Космологические модели Фридмана в обобщенной гамильтоновой динамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Обобщенный гамильтонов формализм Дирака для систем со связями в приложении к теории гравитации Эйнштейна

1.1 Обобщенный гамильтонов формализм и методы редукции

1.2 Гамильтонова формулировка гравитации

1.3 Квантование гравитации методом Уиллера - ДеВитта

Глава 2 Действие для полевых моделей Фридмана

2.1 Уравнения Эйнштейна - Фридмана

2.2 Действие Гильберта для моделей Фридмана в 3+1 разбиении

2.3 Результаты

Глава 3 Гамильтонова редукция моделей Фридмана со скалярным полем

3.1 Скалярное поле с минимальной связью

3.2 Модель с конформным скалярным полем

3.3 Наблюдаемые

3.4 Преобразование Ббкенштейна

3.5 Результаты

Глава 4 Особенности редукции моделей со спинорными полями

4.1 Массивное спинорное поле

4.2 Модель с конформными скалярным и спинорным полями

4.3 Результаты

Глава 5 Квантование

5.1 Связь уравнений Уиллера - ДеВитта и Шредингера

5.2 Сравнение эволюции классической и квантованной систем

5.3 Результаты

В 1922 году A.A. Фридман применил уравнения общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна к описанию Вселенной в целом, предположив однородность и изотропность пространства, заполненного веществом в виде идеальной жидкости с заданным уравнением состояния [1]. Найденные им решения кардинально изменили существовавшие космологические представления, Вселенная оказалась нестационарной. Подтверждением этого фундаментального предсказания фридмановской космологии стало крупнейшее открытие в астрономии нашего века - "красное смещение" в спектре галактик [2]. Однако при описании раннего этапа развития Вселенной модель столкнулась с трудностями. Эти трудности связаны с известным фактом, что в решениях уравнений Эйнштейна при очень общих предположениях присутствуют геометрические сингулярности [3]. Метрика не может оставаться регулярной вне конечного промежутка собственного времени, т.е. неизбежен гравитационный коллапс, тем самым применимость классических решений ограничивается. Последовательное рассмотрение планков-ских расстояний и времен требует учета квантовых эффектов, связанных как с квантовой природой полей вещества, так и самого гравитационного поля [2].1

На пути построения квантовой гравитации существует ряд проблем как принципиального, так и технического характера. Среди них отметим непе-ренормируемость теории, связанную с размерностью константы Ньютона [6], и вопросы интерпретации вектора состояния, описывающего квантовую Вселенную, для которой не существует внешних классических приборов. Необходимость разрешения трудностей квантовой теории гравитации стимулировало развитие самой классической теории. Каноническая схема квантования будучи основана на гамильтоновом формализме потребовала выхода за рамки известных представлений классической теории. Поиски гамильтоновой формы теории гравитации Эйнштейна привели к созданию нового обобщенного гамильтонова формализма для вырожденных динамических систем [7, 8]. Вырожденная система имеет функционал действия, инвариантный относительно локальных преобразований обобщенных координат (в ОТО - общекоординатные преобразования), т.е. преобразований с параметрами, которые являются произвольными функциями от

Шри этом считается [4], что гравитационное поле может сыграть роль естественного "физического регуляризатора", устраняющего бесконечности присущие локальной квантовой теории поля и своего рода поля Хиггса единых теориях фундаментальных взаимодействий [5]. пространственно-временных переменных. Согласно второй теореме Нетер [9], если действие инвариантно относительно локальных преобразований координат и полевых функций, то имеют место тождества, связывающие уравнения Лагранжа и их производные. Это означает, что переменные являются зависимыми и динамика системы развивается не во всем конфигурационном пространстве, а на поверхности, задаваемой связями. Поэтому необходимо модифицировать саму постановку задачу Коши для эволюционных уравнений [10]. Во-первых, начальные условия не могут быть выбраны произвольным образом, а должны удовлетворять связям. Во-вторых, поскольку число независимых уравнений Лагранжа меньше числа динамических переменных, то однозначное решение может быть получено лишь для части переменных. Иными словами, при формулировке эволюционных задач для вырожденных систем необходимо выделить переменные, соответствующие физическим степеням свободы.

Теория гравитации, основанная на функционале действия в форме Гильберта - Эйнштейна [11], обладает общекоординатной инвариантностью и поэтому являет собой пример вырожденной [12] - [14] (сингулярной [15]) лагранжевой системы. Принцип общекоординатной инвариантности, приводящий к вырожденности лагранжиана, приписывает физический смысл только инвариантным величинам и вместе с тем требует присутствия в теории "лишних" степеней свободы, обеспечивающих инвариантность и не проявляющихся в наблюдаемых эффектах. Поэтому основной задачей га-мильтонова формализма ОТО является процедура редукции, состоящая в регулярном способе построения невырожденной теории (эквивалентной исходной) за счет исключения "лишних" переменных, не соответствующих физическим степеням свободы исходной системы. Постановка физической задачи подразумевает возможность построения наблюдаемых на основе исходных переменных. 2 Редукция призвана решить эту задачу. Полная калибровочно (координатно) независимая редукция в теории гравитации является по словам Айзенберга и Нестера "золотым руном" гравитации [16]. В ОТО задача выделения физических степеней свободы не решена полностью; нелинейный характер уравнений Эйнштейна не позволяет в явном виде построить переменные, инвариантных относительно общекоординатных преобразований. В связи с задачей редукции отметим, что сложнейшая проблема определения наблюдаемого времени и энергии, возникающая из-за обращения канонического гамильтониана в нуль, может быть решена только в терминах инвариантных переменных.

Стандартный подход к редукции связан с фиксацией калибровки [17]. Он основан на введении в теорию дополнительных условий (калибровок),

2Отметим, что в ОТО постановка задачи Коши на основе вариационного принципа дополнительно осложнена тем, что действие Гильберта - Эйнштейна содержит линейно вторые производные по времени. Из-за этого на границе варьирования приходится фиксировать больше условий, чем допускается порядком получаемых уравнений движения. Для корректного рассмотрения задачи необходимо применять метод Остроградского для теорий с высшими производными. устраняющих нефизические степени свободы. 3 Вопрос о достаточных условиях на калибровки, 4 гарантирующих корректность выделения физического пространства в теории гравитации является сложным и до конца не решенным. Решение задачи определения допустимых калибровок в обобщенной гамильтоновой динамике невозможно без детального знания самой структуры физического и нефизического секторов теории. Поэтому приобретает особую значимость альтернативная схема редукции, основанная на явном разделении этих секторов без введения дополнительных калибровочных условий - бескалибровочной редукции [23, 24].

При квантовании систем со связями существует две альтернативы: расширенное квантование, когда связи учитываются на квантовом уровне, как уравнения на вектор состояния, или редуцированное квантование, когда квантуется система, полученная редукцией классической системы. Обе схемы имеют свои преимущества и недостатки. Так например, конфигурационное пространство редуцированной системы обычно описывается либо нелокальными переменными либо имеет нетривиальную топологию. Однако хорошо разработанной теории квантования таких систем на сегодня нет. Кроме того в результате редукции может возникнуть проблема упорядочения операторов в физическом гамильтониане [18]. Другим аргументом в пользу квантования нередуцированной системы является желание сохранить в системе симметрии, присутствующие на классическом уровне. Но основной проблемой можно считать то, что при квантовании редуцированной системы физические величины зависят от калибровки [18]. Среди проблем, с которыми сталкивается квантование нередуцированной системы, отметим следующие. Например, при квантовании гравитации наложением связей на волновую функцию [19] оказывается, что отсутствует эволюция в системе, а волновая функция не нормируема. Решаются эти проблемы лишь в частных случаях. Остается открытым и вопрос об эквивалентности двух схем квантования. 5

Обобщенная гамильтонова динамика Дирака в применении к ОТО базируется на определенных предположениях о структуре пространства-времени. Для построения гамильтоновой формы ОТО необходимо выделение некоего параметра эволюции - времени. Основой для этого является тот факт, что кежду пространством и временем в ОТО нет полной симметрии, математически это выражается в сигнатуре метрики [20], которая является инвариантной характеристикой в данной точке вследствие закона инерции квадратичных форм. Сигнатура (+, —,—,—) соответствует важному свойству физического пространства-времени - отношению ча

3Метод фиксации калибровок использован для представления матрицы рассеяния в виде континуального интеграла [4].

4Необходимое условие принадлежности калибровочных функций к классу допустимых - отличие от нуля детерминанта Фаддеева - Попова.

5Отметим, что для интегрируемых систем квантование до редукции и после дает одинаковый результат, так как исключение переменных проводится с помощью интегралов движения. стичной упорядоченности между точками-событиями [20]. Иными словами гамильтонова форма ОТО подразумевает возможность 3+1 разбиение пространства-времени [21]. Данное разбиение означает, что 4-мерное псев-дориманново пространство представимо в виде Е ® Я,, где Е - произвольная 3-мерная пространственно подобная поверхность. Как было отмечено выше, проведение гамильтоновой редукции в ОТО для пространств такого общего положения является крайне сложной задачей. Данная задача значительно упрощается при предположении о наличии дополнительной симметрии многообразия Е 0 Я. При решении космологических задач такого рода предположения о пространстве-времени оправданы; современные данные свидетельствуют о высокой степени симметрии Вселенной на больших масштабах. В настоящей работе изучается проблема гамильтонова описания именно такой модели, получаемой из действия Гильберта - Эйнштейна в предположении об однородности и изотропности пространства-времени. Важно отметить, что даже с учетом такого упрощения, соответствующего высокой степени симметрии космологической модели, действие Гильберта - Эйнштейна сохраняет главные особенности ОТО репараметризационную инвариантность и наличие вторых производных по времени. 6

Целью работы является гамильтонова бескалибровочная редукция космологических моделей Фридмана со скалярным и спинорными полями и их квантование в редуцированном фазовом пространстве. Предлагаемая схема редукции вытекает из подхода, развитого в работах [22]- [25] и основанного на дираковском определении эволюции и наблюдаемых в системах со связями. В работе решаются следующие задачи.

1. Сформулировать обобщенную гамильтонову систему для фридманов-ских моделей с материей в виде скалярных и спинорных полей.

2. Определить условие самосогласованности задачи Коши и вариационного принципа для полученных систем, проверить согласованность уравнений, следующих из ограниченного симметрией фридмановской Вселенной вариационного принципа и уравнений Эйнштейна для рассматриваемых моделей.

3. Осуществить гамильтонову редукцию для каждой из моделей.

4. Определить гамильтониан в редуцированном фазовом пространстве и найти инвариантный параметр эволюции.

5. Проанализировать результаты, полученные в бескалибровочной редукции, с точки зрения симметрий моделей Фридмана.

6При формулировке таких систем, получаемых из общей теории наложением симметрийных принципов следует соблюдать осторожность. Предположение о симметрии до взятия вариации ведет к ограниченному вариационному принципу [16]. Возможен случай, когда из соображений симметрии некая переменная перестает быть динамической и уравнения, полученные из ограниченного вариационного принципа, могут не совпадать с уравнениями, следующими из исходной теории.

6. Провести квантование модели в редуцированном фазовом пространстве, найти соотношение между наблюдаемыми Вселенной Фридмана (фридмановское время, постоянная Хаббла, красное смещение) и инвариантными переменными редуцированной модели. Сопоставить проведенное квантование с методом Уиллера - ДеВитта.

Первая глава является вводной. В ней даются основные понятия обобщенного формализма Дирака для систем со связями и обсуждаются основные методы редукции таких систем: Дирака, Фаддеева и бескалибровочной редукции. Сделан краткий обзор модификаций действия Гильберта, направленных на решение проблем, связанных с присутствием высших производных и начальными условиями. Рассмотрено необходимое для гамильтони-зации 3+1 разбиение пространства-времени и изложена схема Арновитта -Дезера - Мизнера. Приведены гравитационные связи и их алгебра. Изложены также основные моменты квантования гравитации методом Уиллера - ДеВитта наложением связей на вектор состояния.

Во второй главе проводится анализ формулировки моделей Фридмана на уровне действия Гильберта - Эйнштейна с полями материи. Высокая симметрия Вселенной Фридмана упрощает действие, но оно сохраняет наиболее важные в рассматриваемом контексте особенности: репараметриза-ционную инвариантность и поверхностный член, который приводит к тому, что теория содержит высшие производные. При такой формулировке возникает ряд вопросов. Например, согласованность вариационного принципа и задачи Коши для уравнений движения, соответствие последних уравнениям, полученным подстановкой метрики непосредственно в уравнения Эйнштейна, возможность сравнения космологических наблюдаемых, полученных для полевых моделей Фридмана в гамильтоновой формулировке с результатами для моделей, где материя задается в виде идеальной жидкости с различными уравнениями состояния. В первом пункте используя действие для идеальной жидкости [26] показано, что степень масштабного фактора, стоящего при интеграле движения поля в гамильтоновой связи, определяет, какому уравнению состояния соответствует та или иная полевая модель. Во втором пункте непосредственным сравнением проверено, что уравнения,, следующие из вариационного принципа для модели, являются линейной комбинацией уравнений Эйнштейна, в которые прямо подставляется метрика Фридмана.

Третья глава является центральной, в ней в рамках обобщенной гамильтоновой динамики Дирака построена схема бескалибровочной редукции моделей Фридмана, в которых в качестве материи используются скалярные и спинорные поля с различными типами взаимодействия с гравитацией и друг с другом. Проводится редукция моделей с минимально взаимодействующим и конформным [27] скалярными полями, и находится решение полученных гамильтоновых уравнений. 7 Схема основана на нахождении

7Тензор энергии-импульса конформного поля является бесследовым, что позволяет провести из уравнения Гамильтона - Якоби производящей функции канонических преобразований к переменным, в которых связи становятся новыми импульсами. После преобразования система гамильтоновых уравнений расщепляется на уравнения для переменных физического сектора, не содержащие произвольных функций, и уравнений для оставшихся нефизических переменных. В итоге редукции получены гамильтонианы для космологических моделей в терминах физических инвариантных переменных с инвариантным параметром эволюции. Устанавливается отношение между фридмановскими наблюдаемыми в расширяющейся Вселенной и дираков-скими наблюдаемыми в обобщенном гамильтоновом подходе для фридма-новской космологической модели Вселенной. Показано, что вариационная процедура получения уравнений Эйнштейна из действия Гильберта со вторыми производными является самосогласованной при учете связей в ОТО. Действие Гильберта после гамильтоновой редукции приводит к корректной постановки задачи Коши для физических переменных. Действия для конформного поля и для минимально взаимодействующего связаны с помощью преобразования Бекенштейна [29]. При таком преобразовании возникает поверхностный член, который может иметь значение при квантовании методом функционального интегрирования, когда важно найти не только экстремум функционала действия, но и значение действия в этом экстремуме [30]. Полученные решения описывают самосогласованное поведение скалярного поля в нестационарной Вселенной и важны для физических приложений (инфляция, космологическая теория возмущений, механизм Хигг-са). Результаты для поведения масштабного фактора совпадают с известными [31] для модели с соответствующим уравнением вещества. Это косвенно свидетельствует о корректности проведенной редукции. Безмассовое минимально взаимодействующее скалярное поле соответствует предельно жесткому уравнению состояния вещества (скорость звука равна скорости света), безмассовое конформное скалярное поле соответствует радиации.

В четвертой главе рассматривается фридмановская Вселенная с однородными скалярным и спинорными полями. Спинорное поле описывается грассмановыми переменными и дополнительно к случаю со скалярным полем в теории возникают две связи второго рода. Они приводятся к канонической форме; после перехода к эквивалентному набору связей и канонического преобразования спинорные связи становятся парой сопряженных переменных. Как и в случае скалярного поля осуществляется каноническое преобразование, превращающее гравитационную часть гамильтоновой связи в новую импульсную переменную. Редуцированный гамильтониан сохраняется во времени. При разрешении связи относительно гравитационного импульса временным параметром становится переменная, связанная каноническим преобразованием с масштабным фактором и пропорциональная конформному времени, аналогично случаю со скалярным полем. его перенормировку в отличие от тензора для скалярного поля с минимальной связью [19, 28].

Определен параметр Хаббла, он соответствует случаю, когда Вселенная заполнена радиацией. В случае массивного спинорного поля временным параметром является время Фридмана, а параметр Хаббла соответствует "пыльной" Вселенной.

В пятой главе показана связь уравнения Уиллера - ДеВитта [19] в расширенной системе и уравнения Шредингера в редуцированной системе. Основное различие состоит в том, что в результате гамильтоновой редукции определены временной параметр и отличный от нуля гамильтониан для переменных физического сектора. После канонического преобразования в методе бескалибровочной редукции вместо гравитационной части в уравнении Уиллера - ДеВитта входит оператор дифференцирования по временному параметру. Такое "превращение" переменной во время устраняет бесконечный калибровочный фактор из функционального интеграла Хартля - Хокинга [33]. Задача квантования сведена к обычной квантово-механической задаче, Соответствующая волновая функция нормируема относительно переменных физического сектора и описывает эволюцию Вселенной в отличие от волновой функции Уиллера - ДеВитта.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

В приложении А продемонстрирована схема гамильтоновой редукции на примере действия для релятивистской частицы в форме Полякова. В приложении В обобщенной гамильтонов формализм Дирака вводится для замкнутой Вселенной Фридмана без материи используя метод Остроградского. Вторая производная входит в действие благодаря наличию поверхностного члена по времени. Такой путь приводит к появлению связей второго рода, на поверхности этих связей теория эквивалентна той, которую можно получить без учета поверхностного члена. В приложении С построены конформно-плоские координаты и генераторы конформной группы для пространства Робертсона - Уокера. В приложении Б исходя из конформной изометрии Вселенной Фридмана получен закон сохранения, соответствующий трансляции по конформному времени для модели с конформным скалярным полем. Сохраняющейся величиной является не зависящий от времени гамильтониан, совпадающий с найденным в методе гамильтоновой редукции.

Основные результаты.

1. Разработана схема гамильтоновой редукции репараметризационно инвариантных механических систем, основанная на каноническом преобразовании с производящей функцией, являющейся решением уравнения Гамильтона - Якоби.

2. Получены редуцированные гамильтонианы для моделей фридманов-ской Вселенной с материальными источниками в виде однородных скалярных и спинорных полей.

3. Показано, что сохранение гамильтониана для конформной материи или масштабного фактора в конформном времени связано с конформной изометрией Вселенной Фридмана.

4. Найдено представление для параметра Хаббла и красного смещения в терминах дираковских наблюдаемых в обобщенном гамильтоновом подходе для полевых моделей Вселенной.

5. Показано, что эволюция квантовой Вселенной, описываемой в терминах операторов дираковских наблюдаемых, совпадает с классической динамикой. Установлена связь между квантованием методом Уиллера - ДеВитта и каноническим квантованием редуцированной классической системы. Волновая функция Вселенной нормируема относительно переменных физического сектора.

Научная новизна и практические цели.

Разработанная схема гамильтоновой редукции позволяет в явном виде найти инвариантный (физический) сектор теории не внося в теорию зависимость от выбора калибровок. Это дает уверенность, что редуцированное фазовое пространство не искажено неудачными калибровками. Метод может быть использован для оценки допустимости последних. В полученных редуцированных космологических моделях Фридмана в отличие от известных в литературе определены инвариантные параметры эволюции и сохраняющемся гамильтонианы для различных видов полей материи. Показана их связь с симметриями пространства Фридмана - Робертсона -Уокера. Квантование возможно по стандартным правилам и свободно от недостатков, присущих методу Уиллера - ДеВитта. Разработанная схема гамильтоновой редукции может быть применена для самосогласованного расчета рождения частиц и тензора энергии-импульса материи во Вселенной Фридмана. Интересным представляется развитие схемы для рассмотрения гравитационных, калибровочных полей в общем случае, а также других систем со связями.

Материалы диссертации опубликованы в работах [68] - [73] и представлялись на следующих конференциях и семинарах.

1. III Международный семинар по гравитации и космологии имени Фридмана, Санкт-Петербург, июль 1995.

2. IX конференция Российского Гравитационного Общества "Теоретические и экспериментальные проблемы гравитации", Новгород, июнь 1996.

3. IX Семинар "Гравитационные волны и энергия", Дубна, декабрь 1996.

4. Семинары ЛТФ им. Н.Н. Боголюбова, ОИЯИ, 1995-98.

Заключение

Диссертация посвящена редукции в рамках обобщенной гамильтоновой динамики Дирака применительно к космологическим моделям Фридмана как точно решаемому случаю ОТО Эйнштейна, в котором сохраняется репараметризационная инвариантность. Актуальность разработки такой схемы диктуется как проблемами классического описания вырожденных теорий, так и трудностями их квантования. Отличительная особенность и достоинство обсуждаемой схемы редукции - явное выделение физического (калибровочно инвариантного) сектора теории без введения дополнительных условий (калибровок). Это приводит к возможности корректной постановки задачи Коши и следовательно, изучению классической динамики системы, а также возможности квантования системы по стандартным правилам. Результаты бескалибровочной редукции могут использоваться в определении класса допустимых калибровок в вырожденных теориях, их влияние на динамику и структуру фазового пространства физических переменных.

Предлагаемая схема редукции основана на нахождении из уравнения Гамильтона - Якоби производящей функции канонического преобразования (зависящей от новых импульсов и старых координат) к переменным, в которых связи становятся импульсами. В качестве уравнения Гамильтона - Якоби рассматривается гамильтонова связь первого рода (возникающая из-за лагранжевого множителя - функции хода в формализме Арновитта -Дезера - Мизнера). В результате канонического преобразования калибровочные параметры полностью отделяются от физического сектора, который описывается гамильтоновыми уравнениями, не содержащими произвольных функций и связей. Сопряженная импульсу, являющемуся гамильтоновой связью, переменная является репараметризационно-инвариантной, т.к. ее производная по времени равна лагранжевому множителю. Эта инвариантность связана с тем, что гамильтониан в таких теориях пропорционален связям, а коэффициенты пропорциональности есть множители Лагранжа. В новых переменных легко установить вид редуцированного действия, как действия для системы без связей, уравнения движения которой канонически эквивалентны полученным уравнениям для физических переменных. Эти переменные являются переменными типа действие-угол в редуцированной системе. После преобразований редуцированные действие и производящая функция определяются как величины на поверхности связей.

Редуцированная производящая функция используется для обратного перехода от переменных типа действие-угол к старым переменным с известной физической интерпретацией (например, масштабный фактор и скалярное поле). На этом этапе важны два момента. Первое - определение инвариантного параметра эволюции. В качестве такого параметра можно выбрать переменную, сопряженную импульсу-связи. В результате редукции этот импульс равен нулю, с другой стороны, определив зависимость редуцированной производящей функции от этой переменной дифференцированием по ней определяется физический гамильтониан. Это соответствует истолкованию времени и гамильтониана как сопряженной пары переменных в репараметризационно инвариантной форме для любой гамильтоно-вой теории [21]. Второй момент на этапе перехода к исходным переменным заключается в следующем. Как было показано в редуцированной модели Фридмана возможно или описание скалярного поля или масштабного фактора в конформном времени, т.е. либо фактор, либо поле "превращаются" во время в результате редукции. Выбор того или иного варианта аналогичен выбору координатного условия, используемого в репараметризационно-инвариантных теориях для фиксации времени и координат.

Результаты, полученные в бескалибровочной редукции, можно воспроизвести с помощью фиксации калибровки. В приложении показано, что отличие от нуля детерминанта Фаддеева - Попова не является достаточным условием для корректного выбора калибровки, приведены примеры недопустимых калибровок, приводящих к отсутствию динамики или просто к противоречию, но удовлетворяющих этому условию.

Бескалибровочная редукция при наличии связей второго рода изучается на примере моделей Фридмана со спинорными полями. Редукция их основана на преобразовании пары спинорных связей в пару канонически сопряженных переменных.

В итоге бескалибровочной редукции получены гамильтонианы для космологических моделей с различными видами скалярных и спинорных полей в терминах инвариантных переменных с инвариантным параметром эволюции. Модель, где параметром эволюции является переменная, связанная каноническим преобразованием с пространственным масштабом имеет ясную интерпретацию и описывает самосогласованно динамику однородного скалярного поля и зависимость масштабного фактора от конформного времени во Вселенной Фридмана. Конформные поля соответствуют радиации с точки зрения соответствия наблюдаемых (время Фридмана и параметр Хаббла). Минимальное скалярное поле соответствует наличию вещества с предельно жестким уравнением состояния, что также согласуется с найденными наблюдаемыми. Массивное спинорное поле соответствует "пыльной" Вселенной.

Показано, что основным моментом в проблеме Коши является наличие связей. Они следуют из общекоординатной инвариантности теории Эйнштейна и являются тождествами, а не следствиями уравнений движения как законы сохранения [55]. Для редукции не надо заботится о том, что начальные условия должны удовлетворять связям, чтобы уравнения движения имели решения. Редуцированная система описывается независимыми физическими переменными и допускает корректную постановку задачи Коши. Это становится возможным, поскольку в редуцированной системе вариационный принцип является ограниченным [16].

Показано, что результаты гамильтоновой редукции следуют из конформной симметрии Вселенной Фридмана. Получен закон сохранения, соответствующий трансляции по конформному времени в модели Фридмана с конформным однородным скалярным полем в соответствии с первой теоремой Нетер. Тензор энергии-импульса для этого поля в форме Черникова - Тагирова приводит к сохраняющемуся гамильтониану, найденному в гамильтоновой редукции.

Благодаря наличию поверхностного члена по времени в действие для моделед Фридмана входит вторая производная. Обобщенной гамильтонов формализм Дирака следовало бы вводить используя метод Остроградского. Такой путь приводит к появлению связей второго рода, на поверхности этих связей теория эквивалентна той, которую можно получить без учета поверхностного члена.

Квантование полученных моделей можно провести с помощью уравнения Шредингера в редуцированном фазовом пространстве. Эволюция волновой функции в репараметризационно-инвариантном времени определяется редуцированным гамильтонианом. Показано, что основное отличие от метода Уиллера - ДеВитта [19] состоит в том, что в результате канонического преобразования в методе бескалибровочной редукции вместо гравитационной части в уравнении Уиллера - ДеВитта входит оператор дифференцирования по временному параметру. Такое "превращение" переменной во время устраняет бесконечный калибровочный фактор из функционального интеграла Хартля - Хокинга [33].

1. A.A. Friedmann, Z. Phys. 10 (1922) 377.

2. А.Д. Долгов, Я.Б. Зельдович, M.B. Сажин, Космология ранней Вселенной. (М. Изд. Моск. Университета 1988).

3. S.W. Hawking, Ргос. Roy. Soc. А300 (1967) 187.

4. Л.Д. Фаддеев, В.Н. Попов, Успехи физ. наук 111 (1973) 427.

5. Г.А. Сарданашвили, Современные методы теории поля. Т.1 Геометрия и классические поля (УРСС, Москва 1996).

6. Д. Брилл, Р. Гоуди, Квантование обшей теории относительности, в сб. "Квантовал гравитация и топология" (М. Мир (1973).

7. Р. А. М. Dirac, Canad. J. Math. 2 (1950) 129; Canad. J. Math. 3 (1951) 1; Proc. Roy. Soc. A246 (1958) 326.

8. P.G. Bergmann, Phys. Rev. 75 (1949) 680; J.L. Anderson, PG. Bergmann, Phys. Rev. 83 (1951) 1018; P.G. Bergmann, J. Goldberg, Phys. Rev. 98 (1955) 531.

9. E. Noether, Göttinger Nachrichten, Math. Phys. Kl. (1918) H. 2, S. 235.V

10. B.B. Нестеренко, A.M. Червяков, Сингулярные лагранжианы. Классическая динамика и квантование (препринт ОИЯИ Р-86-323, Дубна 1986).

11. И. D. Hilbert, Die Grundlagen der Physik, Nachrichten K. Gessellschaft Wiss. Güttingen, Math.-phys. Klasse (1915) Heft 3, s. 395.

12. P.A.M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics. Belfer Graduate School of Science, Yeshive University, New York (1964).

13. K. Sundermeyer Constrained Dynamics, Lecture Notes in Physics N 169 (Springer Verlag, Berlin Heidelberg - New York 1982).

14. E.C.G. Sudarshan , N. Mukunda, Classical Dynamics: A Modern Perspective , (John Willey & Sons, New-York 1974).

15. D.M. Gitman, I.V. Tyutin, Quantization of Fields With Constraints (Springer Verlag, Bonn 1990).

16. J. Isenberg, J. Nester, in General Relativity and Gravitation. One Hundred Years After the Birth of Albert Einstein, vol. 1, ed. by A. Held (Plenum Press, New-York 1980).

17. P.A.M. Dirac, Phys. Rev. 114 (1959) 924.

18. JI.В. Прохоров, С.В. Шабанов, Гамилътонова механика калибровочных систем, (Изд. С.-Петербургского университета, С.-Петербург 1997).

19. B.S. DeWitt. Phys.Rev. 160 (1967) 1113.

20. Ю.С. Владимиров, Системы отсчета в гравитации (М. Энергоиздат 1982).

21. R. Arnowitt, S. Deser, C.W. Misner, in Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. by L. Witten (Wiley, New York 1962).

22. A.M.Khvedelidze, V.V.Papoyan, V.N.Pervushin. Phys.Rev. D51 (1995) 5654.

23. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, V.N. Pervushin. Phys. Rev. D53 (1996) 2160.

24. S.A. Gogilidze, A.M. Khvedelidze, V.N. Pervushin. J.Math.Phys. 37 (1996) 1760.

25. C.A. Гогилидзе, B.H. Первушин, A.M. Хведелидзе, Редукция в системах с локальной симметрией, ЭЧАЯ 30 1 (1999) 160.

26. S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, (Cambridge Univ. Press 1973).

27. N.A. Chernikov, Б.А. Tagirov, Ann. Inst. H. Poincare 9A (1968) 109.

28. A.A. Гриб, С.Г. Мамаев, В.М. Мостепаненко, Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях (М. Энергоатомиздат 1988).

29. J.D. Bekenstein, Ann.of Physics 82 2 (1974) 535.

30. R.P. Feynman, A.R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals, (McGraw-Hill Book company, New York 1965).

31. A.C. Монин, П.Я. Полубаринова-Кочина, В.И. Хлебников, Космология Гидродинамика Турбулентность (М. Наука 1989).

32. S.B. Treiman, R. Jackiw, D.J. Gross, Lectures of current algebra and its applications, (Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1972).

33. J.B. Hartle, S.W. Hawking, Phys. Rev. D28, 12 (1983).

34. M. Henneaux, C. Teitelboim Quantization of Gauge Systems (Princeton University, Princeton, NJ 1992).

35. A.J. Hanson, T. Regge, and C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian Systems(Roma: Academie Nazionale dei Lincei 1976).

36. Л.Д. Фаддеев, ТМФ 1 (1969) 1.

37. Я.В. Татарине®, Лекции по классической динамике, (М. МГУ 1984).

38. Е.Т. Уиттекер, Аналитическая динамика (М. ОНТИ 1937).

39. W.F. Blyth, C.J. Isham, Phys.Rev. Dll, 4 (1975) 768.

40. С.J. Isham, J.E. Nelson, Phys.Rev. D10, 10 (1974) 3226.

41. M.P. Ryan, Jr., and L.C. Shapley, Homogeneous Relativistic Cosmologies, Princeton Series on Physics (Princeton University Press, Princeton, N.Y. 1975).

42. A.JI. Зельманов, В.Г. Агаков, Элементы общей теории относительности (М. Наука 1989).

43. В.Н. Пономарев, А.А. Цейтлин, Вестник МГУ, сер. 3, том 20, № 5 (1979) 68.

44. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля (М. Наука 1988).

45. R. Utyama, Ph. Rev. 101 (1956) 1597.

46. С. Ryan, J. Math. Ph. 13, 3 (1972) 283.

47. D. Anderson, J. Math. Ph. 14, 7 (1973) 934.

48. G.W. Gibbons, S.W. Hawking, Ph.Rev. D15 (1977) 2752.

49. В.Н. Пономарев, А.А. Цейтлин, Вестник МГУ, сер. 3, том 19, № 6 (1978).

50. Ю.Н. Обухов, В.Н. Пономарев, Гравитация и относительность, КГУ, Киев (1978).

51. C.W. Misner, K.S. Torne, and J.A. Wheeler, Gravitation (Freeman, San Francisco 1973).

52. T. Regge, C.Teitelboim. Annals of Phys. N.Y. 88 (1974) 286.

53. R.M. Wald, General Relativity, (Univ. of Chicago Press, Chicago 1984).

54. L.P. Eisenhart, Riemannian Geometry (Princeton University, Princeton 1926).

55. E. Schrodinger, Space-time structure (Cambridge Univ. Press 1950).

56. C.G. Callan, Jr.S. Coleman and R. Jackiw, Ann. Phys. 59 (1970) 42.

57. L. Parker, Phys. Rev. D7 (1973) 976.

58. G. Magnano, L.M. Sokolowsky, Phys.Rev. D50 (1994) 5039.

59. J.N. Goldberg, General relativity and gravitation. One hundred years after the birth of Albert Einstein, vol. 1, ed. by A. Held (Plenum Press, New York 1980).

60. N.D. Birrell, P.C.W. Davies, Quantum fields in curved space (Cambridge Univ. Press 1982).

61. E.L. Hill, Rev. Mod. Phys. 23, 3 (1951).

62. B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko, Modern Geometry Methods and Applications, Part II, The Geometry and Topology of Manifold (Springer Verlag , New York 1984).

63. A.P. Lightman, W.H. Press, R.H. Price, S.A. Teukolsky, Problem book in relativity and gravitation (Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey 1975).

64. S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (John Wiley and Sons, Inc., New York 1972).

65. E.P. Wigner, Symmetries and reflections, Indiana Univ. Press, Blooming-ton London (1970).

66. Б.М. Барбашов, B.B. Нестеренко, A.M. Червяков, ТМФ 63, 1 (1985) 88.

67. B.B. Нестеренко, ТМФ 69, 1 (1986) 115.

68. S. Gogilidze, A. Khvedelidze, V. Papoyan, Yu. Palii, V. Pervushin, V. Smirichinskii. Phys. Lett. B365 (1996) 35.

69. Ю.Г. Палий, B.B. Папоян, В.H. Первушин, Астрофизика 40, 1 (1997) 125.

70. Ю.Г. Палий, В.В. Папоян, В.Н. Первушин, Астрофизика 40, 2 (1997) 303.

71. A. Khvedelidze, Yu. Paliy, V. Papoyan, V. Pervushin, Phys. Lett. B402 (1997) 263.

72. S. Goglidze, A. Khvedelidze, Yu. Palii, V. Papoyan, V. Pervushin, Gravitation and Cosmology 3, 1 (1997) 17.1. Ю. Палий, A. Хведелидзе,

73. Космологические модели Фридмана в обобщенном гамилътоновом формализме, препринт ОИЯИ Е2-99-72 (1999).