Квантование гравитационно-связанных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ИНСТИТУТ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ

На правах рукописи

ФИЛЬЧЕНКОВ Михаил Леонидович КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННО-СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

- 6 ПАР 2014

Москва - 2013

005545666

005545666

Работа выполнена в Учебно-научном институте гравитации и космологии Российского университета дружбы народов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Багров Владислав Гавриилович,

зав. каф. квантовой теории поля, Томский госуниверситет Захаров Александр Фёдорович главный научный сотрудник, ИТЭФ им. А. И. Алиханова, г. Москва

доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор

Червон Сергей Викторович

профессор каф. теоретической и математической физики, Ульяновский госуниверситет

Ведущая организация:

Астрокосмический центр Физического института им. П. Н. Лебедева Российской Академии Наук (АКЦ ФИ АН), г. Москва.

Защита состоится 15 мая 2014 г в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, зал № 1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6.

Автореферат разослан 20 февраля 2014 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

В.А. Попова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Проблема квантования гравитации до сих пор остаётся нерешённой в силу ряда причин.

С одной стороны, гравитация хорошо изучена. Ньютон открыл закон всемирного тяготения, объяснивший движение планет в гравитационном поле Солнца. В общей теории относительности (ОТО) гравитация трактуется чисто геометрически, как искривление пространства-времени, создаваемое энергией-импульсом материи. Предсказанные ОТО классические эффекты (смещение перигелия планеты, отклонение Солнцем луча света) хорошо согласуются с астрономическими наблюдениями.

С другой стороны, в силу геометрического описания, требуемого ОТО, гравитационное взаимодействие выпадает из известного ряда физических взаимодействий, включающего электрослабое и сильное взаимодействия, которые удовлетворительно описываются в рамках теоретико-полевого подхода, используемого в рамках Стандартной модели физики элементарных частиц.

С теоретико-полевой точки зрения гравитационное поле выделено, т.к. при пер-турбативном квантовании теория оказывается неперенормируемой на больших энергиях. Из чего многие делают вывод о невозможности квантования гравитации вообще. В то же время, в рамках геометрического подхода разработаны методы непер-турбативиого квантования как геометрии в целом (квантовая геометродинамика), так и пространства-времени (петлевая квантовая гравитация).

В настоящее время не существует единой схемы квантования гравитации, справедливой во всех физических ситуациях. Возможны лишь различные подходы к квантованию гравитации, часто не связанные друг с другом. В этом смысле теория квантования гравитации не построена, что не мешает рассматривать существующие подходы к сё квантованию в областях их применимости.

Гравитация рассматривается в рамках ОТО и ньютоновской теории гравитации в нерелятивистском случае, а квантовая теория на уровне квантовой механики и квантовой теории поля. Квантование проводится по теории возмущений с введением гравитонов для слабых гравитационных полей, супергравитации и суперструн, а также пепертурбативными методами для геометрии в целом и пространства-времени.

Некоторые подходы к квантованию в теории гравитации довольно хорошо разработаны, им посвящена обширная литература. Особенно это касается квантовой

теории поля в искривленном пространстве-времени. Основными квантовыми эффектами сторонних полей в заданном гравитационном поле являются: поляризация вакуума, рождение частиц и спонтанное нарушение симметрии.

Слабые гравитационные поля обычно рассматриваются в рамках линеаризованной теории, которая сводится к теории тензорного поля в пространстве Минков-ского. Модели супергравитации (с локальной супсрсимметрией, включающие гравитацию), оказываются неперенормируемыми в высших порядках теории возмущений. Теория супергравитации является низкоэиергетическим пределом теории суперструн, высшие размерности которой компактифицируются в пространствах Калаби-Яу.

Петлевая квантовая гравитация обобщает квантовую геометродинамику на масштабах, сравнимых с планковской длиной. Геометрические величины являются операторами, имеющими дискретные собственные значения, поэтому в петлевой квантовой гравитации ист расходимостей.

Другие подходы до сих пор не нашли применения к конкретным задачам, возникающим в релятивистской астрофизике и космологии. В основном это касается квантовой механики в гравитационном поле, квантового гравитационного коллапса и квантовой космологии, когда мы имеем дело с гравитационно-связанными квантовыми системами. Решение этих проблем является весьма актуальным как с точки зрения создания последовательной теории квантования гравитации, так и в связи с построением квантовых моделей компактных астрофизических объектов и ранней Вселенной. Их значение особенно важно в виду всё возрастающего потока информации, получаемой при астрономических наблюдениях и космических экспериментах.

Цель работы

Целыо работы является теоретическое исследование гравитационно-связанных квантовых систем, в частности, состоящих из минидыры и захваченной ею элементарной частицы (гравиатомов), квантового гравитационного коллапса и непергур-бативных квантовых космологических моделей.

Научная новизна

1. Впервые были предложены квантовые объекты нового типа - гравиатомы, состоящие из вращающейся минидыры (первичной чёрной дыры) и удерживаемой ею за счёт гравитационного взаимодействия микрочастицы. Найдено соотношение между массами минидыры и микрочастицы. В приближении Паули вычислены энергетический спектр, электромагнитное и гравитационное излучения гравиатома.

2. Впервые исследована квантовая аккреция частиц на минидыры на основе квантовой гидродинамики Э. Маделунга. Вычислена светимость аккреционного диска, образующегося вокруг минидыры.

3. Впервые исследованы гравитационно-связанные квантовые системы с нейтрино, которые могут захватываться как мипидырами, так и макротелами (ядрами комет, небольшими астероидами и т.п.). Вычислено гравитационное излучение таких систем.

4. Впервые построены квантовые геометродинамические модели ранней Вселенной с учётом поправок, учитывающих дискретность пространства. Впервые оценены параметры квантовых космологических моделей, исходя из ограничений на флуктуации реликтового излучения. Впервые было получено, что рождение открытой и плоской Вселенной более вероятно, чем закрытой.

5. В рамках петлевой квантовой гравитации впервые было показано, что дискретность пространства играет заметную роль при оценке начальных возмущений плотности в ранней Вселенной.

6. Впервые разработан подход к квантованию анизотропных космологических моделей в зависимости от их кинематических инвариантов, по использующий явный вид метрики.

7. Впервые построена квантовая модель гравитационого коллапса и исследована её связь с рождением повой вселенной в результате тунпелирования в другое пространство. Вычислен энергетический спектр и вероятность тунпелирования в зависимости от массы коллапсирующего тела.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы определяется тем, что в пей решена проблема квантования гравитационно-связанных систем. Практическая ценность работы состоит в том, что её результаты могут быть использованы при интерпретации квантовых эффектов в компактных астрофизических объектах и ранней Вселенной, в

том числе в связи с исследованиями по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике, проводимых как в России так и за рубежом.

Положения, выносимые на защиту

1. Релятивистская модель гравиатома, состоящего из вращающейся минидыры и захваченной ею микрочастицы.

2. Модели гравитационно-связанных систем с нейтрино, которые захватываются на квантовые уровни минидырами и макротелами.

3. Многокомпонентные квантовые изотропные космологические модели с учётом дискретности пространства и её роли при оценке начальных возмущений плотности в ранней Вселенной.

4. Квантовые анизотропные космологические модели с вращением, сдвигом и ускорением.

5. Модели квантового гравитационного коллапса, сопровождающегося рождением новой вселенной за горизонтом событий.

Из совокупности сформулированных положений следует, что в диссертации решена научная проблема квантования гравитационно-связанных систем, получены новые результаты, отражающие различные уровни квантования в теории гравитации и развито новое научное направление, связанное с исследованием гравиато-мов, квантовых космологических моделей и квантового гравитационного коллапса.

Достоверность

Достоверность полученных результатов основывается па использовании аппарата общей теории относительности и квантовой теории, корректности использованных математических методов, а также на согласии результатов, полученных в диссертации, с известными результатами.

Личный вклад

Все изложенные в диссертации результаты получены самим автором либо при его непосредственном участии. Автором также осуществлён выбор объектов, направлений и методов исследования.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 4 и 6 Фрид-мановских международных семинарах по гравитации и космологии (С.- Петербург 1998, Каржез, Франция, 2004), на 4, 5 и 6 Международных конференциях по космо-микрофизике "Космион"(Москва 1999, 2001, 2004), на 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и 16 Ломоносовских конференциях по физике элементарных частиц (Москва 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009, 2011, 2013), па 10, 11, 13 и 14 Российских гравитационных конференциях (Москва 1999, Томск 2002, Москва 2008, Ульяновск 2011), на Международной конференции по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике (Москва 2010), на 5 Международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва 2001), на 1, 2 и 3 Школах-семинарах по теоретической космологии (Ульяновск 1997, 2000, 2003), на Международных конференциях "Физические интерпретации теории относителыюсти"Р111Т-2007 (Москва), Р1ЯТ-2009 (Москва), Р1КГ-2011 (Москва) и Р1ГСГ-2013 (Москва), на Российской школе-семинаре по гравитации и космологии (Казань 2007), па 16 и 17 Международных конференциях по общей теории относительности и гравитации (Дурбан, ЮАР, 2001, Дублин, Ирландия, 2004), на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13 Британских гравитационных конференциях (Саутгемптон 2001, Лондон 2002, Эмблсайд 2003, Оксфорд 2004, 2005, Ноттингем 2006, Кембридж 2007, Йорк 2008, Кардифф 2009, Дублин 2010, Глазго 2011, Саутгемптон 2012, Шеффилд 2013), па 3, 4, 5 и 6 Международных конференциях "Финслеровы обобщения теории относительности" (Москва 2007, Каир, Египет, 2008, Фрязиио 2009, Москва 2010), на Международной конференции по теоретической физике (Москва 2011), на Международной конференции „Нанотсхнологии и наноматериалы" (Москва 2009), на 41, 42, 43,44, 45 и 46 Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики физики и химии (Москва 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), на 47, 48 и 49 Всероссийских конференциях по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (Москва 2011, 2012, 2013), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Е. Левашова (Минск 1998), на научных семинарах в РУДН, МГУ им. М.В. Ломоносова, СПбГУЭФ, РГПУ им. А.И. Герцена (С.-Петербург) и в Портсмутском университете (Великобритания).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 49 работах, включая 28 статей в ведущих российских и зарубежных журналах из списка ВАК.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, трёх приложений, включая 1 рисунок, и списка цитируемой литературы, содержащего 255 наименований. Общий объём диссертации составляет 171 страницу.

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и задачи исследования, его научная новизна, теоретическая и практическая ценность, представлены основные положения, выносимые на защиту, а также кратко изложена структура диссертации.

Глава 1 носит обзорный характер. В ней проаналироваиы различные уровни квантования в теории гравитации и приведены сведения, необходимые для квантования гравитационно-связанных систем в последующих главах.

В §1.1 на основе куба А.Л. Зельмаиова [1] дана классификация физических теорий, содержащих фундаментальные константы с, Й, С, включая нерелятивистскую квантовую механику в гравитационном поле (Й, (3), релятивистскую квантовую механику в гравитационном поле и квантовую гравитацию (с, Й, С). Указаны соотношения между физическими величинами, характерными для этих теорий.

§1.2 посвящен квантовой механике в гравитационном поле.

В §1.2.1 рассмотрена нерелятивистская квантовая механика в искривлённом пространстве времени, которая сводится к уравнению Шрёдингера с гравитационным потенциалом ц> [2]:

где т - масса микрочастицы. Энергия водородоподобных уровней выражается через гравитационный эквивалент постоянной тонкой структуры

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

вМт Йс

где М - масса источника гравитационного поля.

В §1.2.2 в приближении Паули [3] вычислены релятивистские поправки к движению микрочастицы в центрально-симметричном гравитационном поле, т.е. с точностью ДО Од.

В §1.2.3 кратко обсуждается система уравнений Шрёдингера-Ньютопа [4], состоящая из уравнения Шрёдингера (1) и уравнения Пуассона:

А<р = 4тгСш|^|2, (3)

описывающая редукцию волнового пакета за счёт гравитациопого взаимодействия.

§1.3 посвящён квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени (5,6].

В §1.3.1 приводятся эффективные температуры теплового излучения при поляризации вакуума и рождении частиц [7]:

kTe}f = \/6ftc lim tJGt{x,x') - GM{x,x'), (4)

x'—IX

где Gt - температурная функция Грина, Gm - функция Грина в пространстве Мин-ковского. Рассмотрены эффекты Казимира, Хокинга и Унру.

В §1.3.2 рассмотрено рождение частиц в ранней Вселенной. Частицы с массой m наболее эффективно рождаются на комптоповских временах tc = —j. Число частиц с массой m и спином s, рожденных в начале радиационио-доминатной фазы, дается формулой (5]:

= (5)

где 6(0) = 5 • Ю-4 для скалярных, а = 5 • 10~3 для спинорных частиц, а0 -коэффициент в зависимости а = a0\/i масштабного фактора от времени.

В §1.4 рассматривается квантование гравитационного поля и искривлённого пространства-времени. В настоящее время существует два подхода к квантованию гравитации [8,9]: пертурбативный квантово-полевой подход с введением гравитонов и непертурбативиый геометрический подход, в котором квантуется как геометрия в целом, так и пространство-время. В рамках первого подхода построена теория квантования слабого гравитационного поля, теория суперструн и её низкоэнергетический предел супегравитация, а в рамках второго - петлевая квантовая гравитация (или квантовая геометрия), которая на масштабах L Ipi переходит в квантовую геометродинамику.

§1.4.1 посвящен анализу слабых гравитационных полей в рамках линеаризованной теории гравитации, которая сводится к теории тензорного поля в пространстве

Минковского [10]. Гравитационное взаимодействие между массами, описываемое законом всемирного тяготения, осуществляется путем обмена квантами этого тензорного поля - гравитонами: безмассовыми частицами со спином в = 2.

Интенсивность гравитационного излучения атома водорода при переходе 3р —>

8СтрПшЦЗр_ц, 1дн =-^-, (6)

где Шз1 - частота перехода, а

З7 /е2\2

= ' (7)

- сила осциллятора.

Пертурбативная квантовая теория гравитации является неперенормируемой, поэтому приходится либо переходить к супсргравитации и теории суперструн, либо рассматривать непертурбативные подходы.

§1.4.2 касается идей, лежащих в основе суперсимметрии, супсргравитации и суперструн [11,12]. Несмотря на перенормируемость моделей супергравитации для двух первых петель, эти модели оказались иеперепормируемы в высших порядках теории возмущений. Теория супергравитации является низкоэнергетнческим пределом теорий суперструн.

В §1.4.3 рассмотрены непертурбативные подходы. Квантовая гсометродинами-ка представляет собой квантование геометрии в целом. Волновая функция ф рассматривается в пространстве 3-геометрий и удовлетворяет уравнению Уилера-

ДеВитта, которое в вакууме имеет вид [13]:

+ = (8)

где %к ~ пространственная метрика, 3Д - 3-кривизна,

От = + 7иЦк ~ 1ц1ы) (9)

- суперметрика. Уравнение Уилера-ДеВитта представляет собой гамильтонову связь Нф = 0, следующую из уравнения Шрёдингера, поскольку = 0.

Петлевая квантовая гравитация обобщает квантовую геометродинамику на масштабах сравнимых с 1Р1 и представляет собой квантование самого пространства. Геометрические величины являются операторами, имеющими дискретные собственные значения. Для площади мы имеем

= (Ю)

i

где г - целые числа, ] - полуцелые. Петли Вильсона генерируют т.н. спиновые сети, образующие пространство. Эволюция спиновых сетей моделирует пространственно-временную пену.

Теория суперструн и петлевая квантовая гравитация представляют собой два современных подхода к квантованию гравитации. Первый претендует на описание всех элементарных частиц и их взаимодействий в многомерных пространствах, а второй, в основном, ограничивается учётом дискретности пространства при описании гравитационного взаимодействия.

Глава 2 посвящена описанию модели гравиатома.

В §2.1 изложена квантовая механика заряда в поле Шварцшильда. Показано, что на пробную частицу, обладающую массой т и зарядом <?, помимо ньютоновской силы, действующей на массу, на заряд пробной частицы действует сила самодействия (сила ДеВитта), которая является силой отталкивания (направлена от центра гравитационного поля). Величина этой силы даётся формулой

(11)

СГТ*

при г 3> гд. Движение заряда описывается уравнением Шрёдингера. При этом радиальная волновая функция удовлетворяет уравнению

г2 йг

где гд = - гравитационный радиус минидыры, гч = ^ - классический радиус заряженной частицы.

Энергетический спектр заряженной частицы, захваченной минидырой, запишется в виде

[2р+1+^/{21 + 1)1+ Щ

где

Л = В = Р = п-е- 1,

р = 0,1,2,..., I < п, п = 1,2,3,... тг и I главное и орбитальное квантовые числа соответственно.

В §2.2 введены объекты нового типа - гравиатомы, состоящие из минидыры и захваченной ею микрочастицы.

В §2.2.1 найдены условия существования гравиатомов с заряженными частицами, которые сводятся к геометрическому условию (частица вне горизонта минидыры), условию стабильности (частиц за время жизии уровней гравиатома) и условию неразрушения (за счёт приливных сил и эффекта Хокинга). Полученные условия существования выполняются только для водородоподобных гравиатомов, содержащих лептоны и мезоны с Z = 1 (электрон, мюон, таон, пион, каон, вино). Из них также следует, что возможные значения гравитационного эквивалента постоянной тонкой структуры попадают в интервал: ад = 0,5 ч- 0, 7. Отсюда следует необходимость рассмотрения релятивистских поправок к модели гравиатома (см. ниже).

При захвате барионов минидырой на высшие водородоподобные уровни образуется квантовый аккреционный диск.

В §2.2.2 на основе квантовой гидродинамики Э. Маделунга рассчитана модель квантовой аккреции. Для полной светимости аккреционного диска получено

у/к 9л, чт2с4 , ,

Ld = (14)

где

1 Г / /79 \

(15)

Ф(х) = 4= Ге-^Л. (16)

Светимость существенно превышает интенсивности электромагнитного излучения гравиатома при дипольных переходах для частиц с той же массой.

В §2.2.3 исследованы релятивистские поправки в приближении Паули к энергетическим уровням и волновым функциям водородоподобных гравиатомов, обусловленные девиттовским самодействием и спином микрочастицы с учётом медленного вращения минидыры.

Поправки к энергетическому спектру имеют вид: (1) _ тс2а3д / 2 е2 ад \ 3тс2а4д 2а^тЧа Г Зп2 - (I + '/2)2 2 п1 2п3 \1 + у2'Пс 3 + Ч2) 8п4 Пп3(1 + 1/2)2 [ п2(« + 1/г)2

(17)

Поправки вычислялась в рамках стационарной теории возмущений с использованием метрики Керра-Ныомена для чёрной дыры с медленным вращением, т.е. при а <§; ст, где а - удельный угловой момент черной дыры. Учитывалось также то обстоятельство, что движение частицы с массой т и зарядом q в поле Шварцшильда

эквивалентно движению незаряженной частицы той же массы в поле Рейсснера-Нордстрёма с источником, имеющим массу М и заряд ф =

В §2.2.4 рассмотрено электромагнитное и гравитационное излучение гравиато-мов. Вычислено диполыюе излучение гравиатома с учётом вышеуказанных поправок. Интенсивность диполыюго излучения дается формулой:

Е,

п1] '

Еп'1'у

(0)

/ ДпгДпЧ'Г^г

/ДМ^Г 10

(18)

где

учитывает расщепление уровней в зависимости от разности ] — з

Я^&ЛО)

Ио)

1п1,п'1'

(19)

с3 п1,п'1'

— интенсивность водородоподобного гравиатома без учета релятивистских поправок.

Вычислено квадруполыюе электрическое и гравитационное излучения водородоподобного гравиатома для перехода Зо? —>

Интенсивность электрического квадрупольного излучения запишется:

Пз =

2Не2и4 тс?

Интенсивность гравитационного излучения имеет вид:

Пз =

с3

-fзd^>ls■

(20)

(21)

В §2.3 исследованы гравитационно-связанные квантовые системы с нейтрино. В связи с тем, что нейтрино во Вселенной почти не взаимодействуют с разрежённым веществом (вне звёзд и ядер галактик) основную роль в динамике нейтрино с ненулевой массой играет гравитация. Нейтрино могут образовывать квантовые системы. Примерами таких систем являются минидыры и макротела, захватывающие нейтрино на квантовые уровни.

В §2.3.1 исследованы захватывающие нейтрино минидыры, образующие гравиа-томы, частота и интенсивность гравитационного излучения которых при переходе Ы Ъ

(22) (23) 11

4 т„с2 2

= 9 К «V

11Ь- 3 т1с4 „

- а 27 П 9

Для электронных нейтрино с т„с2 < 0,2 эВ масса минидыр находится в диапазоне М = 1017 -г- 1024 г, гравитационный эквивалент постоянной тонкой структуры ад = 6 - Ю-5 -т-7- Ю-1. Показано, что для гравиатома, имеющего минидыру с массой М = 2 • 1024г, энергия гравитационного излучения /га» = 2 • 10~2 эВ, а интенсивность 1дг = 2 • Ю-2 эрг/с, при этом размер системы о?в = 4 • 10~4см.

В §2.3.2 рассмотрены системы, представляющие собой макротела (ядра комет и небольшими астероиды), захватывающие нейтрино на квантовые уровни. Возможны как боровские водородоподобные уровни вне тела, так и томсоновские ос-цилляторные уровни внутри него. В последнем случае вычислено гравитационное излучение, имеющее частоту и интенсивность

где р - плотность макротела, Я - его радиус. В этом случае гравитационное излучение нейтрино слишком слабое, чтобы можно было говорить о его регистрации.

Глава 3 посвящена нспертурбативной квантовой космологии.

В §3.1 рассмотрена квантовая геометродинамика в минисуперпрострапстве.

Показано, что квантовая геометродинамика в пространстве 3-геометрий упрощается в случае наличия пространственной симметрии, что имеет место в квантовой космологии для однородных изотропных моделей, в том числе при наличии скалярного поля.

В §3.2 проанализированы изотропные квантовые космологические модели с идеальной жидкостью. В квантовой космологии для однородных изотропных моделей используется уравнение Уилера-ДеВитта в минисуперпространстве масштаб-пых факторов а, имеющее вид:

где к = 0,±1 - параметр модели, е - плотность энергии, 1Р1 = - планковская длина.

В §3.2.1 исследована многокомпонентная среда с плотностью энергии

(24)

(25)

(26)

где п = 3(1 + т) для баротропного уравнения состояния р = ые, с условием нормировки

£Д. = 1, (28)

п

где Вп - вклад п-ой компоненты в плотность энергии на горизонте дс Ситтсра г0. Среда имеет следующие компоненты:

1) фантомная материя при п < 0, из < — 1,

2) деситтеровский вакуум при п = О, ш — —1,

3) доменные стенки при п = 1, ги = — §,

4) струны при п = 2, V) = —

5) пыль при п = 3, V] = О,

6) излучение при п = 4, ти =

7) идеальный газ при п = 5, и! =

8) предельно жёсткая материя при п = 6, ы = 1,

9) экпиротичсская материя при п > 6, и> > 1. Уравнение Уилера-ДеВитта (20) с учетом соотношения

1 8тгСео

Зс*

сводится к уравнению типа стационарного уравнения Шрёдингера

(29)

= 0, (30)

где

Ща)

тР1С2

Ч

ЕМ?)"

Г° п/2,4

(31)

Показано, что уравнение (30) описывает Вселенную, которая ведет себя как планкеон с энергией излучения Е в поле остальных видов материи.

В §3.2.2 найдены осцилляторное и водородонодобпое додеситтеровекие решения. В случае среды с Вп -ф 0 при п = 0,2,4 вблизи минимума потенциальной энергии имеем осцилляторный энергетический спектр

Е = тр1с2+ . (33)

где п = 0,1,2,....

В случае среды с Вп ф 0 при п = 4,5,6 на малых а энергетический спектр имеет вид

Е = _М6 -Щтр1с>

¡и/

где р = 0,1,2,..., сводящийся при В6 = О к водородоподобному спектру.

В §3.2.3 рождение Вселенной из деситтеровского вакуума в результате квантовой флуктуации интерпретируется как туннелирование планкеона с энергией (32) через потенциальный барьер (31). Если среда состоит из деситтеровского вакуума, струн и излучения, вероятность рождения вселенной (коэффициент прохождения через потенциальный барьер) даётся формулой

О = ПЕ=0 охр |тг\/2 (п + ^ |,

(35) где

[ 2{к-Вг)Ф /V

- вероятность тунпелирования при Е = 0.

Из условия максимальности вероятности тунпелирования максимальна при к — В2<^1 найдены следующие соотношения между параметром модели и вкладами деситтеровского вакуума, струн и излучения:

А,« 1, |В2|<1, В4<1

для инфляционной модели с к = 0,

В0 <1, В2и1, В4 < 1 для струниоподобной модели с к = 1 и

В0 ~ 2, В2 и -1, В4 < 1

для смешанной модели с к = — 1,.

Т.к. Во + Вг ~ 1, то при к = 1 формула (36) принимает вид —(£)"}•

Из формул (36) и (37), получено, что рождение плоской и открытой Вселенной более вероятно, чем закрытой.

В §3.2.4 оценены параметры квантовой космологической модели, исходя из ограничения па флуктуации температуры реликтового излучения ~ < 10~5. Вычисляя ширины уровней под барьером и теплоёмкость ультрарелятивистских частиц, находим

3 • 10"5

у/к^Ж < (38)

Ладит

(3g)

Ззя-s то Ni

где ogut = ¿j ~ константа Теории великого объединения, N - число бсзмассовых степеней свободы. Полагая ^ = 10"9, N = 103, имеем у/к - В2 ~ Ю~3. В результате вычисления DE=Q при r0 ~ Ю-24 см для различных моделей было получено:

г-. -ю" п „-Ю15

DE=o.k=o-i = е I £>E=o,k=i = е

В §3.2.5 показана неинвариаптность уравнения Уилсра-ДеВитта относительно временной калибровки. Переходя в гамильтониане

где N{a) - функция хода, определяющая калибровку времени в интервале

ds2 = N2dt2 - dl2, (41)

от переменных а, ра к переменным

9 = J\J^jda> Ря = ^4

получено уравнение Уилера-ДеВитта Нф = 0 в виде

= О, (43)

dq2 Пг

где

2/>о V « '

Показано, что квантование энергии компонент среды в уравнении (43) зависит от временной калибровки

N(a) ~ ап~3. (46)

Например, при п = 3 квантуется пыль с функцией хода, соответствующей синхронному времени, а при п = 4 квантуется излучение с функцией хода, соответствующей конформному времени.

В §3.2.6 оценены поправки к квантовой геометродинамике, учитывающие дискретность пространства. Рассматривается квантовая однородная изотропная модель с учётом поправок, вычисленных в рамках петлевой квантовой космологии. Поправки сводятся к умножению коэффициентов Вп в потенциальной энергии (31) на величину {^щ + ^ , где множитель

Щя) = (¿)693/2{7[(?+1)11/4-|д-1|11/4]-119[(9+1)7/4-5зп(9-1)|д-1|7/4]}6 (47)

корректирует обратный объём, д = ¡^^ , а, = 7 =

Показано, что флуктуации плотности, обусловленные дискретностью пространства, оказываются существенными при оценке начальных возмущений в ранней Вселенной.

В §3.3 рассмотрены анизотропные квантовые космологические модели с идеальной жидкостью в рамках гамильтонового формализма. Используя уравнение Райча-удури, записывается лагранжиан, из которого строится гамильтониан. Переходя к операторам, получено уравнение Уилера -ДеВитта. Исследованы многокомпонентная модель и плоская модель с пылыо и деситтеровским вакуумом.

В §3.3.1, следуя формализму Арновитта-Дезсра-Мизнера (АДМ), из уравнения Райчаудури для анизотропных космологических моделей

О + \в2 - 4 + 2(ст2 - ш2) = -~(е + 3р), (48)

где в - скаляр расширения, А' - 4-ускорение, и - скаляр сдвига, ш - скаляр вращения, найдена гамильтонова связь. Метрика записывается в виде

¿в2 = (ТУ2 - ЛГаЛГа)сЙ2 - 2Лга(Йс/ха - -уар<Ы><1х(49)

где а,/? = 1,2,3, N - функция хода, ЛГа - функция сдвига, = а6, а(4) -

масштабный фактор.

В §3.3.2 исследована многокомпонентная квазифридмановская квантовая модель, для которой

е = —, А* = свд0(и' - ды), а = Ц, ~(р + е)а5и = (50)

а а с

где £ = const, J - угловой момент, а уравнение Уилера-ДсВитта принимает вид уравнения типа Шрёдингера (25). Показано, что в случае среды, состоящей из де-ситтеровского вакуума, струн и излучения, поправки к фридмановкой модели, обусловленные медленным вращения пыли, излучения и идеального газа, а также ускорением, дают вклад как в полную энергию

р VM7 за. 2ц \

так и в потенциальную энергию

К

+

4 — Зд00 25В|с2Гц(5 — 2д°°)

(52)

где 1п = Показано, что поправки к Е обусловлены вращением пыли, а поправки

Г0€о

к и(а) связаны с вращением идеального газа. Для этой модели вычислена вероятность туннелировапия вблизи максимума потенциального барьера, зависящая от удельных угловых моментов пыли и излучения.

В §3.3.3 исследована плоская квантовая модель среды, состоящей из деситтеров-ского вакуума и пыли, с учётом ее сдвига и вращения, уравнение Уилера-ДеВитта для которой имеет вид:

^ - У(а)ф = 0, (53)

где

У (а) = /кг2 + /2а4 + /За + /4 + /ба~2, (54)

/• - А г г - ВзГ° / - г _

Л — 14' л ~ „2/4 ' ,4 1 Л о,_2,,6о2/4> о„2/4 '

1р1 "о 1р1 1р1 ^010п31р1 V

Вероятность туннелировапия при /1 = 0, /2/5 /| принимает вид:

Показано, что комбинация величин /2,/4 и /5, зависящих от вкладов дсситтеров-ского вакуума и пыли в полную плотность эненргии, а также от вращения и сдвига пыли, квантованна.

В §3.4 рассмотрены полевые квантовые космологические моделям I типа по Бьяи-

ки.

§3.4.1 посвящен моделям со скалярным полем. Уравнение Уилера-ДеВитта в этом случае зависит от двух переменных: масштабного фактора а и скалярного

поля ф

д2 3 п д2

да2 + 4кс12р1а2дф2+Па'Ф]

ф = О, (57)

где

ы

8vGa

4

Ы2 -^У(ф)

(58)

которое является уравнением типа Клейна-Гордона-Фока. В лоренцевой области (V < 0) а играет роль времени, а / а<1ф - роль координаты, а в евклидовой области (V > 0) наоборот. Доказана эквивалентность между описаниями фридманов-ских космологических моделей с помощью скалярного поля с экспоненциальным потенциалом и идеальной жидкости с баротропным уравнением состояния. Скалярное поле выражается через масштабный фактор. Уравнение Уилера-ДеВитта в этом случае зависит только от одной переменной.

В §3.4.2 рассмотрены модели с нелинейным спинорным полем. Лагранжиан в этом случае имеет вид:

Ь = -^+1-{Уаф1аф-ф1аЧаф)-гпфф + Р1{3)±Р2{Р), (59)

где ф - спинорное поле, т - массовый параметр спинорного поля,

Fi{S) = hSn\ F2(P) = к2РП2, S = фф, Р = ф-у5ф. В случае щ = п2 = п

уравнение Уилера-ДеВитта принимает вид:

К^ + |С1Т4"3"Ф = 0' (60)

где к = ^r-, Ci = const, т = (ab2)1''3, Ф - амплитуда вероятности, а, Ъ - масштабные факторы по осям х и у, z. Это уравнение вполне аналогично уравнению для квантовой фридмановской модели с идеальной жидкостью. Получена связь между параметром нелинейности п и коэффициентом в баротропном уравнении состояния, а именно: п = 1+ги. Показано, что случай п = | соответствует постоянной, имеющей смысл энергии, квантованной слева от барьера, а случай, отвечающий инфляции (w —> —1), реализуется при п —» 0, что интерпретируется как безмассовое нейтрино. Случай пыли с w = 0 отвечает массивному линейному спинорному полю. Доказано, что нелинейное спинорное поле со степенной нелинейностью может моделировать уравнения состояния всех видов материи от экпиротической до фантомной.

§3.4.3 посвящен взаимодействующим скалярным, спинорным и векторным полям. Лагранжиан системы взаимодействующих гравитационного, спинорного, векторного и скалярного полей имеет вид:

R г - - М2 1

L = ~+-{Уаф1а-ф1аУаф)-тфф+—АаАа+-ф,афа(\-\А»А»-'2афф), (61)

где ф - епинорное поле, ф - скалярное поле, Аа = (^4^), 0,0,0) - векторное поле, М -масса кванта векторного поля, Лист- постоянные скалярно-векторного и скалярпо-спипорного взаимодействий соответственно. Гамильтопова связь имеет вид:

„ кПа /3„ М /П2 \ м2 ( аЪ2\

где Па,П(,,П0 - обобщённые импульсы, канонически сопряжённые с соответствующими кооординатами, С, во,д - постоянные. Заменяя импульсы операторами, получено уравнение Уилера-ДеВитта, решение которого оказывается водородоподобным с радиальной волновой функцией, являющейся полиномом Лагерра от т = \/аЬ2 с квантованными массами спипорного и векторного полей и скалярным полем, играющим роль азимутального угла. Показано, что геометродинамичеекое квантование масс сшшорных и векторных полей моделирует рождение частиц в гравитационном поле.

В §3.4.4 рассмотрение модели с газом Чаплыгина. Получены формулы, связывающие V для скалярного поля и Р для спипорного поля с параметрами уравнения состояния модифицированного обобщенного газа Чаплыгина

1)2 /г«

Р = (63)

Квантовые модели с газом Чаплыгина легко строятся, используя выражения для плотности энергии и потенциалов скалярного и спипорного полей.

Глава 4 посвящена квантовому гравитационному коллапсу и рождению новой вселенной. Затронуты также вопросы, касающиеся рождения дочерней вселенной внутри вечной чёрной дыры с деситтеровским регулярным ядром, создания вселенной в лаборатории и передачи информации в другую вселенную.

В §4.1 рассмотрен квантовый гравитационный коллапс. Геометрия коллапса в сопутствующей системе отсчёта в общих чертах совпадает с геометрией сжимающейся фридмановской модели. Отличие состоит в том, что на конечной стадии коллапса, согласно Э.Б. Глиперу [14], происходит переход уравнения состояния от предельно жесткого к вакуумному. Поэтому эта проблема анализируется в рамках квантовой космологии, используя уравнение Уилера-ДеВитта в минисуперпространстве, которое сводится к уравнению типа стационарного уравнения Шрёдингера (26):

<Ь \1р1) 7 ~7о (7— 7о)

В1

2 -7о.

где

В6 <

1 П

4 \г0

(65)

(66)

7 = —. При 7 = 7о уравнение состояния изменяется от р = р = |г, р = г к р = —е.

Из анализа волновых функций получено, что

70 - тр1 \1р1] '

(67)

где М масса коллапсирующего тела.

Э 'ргетичсский спектр в потенциальной яме, возникающей при изменении уравнения состояния, находится из уравнения:

В\ + 4п2

00

(68)

где

-27о4 < В4 < (69)

В §4.2 рассмотрено рождение новой вселенной в результате гравитационного коллапса. Показано, что квантовый гравитационный коллапс сопровождается туннели-рованием с уровней (69) через потенциальный барьер в область малых масштабных факторов, где энергетический спектр

в?

4 \г0

т.е. имеет тот же вид, что и (34), по с другими значениями констант, где

(70)

(71)

(72)

Вычислена вероятность тунпелирования в область малых масштабных факторов

Л = ехр

(73)

Показано, что вероятность рождения новой вселенной в другом пространстве в результате гравитационного коллапса в нашем пространстве равна О2. Обсуждается также возможность рождения дочерней вселенной внутри вечной чёрной дыры с деситтеровским регулярным ядром.

§4.3 отчасти носит обзорный характер. В нём рассмотрено создание вселенной в лаборатории [15] и передача информации в другую вселенную (16]. Предполагается, что новая вселенная может быть создана в лаборатории, если искусственно сжать массу М до её гравитационного радиуса гд = Щт^-, который порядка горизота де Ситтсра го. Показано, что вероятность создания вселенной в лаборатории совпадает с вероятностью, вычисленной выше, для случая рождения Вселенной в результате квантовой флуктуации.

Глава 5 посвящена общим свойствам гравитационно-связанных систем. Сравниваются свойства гравитационно-связанных систем на различных уровнях квантования, которым соответствуют рассмотренные выше объекты и процессы - гравиато-мы, квантовая вселенная, рождение вселенной и частиц, квантовый гравитационный коллапс. Найдены аналогии между соотношениями, полученными для указанных квантовых систем.

В §5.1 сравниваются энергии гравиатома и квантовой все. 1Снной, образующейся в результате гравитационного коллапса (ср. с атомом Леметра [17]). В обоих случаях получены водородоподобиые спектры Е = в единицах энергии, отличающихся на много порядков.

В §5.2 сравниваются массы минидыр и элементарных частиц, входящих в состав гравиатома, с массами минидыр и лептокварков, образующихся в ранней Вселенной. Получена единая формула: Мт = |т2;, где М - масса минидыры, т - масса частицы. Указаны масштабы длин, на которых справедливы соответственно петлевая квантовая гравитация, квантовая гсометродинамика, квантовая теория поля в искривлённом пространстве-времени и общая теория относительности.

В §5.3 показано, что вероятность рождения новой вселенной не зависит от того, что ему предшествовало - квантовый коллапс или квантовая флуктуация, и дастся формулой

§5.4 посвящен интерпретации полученных результатов и подведению общего итога изучению гравитационно-связанных квантовых систем и перспективам в решении проблемы квантования гравитации. Продемонстрировано, что общие свойства

(74)

гравитационно-связанных систем обусловлены тем, что в одном и том же квантовом объекте или процессе присутствуют сразу несколько уровней квантования.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации:

1. Построена модель гравиатома, состоящего из вращающейся минидыры и захваченной ею микрочастицы, с учётом релятивистских поправок в приближении Паули. Вычислено электромагнитное и гравитационное излучение гравиатома.

2. Исследованы гравитационно-связанные системы с нейтрино, которые захватываются на квантовые уровне минидырами и макротелами. Вычислено гравитационное излучение таких систем.

3. В рамках квантовой гидродинамики Э. Маделунга рассчитана аккреция ба-рионов на минидыры. Вычислена светимость аккреционного диска.

4. Исследованы однородные изотропные квантово-геометродинамические космологические модели с идеальной жидкостью с учётом поправок, вычисленных в рамках петлевой квантовой гравитации. Оценены параметры квантовой космологической модели, исходя из ограничений на флуктуации реликтового излучения. Вычислены энергетические уровни и вероятности рождения Вселенной и оценён вклад флуктуаций, обусловленных дискретностью пространства, в начальные возмущения плотности в ранней Вселенной.

5. Исследованы анизотропные квантовые космологические модели, исходя из их кинематических инвариантов, не используя явный вид метрики. Вычислены энергетические уровни и вероятности туннелироваиия для многокомпонентной модели с идеальной жидкостью. Получены условия квантования для комбинация величин, зависящих от деситтеровского вакуума, пыли, вращения и сдвига.

6. Исследованы квантовые полевые космологические модели. Получено, что уравнение Уилера-ДеВитта для моделей со скалярным и спинорным полями в некоторых случаях имеет тот же вид, что и для фридмановской космологической модели с идеальной жидкостью.

7. Построена квантово-геометродинамичсская модель гравитационного коллапса, приводящего к рождению новой вселенной в другом пространстве. Вычислены энергетические уровни и вероятность туннелирования в зависимости от массы кол-лапсирующего тела.

8. Показана неинвариантность уравнения Уилера-ДеВитта относительно временной калибровки. Найдена зависимость квантования различных видов материи от временной калибровки.

9. Найдена связь параметров скалярного и спинорного полей с параметрами ба-

ротроппого уравнения состояния и уравнения состояния модифицированного обобщённого газа Чаплыгина.

10. Найдены соотношения, являющиеся общими для различных гравитационно-связанных квантовых систем и связанных с ними объектов и процессов - гравиа-томов, квантовой вселенной, рождения вселенной и частиц, квантового гравитационного коллапса. Найдены аналогии между соотношениями, полученными для указанных квантовых систем.

В Приложении А описаны параметры анизотропии пространства-времени, в Приложении Б изложена космологическая модель с взаимодействующими полями, в Приложении В рассмотрена связь между классическими и квантовыми космологическими решениями.

Цитированная литература

1. A.JI. Зельманов, В.Г. Агаков. Элементы общей теории относительности. - М.: Наука, ФМ, 1989. - 240 с.

2. К. Kuchar. Gravitation, geometry and nonrelativistic theory // Phys. Rev. - 1980.

- v. 22. pp. 1285-1299.

3. Г. Бете, Э. Солпитер. Квантовая механика с одним и двумя электронами.: Пер. с англ. под ред. Я.А. Смородинского. - М.: ФМ, 1960. - 562 с.

4. Р. Пенроуз. Путь к реальности или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. Пер. с англ. - М.: Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007.

- 912 с.

5. A.A. Гриб, С.Г. Мамаев, В.М. Мостспапенко. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях. - М.: Атомиздат, 1980. - 296 с.

6. Н. Биррелл, П. Девис. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени.: Прер с англ. под ред. Я.И. Смородинского. - М.: Мир, 1984. - 356 с.

7. В.М. Мостепанеико, H.H. Трунов. Эффект Казимира и его приложения. - М.: Энсргоатомиздат, 1990. - 216 с.

8. С. Rovelli. Quantum Gravity. - Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.

- 455 p.

9. C. Kiefer. Quantum Gravity. - Oxford, UK: Oxford University Press, 2007.

- 355 p.

10. И.Л. Бухбипдср. Введение в петрурбативнуго эйнштейновскую квантовую теорию гравитации. // Лекционные заметки по теоретической и математической физике, т. I, ч. 1,2. Под ред. A.B. Аминовой. - Казань: Казанский университет, 1996.

- с. 195-255.

11. Ю. Весе, Дж. Бергер. Суперсимметрия и супергравитация: Пер. с англ. под ред. В.И. Огиевецкого. - М.: Мир, 1986. - 184 с.

12. М. Каку. Введение в теорию суперструн: Пер. с англ. под ред. И.Я. Арефьевой

- М.: Мир, 1999. - 624 с.

13. D.S. DeWitt. Quantum theory of gravity. I. The canonical theory. // Phys. Rev.

- 1967, v. 160. - pp. 1113-1148.

14. Э.Б. Глинер. Алгебраические свойства тензора энергии-импульса и вакуумно-подобное состояние вещества. // ЖЭТФ. - 1965. - т. 49, вып. 2(8). - сс. 542-548.

15. F. Farhi, А.Н. Guth, J. Guven. Is it possible to create a universe in the laboratory by quantum tunneling? // Nucl. Phys. - 1990, В 339. - 417-490.

16. J. Garriga, V.F. Mukhanov, K. Olum and A. Vilenkin. Eternal inflation, black holes and the future of civilizations. // Int. J. Theor. Phys. - 2000. - v. 39.- pp. 1887-1900.

17. G. Lemaître. L'hypothèse de l'Atome Primitiff. Essai de Cosmogonie. - Neuchatel: Edition du Griffon, 1946. - 203 p.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи в ведущих рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК

1. M. L. Fil'chenkov. Quantum radiation of a charge in a Schwarzschild field // Astronomische Nachrichten. - 1990. - vol. 311. - pp. 223 - 226.

2. M. JI. Филъчепков. Квантовая механика ранней Вселенной // Изв. ВУЗов. Физика. - 1995. - № 4. - сс. 78 - 82.

3. M. L. Fil'chenkov. The pre-de-Sitter Universe in terms of quantum mechanics // Phys. Lett. - 1995. - vol. B354. - pp. 208 - 212.

4. M. JI. Филъчепков. Поведение заряженной частицы в поле Шварцшильда // Изв. ВУЗов. Физика. - 1998. - Л* 7. - сс. 75 - 82.

5. M. L. Fil'chenkov. Quantum collapse and the birth of a new universe // Phys. Lett. - 1998. - vol. B441. - pp. 34 - 39.

6. M. L. Fil'chenkov. Collapse, birth of the Universe, creation of a new universe in the laboratory // Gravitation &; Cosmology Supplement. - 2000. - vol. 6. - pp. 37

- 42.

7. I. Dymnikova, A. Dobosz, M.L. Fil'chenkov, A. Gromov. A baby universe inside a black hole and variability of the cosmological constant // Gravitation & Cosmology Supplement. - 2000. - vol. 6. - pp. 78 - 93.

8. I. Dymnikova, A. Dobosz, M. L. Fil'chenkov, A. Gromov. Universes inside a Lambda black hole // Phys. Lett. - 2001. - vol. B506. - pp. 351 - 361.

9. V. G. Krechet, M. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Nonlinear spinor fields in quantum cosmology // Gravitation & Cosmology. - 2001. - vol. 7. - pp. 215 - 218.

10. I. Dymnikova, M. L. Fil'chenkov. Quantum hot Universe // Gravitation & Cosmology Supplement. - 2002. - vol. 8. - pp. 19 - 25.

11. I. Dymnikova, M. L. Fil'chenkov. Quantum birth of a hot Universe // Phys. Lett.

- 2002. - vol. B545. - pp. 214 - 220.

12. I. Dymnikova, M. L. Fil'chenkov. Quantum origin of a hot Universe // Int. J. Mod. Phys. - 2003. - vol. D12. - pp. 1197 - 1210.

13. В. Г. Кречет, M. Л. Филъчепков, Г. H. Шикии. Квантовая космологическая моделель типа Бьянки I с взаимодействующими спинорным и скалярными полями // Изв. ВУЗов. Физика. - 2004. - т. 46. - № 4. - сс. 15 - 19.

14. V. G. Krechet, M. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Quantum cosmology with scalar-vector and scalar-spinor interactions // Gen. Relat. Grav. - 2004. - vol. 36. - pp. 1641 - 1647.

15. V. G. Krechet, M. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Interacting fields in Bianchi I cosmological model // Gravitation & Cosmology. - 2004. - vol. 10. - pp. 149 - 152.

16. M. L. Fil'chenkov, R.Kh. Saibatalov. Quantum birth of a rotating Universe // Gravitation & Cosmology. - 2005. - vol. 11. - pp. 116 - 118.

17. V. G. Krechet, M. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Quantum cosmological model simulating boson and fermion interaction as a result of the primordial vacuum decay // Gravitation & Cosmology. - 2005. - vol. 11. - pp. 373 - 375.

18. M. L. Fil'chenkov. Quantum cosmology with rotation // Int. J. Mod. Phys. - 2005. - vol. A20. - pp. 2388 - 2392.

19. I. Dymnikova, M. L. Fil'chenkov. Gauge noninvariance of quantum cosmology and vacuum dark energy / Phys. Lett. - 2006. - vol. B635. - pp. 181 - 185.

20. M. L. Fil'chenkov, Yu. P. Laptev. Graviatom dipole radiation // Gravitation k Cosmology. - 2006. - vol. 12. - pp. 65 - 68.

21. G. N. Shikin, M. L. Fil'chenkov, V. G. Krechet. Equivalence between the descriptions of FRW cosmologies using a scalar field and perfect fluid // Gravitation & Cosmology. - 2007. - vol. 13. - pp. 267 - 268.

22. V. G. Krechet, M. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Equivalence between the descriptions of cosmological models using a spinor field and a perfect fluid // Gravitation and Cosmology. - 2008. - vol. 14. - pp. 292 - 294.

23. M. L. Fil'chenkov, R. Kh. Saibatalov, Yu. P. Laptev, V. V. Plotnikov. Anisotropic cosmological models in terms of Raychaudyuri and Wheeler-DeWitt equations // Gravitation and Cosmology. - 2009. - vol. 15. - pp. 148 - 150.

24. Ю. П. Лаптев, М.Л. Филъченков. Влияние дсвиттовского самодействия на дипольное излучение гравиатомов // Вести. РУДН., сер. "Математика, информатика, физика". - 2009. - №3. - сс. 80 - 84.

25. V. G. Krechet, М. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Nonlinear scalar and spinor fields simulating perfect fluids // Gravitation and Cosmology. - 2009. - vol. 15. - pp. 37

- 39.

26. D. Г. Кречет, M. Л. Филъченков, Г. H. Шикии. Однородная многокомпонентная космологическая модель с взаимодействующими спипорпым, скалярным и векторными полями при наличии тёмной энергии // Изв. ВУЗов. Физика. -2009. - № 10. - сс. 53 - 58.

27. V. G. Krechet, М. L. Fil'chenkov, G. N. Shikin. Cosmological models with nonlinear scalar and spinor fields simulating a generalized and modified Chaplygin gas // Gravitation and Cosmology. - 2010. - vol. 16. - pp. 228 - 230.

28. Ю. П. Лаптев, М.Л. Филъченков. Гравиатомы с учетом релятивистских поправок и вращения минидыры // Вести. РУДН., сер. "Математика, информатика, физика". - 2011. - №1. - сс. 107 - 115.

Публикации в других изданиях

29. М. L. Fil'chenkov. A quantum model of the pre-de-Sitter Universe // Proc. 3rd A. Friedmann Int. Seminar on Gravitation and Cosmology, St. Petersburg, July 4

- 12, 1995, Ed. Yu.N. Gnedin, A.A. Grib, V.M. Mostepancnko. - St. Petersburg: Friedmann Laboratory Publishing, 1995. - pp. 352 - 361.

30. M. L. Fil'chenkov. The quantum early Universe // Astronomical and Astrophysical Transactions. - 1996. - vol. 10. - pp. 129 - 133.

31. M. L. Fil'chenkov. Hydrogen-like energy spectrum of the early Universe // In: Problems of Fundamental Physics, Ed. A.I. Studcnikin. - Moscow: Publishing Division of ICAS, 1997. - pp. 169 - 173.

32. M. L. Fil'chenkov. The quantum collapse and the early Universe // Proc. 4th A. Friedmann Int. Seminar on Gravitation and Cosmology, St. Petersburg, June 17 -25, 1998, Ed. Yu.N. Gnedin, A.A. Grib, V.M. Mostepanenko, W.A. Rodrigues Jr.

- Campinas, SP, Brasil: Unicamp/ Imecc, 1999. - pp. 401 - 405.

33. M. L. Fil'chenkov. Late collapse, quantum miniholes and the birth of a new universe // In: Particle Physics at the Start of the New Millenium, Ed. A.I. Studenikin. -Singapore: World Scientific, 2001. - pp. 209 - 213.

34. M. L. Fil'chenkov. Quantum cosmological model with rotation // In: Frontiers of Particle Physics, Ed. A.I. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2003.

- pp. 284 - 288.

35. M. L. Fil'chenkov. Quantum cosmology revisited // В: Гравитация, космология и элементарные частицы. Сб. статей, посвященный 65-летию профессора, академика РАЕН А.А. Гриба. / Под ред. В.Ю. Дорофеева, Ю.В. Павлова, Е.А. Поберия, СПб: изд. СПбГУЭФ, 2004. - сс. 131 - 135.

36. М. L. Fil'chenkov. Quantum tunnelling in a rotating Universe // In: Particle Physics in Laboratory, Space and Universe, Ed. A.I. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2005. - pp. 135 - 139.

37. M. L. Fil'chenkov. Quantum cosmology and the global rotation problem // In: Particle Physics at the Year of 250th Anniversary of Moscow University, Ed. A.I. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2006. - pp. 163 - 166.

38. Yu. P. Laptev, M. L. Fil'chenkov. Electromagnetic and gravitational radiation of graviatoms // Astronomical and Astrophysical Transactions. - 2006. - vol. 25. - pp. 33 - 42.

39. P. X. Сайбаталов, M. JI. Фильченков. Квантовое рождение анизотропной Вселенной // Тр. Росс, школы-семинара по гравитации и космологии GRACOS-2007. - Казань: Изд. Фолиантъ, 2007. - сс. 152 - 155.

40. М. Л. Фильченков, Ю.П. Лаптев. Параметры анизотропии, выведенные из наблюдательной космологии // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике.

- 2007.- т. - 4. № 2(8) . - сс. 71 - 75.

41. Yu. P. Laptev, М. L. Fil'chenkov, S. V. Kopylov. Gravitationally bound quantum systems with leptons and mesons // Proc. 13th Int. Sci. Meeting PIRT-2007, 2

- 5 July, 2007, Ed. M.C. Duffy, V.O. Gladyshev, A.N. Morozov, P. Rowlands. -Moscow: BMSTU, 2007. - pp. 264 - 267.

42. М. Л. Фильченков, Ю. ГГ. Лаптев, P. X. Сайбаталов, В, В. Плотников. К вопросу об анизотропных космологических моделях // Гиперкомплсксные числа в геометрии и физике. - 2008. - т. 5. - №2(10) . - сс. 108 - 113.

43. М. Л. Фильченков, Ю. П. Лаптев, P. X. Сайбаталов. Ранняя Вселенная: рождение частиц и квантовая космология //В: Квантовая теория и космология. Сб. статей, посвященный 70-летию профессора А.А. Гриба. / Под ред. В.Ю. Дорофеева, Ю.В. Павлова, СПб: Свежинцев Е.Е., 2009. - сс. 205 - 213.

44. М. L. Fil'chenkov, S. V. Kopylov, Yu. P. Laptev. Quantum systems bound by gravity // In: Particle Physics on the Eve of LHC, Ed. A.I. Studcnikin. - Singapore: World Scientific, 2009. - pp. 249 - 252.

45. Yu. P. Laptev, M. L. Fil'chenkov. Graviatoms corrected for DeWitt's selfaction, minihole rotation and particle spin // Proc. 15th Int. Sci. Meeting PIRT-2009, 6 - 9 Juty, 2009, Ed. M.C. Duffy, V.O. Gladyshev, A.N. Morozov, P. Rowlands. -Moscow: BMSTU, 2009. - pp. 105 - 107.

46. M. L. Fil'chenkov, Yu. P. Laptev. Nonhydrogen-like graviatom radiation // In: Particle Physics at the Year of Astronomy, Ed. A.I. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2011. - pp. 268 - 270.

47. M. L. Fil'chenkov, Yu. P. Laptev. Loop quantum cosmology effects for homogeneous isotropic models // Proc. 16th Int. Sci. Meeting PIRT-2011, 6-7 July, 2011, Ed. V.O. Gladyshev, A.N. Morozov, P. Rowlands. - Moscow: BMSTU, 2012. - pp. 76 - 77.

48. M. L. Fil'chenkov, Yu. P. Laptev. Loop quantum cosmology corrections to Friedmann's model // In: Particle Physics at the Year of Tercentary of Mikhail Lomonosov, Ed. A.I. Studenikin. - Singapore: World Scientific, 2013. - pp. 273 -274.

49. M. L. Fil'chenkov. Quantum Gravity. - Moscow: Peoples' Friendship University of Russia, 2013. - 114 p.

АННОТАЦИЯ

Фильчеиков Михаил Леонидович Квантование гравитационно-связанных систем

Дана классификация уровней квантования в теории гравитации. Исследованы квантовые объекты нового типа - гравиатомы, состоящие из минидыры и захваченной ею микрочастицы. Исследована квантовая аккреция барионов на минидыры. Построены изотропные и анизотропные квантовые космологические модели. Вычислены петлевые квантовые поправки к квантовогеомстродинамической модели ранней Вселенной, учитывающие дискретность пространства-времени. Исследованы квантовые модели гравитационного коллапса, приводящего к рождению новой вселенной. Проанализированы общие свойства гравитационно-связанных квантовых систем.

ABSTRACT

Michael Leonidovich Fil'chenkov Quantization of Gravitationally Bound Systems

Levels of quantization in gravity theory have been classified. Quantum objects of a new type - graviatoms, comprising a minihole and a microparticle captured by it, have been investigated. Baryon quantum accretion onto minholcs has been examined. Isotropic and anisotropic quantum cosmological models have been constructed. Loop quantum corrections to quantum geometrodynamical models of the early Universe taking account of space-time discreteness have been calculated. Quantum models of the gravitational collapse involving the birth of a new universe have been studied. General properties of gravitationally bound quantum systems have been analysed.

Подписано в печать 30.12.13. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Усл. печ. л 2. Заказ 1782

Типография Издательства РУДН 115419, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ИНСТИТУТ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ

На правах рукописи

0520115314 1

ФИЛЬЧЕНКОВ Михаил Леонидович

КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННО-СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ

01.04.02 — теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Москва - 2013

Содержание

Введение ..................................................................4

Глава 1. Уровни квантования

в теории гравитации................................................21

1.1. Классификация физических теорий............................21

1.2. Квантовая механика в гравитационном поле..................25

1.3. Квантовая теория поля

в искривлённом пространстве-времени........................30

1.4. Квантование гравитационного поля и искривлённого пространства-времени ................................................32

Глава 2. Гравиатом....................................................41

2.1. Квантовая механика заряда в поле Шварцшильда............41

2.2. Объекты нового типа - гравиатомы............................43

2.3. Гравитационно-связанные системы с нейтрино................56

Глава 3. Непертурбативная квантовая космология ..........64

3.1. Квантовая геометродинамика в минисуперпространстве . . 04

3.2. Изотропные квантовые модели с идеальной жидкостью ... 66

3.3. Анизотропные квантовые модели с идеальной жидкостью . 79

3.4. Полевые квантовые модели......................................88

Глава 4. Квантовый гравитационный коллапс и рождение

новой вселенной......................................................98

4.1. Квантовый гравитационный коллапс..........................98

4.2. Рождение новой вселенной......................................101

4.3. Создание вселенной в лаборатории ............................102

Глава 5. Общие свойства гравитационно-связанных систем

на различных уровнях квантования..............105

5.1. Энергии гравиатома и квантовой вселенной..................105

5.2. Массы минидыр и частиц в гравиатоме и ранней Вселенной 107

5.3. Вероятность рождения новой вселенной ......................108

5.4. Интерпретация полученных результатов......................108

Заключение................................................................112

Приложение А. Параметры анизотропии пространства-времени, выведенные из наблюдательной космологии .... 121

Приложение Б. Однородная многокомпонентная космологическая модель с взаимодействующими спинорным, скаляр-

ным и векторным полями при наличии тёмной энергии . 128

Приложение В. Связь между классическими и квантовыми космологическими решениями.................. 138

Литература................................ 143

V

Введение

Проблема квантования гравитации до сих пор остаётся нерешённой в силу ряда причин.

С одной стороны, гравитация хорошо изучена. Ныотон открыл закон всемирного тяготения [1], объяснивший движение планет в гравитационном поле Солнца. В общей теории относительности (ОТО) гравитация трактуется чисто геометрически [2, 3], как искривление пространства-времени, создаваемое энергией-импульсом материи. Предсказанные ОТО классические эффекты (смещение перигелия планеты, отклонение Солнцем луча света) хорошо согласуются с астрономическими наблюдениями.

С другой стороны, в силу геометрического описания, требуемого ОТО, гравитационное взаимодействие выпадает из известного ряда физических взаимодействий, включающего электрослабое и сильное взаимодействия, которые удовлетворительно описываются в рамках теоретико-полевого подхода, используемого в рамках Стандартной модели физики элементарных частиц. Однако вне Стандартной модели возможна геометризация всех взаимодействий [4] и трактовка гравитации как калибровочного поля [5-8]. В мире элементарных частиц гравитационное взаимодействие оказывается слишком слабым (на 40 порядков слабее электромагнитного), поэтому им пренебрегают. В астрономических масштабах гравитационное взаимодействие играет определяющую роль. В ранней Вселенной существенны квантовые эффекты, затрагивающие и гравитационное взаимодействие, которые рассматриваются в рамках квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени [9, 10], квантовой геометродинамики и петлевой квантовой гравитации [11, 12].

С теоретико-полевой точки зрения гравитационное поле выделено, т.к.

при пертурбативном квантовании теория оказывается неперенормируемой на больших энергиях. Из чего многие делают вывод о невозможности квантования гравитации вообще. В то же время, в рамках геометрического подхода разработаны методы непертурбативного квантования как геометрии в целом (квантовая геометродинамика), так и пространства-времени (петлевая квантовая гравитация).

В настоящее время не существует единой схемы квантования гравитации, справедливой во всех физических ситуациях. Возможны лишь различные подходы к квантованию гравитации, часто не связанные друг с другом. В этом смысле теория квантования гравитации не построена, что не метает рассматривать существующие подходы к её квантованию в областях их применимости.

Гравитация рассматривается в рамках ОТО и ньютоновской теории гравитации в нерелятивистском случае, а квантовая теория на уровне квантовой механики и квантовой теории поля. Квантование проводится по теории возмущений с введением гравитонов для слабых гравитационных полей, супергравитации и суперструн, а также непертурбативными методами для геометрии в целом и пространства-времени.

Некоторые подходы к квантованию в теории гравитации довольно хорошо разработаны, им посвящена обширная литература. Особенно это касается квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени. Основными квантовыми эффектами сторонних полей в заданном гравитационном поле являются: поляризация вакуума, рождение частиц и спонтанное нарушение симметрии.

Слабые гравитационные поля обычно рассматриваются в рамках линеаризованной теории, которая сводится к теории тензорного поля в пространстве Минковского. Модели супергравитации (с локальной суперсим-

метрией, включающие гравитацию), оказываются неперенормируемыми в высших порядках теории возмущений. Теория супергравитации является низкоэнергетическим пределом теории суперструн, высшие размерности которой компактифицируются в пространствах Калаби-Яу.

Петлевая квантовая гравитация обобщает квантовую геометродина-мику на масштабах, сравнимых с планковской длиной. Геометрические величины являются операторами, имеющими дискретные собственные значения, поэтому в петлевой квантовой гравитации нет расходимостей.

Другие подходы до сих пор не нашли применения к конкретным задачам, возникающим в релятивистской астрофизике и космологии. В основном это касается квантовой механики в гравитационном поле, квантового гравитационного коллапса и квантовой космологии, когда мы имеем дело с гравитационно-связанными квантовыми системами. Решение этих проблем является весьма актуальным как с точки зрения создания последовательной теории квантования гравитации, так и в связи с построением квантовых моделей компактных астрофизических объектов и ранней Вселенной. Их значение особенно важно в виду всё возрастающего потока информации, получаемой при астрономических наблюдениях и космических экспериментах.

Целью работы является теоретическое исследование гравитационно-связанных квантовых систем, в частности, состоящих из минидыры и захваченной ею элементарной частицы (гравиатомов), квантового гравитационного коллапса и непертурбативных квантовых космологических моделей.

Научная новизна

1. Впервые были предложены квантовые объекты нового типа - гра-виатомы, состоящие из вращающейся мидыры (первичной чёрной дыры) и удерживаемой ею за счёт гравитационного взаимодействия микрочастицы. Найдено соотношение между массами минидыры и микрочастицы. В приближении Паули вычислены энергетический спектр, электромагнитное и гравитационное излучения гравиатома.

2. Впервые исследована квантовая аккреция барионов на минидыры на основе квантовой гидродинамики Э. Маделунга. Вычислена светимость аккреционного диска, образующегося вокруг минидыры.

3. Впервые исследованы гравитационно-связанные квантовые системы с нейтрино, которые могут захватываться как минидырами, так и макротелами (ядрами комет, небольшими астероидами и т.п.). Вычислено гравитационное излучение таких систем.

4. Впервые построены квантовые геометродинамические модели ранней Вселенной с учётом поправок, учитывающих дискретность пространства. Впервые оценены параметры квантовых космологических моделей, исходя из ограничений на флуктуации реликтового излучения. Впервые было получено, что рождение открытой и плоской Вселенной более вероятно, чем закрытой.

5. В рамках петлевой квантовой гравитации впервые было показано, что дискретность пространства играет заметную роль при оценке начальных возмущений плотности в ранней Вселенной.

6. Впервые разработан подход к квантованию анизотропных космологических моделей в зависимости от их кинематических инвариантов, не использующий явный вид метрики.

7. Впервые построена квантовая модель гравитационого коллапса и

исследована её связь с рождением новой вселенной в результате туннели-рования в другое пространство. Вычислен энергетический спектр и вероятность туннелирования в зависимости от массы коллапсирующего тела.

Теоретическая и практическая ценность

Теоретическая ценность работы определяется тем, что в ней решены проблемы квантования гравитационно-связанных систем. Практическая ценность работы состоит в том, что её результаты могут быть использованы при интерпретации квантовых эффектов в компактных астрофизических объектах и ранней Вселенной, в том числе в связи с исследованиями по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике, проводимыми как в России так и за рубежом.

Положения, выносимые на защиту

1. Релятивистская модель гравиатома, состоящего из вращающейся минидыры и захваченной ею микрочастицы.

2. Модели гравитационно-связанных систем с нейтрино, которые захватываются на квантовые уровни минидырами и макротелами.

3. Многокомпонентные квантовые изотропные космологические модели с учётом дискретности пространства и её роли при оценке начальных возмущений плотности в ранней Вселенной.

4. Квантовые анизотропные космологические модели с вращением, сдвигом и ускорением.

5. Модели квантового гравитационного коллапса, сопровождающегося рождением новой вселенной за горизонтом событий.

Из совокупности сформулированных положений следует, что в диссертации решена научная проблема квантования гравитационно-связанных систем, получены новые результаты, отражающие различные уровни квантования в теории гравитации и развито новое научное направление,

связанное с исследованием гравиатомов, квантовых космологических моделей и квантового гравитационного коллапса.

Достоверность полученных результатов основывается на использовании аппарата общей теории относительности и квантовой теории, корректности использованных математических методов, а также на согласии результатов, полученных в диссертации, с известными результатами.

Личный вклад

Все изложенные в диссертации результаты получены самим автором либо при его непосредственном участии. Автором также осуществлён выбор объектов, направлений и методов исследования.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 4 и б Фридмановских международных семинарах по гравитации и космологии (С.- Петербург 1998, Каржез, Франция, 2004), на 4, 5 и б Международных конференциях по космомикрофизике «Космион» (Москва 1999, 2001, 2004), на 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и 16 Ломоносовских конференциях по физике элементарных частиц (Москва 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2007, 2009, 2011, 2013), на 10, И, 13 и 14 Российских гравитационных конференциях (Москва 1999, Томск 2002, Москва 2008, Ульяновск 2011), на Международной конференции по гравитации, космологии и релятивистской астрофизике (Москва 2010), на 5 Международной конференции по гравитации и астрофизике стран азиатско-тихоокеанского региона (Москва 2001), на 1, 2 и 3 Школах-семинарах по теоретической космологии (Ульяновск 1997, 2000, 2003), на Международных конференциях "Физические интерпретации теории относительности" РП1Т-2007 (Москва), РЩТ-2009 (Москва), РН1Т-2011 (Москва) и РЩТ-2013 (Москва), Российской школе-семинаре по гравитации и космологии (Казань 2007), на 16 и 17 Международных конференциях

по общей теории относительности и гравитации (Дурбан, ЮАР, 2001, Дублин, Ирландия, 2004), на 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13 Британских гравитационных конференциях (Саутгемптон 2001, Лондон 2002, Эмблсайд 2003, Оксфорд 2004, 2005, Ноттингем 2006, Кембридж 2007, Йорк 2008, Кардифф 2009, Дублин 2010, Глазго 2011, Саутгемптон 2012, Шеффилд 2013), на 3, 4, 5 и б Международных конференциях "Финслеровы обобщения теории относительности"(Москва 2007, Каир, Египет, 2008, Фрязино 2009, Москва 2010), на Международной конференции по теоретической физике (Москва 2011), на Международной конференции „ Нанотехнологии и наноматсриалы" (Москва 2009), на 41, 42, 43, 44, 45 и 46 Всероссийских конференциях по проблемам математики, информатики физики и химии (Москва 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010), на 47, 48 и 49 Всероссийских конференциях по проблемам физики частиц, физики плазмы и конденсированных сред, оптоэлектроники (Москва 2011, 2012, 2013), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Е. Левашёва (Минск 1998), на научных семинарах в РУДН, МГУ им. М.В. Ломоносова, СПбГУЭФ, РГПУ им. А.И. Герцена (С.-Петербург) и в Портсмутском университете (Великобритания).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 49 работах, включая 28 статей в ведущих российских и зарубежных журналах из списка ВАК.

Содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, трёх приложений и списка цитируемой литературы.

Глава 1 носит обзорный характер. В ней проаналированы различные уровни квантования в теории гравитации и приведены сведения, необходимые для квантования гравитационно-связанных систем в последующих

и

главах.

В §1.1, На основе куба А.Л. Зельманова дана классификация физических теорий, содержащих фундаментальные константы, включая (не)релятивистскую квантовую механику в гравитационном поле, квантовую теорию поля в искривлённом пространстве-времени и квантовую гравитацию. Указаны соотношения между физическими величинами, характерными для этих теорий.

§1.2 посвящен квантовой механике в гравитационном поле.

В §1.2.1 рассмотрена нерелятивистская квантовая механика в искривлённом пространстве-времени, которая сводится к уравнению Шрёдингера с гравитационным потенциалом.

В §1.2.2 в приближении Паули вычислены релятивистские поправки к движению микрочастицы в центрально-симметричном гравитационном поле.

В §1.2.3 кратко обсуждается система уравнений Шрёдингера-Ныото-на, состоящая из уравнения Шрёдингера и уравнения Пуассона, описывающая редукцию волнового пакета за счёт гравитационого взаимодействия.

§1.3 посвящён квантовой теории поля в искривлённом пространстве-времени. В §1.3.1 приводятся эффективные температуры теплового излучения при поляризации вакуума и рождении частиц.

В §1.3.2 рассмотрено рождение частиц в ранней Вселенной.

В §1.4 рассмотрено квантование гравитационного поля и искривлённого пространства-времени. В настоящее время существует два подхода к квантованию гравитации: пертурбативный квантово-полевой подход с введением гравитонов и непертурбативный геометрический подход, в котором квантуется как геометрия в целом, так и пространство-время. В рамках первого подхода построена теория квантования слабого гравитационного

поля, теория суперетрун и её низкоэнергетический предел - супегравита-ция, а в рамках второго - петлевая квантовая гравитация (или квантовая геометрия), которая на масштабах много больших планковской длины переходит в квантовую геометродинамику.

§1.4.1 посвящен анализу слабых гравитационных полей в рамках линеаризованной теории гравитации, которая сводится к теории тензорного поля в пространстве Минковского. Гравитационное взаимодействие между массами, описываемое законом всемирного тяготения, осуществляется путем обмена квантами этого тензорного поля - гравитонами.

Пертурбативная квантовая теория гравитации является неперенорми-руемой, поэтому приходится либо переходить к супергравитации и теории суперструн, либо рассматривать непертурбативные подходы.

§1.4.2 касается идей, лежащих в основе суперсимметрии, супергравитации и суперструн. Несмотря на перенормируемость моделей супергравитации для двух первых петель, эти модели оказались неперенормируемы в высших порядках теории возмущений. Теория супергравитации является низкоэнергетическим пределом теорий суперструн.

В §1.4.3 рассмотрены непертурбативные подходы. Квантовая геомет-родинамика представляет собой квантование геометрии в целом. Петлевая квантовая гравитация обобщает квантовую геометродинамику на масштабах сравнимых с планковской длиной и представляет собой квантование самого пространс�