Стохастическое квантование гравитационного поля и физических полей на фоне искривленного пространства-времени тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра теоретической физики

На правах рукописи УДК 530.145:530.12:531.51

БУДЫЛИН Сергей Львович

СТОХАСТИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ И ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ НА ФОНЕ ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

01.04.02 -ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА - 1991

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-ыатеыатических наук,

профессор Д.Д.Иваненко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н.Мельников

кандидат физико-ыатеыатических наук А.фКаыешцик.

^едущая организация: Ярославский государственный университет

Защита диссертации состоится "Я " О^АОиулЛ 1992г.

часов на заседании Специализированного совета К 053.05. на физическом факультете МГУ им. М,В.Ломоносова (117234, Москва, Ленинские горы). С^Р/1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ,

Автореферат разослан и н 1992г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандвдат физ иио-математических

наук ^Г^^!г^П.А.Поляков

оссмвзкля г~ 77~Т

/ДА,

¡ИБШПЕКЛ --------- '

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРЖТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы в квантовой теории поля все шире используется метод стохастического квантования, предложенный в 1981 году Паризи и Ву, Метод представляет'собой процедуру квантования полевых теорий, альтернативную общепринятым операторному и функционально-интегральному подходам и основанную на теории стохастических дифференциальных уравнений. Метод, с одной стороны, имеет ряд технических преимуществ над обычным'подходом к квантованию, а с другой стороны, наталкивает на совершенно новый взгляд на основания квантовой теории, связь случайного и детерминированного в квантовой физике, Особый интерес представляют перспективы применения метода к квантованию гравитации (так как известно, что при традиционном подходе возникают сложности, связанные с неперенормируемостью), а также к квантованию полей на фоне классической гравитации. Слабая разработанность этих вопросов в литературе и делает актуальной тему диссертации.

Цель работы. Получение квантовых характеристик гравитацион-

«

ного и других полей с использованием метода стохастического квантования и сопоставление результатов с результатами обычного подхода.

Научная новизна. В работе проведено стохастическое квантование скалярного, электромагнитного и янг-миллсовского полей в формализме первого порядка, гравитационного поля в формализме Эрнштер.на-Картана, скалярного и электромагнитного полей на фоне классической гравитации. Найдены функции Грина и стохастические пропагаторы, построена стохастическая теория возмущений. Проведена стохастическая регуляризация на искривленном фоне, получена перенормировка массы скалярного поля на искривленном поде с пс-

пользованием стохастического квантования.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для вычисления наблюдаемых величин (сечений рассеяния процессов с участием гравитационного поля), а также при проведении численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах теоретической физики Д.Иваненко на физическом факультете МГУ, на Научно-практической конференции в |УДН им. П.Лу-мумбы (1988г.), на УП всесоюзной гравитационной конференции (Ереван, 1988 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликованы 3 статьи.

Объем "и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, -аклшения и трах приложений. Текст диссертации изложен на 126 страницах, содержит- 4 рисунка и список литературы из 54 наименований. . _

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении излагается постановка задачи, обсуждается актуальность темы работы, описывается общая структура диссертации.

Глава I посвящена краткому изложению метода стохастического квантования, построению стохастической теории возмущений и введению стохастической регуляризации.

Суть метода стохастического квантования,.введенного Даризи и Ву, состоит в следующем. В теорию евклидовых полей вводится новый пятый параметр £ , называемый фиктивным временем. Затем пос тулируется стохастическое дифференциальное уравнение (уравнение Ланжевена):

Здесь у - квантуемое поле, - функционал действия для

него, ^ - гауссов белый шуы.

Вычислив корреляционные функции случайного процесса, определяемого этим уравнением, ысето убедиться, что при ~Ь 00 они окаяутся эквивалентными функциям Грина евклидовой квантовой теории поля.

Таким образом, существенно квантовые объекты получается без привлечения традиционного аппарата квантования, -

Этот метод квантования обладает рядсм технических преимуществ над обычным подходом, в частности он удобен для компьютерного моделирования. При квантовании калибровочных теорий не возникает необходимости фиксации калибровки и введения духов, снимается проблема неоднозначностей Грибова. С более общей точки зрения, метод стохастического квантования дает нам новый взгляд на природу случайного в квантовой физике. Случайность сводится к шумовому слагаемому, влияющему на эволюцию системы в фиктивном времени.

Стохастическая теория возмущений получается при решении уравнения Ланяевена [,:етодом итераций. Топология получаемых диаграмм совпадает с топологией обычных диаграмм ФеЁнмана, но в них присутствуют линии двух типов: изображающие функцию Грина уравнения Ланжевена и стохастический пропагатор данного поля. Для скалярного поля с параметром массы гЯ соответствующие выражения таковы:

--.

ь 4 К г + т1

При стохастическом квантовании полей возможно использование специфического метода регуляризации расходящихся диаграмм -стохастической регуляризации. Его вдея состоит в тар, что дельта - функция, стоячая в корреляторе белых шумов уравнения Ланже-вена. "размазывается", заменяется на гладкую функцию:

причел

Л -V О»

Здесь А - параметр регуляризации. Оказывается, что при удачном выборе размазывагщвй функции интегралы, соответствующие диаграммам теории возмущений, конечны при конечных А , что и требуется. Этот метод регуляризации хорош тем, что на нарушает внутренних симметрий теории.

® главе П проведено каноническое и стохастическое квантование скалярного поля в формализме первого порядка. Эта задача представляет самостоятельный теоретический интерес, но для нас она важна как модель, иллюстрирующая некоторые важные свойства, возникающие 'при квантовании гравитации.

Под формализмом первого порядка понимается подход, при котором за счет увеличения числа полевых переменных порядок урав-

нений поля снижается со второго до первого (формализм Дэффина-Кеммера для скалярного поля, формализм Палатдаи в гравитации и др.).

Поскольку в лагранжиан в формализма первого порядка производные поля входят лишь линейно, то эта система является вырожденной, то есть обладает связями. При обычном подходе она подлежи11 квантовании по правилам для систем со связями. Соответствующий функциональный интеграл по части перемените берегся явно. Доказано, что результат эквивалентен обычному (теории второго по-, рядка). Произведено стохастическое квантование скалярного поля в формализме первого порядка, найдены моды уравнения Ланжевена, функции Грина и стохастические пропагаторы мод. Для пропагатора физическоги поля ^ получается правильное выражение при

выкладки аналогичны). Показано, что сумма всех диаграмм данной топологии дает выражение, соответствующее обычной файнмановской диаграмме. Отдельно рассмотрен ваяний случай безмассового поля.

В главе Ш рассматривается каноническое и стохастическое квантование калибровочных теорий (электро-ыагнитное и янг-ыиллсов-ское поля) в формализме первого порядка. Эта задача также представляет как самостоятельный, так и методологический интерес, Как и для скалярного поля, при- каноническом квантовании калибровочной теории в формализме первого порядка функциональный интеграл по части переменных берется явно и результат совпадает с обычным. При стохастическом квантовании, однако, возникает ряд новых эф-

Построена теория возмущений для X у ^ - теории (в случае

фектов, После вычисления иод уравнений Лашсевена, их функций Грина и стохастических пропагагоров можно получить пропогатор калифов очного поля А^, (с точностью до членов, акспоненциа-лько малых по '~Ь ) в виде:

Ь* (К**) - •

I

Первое слагаемое соответствует стандартному пропагатору в калибровке Ландау. Ьтороа слагаемое отвечает вкладу нулевых мод уравнений Лашсевена (возникающих из-за калибровочной инвариантности) и не влияет на калибровочно-ин вариантные величины в случае абеле-вой теории. Стохастическая теория возмущений для янг-миллсовско-го поля в формализме первого порядка получается весьма сложной (из-за большого числа мод), но она обладает рядам интересных особенностей, Прежде всего, в ней отсутствуют духи. Вклад духов имитируется вкладом нулевых ыод, Кроме того, в теории возмущений возникают только тройные вершины, а четверные отсутствуют, Четы-рехчастичяое взаимодействие происходит только через промежуточную моду:

х - х^+".■

Однако наличие в теории нединамической (нераспространяодейся) моды приводит к эффективному локальному четырехчастичному взаимодействию.

Глава 1У посвящена стохастическому квантованию калибровочной теории гравитации. Калибровочная теория гравитации в подхода

Э й шт e Я на -Карт ana является теорией первого порядка, поэтому при квантовании широко применяются результаты двух предыдущих глав. В главе используется метод спиновых проекторов, отвечавший разложению полей по состояниям с определенным спином - четностью. Найдены моды уравнений Ланжевепа, функции Грина и стохастические пропагаторы мод. Как и в предыдущей главе, часть мод отказывается нединамическими, а часть - нулевыми. Для успешного обращения с отрицательными модами вводится конформная возвращавдая сила. В результате для проиагатора физической составляющей поля y?<j 6 (симметричная часть тетрады) получим

П (K-i.t) ' ( PJÏ (2-) -i (О•))-

Здесь Л - размерный параметр лагранжиана гравитационного поля, УУ\ - параметр размерности шссы, вводимый в уравнение Лан-жевена для соответствия размерностей, Р^ (j - спиновые проекторы для состояний со спином-четностью . В этом выражении первое слагаете совпадает с пропагатором, получаемым при каноническом квантовании, а второе отвечает вкладу нулевых мод.

Глава У посвящена стохастическому квантованию на фоне искривленного пространства - времени,

В главе используется метод локально-импульсного разложения, состояний в том, что при больших к функция Грина разлагается в сумму вида ^

4- 0

где ^ (к) ~ , а С^ - характеристика пространст-

ва-времени в точке разложения, содержащая производные метрики ^ -го порядка.

. Произведено стохастическое квантование скалярного поля на фоне искривленного пространства-времени. Получена функция Грина уравнения Ланжевена в локально-импульсном представлении. Для пропагатора поля получаем:

Ьы^л)-^ - гт-^ + «.«--а.^,.

Здесь ^ , , ^«ч?- функции тензора кривизны и его производных в точке разложения. В координатном представлении пропагатор можно представить в вида:

где ^ £ (х,х') - некоторые известные функции.

Затем проведена стохастическая регуляризация теории. При использовании размазывающей функции _ ■•

<Кл ^

полученный регуляризоБанннй пропагатор связан с лерегуляризован-

нш пропагатором соотношением

Далее проведена перенормировка в однопетлевом приближении пропагаюра скалярного поля с саыодеЯсгвиеы вида ^ У , при использовании стохастической регуляризации. Расходимости диаграмм уничтожаются за счет введения в теорию контрчленной вершины -Ф—.'

+ з * + з Ф *

± —Ф-— ——

Это соответствует перенормировке пассы скалярного поля ут»1--* тЧ Е . гДе .

^ Г - Ъ + ГСЛ/п)).

Здесь Л - константа взаимодействия, % - параметр лагранжиана, обеспечивающий конформную инвариантность, £ - скаляр кривизны, Р (Л, _ некоторая ограниченная .при О"

функция, конкретный ввд которой опредалдется наложением физических условий на пропагатор,

В этой же главе,проведено стохастическое квантование электромагнитного поля на фоне искривленного пространства-времени с использованием локально-импульсного разложения. Получена функция Грина уравнения Ланжевена и стохастический пропагатор поля. Проведена стохастическая регуляризация теории, получен регуляризован-ный" пропагатор.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные

в диссертации,

В Приложении А доказывается ряд полезных теорем, необходимых для лучшего понимания связи между стохастическим и каноническим квантованием, а также между формализмами первого и второго порядков. Теоремы используются во второй и третьей главах,

В Приложении Б выписана стеновые проекции, используемые в главе четвертой при квантовании гравитационного поля.

В Приложении В излагается метод нормальных координат, используемый При локально-импульсных разложениях в главе пятой.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В диссертационной работе прсхеедено стохастическое квантование скалярного, электромагнитного и ннг-миллсовского полей в формализме первого порядка, гравитационного поля в переменных тетрада - связность, а также скалярного и электромагнитного полей на фоне искривленного пространства-времени. Подучены следуюн щие результаты:

1. Построена каноническая схема квантования скалярного поля в формализме первого порядка, как системы со связями (в га-мильтоновоы подхода). Показано, что при этсш получается правильное (соответствующее обычной теории второго порядка) выражение для ^ -матрицы.

2. Рассмотрено применение процедуры стохастического квантования к скалярному самодействующему полю в формализме первого порядка. Найдены моды уравнений Ланжевена и стохастические пропага-торы полей. Построена стохастическая теория возмущений для самодействия и доказана применимость полученных результатов к

А Ур^ -теории ( П - лдоЗое). Показано, что во всех порядках тео-

- и -

рии возмущений она дает правильный ответ при фиктивном времени 71 , стремящимся ^бесконечности,

3. Проведено стохастическое квантование электромагнитного ноля в формализме первого порядка, найдены моды уравнений Лан-кевена и стохастические пропагаторы, Показано, что при пропагатор поля А^ имеет правильный вид с точностью до членов, пропорциональных Ь (которые но дают вклада в калибро-вочно-инвариантные величины).

4. Выполнено стохастическое квантование поля Янга-Миллса • в формализме первого порядка и построена стохастическая теория возмущений. Результат качественно сравнивается с результатом обычного подхода,

5. Схема стохастического квантования линеаризованного лагранжиана гравитационного поля обобщена на случай калибровочной теории гравитации, динамическими переменными которой являются тетрада и связность ( , ^аЪ/л ). Найдены моды уравнений Ланжевена и стохастические пропагаторы полей. Показано, что для физического поля ^аб (симметричная часть тетрады) получается пропагатор, совпздахвдий при ~Ь (с точностью до членов, пропорциональных ~Ь и не дающих вклада в калибровочно-инвариантные величины) с пропагатором, полученным обычными методами,

6. Проведено стохастическое квантование скалярного поля на фоне искривленного пространства-времени с использованием метода локально-импульсного разложения. Получены функция Грина и пропагатор.

7. Проведена стохастическая регуляризация, найдено выражение' для стохастически регуляризованного проаагягора скалярного цоля на искривленном фоне.

8. С использованием полученных результатов проведена одно-петлавая перенормировка двухточечной функции Грина скалярного поля на искривленном фоне, сводящая к перенормировке массы.

9. Выполнено стохастическое квантование электромагнитного поля на фоне «оживленного пространства-времени. Получены функ-, ция Грина и пропагатор.

10, Проведена стохастическая регуляризация пропагатора фотона на искривленном фоне.

11. Доказан ряд' теорем о связи стохастического и канонического квантования и о связи квантовых теорий в формализме первого и второго порядков.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Будылин С.Л., Пронин П.И. Стохастическое квантование калибровочной теории гравитации.- Материалы VII всесоюзной гравитационной конференции. Ереван, 1883,

с.251-253.

2. D.Ivanenko, S.Budylin, P.Pronin. Stoohastio quantization of Einstein-Cartan gravitational theory.-Ann. dor Phys.,1988, v.45, p.101-189.

3. S.Budylin, P.Pronin. Stoohastio quantization on the Rienannian background.- Cone. Theor. Phya., 1991, v.l. Ho.2, p.236-248.

Поцп. в пвч. 29.09.92 г. Тирэ* 90 экз. Заказ Л 447

Централизованная типография ГА- "Соизстройматаривлов