Поздняя инфляция в киральной космологической модели с темной энергией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

0050О Iнад».

На правах рукописи

ц

Аббязов Ренат Рашидович

Поздняя инфляция в киральной космологической модели с темной энергией

01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4 АПР 2013

Ульяновск - 2013

005051402

Работа выполнена на кафедре физики физико-математического факультета Федерального Государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова». Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор

Червон Сергей Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, ФГУП <гВсероссийский научно-исследовательский институт метрологической службы», руководитель Центра гравитации и фундаментальной метрологии Мельников Виталий Николаевич,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау Каменщик Александр Юрьевич

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжкий) Федераль-

ный Университет»

Защита состоится 18 апреля 2013 г. в 1530 часов на заседании диссертационного совета Д 212.203.34 при ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов», расположенном по адресу: 115419, г. Москва, ул.Орджоникидзе, д.З, зал Ж»1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Российский университет дружбы народов» по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан *_»_2013 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанпому адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук Попова В.А

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Важной задачей современной космологии является объяснение ускоренного расширения Вселенной и образование ее крупномасштабной структуры, для решения которой были предложены модели с космологической постоянной, скалярными полями, обобщенной гравитации.

В последнее время [9] рассматриваются модели с взаимодействующими скалярными полями, темной энергией и темной материей и инфлатоном. Нелинейные сигма модели с потенциалом взаимодействия (киральные космологические модели (ККМ)), являясь обобщением моделей с одним скалярным полем, способны охватить широкий класс моделей с квинтессенцией, фантомными, квинтомными полями [10]. В них присутствует взаимодействие не только через потенциал, но и через метрику внутреннего пространства скалярных полей, что открывает широкие возможности для приложения таких моделей к описанию различных эпох, начиная от инфляционной стадии и заканчивая формированием крупномасштабной структуры и переходом к ускоренному расширению. Таким образом, можно ожидать что ККМ с несколькими скалярными полями будут вносить изменения в сценарии эволюции Вселенной, описываемые ранее предложенными моделями.

На основании вышеизложенного подтверждается актуальность задач, решаемых в диссертационном исследовании: решение задач об эволюции Вселенной, содержащей скалярные поля ККМ, на современной стадии, характеризующейся наличием барионной и темной материи, а также излучения, и влиянии на формирование крупномасштабной структуры полей ККМ.

Поскольку нахождение точных решений космологических уравнений для многокомпонентной системы, включающей материю, радиацию и скалярные поля, представляется сложной задачей, то в работе были предложены спосо-

бы, позволяющие обойти трудности, возникающие в подходе, основанным на поиске точных решений.

Цель диссертационной работы

Целью работы является разработка новых методов исследования ККМ применительно к современной стадии эволюции Вселенной и изучение особенностей эволюции Вселенной при наличии кинетического взаимодействия между скалярными полями ККМ. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи

1. Вывод фоновых и возмущенных полевых уравнений, уравнений Эйнштейна, закона сохранения тензора энергии импульса ККМ.

2. Разработка приближенных методов решения уравнений ККМ с последующей реконструкцией коэффициентов метрики ККМ и потенциала самодействия.

3. Разработка численных методов решения уравнений ККМ, взаимодействующей с идеальной жидкостью и постановка соответствующих начальных условий.

4. Проведение сопоставления предложенных киральных космологических моделей с наблюдательными данными и сравнения особенностей эволюции компонент модели с АСОМ моделью.

Научная новизна

1. Разработаны новые численные и аналитические методы решения класса систем уравнений ККМ, взаимодействующей с идеальной жидкостью, описывающих эволюцию Вселенной.

2. Разработанные методы применены к моделям, описывающим два киральных поля с потенциалом взаимодействия, содержащим материю.

3. Построены модели, в которых Вселенная выходит на ускоренное расширение под действием кирального поля, описывающего темную энергию.

Практическая значимость

Разработанные в рамках данной работы аналитический и численный методы решения уравнений ККМ, взаимодействующей с идеальной жидкостью, описывающие эволюции Вселенной на позднем этапе может быть использован для исследования моделей, описывающих Вселенную на этапах эволюции, отличных от рассмотренных в настоящей работе, а также решения различных задач в гравитации и астрофизике.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Построение ККМ моделей, альтернативных ЛСБМ, потенциально способных преодолеть недостатки ЛСБМ модели и хорошо согласующиеся с современными наблюдательными данными.

2. Решение уравнений Эйнштейна и полевых уравнений ККМ, единым образом описывающей темную энергию и темную материю, в приближениях ранней и поздней Вселенной и проведение сравнения эволюции соответствующих компонент в ЛСБМ модели.

3. Реконструкция зависимости от скалярного поля метрического коэффициента кирального пространства и потенциала самодействия ККМ.

4. Постановка начальных условий для компонент ККМ, взаимодействующей с идеальной жидкостью, в эпоху преобладания нерелятивистской материи, с последующим численным решением системы фоновых и возмущенных уравнений Эйнштейна и полевых уравнений модели.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах Лаборатории теоретической физики УлГПУ, Центра гравитации и фундаментальной метрологии ВНИИМС, Кафедры теории относительности и гравитации КФУ, Кафедры Теоретической физики РУДН и международных конференциях

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (Москва, 2011 г.)

• 14 Российская гравитационная конференция — Международная научная конференция по гравитации, космологии и астрофизики ТШЗС11АУ-14 (Ульяновск, 2011 г.)

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2012» (Москва, 2012 г.)

• Российская летняя школа-семинар СИАС08-2012 «Современные теоретические проблемы гравитации и космологии» (Яльчик, 2012 г.)

Публикации

По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из них 3 - статьи в научных журналах, рекомендованных ВАК [1-3], 5 - тезисы докладов международных конференций [4-8].

Личный вклад автора

Основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично автором. В исследованиях, выполненных совместно с научным руководителем, доктору физико-математических наук, профессору С. В. Червону принадлежат постановка задачи, контроль расчетов и обсуждение результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертация изложена на 106 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, 13 рисунков и списка цитированной литературы, включающего 78 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Глава 1 содержит обзор моделей, описывающих современный этап эволюции Вселенной. Также в главе 1 содержится описание нелинейных сигма моделей (киральных космологических моделей), приведены фоновые и возмущенные уравнения.

Согласно современным наблюдательным данным Вселенная является однородной и изотропной и описывается метрикой

ds2 = g^dx^dx" = -dt2 + a2{t)da2, (1)

где Q)iv метрический тензор, a(t) — масштабный фактор, зависящий от космического времени í, и da2 — метрика 3-мерного пространства-времени с постоянной кривизной К

Иг2

da2 = ~H]dx'dxJ = l_Kr2 + г2 {de2 + sin2 ed<j>2).

Здесь значения К — +1,-1,0 соответствуют замкнутой, открытой, и плоской Вселенной соответственно. Также мы используем здесь полярные координаты (ж1, х2, ж3) = (г, в, ф) с коэффициентами метрики 7ц = (l — Кг2) \ 722 = г2 и 7зз = г2 sin2 в.

Характер эволюции Вселенной и составляющих ее компонент материи определяется уравнениями Эйнштейна

с: = ЯпвТЇ,

(2)

где ЄІШ = — \д1ШВ. — тензор Эйнштейна, — тензор энергии-импуль-

са компонент материи. Левая часть уравнения (2) характеризует геометрию пространства-времени, связанную с кривизной Я = д,шВ,а правая часть — энергии и импульсы компонент материи. В настоящей работе рассматривается плоская Вселенная К — 0, поскольку именно такая пространственная геометрия наилучшим образом согласуется с современными наблюдениями.

При рассмотрении уравнений, характеризующих эволюцию Вселенной, обычно вводится так называемый параметр Хаббла Н = характеризующий темп, с которым эволюционирует Вселенная. В пространстве-времени с метрикой Фридмана (1) материя рассматривается в виде идеальной жидкости с тензором энергии-импульса в виде

где и'1 = (—1,0,0,0) — 4-скорость идеальной жидкости в сопутствующей системе отсчета и р, р являются функциями 4. Компоненты тензора энергии-импульса с индексами (00) и (у) описывают плотность энергии и давление идеальной жидкости Тц = —р, Т] = С учетом вышесказанного можно записать тензорные уравнения Эйнштейна (2) в виде

Исключая из полученной системы уравнений слагаемое К/о2, получим уравнение, которое дает основание для заключения об ускоренном или замед-

7? = (р + р)тх"и„+р^,

З Я2 + 2Н = —8тг Ср - -г

(3)

(4)

ленном расширении Вселенной

а 4тгС

(р + 3р). (5)

а 3

Кроме того выполняется закон сохранения тензора энергии-импульса = 0, записываемый в компонентах как

р + ЗН(р + р) = 0. (6)

Также необходимо отметить, что это уравнение может быть получено из уравнения Эйнштейна (3), обычно именуемого уравнением Фридмана.

Чтобы перейти к описанию космологической эволюции Вселенной и компонент вещества, заполняющих её, запишем уравнение Фридмана (3) в виде

О.М + = 1, (7)

где

О _8тг Ср _ К .

Обычно рассматривают значения П по отношению к настоящему моменту времени, хотя возможен и подход, основанный на рассмотрении значений П, отвечающих некоторому начальному моменту времени ¿¡. В настоящей работе рассматриваются оба подхода. Уточним, что мы будем понимать под индексами М и К. Принято считать, что Вселенная заполнена релятивистскими частицами, нерелятивистской материей, и гипотетической темной энергией. Также возможен учет кривизны пространства-времени. Т. о. указанные компоненты описываются величинами

Под релятивистскими частицами понимаются фотоны, обозначаемые индексом 7, или, если учитывается вклад релятивистских нейтрино, то релятивистским частицам приписывается индекс г. Нерелятивистские частицы с

9

индексом m описывают обычную барионную материю с индексом 6, а также холодную темную материю cdm. И, как следует из современных наблюдательных данных, во Вселенной с необходимостью присутствует компонента темной энергии DE. Если в качестве модели темной энергии рассматривается, например, модель с космологической постоянной Л, то вместо индекса DE используется индекс Л. Здесь нашей целью является рассмотрение плоской Вселенной (П/f) (согласно [11] —0.0175 < О.ко < 0.085 на уровне достоверности 95%). Чтобы продвинуться далее в рассмотрении эволюции Вселенной, нам нужно рассмотреть поведение отдельных компонент материи в зависимости от времени. Для этого рассмотрим закон сохранения тензора энергии-импульса (6) для компоненты с уравнением состояния в виде си = р/р. Если параметр уравнения состояния си является постоянным, то мы можем найти зависимость а и р в зависимости от времени t в плоской Вселенной Шк. Решая уравнения (3) и (6), получим

рос а-3<1+"\ аос(г-^)2/(3(1+ш)) (9)

Как из известно из статистической механики, уравнение состояния радиации имеет вид со = 1/3, поэтому характер эволюции Вселенной, заполненной радиацией определяется соотношениями р ос а-4 и а ос (t — i;)1^2. Нерелятивистская материя отвечает материи с давлением, пренебрежимо малым по сравнением с плотностью энергии, по этой причине ее иногда называют пылевидной материей. Такой материи соответствуют законы эволюции р ос а~3 и а ос (t — и)2!А.

Переход Вселенной от замедленного расширения к ускоренному определяется сменой знака а. Такой переход осуществляется, если уравнение состояния вещества, возможно состоящего из нескольких компонент, заполняющего Вселенную, удовлетворяет соотношениям, следующим из (5),

р < —р/3, ->• ш < —1/3, (10)

где р предполагается положительной. Одной из самых известных моделей, адекватно описывающих эволюцию вселенной, является ЛСБМ модель, в которой в роли темной энергии выступает вещество с уравнением состояния типа (10), а именно космологическая постоянная с рц = —р\. Эта модель обладает, однако, рядом проблем, которые побуждают рассматривать модели с более общим уравнением состояния темной энергии. Одним из направлений является изучение моделей со скалярными нолями, и, в частности, киральных космологических моделей, которым и посвящено настоящее диссертационное исследование.

Предположим для простоты, что параметр уравнения состояния темной энергии ирЕ является постоянным, тогда из (б) получим выражение для плотности энергии темной энергии

РОЕ = РВ£о(1 + 1 + 2 = —, а0 = 1.

«о

Рассматривая модель с релятивистской и нерелятивистской материей и темной энергией, получим выражение для параметра Хаббла

Е{г) = §■ = [Пго(1 + + 0*0(1 + г)3 + ПОЕ(1 + ^.

Используя соотношение ¿Ь = —¿г/\{\ + г) 11} можно выразить возраст Вселенной как

эо О

Для случая плоской Вселенной с П^о = 0 с пренебрежимо малым вкладом релятивистской материи в современную эпоху и темной энергией с шое = — 1, оказывается возможным найти аналитическое выражение для интеграла

~ \ 1 — ~ ПтО (И)

где использовано соотношение Ппяо + ^то = 1- В пределе Подо ~* 0 получим возраст Вселенной заполненной исключительно нерелятивистской материей

к = зЯ0-\

С использованием значений 4- = 9.78 • 109Л.—и Н = 0.72 ± 0.08 воз-

П 0 а

раст Вселенной без космологической постоянной будет находиться в пределах 8.2 Суг < ¿о < Ю.2 вуг. В то же время оценки возраста шаровых скоплений в Млечном Пути дают нижнюю границу в 11 Суг (1 Суг=109лет, 1 у = 1 год). В этом случае получается противоречие между возрастом Вселенной и старейших шаровых скоплений.

Эта проблема может быть решена введением темной энергии в модель Вселенной. Из вида уравнения (11) следует, что возраст Вселенной возрастает при убывании Пто- Чтобы возраст Вселенной превышал значение нижней границы для возраста шаровых скоплений должно выполняться ограничение для вклада нерелятивистской материи в критическую плотность 0 < Ято < 0.55. С использованием ограничений на возраст Вселенной, описываемой АСОМ моделью, полученные по результатам работы спутника \VMAP7 [11] ¿о = 13.73 ± 0.12Суг найдем ограничения 0.245 < Г2т0 < 0.261 для Н = 0.72.

Как следует из вышесказанного, в рамках ЛСБМ модели удается предложить описание эволюции Вселенной, находящееся в хорошем согласии с экспериментальными данными. Однако в этой модели существует фундаментальная проблема — проблема тонкой настройки. Для того чтобы объяснить ускоренное расширение Вселенной в современную эпоху с помощью космологической постоянной мы должны потребовать чтобы Л по порядку величины совпадала с НПредположив, что плотность энергии берется из вакуумной энергии (р) пустого пространства, мы обнаружим, что оценка плотности вакуумной энергии ртс — 1074СеУ значение отличается от полученного из урав-

нения Фридмана на 121 порядок. Этот факт известен как проблема тонкой настройки.

С целью преодоления указанной проблемы были разработаны модели с динамической космологической постоянной, с обобщенными теориями скалярного поля и гравитации.

Среди всех классов моделей темной энергии представляют особый интерес модели со скалярными полями и модели с взаимодействующими скалярными полями. ККМ благодаря наличию внутреннего пространства (т. н. пространства целей) способны охватить широкий класс моделей, обобщая как модели с квинтессенцией, фантомными, так и с квинтомными полями.

Рассмотрим в качестве источника гравитационного поля Вселенной ки-ральную космологическую модель [12] и идеальную космическую жидкость. Такая модель является обобщением моделей синглетного скалярного поля при наличии холодной темной материи (космической пыли), описываемой идеальной жидкостью, и задается действием вида

5 = | <?ху/=Ц (-¿д^клвд^Ч'Р13 - + (12)

Здесь соответствует действию идеальной жидкости, Иав = 'мв(уС) — метрика киралыюго пространства, компоненты которой зависят от кираль-ных полей . Частные производные от них по координатам записаны в сокращении: = др(рА, - метрика пространства-времени, греческие индексы от, д,... пробегают значения от 0 до 3, латинские заглавные индексы А, В,... - пробегают значения от 1 до N и фактически нумеруют киральные ноля. Ясно, что N соответствует размерности кирального пространства (или пространства целей).

Учитывая гравитационное взаимодействие, запишем уравнения Эйнштей-

на для рассматриваемой модели:

- \д,шЯ = щ(т<?; + т£Л). (13)

Тензор энергии-импульса (ТЭИ), из которого определяются плотность энергии и давление скалярных полей ККМ имеет вид

= кАВд^лд^п - д1Ш (^драклвдУд^п + . (14)

где Ь,дв - метрика кирального пространства, линейный элемент которого

0з\ = кАВ{<рс)(1<рА<1<рв. (15)

В настоящей работе мы ограничиваемся двух-компонентными моделями, когда киральное пространство - двухмерное, а его метрика кдв является функцией двух полей V?1 = <р и <р2 = х-

Наряду с уравнениями Эйнштейна (13) следует использовать динамические уравнения НСМ [13]

(^/м^ V) - (16)

Уравнение Фридмана с учетом плотности холодного темного вещества рт принимает следующий вид:

Н>= 1

3 М2р

Рт + \Ф2 + \Ь,22Х2 + У{<р,х)

(17)

Таким образом, в такой модели предполагается описывать темную энергию с помощью по крайней мере одного из скалярных (киральных) полей 1р. Вклады в плотность вещества во Вселенной холодной темной материи и темной энергии (полей темного сектора БЭ), описываемой киральными полями, зависят от времени

О Рт Рт п 1 /1 .2 . 1, -2 , ,Л Р™

8Та РсЫ Ша ^ * ' Рсгг1

14

Также в настоящей работе рассматриваются возмущенные уравнения для киральной космологической модели (<p(t) = <p0(t)+6<p(t, х), \(t) = Xo(i) + ¿X(t,x)), которые в продольной калибровке

ds2 = -(1 + 2Ф)сй2 + (1 - 2Ф)Sijdxidxi. (18)

сводятся к возмущенным уравнениям киральных полей [14].

Решив систему уравнений для полей, их возмущений и масштабного фактора, мы сможем рассчитать важные величины, которые характеризуют эволюцию возмущений во Вселенной.

Во второй главе рассмотрен подход к решению космологических уравнений, основанный на анализе поведения кинетических коэффициентов ККМ в зависимости от масштабного фактора с последующей реконструкцией функциональной зависимости коэффициентов метрики кирального пространства и потенциала самодействия.

Рассмотрим систему уравнений Эйнштейна и полевых уравнений двумерной киральной модели с hn = const, h22 = /(</>)

2 8nG

Н

Я = -8тг G

^hnip2 + ^h22x2 + V{<p,X)

1, -2 1, -2

+ 2 22X

1 dh22 ,2 1 dV n

h22 dip гл h22 dx Можно заметить, что при V = const из четвертого уравнения получается решение для второго скалярного поля X2 — щ^р;, а такая модель будет описывать Вселенную с монотонно возрастающим масштабным фактором, что представляется неприемлемым с феноменологической точки зрения. Если же добавить в модель пылевидную материю и радиацию, то сложность решения возрастет многократно.

В связи с трудностями, с которыми приходится сталкиваться в методе точных решений, наше внимание привлекла работа [15], в которой был предложен анзац для кинетических энергий скалярных полей.

Рассмотрим двумерную киральную модель с потенциалом самодействия, зависящего только от одного поля V = V(<p)- В этом случае решение, найденное для х остается в силе

2 С 1 С

X2 = тг~7, или> эквивалентно -h22X2 = т—в> П22а° 2 П22а

а первое поле с анзацем простейшего вида = В — const будет опи-

сывать вещество с переменным уравнением состояния. Благодаря такой модификации исходной модели мы получим более содержательную динамику эволюции.

Если /122 ~ а-3, то /122Х2 ~ О-3 — такое поведение можно приписать пылевидной (темной) материи.

Рассмотрев закон сохранения тензора энергии-импульса для киральных полей, мы установим зависимость потенциала, плотности энергии и давления киральных полей. После этого мы сможем найти выражение для параметра Хаббла, позволяющее провести сопоставление с современными наблюдательными данными и найти значения параметров, введенных в анзаце для кинетических коэффициентов, наилучшим образом соответствующие этим данным. После проведения процедуры сопоставления с экспериментальными данными мы сможем проанализировать динамику эволюции Вселенной, описываемой введенной здесь crCDM модели, динамику эволюции компонент этой модели и обсудить отличия от ACDM модели.

Приведем результат, полученный для параметра Хаббла

Я2 = ПаА - 6В In а + Пактов"3 + Пьоа'3 + Пг0а~\ (19)

где

В = ~, C=Z, A=~, = (20)

Pc Pc Pc H0

Для нахождения значений параметров, обеспечивающих наилучшее (best-fit)

согласие с экспериментальными данными, необходимо минимизировать функцию xjoint = Xsn+Xbao+XcmB' зависящую от параметра Хаббла и входящих в него параметров. Здесь индекс «SN» соответствует наблюдениям за сверхновым 1а типа, «ВАО» — информации по барионным акустическим осцил-ляциям, «СМВ» информации по анизотропии микроволнового фонового (реликтового) излучения.

Кроме того, мы, рассмотрев приближения поздней и ранней Вселенной, проводим реконструкцию — восстановление функциональной зависимости от полей киральной метрики /122 и потенциала V. Например для ранней Вселенной, в которой доминирует релятивистская материя, реконструированные выражения для потенциала и киральной метрики будут иметь вид

К = Vq-3B1ii

Ho\/2ilro

~7Г

(v - ФеаНу)

+ С

Но\/2Пг

hoo —

Яру/2£)гр у/Ё

у/В

\ -3/2

(<Р - ФеаНу)

-3/2

(У - ФеаНу)

ГДе феаНу = <р(а = di) -

ip(a = a,i) + const, Vq = A — В.

Я„\/2П^и'>

Полученные результаты представляются полезными применительно к подходу с использованием точных решений, когда приходится привлекать дополнительные соображения относительно зависимости от киральных полей киральной метрики и потенциала.

Глава 3 содержит переход к новым переменным и постановку задачи численного решения.

Как было указано выше, система уравнений для скалярных полей, взаимодействующих с идеальной жидкостью является исключительно сложной для нахождения точных решений. Поэтому одним из основных методов привлекаемых для решения таких уравнений, стал метод основанный на использовании численных решений. В настоящей работе мы впервые рассматриваем применение численных методов к киральной космологической модели. Кроме того, основываясь па работе [16], мы предлагаем особый способ постановки начальных условий. Будем приписывать индекс г начальному значению какой-либо величины. Вклад со стороны полей темного сектора в плотность вещества во Вселенной в начальный момент времени определяется соотношением

1 - Пт< = = ^ ^ + |аиХ? + V?) .

Для того чтобы осуществить численное интегрирование, по аналогии с работой [16], переходим к новым переменным по правилу

0 -3 —3 ~ 87Г С/Это

5 = —, Р = Роя = РтгаЗ , "т.- = 0 тГ> . Р :

<ц' ' • "" 3Щ ' н 8тгО '

V = У0Мр2Н~2ехр (-УаМр1^) = Ц)Мр2Н~2ехр (-ч/АМр^ог) ,

в, Ф Ью - ,

<л> = = ф? 6у~ ф^р' *=р =

Тогда, например, одно из уравнений Эйнштейна примет вид

О™«"3 + | (2у'2 + 2Н22г'2 - - . (21)

Постановку начальных для скалярных полей и их производных условий проводим, основываясь на подходе [16], где начальные значения производных скалярных полей и потенциалов полей выражаются через начальные

£1 _ 5 ~ 2

значения Г2т; и и>пьч- Параметр уравнения состояния полей темного сектора выбирается очень близким к -1 и Вселенная на ранней стадии эволюции (о,- = 10"3) считается практически полностью состоящей из пылевидной материи с уравнением состояния р = 0. Решив систему уравнений, состоящую из фоновых и возмущенных уравнений, мы сможем найти ключевые параметры, описывающей эволюцию Вселенной и характеризующие образование крупномасштабной структуры.

Возмущенные уравнения для киральной космологической модели получаются если рассмотреть возмущения скалярных полей, зависящие не только от времени, но и от пространственных координат

¥>(*) = М*) + ОД*.х) Х(0 = Хо(£) + Ы*,х)

в продольной калибровке

¿в2 = -(1 + 2Ф)Аг + (1 - 2Ф)6^хЧх3

(22)

сводятся к возмущенным уравнениям киральных полей [14]

8(р + ЗЬ

(23)

(24)

и возмущенным уравнениям на гравитационное поле [14]

2 (-ЗН (ЯФ + ф) + У2Ф) = 8тгС (¿Тц - &Рт) 19

Ф + 4tf Ф + + H2 j Ф =

= ^ttG 2

15/122, .2 .,. , .,. л.а .2 dvs 9V '

YWp ^ 43 v x'x ~ ~ 22X ~ fy' v ~ э^ x

В Заключении приводятся основные результаты диссертационной работы и степень их обоснования.

Основные результаты

1. С помощью предложения анзаца специального вида для кинетических коэффициентов полей ККМ показано, что в рамках ККМ возможно описание темной энергии и темной материи.

2. Методом реконструкции найдены выражения для коэффициента ки-ральной метрики и потенциала самодействия ККМ с использованием приближения ранней и поздней Вселенной.

3. Численными методами при задании начальных условий специального вида проинтегрированы фоновые и возмущенные уравнения Эйнштейна и полевые уравнения. Рассмотрены о^СБМ и сгС^СОМ модели. Проведено сравнение с ЛСБМ моделью.

Список публикаций

1. Abbyazov R. R., Chervon S. V. Interaction of Chiral Fields of the Dark Sector with Cold Dark Matter // Gravitation and Cosmology. — 2012.— Vol. 18, no. 4. - P. 262-269.

2. Аббязов P. P., Червон С. В. Киральная космологическая модель, включающая темную энергию и темную материю // Вестник Российского уни-

верситета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. — 2013. - № 2.

3. Abbyazov R. R., Chervon S. V. Unified dark matter and dark energy description in a chiral cosmological model // Modem Physics Letters A. — 2013. — Vol. 28, no. 8. - P. 1350024.

Материалы международных научных конференций

4. Р.Р.Аббязов. Космологические сигма-модели и темная энергия // Материалы докладов XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» Секция «Физика», — Т. 2.— Физический факультет МГУ, 2011. С. 127.

5. Р.Р.Аббязов. Проявление темной энергии в двухкомпонентной нелинейной сигма-модели при наличии космической пыли // Сборник тезисов докладов международной научной конференции RUSGRAV-14. — Ульяновск: УлГПУ им. И. Н. Ульянова, 2011. - С. 132 - 133.

6. Р.Р.Аббязов. Космологическая модель с киральными полями темного сектора и темной материей // Материалы ВНКСФ-18. — Красноярск, 2012. — С. 45 - 46.

7. Р.Р.Аббязов. Взаимодействие киральных полей темного сектора с пылевидной материей // Материалы докладов XIX Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» Секция «Физика». — Физический факультет МГУ, 2012. — С. 267 - 268.

8. Р.Р.Аббязов. О реконструкции потенциала и кинетического взаимодействия в киралыюй космологической модели // Труды III Российской

школы-семинара «Современные проблемы теории гравитации и космологии». — Казань: Казанский университет, 2012. — С. 67.

Цитированная литература

9. Червон С. В., Панина О. Г. Эффекты жесткого воздействия полей темного сектора на космологические возмущения // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. —

2010. - № 4. - С. 121-132.

10. Dark Energy / Miao Li, Xiao-Dong Li, Shuang Wang, Yi Wang // Com-mun.Theor.Phys. - 2011. - Vol. 56. - P. 525-604. - 1103.5870.

11. Komatsu E. et al. Seven-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Cosmological Interpretation // Astrophys.J.Suppl. —

2011. - Vol. 192. - P. 18. - 1001.4538.

12. Chervon S.V. On the chiral model of cosmological inflation // Russ.Phys.J. 1995. - Vol. 38. - P. 539-543.

13. Червон С. В. Нелинейные поля в теории гравитации и космологии. — Ульяновск : Средневолжский научный центр, УлГУ, 1997.

14. Chervon S.V. Cosmological models of global universe evolution and decomposition of perturbations // Int. J.Mod.Phys. - 2002. - Vol. A17. - P. 4451-4456.

15. Sur Sourav. Crossing the cosmological constant barrier with kinetically interacting double quintessence. — 2009. — 0902.1186.

16. Unnikrishnan Sanil, Jassal H.K., Seshadri T.R. Scalar Field Dark Energy Perturbations and their Scale Dependence // Phys.Rev. — 2008. — Vol. D78. — P. 123504. - 0801.2017.

Аббязов Ренат Рашидович Поздняя инфляция в киральной космологической модели с темной энергией

Построены киральиыс космологические модели модели (ККМ), альтернативные ACDM модели, потенциально способные преодолеть недостатки ACDM модели и хорошо согласующиеся с современными наблюдательными данными. Решены уравнения Эйнштейна и полевые уравнения ККМ, единым образом описывающие темную энергию и темную материю, в приближениях ранней и поздней Вселенной и проведено сравнение эволюции соответствующих компонент в ACDM модели. Проведена реконструкция зависимости от скалярного поля метрического коэффициента кирального пространства и потенциала самодействия ККМ. Поставлены начальные условия для компонент ККМ, взаимодействующей с идеальной жидкостью, в эпоху преобладания нерслятивистской материи и найдены численные решения системы фоновых и возмущенных уравнений Эйнштейна и полевых уравнений модели.

Abbyazov Renat Rashidovich Late inflation in chiral cosmological model with dark energy

Chiral cosmological models (CCM) being alternative to the ACDM model have been introduced. They are potentially capable to overcome difficulties of the ACDM model and have good agreement with modern observational data. CCM Einstein and field equations describing dark energy and dark matter in unified way have been solved in early and reccnt Universe description. Also we have donc a comparison with corresponding components evolution in ACDM model. The reconstruction of the metric coefficient of the CCM chiral space and self-interaction potential has been performed. The initial conditions for CCM components interacting with ideal liquid have been established in the nonrelativistic matter domination epoch and numerical solution of the background and perturbed Einstein equations and field equations have been found.

с

/

Подписано в печать 12.03.2013 г. Формат 60x84/16

Усл.печ.л. 2.2 Тираж 100 экз. Заказ № 331

Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н.Ульянова 432700, г.Ульяновск, пл. 100-летия со дня рождения В.И.Ленина, д.4

Типография УлГПУ, 432700, г.Ульяновск, ул. Корюкина,д.6

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ульяновский государственный педагогический университет

им. И. Н. Ульянова»

На правах рукописи

04201355624

Аббязов Ренат Рашидович

Поздняя инфляция в киральной космологической модели с темной энергией

01.04.02 - Теоретическая физика

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н.. проф. Червой Сергей Викторович

Ульяновск - 2013

Содержание

Введение ......................................................................4

Глава 1. Скалярные поля в космологии..............................9

1.1. Уравнения Эйнштейна в метрике Фридмана-Робертсона-Уокера 9

1.2. Модель с одним скалярным нолем (квинтеоеенцией) ......14

1.3. Киральная космологическая модель и идеальная жидкость . . 18

1.4. Общие уравнения на возмущения.................22

1.5. Наблюдательные данные, свидетельствующие в пользу существования темной энергии .....................24

Глава 2. Анзац для темной энергии в киральной космологической модели................................33

2.1. Закон сохранения тензора энергии-импульса и анзац для темной энергии..............................33

2.2. Плотность энергии и давление скалярных полей.........36

2.3. Сопоставление с наблюдательными данными...........40

2.4. Результаты и комментарии к графикам..............55

Глава 3. Численное решение уравнение киральной космологической модели..............................57

3.1. Переход к новым переменным, постановка задачи численного

решения................................57

3.2 Обсуждение полученных результатов...............67

Заключение..................................71

Литература..................................74

Приложение А. Возмущенные уравнения киральной космологической модели в синхронной и продольной калибровке . . 84

А.1. Возмущенный тензор энергии-импульса..............84

А.2. Возмущенные уравнения Эйнштейна и полевые уравнения ... 92

Введение

Согласно наблюдательным данным [1-3] Вселенная в настоящее время расширяется ускоренно, а также на 96% состоит из темной энергии и темной материи. В связи с этим было выдвинуто большое количество моделей, в которых предпринималась попытка объяснить упомянутые экспериментальные факты. Ускоренное расширение Вселенной можно объяснить в рамках модели с положительной космологической постоянной, введенной в работе А. А. Старобинского и В. Сахни [4], которая со временем трансформировалась в ЛСБМ модель с дополнительной компонентой холодной темной материи [4-7], в которой однако имеются проблемы иерархий и тонкой настройки.

С целью преодоления указанных проблем были разработаны модели с динамической космологической постоянной, с обобщенными теориями скалярного поля и гравитации [4-6, 8-17, 17-28].

Среди всех классов моделей темной энергии представляют особый интерес модели со скалярными полями и модели с взаимодействующими скалярными полями [25, 29-35].

Нелинейные сигма модели (НСМ) с потенциалом взаимодействия полей (киральные космологические модели(ККМ)) благодаря наличию внутреннего пространства (т. н. пространства целей) способны охватить широкий класс моделей, обобщая как модели с квинтессенцией, фантомными, так и с квин-томными полями. Например, в работах [30-38] было предложено рассматривать киральную космологическую модель как модель объединяющую взаимодействие кинетического и потенциального типа между скалярными полями темного сектора: полем темной энергии, квинтэссенции, фантомным и квинтомным полем. В работах [25, 26] анализировалось фазовое пространство скалярных полей с 0(п)-симметричным внутренним пространством, а в [30] модели с фантомными полями и полями с положительно определенной

кинетической энергией, описываемые моделью с псевдоевклидовой метрикой внутреннего пространства полей.

С другой стороны, киральная космологическая модель, поля которой эволюционируют на многообразии псевдоевклидовой метрикой и взаимодействуют посредством потенциала, уже около 20 лет с успехом применяется для решения различных задач в гравитации и космологии [39-41]. Нелинейная сигма модель, которая является источником гравитационного поля и определена на пространстве-времени лоренцевой сигнатуры, была впервые введена в работе Г.Г.Иванова [42]. Геометрические методы поиска точных решений и их приложения для 80(М) инвариантных самогравитирующих НСМ были предложены в [43]. Киральная космологическая модель как нелинейная сигма модель с потенциалом взаимодействия была впервые представлена в работе С. В.Червон в 1995 году [44]. В связи с этим был развит систематический подход к исследованию таких моделей. Методы решения фоновых уравнений и уравнений на космологические возмущения представлены в работах [45, 46]. Специальные методы решений последних представлены в [47, 48]. В вышеуказанных работах была обнаружена глубокая связь между геометрией внутреннего пространства киральной космологической модели, обладающего некоторой симметрией [49], и космологической динамикой.

В настоящей работе продолжены исследования в этом направлении. Мы предполагаем, что поля киральной космологической модели способны описывать темную энергию, а также темную материю. Для этой цели мы рассматриваем систему дифференциальных уравнений Эйнштейна, полевых уравнений и уравнений закона сохранения тензора энергии-импульса идеальной жидкости, взаимодействующей с полями киральной космологической модели, вследствие чего проявляются определенные эффекты в космологической эволюции Вселенной, описываемой такими моделями.

Одним из основных методов для исследования такого рода уравнений

является метод конструирования точных решений. Однако в.отличие от эпохи ранней космологической инфляции современный этап эволюции Вселенной характеризуется наличием компонент, традиционно описываемых идеальной жидкостью, добавление которой к уравнениям ККМ модели значительно осложняет их решение. Трудности, имеющиеся в методе конструирования точных решений, заставили нас искать альтернативные пути к решению космологических уравнений. В частности можно адаптировать к нашим задачам подход, предложенный в работе [50], где был выдвинут анзац для кинетических энергий скалярных полей в модели Дирака-Борна-Инфельда с двумя скалярными полями. Такой подход, обобщенный на кинетические энергии скалярных полей ККМ, позволяет описывать с помощью ККМ не только темную энергию, но и темную материю. Как показано в настоящей работе, такой подход примененный к скалярным полям ККМ позволяет описывать с помощью нее не только темную энергию, но и темную материю. Вопрос о том, может ли скалярное поле может описывать темную материю, довольно интенсивно исследовался в литературе [27, 51-58], и по всей видимости такая возможность не исключается. Развитием указанного подхода является описание темной энергии и темной материи, а также их взаимодействия с помощью скалярных полей [57, 59]. В работе [27] было показано что взаимодействие через скалярное поле может решить известную совпадения в современную эпоху, в которой ставится вопрос о том, почему в настоящий момент значения вкладов в критическую плотность Вселенной темной энергии и темной материи являются величинами одного порядка.

В недавно опубликованной статье [57] была предложена модель с двумя скалярными полями со специально выбранным потенциалом, что позволило исследовать с помощью нее взаимодействующую темную энергию и темную материю, без введения для ее описания идеальной жидкости. Подход, предложенный в диссертационной работе позволяет рассматривать подобную задачу

с точки зрения внутреннего пространства ККМ. Такой подход представляется многообещающим в силу возможности привлечения соображений, основанных на геометрических характеристиках внутреннего пространства нелинейной сигма модели (ККМ) [60]. Нам представляется, что модели такого типа естественным образом сочетаются с идеей о том, что взаимодействие скалярных полей нелинейной сигма модели (ККМ), имеющее геометрическую природу, может приводить к нетривиальной эволюции компонент Вселенной, таких как поля темного сектора или взаимодействующие темная энергия и темная материя.

Отправной точкой в наших исследованиях является киральная космологическая модель, как обобщение мультикомпонетного скалярного поля [40, 44, 45, 61]. Рассмотрев случай двух скалярных полей с постоянным потенциалом, мы добавляем зависимость потенциала от одного из полей, а также вводим в модель барионную материю и радиацию.

Одним из других альтернативных подходов к решению космологических уравнений, описывающих киральные поля и материю, является исследование с использованием численных методов. В работе [62] исследовалась эволюция возмущений темной энергии во Вселенной (с пространственно-плоской метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера) заполненной космической пылыо и полем квинтэссенции с экспоненциальным потенциалом. С привлечением численных методов в работе установлено, что на масштабах значительно меньше хабб-ловского радиуса возмущения темной энергии малы, но на масштабах ~ Н~1 возмущения темной энергии сравнимы с возмущениями холодной темной материи, если параметр уравнения состояния ш ф — 1. В особом случае, когда со — — 1 темная энергия однородна на всех масштабах.

Мы переходим к обобщению модели [62] на случай двух полей взаимодействующих.кинетическим и потенциальным образом. Несмотря на то. что для мультиплета полей ККМ (нелинейной сигма модели) всегда можно ввести

своего рода эффективное синглетное скалярное поле ф при помощи соотношения [61]: hABP^I = Ф-цФ v динамика полей представляет особый интерес, так как в частности она может происходить на фоне инфляционной стадии развития Вселенной для полей темного сектора [38].

В настоящей работе проводится анализ модели, состоящей из двух полей темного сектора (/? и х с метрикой кирального пространства ds\ = dtp2 =Ь e2ipdx2 и потенциалом взаимодействия V = + VQe~^Mplx а так-

же материи, включающей в себя барионную и темную составляющие. Мы вводим и исследуем crqCDM и ctQCDM модели, отличающиеся знаком метрического коэффициента кирального пространства, в связи с чем предполагается наличие фантомных полей, описывающих наряду со скалярным полями с положительно определенной кинетической энергией темную энергию. Аббревиатура CDM в названиях моделей как обычно обозначает наличие в модели холодной темной материи, индекс «а», означает, что в моделях присутствуют скалярные поля ККМ, индекс «q» соответствуют моделям с отрицательно определенной кинетической энергией киральных полей, индекс «Q» — моделям с каноническими (положительно определенными) кинетическими коэффициентами киральных полей.

Глава 1

Скалярные поля в космологии

1.1. Уравнения Эйнштейна в метрике Фридмана—Робертсона-Уокера

Однородная и изотропная Вселенная описывается метрикой Фридмана-Робертсона-Уокера[63, 64]

ds2 = g^dxi'dx" = -dt2 + a2{t)da2, (1.1)

где glw — метрический тензор, a(t) — масштабный фактор, t — космическое время, и da2 — не зависящая от времени метрика 3-мерного пространства, с постоянной кривизной К

da2 = 7%Axldxj =-—г + г2Ш2 + sin2 (1.2)

1 — I\ г¿

Здесь К = +1,-1,0 соответствует замкнутой, открытой, плоской геометрии. В уравнениях (1.1), (1/2) греческие индексы ц пробегают значения от 0 до 3, латинские г от 1 до 3. Мы следуем соглашению Эйнштейна о том, что по повторяющимся верхним и нижним индексам ведется суммирование. В дополнение к космическому времени t, мы вводим конформное время, определяемое из

adr = dt. т =

a 1dt.

Динамические уравнения расширяющейся Вселенной могут быть получены ,из уравнений Эйнштейна следующим образом. Из метрики мы найдем символы Кристоффеля

1

2'

= (9аи.А + ЯаХ.и ~ QuX.a, ) ,

где да^х = ддаи/дхх и тензор Риччи

| _ ра _ ра

'М'у /ЛУ.Сг Iих.1/

+ га гр

1 пи1- Г\

рД _ ра р/?

а/3 1 ¡ф1 аи-

скалярная кривизна (скаляр Риччи) из

Я = (Г Я,

и тензор Эйнштейна

- 2

Космологическая динамика следует из решения уравнений Эйнштейна

С!, = 87ГСТ,^

(1.3)

где — тензор энергии-импульса материальных компонент. Левая часть уравнения (1.3) характеризует геометрию пространства-времени, правая часть — энергии и импульсы компонент материи.

Идеальная жидкость — это та жидкость, которая может быть полностью описана двумя величинами: плотностью энергии р и давлением р в покоящейся системе. Вследствие изотропии Т/ш диагонален в покоящейся системе отсчета и все пространственно подобные компоненты должны быть равны Т11 = Т22 = Т33. В итоге тензор энергии-импульса описывают две единственных независимых функции, плотность энергии р = Т00 и давление дпр = Т". Общее выражение для тензора-энергии импульса идеальной жидкости с 4-скоростью им имеет вид

Кроме того, что симметричен, он также сохраняется УмТ/41/ = 0 в силу наличия общекоординатной инвариантности в общей теории относительности [64]. В метрике Минковского будем иметь закон сохранения тензора энергии-импульса, в виде

Т»" = {р + р^и*

Уравнение с V = 0 отвечает сохранению энергии, в то время, как дцТ1хк = 0 выражает закон сохранения к-й компоненты импульса. Рассмотрим уравнение сохранения применительно к идеальной жидкости

д^ = д^р + + {р + р)(и"д»им + и^и") + д"р. (1.4)

Полезно рассмотреть отдельно проекцию на направление и нормаль к направлению 4-скорости Отметим сначала, что условие ииии = — 1 приводит к

г/Ч*/" = \д,(имп = о.

Для того чтобы рассмотреть выражение (1.4) вдоль 4-скорости достаточно свернуть его с и,у

и^т»" = рд,и».

Приравнивая полученное выражение к нулю, получим релятивистское уравнение сохранения энергии. В нерелятивистском пределе

и>л = {Мг), <С 1, р<^р, придем к известному уравнению непрерывности

дгр + V • {рх) = 0.

В нерелятивистском пределе проекция уравнения (1.4) на направление, ортогональное 4-скорости, дает уравнение Эйлера

р[дег + (V • V)] = 11

-Ур.

1.1.1. Модель с космологической постоянной

Рассмотрим действие, описывающее модель с космологической постоянной и материей в форме идеальной жидкости

5 = 1

- 2Л) + 5т.

16тгв _

Уравнения Эйнштейна получаются при рассмотрении вариацию действия по метрическому тензору. Учитывая, что тензор энергии-импульса определяется из вариации 5т по найдем, что

3 $гп -

2

и

1

6в

б, ху/-д + Ад- 8тгТ^ \ бд^,

\QTTG _

откуда, применяя принцип наименьшего действия ив = 0, придем к уравнениям Эйнштейна

- ^„Д + = 87

В метрике Фридмана-Робертеона-Уокера, уравнения Эйнштейна в модели с космологической постоянной и идеальной жидкостью принимают вид

тт2 8тгС К Л

6 6Г <3

а 47ГС , 0 , Л

- = —^-(р + зр) + т.

а б о

Проблема тонкой настройки

Для того чтобы объяснить ускоренное расширение Вселенной в современную эпоху с помощью космологической постоянной мы должны потребовать

чтобы Л по порядку величины совпадала с Щ

Л « Я02 = (2.1332 ■ 10~42GeV)2.

Этот вывод следует из уравнения Фридмана (1.5). Если мы будем интерпретировать эту величину как плотность энергии, то окажется, что [63]

рА « « iCT47GeV4 « 10-тт*Р1, (1.6)

о7г

где мы использовали значения h « 0.7, mpi ¡=s 1019GeV.

Предположим, что плотность энергии берется из вакуумной энергии (р) пустого пространства. Энергия нулевых колебаний некоторого поля с массой т, импульсом к и частотой со равна Е = со/2 — \/к2 + т?/2 (в системе единиц h = с = 1). Проводя суммирование по энергиям нулевых колебаний этого поля до некоторого масштаба обрезания ктах т) мы получим плотность энергии вакуума

h'tnax

(I СС 1 /, су 7)

о

к-тах „

Г АтгкЧк 1 r-z-- кп

о

Общепринято считать, что общая теория относительности Эйнштейна выполняется вплоть до энергий mpi. Взяв в качестве значения масштаба обрезания ктах величину mpi мы получим оценку плотности вакуумной энергии

/W ~ 1074GeV.

полученное значение отличается от (1.6) на 121 порядок. Этот факт известен как проблема тонкой настройки, который можно пояснить, основываясь на теории элементарных частиц. Согласно стандартной модели Большого Взрыва в ранней Вселенной целый ряд фазовых переходов, таких как, например

переход от кварк-глюонной плазмы к адропной, фазовый переход, соответствующий нарушению симметрии электрослабого взаимодействия [65]. При каждом из этих переходов тензор энергии-импульса, системы изменялся на величину Ачто выглядит как скачок в плотности энергии вакуума. Величина Ар при кварк-адронном фазовом переходе равна 10~4СеУ4, при электрослабом — 108СеУ4, при аналогичном переходе на масштабе большого объединения — Ю60СеУ4. Представляется маловероятным, чтобы затравочная космологическая постоянная была подобрана так, чтобы полностью компенсировать все эти скачки в плотности энергии вакуума, причем с высокой точностью. Должна существовать какая-то динамическая модель, автоматически обеспечивающая необходимую компенсацию. Возможно, эта компенсация будет сопровождаться отклонениями от стандартного фридмановского сценария эволюции Вселенной. Интерес к скалярным полям в космологии вызван тем, что с их помощью на определенных этапах эволюции Вселенной можно получить вещество с уравнением состояния р = —р.

1.2. Модель с одним скалярным полем (квинтессенцией)

Под моделью с «к