Статистические системы частиц со скалярным взаимодействием в космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Мифтахов, Рустем Фаридович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Казань
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
005004600
МИФТАХОВ
На правах рукописи
РУСТЕМ ФАРИДОВИЧ
СТАТИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ СО СКАЛЯРНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ В КОСМОЛОГИИ
01.04.02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
-1 ДЕК 2011
Казань-2011
005004600
Работа выполнена на кафедре высшей математики и математического моделирования ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук Игнатьев Юрий Геннадьевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Гальцов Дмитрий Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор Журавлев Виктор Михайлович
Ведущая организация:
ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет»
Защита состоится «20» декабря 2011г. в «17.00» часов на заседании диссертационного совета Д212.203.34 в ГОУ ВПО Российском университете Дружбы народов (РУДН) по адресу: 115419 г.Москва, ул. Орджоникидзе д. 3, зал№ 1.
С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке ГОУ ВПО Российского университета Дружбы народов (РУДН) по адресу: 117198, г.Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.
Автореферат разослан «17» ноября 2011г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Лаптев Ю.П.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Статистические системы частиц со скалярным взаимодействием были введены в общерелятивистскую статистику и кинетику в 1982 году Ю.Г. Игнатьевым, 1 а затем и Г.Г. Ивановым.2 В работах Ю.Г. Игнатьева на основе гамильтоновой формулировки получены общерелятивистские кинетические уравнения для систем со скалярным взаимодействием частиц, на основе кинетических уравнений сформулирована самосогласованная кинетическая модель самогравитирующей системы частиц со скалярным взаимодействием. Позднее Игнатьевым3 на основе кинетических уравнений развита теория термодинамического равновесия для статистических систем со скалярным взаимодействием частиц. В работах Г.Г. Иванова было сформулировано уравнение Власова для статистических систем со скалярным взаимодействием частиц, рассмотрены равновесные статистические системы со скалярным взаимодействием частиц.
Дальнейшие исследования релятивистских статистических систем обнаружили их интересные особенности, в частности, возможность эффективного влияния скалярного поля на уравнение состояния статистической системы через механизм изменения эффективной массы частиц, неустойчивость систем частиц, обладающих разноименными скалярными зарядами, по отношению к гравитационным возмущениям, возможность нарушения скалярными взаимодействиями конформной инвариантности и т.п.
В современной космологии интерес к статистическим системам частиц со скалярным взаимодействием возрос в связи с возможными космологическими приложениями, в частности, возможностью объяснения наблюдаемого современного ускорения Вселенной. Для решения проблемы вторичного ускорения Вселенной во многих работах предлагается коренным образом изменить фундаментальные принципы физики. Однако, в последнее время появились некоторые указания на то, что сложные, многокомпонентные, классические физические системы также могут приводить ко вторичному ускорению Вселенной. При этом не возникает необходимости в пересмотре фундаментальных принципов физики. Некоторые указания на возможность такого поведения сложных систем со
Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования // Известия ВУЗов, Физика. - 1982. - т. 25, N0 4, с.92-96.
2 Иванов Г.Г. Релятивистские статистические системы частиц со скалярными взаимодействиями// Известия Вузов, Физика. - 1983. - т.26, N0 1. - с. 32-36.
3 Игнатьев Ю.Г. Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц // Известия ВУЗов, Физика. - 1983. - т. 26, N0 12. - с. 9-14.
скалярным взаимодействием частиц были даны Д.В. Гальцовым4. В работах В.М. Журавлева5 исследовалась космологическая эволюция двухкомпонентной системы, состоящей из идеальной жидкости и скалярного поля. В этих работах показано, что такие космологические модели могут иметь начальную инфляционную стадию и позднее ускорение. Таким образом, космологические модели с многокомпонентной материей в состоянии описать основные наблюдательные данные о расширении Вселенной. В отличие от рассмотренных работ в данной диссертационной работе рассматриваются статистические системы скалярно заряженных частиц, в которых некоторые сорта частиц могут прямым образом взаимодействовать со скалярным полем через некоторый фундаментальный скалярный заряд. С другой стороны, статистическая система, обладая, ненулевым скалярным зарядом и сама являясь источником скалярного поля, может эффективно влиять на скалярное поле, управляя его поведением.
В порядке уточнения и согласования стандартного космологического сценария с наблюдательными и эксперементальными данными исследование таких систем и построение космологических моделей, основанных на представлении о космологической плазме, как системе частиц, которые могут прямым образом взаимодействовать со скалярными полями, является актуальной задачей теории гравитации и космологии.
Целью работы является формулировка и исследование на основе общерелятивистской кинетической теории самосогласованных космологических моделей, в которых материя содержит две компоненты: скалярное поле и статистическую систему скалярно заряженных частиц, а также выявление основных закономерностей влияния фактора скалярного заряда частиц на поведение космологических моделей. Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:
• Построение математической модели релятивистских статистических систем со скалярным взаимодействием частиц на основе общерелятивистской кинетической теории и выявление ее общих закономерностей.
• Формулировка на основе полученной математической модели полной самосогласованной системы уравнений, описывающих однородную изотропную космологическую модель, и исследование ее общих свойств.
Гальцов Д.В., Давыдов Е.А. Космологическая модель с полями Янга-Мииса-Хиггса // Квантовая теория и космология. Сборник статей, посвященный 70-летию профессора А.А. Гриба. - Спб.: ООО "Ютас". -2009. - с. 25.
Журавлев В. М. Двухкомпонентные космологические модели с переменным уравнением состояния вещества и тепловым равновесием компонент // ЖЭТФ. -2001. - т. 120.-№5.-с. 1043-1061.
• Построение численных моделей Вселенной, заполненной вырожденной односортной материей с межчастичным скалярным взаимодействием, и установление основных свойств космологических моделей в зависимости от их параметров.
Объектом исследования является релятивистские самогравитирующие статистические системы с межчастичным скалярным взаимодействием.
Предметом исследования является процесс космологического расширения статистической системы с межчастичным скалярным взаимодействием.
Методы исследования. Методологической основой исследования является общерелятивистская кинетическая теория, релятивистская теория гравитации, риманова геометрия и тензорный анализ, теория дифференциальных уравнений, численные методы и библиотеки процедур пакета символьной математики МаШетайса.
Научная новизна исследования состоит:
• В разработке космологической модели статистических систем со скалярным взаимодействием частиц на основе общерелятивистской кинетической теории;
• В построении численных моделей космологического расширения плазмы с межчастичным скалярным взаимодействием;
• В установлении основных закономерностей космологических моделей, основанных на вырожденных односортных Ферми-системах с межчастичным скалярным взаимодействием.
Степень обоснования результатов диссертации. обусловлена корректностью построения математических моделей физических систем, основанных на общерелятивистской кинетической теории и ее методах; строгим использованием математического аппарата теории дифференциальных уравнений, применением апробированных численных методов решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на:
• 12-й Российской гравитационной конференции - Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике. Москва. 2006.
• 3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 2006.
• Российской школе-семинаре «Современные проблемы теории гравитации и космологии - Gracos-2007». Казань. 2007.
• 13 -й Российской гравитационной конференции — Международной конференции по гравитации, космологии и астрофизике. Москва. 2008.
• 8-й молодежной научной школы-конференции. «Лобачевские чтения». Казань. 2009.
• Российской школе-семинаре «Современные проблемы теории гравитации и космологии - Gracos-2009». Казань. 2009.
• Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». Смоленск. 2009.
• Международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». Смоленск. 2010.
• Международной конференции «Современные проблемы гравитации, космологии и релятивистской астрофизики». Москва. 2010.
• Российском семинаре. «Нелинейные поля и релятивистская статистика в теории гравитации и космологии». Казань. 2010.
• Научных семинарах кафедры геометрии и математического моделирования ТГГПУ, итоговых конференциях ТГГПУ.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ в отечественных и международных изданиях, их список помещен в конце автореферата. Три статьи опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Личный вклад автора. Все основные результаты работы получены автором самостоятельно. В совместных работах с Ю.Г. Игнатьевым последнему принадлежат постановка задачи и обсуждение результатов. Использованные материалы других авторов помечены ссылками.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 108 страницах и состоит из Введения, трех глав, Заключения и Списка литературы из 112 наименований, содержит 44 рисунка.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Во Введении дается обоснование темы диссертации и ее актуальности, а также определены основные цели диссертации.
В первой главе изложены основные положения общерелятивистской кинетической теории и теории термодинамического равновесия.
Движение релятивистской частицы в скалярном поле описывается
каноническими уравнениями относительно пары канонически сопряженных динамических переменных х' - координат и Р, - обобщенного импульса:
сЩ! _ дН дР1 ' Ж Зх'' где Н(х,Р) - релятивистски инвариантная функция Гамильтона. Полная производная от функции динамических переменных Ч'(х', Рк) имеет вид:
(1)
dxV ds
(2)
(3)
где введены инвариантные скобки Пуассона:
W w^TLJ^L
дР, 5х' дх' дР,' Вследствие (1) функция Гамильтона является интегралом движения частицы:
Н = Const. (4)
Релятивистски-инвариантная функция Гамильтона частицы со скалярным зарядом q , находящейся в скалярном поле с потенциалом Ф имеет вид:
Н(х,Р) = ^т
(Р,Р)
-дФ
(5)
/71+дФ
Для этой функции Гамильтона выполняется соотношение нормировки: (Р,Р) = (т+дФ)2. (6)
Величина
т. = т + # Ф (7)
- эффективная масса частицы. Канонические уравнения движения относительно функции Гамильтона (5) принимают вид:
1 +
чФ
т
ji I
d х
ds2
-+г'
dxJ dx ds ds
g*-
1 dx' dx
* N
V
m ds ds
(8)
/
Основой модели статистической системы с межчастичным скалярным взаимодействием являются инвариантные общерелятивистские кинетические уравнения:
№.,/.] = 1„(х,Р.); {а = \,т + т'). (9)
где /о (•*'! ^) " ФУНКЦИЯ распределения частиц сорта «а» плазмы по
координатам х' и обобщенным импульсам Рк. В правой части
кинетических уравнений основным членом является интеграл столкновения частиц:
= -1>в \.s\p,-гп)Ли* (Ю)
- матрица рассеяния (| мш | - инвариантные амплитуды рассеяния, I -начальное, р - конечное состояние). 11Р и Ъ я - статистические факторы:
^=Пд^СТ^жг')]; 2я=П[1±л/5;)]Пл/5/); (11)
1 К / /г
Знаки " + " соответствуют бозонам, а " -" - фермионам, УА,у'в - числа частиц сортов аА, а'в > участвующих в реакциях:
т' т
Ъ/'ва'в^±Ъ/лал- (12)
В=1 Л=1
Инвариантная восьмимерная функция распределения частиц, F(x,^'), связанна с семимерной функцией распределения /(х,Р) с помощью <5"-функции соотношением:
= (13)
Используя выражение (12) определим макроскопический тензор энергии-
импульса частиц и вектор плотности числа частиц п' = от', где V -времениподобный единичный вектор кинематической макроскопической скорости частиц:
= \Р(х,ПР'Р1<В>; О4)
п\х)= \р{х,р)р'ар. О5)
Р(Х)
При локальном термодинамическом равновесии (ЛТР) статистической системы ее энтропия сохраняется. В этом случае интеграл столкновений является главным членом в кинетических уравнений, что приводит функциональным уравнениям Больцмана, имеющих в качестве решений локально-равновесные функции распределения:
/ (х,Р) = <ехр
'-М.НУ.Р.У
+ 1 , (16)
в
где верхний знак соответствует бозонам, нижний - фермионам, в(х) -
локальная температура, одинаковая для всех сортов частиц, V - единичный времениподобный вектор макроскопической скорости статистической
системы, Ма(х) ■ химические потенциалы, удовлетворяющие системе линейных алгебраических уравнений химического равновесия:
I». = Ъ'^А-
В случае ЛТР выражения для компонент вектора плотности числа частиц и компоненты тенора энергии-импульса частиц имеют вид: п[(х)=па(ху- (17)
Г(х) = (еа+РаУук-Ра8'\
(18)
где скаляр плотности числа частиц, плотность энергии и давление соответственно:
||ехр ]|ехр
в
Т1У Р
Ш"
р
6я2
||ехр
"-д, +(у ,Ра) в
-д,+(у ,Ра) в
+ 1[ ^т: + Р2Р2с/Р-,
+ 1
РУР
Т^Г+р1'
(19)
(20)
(21)
Когда функции распределения (16) являются точными решениями кинетических уравнений (9), статистическая система находится в глобальном термодинамическом равновесии (ГТР). Кинетические уравнения примут вид:
[На,фа] = 0, (22)
где фа (х, Р) = Р) - Я (л) - инвариантный приведенный химический потенциал. Для обеспечения ГТР должен существовать линейный интеграл движения, причем ^ - времениподобный вектор. Система необходимых и достаточных условий существования ГТР имеет вид:
1*8* = 0; та~ 0,
(Г
(23)
где а - некоторая скалярная функция, £ - производная Ли от объекта и
вдоль направления с, .
Эта глава также содержит обзор результатов исследований релятивистских кинетических моделей Вселенной и обзор работ с классическим скалярным полем в теории гравитации и космологии.
Вторая глава диссертации посвящена описанию статистических систем со скалярным взаимодействием частиц в космологии, на основе общерелятивистской кинетической теории. Построена математическая модель космологической эволюции вырожденной плазмы со скалярным взаимодействием частиц.
В дальнейшем в качестве статистической системы рассматривается полностью вырожденный Ферми-газ. Условие полного вырождения
И
— -» оо. (25)
в
В этом случае локально-равновесная функция распределения имеет вид: О, /лй^гп.+р1;
1, М>
(26)
а интегрирование макроскопических плотностей (20), (21) представимо в элементарных функциях:
е = •
Р =
т.
¡7
А
т.
V
+ ц/1 (1 + 2ц/1) ~ Щу + л/1 + </)
24 л
+ у/ {2.у/г -3) + 3 \а{у/ + VI + ¥ )
4
Т = е-ЗР =
а =
д-т.
2к
у^? - \а{у/+л/1 + ^2)];
(27)
(28)
(29)
(30)
где сг - скалярная плотность зарядов, у/ = рР! | т. | - отношение импульса Ферми к эффективной массе.
Полученная на основе кинетической теории модель, описывающая статистическую самогравитирующую систему частиц со скалярным
взаимодействием6, представляет собой замкнутую самосогласованную систему уравнений. Состоящую из инвариатных кинетических уравнений (9), уравнений Эйнштейна для статистической системы скшырно заряженных частиц:
Я"-IV =8л-(ГЧГ1); (31)
И уравнений типа Клейна-Гордона для скалярного поля: , 4 к
□Ф + //2Ф =--цТ. (32)
т + дФ
Рассмотрим космологическую ситуацию, когда материя представлена лишь вырожденной Ферми - системой скалярно взаимодействующих частиц и связанных с ними скалярным полем, описываемых уравнением (32). В качестве метрики выберем метрику пространственно-плоской модели Фридмана:
<Ьг = Ж1 - а {1){(Ьсг + с1у + (к1). (33)
Математическая модель космологической эволюции вырожденной плазмы со скалярным взаимодействием частиц, в метрике (33), предстваляет собой самосогласованную систему, состоящую из уравнения Эйнштейна и уравнения поля: I d ,
--(а -) + м Ф = (34)
а Л Л
- = А—е, (35)
а V 3 Полагая
Ф = Ф(0;=> £ = р = ДО,
получим структуру суммарного тензора энергии-импульса скалярного поля в форме тензора энергии-импульса идеальной жидкости с макроскопической скоростью v' и плотностью энергии £,, и давлением :
е = + р = -1(1ф2 (36)
8л 8л 3
Из уравнений (27), (28) можно получить соотношение для макроскопических плотностей Ферми-частиц:
6 Игнатьев Ю. Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаимодействующих частиц в гравитационном поле // Известия ВУЗов, Физика. -1983.-т. 26,N08.-с. 19-23.
Рг =^/--7ТГ^Л/ГМ7-31П (у,+ 4 3 24я-
1 +
При этом для Ферми-частиц и скалярного поля соответственно выполняются неравенства:
О<Р;<-^Г Р<1-е,. (38)
В результате найдем коэффициент баротропы:
1 т.
+ 4я]иФ2
24ж1{£1 + £ )
(39)
Таким образом, для исследуемой системы всегда выполняется соотношение: -1</с(0<^-. (40)
Выражение для космологического ускорения имеет вид:
аа 1 £2 = — = — (1 + 3*-).
а 2 Из соотношение (40) следует:
-1<а<1.
(41)
(42)
Третья глава посвящена численному моделированию космологической эволюции вырожденной плазмы со скалярным взаимодействием частиц. Прямое численное интегрирование в системе компьютерной математики наталкивается на проблемы, вызванные комбинированным влиянием факторов нелинейности дифференциальных уравнений и многозначности функций источников. Для преодоления этих трудностей в диссертации получены интерполяционные формулы источников, выраженные в однозначных аналитических функциях.
Выражения для макроскопических плотностей (27)-(30) с точностью до
умножения на множитель 1/а4 являются элементарными функциями лишь
одной безразмерной функции, у/\ гп, =
/ о V
ао Рг
Щ/
Как раз это факт и
позволяет найти интерполяционные выражения для соответствующих конформных плотностей:
(43)
Р[ ~ а*Р{\ £/=а
ё = а сг; Ф = аФ.
Указанные интерполяционные формулы имеют вид:
12
ID Щ + v)
^38 4 8ц/1
24л-2 „ = --'^V* 15 (45)
15
38 4 S^r2 Л
(l-iW) —+ —+ -
V о
■гг 2 2У
- v >\i5 fy 15 у _ ^ -г
2я а--------г у/--. (46)
Ац/1 5 1 + у
15
В области определения t > О графики макроскопических плотностей и смоделированных асимптотических выражений совпадают с точностью не хуже 1%.
В итоге космологическая эволюция статистической системы частиц со скалярным взаимодействием описывается двумя уравнениями, относительно функций Ф(t), a(t): уравнением скалярного поля (34) и уравнением Эйнштейна (35) вкупе с выражениями для макроскопических плотностей (44)-(46).
Эта система уравнений была исследована в прикладных математических пакетах Mathematica и Maple. В результате численного интегрирования было обнаружено множество типов поведения космологической модели, основанной на статистической Ферми-системе со скалярным взаимодействием частиц, которая чрезвычайно сильно зависит о поведения космологической модели от фундаментальных констант q, /и, т . Как известно, эффективной характеристикой космологической модели является эффективный коэффициент баротропы, к(е), определяющий, в свою очередь, космологическое ускорение, i2. Исследования показали, что эффективное уравнение состояния космологической модели может меняться от квазивакуумного до ультрарелятивистского (-1<к(с)<1/3). При этом существуют области фундаментальных констант и начальных условий, в которых космологические модели асимптотически выходят на постоянные значения этих характеристик.
На Рис. 1, Рис. 2 показаны временные эволюции коэффициента баротропы и космологического ускорения с выходом на постоянное ультрарелятивистское состояние.
Рис.1. Эволюция коэффициента баротропы, в зависимости от скалярного заряда Ферми-частиц: пунктирная линия разреженная пунктирная
линия q=0,3; сплошная линия я=1; сплошная жирная линия q=5.
Рис.2. Эволюция космологического ускорения, в зависимости от скалярного заряда Ферми-частиц: пунктирная линия q=0; разреженная пунктирная линия q=0,3; сплошная линия <1=1; сплошная жирная линия q=5.
Были также получены решения, в которых коэффициент баротропы и космологическое ускорение модели асимптотически стремятся к близким к нулю значениям, Рис. 3 и Рис. 4.
Рис.3. Эволюция коэффициента баротропы, в зависимости от начального значения масштабного фактора, a(t) : пунктирная линия a(t)=\,2; разреженная пунктирная линия ûf(i)=l,5; сплошная линия a(t) =3,
Q
Рис.4. Эволюция космологического ускорения, в зависимости от начального значения масштабного фактора, £?(/): пунктирная линия й(/)=1,2; разреженная пунктирная линия а(/)=1,5; сплошная линия аЦ) =3.
В третьем типе поведения модели космологическое ускорение асимптотически стремится к инфляционному или близкому к нему значению (Рис. 5 и Рис. 6.). В большинстве случаев такое поведение наблюдается при больших значениях массы Ферми-частиц т и малых значениях заряда ({.
Рис.5. Эволюция коэффициента баротропы, в зависимости от массы Ферми-частиц т : пунктирная линия т =1; разреженная пунктирная линия т =0,95; сплошная линия т =1; сплошная жирная линия
/и =1,1.
п
Рис.6. Эволюция коэффициента баротропы, в зависимости от массы Ферми-частиц т: пунктирная линия /и =1; разреженная пунктирная линия т =0,95; сплошная линия т= 1; сплошная жирная линия т =1,1.
Особенным типом поведения космологическая модель является поведение с колебательной стадией и последующим выходом на некоторое постоянное значение (Рис. 7).
л"
0. 4 г
Рис.6. Эволюция коэффициента баротропы, в зависимости от массы скалярного поля: частая пунктирная линия: ¡1 =1, пунктирная линия: // =1.2, сплошная линия: р. =2.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:
1. На основе общерелятивистской кинетической теории построена математическая модель статистических систем со скалярным взаимодействием частиц.
2. Построена численная модель космологического расширения вырожденной Ферми-системы со скалярным взаимодействием частиц.
3. Установлены и исследованы общие закономерности поведения и свойства моделей в зависимости от их параметров и начальных условий. В частности, исследованы динамика космологического ускорения и изменение коэффициента баротропы космологической модели.
В приложении представлены программные процедуры численного исследования космологической модели статистической системы частиц со скалярным взаимодействием в пакете компьютерной математики МаЛетайса.
Список Литературы содержит |12 наименований.
Основные результаты диссертации опубликованы в нижеследующих работах.
В научных журналах, рекомендованных ВАК:
1. Yu.G. Ignatyev and R.F, Miftakhov. Statistical systems of particles with scalar interaction in cosmology. // Gravitation & Cosmology. - Vol. 12, No 3. -2006.-pp. 179-185.
2. Yu.G. Ignatyev and R.F. Miftakhov. Cosmological Evolutions of a Completely Degenerate Fermi System with Scalar Interactions Between Particles. //Gravitation & Cosmology. - Vol. 17,No 2.-2011.-pp. 190-193.
3. Р.Ф. Мифтахов. Математическое моделирование космологической эволюции вырожденной ферми-системы со скалярным взаимодействием. // Вестник ТИ ПУ. Физико-математические науки. No 21. - 2010. - стр. 49-51.
В других научных журналах и материалах научных конференций
4. Ю.Г. Игнатьев, Р.Ф. Мифтахов. Математическая модель статистических систем со скалярным взаимодействием в космологи. // Труды третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». - Самара: СамГТУ. - 2006. - стр. 48-51.
5. Р.Ф, Мифтахов. Качественное исследование динамических систем с использованием пакета Maple 8. // Материалы международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения». - Смоленск: СмолГУ. - 2007.
6. Р.Ф. Мифтахов. Статистические системы частиц в стационарном гравитационном поле. //' Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 34. - 2007. - стр. 112-114.
7. Р.Ф. Мифтахов. Вырожденные космологические решения для Ферми-системы со скалярным взаимодействием частиц. // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Т. 37. - 2008. - стр. 123-125.
8. Р.Ф. Мифтахов. Качественное исследование статистических систем со скалярным взаимодействием в космологии. // Труды Российской школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS-2007. - Казань: Фолианть. -2007.-стр. 130-132.
9. Р.Ф. Мифтахов. Качественное исследование динамической системы с помощью пакета Maple. // Материалы международной научно-практической конференции ИТО Поволжье-2007. - Казань: Фолианть. - 2007. - стр. 400402.
10. Ю.Г. Игнатьев, Р.Ф. Мифтахов. Космологическая эволюция полностью вырожденной Ферми-системы со скалярным взаимодействием частиц. // Труды международного семинара GRACOS-2009. - Казань: Фолианть. -2009. - стр. 76-84.
Мифтахов Рустем Фаридович
Статистические системы частиц со скалярным взаимодействием в
космологии
Рассмотрена космологическая ситуация, когда материя представлена двухкомпонентной самосогласованной системой, состоящей из массивного скалярного поля и частиц, имеющих скалярный заряд, с помощью которого статистическая система может управлять фундаментальным скалярным полем. Построены и исследованы методами общерелятивистской кинетической теории модели космологической эволюции статистической системы со скалярным взаимодействием частиц.
Miftakhov Rustem Faridovich Statistical systems of particles with scalar interaction in cosmology
Let's consider a cosmological situation when the substance is presented by two-componental self-coordinated system. Consisting of a massive scalar field and particles with a scalar charge, with which the statistical system can control the fundamental scalar field. By means of common relativistic kinetic theory there formed and investigated cosmological models of statistical systems of particles with scalar interaction.
Подписано в печать 14.11.2011 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ. л. 1. Тираж 100. Заказ № 361.
Изготовлено в полиграфическом центре «Отечество» 420126, г.Казань, ул.Чистопольская, д.27а
Введение
Глава I. Общерелятивисткая кинетическая теория и скалярные взаимодействия
1.1 Основы общерелятивистской кинетической теории.
1.2 Общерелятивистская кинетическая теория статистического равновесия.
1.3 Асимптотическая конформная инвариантность кинетической теории.
1.4 Обзор работ по исследованию кинетики космологического расширения плазмы.
1.5 Космологические модели с классическим скалярным полем
Глава II. Статистические системы частиц со скалярным взаимодействием в космологии
II. 1 Канонический формализм описания частицы в классическом скалярном поле.
П.2 Общерелятивистская статистическая модель вырожденной Ферми-системы.
11.3 Статическая вырожденная Ферми-система со скалярным взаимодействием частиц.
11.4 Математическая модель космологической эволюции вырожденной плазмы.
Глава III .Исследование космологической эволюции плазмы со скалярным взаимодействием частиц
III. 1 Анализ математической модели.
III.2 Численное исследование модели
II 1.3 Анализ результатов исследования
Статистические системы частиц со скалярным взаимодействием были введены в общерелятивистскую статистику и кинетику в 1982 году Ю.Г. Игнатьевым [1, 2, 3, 4], а затем и Г.Г. Ивановым [5, 6]. В работе Ю.Г. Игнатьева [1] на основе Гамильтоновой формулировки получены общерелятивистские кинетические уравнения для систем со скалярным взаимодействием частиц и исследованы их трансформационные свойства при конформных отображениях, а в работах [2, 3] на основе кинетических уравнений получены уравнения переноса и сформулирована самосогласованная кинетическая модель самогравитирующей системы частиц со скалярным взаимодействием. В работе Ю.Г. Игнатьева [4] на основе кинетических уравнений развита теория термодинамического равновесия для статистических систем со скалярным взаимодействием частиц. В работах Г.Г. Иванова [5, 6] было сформулировано уравнение Власова для статистических систем со скалярным взаимодействием частиц, найдены его первые интегралы, рассмотрены равновесные статистические системы со скалярным взаимодействием частиц. Дальнейшие работы Г.Г. Иванова были сосредоточены, в основном, в области теории самодействующих скалярных, в частности, киральных полей. Далее, в работе Ю.Г. Игнатьева [7] на основе общерелятивистской кинетической теории были определены необходимые и достаточные условия на симметрии гравитационного поля самогравитирующей системы частиц со скалярным взаимодействием. Дальнейшие исследования релятивистских статистических систем обнаружили их интересные особенности, в частности, возможность эффективного влияния скалярного поля на уравнение системы через механизм изменения эффективной массы частиц, неустойчивость систем частиц, обладающих разноименными скалярными зарядами, по отношению к гравитационным возмущениям, возможность нарушения скалярными взаимодействиями конформной инвариантности и т.п.
В последнее время интерес к статистическим системам частиц со скалярным взаимодействием возрос в связи с возможными космологическими приложениями, в частности, возможностью объяснения наблюдаемого современного ускорения Вселенной. Для решения проблемы вторичного ускорения Вселенной во многих работах предлагается коренным образом изменить фундаментальные принципы физики. Однако, в некоторых работах появляются указания на то, что сложные, многокомпонентные, классические физические системы также .могут приводить ко вторичному ускорению Вселенной. При этом не возникает необходимости в пересмотре фундаментальных принципов физики. Некоторые указания на возможность такого поведения сложных систем со скалярным взаимодействием частиц были даны в работе [9]. В частности, такие указания были приведены Д.В. Гальцовым [10]. В работах В.М. /Куравлева [11], [12] исследовалась космологическая эволюция двухкомиоиентиой системы, состоящей из идеальной жидкости и скалярного поля. В этих работах показано, что такие космологические модели могут иметь начальную инфляционную стадию и позднее ускорение. Таким образом, космологические модели с многокомпонентной .материей в состоянии описать основные наблюдательные данные о расширении Вселенной. В отличие от двухкомпопеитной системы «скалярное поле • идеальная жидкость», в которой взаимодействие компонентов осуществляется лишь через гравитацию, в нашей работе мы рассматриваем статистические системы скалярно заряженных частиц, в которых некоторые сорта частиц могут прямым образом взаимодействовать со скалярным о полем через некоторый фундаментальный скалярный заряд. С другой стороны, статистическая система, обладая, вообще говоря, непулевым скалярным зарядом и сама являясь источником скалярного поля, может эффективно влиять на скалярное поле, управляя его поведением. Исследование таких систем и построение космологических моделей, основанных на представлении о космологической плазме, как системе час гид, которые могут прямым образом взаимодействовать со скалярными полями, является актуальной задачей теории гравитации и космологии.
Целыо работы является формулировка и исследование самосогласованных космологических моделей, в которых материя содержит две компоненты: скалярное поле и статистическую систему скалярно заряженных частиц, и выявление основных закономерностей влияния скалярных зарядов на поведение космологических моделей.
Для достижения этой цели решались следующие основные задачи:
1. Построение математической модели статистических систем со скалярным взаимодействием частиц на основе общерелятивистской кинетической теории и выявление ее общих закономерностей.
2. Формулировка на основе полученной математической модели замкнутой самосогласованной системы уравнений и выявление ее общих закономерностей.
3. Построение численных моделей космологического расширения вырожденной Ферми-системы с межчастичным скалярным взаимодействием.
Установление свойств моделей в зависимости от их параметров.
Объектом диссертационного исследования являются релятивистские самогравигирующие статистические системы с межчастичным скалярным взаимодействием.
Предметом исследования являек-я процесс космологического расширения плазмы с межчастичным скалярным взаимодействием. О
Методы исследования. Методологической основой исследования является общерелятивистская кинетическая теория, релятивистская теория гравитации, риманова геометрия и тензорный анализ, теория дифференциальных уравнений, численные методы и библиотеки процедур пакета символьной математики МаЛета^са.
Научная новизна исследования состоит:
1. В разработке космологической модели статистических систем со скалярным взаимодействием частиц на основе общерелятивистской кинетической теории;
2. В построении численных моделей космологического расширения плазмы с межчастичным скалярным взаимодействием;
3. В установлении основных закономерностей космологических моделей, основанных на вырожденных Ферми-системах с межчастичным скалярным взаимодействием.
Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, Списка литературы и двух приложений.
Выводы
Таким образом, можно констатировать, что:
1. Поведение космологической модели чрезвычайно сильно зависит от фундаментальных констант // и т и весьма богато разнообразием типов;
2. Существуют области фундаментальных констант и начальных условий, в которых космологические модели выходят на устойчивое позднее ускорение;
3. Выход на стадию позднего ускорения может быть как плавным, так и сопровождаться колебаниями ускорения;
4. Конечное ускорение постоянно и может меняться в диапазоне — 1 < и < 1. Таким образом, постоянное ускорение (замедление) носит общий характер.
Заключение
Таким образом, в диссертации предложена и исследована новая математическая модель космологического расширения, которая благодаря богатым возможностям управления космологическим поведением представляет перспективную теоретическую модель исследования процесса эволюции Вселенной. На защиту выносятся следующие основные положения:
1. На основе общерелятивистской кинетической теории построена математическая модель статистических систем со скалярным взаимодействием частиц.
2. Построена численная модель космологического расширения вырожденной Ферми-системы со скалярным взаимодействием частиц.
3. Установлены общие закономерности поведения и свойства моделей в зависимости от их параметров и начальных условий. Показано, что на поздних стадиях космологические модели выходят на режим постоянного ускорения (замедления), знак и величина которого определяется параметрами модели взаимодействия.
4. Показано, что существует достаточно широкая область параметров скалярного взаимодействия, в которой космологические модели на поздних стадиях расширения обладают вторичным ускорением.
5. Выявлены параметры модели взаимодействия, при которых переходу на режим постоянного ускорения (замедления) предшествует фаза колебательного режима расширения.
1. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетическая теория и конформные преобразования // Известия ВУЗов, Физика. 1982. - т. 25, N0 4, с. 92-96.
2. Игнатьев Ю.Р Релятивистский канонический формализм и инвариантная одночастичная функция распределения в ОТО // Известия ВУЗов, Физика. 1983. - т. 26, N0 8. - с. 19-23
3. Игнатьев Ю. Г. Релятивистские кинетические уравнения для неупруго взаи-модействующих частиц в гравитационном поле // Известия ВУЗов, Физика. 1983. - т. 26, N0 8. - с. 19-23.
4. Игнатьев Ю.Р Законы сохранения и термодинамическое равновесие в общерелятивистской кинетической теории неупруго взаимодействующих частиц // Известия ВУЗов, Физика. 1983. - т. 26, N0 12. - с. 9-14.
5. Иванов Г.Р Релятивистские статистические системы частиц со скалярными взаимодействиями.// Известия Вузов, Физика. 1983. - т. 26, N0 1. - с. 32-36.
6. Иванов Г.Р Релятивистские статистические системы частиц с коротким скалярными и векторными взаимодействиями.// В сб. «Гравитация и теория относительности». Казань: Изд-во КГУ. - 1983. - No 19. - с. 73-78.
7. Игнатьев Ю.Г., Кузеев P.P. Термодинамическое равновесие самогра-витирующей плазмы со скалярным взаимодействием // Укр. физ. журн. 1984. - т. 29, No 7. - с. 1021-1025.
8. Игнатьев Ю. Г. Идеальная жидкость с коротким скалярным взаимодействием в поле плоской гравитационной волны. // Известия ВУЗов, Физика. 1983. - т. 26. No 12. - с. 7-9.
9. Ignat'ev Yu. G. and Miftakhov R.F. Statistical systems of particles with scalar interaction in cosmology. // Gravitation & Cosmology. 2006. - V. 12 - No 4. - P. 179-185
10. Гальцов Д.В., Давыдов E.A. Космологическая модель с полями Янга-Мииса-Хиггса. // Квантовая теория и космология. Сборник статей, посвященный 70-летию профессора А.А. Гриба. Спб.: ООО "Ютас". - 2009. - с. 25.
11. Журавлев В. М. Двухкомпонентные космологические модели с переменным уравнением состояния вещества и тепловым равновесием компонент // ЖЭТФ. 2001. - т. 120. - No 5. - с. 1043-1061.
12. Zhuravlev V. M. and Abbyazov R. R. Thermodynamics of Cosmological Models with a Varible Matter Equation of State // Grav. and Cosmol. -2010. Vol.16. - No 1. - c. 55-60.
13. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. M.: Наука -1964.
14. Chernikov N.A. The microscopic foundation of the relativistic hidrodynamics. // Acta. Phys. Polon. 1965. - №27. - p. 723-739.
15. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика неравновесных процессов в гравитационных полях. Казань: Фолиантъ. - 2010.
16. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.: Наука. - 1966. - с. 496.
17. Черников Н.А., Шавохина Н.С. Принцип конформной инвариантности./ /Новейшие проблемы гравитации, Тез. доклад. Всесоюзный симпозиум. 1973. - с. 40-42.
18. Власов А.А. Статистические функции распределения. М: Наука. -1966.
19. Игнатьев Ю.Г. О кинетическом уравнении в общей теории относительности.// Известия ВУЗов. Физика. 1979, т. 22, No 2, с. 72-76.
20. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология.1.// Известия ВУЗов. Физика. Казань: - 1980, т. 23, No 8, с. 42-47.
21. Игнатьев Ю.Г. Релятивистская кинетика и космология.Н.// Известия ВУЗов. Физика. Казань: - 1980, т. 23, No 9, с. 27-32.
22. Ehlers I., Geren P., Sachs R.K. Isotropic solutions of the Einstein -Liouville équations.// J. Math. Phys. 1968, No 8, c. 1344-1361.
23. Игнатьев Ю.Г. Релятивистские кинетические уравнения и космология.// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: -1980, с. 113-125.
24. Балакин А. В., Игнатьев Ю.Г., Шулнковский Ю. В. Кинетика изотропного расширения однородной электронно—фотонной плазмы. // Изв. ВУЗов. 1982, т. 25, No 9 - с. 53.
25. Балакин А. Б., Игнатьев Ю.Г., Шуликовский Ю. В. Кинетика изотропного расширения оптически прозрачной плазмы на комптонов-ской стадии. // Изв. ВУЗов., сер. Физика. 1982, т. 25, No 10 - с. 82.
26. Магалинский В.Б. Кинетика малых возмущений пространственно однородной гравитирующей среды.// Астроном, ж. М.: - 1972, т. 49, No 5, с. 1017-1025.
27. Орлов C.B. Релятивистское расширение бозе-конденсата.// Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. 1985, No 16, с. 11922.
28. Гальцов Д.В., Грац Ю.В., Жуковский В.Ч. Классические поля. Учеб. пособие М.: Издательство Московского университета, 1991. - 30 с.
29. Фишер И.З. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 1948. том 18. - с. 636.
30. Асанов P.A. // Журнал экспериментальной и теоретической физики.- 1967. том 53. - с. 570.
31. Тагиров Э.А., Черников H.A. // Препринт ОИЯИ Р2-3777. 1968.
32. Бронников К.А., Мельников В.Н., Станюкович К.П. // Препринт ИТФ 69-21. 1969.
33. Марков М.А. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. - том 51. - с. 3-9.
34. Markov М.А. // Suppl. Progr. Theor. Phys. 1965. - Extra Number. -p. 85.
35. Chernikov N.A., Tagirov E.A. // Ann. Inst. Henri Poincare. 1968. - No 9. - p. 109.
36. Penrose R. // Proc. Roy. Soc. 1966. - A284. - p. 159-203.
37. Бронников K.A., Тагиров Э.А. // Препринт ОИЯИ Р2-4151. 1968.
38. Зайцев Н.А., Колесьников С.М., Радынов А.Р, Станюкович К.П. // Препринт ВНИИОФИ 70-10. М., 1970.
39. Price R.H. // Phys. Rev. 1972. - D5. - p. 2419-2439.
40. Chase R. // Commun. Math. Phys. 1972. - 19. - pp. 276.
41. Bekenstein J. D. // Phys. Rev., D5 1972. - No 1239. - p. 2403
42. Асанов P.A. О точечном источнике скалярного поля // Теоретическая и математическая физика. 1974. - том 20, No 1. - с. 66.
43. Бочарова Н.М., Бронников К.А., Мельников В.Н. // Вестник МГУ. -1970. сер 3. - №11. - с. 706.
44. Penney R. // Phys. Rev. Lett. 1969. - No 182. - p. 878
45. Бронников K.A., Мельников B.H., Шикин Г.Н. // Изв. вузов. Сер. физ. 1978. No И. - с. 69.
46. Bronnikov К.А., Melnikov V.N., Shikin G.N., Stanukovich K.P. // Ann. Phys. N.Y. 1979. vol. 118. №1. - p. 69.47 48 [4950
