Линеаризация гамильтоновых связей и ее применение к построению конформно-инвариантной космологической модели тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1.1 Гамильтонова редукция и репараметризационная инвариантность

1.1.1 Классическая механика.

1.1.2 Релятивистская механика.

1.1.3 Классическая и квантовая космология.

1.2 Постановка задачи.

Релятивистская частица и релятивистская струна

2.1 Постановка задачи.

2.2 Релятивистская частица.

2.2.1 Динамическая система без связей

2.2.2 Интеграл по путям для причинных функций Грина

2.2.3 Геометрическая система без связей.

2.3 Релятивистская струна

2.3.1 Обобщенный гамильтонов формализм.

2.3.2 Причинная функция. Грина.

2.4 Выводы.

Полевая теория космической эволюции как решение проблемы гамильтонова описания в ОТО

3.1 Стандартная Модель в римановом пространстве.

3.2 Космическая эволюция как коллективное движение фактор-пространства А(4)/Ь.

3.3 Точные решения космологических уравнений.

3.4 Стандарты измерений.

3.5 ОТО/СТО гамильтоново соответствие.

3.6 Космическая эволюция как инерциальное движение фактор-пространства А(4)/Ь.

3.7 Конформная космология и наблюдательные данные по взрывам Сверхновых.

3.8 Первичное распределение элементов.

3.9 Выводы.

4 Космологическое рождение материи

4.1 Постановка задачи.

4.2 Векторные бозоны в изотропной модели Вселенной

4.2.1 Эволюция Вселенной.

4.2.2 Эволюция векторных бозонов.

4.2.3 Начальные данные

4.2.4 Вычисление функции распределения.

4.3 Температура реликтового излучения

4.3.1 Оценка температуры реликтового излучения

4.3.2 Влияние рожденных частиц на эволюцию Вселенной

4.4 Выводы.

При описании раннего этапа развития Вселенной стандартная космологическая модель, как известно, столкнулась с рядом трудностей, связанных с открытием реликтового излучения, существованием черных дыр, а также с известным утверждением о том, что в решениях уравнений Эйнштейна при очень общих предположениях присутствуют геометрические сингулярности [1], Метрика не может оставаться регулярной вне конечного промежутка собственного времени, т.е. неизбежно возникновение сингулярностей - тем самым ограничивается применимость классических решений. Помимо этого возникает необходимость в последовательном рассмотрении планковских расстояний и времен, требующих учета квантовых эффектов, связанных с квантовой природой как полей вещества, так и самого гравитационного поля [2].1 На пути построения квантовой гравитации существует ряд проблем как технического, так и принципиального характера. Среди них следует отметить, прежде всего, неперенормируемость теории, связанную с размерностью константы Ньютона [5], а также интерпретация вектора состояния квантовой Вселенной, для которой не существует внешних классических приборов.

Как известно, гравитационное поле определяется не самим метрическим тензором д^, а его классом эквивалентности относительно общих координатных преобразований (аналогичная ситуация имеет место и в электродинамике с абелевой калибровочной группой). Наличие неабелевой калибровочной группы значительно усложняет решение задачи, основанной на каноническом формализме и разрешении нелинейных связей. Трудности канонического квантования можно было бы обойти в ковариантной схеме, основанной на использовании метода континуального интеграла. К сожалению основные результаты в этом подходе получены лишь в рамках теории возмущений для Б-матричной постановки задачи, когда пространство-время считается асимптотически плоским, что ограничивает область его применимости слабыми полями и не позволяет рассматривать этот метод в космологии и проблеме сингулярностей.

1При этом считается [3], что гравитационное поле может сыграть роль естественного "физического регуляризатора", устраняющего бесконечности присущие локальной квантовой теории поля [4].

Эти трудности квантовой теории гравитации стимулировали, прежде всего, развитие самой классической теории, в каноническом подходе.

Поиски гамильтоновой формы теории гравитации Эйнштейна привели к созданию нового обобщенного гамильтонова формализма для вырожденных динамических систем [6, 7, 8]. Вырожденная система имеет функционал действия, инвариантный относительно локальных преобразований обобщенных координат (в ОТО - общекоординатных преобразований), т.е. преобразований с параметрами, являющимися произвольными функциями от пространственно-временных переменных. Согласно второй теореме Негер [9], если действие инвариантно относительно локальных преобразований координат и полевых функций, то имеют место тождества, связывающие уравнения Лагранжа и их производные. Это означает, что переменные являются зависимыми и динамика системы развивается не во всем конфигурационном пространстве, а на поверхности, задаваемой связями. Поэтому необходимо модифицировать саму постановку задачу Коши для эволюционных уравнений [10]. Во-первых, начальные условия не могут быть выбраны произвольным образом, а должны удовлетворять связям. Во-вторых, поскольку число независимых уравнений Лагранжа меньше числа динамических переменных, то однозначное решение может быть получено лишь для части переменных. Иными словами, при формулировке эволюционных задач для вырожденных систем необходимо выделить переменные, соответствующие физическим степеням свободы. При квантовании систем со связями существует две альтернативы: расширенное квантование, когда связи учитываются на квантовом уровне, как уравнения на вектор состояния, или редуцированное квантование, когда квантуется система, полученная редукцией классической системы. Обе схемы имеют свои преимущества и недостатки, так например, конфигурационное пространство редуцированной системы обычно описывается либо нелокальными переменными либо имеет нетривиальную топологию. Кроме того в результате редукции может возникнуть проблема упорядочения операторов в физическом гамильтониане [11]. Другим аргументом в пользу квантования нередуцированной системы является желание сохранить в системе симметрии, присущие классической теории.

Среди проблем, с которыми сталкивается квантование нередуцированной системы, отметим, например, отсутствие эволюции в системе, а также ненормируемость волновой функции при наложении связей [12]. Решаются эти проблемы лишь в частных случаях. Остается также открытым и вопрос об эквивалентности двух схем квантования. 2

Теория гравитации, основанная на функционале действия в форме Гильберта - Эйнштейна [13], обладает общекоординатной инвариантностью и являет собой пример вырожденной [14] - [16] (сингулярной [17]) лагранжевой системы. Принцип общекоординатной инвариантности, приводящий к вырожденности лагранжиана, приписывает физический смысл только инвариантным величинам и вместе с тем требует присутствия в теории "лишних"степеней свободы, обеспечивающих инвариантность и не проявляющихся в наблюдаемых эффектах. Поэтому основной задачей гамильтонова формализма ОТО является процедура редукции, состоящая в регулярном способе построения невырожденной теории (эквивалентной исходной) за счет исключения "лишних"переменных, не соответствующих физическим степеням свободы исходной системы. Постановка задачи подразумевает возможность построения наблюдаемых на основе исходных переменных 3, а редукция призвана решить эту задачу. Полная калибровочно (коорди-натно) независимая редукция в теории гравитации является по словам Айзенберга и Нестера "золотым руном"гравитации [18]. До сих пор в ОТО задача выделения физических степеней свободы не решена полностью; нелинейный характер уравнений Эйнштейна не позволяет в явном виде построить переменные, инвариантные относительно общекоординатных преобразований. В связи с задачей редукции отметим ещё, что сложнейшая проблема определения наблюдаемого времени и энергии, возникающая из-за обращения канонического гамильтониана в нуль, может быть решена только в терминах инвариантных переменных.

Как известно, стандартный подход к редукции связан с фиксацией

2Отметим, что для интегрируемых систем квантование до редукции и после дает одинаковый результат, так как исключение переменных проводится с помощью интегралов движения.

3Отметим, что в ОТО постановка задачи Коши на основе вариационного принципа дополнительно осложнена тем, что действие Гильберта - Эйнштейна содержит линейно вторые производные по времени. Из-за этого на границе варьирования приходится фиксировать больше условий, чем допускается порядком получаемых уравнений движения. Для корректного рассмотрения задачи необходимо применять метод Остроградского для теорий с высшими производными. калибровки [19, 20] с последующей редукцией расширенного фазового пространства. Он основан на введении в теорию дополнительных условий (калибровок), устраняющих нефизические степени свободы. 4 Вопрос о достаточных условиях на калибровки, 5 гарантирующих корректность выделения физического пространства в теории гравитации является сложным и до конца не решенным. Решение задачи определения допустимых калибровок в обобщенной гамильтоновой динамике невозможно без детального знания структуры физического и нефизического секторов теории, поэтому приобретает особую значимость альтернативная схема редукции, основанная на явном разделении этих секторов без введения дополнительных калибровочных условий - бескалибровочной редукции [21, 22, 23, 24]. При этом одна из переменных расширенного фазового пространства превращается в динамический параметр эволюции, а сопряженная ей переменная становится ненулевым гамильтонианом эволюции. Разрешение связей первого рода вскрывает главное отличие репараметризационно-инвариантных релятивистских систем от классических систем без связей. Репараметриза-ционно-инвариантное действие описывает сразу две классические системы без связей: динамическую (с динамическим параметром эволюции) и геометрическую (где параметром эволюции является собственное время), а также все соотношения между этими системам. Эти соотношения оказываются сугубо релятивистскими и, если придерживаться подхода с фиксацией калибровки, их физическая интерпретация наталкивается на трудности, поскольку приходится работать используя неинвариантное координатное время и нулевой обобщенный гамильтониан эволюции. Примером применения инвариантной редукции действия является дираковская формулировка КЭД [25] в терминах калибровочно-инвариантных полей, как доказательство адекватности кулоновской калибровки и инвариантного содержания классических уравнений. Как показал Фаддеев [26], инвариантная редукция действия позволяет найти фейнмановский интеграл без связей и затем интуитивно построить функциональный интеграл Фаддеева-Попова в неабелевых калибровочных теориях.

4 Метод фиксации калибровок использован для представления матрицы рассеяния в виде континуального интеграла [3].

5 Необходимое условие принадлежности калибровочных функций к классу допустимых - отличие от нуля детерминанта Фаддеева - Попова.

Обобщенная гамильтонова динамика Дирака в применении к ОТО базируется на определенных предположениях о структуре пространства-времени. Для построения гамильтоновой формы ОТО необходимо выделение некоего параметра эволюции - времени. Основой для этого является тот факт, что между пространством и временем в ОТО нет полной симметрии, математически это выражается в сигнатуре метрики [27], которая является инвариантной характеристикой в данной точке вследствие закона инерции квадратичных форм. Сигнатура (+, —,—,—) соответствует важному свойству физического пространства-времени - отношению частичной упорядоченности между точками-событиями [27]. Поэтому гамильтонова форма ОТО подразумевает возможность 3+1 разбиения пространства-времени [28], которое означает, что 4-мерное псевдориманново пространство представимо в виде Е ® Я, где Е - произвольная 3-мерная пространственно подобная поверхность. Данная задача значительно упрощается в предположении о дополнительной симметрии многообразия Е <Э Я. При решении космологических задач такого рода предположения о пространстве-времени оправданы; современные данные свидетельствуют о высокой степени симметрии Вселенной на больших масштабах Важно отметить, что даже с учетом такого упрощения, соответствующего высокой степени симметрии космологической модели, действие Гильберта - Эйнштейна сохраняет главные особенности ОТО репараметризационную инвариантность и наличие вторых производных по времени6.

4.4 Выводы

В рамках разработанной модели описан эффект интенсивного рождения продольных векторных бозонов из вакуума с расходящимся интегралом для плотности числа рожденных частиц в низшем порядке теории возмущения. Расходимость интеграла есть следствие того, что безмассовый предел массивной векторной теории не существует (как это было обнаружено еще в ранних работах Огиевецкого и Полубари-нова, а также Славного и Фаддеева).

Предельно жесткое уравнение состояния в рамках космологии с относительным эталоном описывает одновременно все стадии эволюции Вселенной: современную стадию ускоряющейся эволюции (в соответствии с последними данными по Сверхновым), стадию химической эволюции материи во Вселенной, и стадию рождения из геометрического вакуума первичных частиц материи наиболее сингулярных по массе (в Стандартной Модели единственными претендентами на роль таких первичных частиц являются продольные векторные бозоны \¥, . Показано, что температура реликтового излучения возникает как интеграл космического движения Вселенной, который определяет начальные данные для параметра Хаббла (Н[ ~ 2.7 К) и бегущей массы Планка (</?/ ~ 10 ТэВ).

5 Заключение

Все релятивистские системы (частица, струна, вселенная в ОТО), рассмотренные в диссертации, задаются в мировом пространстве динамических переменных соответствующими сингулярными действиями (как интегралы в координатном пространстве) и геометрическим интервалом.

Особенностью релятивистских систем является инвариантность их действий и геометрических интервалов в зависимости от репараметри-заций координатного времени, т.е. обобщенных координатных преобразований в ОТО. Эти репараметризационно-инвариантные релятивистские теории согласуются с простейшими вариационными принципами гамильтоновой динамики. Главная особенность релятивистских систем заключается в том, что репараметризационная симметрия означает что измеряемое геометрическое время есть времеподобная переменная в геометрическом мировом пространстве (полученная с помощью преобразования Леви-Чивита к переменным действие-угол) а не просто координата.

Эта особенность динамической природы "времени"была устранена калибровочным условием о равенстве функции хода времени единице. Этот нетривиальный метод фиксирования калибровки для описания гамильтоновой динамики релятивистских систем являлся препятст-свием для ее понимания.

Для получения инвариантной динамики необходимо выбрать динамический эволюционный параметр и однородную компоненту функции хода времени (отделяемую глобальным движением релятивистской системы как целого от локального движения) для определения геометрического времени. Это время переводится в новый динамический эволюционный параметр с помощью канонического преобразования Леви-Чивиты.

Причинное квантование задает структуру мирового пространства, которая следует из стабильности квантовой релятивистской теории. В то же время связь геометрической системы (после преобразования Леви-Чивиты в переменных действие-угол) теряет любую динамику, поскольку геометрическая система без связей является только начальными данными в зависимости от геометрического времени.

Эволюция начального полевого пространства в завимимости от геометрического времени (т.е. эволюция частицы, струны, вселенной) задается обратным преобразованием Леви-Чивиты.

Генерирующие функционалы для причинных функций Грина унитарной теории возмущений в виде интегралов по путям строятся усреднением по пространству репараметризационной группы, вместо фиксирования калибровки.

Операции отделения координат "центра масс "и вариация действия не коммутируют. В результате, инвариантные локальные связи отличаются от стандартных связей для релятивистской струны. Инвариантные локальные связи удовлетворяют алгебре Виразоро только для случая струны с одним значением массы в спектре (в классической теории это значение равно нулю) что соответствует светоподобной ветви представления группы Пуанкаре. Другими словами, для струны с нетривиальным спектром масс, алгебра Виразоро (со всеми ее трудностями, включая проблему В — 26 и состояния с отрицательными нормами) - артефакт репараметризационно-инвариантного описания.

Для того, чтобы отделить глобальное движение вселенной в ОТО для решения проблемы начальных данных и в формулировке квантовой теории поля в римановом пространстве, использовались конформно-инвариантные переменные Лихнеровича. Динамика теории Эйнштейна совпадает с динамикой конформного скалярного поля (дилатона). Развитая теория была применена для построения космологической модели с относительным эталоном измерения.

К наиболее фундаментальным утверждениям современной космологии относятся утверждения о возникновении и эволюции Вселенной. Основой для этих утверждений служат данные астрофизических наблюдений и их теоретическая интерпретация. Результаты астрофизических наблюдений можно условно подразделить на три категории, которые включают

1) результаты измерения предсказанной Фридманом [48] и обнаруженной Хабблом [110] зависимости красных смещений спектральных линий атомов космических объектов от их расстояния до Земли;

2) результаты измерений по распределению химических элементов во Вселенной, которые свидетельствует о ничтожно малом вкладе видимой барионной материи (около 3%) в космическую эволюцию [95] и несут определенную информацию об уравнении состояния материи в эпоху первичного нуклеосинтеза;

3) результаты измерения параметров реликтового излучения с наблюдаемой температурой ~ 2,7К, которое возникло в результате отделения вещества от радиации при больших значениях (z ~ 1000) красного смещения и позволяет судить об эволюции ранней Вселенной [111].

В последние годы получены новые данные [85, 87] для значений красного смещения z ~ 1 и z = 1,7, которые отражают состояние "вещества", дающего основной вклад в космическую эволюцию на расстояниях, сравнимых с размером Вселенной, и свидетельствуют в пользу того, что наша Вселенная заполнена, в основном, не массивной "пылью"далеких и потому невидимых галактик, как предполагалось ранее, а загадочным веществом совершенно другой природы, с другим уравнением состояния, названным Квинтэссенцией [112, 109].

Во фридмановской космологии [48] данные наблюдений принято интерпретировать как свидетельство расширения Вселенной. Предполагая, что вместе с расширением Вселенной "расширяются"все длины, нужно указать, как отмечалось ранее, изменяется ли при этом эталон измерения длины, так как все перечисленные данные получены путем измерений в единицах определенных эталонов.

В первых моделях Сценария Горячей Вселенной [113] и в инфляционной модели эволюции Вселенной [96], предполагается, что

1) первичная материя представляет собой огненный шар безмассовых частиц, испытывающих в ходе эволюции ряд фазовых переходов,

2) начальные данные эволюции определяются абсолютными планков-скими единицами: массой, длиной, временем,

3) существует некий абсолютный эталон измерения длины, который не изменяется вместе с расширяющейся Вселенной.

В настоящей диссертации предложен альтернативный подход, основанный на использовании относительного эталона измерения, который расширяется вместе со Вселенной, что вполне естественно, если полагать, что приборов для измерения абсолютных длин не существует, а измеримыми являются только отношения длин к эталону, поэтому результаты измерений не зависят от космологического фактора. Подчеркнем, что такое исключение масштабного фактора не означает отсутствия космической эволюции, так как действие и уравнения ОТО в этом подходе приводят к эволюции масс. Космический масштаб интервалов длин в единицах относительного эталона измерения становится масштабом масс, которые постоянно растут, а масса Планка, наряду с другими измеряемыми массами (массами элементарных частиц, например), становится динамической переменной - так называемой бегущей массой Планка. В таком подходе спектр фотонов, испущенных атомами далеких звёзд два миллиарда лет тому назад, "запо-минает"размер атома, который определяется его массой. Этот спектр сравнивается со спектром таких же атомов на Земле, но с увеличенной массой. Результатом такого сравнения становится наблюдаемое красное смещение спектральных линий от атомов далеких звезд [75, 84].

Пересчет данных астрофизических наблюдений в терминах относительного эталона (конформного времени, конформной плотности, постоянной температуры, бегущей массы Планка и других) приводит к совпадению параметров космической эволюции и физики элементарных частиц [75, 103, 100], которые можно было бы считать случайными, если бы их не было так много. В частности, оказалось, что в единицах относительного эталона измерения, данные по зависимости красного смещения от расстояния до Сверхновых [85, 87] и данные по нуклеосинтезу [95] соответствует одному и тому же предельно жесткому уравнению состояния [75]. Такое уравнение состояния хорошо моделирует свободное и однородное скалярное поле [103], которое называется "Квинтэссенцией". Таким образом, можно считать, что относительный эталон измерения значительно упрощает сценарии эволюции Вселенной по сравнению со всеми сценариями, использующими абсолютный эталон.

Введение относительного эталона превращает планковские абсолюты в динамические параметры, зависящие от бегущей массы Планка, поэтому его использование не совместимо с гипотезой о существовании планковской эпохи ранней Вселенной, а квантование полей Стандартной Модели в рамках теории возмущений становится несовместимым с гипотезой первичного "огненного шара безмассовых частиц", так как нормированная волновая функция продольных векторных бозонов оказывается сингулярной при нулевой массе [97, 98]. Показано, в частности, что в рамках теории, объединяющей стандартную модель и эйнштейновскую теорию гравитации с использованием относительного эталона, существуют такие начальные значения параметра Хаббла и масс, для которых происхождение наблюдаемой материи объясняется космологическим рождением массивных векторных бозонов из вакуума в режиме предельно жесткого уравнения состояния [97, 98, 100]. В этом случае реликтовое излучение возникает как продукт распада векторных бозонов и наследует температуру этих бозонов ~ 2, 7 К.

Главным результатом настоящей работы является космологическая модель, объединяющая Стандартную Модель теории элементарных частиц на фоне риманова пространства-времени с Общей Теорией Относительности в предположении об относительности эталонов измерения. В рамках предложенной модели в конформно-плоской метрике рассмотрен эффект космологического рождения массивных векторных бозонов из вакуума, при этом интеграл плотности числа рожденных частиц в низшем порядке теории возмущения оказался расходящимся. Эта расходимость, является следствием установленного в [99] факта отсутствия безмассового предела теории массивного векторного поля. Исходя из естественного предположения о том, что окончательным продуктом распада первичных бозонов является излучение, показано, что при температуре порядка массы бозонов Вселенная в стадии доминантности излучения порождает столько бозонов с плотностью порядка Т3, сколько их нужно для объяснения самого существование стадии радиационной доминантности.

Сформулируем теперь основные результаты, полученные в диссертации

• Предложен метод линеаризации энергетической связи для релятивистских систем (частица, струна и гравитация). Метод является обобщением метода Леви-Чивиты, заключающегося в переходе с помощью канонического преобразования к геометрическим переменным. Получены выражения для ненулевого гамильтониана и энергии, содержащие новый эволюционный параметр, отождествляемый с геометрическим временем.

• На основе сформулированного метода построена реалистическая космологическая модель Вселенной, согласующаяся с современными "наблюдательными"космологическими данными. Показано, что космологические уравнения возникают как гиббсовское усреднение точных уравнений ОТО по объему.

• В рамках модели изучен эффект интенсивного космологического рождения продольных векторных бозонов, число которых оказывается достаточным для описания наблюдаемой материи во Вселенной.

• Проанализированы и объяснены последние наблюдательные данные по зависимости красного смещения от расстояния до Сверхновых 1а. Предсказываются возможные расстояния до Сверхновых при значениях красного смещения z > 1.7, что позволяет судить о дальнейшей эволюции Вселенной. В режиме сверхжесткого уравнения состояния вещества - единственном уравнении состояния модели дана оценка температуры космического микроволнового фонового излучения.

• Предлагается сценарий холодной Вселенной с температурой реликтового фонового излучения, который не противоречит истории химической эволюции и последним наблюдательным данным по зависимости красного смещения от расстояния до Сверхновых 1а.

• Для всех трех рассмотренных случаев частица, струна и Вселенная показано, что стрела геометрического времени положительна и время имеет начало как следствие причинного квантования и стабильности квантовой системы.

Работа была выполнена в лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного Института Ядерных Исследований.

Я глубоко признателен моим научным руководителям профессору Барбашову Б.М. и профессору Первушину В.Н. за постоянное внимание и помощь при выполнении данной работы.

1. S. W. Hawking, Proc. Roy. Soc. A300, 187 (1967).

2. A. Д. Долгов, Я. Б. Зельдович, М. В. Сажин, Космология ранней Вселенной, Изд. Моск. Университета, Москва 1988.

3. Л. Д. Фаддеев и В. Н. Попов, УФН 111, 427 (1973).

4. Г. А. Сарданашвили, Современные методы теории полят.1 "Геометрия и классические поля", УРСС, Москва 1996.

5. Д. Брилл, Р. Гоуди, Квантование обшей теории относительности, в сб. "Квантовая гравитация и топология", Мир, Москва 1973.

6. Р. А. М. Dirac, Cañad. J. Math. 2, 129 (1950); Cañad. J. Math. 3, 1 (1951);

7. Proc. Roy. Soc. A246, 326 (1958).

8. P. G. Bergmann, Phys. Rev. 75, 680 (1949);

9. J. L. Anderson, P. G. Bergmann, Phys. Rev. 83, 1018 (1951); P. G. Bergmann, J. Goldberg, Phys. Rev. 98, 531 (1955).

10. H. П. Коноплева и В. H. Попов, Калибровочные поля, Атомиздат, Москва 1972.

11. Е. Noether, Göttinger Nachrichten, Math. Phys. Kl. 2, 235 (1918).

12. В. В. Нестеренко, A. M. Червяков, Сингулярные лагранжианы. Классическая динамика и квантование, препринт ОИЯИ Р-86-323, Дубна, 1986.

13. Jl. В. Прохоров, С. В. Шабанов, Гамилътонова механика калибровочных систем, Изд. С.-Петербургского университета, С.Петербург 1997.

14. В. S. DeWitt. Phys. Rev. 160, 1113 (1967).

15. D. Hilbert, Die Grundlagen der Physik, Nachrichten K. Gessellschaft Wiss. Gottingen, Math.-phys. Klasse 3, 395 (1915).

16. P. A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics (Belfer Graduate School of Science, Yeshive University, New York 1964).

17. K. Sundermeyer, Constrained Dynamics, Lecture Notes in Physics N 169 (Springer Verlag, Berlin Heidelberg - New York 1982).

18. E. C. G. Sudarshan , N. Mukunda, Classical Dynamics: A Modern Perspective, (John Willey & Sons, New York 1974).

19. D. M. Gitman, I. V. Tyutin, Quantization of Fields With Constraints (Springer Verlag, Bonn 1990).

20. J. Isenberg, J. Nester, in General Relativity and Gravitation. One Hundred Years After the Birth of Albert Einstein, vol. 1, ed. by A. Held (Plenum Press, New York 1980).

21. P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 246, 333 (1958); P. A. M. Dirac, Phys. Rev. 114, 924 (1959).

22. G. Fulop, D. M. Gitman, and I. V. Tyutin, Int. J. Theor. Phys. 38, 1941 (1999).

23. S. A. Gogilidze, A. M. Khvedelidze, V. N. Pervushin. Phys. Rev. D53, 2160 (1996).

24. S. A. Gogilidze, A. M. Khvedelidze, V. N. Pervushin, J. Math. Phys. 37, 1760 (1996).

25. C. Isham and K. Kuchar, Ann. Phys. (NY) 164, 316 (1985); J. B. Hartle and K. Kuchar, Phys. Rev. D 34, 2323 (1986); P. Hajicek, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 57, 115 (1997).

26. С. G. Torre, Class. Quantum Grav. 8, 1895 (1991).

27. P. A. M. Dirac, Can. J. Phys. 33, 650 (1955).

28. JI. Фадеев, ТМФ 1, 3 (1969).

29. Ю.С. Владимиров, Системы отсчета в гравитации, Энергоиз-дат, Москва 1982.

30. R. Arnowitt, S. Deser, С. Misner, Gravitation: An Introduction to Current Research, ed. by L. Witten (Wiley, New York 1962).

31. L. D. Faddeev and A. A. Slavnov, Gauge Fields: Introduction to Quantum Theory (Benjamin Cummings 1984).

32. M. Henneaux and C. Teitelboim Quantization of Gauge Systems (Princeton University Press, Princeton 1992).

33. C. M. Misner, K. S. Thorne , J. A. Wheeler, Gravitation (W. H. Freeman and Company, San Francisco 1973).

34. M. P. Jr. Ryan, L. C. Shapley, Homogeneous Relativistic Cosmologies (Princeton Series on Physics, Princeton University Press, Princeton 1975).

35. M. P. Ryan, Hamiltonian Cosmology, Lecture Notes in Physics N 13 (Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1972).

36. C. Misner, Phys. Rev. 186, 1319 (1969).

37. A. M. Khvedelidze, V. V. Papoyan, and V. N. Pervushin, Phys. Rev. D 51, 5654 (1995);

38. V. N. Pervushin and T. Towmasjan, Int. J. Mod. Phys. D4,105 (1995); S. A. Gogilidze et. al., Gravitation & Cosmology 3, 17 (1997); gr-qc/9705036.

39. V. N. Pervushin et. al., Phys. Lett. В 365, 35 (1996).

40. A. Khvedelidze et. al., Phys. Lett. В 402, 263 (1997).

41. L. N. Gyngazov et. al., General Relativity and Gravitation, 30, 1749 (1998).

42. S. Shanmugadhasan, J. Math. Phys. 14, 677 (1973).

43. S. A. Gogilidze et. al., Phys. Rev. D 57, 7488 (1998).

44. T. Levi-Civita, Prace Mat.-Fiz. 17, 1 (1906).

45. R. Arnovitt, S. Deser, and C. Misner Phys. Rev. 116 1322 (1959); R. Arnovitt, S. Deser, and C. Misner Phys. Rev. 117 1595 (I960); R. Arnovitt, S. Deser, and C. Misner Phys. Rev.122 997 (1960).

46. A. Lichnerowicz, Journ. Math. Pures and Appl. В 37, 23 (1944).

47. J. W. York (Jr.), Phys. Rev. Lett. 26, 1658 (1971).

48. K. Kuchar, J. Math. Phys. 13, 768 (1972).

49. В. И. Смиричинский, Репараметризационно-инвариантный га-милътоповый формализм в ОТО и динамика собственного времени, кандидитская диссертация, ОИЯИ, Дубна 2000.

50. F. Wilczek, Erice Lectures of Cosmology NS-ITP-81-91 (Lectures delivered at Ettore Majorana summer school, Erice, Italy 1981).

51. A. A. Friedmann, Z. für Phys. 10, 377 (1922); A. A. Friedmann, Z. für Phys. 21, 306 (1924);

52. А. А. Фридман. Мир как пространство и время, Наука, Москва 1965.

53. J. A. Wheeler Batelle Recontres 1967, Lectures in Mathematics and Physics, edited by C. DeWitt and J.A.Wheeler (Benjamin, New York 1968).

54. Б. M. Барбашов, В. H. Первушин, Д. В. Проскурин, ТМФ 131, 181 (2002).

55. S. Schweber, An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory (Row, Peterson and Co о Evanston, 111., Elmsford, New York 1961).

56. S. A. Gogilidze, A. M. Khvedelidze, and V. N. Pervushin, Phys. Particles and Nuclei 30, 66 (1999).

57. Brink, P. Di. Vecchia, and P. Howe, Phys.Lett. В 65, 471 (1976).

58. M. B. Green, J. H. Schwarz, and E. Witten Superstring theory (Cambridge University Press, Cambridge New York - New Röchele - Melbourne - Sydney 1986).

59. B. M. Barbashov and V. V. Nesterenko, Introduction to the relativistic String Theory, (World Scientific, Singapure, New Jersey, London, Hong Kong 1990).

60. Brink, M. Henneaux Lectures on String Theory, (Paris 1980). А. Л. Зельманов, Докл. АН СССР 227, 78 (1976).

61. C. Rebbi, Phys. Rep. 12, 1 (1974).

62. Б. M. Барбашов и В. Н. Первушин, ТМФ 127, 91 (2001).

63. Б. М. Барбашов и Н. А. Черников, Классическая динамика релятивистской струны, препринт ОИЯИ Р2-7852, Дубна, 1974.

64. Faddeev and V. Popov, Phys. Lett. 25 В 29 (1967).

65. A. J. Hanson, T. Regge, and C. Teitelboim, Constrained Hamiltonian Systems (Accademia Nazionale dei Lincei, Rome 1976).

66. R. Kallosh, L. Kofman, A. Linde, and A. Van Proeyen, Superconformal Symmetry, Supergravity and Cosmology CERN-TH/2000-118, 2000; hep-th/0006179.

67. V. N. Pervushin, D. Proskurin, and A. Gusev, Gravitation k, Cosmology 8, 181 (2002).

68. В. В. Папоян, В. H. Первушин, Д. В. Проскурин, Астрофизика 44, 653 (2001).

69. M. Pawlowski and V. N. Pervushin, Int. J. Mod. Phys. 16, 1715 (2001), hep-th/0006116];

70. V. N. Pervushin and D. V. Proskurin, Gravitation к Cosmology 7, 89 (2001).

71. B. M. Barbashov, V. N. Pervushin, and M. Pawlowski, Phys. Particles and Nuclei 32, 546 (2001).

72. V. N. Pervushin and V. I. Smirichinski, Physics of Atomic Nuclei 61, 142 (1998).

73. H. P. Robertson, Rev. Mod. Phys. 5, 62 (1933);

74. A. G. Walker, Monthly Notice of Royal Soc. 94, 154 (1933); Ibid. 95, 263 (1935).

75. G. Lemaitre, Monthly Notice of Royal Soc. 91, 490 (1931);

76. G. Lemaitre, G. Ann. de la Soc. Seien, de Bruxelles, A 47, 49 (1927).

77. A. Einstein and W. de-Sitter, Proc. of Nat. Acad, of Seien. 18, 213 (1932).

78. А. Б. Борисов и В. И. Огиевецкий, ТМФ 21, 329 (1974).

79. V. N. Pervushin, Theor. Mat. Fiz. 27, 16 (1976).

80. G. V. Isaev, V. N. Pervushin, and S. V. Pushkin, J. Phys. A: Math. Gen. 12, 1499 (1979).

81. D. Behnke, D. B. Blaschke, V. N. Pervushin, and D. V. Proskurin, Phys. Lett. В 530, 20 (2002); gr-qc/0102039],

82. Д. К. Максвелл, Трактат об электричестве и магнетизме, т. 1, стр. 10, Наука, Москва 1989.

83. М. Pawlowski et. al., Phys. Lett. 444В , 293 (1998).

84. V. N. Pervushin and V. I. Smirichinski, J. Phys. A: Math. Gen. 32 6191 (1999).

85. H. Poincare, C.R. Acad. Sei. 140, 1504 (1905).

86. A. Einstein, Anal. d. Phys. IT, 891 (1905).

87. H. Weyl, Sitzungsber.d. Berl. Akad., 465 (1918).

88. M. Pawlowski and R. Raczka, Found, of Phys. 24, 1305 (1994).

89. F. Röhrlich, Phys. Rev. Lett 34 842 (1975); F. Röhrlich, Nuovo. Cim. 37 A 242 (1977).

90. J. V. Narlikar, Space Sei. Rev. 50, 523 (1989).

91. S. Perlmutter et ah, Astrophys. J. 517, 565 (1999).

92. A. G. Riess et al., Astro. J. 116, 1009 (1998).

93. A. G. Riess et al., Astrophys. J. 560, 49 (2001); astro-ph/0104455],

94. Э. А. Тагиров и H. А. Черников, препринт ОИЯИ Р2-3777, Дубна, 1968;

95. К. А. Бронников и Э. А. Тагиров, препринт ОИЯИ Р2-4151, Дубна, 1968.

96. G. L. Parker, Phys. Rev. Lett. 21, 562 (1968); Phys. Rev. 183, 1057 (1969);

97. Phys. Rev. D 3, 346 (1971).

98. А. А. Гриб и С. Г. Мамаев, ЯФ 10, 1276 (1969).

99. R. U. Sexl and Н. К. Urbantke, Phys. Rev. 179, 1247 (1969).

100. Я. В. Зельдович, Письма в ЖЭТФ 12, 443 (1970).

101. Я. В. Зельдович и А. А. Старобинский, ЖЭТФ 61, 2161 (1971).

102. А. А. Гриб, С. Г. Мамаев, В. М. Мостепаненко, Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях, Атомиздат, Москва 1980.

103. S. Weinberg, The First Three Minutes. A modern View of the Origin of the Universe (Basic Books, Inc., Publishers, New York 1977).

104. А. Д. Линде, Физика элементарных частиц и инфляционная космология, Наука, Москва 1990.

105. Г. Венцель, Введение в квантовую теорию волновых полей, ОГИЗ ГИТТЛ, Москва 1947.

106. Н.-Р. Pavel and V. N. Pervushin, Int. J. Mod. Phys. A 14, 2285 (1999).

107. В. И. Огиевецкий и И. В. Полубаринов, ЖЭТФ 41, 246 (1961); А. А. Славнов и Л. Д. Фаддеев, ТМФ 3, 18 (1970).

108. D. Blaschke et al., Cosmological creation of vector bosons and CMB, gr-qc/0103114;

109. V. N. Pervushin and D. V. Proskurin, Proceeding of the V International Conference on Cosmoparticle Physics (Cosmion-2001) (21-30 May 2001, Moscow-St.Peterburg, Russia, in press) gr-qc/0106006.

110. E. Kasner, Am. J. Math. 43, 217 (1921).

111. В. А. Белинский, E. M. Лифшиц, И. M. Халатников, УФН 102, 463 (1970);1. ЖЭТФ 60, 1969 (1971).

112. V. N. Pervushin, D. V. Proskurin, and A. A. Gusev, Gravitation & Cosmology, 8, 181 (2002).

113. J. Schwinger, Phys. Rev. 127, 324 (1962).

114. Nguyen Suan Han and V. N. Pervushin, Mod. Phys. Lett. A2, 367 (1987).

115. H. H. Боголюбов, А. А. Логунов, А. И. Оксак, И. Т. Тодоров, Общие Принципы Квантовой Теории Поля, Наука, Москва 1987.

116. R. Coquereaux, A. Jadczyk, Rev. Math. Phys. 2, 1 (1990).

117. N. N. Bogolubov, J.Phys. 11, 23 (1947).

118. C. Wetterich, Nucl. Phys. В 302, 668 (1988);

119. S. Perlmutter, M. S. Turner, M. White, Phys. Rev. Lett. 83, 670 (1999);

120. Zlatev, L. Wang, P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 82, 896 (1999).

121. E. Hubble, The realm of the Nebulate, (New Haven, Yale University Press 1936); reprinted by Dover Publications, Inc., (New York 1969).

122. J. R. Bond et al. (MaxiBoom collaboration), CMB Analysis of Boomerang & Maxima & the Cosmic Parameters f2tot, f^/i2, Qcdmh2, ^л, ns, in: Proc. IAU Symposium 201 (PASP), CITA-2000-65 (2000). astro-ph/0011378].

123. Д. Чернин, УФН 171, 11 (2001).

124. G. Gamow, Phys. Rev. 70, 572 (1946); Ibid, 74, 505 (1948).

125. А. А. Логунов, В.И. Фоломешкин, ТМФ 32, 147 (1977).

126. Т. Кибл, УФН 96, 497 (1968).

127. В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения, Физ-матгиз, Москва 1961.

128. Е. Вигнер, Этюды о симметрии, (пер. с англ., Мир, Москва 1971).

129. S. Gupta, Rev. Mod. Phys. 29, 334 (1957).

130. W. Tirring, Ann. Phys. 16, 96 (1961).

131. R. Feynman, Acta Phys. Polon. 24, 697 (1963).

132. B. S. De-Witt, Phys. Rev. 160, 1113 (1967); Ibid. 162, 1195, 1239.

133. V. I. Ogievetsky, Lett. Nuovo cimento 8, 988 (1973).

134. T. W. B. Kibble, J. Math. Phys. 2, 212 (1961).

135. R. Utiyama, Phys. Rev. 101, 1592 (1956).

136. В. И. Огиевецкий, И. В. Полубаринов, ЖЭТФ 48, 1625 (1965).

137. Y. Naumbu, Phys. Rev. Lett. 4, 380 (1960).

138. Y. Naumbu and G. Jona-Iasinio, Phys. Rev. 122, 345 (1961);

139. Б. А. Арбузов, А. Н. Тавхелидзе, Р. Н. Фаустов, Докл. АН СССР 139, 345 (1961);

140. В. Г. Вакс, А. Т. Ларкин, ЖЭТФ 40, 282 (1961).

141. Э. Картан, Геометрия групп Ли и симметрические пространства, (пер. с франц., Изд-во иностр. лит., Москва 1949).

142. Д. В. Волков, ЭЧАЯ 4, 3 (1973).

143. Д. В. Волков, препринт ИТФ 69-73, Киев, 1969.

144. S. Coleman, I. Wess, and В. Zumino, Phys. Rev. 177, 2239 (1969).

145. С. L. Callan, S. Coleman, I. Wess, and B. Zumino, Phys. Rev. 177, 2247 (1969).

146. Э. Картан, Риманова геометрия в ортогональном репере, (пер. с франц., Изд-во МГУ, Москва 1960).

147. Э. Картан, Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенная методом подвижного репера, (пер. с франц., Изд-во МГУ, Москва 1963).