Эрмитовы метрики в алгебрах и их применение к геометрии многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. Простые и квазипростые алгебры и группы Ли.

Картанов и квазикартанов алгоритмы

1. Простые и квазипростые алгебры

2. Простые и квазипростые группы Ли

3. Комплексная, двойная и дуальная структуры в многообразиях прямых.

Глава П. Аффинные и проективные пространства над алгебрами и их интерпретации.

1. Аффинные геометрии.

2. Проективные геометрии.

Глава Ш. Эрмитовы метрики в пространствах над алгебрами и их вещественные интерпретации

1. Эллиптические метрики в пространствах над телами и тензорными произведениями тел

2. Эллиптические метрики в пространствах над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те же комплексные формы, что и тензорные произведения

3. Эллиптические метрики в пространствах над квазипростыми алгебрами.

4. Гиперболические метрики в пространствах над телами и тензорными произведениями тел

5. Гиперболические метрики в пространствах над квазипростыми алгебрами

6. Евклидовы метрики в пространствах над алгебрами

Глава 1У. Геометрические конструкции отображений расширенных алгебр на многообразия прямых и плоскостей вещественных пространств

1. Отображение расширенных алгебр Д\2®В2 с эллиптическими метриками на многообразия прямых 3-пространств.

2. Отображение расширенных алгебр Д2®в2 с гиперболическими метриками на многообразия прямых 3-пространств

3. Отображение алгебр А^В с евклидовыми метриками на многообразия прямых 3-пространств

4. Отображение алгебрА на многообразия прямых 5-пространств

5. Отображение алгебры на многообразия 3-плоскостей 7-пространств

Глава У. Дифференциальная геометрия в эрмитовых пространствах над алгебрами.

1. Деривационные формулы эрмитовых пространств

2. Углы и орты наклонов вещественных 2-шгощадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел.

3. Вещественные кривые в пространствах над алгебрами и моносистемы т -плоскостей.

4. Линейные элементы в многообразиях прямых и плоскостей

5. Структура окрестности прямой и плоскости в многообразиях прямых и плоскостей. III

6. Вещественные поверхности в пространствах над алгебрами и конгруэнции прямых.

Цель работы. Важную роль в многочисленных исследованиях, относящихся к проективным и неевклидовым пространствам над алгебрами, играют вещественные интерпретации этих пространств. Целью настоящей работы является выявление общих закономерностей в вещественных интерпретациях одномерных проективных, аффинных, эрмитовых евклидовых и неевклидовых пространств над алгебрами широкого класса, включающими в себя тела, тензорные произведения тел и алгебры, имеющие те же комплексные формы, что тела и их тензорные произведения, а также алгебры, получаемые из перечисленных выше алгебр, определенными алгоритмами, называемыми в работе картановым и квазикартановым алгоритмами. Все эти геометрии являются геометриями простых, полупростых и квазипростых групп Ли. Рассматриваемые в работе пространства над алгебрами интерпретируются в виде многообразий прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками. В работе решаются также задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств.

Актуальность темы определяется тем, что в настоящее время интенсивно развиваются такие разделы геометрии как геометрия пространств над алгебрами и геометрия семейств прямых и плоскостей в пространствах с фундаментальными группами. Исследования в этих областях ведут многие советские и зарубежные геометры: В.В.Вишневский, Р.М.Гейдельман, В.Ф.Кириченко, Г.И.Кручкович,

A.П.Норден, Б.А.Розенфельд, А.П.Широков и их ученики, а также

B.Бенц, Ш.Кобаяси, Ж.Титс, Г.Фрейденталь и многие другие. Актуальность темы исследования определяется также важностью геометрщ пространств над алгебрами и геометрии групп Ли для современной физики.

Предмет исследования. Предметом настоящего исследования являются проективные, аффинные, эрмитовы евклидовы, эллиптические и гиперболические прямые над телами ^ (р=2,4,8) комплексных чисел, кватернионов и октав, над простыми и полупростыми алгебрами двойных чисел, антикватернионов и антиоктав, над квазипростыми алгебрами Др и ft^ дуальных чисел, полукватернионов и полуантикватернионов, полуоктав и полуантиоктав и над их тензорными произведениями Hdp®^ л SCp® jftp&Nlp и т.д., а также вещественные интерпретации этих прямых в виде многообразии прямых и плоскостей вещественных пространств с проективными метриками и решение некоторых задач дифференциальной геометрии в этих пространствах.

Научная новизна. В работе впервые найдены общие закономерности вещественных интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых , в пространствах над тензорными произведениями тел и над алгебрами, полученными из этих тензорных произведений алгоритмом Картана и квазикартановым алгоритмом. Определены углы и орты наклонов вещественных 2-площадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел и найдена их связь с секционными римановыми кривизнами вещественных симметрических пространств, изометричных этим эрмитовым пространствам. Найдена система инвариантов, определяющая моносистемы т. -плоскостей вещественных эллиптических пространств, являющихся моделями эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел с точностью до движений этих пространств и тем самым найдена система инвариантов, определяющих вещественные кривые эрмитовых пространств с точностью до движений эрмитовых пространств. Решены также некоторые задачи теории конгруэнции прямых в вещественных эллиптических пространствах, равносильных задачам теории вещественных поверхностей эрмитовых пространств.

Практическое и теоретическое значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Опираясь на результаты исследований этой работы, можно построить аналогичные интерпретации многомерных пространств над рассматриваемыми алгебрами, а также интерпретации пространств над более сложными алгебрами. Опираясь на задачи дифференциальной геометрии, решенные в работе, можно решить более сложные задачи дифференциальной геометрии пространств над алгебрами и семейств прямых и плоскостей вещественных пространств. Результаты диссертации можно использовать для чтения спецкурса в Казанском государственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина, МГПИ имени В.И.Ленина, Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте и других высших учебных заведениях.

Методика исследования. Методы построения вещественных интерпретаций пространств над алгебрами, применяемые в диссертации, состоят в систематическом использовании всех известных ранее интерпретаций рассматриваемых пространств и в применении к этим интерпретациям комплексных расширений, унитарных ограничений, алгоритма Картана и квазикартанова алгоритма. При решении задач дифференциальной геометрии используется метод внешних форм и подвижного репера.

Апробация работы. Основные результаты настоящего исследования докладывались и обсуждались на Всесоюзной научной конференции по неевклидовой геометрии "150 лет геометрии Лобачевского" в Казани (1976 г.), на геометрических семинарах Казанского государственного университета имени В.И.Ульянова-Ленина (1979 г., 1983 г.), Московского государственного педагогического института имени В.И.Ленина (1982, 1983 гг.), на научно-практических конференциях в Комсомольском-на-Амуре государственном педагогическом институте (1977-1984 гг.).

Публикации.По теме диссертации опубликовано 10 статей, из которых 5 в соавторстве с указанием, какая часть работы написана каждым автором. Результаты, полученные соавторами, в работе не использовались.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения и 5 глав. Во введении обоснована актуальность избранной темы, сформулированы задачи исследования, перечислены методы исследования. Первая глава носит в основном реферативный характер. Это объясняется тем, что необходимый для исследования материал рассредоточен в различных книгах и научных статьях. Приводятся необходимые сведения из теории простых и квазипростых алгебр и групп Ли и указываются известные ранее геометрические интерпретации этих групп. Здесь же доказывается, что в многообразиях эллиптических, гиперболических и параболических прямых пространств

§п , ^ » S™ можно определить комплексные, двойные и дуальные структуры. Во второй главе определяются и изучаются геометрии аффинных и проективных пространств над телами (р=1,2,4,8), над простыми и полупростыми алгебрами Lp , получаемыми алгоритмом Картана из тел, а также над квазипростыми ал-гебрамиАри ГЦр, получаемыми квазикартановым алгоритмом из тел Dip и алгебр Lp . Строятся интерпретации этих алгебр с геометрией аффинных прямых в виде евклидовых, псевдоевклидовых, квазиевклидовых пространств с группами подобий, а расширенных алгебр с геометрией проективных прямых - в виде конформных, псевдоконформных и квазиконформных пространств.

В третьей главе определяются и изучаются эрмитовы эллиптические, гиперболические и евклидовы пространства над телами и тензорными произведениями тел, над простыми и полупростыми алгебрами, имеющими те же комплексные формы, что и тензорные произведения тел, а также над квазипростыми алгебрами, полученными из тензорных произведений тел квазикартановыми алгоритмами. Строятся интерпретаций эрмитовых эллиптических, гиперболических и евклидовых прямых в пространствах над алгебрами ^vld^ ,

1/1Ц , , - в виде многообразий взаимно полярных (р-I)- и -плоскостей в вещественных эллиптических, гиперболических, квазиэллиптических или квазигиперболических ( p+fy-l )-пространствах.

В четвертой главе строятся конструкции отображений многообразий прямых вещественных 3- и 5-пространств и 3-плоскостей 7-пространств на соответственные алгебры.

В пятой главе приведены деривационные уравнения подвижного репера в эрмитовых пространствах над рассматриваемыми алгебрами. По аналогии с введенным П.А.Широковым понятием утла наклона вещественной 2-площадки в пространстве определяются углы и орты наклонов вещественных 2-шющадок в пространен ос ствах S„ ОКр^ку и и находится их связь с секционными римановыми кривизнами вещественных римановых пространств, яв

Л/ ляющихся моделями пространств Строится теория моносистем м -плоскостей эллиптических ^-пространств и находится система инвариантов, определяющих моносистему с точностью до движений этих пространств. Эта система инвариантов, в силу изложенных выше интерпретаций, совпадает с системой инвариантов, определяющих вещественную кривую в пространствах

Б эрмитовых пространствах над алгебрами определяются инвариантные вещественные, комплексные, двойные и дуальные метрики, которые тем самым определяются в многообразиях прямых и плоскостей, образующих интерпретации рассматриваемых пространств над алгебрами. Эти интерпретаций применяются для изучения структуры окрестности прямой в многообразиях прямых вещественных 3- и 5-пространств и в окрестности З-плоокости в многообразий З-плоскостей вещественных 7-пространств. В качестве примера изучения вещественных поверхностей в эрмитовых пространствах над алгебрами решен ряд задач теории прямолинейных конгруэнций вещественных 3-пространств, равносильных задачам теории вещественных 2-поверх-ностей прямых ЗДв^Е.^) .

Результаты исследования опубликованы в работах [12, 13, 14, 15] , [16, § i] , [ivj , [49, § 2] , [50, § 1,2j , [51, § 2,3] , 52, § 2,3].

1. Аббасов Н.Т. Бикомплексные эллиптические пространства. -В кн.: Уч. записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1962, № 2, с. 3-9.

2. Аббасов Н.Т. Бикватернионные эллиптические пространства. В кн.: Уч. записки Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1963, й 2, с.3-9.

3. Адамушко Н.Н. Геометрия простых и квазипростых групп Ли класса 0г% . В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н.К.Крупской. -М., 1969, т.253, с. 32-42.

4. Андреева Л.П., Шестырева Л.В. Предельные симшгектичес-кие пространства. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. - Коломна, 1964, т. 8, с.23-44.

5. Атанасян СЛ., Абдурахманова Х.К., Гурьева В.П. Комплексные и двойные полярные координаты в многообразиях прямых трехмерных квазинеевклидовых пространств. В кн.: Труды геом. семинара. - КГУ, 1976, вып. 9, с. 5-10.

6. Баранова В.А. Линейчатые поверхности в многомерных евклидовом и эллиптическом пространствах. В кн.: Труды геометр. семинара. - КГУ, 1983, вып. 15, с.5-12.

7. Богуславская Т.М., Семенова И.Н. Образы симметрии комплексных и двойных эрмитовых квазинеевклидовых пространств и вещественного биквазиаффинного пространства. В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н.К.Крупской. - М., 1962, т.262, вып. 13,с. 4-24.

8. Баранова В.А., Узденов О.М. Комплексные, двойные и дуальные норденовы координаты в многообразиях прямых трехмерных неевклидовых и евклидова пространств. В кн.: Труды геом. семинара. - ГО", 1976, вып. 9, с.11-17.

9. Баранова В.А., Власова Л.А., Семенова И.И. Вещественные кривые в эрмитовых эллиптических пространствах. В кн.: Геометрический сб., 2. - Томск: йзд-во Томск, ун-та, 1982, с.92-100.

10. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982. - 480 с.

11. Выплавина Р.П. Применение геометрии эрмитовых прямых над алгебрами бикомплексных чисел и их аналогов к линейчатой геометрии 3-мерных пространств. В кн.: Геометрия одн. простр. Сб. трудов каф. геометрии МШИ им. В.И.Ленина. - М., 1976,с. II6-124.

12. Выплавина Р.П. Аффинные прямые над телами, тензорными произведениями тел и над алгебрами, получаемыми из них кар-тановым и квазикартановым процессами. В кн.: Геометрия одн. простр. Сб. трудов каф. геометрии МГПИ им. В.И.Ленина. - М.,1976, о.125-131.

13. Выплавина Р.П. Биэрмитовы прямые над тензорными произведениями тел. В кн.: Украинский геометрический сборник,1977, вып. 20, с. 27-34.

14. Выплавина Р.П., Денисова Н.С. Применение бикватернионов и их аналогов к дифференциальной геометрии 5-мерных пространств.-В кн.: Геометрия погруженных многообразий. Сб. трудов каф. геометрии МИШ им. В.И.Ленина. М., 1978, с.85-91.

15. Выплавина Р.П. Дифференциальная геометрия эрмитовых пространств над тензорными произведениями тел. В кн.: Труды геом. семинара. - КГУ, 1982, вып. 14, с.13-23.

16. Гиберт К.Я. Проективные пространства над алгебрами и-геометрии. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. Сб. трудов каф. геометрии МГПИ им. В.И.Ленина. - М., 1983, с. 33-37.

17. Егорова Л.Д., Маркина Л.М. Дуальные симплектические пространства. В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н.К.Крупской. M.t 1969, т.262, вып. 13, с. I04-II8.

18. Железина И.И. Линейчатая геометрия вырожденных неевклидовых пространств. ДАН, 1964, т. 106, №6, с.959-962.

19. Климанова Т.М. Унитарные полуэллиптические пространства. Изв. АН Азерб.ССР, серия физ.-мат. и техн. наук, 1963,3, с.21-29.

20. Картан Э. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера.М., 1963.

21. Картан Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М., Х949. - 384 с.

22. Карпова Л.М., Макарова И.И. Нормальные п.-цепи в комплексных и бикомплексных эллиптических пространствах. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. - Коломна, 1965, т.8, с.81-98.

23. Лутцицкая Н.Г. Полукватернионные пространства. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Ташкент, 1968. - 18 с.

24. Лумисте Ю.Г. Минимальные «.-мерные поверхности, имеющие в каждой точке itl-i )-мерное асимптотическое направление. В кн.: Уч. записки Тартуского ун-та, 1958, вып. 62, с.117-141.

25. Машанов В.И. О дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей пространства Лобачевского. В кн.: Геометрический сб., I. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1962, с. 131-137.

26. Машанов В.И. К дифференциальной геометрии линейчатых поверхностей пространства Римана. Геометр, сб., 2. - Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1962, с.140-153.

27. Магаоумов Г.С. Дифференциальная геометрия линейчатых поверхностей 3-пространств с проективными метриками. В кн.: Геометрия погруженных многообразий. Сб. научных трудов МГПИ им. В.И.Ленина. -М., 1980, с.54-61.

28. Маркина Л.М. Дуальные эрмитовы неевклидовы пространства. В кн.: Уч. записки МПОПИ им. Н.К.Крупской. - М., 1969, т. 262, вып. 13, с. 147-165.

29. Норден А.П. Об одном классе четырехмерных А-пространств.-Известия вузов. Математика. Казань, I960, №4 (17), с.145-157.

30. Норден А.П. Пространства декартовой композиции. Известия вузов. Математика. - Казань, 1963, № 4, с.117-128.

31. Никитина Л.С. Полуантикватернионные пространства. -В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н.К.Крупской. М., 1969, т.262, вып. 13, с. 166-190.

32. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.520 с.

33. Персиц Д.Б. Геометрия над вырожденными октавами. -ДАН, 1967, т.173, № 5, с. I0I0-I0I3.

34. Персиц Д.Б. Октавные геометрии. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. М., 1967, - 21 с.

35. Пецко Н.Д. Проективные мероопределения и комплексные числа. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. - Коломна, 1964, т.8, с.127-143.

36. Пецко Н.Д. Бикватернионные эллиптические пространства и их применение к вещественным геометриям. В кн.: Уч. записки Коломенского пединститута. Проективные метрики. - Коломна, 1964, т.8, с. 144-164.

37. Пецко Н.Д. Бикватернионные и дуокватернионные. гиперболические пространства и их применение к вещественным геометриям.- В кн.: Уч. записки МОПИ им. Н.К.Крупской. М., 1969, т. 262, вып. 13, с. 217-229.

38. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. М.: Госуд. из-во техн.-теорет. лит-ры, 1955, - 744 с.

39. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969, - 547 с.

40. Розенфельд Б.А., Карпова Л.М. Флаговые группы и сжатие групп Ли. В кн.: Труды семин. по вект. и тенз. анализу при МГУ. - М., 1966, вып. 13, с. 168-202.

41. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. - 648 с.

42. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П., Орловская Т.Г., Семенова И.Н. Квазипростые алгебры, квазиматрицы и спинорные представления квазинеевклидовых движений. Известия вузов. Математика. - Казань, 1969, № 4 (83), с. 62-73.

43. Розенфельд Б.А. Метод подвижного репера в пространствах над некоммутативными алгебрами. В кн.: Тезисы докладов на УП Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии. -М., 1979.

44. Розенфельд Б.А. К теории симметрических пространств ранга I. В кн.: Матем. сб., 1957, № 41 (83), с. 373-380.

45. Розенфельд Б.А., Бахолдина Т.М., Любишева Л.В., Могаль-кова С.Н. Риманова кривизна квадратичных комплексных, двойных и дуальных эллиптических пространств. Известия вузов. Математика. - Казань, 1971, JB 5 (108), с. 82-91.

46. Розенфельд Б.А., Власова Л.А., Юхтина Т.Н. Применение угла наклона 2-площадки в эрмитовых пространствах к дифференциальной геометрии этих пространств. Известия вузов. Математика. -Казань, 1984, Jfe 7 (266), с. 64-70.

47. Розенфельд Б.А., Выплавина Р.П., Колокольцева И.И., Малютин В.В. Дробно-линейные преобразования йордановых алгебр. -Известия вузов. Математика. Казань, 1974, J® 5 (144), с. 169-184.

48. Розенфельд Б.А., Выплавина Р.П., Зернова Т.А. Эллиптические прямые и евклидовы плоскости над тензорными произведениями тел. Известия вузов. Математика. - Казань, 1975, $ 12 (163), с. 1-Ю.

49. Розенфельд Б.А., Выплавина Р.П. Структура алгебр в многообразиях вещественных прямых и плоскостей. В кн.: Геометрический сб., 17. - Томск: Изд-во Томск, ун-та. 1976, с.90-98.

50. Розенфельд Б.А., Выплавина Р.П. Углы и орты наклонов вещественных 2-площадок в эрмитовых пространствах над тензорными произведениями тел. Известия вузов. Математика. - Казань, 1984, № 7 (266), с. 70-74.

51. Розенфельд Б.А. Теория конгруэнций и комплексов прямых в эллиптическом пространстве. Изв. АН СССР, серия матем., 1941, 5, с. 105-126.

52. Розенфельд Б.А. Внутренняя геометрия множества прямых эллиптического пространства. В кн.: Уч. записки МГУ. Математика, 1944, В 5, с. 49-58.

53. Розенфельд Б.А., Могалькова С.Н. Применение спинорныхпредставлений групп движений 3-пространств линейчатой геометрии. В кн.: Труды семинара кафедры геометрии КГУ. - Казань, 1974, вып. 7, с. II8-I27.

54. Румянцева Л.В. Кватернионная симплектическая геометрия. В кн.: Труды семин. по вект. и тенз. анализу при МГУ. -М., 1963, вып. 12, с. 287-314.

55. Румянцева Л.В. Квадрикватернионные эллиптические пространства. В кн.: Уч. зап. Азерб. гос. ун-та, серия физ.-мат. наук, 1963, № 3, с. 35-38.

56. Семянистый В.И. Об изометричности пространств КГ&С0и . В кн.: Уч. зап. Грозненского гос. пед. института, № 7, физ.члат. серия, 1956, вып. 4, с. 69-73.

57. Цыренова В.Б. Дифференциальная геометрия трехмерного квазиэллиптического пространства. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Казань, 1978, - 18 с.

58. Широков П.А. Об одном типе симметрических пространств. -В кн.: Матем. сб., 1957, 41(83), с. 361-372.

59. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск, 1977. - 248 с.

60. Юрьев В.А. Некоторые вопросы линейчатой геометрии многообразий гиперболических прямых. В кн.: Труды семинара кафедры геометрии. - КГУ, 1974, вып. 7, с. 176-184.

61. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М., 1963. - 104 с.

62. Яглом И.М. Розенфельд Б.А., Ясинская Е.У. Проективные метрики. УМН, 1964, т. 19, вып. 5, с. 51-113.

63. Benz W. Vorlesungen Uber Geometrie der Algebren. Berlin, Heidelberg, New York, 1973.

64. Juzova A., Eukleidovskfc invarianty monosystenni. Casopis pestovanl matem., 1963, 88, 1, c.1-13.69» Ravaska T. On curves in a complex Hilbert space. Acta Univ. Oulu., Ser. A 60, Math., IT 13.

65. Study E., Schraubenflache als Extreme. American Journal of mathematics, 1906, vol. 29, p. 160-169.