Некоторые свойства вполне интегрируемых гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

§1. Введение.

Глава I". Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере

§2. Уравнение Эйлера.

§3. Построение (2. к - 3) -параметрического семейства вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере S"1-1.2 в

§4. Построение (2.У1-Н )-параметрического семейства вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере

§5. Построение геодезических потоков в терминах гамильтоновой редукции.

Глава IT. Исследование независимости интегралов некоторых уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли. .АО

§6. Интегрируемые уравнения Эйлера на полупростых алгебрах Ли.

§7. Вполне интегрируемость уравнений Эйлера ^ ^ГХ > Фа^ъ (X ) Л на сингулярных полупростых орбитах. .41?

§8. Исследование независимости интегралов уравнения Х=СХ ? Vfiga fX ) Л для сингулярных операторов ^ Ф . &&

§9. Исследование независимости интегралов уравнения X =. £Х , ь (X)J на максимальной компактной подалгебре, для сингулярных операторов •

- 3

Глава JJJ . Интегрируемые системы с не коммутирующими интегралами.

§10. Полная интегрируемость гамильтоновых систем в случае, когда не все интегралы попарно коммутируют

§11. Вполне интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем, полностью интегрируемых с редуктивной алгеброй Ли интегралов. S

§12. Достаточные условия компактности алгебры Ли интегралов гамильтоновой системы.

§13. Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на симметрических пространствах.

§14. Полная интегрируемость с некоммутирующими интегралами некоторых уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли.

Глава IV . Построение полностью интегрируемых систем на нередуктивных алгебрах Ли.

§15. Размножение интегрируемых аналогов уравнений Эйлера при помощи ассоциативной алгебры с двойственностью Пуанкаре. дЗ

§16. Вполне интегрируемость некоторых гамильтоновых системна £E(Vb)**

Настоящая диссертация посвящена построению новых примеров вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Идеи, на которых основаны предложенные в диссертации конструкции интегрируемых систем, появились и интенсивно развивались в течение последних пятнадцати лет. Перечислим основные идеи. Во-первых, необходимо отметить введенное В.И.Арнольдом СО представление геодезических потоков на группах Ли в терминах уравнения Эйлера, общий факт гамильтоновости и связь уравнений Эйлера с редукцией по группе симметрии, а также сам метод редукции гамильтоновых систем, в современном варианте принадлежащий Дд. Марс дену и А.Вейнстейну 2] . Во- вторых, отметим способ получения интегралов в инволюции на орбитах путем сдвига инвариантов алгебры Ли на ковектор общего положения. Этот прием впервые был использован С.В.Манаковым £2 3"] для получения коммутирующих интегралов уравнения Эйлера yi -мерного твердого тела, а в более общем случае использовался А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко T25J . В работе С.В.Манакова [23] , тесно связанной с предшествующими работами по интегрированию нелинейных уравнений методом обратной задачи рассеяния, уравнение Эйлера рассматривается как частный случай матричных аналогов стационарных уравнений Кортевега - де Фриза (уравнений Новикова, см. статью Б.А.Дубровина, В.Б.Матвеева и С.П.Новикова ). Важную роль как в стационарных, так и в нестационарных задачах играет гамильтонов формализм. В связи с этим, напомним, что уравнение Кортевега - де Фриза

- 5е было впервые рассмотрено как бесконечномерная вполне интегрируемая гамильтонова система в работе В.Е.Захарова и Л.Д.Фад-деева С.4%-3 . Зависимость между гамильтоновым формализмом стационарных и нестационарных задач установлена О.И.Богоявленским и С.П.Новиковым С4П.

Существует глубокая связь между теорией интегрируемых систем и теорией групп и алгебр Ли. Эта связь проявляется, в частности, в том, что многие интегрируемые системы допускают представление Лакеа. Перечислим некоторые системы, для которых такое представление было найдено. Так для цепочки Тоды представление Лакса нашли Н.Флашка С.В.Манаков [&*1] , а для обобщенных цепочек Тоды - О.И.Богоявленский [50] (см. также [5j), для систем одномерных частиц, обобщающих системы Ф.Калоджеро и Б.Сазерлецца, представление Лакса нашли Дж.Мозер [52 J, М.А.Ольшанецкий и A.M.Переломов 143]. А.М.Переломов нашел также представление Лакса для уравнений гидродинамики л-мерного твердого тела в случае Клебша [54 J, а для систем типа С.Ковалевской построил L~M пары, дающие нетривиальные интегралы C5-5-J. В работе С.П.Новикова [62] впервые был введен дополнительный спектральный параметр, что позволило линеаризовать лаксовы уравнения на якобиане соответствующей спектральной кривой. Общие схемы построения интегрируемых систем на орбитах в алгебрах Ли были предложены А.С.Мшценко и А.Т.Фоменко [2 5] , М.Адлером [5"6l , Б.Костантом [63].

Некоторые системы, такие как системы Калоджеро-Сазерленда (см. [4 0., 53]), незамкнутые цепочки Тоды-Богоявленского [64] были рассмотрены М.А.Олыпанецким и А.М.Переломовым, Д.Кажданом, Б.Костантом и С.Стернбергом с точки зрения гамильтоновой редукции простых исходных систем. Изложение и развитие

- 6 схемы Адлера-Костанта на основе метода гамшгьтоновой редукции и применение этой схемы к градуированным алгебрам Ли дано

A.Г.Рейманом и М.А.Семеновым-Тян-Шанским . Этиже авторы распросранили схему Адлера-Костанта на уравнения нулевой кривизны 5"7 65] . Недавно М.А.Семенов-Тян-Шанский указал на связь схемы Адлера-Костанта с задачей Римана, классической % -матрицей и уравнением Янга-Бакстера.

Отметим также работы О.И.Богоявленского [iO G£7 & I j по новым примерам интегрируемых уравнений Эйлера. Вопросам, связанным с существованием дополнительных интегралов движения, и доказательству неинтегрируемости гамильтоновых систем посвящены работы: С.И.Пидкуйко и А.М.Степина ,

B.В.Козлова и Д.А.Онищика [5*3] , В.Н.Колокольцова [60] ,

C.Л.Зиглина [611 •

Пере ид ем теперь к краткому изложению основных результатов диссертации. Первая глава посвящена построению двух семейств вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере ^ .

Рассматриваются две подалгебры в бесконечномерной алгебре Ли функций на кокасательном расслоении Т* 8 П ^ » соответствующие группе ортогональных и группе конформных преобразований сферы Ь . Первая подалгебра изоморфна алгебре Ли -6о(гъ) , вторая - алгебре Ли -io (и, -f) Пусть кокасательное расслоение задается уравнениями: ос. = Л . + ОС

П>Рл О

- ч

Тогда явный вид образующих My, алгебры Ли -ьо(к) следующий: о .

М р)= Pi, 9 ^ ^ Я" ® качестве линейных образующих алгебры Ли-3о(п,,<{) можно выбрать функции М у, и функции р} , С -4 . Для любых параметров о^гы-*^^ ^л, определим на квадратичные по р функции П -E't^Pl С3)

Соответствующие при преобразовании Лежандра функциям fy метрики на i обозначим ^^^ (для Hag ) и оС (для ). Метрики образуют ( 2И.-3)-параметрическое семейство, а метрики - -параметрическое семейство. Теорема I утверждает вполне интегрируемость геодезических потоков метрик • Кроме того теорема I утверждает, что в случае, когда параметры метрики удовлетворяют соотношениям 6t - - , линейная подстановка ct.- — U;

Ь b b qv переводит метрику cL-з^л в метрику

4) конформно эквивалентную метрике эллипсоида, заданного уравнением -А 2 .

Теорема 2 утверждает вполне интегрируемость геодезических потоков метрик oi . Теорема 3 определяет геодезический поток метрики cL как редуцированную гамильтонову систему.

- 8

Гамильтонианы , F^g геодезических потоков метрик

JLи можно рассмотреть с точки зрения отображения момента. Пусть группа Ли пуассоновски действует на симп-лектическом многообразии ffit (см. Q*f ] ) и М' Iftt G*^

- соответствующее отображение момента. Здесь Q- - алгебра Ли группы Ли С^- , Q-* - дуальное пространство. Гамильтонианы , F^ являются функциями вида tt, °М , для подходящего отображения момента М и подходящей функции на

Gr* . Так гамильтонианы Wag естественно возникают при рассмотрении пуассоновского действия *!>0М на и квадратичных функций ^ на -Ьо(к) . Аналогичным образом гамильтонианы обнаруживаются при рассмотрении пуассоновского действия SOOs'O на Т**?*"1.

В третьей главе мы докажем вполне интегрируемость некоторых геодезических потоков с гамильтонианами вида М для каждого симметрического пространства УЕ компактной полупростой группы Ли ОЦ, . Другие гамильтоновы системы (капля жидкости, тяжелый ротор) с гамильтонианами вида Н= М рассмотрели В.Гийемин и С.Стернберг . При изучении гамильтоновых систем с гамильтонианами вида -Я о М полезно рассмотреть соответствующее уравнение Эйлера

Вторая глава диссертации посвящена решению некоторых алгебраических проблем, связанных с подсчетом числа независимых интегралов уравнений Эйлера на орбитах в полупростых алгебрах Ли в сингулярных случаях. Пусть

- набор полиномиальных функций на полупростой алгебре Ли Q- , •инвариантных относительно присоединенной группы. Такие функции называются инвариантами алгебры Ли (J- . Далее считается, что функции являются независимыми однородными

- 9 образующими алгебры всех инвариантов алгебры Ли

Для любого элемента ос € q- функциональный коэффициет в полиноме Cl^fXjA)^ v^fX+AaO ПРИ ^ обозначается

Ъ* (X) Для любой орбиты U набор функций, полученных ^ i в результате ограничения функций на орбиту О обозначается £ ^ . Теорема, принадлежащая

А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко, утверждает полноту коммутативного набора £ ^in I q j Л-®1 элемента ei и орбиты о общего положения в G . Вскоре после опубликования доказательства полноты набора £ Vf^lpJдля орбит общего положения, было опубликовано доказательство полноты набора { ЗУ' | q ^ для сингулярных орбит • Однако, как заметил А.С.Мшценко см. C29J) в работе Дао Чонг Тхи при доказательстве полноты допущены некоторые неточности. Теорема 4 утверждает полноту набора л | q } для любой сингулярной полупростой орбиты. Мы даем подробное доказательство теоремы 4, основанное на независимости дифференциалов cl^JjX) в точке X , которая является главным нильпотентным элементом в комплексной оболочке алгебры Ли Gc . Доказательство полноты набора {, | р 3 для сингулярных полупростых орбит одновременно и независимо от автора (см. С^З] ) получил И.В.Микитюк .

В работе C2 5"J А.С.Мшценко и А.Т.Фоменко предложили для построения интегрируемых уравнений на произвольных полупростых алгебрах Ли использовать операторы oaxti-tDЛ Соответствующее оператору уравнение Эйлера = ГХ, Yata(X)3 , XeGc} (6)

- to имеет коммутирующие интегралы ^Ца, • В определении Мищенко и Фоменко операторов Vol&Z) предполагается, что сс - регулярный полупростой элемент. Во второй главе диссертации определение операторов распространяется на случай произвольных полупростых элементов ct . Отметим, что сингулярность элемента а всегда связана с наличием кратных собственных чисел у оператора . Теорема 5 утверждает, что для операторов Х> , инвариантных относительно централизатора Q^ элемента об , уравнение (6) имеет- dUm.[Grуос] + dim Сгл независимых интегралов, для произвольного полупростого элемента CL . Наличие такого количества независимых интегралов обеспечивает полную интегрируемость уравнения (6) на орбитах общего положения, хотя не все интегралы попарно коммутируют. Подробное обсуждение полной интегрируемости, в случае, когда не все интегралы попарно коммутируют содержится в следующей главе диссертации. Далее во второй главе диссертации рассматривается уравнение Эйлера (6) при ограничении на максимальную компактную подалгебру К в вещественной расщепляемой полупростой алгебре Ли Q Теорема 6 утверждает, что уравнение Эйлера х = ГК, (7) имеет независимые интегралы в количестве

Лт, к + <£*» к*+ tfl к - к л), где К°С - централизатор ol в К, ; * ранги соотвествующих редуктивных алгебр Ли. Кроме того

- н утверждается, что ранг алгебры Ли К равен числу нечетных показателей среди всех показателей алгебры Ли Q . Это обстоятельство является решающим при доказательстве полной интегрируемости (с не коммутирующими интегралами) уравнения Эйлера (7) в следующей главе диссертации. Для регулярного полупростого элемента ос все интегралы уравнения (7) попарно коммутируют и утверждение теоремы 6 о числе независимых интегралов превращаяется в известное утверждение о вполне интегрируемости по Лиувиллю уравнений Эйлера с оператором <Pag так называемой "нормальной" серии [2 5~? 2. SJ .

Рассмотрим простейший случай теоремы 6. Пусть G-- нормальная вещественная форма комплексной простой алгебры

- компактная вещественная форма. Тогда максимальная компактная подалгебра К = G л G-. - *О С5~).

СС

Среди уравнений (7) содержится уравнение Эйлера динамики твердого тела

М = [И, Л] , (8) где 12 - угловая скорость, М =1-0.+121 - кинетический момент, X - тензор инерции. Пусть Х= cLa^и Xj >Х2 >Х3 =Х/| = • Тогда уравнение (8) имеет семь независимых интегралов: bum. (Иг) , Ьих<х (М*) ,

Mi,; (интеграл энергии); М35 7 М45попарно некоммутирующие компоненты акинетического момента) и дополнительный интеграл четвертой степени w(нч2) .

Третья глава диссертации посвящена исследованию интегрируемости гамильтоновых систем с некоммутирующими сим

- А2 метриями. Пусть K7t - симплектическое многообразие и

Т - функционально замкнутая алгебра Ли функций относительно скобки Пуассона. Из результатов Э.Картана по интегральным инвариантам [6] легко следует, что для всякой такой алгебры Ли Г можно выбрать (локально) функциональный базис рл ^ ^ э Г,,., Х^ ? такой, что

3 = fy ■> h3 = h&>Ь о. o)

Пусть на многообразии имеется гамильтонова система, такая, что функции из алгебры являются интегралами этой системы. Предположим, что выполнено соотношение

ЛипV 2 т,. (Ю)

Предположим также, что функции Ро^сэ из функционального базиса алгебры f удалось определить на всем многообразии . Тогда из результатов Н.Н.Нехорошева Гз-Г] следует, что в окрестности компактной поверхности уровня интегралов рь&с j Tj найдутся обобщенные переменные действие-угол, и, что движение системы происходит по линейной обмотке инвариантного тора Т* пг' - поверхности уровня интегралов. Как в рассуждениях Э.Картана, так и в рассуждениях Н.Н.Нехорошева используются неконструктивные методы, что не^озволяет обобщенные переменные действие-угол использовать для интегрирования гамильтоновой системы в квадратурах. Тем не менее, для ряда гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями интегрируемость в квадратурах можно получить

- 13 из других соображений. Пусть задана гамильтонова система (W, , /~0 с набором известных интегралов F2->'"r> ^к и попарные скобки Пуассона этих интегралов не дают новых независимых интегралов. Пусть SF* - функциональная оболочка интегралов F^y.jFK и YI , УП - такие числа, что для них существует функциональный базис

Pf Ръэ Э-) Zт такой» что выполнены соотношения (9). Для определения чисел пь^п, совершенно необязательно находить функции с^ , Zj, » достаточно вычислить ранг Ъ матрицы HfF^ ^ Fj,} || попарных скобок Пуассона интегралов. Действительно, К-% ,

Теорема 7 утверждает, что при выполнении условия (10), гамильтонова система с гамильтонианом Н интегрируется в квадратурах. Теорема 7 дополняет теорему А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко С2.4 1 об условно-периодическом характере движения гамильтоновых систем полностью интегрируемых с некоммутирую-щими интегралами. Напомним формулировку этой теоремы. Пусть - симплектическое многообразие, ( р Н)

- гамильтонова система с гамильтонианом Н , F^ FK

- набор функционально независимых интегриалов, такой, что не только их функциональная оболочка У , но и линейная оболочка Q- замкнуты относительно скобки Пуассона. В этом случае Gj- - алгебра Ли. Пусть i<гъс1 Q- (см. С4Ц ) -коразмерность типичной орбиты коприсоединенного действия соответствующей группы Ли. Теорема А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко утверждает условно-периодический характер движения гамильтоновой системы (Iffisj Н) с интегралами F. F в t * ? Is

- Ak окрестности компактной поверхности уровня интегралов при условии dim, Ш = oUitlGc + urbcLGc . (II)

Выбрав в окресности точки общего положения базис (9) функциональной оболочки интегралов F Р находим

I * У Гч числа т и гь : m-= ыго£ Gr 0 п= £-(окуп Gr - G J.

Подставив выражения для ttt и в (10), получим (II).

Следовательно, условие (10} является обобщением условия (II).

В работе [2А] также поставлен вопрос о связи полной интегрируемости систем в указанном выше "некоммутативном" смысле (то есть с некоммутирующими интегралами) с обычной вполне интегрируемостью по Лиувиллю, и доказано, что полная интегрируемость с редуктивной алгеброй Ли интегралов, линейные образующие которой функционально независимы, влечет вполне интегрируемость по Лиувиллю. Теорема 8 снимает ограничение функциональной независимости при условии полупростоты образа соответствующего отображения момента.

Далее в диссертации исследуются условия, обязывающие алгебру Ли интегралов быть компактной. В связи с этим, отметим работу [3£]| , в которой доказана компактность всякой конечномерной алгебры Ли функций на компактном симплектическом многообразии. Лемма 12.I утвервдает, что конечномерная алгебра Ли интегралов гамильтоновой системы, каждая изоэнергетическая поверхность которой компактна, является компактной алгеброй Ли. Так как для компактных алгебр Ли условие полупростоты образа отображения момента выполнено автоматически, то в условиях

- AS леммы 12.I полная интегрируемость с некоммутативной конечномерной алгеброй Ли интегралов всегда влечет вполне интегрируемость по Лиувиллю. При этом, коммутирующие интегралы полиномиально выражаются через некоммутирующие (теорема 9).

Дальнейшие исследования главы относятся к геодезическим потокам на однородных пространствах, конструкция которых повторяет конструкцию геодезических потоков метрик d и cL ^^g из первой главы диссертации. В случае, когда однородное пространство lit является симметрическим пространством компактной полупростой группы Ли теорема 10 утвервдает наличие (не Оу -инвариантных) римановых метрик на YL , геодезический поток которых вполне интегрируем по Лиувиллю. Важным шагом в доказательстве теоремы 10 является теорема А.С.Мищенко [2Э] о "некоммутативной" интегрируемости произвольной CJ -инвариантной гамильтоновой системы на кокасательном расслоении Т** Ж, » для любого симметрического пространства

В последнем параграфе третьей главы диссертации мы возвращаемся к уравнениям Эйлера (6), (7) с сингулярными операторами ^а&ь • 0ценки числа независимых интегралов уравнений (6) и (7), данные в теоремах 5 и 6 находят свое логическое завершение в теореме II, которая утверждает их полную интегрируемость (алгебры Ли интегралов при этом могут быть и некоммутативными).

Четвертая глава диссертации посвящена построению некоторых полностью интегрируемых гамильтоновых систем на нередуктивных алгебрах Ли. Пусть Gr - произвольная алгебра Ли,

- 46

А - коммутативная, ассоциативная алгебра. Тензорное произведение Gr®A обладает естественной структурой алгебры Ли: для любых элементов ^ ^ g Q ? е А выполнено равенство

Для алгебр А , являющихся тензорным произведением алгебр усеченных многочленов,

В.В.Трофимов ЦЗ^Л (см. также С^-О] ) нашел алгоритм, который по полиномиальной функции 4 на дуальном пространстве G* и элементу а,- . £Ьк строит функцию -(Л на дуальном л к пространстве (Gr ® А )* , таким образом, что для любых функций i 5 ^ на G* и для любых элементов £ равенство нулю скобки Пуассона функций влечет равенство нулю скобки

Пуассона функций ' l,f} = 0 (12)

Более того, теорема В.В.Трофимова утверждает, что для полного коммутативного набора функций ^ на G* функции ввда , где б =-Г, 3 5 ct = ? образуют полный коммутативный набор на дуальном пространстве (Gr® А )*• Теорема 12 настоящей диссертации усиливает теорему В.В.Трофимова по двум направлениям. Во-первых, утверждается, что в теореме В.В.Трофимова алгебру усеченных

OL

- П многочленов А можно заменить алгеброй когомологий замкнутого ориентируемого многообразия или любой другой ассоциативной градуированной алгеброй с двойственностью Пуанкаре. Во-вторых, слегка изменено определение функции £ даже для алгебр усеченных многочленов. Благодаря этому, теперь выполнено равенство которое усиливает утверждение В.В.Трофимова (12). Так как в формуле (13) инволютивность функций не предполагается, то теорема 12 позволяет размножать интегрируемые системы на алгебрах Ли и в том случае, когда алгебра Ли интегралов некоммутативна. В качестве размножаемой гамильтоновой системы может быть, например, взята рассмотренная выше система (8) на <*>о($) . В результате размножения получаются полностью интегрируемые системы на 40 ($) ® А

Для компактных полупростых алгебр Ли Q- в работе [25J (см. также С26Д ) построена так называемая "компактная" серия полных коммутативных наборов полиномиальных функций на GJ-* , а также для некоторых компактных алгебр Ли - "нормальная" серия. С другой стороны, в работе [33] построена серия полных коммутативных наборов полиномиальных функций на * , играющая в данном случае роль упомянутой компактной" серии. Здесь Efa) - алгебра Ли группы Ли ^{п,) движений XI-мерного евклидова пространства. Тринадцатая теорема диссертации утверждает полноту некоторых полиномиальных коммутативных наборов функций на BE(гъ)* , играющих в

- лг данном случае роль наборов "нормальной" серии. Функции из этих наборов получаются сдвигами инвариантов алгебры Ли ftj/R)* fRZri , с последующим ограничением на алгебру Ли £"0г)= -боОО* ffc^ , которая рассматривается как подалгебра в tRz,b . Наборы функций этой серии являются наборами коммутирующих интегралов некоторых уравнений вида а = (си/ oLH(x))*?c, осе ЕМ*. (14)

Отметим, что при К-3 и положительно определенной квадратичной функции И уравнение (14) совпадает с известной системой Кирхгофа динамики твердого тела в идеальной жидкости. В нашем случае, однако, квадратичная функция Н не вырождена, но знаконеопределена. Для явного указания интегралов необходимо найти полный набор инвариантов алгебры Ли ofi(п-^ IR ) !RZYb. Инварианты этой алгебры Ли мы получаем "сжатием" инвариантов алгебры Ли i+-f, IR ) .

Перечислим коротко основные результаты диссертации:

1. На сфере J?*1"1 построена метрика, конформно эквивалентная метрике >г-осного эллипсоида, такая, что ее геодезический поток вполне интегрируем по Лиувиллю.

2. На каждом симметрическом пространстве полупростой компактной группы Ли О^ построены вполне интегрируемые геодезические потоки не инвариантных относительно CPJ- римановых метрик.

3. Для каждой простой вещественной расщепленной алгебры Ли Q на максимальной компактной подалгебре Кс Q- построены полностью интегрируемые уравнения, обобщающие уравнения Эйлера it -мерного твердого тела с тензором инерции, у которого

- АЧ

Ли интегралов при этом вообще говоря некоммутативна.

4. Доказало, что для всякой гамильтоновой системы, для которой все поверхности постоянного значения гамильтониана компактны, любая конечномерная алгебра Ли интегралов компактна.

5.Доказано, что для гамильтоновой системы полностью интегрируемой с компактной алгеброй Ли интегралов из некоммутирующих интегралов полиномиальным образом можно составить попарно коммутирующие независимые интегралы в количестве равном половине размерности фазового пространства.

6. На дуальном пространстве ЕСИ*)*" построены вполне интегрируемые уравнения, конструкция которых моделирует алгебраическую конструкцию Манакова вполне интегрируемых уравнений Эйлера на -50(»г) , с заменой -Ьо(уи) на Е^(уь) . В частности выяснено, что квадратичные гамильтонианы таких систем всегда знаконеопределены.

7. Предложен способ построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем с полиномиальными интегралами на расширениях алгебр Ли при помощи коммутативной ассоциативной градуированной алгебры с двойственностью Пуанкаре.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., профессору А.Т.Фоменко за внимание к работе и подцержку.

- 2.0

Глава Т . Построение вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере .

§2. Уравнение Эйлера. В этом параграфе напоминаются необходимые для дальнейшего факты об уравнении Эйлера динамики ft-мерного твердого тела с закрепленной точкой.

Евклидово ц-мерное пространство обозначается /К*1 .

Пусть е- ( i-J^.^h, ) - элементы IR** , образующие tb ортоноршрованный базис. Для точки ос = ]ЕГ е^ числа называются координатами этой точки относительно пространства. Рассматривается задача о движении /г.-мерного твердого тела с закрепленной в нуле точкой, при отсутствии внешних сил. Выберем в твердом теле ^ точек. Соответствующие ть / элементы пространства IR обозначаются . Далее считается, что точки выбраны таким образом, что элементы б/ образуют ортонормированный базис в IR . Для точки ос = JZ числа х.^ называются координатами относительно тела. Матрица X — II ® Ц , где ej, = 2Z однозначно определяет положение о <Г тела. Следовательно, конфигурационным пространством твердого тела с закрепленной точкой является группа Ли

SOO«О . у •

Матрица JQ= X" X называется угловой скоростью относительно тела. Здесь и далее производная по времени Ь обозначается точкой (или ). Кинетическая энергия твердого тела определяется по формуле

- где ^(ос.) - плотность распределения массы в точке sc. , О я \[J2: • [I » 2е!. - координаты относительно тела, у п V* об 5С - элемент ки-эдерного объема. Для любых ^^ интегралы Jgt^x^ ) (C^bc. обозначим Ху . Имеем

При замене репера , числа Х- преобразуются как компоненты квадратичной формы. Поэтому, можно считать, что подвижная система координат выбрана таким образом, что Х^ = <Гу, ~L'V Здесь и далее - символ Кронекера. Получаем окончательное ч выражение для кинетической энергии

Т = i И (Г,,. I, ) л? . О) i<J<£ к- 0

Скалярное произведение кососишетрических матриц Н = 1(МщЦ и К (( определяется формулой

М,Л>=Ц И^Ли (4)

Кинетическим моментом относительно тела называется кососим-метрическая матрица М , такая, что

Т= £ <M,i2>. С5)

Из формул (3),(4),(5) находим кинетический момент

M=Ii2+i2J. <б)

Как было отмечено выше, конфигурационным пространством в задаче о движении твердого тела с закрепленной точкой является

- 22 группа Ли SO (п*) , следовательно фазовым пространством является кокасательное расслоение Т*SOCл*) . Матричные элементы кинетического момента М далее рассматриваются как функции на фазовом пространстве. Из формул (5),(6) находим гамильтониан

Матричные элементы М^; удовлетворяют дифференциальному а уравнению у- L 5 vJ * где - скобка Пуассона. Для попарных скобок Пуассона матричных элементов кинетического момента имеем следующие соотношения: (М^М м}:0-3 О) при jr * Так как гамильтониан Н зависит лишь от М^ > то из соотношений (9) вытекает важный вывод, что правые части уравнений (8) выражаются через компоненты кинетического момента. Следовательно, для нахождения

М^ как функций времени достаточно решить систему дифференциальных уравнений (8), порядок которой значительно меньше, чем размерность фазового пространства. В этом и состоит п-мерная редукция Эйлера.

Все дифференциальные уравнения (8) удобно объеденить в одно матричное дифференциальное уравнение М

10) где £ MJ1-J2 М - коммутатор матриц. Уравнение

10) называется уравнением Эйлера С 41 . Уравнение (10) имеет очевидные интегралы

Кроме того,в силу (8), интегралом движения является величина Н=И(М) . При Уь~ 3 интегралы Н(М) hzacjiiM2-) независимы и других независимых интегралов нет. Замечательно, что при М-^ 4 уравнение Эйлера (10) имеет дополнительные независимые интегралы. Так в работе [2 указаны квадратичные интегралы

CJn)=ZL cm

Интегралы C^ могут быть выражены через М

J. Л+4 J. Ь + 1

CJM)= 21 c'l Mq (12) и поэтому имеют смысл скобки Пуассона 3 С^ . Как доказано в работе интегралы С коммутируют.

При 4 уравнение Эйлера (10) имеет четыре независимых интеграла: Н- у ~Ьш.сл.(М2'}= ^ э С3 и других независимых интегралов нет. При Уъ^ 5~ помимо интегралов и С. есть и другие интегралы. Действительно, как замечено в работе С231 , уравнение Эйлера (10) допускает эквивалентное представление с независимым параметром Л где CL- Х2"^ -&= X у Х- II II - симметрические матрицы. Из такой записи уравнения Эйлера вытекает, что функции 'Оия.се, ((М+ А ot)K ) - интегралы уравнения Эйлера, для любых К и Д Вместо интегралов Ъик.с& ((М +Да. )к) иногда бывает удобно перейти к интегралам * (М ) , которые по-определению, являются коэффициентами при Л в полиноме

Прямое вычисление показывает, что

Сравнивая (12) и (14), находим, что набор интегралов Мшценко Cjj эквивалентен набору квадратичных интегралов К1 . В работе Е2 3Д , используя теорему Б.А.ДубровинаЙ9,20| об интегрируемости в тэта-функциях некоторых матричных дифференциальных уравнений, доказана интегрируемость уравнений Эйлера (10) в тэта-функциях алгебраической кривой, заданной уравнением

15)

Упомянутая теорема Дубровина утверждает также интегрируемость по Лиувиллю некоторых матричных систем, среди которых (как это и заметил С.В.Манаков Г23] ) имеется рассширенное

- 25 уравнение Эйлера. Здесь под рассширенным уравнением Эйлера понимается уравнение М = LM , JTL 3 , где

- произвольные комплексные матрицы с нулевой диагональю и связанные линейнным соотношением М = JL^I +J2 X . Непосредственно применить теорему Б.А.Дубровина к доказательству вполне интегрируемости уравнения Эйлера (10) с набором интегралов -$к ^ не удается, так как кососимметрические матрицы не образуют общего положения среди всех матриц с нулевой диагональю. Более того, используемая Б.А.Дубровиным симплектическая структура обращается в ноль на подпространстве кососимметрических матриц и не совпадает с симплектической структурой, которая получается редукцией из симплектической структуры фазового пространства Т * Sf О (fa) . Все это означает, что интегралы ^ требуют дополнительного исследования на полноту и инволютивность, которое и было проделано в работах: 5"} 2 6 Д .

В дальнейшем большую роль играет тот факт, также отмеченный С.В.Манаковым L23] , что функции * являются интегралами уравнения Эйлера обобщенного твердого тела, которое отличается от п,-мерного твердого тела лишь выражением для кинетического момента Ч

М ■ ■ = ——- г) (16) ч lli<t5 где i, ^ь " пРоизвольные константы. Это следует из того, что уравнение (16) является достаточным и необходимым условием представимости уравнения Эйлера (10) в виде (13).

Теперь инволютивность квадратичных интегралов к-1 уравнения Эйлера можно получить без каких-либо дополнительных вычислений. Действительно, рассмотрим твердое тело с кинетическим моментом м- = Лс:Ч- о

6 Af-Ht

L с где 4 ^ -i - некоторое целое число. Из сказанного следует, что функции являются интегралами движения обобщенного твердого тела с гамильтонианом

I = | ZL Hf сад

Следовательно, для любых К,-5 скобка Пуассона

Ч*, * Л = 0. да)

Из формулы (14) находим, что 2(Кн) ft^ , поэтому попарная инволютивность функций вытекает из (19).

К" 1

§3. Построение (2.Н.-3 )-параметрического семейства интегрируемых геодезических потоков на сфере S^"1 •

Сфера S>n1 задается уравнением ос/ -к. + се^ = V. (I)

Кокасательное расслоение Т * задается системой

- z%

Подстановка M •• ^ i- Р0 переводит квадратичные л ( Q * интегралы f- K Jf (2.14) уравнения Эйлера (2.10) в квадратичные по р функции

- «f /. 2 - ^ ■ (3)

Этаже подстановка переводит функции

4 2. ^ ьу

4) в функции

-Г

5)

Метрику на сфере р , соответствующую квадратичному гамильтониану H^g (сс^ р) обозначим ol

Теорема I. Пусть матрицы ос, & такие, что л*,,a-b^^^f&r-jtru)и а* >••• Тогда: а) Геодезический поток на 71*iS"t"'f римановой метрики . вполне интегрируем по Лиувиллю с набором независимых квадратичных интегралов в инволюции Hi 7. ? . б) Если = -» Для каждого и от до и* 9 то при замене ySJ'c*^ = ^ метрика переходит в метрику ь^Ус'Л ^ -2Г fafc)2' конформно эквивалентную метрике у,^) эллипсоида, заданного заданного уравнением if + = ^ (6)

Доказательство, а) Так как подстановка М„yX-cPj'-^f Pi, переводит функции в Нк и ^ - в Hag » то инволютивность интегралов следует из инволютивности интегралов „ , , .„, , и ^ движения обобщенного твердого тела с кинетическим моментом (2.16), доказанной в конце предыдущего параграфа. Для доказательства независимости И находим матрицу частных производных

Ш. в точке /г jjeT*?"'1 о координатами

О,**-*, JV--/V.' -1, р*.- fceeM lUil -ft о

Для вычисления определителя матрицы // // сделаем следующие элементарные преобразования. Сначала вычтем из ( ус-1 ) —ой сроки (л-2)-ую строку, умноженную на осл , затем - из (л-2. )-ой строки вычтем (>г-3 )-ю строку, умноженную на CL^ и так далее. В результате получится матрица llccf ^//. определитель которой отличен от нуля, так как А<>.> ои^. б) В каждой точке сее S*""9 » такой, что >о fV дифференциалы образуют базис кокасательного пространства J? • Пусть уэ, - соответствующие этому базису линейные координатные функции на Т S п~1

- 29

Таким образом, функции 'эсп1, р^ образуют систему координат в области rT*Sn'~i , заданной неравенством О . Из (2) находим выражение для :

Pi = Pi ~ Д «ц-f fVJ , • « »

Подставляя выражения для ^ через ос^ з уо^ находим / -р»" ^-^ »

Далее находим в локальных координатах а^ э ^ : М.-2. И.—f -Л*1 it-л fr-i g" | F(A-X)FT,

- 30 где P=6Pf J—J pn-t ) » T ~ транспонирование,

Отсюда находим выражение для лагранжиана, соответствующего гамильтониану" ^^C^ijp) '

Г7 \ — ^ . где з ^a-t) - строка. Лагранжиан LC^^zc ) является лагранжианом свободной частицы на сфере £>л"*с метрикой ^ 3 ^ = Находим матрицу (А - Х ^ • л-" + A-iXA-1+A-i7A"'XA"'+. •

Заметим, что А * X ) fij, =

-f -f -1 -1 ос. С = (*■<- я>;= = 6V и.--f где б — С * Л' ^^ • Поэтому

К = 1 к-л

Далее

4 -/

K = ri

Следовательно, л-< м---)

Так как

-.-OBft^ n-i п * Г i \2. то л /'^х. д&. ас. dot; ct-х. и

Л*4 ля 2. 4 i и > ^ 6

L £ <F и-л *

Замена с»^ = ^ переводит метрику ^ в метрику ? ^ ^ ^j^J ^ конформно эквивалентную стандартной метрике эллипсоида, заданного уравнением (6). Теорема доказана.

- 32

§4. Построение ( 2n."i )-параметрического семейства вполне интегрируемых геодезических потоков на сфере Я*1"* . Сфера JS?11""1 задается уравнением <. (и

Кокасательное расслоение 7"t*S'1~'f задается системой уравнений ж* ® *

2)

Пусть Цa,i (( , = H^i, К - диагональные матрицы размером них . Определил на Т^S'^ ^ квадратичные по f> функции pf9 где (3) М (4)

Далее считаем, что собственные числа матриц а,^ упорядочены следующим образом

Таким образом, квадратичная функция f-^ положительно определена. Соответствующую R g метрику на £ обозначим (JL • Отметигл, что метрика cL полностью определяется независимыми параметрами, в то время как метрика сlift из §3 зависит от 2 параметров. Кроме того каждая метрика получается

- 33 предельным переходом из метрик ol при | —> оо ^

Пусть GLK=\\a* (Г^ • || - /С-тая степень матрицы ot . а

Квадратичную (по р ) функцию ^ л к обозначим F^

Теорема 2. Для параметров 0(^еГ0 положения, геодезический поток метрики ot вполне интегрируем по

Лиувиллю с набором независимых коммутирующих квадратичных интегралов •

Для доказательства теоремы 2 нам понадобится вычисление все попарных скобок Пуассона функций и .

Леша 4.1. Рассмотрим в fR*1, следующие векторные поля: э I =■ эс. Э. - ос^Э^ 5

-Э* , где и = И, . Имеют место следующие коммутационные соотношения: а) 3 б) с*» vj. 1 = ^ i г) , 2>^>2>t .

Кроме того, векторные поля 2): касаются сферы (I). с~ V V

Доказательство, а) эс^ Эк - J = С*■^ , J+о*, Э(,, а:к э^ = оа^ - ас к Q v . я П» i. 3> - , гс:2)-Э;3 =

- эс;^ + ге* Э^ = е^ . z n,

- 34

В) О.

Для доказательства последнего утверждения леммы достаточно вычислить производные II: fx2 ) Ъ: (ос2) функции X2- С

•у j ц/ * * вдоль векторных полей . Имеем

D. *«-.♦ as*) - = (9. при • Лемма доказана.

Линейным по р функциям M^j, 0 Рк на соответствуют векторные поля | grt-f ' |

Из леммы 4.1 получаем следующую лемму.

Лемма 4.2. Функции Ми ( = )» рк Ks^. гь ) образуют базис алгебры -sofri^-f) . При этом, попарные скобки Пуассона этих функций удовлетворяют следующим соотношениям: £ My, =■ МСк 7 С М^, s Р* и СРь >р/$ = •

Введем обозначения: — ? р^ ^ -строка,

М= И Mvj II ~ мюрида размером Ktxru , И - ее окаймление, м-1Гг П

Определим также марицу SL-Q. (М) размером ц-ИхИ.-И ,

- 3ST n = о . = p. L^h, ь

Л= о (8)

Лемма 4.3. Предположим, что OC^ , p^ - координаты и импульсы точки движущейся по сфере $ri"t с метрикой cL при отсутствии внешних сил. Тогда матрица М удовлетворяет дифференциальному уравнению 2 J . О)

Доказательство. Матричный элемент матрицы £м , стоящий на ( й,^)-том месте обозначим С^1 j,^ • Имеем п.-м

- Л.-4* — а г/

Xf к ' Н М„- - м,к Ик: )

ГГТ I а*-"/ л/ -«*/' fc=-t ^ ^ - «к / ' *<J- (10)

1UJ1C ЛиОЛ. ^ ^^ I находим

Для вычисления -р- используем лемму 4.2. При Ki^iv у 0 аходим rfc^ tL-eK \н м

- 36

При jf =- Ю.-И находим

12)

Сравнивая (II),(12) и (10), получаем утверждение леммы.

Линейные соотношения (6),(7),(8), связывающие матрицы SL и М , можно записать как одно матричное соотношение м ] . Ш)

Из соотношения (13) получаем эквивалентное представление уравнения (9) с дополнительным независимым параметром Л

J . (14)

Следовательно, для каждого Д величина -{Ласе. (М + А^О^ не изменяется с течением времени. Функциональный коэффициент при а* в полиноме (М +■ у cij** i обозначим ^(R ),

Из вышесказанного следует, что ^ - интегралы геодезического потока метрики Л ^ ^ . Находим явное выражение для квадратичных интегралов

КчсМ > = - ^ if 0 к к ZT < - Г

Доказательство теоремы 2. Из формулы (15) следует, что функции = ^г к- -f - интегралы геодезического потока метрики oL^^g • Пусть - произвольные целые числа, матрица 4> •= OL*"' .Мы уже доказали, что F7^ - интеграл геодезического потока метрики oL&zag Следовательно, скобка Пуассона {э и инволютивность интегралов j доказана. Для доказательства независимости можно использовать теорему I. Действительно, при оо имеем ~ Нк » а независимость функций Н/э ••• j следует из теоремы I.

§5. Построение геодезических потоков в терминах гамильтоновой редукции.

Используя квадратичные интегралы yi -мерных аналогов уравнения Эйлера (2.10), допускающих эквивалентное представление (2.13) с независимым параметром Л , мы построили на сфере (2И-3)-параметрическое семейство римановых метрик > геодезический поток которых вполне интегрируем по Лиувиллю (теорема I). В настоящем параграфе мы определим

- 38 эти геодезические потоки в терминах приведенного фазового пространства (см. и установим таким образом связь с известной редукцией Пуассона (случай И«3 см. \ji , 32j ).

Рассмотим задачу о движении обобщенного It-мерного твердого тела с неподвижной точкой при отсутствии внешних сил (см. §2). Фазовым пространством является кокасательное расслоение 7) » элементы которого представляются парами ( М ) , где Х- //яз^г // - ортогональная матрица, 7 задающая положение твердого тела, М - кососимметрическая матрица, задающая кинетический момент относительно подвижной системы координат (тем самым фиксируется левоинвариантная тривиализация T^JSfOfrO S^O(^) х 4 о (и*) ).

Напомним определение метрик oi . Уравнение Эйлера М — L М J обобщенного твердого тела с гамильтонианом

1 t * эквивалентно системе дифференциальных уравнений

3- (2)

Кокасательное расслоение Т* задается системой алгебраических уравнений

3)

Подстановка N^ = x^f^-x^ Jo. переводит функции определенные на Т *j30(*>) , в квадратичные по р функции на . Метрика d't^g , по-определению, является преобразованием Лежандра квадратичной функции H^g

Предположим, что твердое тело вращается таким образом, что в некоторый момент времени М - кососимметрическая матрица ранга 2, такая, что для ц J. =■ . 7 /V для подходящих чисел р^ . Вектором Пуассона называется вектор о:<£ fR*1 с координатами .

Теорема 3. Предположим, что для движения обобщенного твердого тела в некоторый момент времени выполнено условие (5). Тогда это условие выполнено и в любой другой момент времени. Вектор Пуассона движется при этом по сфере также, как двигалась бы по сфере J?*""* с метрикой ol-S^g точечная частица при отсутствии внешних сил.

Доказательство. Движение частицы по сфере описывается вистемой дифференциальных уравнении

Для всякого решения у piCt) системы (6) функции

М^^)=х.^Й)-^^;удовлетворяют системе lt><Li(M) , 3 (?) задающей изменение величин сс^^ . Кроме того, если в некоторый момент времени t0 решение системы (7) удовлетворяет усовию (5), то это и означает, что данное решение системы (7) соответствует некоторому решению системы (6).

- АО

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. W~YL • м*: ^Р» 1972.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. Ж,0/Г. М.: Мир, 1978.

4. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир,1978.

5. Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980.

6. Картан Э. Интегральные инварианты. М-Л.: ГИТТЛ, 1940.

7. Захаров В.И., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов. М.: Наука, 1980.

8. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964.

9. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований.М.: ИЛ,1947.

10. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера, связанные с фильтрациями алгебр Ли. Матем. сб., 1983, т.121, вып.2, с.233-243.

11. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. 0 решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли. Функц. анализ,1982, т.16, вып.З, с.1-29.

12. Браилов А.В. Инволютивные наборы на алгебрах Ли и расширение кольца скаляров. Вестн. МГУ, сер. матем., мех.,1983, ЖЕ, с.47-51.

13. Браилов А.В. Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйлера и приложения. ДАН СССР, 1983, №5, т.268, с. 1043-1046.- АЛ2

14. Браилов А.В. Полная интегрируемость некоторых геодезических потоков и интегрируемые системы с некоммутирующими интегралами. Докл. АН СССР, 1983, т.271, №2, с.273-276.

15. Веселов А.П. Конечнозонные потенциалы и интегрируемые системы на сфере с квадратичным потенциалом. Функц. анализ, 1980, вып.1, с.48-50.

16. Вишик С.М. Движение обобщенного твердого тела и гидродинамические модели. В кн.: Гледзер Е.Б., Должанский Ф.В., Обухов А.Н. Системы гидродинамического типа и их применение, м.: Наука, 1981.

17. Дао Чонг Тхи. Интегрируемость уравнений Эйлера на однородных симплектических многообразиях. Матем. сб., 1978,т.106, Ш, с.154-161.

18. Дикий Л.А. Замечание о гамильтоновых системах, связанныхс группой вращений. Функц. анализ, 1972, №6, вып.4,с.83-84.

19. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С.П. Нелинейные уравнения типа Кортевега де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. - УМН, 1976, т.31, Ж,с.55-136.

20. Дубровин Б.А. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с матричными операторами, и абелевы многообразия. Функц. анализ, 1977, т.II, вып.4, с.28-41.

21. Козлов В.В., Колесников Н.Н. Об интегрируемости гамильтоновых систем. Вестн. МГУ, сер. матем.мех., 1979, М>,с.88-91.

22. Кричевер И.М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии. Функц. анализ, 1977, т.II, вып.1, с.15-31.- т

23. Манаков С.Б. Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики м-мерного твердого тела. Функц. анализ, 1976, т.10, вып.4, с.93-94.

24. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем. Функц. анализ, 1978, т.12, вып.2, с.46-56.

25. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли. Изв. АН СССР, сер.,матем., 1978, т.42, №2,с.396-415.

26. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрируемость уравнений Эйлера на полупростых алгебрах Ли. В кн.: Труды семинарапо векторному и тензорному анализу, вып.XIX. МГУ, 1979,с.3-94.

27. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями. В кн.: Труды семинара по векторному и тензорному анализу, вып. XX. МГУ, 1981, с.5-54.

28. Мищенко А.С. Интегралы геодезических потоков на группах Ли. Функц. анализ, 1970, М, вып.З, с.73-78.

29. Мищенко А.С. Интегрирование геодезических потоков на симметрических пространствах. Матем. заметки, 1982, т.31, вып.2, с.257-262.

30. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. УМН, 1981, т.36, №5, с.109-151.

31. Нехорошев Н.Н. Переменные действие-угол и их обобщение. В кн.: Труды ММО, т.26. М •: МГУ, 1972. с.181-198.

32. Татаринов Я.В. Глобальный взгляд на динамику твердого тела. Переход к приведенной системе. Вестн. МГУ, сер. матем., мех., 1978, №5, с.93-98.- Ш

33. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Динамические системы на орбитах линейных представлений групп Ли и полная интегрируемостьнекоторых гидродинамических систем. Функц. анализ, 1983, т.17, вып.1, с.31-39.

34. Трофимов В.В. Вполне интегрируемые геодезические потоки левоинвариантных метрик на группах Ли, связанные с коммутативными градуированными алгебрами с двойственностью Пуанкаре.- Докл. АН СССР, 1982, т.263, М, с.812-816.

35. Трофимов В.В. Конечномерные представления алгебр Ли и вполне интегрируемые системы. Матем. сб., 1980, т.III, №4, с.610-621.

36. Трофимов В.В. Уравнения Эйлера на конечномерных разрешимых группах Ли. Изв. АН СССР, сер. матем., 1980, т.44, c.II9I-II99.

37. Фоменко А.Т. 0 симплектических структурах и интегрируемых системах на симметрических пространствах. Матем. сб., 1981, т.115, №2, с.263-280.

38. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега де Фриза вполне интегрируемая гамильтонова система. - Функц. анализ, 1971, т.5, вып.4, с.18-27.

39. Богоявленский О.И., Новиков С.П. О связи гамильтоновых формализмов стационарных и нестационарных задач.- Функц. анализ, 1976, т.10, вып.1, с.9-13.49. FWUU Н. TZoUclPloft. Жиъ. PJyS.) V.54, рЛо1-Ч<1(>.

40. Манаков С.В. 0 полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ, 1974, т.67, Ш, с.543-555.

41. Ольшанецкий М.А., Переломов A.M. Явные решения некоторых вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Функц. анализ, 1977, т.II, вып.1, с.75-76.

42. Переломов A.M. Несколько замечаний об интегрируемости уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости.- Функц. анализ, 1981, т.15, вып.2, с.83-85.oLtfawduyК,. -АЛ: иь HouUt.? -iMSj vjG^.id* -220,

43. Переломов A.M. Представление Лакса для систем типа С.Ковалевской. Функц. анализ, 1982, т.16, вып.2, с.80-81.totfjuktcox* . w49) и so7 p. 249

44. Семенов-Тян-Шанский M.A. Что такое классическая ^-матрица- Функц. анализ, 1983, т.17, вып.4, с.17-33.

45. Пидкуйко С.И., Степин A.M. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем. Докл. АН СССР, 1978, т.239, М, с.50-53.

46. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа. Докл. АН СССР, 1982, т.266, №, с.1298-1300.

47. Колокольцов В.Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом. Изв. АН СССР, сер.матем, 1982, т.46, №5, с.994-1010.

48. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике 1,11. Функц. анализ, 1982, т.16, вып.З, с.30-41, 1983, т.17, вып.1, с.8-23.

49. Новиков С.П. Периодическая задача Кортевега де Фриза I.- Функц. анализ, 1974, т.8, вып.З, с.54-66.

50. Ko&tovwt 3. Qu,cvufaQocbLGrn, cu^ot- т

51. OUkouruJbiM.^ М.АA.M. Ezxp£cov6 ^atuAl&n* of- CZjlmm,OJLTorlcL ггизпМ*. ModL.^ -me,* 54.

52. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Алгебры токов и нелинейные уравнения в частных производных. ДАН СССР, 1980, т.256, №6, с.1310-1313.

53. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на шестимерных алгебрах Ли. ДАН СССР, 1983, т.268, ЖЕ, с.ПЖ.

54. Богоявленский О.И. Интегралы четвертой степени для уравнений Эйлера на шестимерных алгебрах Ли. ДАН СССР, 1983, т.273, М, с.15-18.

55. Микитюк И.В. Однородные пространства с интегрируемымиб--инвариантными гамильтоновыми потоками. Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, №6, с.1248-1263.

56. Трофимов В.В. Методы построения ^-представлений.- Вестн. MI7, сер. матем., мех., 1984, Щ, с.3-9.

57. Трофимов В.В. Расширения алгебр Ли и гамильтоновы системы.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1983, т.47, №6, с.1303-1322.

58. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувиллю гамильтоновых систем на алгебрах Ли. УМН, 1984, т.39, вып.2, с.3-56.

59. Браилов А.В. Серия вполне интегрируемых гамильтоновых систем на полупрямом произведении ЪоС*')* fR^ .В кн.: Геометрия и топология в глобальных нелинейных задачах. Воронеж, Изд-во ВГУ, 1984, с.145-148.

60. GruuflUsnbn, V.} Si&ui&vcfy Я» rrborruuct тарol^JL ciMsijJzcb^ mjrkon,. -Ашь. Pfyb., V9 к 424 р. 220-25"3.