этой поверхности, к гамильтоновой системе меньшей размерности, дающей возможность делать выводы о всей совокупности геодезических на поверхности, не обязательно замкнутых.

Процедура редукции формулируется в терминах преобразований интегральной геометрии - раздела, начавшегося с работ Минковского20, Функа21, Радона22, Йона23 и получившего впоследствии существенное развитие, в чем важную роль сыграли труды И.М. Гельфанда и М.И. Граева24.

Получаемые в результате редукции системы являются гамильтоновыми системами на алгебре Ли-Пуассона so(n). Данный класс систем активно изучается (обзор см., например, в книге25). Ввиду этого представляет интерес изучение изоморфизмов между редуцированными системами для геодезических на деформированных сферах и системами на so(n). В частности, в настоящей работе получен изоморфизм редуцированной системы для (п — 1)-мерного эллипсоида

18Н. Poincaré, Sur les lignes geodesique des surfaces convexes, lïans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 237-274.

1ЭВ.И. Арнольд, B.B. Козлов, А.И. Нейппгсдг, Математические аспекты классической и небесной механики, изд. 2,

УРСС, М., 2009.

г0Г. Маяковский, О телах постоянной ширины, Матем. сб., 1905, т. 25, № 3, стр. 505-508.

31P.G. Funk, Uber Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien, Mathematische Annalen, Band 74, 1913, p. 278-300.

2ÎJ. Radon, Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Sächsische Akademie der Wissenschaften, (69): 262-277, 1917.

MF. John, The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables, Duke Mathematical Journal 4 (2): 300-322 (1938).

МИ.М, ГЪльфанд, М.И. Граев, Геометрия однородных пространств, представления групп в однородных пространствах и связанные с ними вопросы интегральной геометрии, I, Труды Моск. матем. о-ва 8 (1959), 321—390.

26Борисов A.B., Мамаев И.С., Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

и частного случая интегрируемой системы Шоттки-Манакова26,27 на so(n).

Значительный интерес представляет изучение геодезических на алгебраических поверхностях, см., например, работы В.В. Козлова28, где доказывается неинтегрируемость задач о геодезических на определенных классах алгебраических поверхностей, и работу29, где сформулированы общие нерешенные проблемы из этой области. Интерес к этой тематике связан, с одной стороны, с тем, что такие задачи возникают в приложениях; в частности, в работе Римана30 обнаружена связь уравнений динамики жидкого эллипсоида с геодезическими на кубической поверхности xyz = const. С другой стороны, представляет интерес исследование связи конфигураций геодезических на алгебраических поверхностях со свойствами этих многообразий, изучаемыми алгебраической геометрией.

В настоящей работе для содержательного класса алгебраических поверхностей, задаваемых уравнением 4-й степени и являющихся малой деформацией двумерной сферы, производится топологическая классификация слоений Ли-увилля гамильтоновых систем, получаемых с помощью асимптотической редукции, путем вычисления для них топологических инвариантов А.Т. Фоменко. При этом прослеживается связь свойств полинома, определяющего алгебраическую поверхность, с топологией слоения Лиувилля редуцированной системы.

Кроме того, исследуется гамильтонова система, описывающая динамику двух классических спинов в постоянном магнитном поле. Эта система используется для описания намагниченности в магнетиках31,32. Используя симметрию задачи, мы осуществляем ее редукцию к системе с двумя фазовыми переменными, допускающей топологическое описание в терминах фазового портрета.

Цель работы

Основная цель диссертации состоит в исследовании свойств геодезических на слабо деформированных сферах методами теории возмущений. В рамках этой цели рассматриваются следующие задачи: описание процедуры редукции

^F. Schottky, Uber das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers in Räume von vier Dimensionen, Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891, Bd. XIII, S. 227-232.

27C.B. Малахов, Замечание об итерировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, функц. анализ и его прал., 1976, т. 10, вып. 4, стр. 93-94.

В. Козлов, Топология вещественных алгебраических кривых и интегрируемость геодезических потоков на алгебраических поверхностях, Функц. анализ и его прил., 2008, т. 42, вып. 2, стр. 23-27.

2iV.V. Kozlov, Several problems on dynamical systems and mechanics, Nonlinearity, 21, (2008), T149-T155.

30Б. Риман, О движении жидкого однородного эллипсоида, в кн.: Сочинения, ОГИЗ, M., Л., 1948, 339-366.

31Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2, Физматлит, Москва (2002).

32Е.С. Боровик, В.В. Еременко, A.C. Мильнер, Лекции по магнетизму, Физматлкт, Москва (2005).

по методу усреднения для уравнений геодезических на деформированных сферах; изучение свойств получаемых редуцированных систем; исследование топологии слоений Лиувилля конкретных примеров редуцированных систем для геодезических на алгебраических поверхностях, близких к сфере. Также ставится задача редукции гамильтоновой двухспиновой системы во внешнем поле к системе меньшей размерности.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:

1. Разработана методика применения преобразований интегральной геометрии для редукции уравнений геодезических на деформированных сферах.

2. С помощью данной методики решена задача определения топологии редуцированных систем для содержательного класса алгебраических поверхностей, близких к стандартной сфере.

Методы исследования

В работе применяются: метод усреднения для осуществления асимптотической гамильтоновой редукции в задаче о геодезических на деформированных сферах, методы интегральной геометрии для описания редукции и установления свойств усредненных систем, топологические методы исследования гамиль-тоновых систем. В работе существенно используются методы аналитической механики.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геодезических с помощью теории возмущений, в том числе на алгебраических поверхностях, а также для установления изоморфизмов редуцированных систем для этих задач с системами на алгебрах Ли.

Апробация результатов работы

Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководитель академик А.Т. Фоменко, неоднократно, 2004, 2010 г.);

• на семинаре «Современные геометрические методы» Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители академик А.Т.Фоменко, д.ф.-м.н. А.В.Болсинов, д.ф.-м.н. А.С.Мищенко, к.ф.-м.н. А.А.Ошемков, к.ф.-м.н. Е.А.Кудрявцева, к.ф.-м.н. И.М.Никонов, 2011 г.);

• на семинаре «Узлы и теория представлений» Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители д.ф.-м.н. В.О. Ман-туров, к.ф.-м.н. Д.П. Ильютко, к.ф.-м.н. И.М. Никонов, 2011 г.);

• на учебно-научном семинаре для студентов и аспирантов.«Геометрия и топология» Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители д.ф.-м.н. Т.Е. Панов, к.ф.-м.н. А.В. Пенской, 2011 г.);

• на семинаре лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (руководитель д.ф.-м.н. С.Ю. Доброхотов, 2010 г.);

• на семинаре "Oberseminar Differentialgeometrie" университетов Бохума и Дортмунда, Германия (руководители Prof. Dr. Uwe Abresch, Prof. Dr. Gerhard Knieper, Prof. Dr. Lorenz Schwachhofer, Prof. Dr. Karl Friedrich Siburg, 2010 г.);

• на семинаре "Discrete Differential Geometry" Технического университета Берлина, Германия (руководитель Prof. A.I. Bobenko, 2010 г.);

• на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2005 г.;

• на Международной конференции "Mathematical Modelling and Computational Physics", High Tatra Mountains, Slovakia, 2006 r.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-5].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, насчитывающего 59 наименований. Общий объем диссертации составляет 81 страницу.

Содержание диссертации

Во введении рассказывается об основных направлениях исследований геодезических линий, теории топологической классификации гамильтоновых систем, методах интегральной геометрии, а также о схемах редукции гамильтоновых систем. Обсуждается место данной работы на стыке этих направлений и приводится перечень основных результатов.

В главе 1 исследуется связь процедуры асимптотической гамильтоновой редукции для геодезических на деформированных сферах с помощью метода усреднения теории возмущений33 с преобразованиями интегральной геометрии. Мы рассматриваем геодезические линии на (п — 1)-мерных гиперповерхностях в п-мерном евклидовом пространстве, получаемых малой деформацией стандартной сферы и задаваемых уравнением вида:

у = х\ + х\ + ... + х\ - 1 + еф(хих2,...,хп) = 0 (1)

где е - малый параметр и ф{х\,х2,...,хп) е С2(ЕП) - функция, задающая деформацию. Параметризация такой поверхности, вообще говоря, затруднена, поэтому геодезические описываются уравнениями Лагранжа 1-го рода.

Для исследования этой системы используется стандартный метод усреднения33. Его применение основывается на том, что, поскольку поверхность близка к сфере, то малые участки геодезических близки к участкам большого круга. Ввиду этого выделяется набор медленных переменных задачи:

— х^ И/^ ^ — 1.. • и.

Это компоненты матрицы п-мерного углового момента - обобщения момента в трехмерном пространстве. Существенно, что они совпадают с плюккеровы-ми координатами двумерной плоскости {х, х) как элемента многообразия Грас-смана С?(2, п), что позволяет использовать соответствующие результаты алгебраической геометрии и в дальнейшем установить связь процедуры редукции с преобразованиями интегральной геометрии. Для невозмущенной сферы величины постоянны. Согласно принципу усреднения33 динамика медленных переменных может быть разделена на малые колебания и медленную эволюцию («вековые изменения»). Для нахождения этой эволюции рассматривается

^В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадг, Математические аспекты классической и небесной механики, изд. 2, УРСС, М., 2009.

усредненная система, получаемая из выражений для производных медленных переменных с помощью усреднения их по периоду точного решения невозмущенной системы. В нашем случае это равномерное движение по большому кругу x¡(t) = cos t ei(í) + sint e2(í), где ^(í), ег(Г) - ортонормированный базис в плоскости движения с матрицей момента I. Среднее значение функции f(ic) по периоду этого решения выражается формулой:

= f(W))dt. (3)

Результат зависит только от матрицы углового момента Í, поэтому усредненная система замкнута относительно медленных переменных.

Важный факт состоит в том, что процедура (3) эквивалентна лучевому преобразованию J, рассматриваемому в интегральной геометрии?*, сопоставляющему функции /(£) на стандартной сфере функцию на грассманиане G(2, п), значение которой на данной двумерной плоскости есть интеграл от /(ж) по соответствующему большому кругу:

/•27Г

(Jf)ip) = / /(cosí ei(р) + siní е2(р)) dt. (4)

J о

Здесь р - матрица плюккеровых координат двумерной плоскости; éi(p), ег(р) -ортонормированный базис в ней. Отсюда вытекают следующие утверждения.

Лемма 1. Усреднение (3) по геодезической на невозмущенной сфере выражается через лучевое преобразование по формуле:

= ¿(J/M-

Теорема 2. Усредненная система для углового момента имеет вид:

k = —^{J (/), (5)

Здесь ip{£) - функция, определяющая деформацию сферы, (1); кпц = -J - лучевое преобразование, определенное в (4).

С использованием свойств лучевого преобразования устанавливается гамиль-тонова структура усредненной системы. Скобки Пуассона для углового момента определяются алгеброй Ли so(n) и имеют вид:

{líjylpq} = Sipljq + Sjplqi + Siqlpj + <5j<j/tp. (6)

мГельфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Избранные задачи интегральной геометрии, Добросает, M. 2000.

Теорема 3. Усредненная система (5) для углового момента является гамильто-новой со скобками Пуассона (6) и гамильтонианом:

Н(!) = (7)

который получается применением лучевого преобразования (4), к функции 1р(х), определяющей деформацию сферы, (1).

Тем самым осуществлена асимптотическая гамильтонова редукция исходной системы для геодезических с фазовой размерностью 2п—2 к усредненной системе уравнений для момента, определенной на грассманиане (7(2, п) и имеющей фазовую размерность 2п — 4.

Результаты классической теории возмущений и теории КАМ35,36 приводят к трем утверждениям о связи решений точной системы уравнений геодезических и усредненной системы для углового момента при различных условиях.

В главе 2 исследуются свойства усредненной системы и рассматриваются конкретные примеры. В случае двумерных сфер в трехмерном пространстве грассманиан 67(2,3) сводится к проективной плоскости, что приводит к следующему утверждению.

"Утверждение 1. Для двумерных деформированных сфер в трехмерном пространстве редуцированная система есть интегрируемая гамильтонова система с одной степенью свободы, определенная на фазовом пространстве ЖР2.

Компоненты момента в этом случае обычно записывают в виде вектора Ь = (1/1, ¿2, Ьз) = (¿23) —¿13? ¿12)- Траекториями системы являются линии уровня гамильтониана Я = сотЬ на МР2 (или на сфере, задаваемой фиксированием значения функции Казимира I? = 1). Топология слоения, порождаемого этой функцией, характеризуется инвариантами А.Т. Фоменко37, называемыми молекулами, с точностью до так называемой послойной эквивалентности.

Определение38. Функции Морса / и д на поверхностях X2 и У2 называются

35В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадг, Математические аспекты классической и небесной механики, изд. 2, УРСС, М., 2009.

МВ.И. Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике, УМН, 1963, т. 18, вып. 6 (114), стр. 91-192.

37Фоменко А.Т., Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, Функц. анализ и его приложения. 1938, т.22, вып. 4, с.38-51.

м Фоменко А.Т., Цишаяг X., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Известия АН СССР. 1990, т.54, N0.3, с.546-575.

послойно эквивалентными, если существует диффеоморфизм

Л : X2 У2,

переводящий связные компоненты линий уровня функции / в связные компоненты линий уровня функции д.

В случае полиномиальных функций деформации двумерной сферы свойства лучевого преобразования (которое для двумерной сферы называется также преобразованием ФункатМинковского)39 приводят к следующему результату.

Теорема 9. Если функция ф(х 1,х2,х3), задающая деформацию сферы, является четным полиномом, то соответствующий гамильтониан редуцированной системы Н(Ь\,Ь2,Ьз) также является четным полиномом той же степени.

В качестве конкретного примера рассматривается класс алгебраических поверхностей, близких к двумерной сфере и задаваемых уравнением вида:

<р(х) = х\ + х\ + х\- 1 + егр(х) = 0, е « 1, гр{х) = ехх\ + е2х\ + е3х\. (8)

Утверждение 2. Для возмущения сферы четвертыми степенями (8) гамильтониан редуцированной системы имеет вид:

Я = | г [£г (Ь2 + ¿2)2 + + I,2)2 + £з + Ь2)2]. (9)

Мы вычисляем инварианты А.Т. Фоменко для всех возможных здесь случаев, когда гамильтониан является функцией Морса.

Теорема 10. Редуцированная система для алгебраической поверхности, заданной как деформация двумерной сферы четвертыми степенями (8), при условии невырожденности всех критических точек, характеризуется, в зависимости от параметров е4, одной из восьми указанных молекул (молекулы приведены на рис. 2.15 в диссертации).

Тем самым осуществлена топологическая классификация слоений Лиувилля для усредненной системы в классе деформаций сферы, задаваемых полиномом четвертой степени вида (8). При этом указаны условия на коэффициенты полинома, при которых усредненная система имеет тот или иной тип.

В случае трехмерных деформированных сфер в четырехмерном пространстве угловой момент имеет шесть существенных компонент, при этом есть две

^Пгльфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Избранные задачи интегральной геометрии, Добросвет, М. 2000.

функции Казимира, поэтому редуцированная система имеет две степени свободы.

Связь процедуры усреднения с интегральной геометрией позволяет установить следующее важное свойство усредненной системы.

Теорема 11. Гамильтониан редуцированной системы для трехмерной деформированной сферы удовлетворяет следующему ультрагиперболическому уравнению Йона:

д2Н д2Н с?Н

dl12dl3i dlndl24 dludhz

Это условие, которое задает образ лучевого преобразования среди функций на грассманиане (7(2,4), выраженных в плкжкеровых координатах40'41.

В случае осевой симметрии, когда функция деформации имеет вид:

= f(xhx2,xl + xl), (11)

сохраняется компонента углового момента /34 при движении частицы по любой геодезической. Это же свойство переносится и на редуцированную систему.

Теорема 12. Редуцированная система для трехмерной сферы с осесиммет-ричной деформацией (И) является интегрируемой системой с двумя степенями свободы с дополнительным интегралом /34.

Поэтому в данном классе случаев редуцированная система допускает топологическую классификацию в терминах инвариантов А.Т. Фоменко42.

В случае (п - 1)-мерного эллипсоида, близкого к сфере:

<р = х\ + х\ + ... + х\ - 1 + е (сцж? + a2xl + ... + апх\) = 0 (12) редукция приводит к известной системе Шоттки-Манакова.

Теорема 13. Редуцированная система для (тг - 1)-мерного эллипсоида (12) имеет гамильтониан

Я = £*£(«<+ (13)

i<j

<0F. John, The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables, Duke Mathematical Journal 4 (2): 300-322 (1938).

41Лзльфанд И.М., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Избранные задачи интегральной геометрии, Добросвет, М. 2000.

42Фоменко А.Т., ТЬпологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, функд. анализ

и его приложения. 1988, т.22, вып.4, с.38-51.

(Ю)

и является частным случаем многомерного интегрируемого случая Шоттки-Манакова43,44 в уравнениях Эйлера на алгебре Ли so(n):

" = (И)

i<j J

при üi = eaf, bi = 2a,'.

В главе 3 осуществляется редукция уравнений динамики двухспиновой системы в магнитном поле. Данная задача гамильтоновой механики возникает при описании динамики спиновых систем в магнетиках45,46. Аналогично предыдущим задачам в этой системе, используя ее структуру, а именно симметрию, мы производим редукцию к системе меньшей размерности, которая допускает исследование более простыми средствами (редукция типа Рауса47).

Рассматривается система двух классических спинов — трехмерных векторов S1 и S11, со следующими скобками Пуассона и гамильтонианом:

{S'i, Sj} = eijkSl {Sf, Sf} = eijkS!k!, {Sf, S1/} = 0

% = jiH ■ S1 + 72Я .§ii + J§1. S11, (15)

где 7i,72 — гиромагнитные отношения, Й — постоянное магнитное поле, J — параметр величины взаимодействия.

Используя две функции Казимира (S1)2 и (S11)2 и интеграл К = H-(S!+Sn), возникающий вследствие симметрии относительно вращений вокруг вектора Я, мы заключаем, что эта система является интегрируемой системой с двумя степенями свободы. Основываясь на симметрии, мы осуществляем гамильтонову редукцию данной задачи к системе с одной степенью свободы. Это достигается применением цилиндрической замены координат

ff = VW-p? cos si, sinxi, Si=p ь

Si1 = \/{Sn)2-pl cosx-i, Si1 = y/{S»Y -pi sinXa, SJ3' = p2 и затем канонической замены

u = x2-x i, v = x2 + xh p« = ^(p2-pi), Pv = ^(P2+Pi)- (16)

eF. Schottky, Über das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers in Räume von vier Dimensionen, Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891, Bd. Х1П, S. 227-232.

**C.B. Малахов, Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил., 1976, т. 10, вып. 4, стр. 93-94.

45Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2, Физматлит, Москва (2002).

46Е.С. Боровик, В.В. Еременко, A.C. Мильнер, Лекции по магнетизму, Физматлит, Москва (2005).

"E.J.Routh, Dynamics of a System of Rigid Bodies, Ch.10, London - New York, Macrnillan (1891-92).

Теорема 13. В канонических переменных (16) гамильтониан (15) имеет вид: К = 7iH(pv - ри) + 72H(pv + Ри)+_

+J V(s')2 -{pv- Pu)W(Sn)2 - (P. + Pu)2 cos и + J(pv - pu)(jpv + pu). K J

В нем переменная v является циклической, pv = const. При фиксировании значения pv гамильтониан (17) задает систему с одной степенью свободы в фазовых переменных и,ри.

Таким образом, получена редукция двухспиновой системы к задаче с двумя фазовыми переменными, которая допускает топологическое описание в терминах фазового портрета.

Автор благодарит профессора Войслава Любомировича Голо за постановку задач и научное руководство.

Автор глубоко признателен заведующему кафедрой дифференциальной геометрии и приложений академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко за внимание к этой работе и полезные дискуссии, позволившие существенно повысить качество работы.

Автор выражает благодарность профессору С.Ю. Доброхотову, доценту Е.А. Кудрявцевой, профессору А.И. Нейштадту, доценту A.A. Ошемкову, члену-корреспонденту РАН Д.В. Трещеву, профессору А.И. Шафаревичу за полезные дискуссии.

Автор признателен коллективу кафедры дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова за интерес к этой работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Д.О. Синицын, Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах и преобразование Функа-Минковского, Ма-тем. заметки, т. 90, вып. 3, стр. 474-477 (2011).

2. V. Golo, D. Sinitsyn, Asymptotic Hamiltonian Reduction for the Dynamics of a Particle on a Surface, Physics of Particles and Nuclei Letters, Vol. 5, No. 3, pp. 278-281 (2008). (По результатам Международной конференции "Mathematical Modelling and Computational Physics", High Tatra Mountains, Словакия, 2006 г., посвященной 50-летнему юбилею ОИЯИ (Дубна)).

Автору принадлежит вычисление редуцированной системы и исследование ее фазовых портретов для геодезических на поверхности четвертого порядка.

3. B.J1. Голо, Д.О. Синицын, Гамильтонова двухспиновая система, Сборник научных трудов «Современные проблемы математики и механики», Т.1 «Геометрия и топология» под редакцией А.Т. Фоменко, М.: Изд-во Московского университета, 2008.

Автору принадлежит гамильтонова редукция двухспиновой системы с осевой симметрией, а также расчет стационарных решений.

4. В.Л.Голо, Д.О.Синицын, Визуализация геодезических на слабо деформированной сфере, Математика. Компьютер. Образование: Сборник научных трудов. Том 2 / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2005, стр. 606.

Автору принадлежит построение фазовых портретов усредненных систем.

5. Д.О. Синицын, Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах в терминах интегральной геометрии, депонирована в ВИНИТИ РАН, 17.10.2011, №453-В2011, 1-77.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡0 0 экз. Заказ №

1. Фоменко А.Т., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем, Доклады АН СССР, 1986, т.287, N0.5, с.1071-1075.

2. Фоменко А.Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости, Известия АН СССР. Серия матем. 1986, т.50, N0.6, с.1276-1307.

3. Фоменко А.Т., Цишанг X., О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике, Доклады АН СССР, 1987, т.294, N0.2, с.283-287.

4. Фоменко А.Т., Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, Функц. анализ и его приложения. 1988, т.22, вып.4, с.38-51.

5. Фоменко А.Т., Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем, Успехи математических наук, 1989, т.44, вып.1 (265), с. 145-173.

6. Фоменко А.Т., Цишанг X., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Известия АН СССР. 1990, т.54, N0.3, с.546-575.

7. Фоменко А.Т., Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях, Функц. анализ и его приложения. 1991, т.25, вып.4, с.23-35.

8. A.B. Болсинов, A.T. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, тт. 1, 2. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 444 с. и 448 с.

9. A.B.Болсинов, А.Т.Фоменко, Геодезический поток эллипсоида траек-торно эквивалентен интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела, Доклады РАН, 1994, т.339, No.3, с.293-296.

10. A.B.Болсинов, А.Т.Фоменко, Геометрия и топология интегрируемых геодезических потоков на поверхностях (Монография), Москва, УРСС, 1999. В серии «Библиотека R&C Dynamics. Регулярная и хаотическая динамика», т. 2.

11. D. J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley, Cambridge Mass., 1950.

12. B. Dubrovin, S. Novikov, A. Fomenko, Modern Geometry. Methods and Applications. Springer-Verlag, Part 1, 1984; Part 2, 1985; Part 3, 1990.

13. F. Klein, Vorlesungen über höhere Geometrie, Berlin, Springer (1926).

14. Гельфанд И.M., Гиндикин С.Г., Граев М.И., Избранные задачи интегральной геометрии, Добросвет, М. 2000.

15. S. Helgason, The Radon Transform, Second edition, Birkhauser Boston, 1999.

16. P. Griffiths, J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (1994).

17. C.G.J. Jacoby, Vorlesungen über Dynamik, Reiner, Berlin (1884).

18. H. Poincaré, Les methodes nouvelles de la mécanique céleste, Gauthier-Villars, Paris (1899).

19. E.T. Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, Ch. XIII, Cambridge University Press, Cambridge (1917).

20. В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, изд. 2, УРСС, М., 2009.

21. В.И. Арнольд, Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике, УМН, 1963, т. 18, вып. 6 (114), стр. 91-192.

22. В. Клингенберг, Лекции о замкнутых геодезических, М.: Мир, 1982.

23. А. Бессе, Многообразия с замкнутыми геодезическими, М.: Мир, 1981.

24. Д.В. Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. МИАН СССР, 90, ред. И. Г. Петровский, 1967.г

25. H. Poincaré, Sur les lignes geodesique des surfaces convexes, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 237-274.

26. Колокольцов В.H., Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом, Известия АН СССР. Сер. матем. 1982, т. 46, № 5, с. 994-1010.

27. A.B. Болсинов, В.В. Козлов, А.Т. Фоменко, Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела, УМН, 1995, 50:3(303), 3-32.

28. V.V. Kozlov, Two integrable problems of classical mechanics, Vestnik MGU, Ser. math, mech., 1981, N4, P. 80-83.

29. A.V. Borisov, I.S. Mamaev, Nonlinear Poisson brackets and isomorphisms in dynamics, Reg. Chaot. Dynam., V 2, N 3/4, 1997, P. 72-89.

30. Борисов A.B., Мамаев И.С., Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

31. A.M. Perelomov, A note on geodesies on ellipsoid, Reg. Chaot. Dynam., V 5, N 1, 2000, P. 89-94.

32. G. Knieper, H. Weiss, С°° Genericity of Positive Topological Entropy for Geodesic Flows on S2.

33. V. Donnay, Geodesic flow on the two-sphere, Part I: positive measure entropy, Ergod. Th. & Dynam. Sys. 8 (1989) 531-553.

34. В. В. Козлов, Топология вещественных алгебраических кривых и интегрируемость геодезических потоков на алгебраических поверхностях, Функц. анализ и его прил., 2008, т. 42, вып. 2, стр. 23-27.

35. V.V. Kozlov, Several problems on dynamical systems and mechanics, Nonlinearity, 21, (2008), T149-T155.

36. Б. Риман, О движении жидкого однородного эллипсоида, в кн.: Сочинения, ОГИЗ, М., Л., 1948, 339-366.

37. А. В. Борисов, И. С. Мамаев, А. А. Килин, Гамильтонова динамика жидких и газовых самогравитирующих эллипсоидов, Нелинейная динам., 2008, т. 4, № 4, стр. 363-407.

38. К. Pohlmeyer, Comm.Math.Phys. 46, 207 (1976).

39. J.A. Leggett, Rev. Mod. Phys. 47,331 (1975).

40. V.L. Golo, Lett. Math, Phys. 5, 155 (1981).

41. F. Schottky, Uber das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers in Räume von vier Dimensionen, Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891, Bd. XIII, S. 227-232.

42. C.B. Манаков, Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил., 1976, т. 10, вып. 4, стр. 93-94.

43. A.I. Bobenko, Euler equations on the algebras e(3) and so(4). Isomorphism of the integrable cases, Funktsional. Anal, i Prilozhen., 20 (1986), 64-66.

44. A.V. Bolsinov, Compatible Poisson brackets on Lie algebras and the completeness of families of functions in involution, Math. USSR-Izv., 38:1 (1992), 69-90.

45. Г. Минковский, О телах постоянной ширины, Матем. сб., 1905, т. 25, № 3, стр. 505-508.

46. P.G. Funk, Uber Flächen mit lauter geschlossenen geodätischen Linien, Mathematische Annalen, Band 74, 1913, p. 278-300.

47. J. Radon, Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Sächsische Akademie der Wissenschaften, (69): 262-277, 1917.

48. F. John, The ultrahypörbolic differential equation with four independent variables, Duke Mathematical Journal 4 (2): 300-322 (1938).

49. И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Геометрия однородных пространств, представления групп в однородных пространствах и связанные с ними вопросы интегральной геометрии, I, Труды Моск. матем. об-ва 8 (1959), 321-390.

50. И.М. Гельфанд, Интегральная геометрия и ее связь с теорией представлений, УМЫ, 1960, т. 15, вып. 2(92), стр. 155-164.

51. Н.Я. Виленкин, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений / Обобщенные функции.— Вып. 5.— М.: Физматгиз, 1962.

52. Е. В. Vinberg, Equivariant symplectic geometry of cotangent bundles, Mose. Math. J., 2001, V 1, N 2, pp. 287-299.

53. E.M. Лифшиц, JI.П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2, Физ-матлит, Москва (2002).

54. Е.С. Боровик, В.В. Еременко, A.C. Мильнер, Лекции по магнетизму, Физматлит, Москва (2005).

55. Д.О. Синицын, Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах и преобразование Фун-ка-Минковского, Матем. заметки, т. 90, вып. 3, стр. 474-477 (2011).

56. V. Golo, D. Sinitsyn, Asymptotic Hamiltonian Reduction for the Dynamics of a Particle on a Surface, Physics of Particles and Nuclei Letters, Vol. 5, No. 3, pp. 278-281 (2008).

57. B.JI. Голо, Д.О. Синицын, Гамильтонова двухспиновая система, Сборник научных трудов «Современные проблемы математики и механики», Т.1 «Геометрия и топология» под редакцией А.Т. Фоменко, М.: Изд-во Московского университета, 2008.

58. В.Л.Голо, Д.О.Синицын, Визуализация геодезических на слабо деформированной сфере, Математика. Компьютер. Образование: Сборник научных трудов. Том 2 / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2005, стр. 606.

59. Д.О. Синицын, Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах в терминах интегральной геометрии, депонирована в ВИНИТИ РАН, 17.10.2011, №453-В2011, 1-77.