Нелинейные поля в теории гравитации и космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

' и и о

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЧЕРВОН СЕРГЕЙ ВИКТОРОВИЧ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОЛЯ В ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЙ И ТОЧНЫЕ

РЕШЕНИЯ.

01.04.02. - теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ульяновск -'1997

Оглавление

1. Введение 5

2. Нелинейные поля в теории гравитации и теории поля 33

2.1. Скалярные поля в общей теории относительности ... 33

2.2. Волновое нейтральное скалярное поле в ОТО............46

2.3. Нелинейное скалярное поле и его взаимодействие с гравитацией ......................................................50

2.4. Самодействующие скалярные поля в конформно-плоских пространствах ......................................60

2.4.1. Космологические и статические решения .... 60

2.4.2. Решения солитонного типа ........................62

2.4.3. Массивное скалярное поле..........................63

2.5. Киральные нелинейные сигма модели....................65

2.5.1. Немного истории..........................65

2.5.2. Б озонные нелинейные сигма модели..............68

2.6. Двухмерная 80(3)-инвариантная нелинейная сигма модель ............................................................72

2.6.1. Изометрические и гомотетические симметрии 73

2.6.2. Подгруппа трансляций..............................76

2.6.3. Подгруппа вращений и гомотетии................79

3. Эффективные киральные нелинейные сигма модели в

космологии 82

3.1. Самогравитирующие НСМ и методы их исследования . 82

3.2. Метод генерирования точных решений в самограви-тирующих 50(Дг)-инвариантных нелинейных сигма-моделях ........................................................86

3.2.1. Плоско-симметричные решения в 50(Лг)-инвариантной сг-модели....................87

3.2.2. Генерирование решений самогравитирующей 50(7У)-инвариантной а-модели из вакуумных решений уравнения Эйнштейна.............90

3.2.3. Космологические решения 50(]У)-инвариантной сг-модели....................92

3.3. Киральная модель самодействующего скалярного поля 96

3.4. Киральная модель гравитационного поля................99

3.5. Симметрии киральной модели гравитационного поля . 103

3.6. Модели космологической инфляции............107

3.7. Стандартная модель космологической инфляции, основанная на теории самодействующего скалярного поля . 110

3.8. Метод тонкой подстройки потенциала в стандартных моделях инфляции......................114

3.9. Точные решения для нелинейных скалярных полей в (1+1) мерной космологии..................122

3.9.1. Уравнения модели..................122

3.9.2. Особенности метода для (1+1) мерия......124

3.9.3. Расширение по степенному закону........124

3.9.4. Экспоненциальная инфляция ...........125

3.9.5. Решения типа осциллирующей Вселенной .... 128

4. Киральные модели космологической инфляции 131

4.1. Самогравитирующие НСМ в космологии ........131

4.2. Космологические решения 50 (]У) о модели в мире Фридмана ..........................134

4.3. 50 (З)-инвариантная кинетическая НСМ в открытой и замкнутой Вселенной....................136

4.4. Двухкомпонентная кинетическая киральная модель инфляции ............................138

4.5. Точные решения для пространственно плоской Вселенной (к = О, А = 0) . .....................141

4.6. Точные решения для пространственно плоской Вселенной (к = О, А ф О, А > 0) ..................144

4.7. Точные решения для пространственно плоской Вселенной (к = О, А ф О, А < 0) ..................147

4.8. Массивная киральная модель космологической инфляции ..............................149

4.8.1. Самогравитирующая нелинейная сигма модель

с потенциалом....................152

4.8.2. Киральная модель в пространствах инфляционного сценария....................153

4.8.3. Гравитационное поле квазивакуумного состояния вещества.....................155

4.9. Нелинейные поля в моделях космологической инфляции 158

4.9.1. Нелинейная сигма модель, как эффективная теория космологической инфляции.........159

4.9.2. 50 (Лг)-инвариантная НСМ в пространствах Фридмана-Робертсона-Уокера...........161

4.9.3. 50(3) калибровочные поля в пространствах инфляционного сценария................163

4.10. Точное нестационарное самосогласованное решение уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса-Хиггса.......167

4.11. Новый класс неоднородных космологических моделей

с полями Янга-Милса..........................................174

5. Теория возмущений в киральной модели инфляции 182

5.1. Общие уравнения для космологических возмущений . . 18-3

5.1.1. Возмущения гравитационного поля........183

5.1.2. Синхронная и продольная калибровка......185

5.1.3. Уравнения модели и учет возмущений......187

5.2. Точные фоновые космологические решения.......192

5.2.1. Киральная модель инфляции общего вида .... 193

5.2.2. Решения для двухкомпонентной киральной модели194

5.2.3. Решение для степенной инфляции ........196

5.3. Космологические возмущения в кинетической модели инфляции...........................197

5.3.1. Основные уравнения................197

5.3.2. Эволюция гравитационных возмущений.....198

5.4. Космологические возмущения в массивной киральной модели инфляции......................203

6. Заключение 208

7. Приложение I 213

Глава 1. Введение

Одна из ключевых проблем современной теоретической физики -проблема объединения фундаментальных взаимодействий, в последние 10-15 лет активно изучалась в рамках исследований космологии ранней Вселенной. Согласно инфляционной парадигме, которая к настоящему времени стала неотъемлемой частью стандартного сценария Большого взрыва, физические процессы на стадии очень ранней Вселенной оказали влияние на формирование крупномасштабной структуры, наблюдаемой на современном этапе эволюции Вселенной.

Согласно инфляционному механизму Вселенная на самых ранних стадиях эволюции находилась в неустойчивом вакуумоподобном состоянии и расширялась экспоненциально быстро. Распад вакуумо-подобного состояния приводил к разогреву Вселенной и ее выходу на режим стандартной теории горячего Взрыва, причем этот выход сопровождался рядом фазовых переходов с нарушением симметрии между разными видами взаимодействий. При этом вещество, заполняющее Вселенную, описывается нелинейными полями, взаимодействующими с гравитационным полем. Оставляя в стороне теории типа Калуцы-Клейна, заметим, что наиболее полно физические поля, порождающие гравитационное поле ранней Вселенной, могут опи-

сываться лагранжианом калибровочных и хиггсовских полей. При определенных ограничениях такая модель может эффективно описываться киральной нелинейной сигма-моделью с потенциалом самодействия, а в отсутствии калибровочных полей - самодействующим скалярным полем.

Вместе с вариантами единых калибровочных теорий сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий (Теорий Великого Объединения) в середине семидесятых появляются варианты объединения всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное, в рамках теорий супергравитации, а затем, в середине восьмидесятых, основные надежды на объединение стали возлагаться на теорию суперструн. Несмотря на возможность обоснования ряда наблюдаемых фактов на основе ТВО (и суперструн), например, факт барион-ной ассимметрии Вселенной, все практические результаты, применимые к анализу наблюдаемых данных, получены на основе простейшей эффективной модели самогравитирующего нелинейного скалярного поля. Причина такого упрощения связана с чрезвычайной сложностью нелинейных динамических уравнений калибровочных полей ТВО, взаимодействующих с гравитацией.

Оригинальная версия инфляционного механизма основана на модели нелинейного (самодействующего) скалярного поля, минимальным образом взаимодействующего с гравитационным полем, и была детально исследована в работах А.Гуса, А.Д.Линде, П.Дж.Стейнхарта, А.А.Старобинского и других. В более поздних работах по инфляции анализируются различные типы (потенциалы) самодействия скалярного поля и способ взаимодействия с гравитационным полем, причем гравитационный сектор модели не всегда выбирается эйнштейновским.

Несогласованность некоторых вариантов инфляционного сцена-

рня с наблюдаемыми астрофизическими данными привели к активным поискам новых, более реалистических версий инфляционного сценария, с одной стороны, и тщательному анализу используемых приближений при математической обработке модели и обработке наблюдаемых данных - с другой. Необходимость исследований по обоим вышеназванным направлениям продиктована достижениями современной техники и технологии (все возрастающие возможности численных экспериментов), совершенствованием астрофизических наблюдений (новые наземные и спутниковые системы наблюдений). Поэтому поиски новых модификаций моделей инфляционного сценария, приводящих к возможности построения точных решений, и разработка новых методов аналитических исследований нелинейных систем несомненно являются актуальными и перспективными.

Известно, что именно приближенные решения нелинейных уравнений модели космологической инфляции до сих пор являются основой для сравнення с наблюдаемыми данными. Поэтому поиски точных решений и отработка методов исследований существенно нелинейных систем является актуальной и своевременной задачей, так же как и задача построения новой эффективной модели космологической инфляции.

В качестве обобщения теории самодействующего скалярного поля в диссертационной работе выбрана киральная (бозонная) нелинейная сигма модель (НСМ), которая по сути является конкурентом калибровочным теориям при описании физики элементарных частиц. Только невозможность построения перенормируемой четырехмерной квантовой теории для нелинейной сигма модели вывела на первый план калибровочные теории поля. Однако, существующая взаимосвязь и явная аналогия двумерной НСМ с четырехмерными неабеле-выми калибровочными теориями позволяет считать НСМ как реаль-

ную модель и, в то же время, как теоретическую лабораторию для отработки методов исследований нелинейных систем. Кроме того, нелинейная сигма модель представлена в диссертационной работе как эффективная модель для сценария космологической инфляции, сохраняющая особенности самодействующего скалярного поля и имеющая дополнительную геометрическую степень свободы.

Основная цель диссертационной работы - построение и исследование новой эффективной модели космологической инфляции на основе самогравитирующей нелинейной сигма модели. Построение точных решений с использованием разработанных теоретико-групповых методов. Исследование взаимосвязи НСМ с самодействующим скалярным полем, калибровочными теориями и гравитационными полями. Построение теории космологических возмущений для киральной НСМ общего вида. Последнее является необходимым для сравнения теоретических предсказаний в астрофизике с данными наблюдений.

Главным итогом диссертации является открытие новых классов точных решений в теории гравитации и космологии с нелинейными скалярными, киральными и калибровочными полями, которые найдены с использованием киральной НСМ как эффективной теории. На основе этих точных решений, с использованием разработанной теории возмущений в киральной модели инфляции, показано, что новое научное направление, разработанное автором, согласуется с наблюдательными астрофизическими данными и теориями космологической инфляции. Более того, новая эффективная модель, являясь непосредственным обобщением стандартной, учитывает вклад, вносимый на стадии очень ранней Вселенной квантовыми эффектами, в динамические уравнения на возмущения. Этот факт подчеркивает, что дальнейшее развитие киральной модели инфляции представля-

ется весьма перспективным.

Научная достоверность результатов диссертаци-

онной работы следует из того факта, что разработанные методы и подходы приводят к новым точным решениям существенно нелинейных систем, которые проверяются непосредственно из уравнений системы, с одной стороны. С другой стороны, новые результаты при некоторых ограничениях на параметры (или поля) приводят к результатам, полученным ранее в классических работах по теории гравитации и космологии.

Научная новизна и практическая значимость работы

В диссертационной работе проводилось исследование нелинейных скалярных, киральных и калибровочных полей в контексте космологии ранней Вселенной при главном акценте на нелинейной сигма модели как эффективной теории гравитационного поля ранней Вселенной. Новые научные результаты относятся к методам исследования нелинейных систем, к конкретным новым классам точных решений для нелинейных физических полей, к конкретным новым подходам в моделях космологии ранней Вселенной.

Получены классы точных решений для волнового скалярного поля в полях тяготения алгебраически специальных типов III, N и 0 по классификации Петрова, подытожившие исследования изотропного гравитирующего скалярного поля. Получены новые точные решения для самогравитирующего нелинейного скалярного поля в конформно-плоских пространствах, с различными типами нелинейности, которые обобщают результаты полученные ранее рядом авторов.

В области самогравитирующих нелинейных сигма моделей, которые введены в рассмотрение группой Де Альфаро, С.Фубини, Г.Фурлан при поиске инстантонных решений и Г.Г.Ивановым для

полей тяготения с лоренцевой сигнатурой, значительный прогресс достигнут в работах автора диссертации.

С помощью инвариантно-группового метода найдены новые классы точных решений, связанных с изометрическими и гомотети-ческими симметриями евклидового двухмерного пространства, для которых решения инстантонного, меронного и эллиптического типов, являются частным случаем полученного семейства решений.

Широкий класс точных решений в гравитации и космологии может быть получен методом генерирования точных решений из вакуумных для 80(1Ч)-инвариантных самогравитирующих НСМ, который впервые предложен в работах автора диссертационной работы. Указанные методы (инвариантно-групповой анзац и метод генерирования) используются при изучении эффективных киральных НСМ в теории гравитации и космологии.

Приложение НСМ в теории космологической инфляции было также впервые рассмотрено в диссертации. Разработан алгоритм построения киральной модели инфляции на основе стандартной или многокомпонентной инфляционной модели. Построена киральная двухкомпонентная модель на основе самогравитирующей нелинейной сигма модели, которая, при дополнительных ограничениях на киральные поля, приводит к динамическим уравнениям самодействующего скалярного поля. Найдены точные решения для самосогласованной системы уравнений гравитационного и киральных полей.

Кроме того разработан оригинальный метод применения эффективной киральной модели самодействующего скалярного поля, который особенно важен в моделях космологической инфляции. Суть метода заключается в новом представлении нарушения симметрии внутреннего (изоспинового) пространства, когда происходит "деформация" метрики, нарушающая некоторые симметрии внутреннего ки-

рального пространства. Такой подход является оригинальным, так как в литературе используется способ нарушения симметрии за счет неинвариантных слагаемых в лагранжиане НСМ. Указанный способ нарушения симметрии успешно применен к нахождению точных решений как в эффективной сигма модели, так и в теории саморгавити-рующего нелинейного скалярного поля в космологической инфляции.

На основе метода "метрической деформации" развит оригинальный метод "тонкой настройки потенциала", позволяющий получать точные решения в стандартной модели инфляции, основанной на теории самодействующего скалярного поля. Метод "тонкой настройки потенциала" представляет собой применение "метрического" нарушения симметрий внутреннего кирального пространства к модели с вырожденной размерностью кирального пространства до 1-мерного.

Применение метода "тонкой настройки потенциала" продемонстрировано как в стандартной (1+3) космологии так и в (1+1)-мерной модели, причем большинство известных решений в (1+1)-мерной космологии перекрывается с применением указанного метода.

В диссертационной работе построена эффективная киральная модель, полевые уравнения которой эквивалентны уравнениям Эйнштейна для плоско-симметричных гравитационных полей. Показано, что изучение симметрий кирального пространства позволяет находить точные аналитические решения модели, которые непосредственно связаны с метрическими коэффициентами гравитационного поля.

На основе разработанных методов и подходов изучены киральные модели космологической инфляции, которые основаны на самогра-витирующей нелинейной сигма модели с потенциалом самодействия (массивной НСМ).

Представлены результаты исследования 50(3)-инвариантной кинетической НСМ в открытой, замкнутой и плоской Вселенной, получены классы новых точных решений в пространственно-плоской Вселенной. Однако, было установлено, что кинетической киральной модели недостаточно для описания квазивакуумного состояния вещества. С целью устранения этого недостатка в рассмотрение вводится массивная нелинейная сигма модель как наиболее адекватно описывающая инфляци