Линейчатые многообразия пятимерного симплектического пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ПЯТИМЕРНОГО СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

§ I. Пятимерное симплектическое пространство

§ 2. Симплектический инвариант пары прямых и пары 3-плоскостей.

§ 3. Некоторые инварианты пар точек пространства

§ 4. Метрика грассманова многообразия прямых

ГЛАВА П. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В

§ I. Деривационные формулы симплектического репера

§ 2. Пара кривых в $р5.

§ 3. Геодезическая пара кривых в $р5.

§ 4. Репер нулевого порядка линейчатой поверхности

§ 5. Дифференциальный инвариант линейчатой поверхности

§ 6. Геодезическая линейчатая поверхность

§ 7. Геодезическая линейчатая поверхность с геодезической парой направляющих линий.

§ 8. Нормаль грассманова многообразия прямых

§ 9. Основные образы линейчатой поверхности, ассоциированные с первой дифференциальной окрестностью луча.

§ 10. Трансверсальные свойства линейчатой поверхности в первой дифференциальной окрестности

§ II. Квазифлекнодальные точки пары линейчатых по верхностей относительно третьей линейчатой поверхности.

§ 12. Вторая дифференциальная окрестность.

§ 13. Трансверсальные свойства присоединенных линейчатых поверхностей. Квазифлекнодальные точки присоединенных линейчатых поверхностей

§ 14. Геодезические присоединенные линейчатые поверхности и геодезические пары кривых

§ 15. Канонизация репера

ГЛАВА Ш. 2-СШЕЙСТВО ПРЯМЫХ В ¿/V

§ I. Репер нулевого порядка 2-семейства прямых

§ 2. Свойства 2-семейства прямых.

§ 3. Построение канонического репера, его деривационные формулы.

§ 4. Геодезические подмногообразия 2-семейства прямых

§ 5. Нормали к 2-поверхноети грассманова многообразия

§ 6. Трансверсальные свойства 2-семейства прямых

§ 7. Фокальные направления 3-поверхности, описываемой лучом 2-семейства. Асимптотические направления.

§ 8. Циклические точки луча линейчатой поверхности, принадлежащей 2-семейству прямых

Евклидовы и неевклидовы пространства, имеющие большое значение в развитии математики, можно трактовать как аффинные и проективные пространства, в которых задан симметрический тензор . Эти пространства хорошо изучены, поэтому естественный интерес вызывает геометрия аффинных и проективных пространств с кососимметрическим тензором £ . Такие пространства получили название симплектических.

Если определитель матрицы координат кососимметрического тензора д^ отличен от нуля, то такие симплектические пространства называются невырожденными. Геометрия вырожденных симплектических пространств почти не изучена.

Название "симплектическая" впервые было введено Г.Вейлем [3] для определения группы, ранее называемой комплекс-группой или группой линейного комплекса, а затем, чтобы избежать смешения этого понятия с понятием группы комплексных матриц, термин "комплекс" был переведен на греческий язык. В дальнейшем пространства с симплектической группой преобразований были названы симплектическими.

Так как кососимметрический определитель нечетного порядка равен нулю [9], то невырожденные афинные симплектические пространства могут быть только четной размерности, а проек-тивно-симплектические - нечетной.

Систематическое изучение симплектической геометрии было начато примерно в пятидесятых годах настоящего столетия.

И.М.Яглом в 1952 г. рассмотрел линейные подпространства симплектического пространства, а в 1956 г. - теорию кривых многомерного пространства [37,38] и показал, что степень симп-лектической ортогональности двух подпространств определяется аналогично тому, как находится степень перпендикулярности двух линейных подпространств евклидова пространства ([36], с.391 ). Известно ([36], с.361), что в П -мерном евклидовом пространстве существует лишь два вида инвариантных относительно евклидовых движений скалярных произведений двух /^векторов, линейных относительно обоих множителей, а в симплекти-ческом пространстве существует + / различных скалярных произведений двух р-векторов, инвариантных относительно симплектических преобразований пространства. ои,ч1ои<- в своих работах [41,42,43] изучает ^/2-мерно е симплектическое пространство. Б [43] им введено понятие "насыщенного изотропного подпространства" как подпространства максимальной размерности, состоящего из взаимно сопряженных векторов, и изучаются свойства этого подпространства.

В диссертации и работах Н.М.Остиану [22,23,24,25] строится общая теория многомерной поверхности четного измерения аффинно-симплектического пространства. В [24] изучаются дифференциально-геометрические свойства четномерной поверхности невырожденного многомерного аффинно-симплектического пространства. Исследования проводятся методом Г.Ф.Лаптева [20]. В [25] изучается четно-мерная поверхность, размерность которой равна половине размерности объемлющего пространства.

Чжень-Шен-шень и Ван Сянь-чжун в 1947 г. [39] рассмотрели проективно-симплектическую геометрию ( 2 а + I)-мерного пространства. Ими установлено, что не все р -мерные плоскости симплектического пространства равноправны и указана их классификация; построена теория кривых, выведены формулы

Френе.

Б.А.Розенфельд [30,32] рассматривает многомерные проек-тивно-симплектические пространства и изучает образы симметрии в них. Показано [29], ([зо], с.663), что многомерное симплектическое пространство изометрично унитарному неевклидову пространству, построенному над алгеброй антикватернионов, а многообразие п-мерных плоскостей симп-лектического пространства $ргт1 можно взаимно однозначно отобразить на неевклидово пространство Хуа Ло-кена НГ* [45,4б], причем группа симплектических преобразований Ър2п+1 и группа движений /-//"' изоморфны.

Усишап . построил основы теории поверхности (и, ь частности, линейчатой поверхности) трехмерного симплектичес-кого пространства [44].

Р.М.Гейдельман построил симплектическую теорию контруэн-ций прямых трехмерного пространства, а затем - теорию семейств подпространств многомерного проективно-симплектического пространства [5,6,8].

Симплектическая дифференциальная геометрия пары и двух пар взаимных конгруэнций и комплексов прямых пространства

5р3 изучалась Н.К.Варначевой [2]. Ею исследованы также свой» £ ства их образов в четырехмерном неевклидовом пространстве

Аффинно-симплектические пространства изучаются А.Паррин-гом [26,27] и М.Б.Берниковым [4]. Доказывается [2б], что 4-мерное аффинно-симплектическое пространство 5рч индуцирует в 6-мерном бивекторном пространстве структуру евклидова пространства *Е6 . Возникает аналог сферического отображения, который сопоставляет каждой симплектической 2-плоскости определенный ею нормированный бивектор в Е6

Продолжается изучение трехмерного симплектического пространства. Пачев Х.С. и Пеклич В.А. [28] доказывают изоморфизм групп движении пространства % и 2р£ и рассматривают отображение, при котором точке пространства % соответствует пара сопряженных прямых из £рь . $г'ьск4.ел X.

40] в ¿р3 изучает пару взаимных контруэнщгй прямых, для которых ее образ в пространстве при отображении, рассмотренном Р.М.Гейдельманом, представляет собой двумерную минимальную поверхность.

Из возрастающего числа работ по симплектической геометрии следует, что возрос интерес к симплектической геометрии многомерного пространства. При изучении геометрии пятимерного симплектического пространства возникает много конкретных результатов, возможность перенесения ряда идей на пространства другой размерности. В этом заключается актуальность данной работы.

В настоящей диссертации изучается симплектическая дифференциальная геометрия линейчатых многообразий пятимерного симплектического пространства . Исследованы геодезические линейчатые поверхности, геодезические пары кривых и геодезические линейчатые поверхности, принадлежащие 2-семейству прямых, а также рассмотрены свойства отображения в грассма-ново многообразие линейчатой поверхности и 2-семейства прямых.

Работа выполнена методом подвижного репера и внешних форм [13,34].

Диссертация состоит из трех глав.

В § I главы I излагаются основные понятия, связанные с геометрией пятимерного симплектического пространства Ьр^

-проективного пространства Р? , в котором задан кососиммет-ричный невырожденный ковариантный тензор д . Этот тензор порождает инвариантный линейный комплекс, называемый абсолютным. В нуль-системе, порождаемой абсолютным комплексом, каждой точке А пространства вр£ ставится в соответствие гиперплоскость ОС (А) того же пространства. В § 2 рассматривается симплектический инвариант V/ пары прямых и пары 3-плоскостей.

В § 3 рассматриваются некоторые инварианты пар точек пространства Зр5 и указывается их связь с симплектическим инвариантом VI , определяемым этими параш прямых.

В § 4 рассматривается грассманово многообразие прямых пространства Ьр5 . Прямая пространства Ьр£ отображается в точку восьмимерной поверхности Грассмана, принадлежащей 14-мерному неевклидову цространству \ , а грассманово многообразие прямых пространства &рБ является метрическим с конкретной метрикой.

В § 2,3 главы П рассматривается пара кривых пространства Зр5- . Найдена длина дуги пары кривых пространства 5р*. Эта величина названа длиной 5 дуги пары кривых в &р5 . Получены уравнения геодезической пары кривых как экстремали функционала длины дуги пары кривых. Доказано, что геодезическая пара кривых вырождается в пару прямых.

В § 5 рассматривается линейчатая поверхность в ¿р5. . Доказывается, что симплектический инвариант [б] двух близких лучей линейчатой поверхности является абсолютным дифференциальным инвариантом, который обозначен с1б2 . Линейчатая поверхность класса с1б'-О названа изотропной. Доказывается, что линейчатая поверхность изотропна тогда и только тогда, когда она является торсом либо касательное пространство пересекается с абсолютным комплексом по специальному линейному комплексу. Изотропная линейчатая поверхность в соответствует изотропной линии грассманова многообразия прямых. Так как с1б'г является абсолютным дифференциальным инвариантом, то 6 принят за натуральный параметр линейчатой поверхности. Методами вариационного исчисления находится линейчатая поверхность, которая дает минимум функционала 6 . Такая линейчатая поверхность названа геодезической.

В § 6 найдены уравнения геодезической линейчатой поверхности. Доказывается теорема: чтобы линейчатая поверхность была геодезической, необходимо совпадение ее соприкасающегося пространства с касательным. Найдено условие достаточности.

В § 7 рассматривается геодезическая линейчатая поверхность с геодезической парой направляющих линий. Доказывается, что геодезическая неторсовая линейчатая поверхность с геодезической парой направляющих линий является демиквадрикой, а геодезическая пара направляющих является прямыми второго семейства образующих квадрики, принадлежащими абсолютному комплексу. Доказывается, что геодезическая линейчатая поверхность является торсом, когда она конус (в этом случае линейчатая поверхность является изотропной).

В § 8 доказывается, что нормаль поверхности Грассмана определяется подпространством пространства е$1н , соответствующим совокупности всех прямых поляры луча в Ър5 . Для линии грассманова многообразия, соответствующей линейчатой поверхности, найдены векторы геодезической и нормальной кривизн. Доказывается, что линейчатая поверхность является геодезической, когда соответствующая линия грассманова многообразия является геодезической, и линейчатая поверхность в Bps- является торсом, когда она соответствует асимптотической линии грассманова многообразия.

В § 10 рассматриваются трансверсальные свойства линейчатых поверхностей в первой дифференциальной окрестности.

В §§ 9, 12-15 рассматривается геометрия первой и второй дифференциальных окрестностей луча линейчатой поверхности в Sps . Изучаются основные образы линейчатой поверхности, ассоциированные с лучом. Построен канонический репер линейчатой поверхности, который определен с точностью до нормирования вершин.

В главе Ш изучается 2-семейство прямых пространства • В §§ 1,2,3 строится канонический репер, который определен с точностью до нормирования вершин.

В § 4 найдены уравнения геодезических подмногообразий 2-семейства прямых и доказано, что геодезическая линейчатая поверхность пространства, принадлежащая 2-семейству прямых, всегда является геодезической 2-семейства. Доказывается, что геодезической линейчатой поверхности 2-семейства прямых в Sps соответствует геодезическая линия соответствующей 2-поверхности грассманова многообразия.

В § 5 для линии 2-поверхности грассманова многообразия, соответствующей линейчатой поверхности 2-семейства прямых пространства Sps , найдены векторы геодезической и нормальной кривизны.

В § 6 рассматриваются трансверсальные свойства 2-семей-ства прямых.

В § 7 изучаются фокальные направления 3-поверхности, описываемой лучом 2-семейства, и асимптотические направления.

Содержание диссертации докладывалось на П-ой, Ш-ей научных конференциях по математике и механике Томского университета 1972 г., и 1973 г., на ХУ1, ХУЛ, ХУШ, XIX научно-технических конференциях Иркутского ордена Трудового Красного Знамени политехнического института 1979 г., 1980 г., 1981 г., 1982 г., на городском геометрическом семинаре при кафедре геометрии Иркутского Государственного университета имени А.А.Жданова, на городском геометрическом семинаре при кафедре геометрии Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени Государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина (октябрь 1982 г.) и опубликовано в статьях [47, 48, 49, 50].

Научная новизна:

1) доказано, что пространство линейных комплексов 3-плос-костей, а также пространство линейных комплексов прямых, является неевклидовым пространством ;

2) найдена конкретная метрика грассманова многообразия прямых;

3) найден абсолютный дифференциальный инвариант ¿^¿Г линейчатой поверхности в $р6. Изучены свойства изотропной линейчатой поверхности (поверхности класса = О );

4) найдены уравнения геодезической линейчатой поверхности как экстремали функционала натурального параметра в линейчатой поверхности, изучены ее свойства;

5) найдены векторы геодезической и нормальной кривизн линии грассманова многообразия,соответствующей линейчатой поверхности;

6) найдены уравнения геодезических подмногообразий 2-семейства прямых, исследована их геометрия.

Все эти перечисленные результаты выносятся на защиту.

ШВА I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИЙ ПЯТЙМЕРНОГО СИМПЛЕКТИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

§ I. Пятимерное симплектическое пространство &р.

Под пятимерным симплектическим пространством понимают проективное пространство Р5 , в котором задан невырожденный двухвалентный ковариантный кососимметричный тензор д^. » где

Л Цд^ЦФо.

Невырожденность тензора и обусловливает нечетность числа измерений пространства, ибо в проективном пространстве четной размерности кососимметричный тензор д^ обязательно внрож-денный (ДО, с.367). Этот тензор порождает инвариантный линейный комплекс

1.1) где

1.2)

- грассмановы координаты прямой ([б], с.9). Комплекс (1.1) называется абсолютным комплексом [5], ([30], с.354).

Фундаментальной группой & пространства ¿р? является подгруппа коллинеаций, переводящая прямые линейного комплекса в такие же прямые. Эта группа & , зависящая от 21 параметра, названа группой симплектических преобразований С [зо], с.353).

Относительно абсолютного комплекса (I.I) устанавливается нуль-система [14]. Эту нуль-систему, являющуюся аналогом полярного преобразования относительно абсолюта в неевклидовом пространстве, называют абсолютной нуль-системой симплектичес-кого пространства ([зо], с.353; [32], с.243). В абсолютной нуль-системе каждой точке А[хи) пространства Sps ставится в соответствие гиперплоскость ОС (А) того де пространства с тангенциальными координатами

Прямой 6 Sp5 ставится в соответствие 3-плоскость и)=жсх) ПЪСУ).

Симплектическим произведением двух точек А fxV и ью называют [5,7], ([30], с.352) кососимметричную билинейную форму от координат этих точек, порожденную фундаментальным тензором д^ .

Равенство нулю симплектического произведения (1.4) двух точек А и В означает: а) сопряженность этих точек в нуль-системе абсолютного комплекса; б) принадлежность прямой AB абсолютному комплексу. Отнесем пространство Sps к проективному реперу, состоящему из шести точек Аи . Простейшим с точки зрения геометрии симплектического пространства Sps является репер кл} , в котором каждая вершина сопряжена относительно абсолютного комплекса с четырьмя вершинами из пяти. Это означает, что прямые репера, соединяющие сопряженные между собой вершины, принадлежат абсолютному комплексу (I.I). В отмеченном репере имеется три непересекающиеся прямые, которые не принадлежат абсолютному комплексу, так как соединяют не сопряженные между собой вершины.

В силу равенства (1.4) имеем то есть симплектические произведения базисных точек являются координатами фундаментального тензора.

Пусть прямые = АкАе принадлежат абсолютному комплексу (1.1), тогда

1.6)

Прямые А1А2, А3Ац, не принадлежат абсолютному комплексу (1.1), поэтому коэффициенты д12, дзн, д£6 нельзя за счет выбора вершин обратить в нуль. Тогда за счет нормирования вершин приведем к единицам (ср.

6 ), то есть

Уравнение абсолютного комплекса (1.1) принимает вид

1.8)

В дальнейшем будем пользоваться только реперами, удовлетворяющими соотношениям (1.6) и (1.7) и называть их симп-лектическими.

§ 2. Симплектический инвариант пары прямых и пары З-шюекостей

Важно отметить, что две прямые а ж & пространства обладают одним симплектическим инвариантом V/ [б,7], ([зо], с.376).

Обозначим З-плоскость прямых а, ё через й + & . Прямые а, £> и а'= (а+ё)лЩа), ¿'= (а+ё) пщё) принадлежат деми-квадрике и пересекают вторую серию образующих соответствующей квадрики в точках А, Д А&' » сложное отношение которых есть инвариант IV - Если а~Х4У4, ¿=ХгУг, то I6»7]

У = <Х4,Уг><Хг,У1> + <Х*,Хг><У1,Уг>-<Х„У1>*Хг,Уг> ^ (1.9) ¿ХъУг><Хг,У1> + <Х1,Хг><У<,Уг>

Для двух пересекающихся прямых, не принадлежащих абсолютному комплексу, инвариант \л/=О.

В самом деле, для пересекающихся прямых в качестве точки хг можно взять х1 и тогда из формулы (1,9) получаем VI-О.

Если одна из непересекающихся прямых принадлежит абсолютному комплексу, то V/ =1, ибо тогда <х1,у1>< Хг,У2> = 0 и числитель формулы (1,9) равен знаменателю.

Для пары прямых, сопряженных относительно абсолютного комплекса и не принадлежащих ему, инвариант V/ равен бесконечности, ибо <х1,ц1>- <Хг,У<>=< Х1,Хг> = <У1,Уг>= о. Обратно, если у пары прямых инвариант V/ равен бесконечности, то эта пара прямых либо сопряжена относительно абсолютного комплекса, либо каждая прямая пересекает З-плоскость, сопряженную другой.

Если хотя бы одна прямая принадлежит абсолютному комплексу и эти прямые пересекаются, то для таких прямых VI не определен (и числитель, и знаменатель формулы (1.9) обращаются в нуль).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации построена достаточно полная теория линейчатых многообразий пятимерного симплектического пространства.

Впервые при нахождении геодезических линий применяется метод вариационного исчисления в симплектическом пространстве.

Исследованы геодезические линейчатые поверхности, геодезические пары кривых и геодезические линейчатые поверхности, принадлежащие 2-семейству прямых, а также рассмотрены свойства отображения в грассманово многообразие линейчатой поверхности и 2-семейства прямых.

Примененные в диссертации методы приложимы к исследованиям пар кривых и линейчатых многообразий независимо от размерностей пространства и многообразия. Так, например, можно исследовать пары поверхностей пространства . Изложенные методы будут полезны и при построении оснащения точечных и плоскостных многообразий симплектического пространства.

1. Беломестных Л. А. О паре кривых в пятимерном проективном пространстве. - В сб.: Дифференциальная геометрия однородных пространств. Иркутск, 1979, с.3-9.

2. Варначёва Н.К. О симплектической геометрии линейчатых многообразий. Диссертация. Орехово-Зуево, 1967.

3. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления. М.; ГИИЛ, 1947. - 408 с.

4. Верников М.Б. К теории кривых нечетномерного аффинно-симплектического пространства. В сб.: Исслед.по геометрии погружен.многообразий и проективной геометрии. - Л., 1979,с.10-14.

5. Гейдельман P.M. Симплектическая теория конгруэнций прямых. Математ.сб., I960, 51 (93), № 3, с.343-376.

6. Гейдельман P.M. Основы теории семейства подпространств в симплектических пространствах. Матем.сб., 1961, 55 (97), № I, с.7-34.

7. Гейдельман P.M. Симплектическая дифференциальная геометрия. Лит.матем.сб., 1963, 2, с.215-217.

8. Гейдельман P.M. Симплектическое изгибание конгруэнций прямых. Изв.высш.учебн.заведений. Математика, 1969, J6 I, с.84-93.

9. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 408 с.

10. Карапетян С.Е. Проективно-дифференциальная геометрия многомерных плоскостей. Изв.АН Арм.ССР, т.16, № 3, 1963, с.3-22.

11. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: МГУ, 1962. - 237 с.

12. Клейн Ф. Неевклидовы геометрии. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике. -М.: Наука, 1970. 720 с.

14. Кругляков Л.З. Канонический репер нефокального дву-параметрического семейства прямых в пятимерном проективном пространстве. Геом.сб.: Труды Томского ун-та, 1967, вып.6, т.191, с.36-47.

15. Кругляков Л.З. Псевдофокальные 2-семейства прямых в Р5 . Геом.сб.: Труды Томского ун-та, 1968, вып.7, т.196,с.70-78.

16. Кругляков Л.З. О линейчатых многообразиях, присоединенных к паре конгруэнций. Геом.сб.: Труды Томского ун-та, 1972, вып.10, т.230, с.28-36.

17. Кругляков Л.З., Машанов В.И. О трансверсалях в проективном пространстве. В кн.: Материалы Ш научн.конф. по ма-тем. и мех.: Тез.докл., 30 янв. - 3 февр. 1973 г., Томск,1973, с.10.

18. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Труды Московского матем.о-ва, 1953, т.2, с.275-382.

19. Машанов В.И., Кругляков Л.З. Квазифлекнодальные парысемейств плоскостей в . В кн.: Материалы второй научн. конф. по матем. и мех.: Тез.докл., 1-5 февр. 1972 г., Томск; 1972, с.73.

20. Остиану Н.М. О геометрии поверхностей многомерного симплектического пространства. Диссертация. М., 1955.

21. Остиану Н.М. О геометрии поверхностей многомерного аффинно-симплектического пространства. Труды третьего Всес. матем.съезда. М.: АН СССР, 1956, с.160-161.

22. Остиану Н.М. О геометрии поверхности аффинно-симплектического пространства. Уч.зап.Моск.гос.пед.ин-та, 1963,т.208, с.156-176.

23. Остиану Н.М. К геометрии четномерной поверхности аф-финно-симплектического пространства удвоенной размерности. -Всес.ин-т научн. и техн.информ. М.: АН СССР, 1964.

24. Парринг А. Сферическое отображение контруэнций симп-лектических плоскостей пространства Spv . В кн.: Уч.зал. Тартус.ун-та, 1975, вып.355, с.111-118.

25. Парринг А. Многообразие симплектических 2т -плоскостей и сферическое отображение. В кн.: Уч.зал.Тартус.ун-та, 1978, вып.464/22, с.116-136.

26. Пачев Х.С. ,Пе;клич В. А. К интерпретации четырехмерного гиперболического пространства в трехмерном симплектическом пространстве. Годшпн.Висш.учебни завед. Прилож.мат., 1976, (1977), J& 12, 4, с.151-161.

27. Розенфельд Б.А. Геометрия многообразия плоскостей проективного пространства как точечная проективная геометрия. Труды семинара по векторн. и тензорн.анализу. М.-Л.: ГИТТЛ, 1952, вып.IX, с.213-222.

28. Розенфельд Б.А. Неевклидовы:: геометрии. М.: ГИТТЛ, 1955. - 744 с.

29. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. - 647 с.

30. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969. - 548 с.

31. Сушников Б.С. Псевдоконгруэнции 2-плоскостей в Р5 . Геом.сб.: Труды Томского ун-та, 1974, вып.14, т.255,с.91-113.

32. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432с.

33. Фиников С.П. Теория пар конгруэнций. М.: ГИТТЛ, 1956. - 443 с.

34. Широков П.А. Тензорное исчисление. М.-Л., 1934.

35. Яглом И.М. О линейных подпространствах симплектичес-кого пространства. Тр.семинара по векторн. и тензорн.анализу, 1952, вып.IX, с.309-318.

36. Яглом И.М. Кривые в симплектическом пространстве. -Тр.семинара по векторн. и тензорн.анализу, 1956, вып.Х,с.119-137.

37. Скеш $1г1игд -, Мсиъд Нзьт-сЬипд. ^Ше-ге^ька!дж-гтЖху о/ вутр&ио£ врале. Учен.записки нац.ун-та, Цинхуа, Пекин, 1947, 4, 4-6, р.453-477.

38. ЪиеМм- . О некоторой паре взаимных прямолинейных конгруэнций пространства . О^¿е ущшгщск копдисти ргоз(оги ¿р^-. -НпмЖ. Мог. а \zecL и \ilLT Ьме, 1976, А-10, с.255-267.

39. Ьоц,гщи УестеЖие ¿утр&с^ш.1. ЛррйсМсоп, 'ЭалСв, 1955.42. воигиш 3-М. Уеотине1рр£ссас&п. &п{и па1. <г£ск. З^а^сшл^^ш, 033р. ¿3-59.

40. Ъшгши J.M. ¿tyuaUons сшьо/гирш ei geom&ita Symphcticpue. -9tJis. ^W. ibzM.Ifyu., 239-2 6£.

41. Maismcw. p, tta -ituo^Cz du яъь/гьси dam ¿'esptux. syrnp&ciifycce a ilvis dcm&rtiton. An. siu/vi. UsUi/. Ümi,1. Л 10, л/1, р. 122-^.

42. Hua Loo-ke^- G^ofrul^lei oj madticei /б&пгл.а&зО'&ст C-f Von SiaucLl's ¿км^шь, TtcunJ.&rWi.Jliäih.scc.J945;f7:3р.УШШ

43. Хуа Ло-кен. Геометрия симметричных матриц над полем действительных чисел. Доклады АН СССР, 1946, 53, с.99-102.

44. Лебедева Г. А. 0 линейчатой поверхности в Sp? . В сб.: Дифференц.геом.однородных пространств. Иркутск, 1979, с.39-46.

45. Лебедева Г.А. 2-семейство прямых в • В сб.: Дифференц.геом.однородных пространств. Иркутск, 1979, с.47-57.

46. Лебедева Г. А. Фокальные направления 3-поверхности,. описываемой лучом 2-семейства. Асимптотические направления. В сб.: Дифференц.геом.однородных пространств. Иркутск, 1979, с.58-61.

47. Лебедева Г.А. 0 геодезической линейчатой поверхности в . В сб.: Геометрия пространств с фундаментальной группой. Иркутск, 1982, с.37-52.