Дифференциальная геометрия почти келеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ:.

Глава 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ.

§ 1. Почти комплексные и почти эрмитовы структуры.

§2. Структурные уравнения почти келеровых многообразий.

§3. Некоторые классические тензоры почти келеровой структуры.

Глава 2. ПОСТОЯНСТВО ТИПА ПОЧТИ КЕЛЕРОВЫХ

МНОГООБРАЗИЙ.

Глава 3. СВОЙСТВА ИЗОТРОПНОСТИ ПОЧТИ КЕЛЕРОВЫХ

МНОГООБРАЗИЙ.

§ 1. Постоянство голоморфной секционной кривизны почти келеровых многообразий.

§ 2. Аксиома г-голоморфных плоскостей для почти келеровых многообразий.

Глава 4. ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ ДЛЯ ПОЧТИ КЕЛЕРОВЫХ

МНОГООБРАЗИЙ.

§ 1. Почти келеровы многообразия классов Яз.

§ 2. Почти келеровы многообразия классов СЯь СЯ2, СЯ3.

Почти эрмитовы многообразия традиционно являются предметом интенсивного изучения в дифференциальной геометрии, так как представляют собой один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Результаты исследований по теории почти эрмитовых структур нашли свое применение в различных разделах математики и теоретической физике. Так, келеровы многообразия интенсивно изучаются как в дифференциальной геометрии, так и в алгебраической геометрии, теории групп Ли и однородных пространств, топологии, теории эллиптических дифференциальных операторов. Изобилие интересных и важных свойств келеровых многообразий побудило исследователей к изучению более общих почти эрмитовых структур. Широкую известность получили работы, посвященные изучению приближенно келеровых, почти келеровых, квазикелеровых структур.

По мере изучения данных многообразий выяснилось, что они обладают сходными свойствами и признаками. Возникла задача классифицировать различные виды почти эрмитовых многообразий по некоторому единому признаку, и такая попытка была предпринята. В 1960г. Кото [45] установил отношения включения для многообразий, имеющих достаточное сходство с келеровыми. Позднее, в 1969г. Альфред Грей [35] разработал точный метод конструирования примеров конкретных многообразий, иллюстрирующих схему Кото. Наконец, в 1980г. вышла работа А. Грея и Хервеллы [39], в которой авторы получили в известном смысле исчерпывающую классификацию почти эрмитовых структур по их дифференциально-геометрическим инвариантам первого порядка.

Именно, Грей и Хервелла рассмотрели представление унитарной группы и(т), где т-комплексная размерность многообразия, на пространстве тензора типа (3,0). Они установили, что действие Щт) вполне приводимо, причем W в результате действия этой группы распадается в прямую сумму четырех неприводимых пространств

W = W, Ф W2 © W3 © W4. Тем самым действие группы U(m) определяет 16 инвариантных подпространств пространства W, каждое из которых определяет тот или иной класс почти эрмитовых структур, а именно

0} = K,Wl,W2,W3,W4,W1 Ф w2,w, ©w3,w, ®w4,w2 ®W3,W2 © W4,W, Ф w4, W, Ф W2 Ф W3, W, Ф W2 © W4, W, © W3 Ф w4, w2 © w3 © w4, w, © w2 © w3 © w4.

Грей и Хервелла сформулировали условия принадлежности произвольной почти эрмитовой структуры конкретному классу почти эрмитовых структур на языке инвариантного исчисления Кошуля. Отметим, что и большинство исследований по изучению почти эрмитовых структур выполнено на языке инвариантного исчисления Кошуля [46]. Но наиболее удобным является метод присоединенных G-структур, т.е. современная версия метода внешних форм Э. Картана [4], развитого Г.Ф. Лаптевым и A.M. Васильевым. В рамках этого метода исследование геометрических свойств почти эрмитовых многообразий проводится не на самом многообразии, а на пространстве некоторой G-структуры, естественным образом присоединенной к многообразию. Это позволяет глубже понять природу геометрических свойств многообразий, получать более наглядные и лаконичные результаты.

В работе В.Ф. Кириченко [9] получена первая группа структурных уравнений произвольного почти эрмитова многообразия на пространстве присоединенной G-структуры, введены понятия структурных и виртуальных тензоров, которые образуют полный набор дифференциально-геометрических инвариантов 1-го порядка для почти эрмитовых структур. Это позволяет провести такую классификацию почти эрмитовых структур, в которой принадлежность произвольной почти эрмитовой структуры тому или иному классу Грея-Хервеллы определяется наглядными условиями, налагаемыми на структурные и виртуальные тензоры. Эти условия для классов {0} = К,¥,Д2,¥1©¥2,¥3Ф¥4 были получены В.Ф. Кириченко в работе [9]. Для остальных классов почти эрмитовых структур такие условия получены М.Б. Банару [1].

Существует еще один принцип классификации почти эрмитовых структур - по дифференциально-геометрическим инвариантам второго порядка (свойствам симметрии тензора Я римановой кривизны). В его основу положен принцип, выдвинутый А. Греем и сформировавшийся в ряде его работ [36] и др., в соответствии с которым ключом к пониманию диффернциально-геометрических свойств келеровых многообразий являются тождества, которым удовлетворяет их тензор кривизны:

1. (К(Х,У)2,\У) = (11(ЖДУ)2,\¥);

2. (ЩХ, АУ) = (ЩЖ, 1У)2, \У) + (Я(1Х, У) \У) + (11(Ж, 1\У); х,у,г/\уех(м).

Обозначим через Я; подкласс произвольного класса почти эрмитовых многообразий, представители которого характеризуются ьм (1=1, 2, 3) тождеством на их тензор Я. Почти эрмитовы многообразия класса Я] рассматривали Баррос и Рамирес [26], Саваки и Секигава [62] под названием Б- пространств, а также Рицца под названием паракелеровых многообразий [58]. Многообразия класса Я3, или многообразия с .1-инвариантным тензором кривизны, называются ЯК-многообразиями. Их рассматривали А.Грей [36], Ванхекке [71], Навейра и Хервелла [50].

Одним из наиболее интересных объектов изучения почти эрмитовых многообразий является свойство постоянства типа. Понятие постоянства типа приближенно келерова многообразия ввел А. Грей [37], [38]. Он изучал некоторые типы приближенно келеровых многообразий постоянного типа, наделенных дополнительными свойствами, например, эйнштейновостью, постоянством голоморфной секционной кривизны и др. Различные авторы (например, Л. Ванхекке, В.Ф. Кириченко) предлагали варианты распространения понятия постоянства типа на более общие виды почти эрмитовых многообразий. Так Ванхекке и Боутен [70] сформулировали критерий, позволяющий определить постоянство типа на более общие виды почти эрмитовых многообразий с помощью тензора римановой кривизны многообразия, но это приводит к необходимости перехода к дифференциально-геометрическим объектам более высокого порядка. В.Ф. Кириченко [8] предложил способ обобщения понятия постоянства типа почти эрмитовых многообразий, не выходящий за пределы понятия кручения присоединенной связности (ковариантного дифференциала оператора структуры в случае почти эрмитовых многообразий), а именно, с помощью С>-алгебры, присоединенной определенным образом к многообразию. С помощью этого способа им были получены следующие важные результаты: получено исчерпывающее описание приближенно келеровых многообразий постоянного типа; была получена полная классификация однородных римановых многообразий с инвариантной приближенно келеровой структурой постоянного типа: оказалось, что любое такое многообразие локально голоморфно изометрично одному из следующих :

1. 86 = С2 /БЩЗ);

2. 80(5Д)/и(2);

3. 811(3) / 8(11(1) х и(1) х и(1)).

Почти эрмитовы многообразия постоянного типа изучались также в работах [63], [64].

Среди проблематик, связанных с исследованием почти эрмитовых структур, особый интерес представляют исследования свойств, характеризующих свойства изотропности многообразий, т.е. одинаковости их свойств в различных направлениях. К таким свойствам относятся: 1) постоянство голоморфной секционной кривизны; 2) аксиома г-голоморфных плоскостей.

Понятие голоморфной секционной кривизны почти эрмитовых многообразий изучалось многими авторами, среди которых отметим Грея [40], Ванхекке [40], [72], Рицца [59], Нагаич [51], Номидзу [52]. Холи [41] и Игуса [42] получили классификацию полных односвязных келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны. Фарран в [32] нашел строение тензора кривизны и тензора Риччи почти келерова многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны, а также формулы для вычислений секционной и голоморфной бисекционной кривизны.

Вопрос о структуре почти эрмитовых многообразий, удовлетворяющих аксиоме r-голоморфных плоскостей, играет существенную роль в геометрии почти эрмитовых многообразий, и исследовался рядом авторов. Яно и Моджи [74] выяснили, что класс келеровых многообразий, удовлетворяющих аксиоме голоморфных плоскостей, совпадает с классом келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны. В.Ф. Кириченко получил тот же результат для класса приближенно келеровых многообразий [7], Ванхекке доказал справедливость этого результата для квазикелеровых многообразий, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям [73]. Почти эрмитовы многообразия, удовлетворяющие аксиоме голоморфных плоскостей, изучали также Чен и Огиуэ [29], Касабов [43], В.Ф. Кириченко [11], [12] и др. авторы.

Почти (almost) келерова структура, изучению которой посвящена настоящая работа, является исключительно естественным обобщением келеровой структуры: ее фундаментальная форма замкнута, а почти комплексная структура не обязана быть интегрируемой.

В 1958г. Сасаки [60] было доказано, что риманова метрика, заданная на многообразии М, индуцирует риманову метрику на касательном расслоении Т(М), которая впоследствии была названа метрикой Сасаки. Затем, Татибана и Окумура [67] обнаружили, что на касательном расслоении риманова многообразия внутреннем образом определяется почти комплексная структура, которая вместе с метрикой Сасаки образует почти келерову структуру. Известно, что на кокасательном расслоении Т*(М) многообразия М существует каноническая симплектическая 2-форма -внешний дифференциал 1 -формы Лиувилля. Для произвольного касательного расслоения Т(М) аналогичной конструкции не существует, однако на касательном расслоении риманова многообразия М каноническая симплектическая 2-форма вновь возникает. С помощью метрики Сасаки симплектическую структуру можно достроить до почти келеровой.

В [56] показано, что ковариантный дифференциал любой р-формы на римановом многообразии канонически распадается в сумму трех взаимно ортогональных компонент. В случае, если в качестве этой формы выступает фундаментальная 2-форма почти эрмитовой структуры, то обращение в нуль первой компоненты разложения означает, что данная почти эрмитова структура является почти келеровой.

В работе Огуро [53] построено несчетное семейство почти келеровых структур, отличных от келеровых, на римановом произведении Н3 х II3 гиперболического пространства Н3 и евклидова пространства Я3. Огуро и Секигава [54] показали, что почти келерова структура, индуцированная на произведении 3-мерного гиперболического пространства Н3 и вещественной линии II, является "чистой", т.е. не келеровой почти о келеровой структурой, причем многообразие (Н хЯ, является почти келеровым симметрическим пространством. Эти же авторы доказали [55], что почти келерово эйнштейново 4-многообразие является келеровым.

В [31] рассмотрены два варианта обобщения понятия почти келерова многообразия. Первое обобщение представляет класс почти эрмитовых многообразий с ковариантно постоянной в римановой связности формой сЮ; автор их называет параллельно келеровыми многообразиями. Второе обобщение представляет класс почти эрмитовых многообразий, когда на сЮ наложены определенные линейные соотношения. Доказано, что пересечение класса почти татибановых и параллельно келеровых многообразий совпадает с классом келеровых многообразий.

Баррос и Навейра в [25] определили понятие строгого почти келерова многообразия, тензор римановой кривизны которого удовлетворяет тождеству Я2, и получили достаточные условия локальной разложимости АК2 многообразия в произведение келерова многообразия и строгого АК2-многообразия.

Касабов [44] получил классификацию конформно-плоских почти келеровых многообразий класса Я2 размерности выше 4: они представляют собой либо плоское келерово многообразие, либо 6-мерное почти келерово многообразие постоянной отрицательной секционной кривизны, либо локально голоморфно изометрично произведению 6-мерного почти келерова многообразия постоянной секционной кривизны (-с) и двумерного келерова многообразия постоянной секционной кривизны с>0, либо локально голоморфно изометрично произведению 4-мерного почти келерова многообразия постоянной секционной кривизны (-с) и двумерного келерова многообразия постоянной секционной кривизны с>0.

Татибана [66] доказал, что не существует конформно-плоских почти келеровых многообразий положительной скалярной кривизны.

Д. Блэр в [28] и 3. Ольчак в [57] показали, что во всех размерностях п>8 не существует почти келеровых многообразий постоянной кривизны к ф 0, а если к=0, то такое многообразие келерово.

Вайсман [69] получил характеристику локально конформно почти келеровых многообразий: почти эрмитово многообразие является локально конформно почти келеровым тогда и только тогда, когда его связность Вейля является почти комплексной, а тензор Нейенхейса удовлетворяет тождеству щх, У), щ + ё(М( у, г), Ж) + ё(щг, х),п) = о.

Конформные преобразования почти келеровых многообразий изучались Гольдбергом [34]. Он доказал, что наибольшая связная группа конформных преобразований компактного почти келерова многообразия М2п (п>1) совпадает с наибольшей связной группой автоморфизмов почти келеровой структуры.

Проективные преобразования почти келеровых многообразий рассматривались Р. Коути [30]. Он показал, что для почти келерова пространства Эйнштейна с положительной скалярной кривизной наибольшая связная группа проективных преобразований совпадает с наибольшей связной группой изометрий.

Саваки в [61] доказал, что в почти келеровом пространстве Эйнштейна с положительной скалярной кривизной инфинитезимальное конформное преобразование есть изометрия.

Группы автоморфизмов почти келеровых многообразий изучались Гольдбергом [33] и Танно [68]. Танно показал, что максимальная размерность 2п(п+2) группы автоморфизмов почти келеровой структуры достигается в том и только том случае^ если М - комплексное проективное пространство. Гольдберг показал, что инфинитезимальные автоморфизмы почти келеровой структуры суть инфинитезимальные изометрии. Автоморфизмы почти келеровых структур в касательном расслоении над римановым многообразием изучал Каган [3].

Почти аналитические векторы и строго почти аналитические векторные поля почти келеровых многообразий изучались в работах Татибаны [65] и Матсумото [49].

Из приведенного краткого обзора видна актуальность диссертационного исследования.

Выделим цели диссертационного исследования. 1. Получить структурные уравнения почти келеровых многообразий, изучить строение спектра тензора Римана-Кристоффеля и спектра тензора

Вейля конформной кривизны в терминах структурных тензоров на пространстве присоединенной в-структуры.

2. Получить критерий постоянства типа нормальных почти келеровых многообразий.

3. Исследовать свойства изотропности почти келеровых многообразий: а) получить необходимые и достаточные условия точечного постоянства голоморфной секционной кривизны; б) изучить почти келеровы многообразия, удовлетворяющие аксиоме г-голоморфных плоскостей; исследовать связь выполнимости аксиомы голоморфных плоскостей с точечным постоянством голоморфной секционной кривизны в случае почти келеровых многообразий.

4. Получить критерии принадлежности почти келеровых многообразий специальным классам почти эрмитовых многообразий: классу классу Я2, классу Яз.

5. Исследовать почти келеровы многообразия, принадлежащие специальным классам почти эрмитовых многообразий, определенным при помощи тождеств, которым удовлетворяет тензор Вейля \У конформной кривизны.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении почти эрмитовых многообразий, в частности почти келеровых, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и теоретической физики. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории почти эрмитовых многообразий в высших учебных заведениях.

Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании Научного Семинара кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета (руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. Кириченко); на научной сессии по итогам научно-исследовательской работы за 1999 год МПГУ (2000г.,

Москва).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [75]-[79].

В настоящей работе получен ряд результатов, среди которых отметим следующие:

1. Получены структурные уравнения почти келеровых многообразий; вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи, тензора Вейля конформной кривизны на пространстве присоединенной О-структуры.

2. Получен критерий постоянства типа нормальных почти келеровых многообразий.

3. Получено условие точечного постоянства голоморфной секционной кривизны почти келеровых многообразий в терминах структурных тензоров.

4. Изучены почти келеровы многообразия, удовлетворяющие аксиоме г-голоморфных плоскостей. Получена полная классификация почти келеровых многообразий, удовлетворяющих аксиоме г-голоморфных плоскостей (г >2). Исследована связь выполнимости аксиомы голоморфных плоскостей с точечным постоянством голоморфной секционной кривизны. Получена полная классификация почти келеровых многообразий точечно постоянной голоморфной секционной кривизны, удовлетворяющих аксиоме голоморфных плоскостей.

5. Получен критерий принадлежности почти келеровых многообразий классу К|. Получены тождества в терминах ковариантного дифференциала оператора структуры, эквивалентные принадлежности почти келеровых многообразий классам Я2 и Я3.

6. Введены в рассмотрение новые классы почти эрмитовых многообразий СЯь СЫ2, СЯз, определенные при помощи тождеств, которым удовлетворяет тензор Вейля конформной кривизны. Получены критерии принадлежности почти келеровых многообразий классам СЯг и СЯз. Для почти келеровых многообразий класса С!^ получены условия, связывающие эйнштейновость этих многообразий со свойством постоянства типа.

Результаты данной работы получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана - метода присоединенных в-структур. Исследование геометрических свойств почти келеровых многообразий проводится на пространстве некоторой О-структуры, естественным образом присоединенной к многообразию. По мере необходимости использовались также метод инвариантного исчисления Кошуля и метод присоединенных С)-алгебр.

Приведем краткий обзор содержания диссертации:

1. Банару М.Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли. Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ-мат наук, МПГУ, 1993г.

2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М.: Мир, 1990 704с.

3. Каган Ф.И. О килинговых векторах и автоморфизмах АК-структур в касательном расслоении над римановым многообразием. // Дифференциальная геометрия, Вып.1, Саратов, 1974, с.60-71.

4. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.:МГУ, 1960. -94с.

5. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянного типа. // Сиб. мат. журнал. -1976. 17, №2. - С.282-289.

6. Кириченко В.Ф. К-пространства постоянной голоморфной секционной кривизны. // Мат. заметки. 1976. - 19, №5, - С.803-814.

7. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств. // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., ВИНИТИ. 1977. Т.8. -С.139-161.

8. Кириченко В.Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа. // Докл. АН СССР, 259, №6()1981), С.1293-1297.

9. Кириченко В.Ф. Обобщенные почти келеровы многообразия, удовлетворяющие аксиоме г-голоморфных плоскостей. // Докл. АН БССР, 1982, 26, №9. с.780-782.

10. Кириченко В.Ф. Теория групп Ли. ТвГу, Тверь, 1995. 126с.

11. Кириченко В.Ф., Арсеньева O.E. Введение в современную геометрию ТвГу, Тверь, 1997,- 117с.

12. Кобаяси Ш., Намидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.1., М.: Наука, 1981.-344с.

13. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т.2., M.: Наука, 1981.-416с.

14. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономии. М.: Гос. изд. иностр. Лит., 1960. 216с.

15. Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: МГУ, 1980. -439с.

16. Петров А.З. Пространства Эйнштейна. М.: Изд. физ-мат лит., 1961. 463с.

17. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964.- 664с.

18. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.-302с.

19. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1. М.: Наука, 1964.- 440с.

20. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. 553с.

21. Эйнштейн А. Собрание сочинений в 4-х томах Т.1. М.: Наука, 1965. -700с.

22. Barros M., Naveira A. Decomposition der variétés presque kähleriennes vérifiant la deuxieme condition de courbure. // C.r. Acad. Sei., 1977, 284, №22, p.1461-1463.

23. Barros M. Ramirez A. Decomposition of guasi Kähler manifolds wich satisfy the first curvature condition. // Demonstr. Math., 1978, v.l 1, №3, p. 685-694.

24. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. // Lect/ Notes Math., 509, 1976, p.1-146.

25. Blair D.E. Nonexistence of 4-dimensional almost Kahler manifolds of constant curvature. // Proc. Amer. Math. Soc. 1990. - 110, №4, p. 1033-1039.

26. Chen B.-Y, Oqiuek K. Some characterisations of complex space forms. // Duke Math. J., 1973, v.40, p.797-799.

27. Couty R. Transformations projectives des varietes presque Kahleriennes. // C.r. Acad. Sci., 1962, 254,№24, p.4133-4134.

28. Donnini S. Due generalizzazioni deiie varieta quasi Kahleriane. // Ruv. Mat. Univ. Parma, 1978, 4, p. 485-492.

29. Farran H. Holomorfic curvatures of almost Kahler manifolds. // J. Diff. Geom., 1981, 16, №4, p.711-717.

30. Goldberg S.I. Groups of automorphisms of almost Kahler manifolds.// Bull. Amer. Math. Soc., 1960, 66, №3, p. 180-183.

31. Goldberg S.I. Conformal maps of almost Kahlerian manifolds. // Tohoku Math. J., 1961, 13, №1, p.119-131.

32. Gray A. Minimal varieties and almost Hermitian submanifolds. // Michigan Math J., 12, 1965, P.273-279.

33. Gray A. Curvature identities for Hermitian end almost Hermitian manifolds. // Tohoku Math. J., 1976, v. 28, №4, p.601-612.

34. Gray A. Nearly Kahler manifolds. // J. Diff. Geom., 1970, v. 4, №3, p.283-309.

35. Gray A. The structure of nearly Kahler manifolds. // Ann. Math., 1976, v.223, p.233-248.

36. Gray A. Hervella L.M. The sexteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. // Ann Math. Pure Appl., 123, №4, 1980, p.35-58.

37. Gray A. Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. // Cas. Pestov. Math., v. 10, №2, 1979.

38. Hawley N.S. Constant holomorphic sectional curvature. // Canad. Math. J., 1953, v.5,p.53-56.42.1gusa J. On the structure of a certain class of Kahler manifolds. // Nat. Sci. Rep. Ochanomizu Univ., 1980, v.31, №1, p.42-54.

39. Kasabov О. On the axiom of planes and the axiom of spheres in the almost Hermitian geometry. // Sevdica Bulg. Math, publ., 1982, v.8, p. 109-114.

40. Kasabov O. Conformai flat AK2-manifolds. // Плиска Бълг. Мат. студ., 1987, 9, р.12-16.

41. Koto S. Some theorems on almost Kàhlerian Spaces. // J. Math. Soc. Japan, 12, 1960, p.422-433.

42. Koszul J.L. Variétés Kahlerienes. //Notes, Sao-Paolo, 1957.

43. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kâhlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, I, Geometriae Dedicata 51, 1994, p.75-104.

44. Kirichenko V.F. Generalized quasi-Kâhlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry, II, Geometriae Dedicata 52, 1994, p.53-85.

45. Matsumoto M. On strictly almost analytic vector fields. // Tensor, 1969, 20, №3, p.303-309.

46. Naveira A.M., Hervella L.M. Quasi-Kâhler manifolds. // Proc. Amer. Math. Soc. University, 1975, v.49, №2, p.327-333.

47. Nagaich R. Constancy of holomorphic sectional curvature in indefinite almost Hermitian manifolds. // Kodai Math. J.- 1993, 16, №2, p.327-331.

48. Rizza G.B. Varieta parakàhkeriane. // Ann. Math. Pura et appl., 1974, v.98, №4, p.47-61.

49. Rizza G.B. On almost Hermitian manifolds with constant holomorphic curvature at a point. // Tensor. 1991. - 50,№1, p.79-89.

50. Sasaki S. On the Differential Geometry of Tangent Bundles of Riemannian Manifolds. // Tohoku Math j, 10, 1958.l.Sawaki S. On infinitesimal transformations of almost Kàhlerian space and K-space. // Kodai Math. Semin Repts, 1964, 16 №2, p. 105-115.

51. Sawaki S., Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. // J. Off. Geom., 1974, v.9, p. 123-124.

52. Stanilov G. Almost Hermitian manifolds of conatsnt type. // Serdica 1992. -18,№3-4, p.144-149.

53. Stanilov G. Almost Hermitian manifolds of a constant type. // Different Geom. and its Appl.: Conf. Dubrovnik, 1988. Math. Univ., Belgrade, Inst. Math. Univ, Novi Sad. 1989. - p.349-351.

54. Tachibana S. On almost analytic vectors in almost Kàhlerian manifolds. // Tohoku Math. J., 1959, 11. №2, p.246-265.

55. Tachibana S. Note on conformally flat almost Kàhlerian spaces. // Natur. Sci. Rept. Ochanomizu Univ., 1959, 10, №2, p.41-43.

56. Tachibana S., Okumura M. On the Almost-complex spaces. // Tohoku Math. J., 14, 1962.

57. Tanno S. The automorphism groups of almost Hermitian manifolds. // Trans. Amer. Math. Soc., 1969, 137, p.269-275.

58. Vaisman I. On locally conformai almost Kàhlerian manifolds. // Isr. J. Math., v.24, №3-4, 1976, p.338-351.

59. Vanhecke L., Bouten F. Constant type for almost Hermitian manifolds, Bull. Math. Soc. Sci. Math. RSR, 20, №3-4, 1976-1977. p.415-422.

60. Vanhecke L. Almost Hermitian manifolds with J -invariant Riemannian curvature tensor Rend Sem. Math. Univ. Rolitec. Torino 34 (1975-1976), p.487-498.

61. Vanhecke 1. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature. // J. Diff. Geom., 1977, v. 12, №4, p.461-471.

62. Vanhecke L. Some theorems for quasi and nearlu Kahler manifolds. // Boll. Unione math. Ital., 1975, v.12, №3, p.174-188.

63. Yano K., Mogi I. On real representation of Kahlerian manifolds. // Ann. Math., 1955, v.61, №1, p.170-189.Публикации автора по теме диссертации:

64. Третьякова И.В. Структурные уравнения почти келеровых многообразий. Свойства изотропности почти келеровых многообразий // М., 1999. -52с. - деп. В ВИНИТИ 29.06.99, №2088-В99.

65. Третьякова И.В. Тождества кривизны для почти келеровых многообразий/ -М., 1999. 40с. - деп. в ВИНИТИ 29.06.99, №2089 - В99.

66. Tretyakova I.V. Constancy of holomorphic sectional curvature of almost Kaehlerian manifolds. // Webs and Quasigroups, Tver state Univ., 1998-1999, p.120-126.

67. Третьякова И.В. О свойствах изотропности почти келеровых многообразий. /Межд. конференция, поев. 90-летию со дня рождения Г.Ф. Лаптева. Тезисы. -М., МГУ, 1999, с.48-49.

68. Третьякова И.В.О свойствах кривизны почти келеровых многообразий / Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. -М.: Прометей, 2000, с.9-10.