Геометрия квантовых систем с келеровой структурой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

р V Б ОЛ

казанскии государственный университет

На правах рукописи

.'У. / /

КАЛИНИН ДМИТРИЙ АНАТОЛЬЕВИЧ

ГЕОМЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ С КЕЛЕРОВОЙ СТРУКТУРОЙ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

казань - 1996

Работа выполнена на кафедре теории относительности и гравитации Казанского государственного университета.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физ.-мат. наук, профессор А. В. Аминова

доктор физ.-мат. наук, профессор В. В. Вишневский

кандидат физ.-мат. наук, А. А. Попов

Московский педагогический государственный университет

Защита диссертации состоится 28 нарта 1996 года в

Ш— часов на заседании специализированного Совета К 053.29.05. при Казанском государственном университете (420008, Казань, ул. Ленина 18).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан февраля 1996 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета, кандидат физ.-мат. наук, к |)| ^J доцент 'ЬЩ

Шурыгин В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. В своей замечательной работе 1925 года1 П. А. Широков исследовал класс псевдоримановых многообразий, допускающих невырожденное ковариантно постоянное тензорное поле J. удовлетворяющее условию

JjsJk = Qjk: -JI = Jы g's- Jki = - Ja-

Эти многообразия, названные П. А. Широковым Л-пространства-ми, были позже заново открыты Э. К е .те ром и стали называться "келеровыми" многообразиями.

Методы геометрии келеровых многообразий (келеровой геометрии) играют исключительно важную роль в различных областях математики и математической физики: теории динамических систем, алгебраической геометрии, геометрии многообразий Эйнштейна, квантовой механике, квантовой теории поля, теории относительности. теории суперструн и нелинейных сигма-моделей, и вызывают постоянный интерес у геометров и физиков-теоретиков.

Важным разделом келеровой геометрии является теория голоморфно-проективных или. короче, Н-проективных отображений почти комплексных и келеровых многообразий. Понятие об Н-проективном отображении было введено Т. Оцуки и Я. Тасиро2. #-проективные отображения являются частным случаем почти геодезических отображений, которые, в свою очередь, обобщают геодезические отображения псевдоримановых многообразий3.

Теория геодезических отображений, а также их обобщений ;— Н-проективных отображений почти комплексных и, в частности, келеровых многообразий, — представляет безусловный интерес и

1 Широков П. А. Постоянные поля векторов и тензоров 2-го порядка в Riemaim'oBbix. пространствах. // Известия физ.-мат. об-ва при КГУ. - 1925. - T.XXV. - С.86-114.

- Otsuki Т.. Tashiro Y. On curves in КйЫепап spaces. // Math. J. Oka.ya.ma. Univ. - 1954. - V.4. - P.57-78.

3 Амилова А. В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. // УМЕ. - 1993. - Т.48. - С.107-159. Синюков Н. С. Геодезические отображения римановых пространств. - М.: Наука. 1979. - 256 с.

с точки зрения приложений в области теории динамических систем. теоретической механики и математической физики. Этот интерес основан на том, что движение многих типов механических систем, а также тел или частиц в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде происходит по траекториям, которые можно рассматривать как геодезические или почти геодезические линии на некоторых псевдоримановых многообразиях, определенных энергетическим режимом, при котором протекает процесс. Уравнение геодезической или почти геодезической линии представляет собой динамическую систему второго порядка, и геодезическое или почти геодезическое отображение определяет ее гомоморфизм. На этом основана, предложенная А. 3. Петровым4 в конце 60-х годов идея моделирования физических полей.

Другой важной областью приложений методов келеровой геометрии является квантовая физика. Широко известны замечательные достижения последних десятилетий в развитии теории фундаментальных взаимодействий: открытие теории струн, суперсимметричных моделей, современные подходы в теории Ка-луцы-Клейна, которые позволили вплотную приблизиться к построению единой теории поля. Однако эти достижения выявили трудности, которые проявляются на этапе квантования и которые, по-видимому, нельзя преодолеть без удовлетворительного математического описания основ квантовой теории.

В работах А. А. Кириллова5, Б. Костанта6 и Ж. М. Сурьо' был предложен метод геометрического квантования, который позволяет во многих случаях решить проблему построения квантового объекта, исходя из геометрии дифференцируемого симплек-тического многообразия — фазового пространства соответствующей классической гамильтоновой системы.

Известно, что келеровы многообразия обладают естественной

1 Петров А.З. Моделирование физических полей. // Гравитация и теория относительности. - 1968. - вып. 4-5.

5 Кириллов А. А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли. // УМЕ. - 1962. - Т.1Т. - С.57-110.

6 Kostant В. Quantization and unitary representations. // Lecture Notes Math.. - 1970. - Y.170. - P.87-208.

"Souriau J. M. Structures des systems dynamiques. - Paris: Dunod, 1970.

симнлектической структурой, определяемой фундаментальной 2-формой, и. следовательно, их можно интерпретировать как фазовые пространства некоторых классических гамильтоновых механических систем. При построении соответствующих квантовых объектов большой интерес, как правило, представляет группа симметрий фазового пространства. В случае келеровых многообразий естественно рассматривать группу Я-проективных преобразований келерова многообразия. Поскольку келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны имеют группу Н-проективных преобразований максимальной размерности. представляет интерес построение квантования гамильтоновых систем, фазовыми пространствами которых являются указанные многообразия.

Степень разработанности проблемы. Современное состояние теории Н -проективных отображений почти комплексных и келеровых многообразий было достигнуто в основном благодаря усилиям геометров казанской и одесской школ (А. П. Нор-ден, Н. С. Синюков, И. Микеш и др.). а также японских математиков (Т. Оцуки. Я. Тасиро. С. Исихара. К. Яно. Т. Сакагучи).

К настоящему времени в этой области получены фундаментальные результаты. Т. Оцуки и Я. Тасиро нашли необходимые и достаточные условия существования Я-проективных отображений. В работах Т. Сакагучи. Н. С. Синюкова, В. В. Домашева и И. Ми-кеша8 выделены большие классы келеровых многообразий, не допускающих собственных Я-проективных отображений: эквидистантные, обобщенно симметрические и рекуррентные многообразия, отличные от пространств постоянной голоморфной секционной кривизны. В. В. Домашев и И. Микеш разработали регулярные методы нахождения Я-проективных отображений для данного келерова многообразия. Однако до сих пор в теории Я-лроективных отображений существует много нерешенных проблем. К таким проблемам, в первую очередь, относится задача определения метрик келеровых многообразий, допускающих неаффинные Н-проективные отображения, которая не решена до

* Домашев В. В.. Микеш И. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств. // Мат. заметхи. - 1978. -Т.23. - С.297-303.

сих пор даже в случае многообразий малых размерностей.

Целью диссертационной работы является изучение келеровых многообразий, допускающих Н-проективные отображения и возникающих на их основе физических моделей.

В диссертации решаются следующие взаимосвязанные задачи:

1) определяются Л'-проектилпо-эквивалентные римановы связности на келеровых многообразиях любой (четной) размерности тг > 2 и произвольной допустимой сигнатуры;

2) находятся метрические формы неэйнштейновых четырехмерных келеровых многообразий, допускающих Н-проективные отображения: .

3) изучаются механические системы с произвольным числом степеней свободы, алгебры наблюдаемых которых определяются алгебрами Ли инфинитезимальных изометрий келеровых много-бразий постоянной голоморфной секционной кривизны. Строится геометрическое квантование этих систем;

4) исследуются траектории заряженных частиц в магнитных полях специального вида на келеровых многообразиях постоянной голоморфной секционной кривизны.

Научная новизна работы. Все результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми.

В частности, в работе

1) найдены формы ЬГ-проективно эквивалентных римановых связностей келеровых многообразий произвольной допустимой сигнатуры и любой размерности;

2) определены все неэйяштейновы четырехмерные келеровы многообразия, допускающие Н-проективные отображения (в отличие от работ Н. С. Синюкова и И. Микеша, в которых в основном определяются классы келеровых многообразий, не допускающих Л -проективные отображения);

3) доказано, что всякое четырехмерное келерово многообразие, которое допускает неаффинное инфинитезимальное Я"-проектив-ное преобразование, является обобщенно эквидистантным келе-ровым многообразием;

4) построена механическая система —- деформированный гармонический осциллятор, алгебра наблюдаемых которой изоморфна алгебре Ли инфинитезимальных изометрий келерова много-

образия постоянной голоморфной секционной кривизны, методом геометрического квантования проведено квантование этой системы;

5) с помощью метода моделирования физических полей исследование системы уравнений, определяющих траекторию частицы в келеровом магнитном поле, сведено к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, при этом рассматриваются келеровы многообразия произвольной допустимой сигнатуры (в отличие от работ Т. Адачи, в которых были рассмотрены собственно келеровы многообразия).

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты исследования могут быть использованы для определения келеровых многообразий произвольной размерности, допускающих Н-проективные отображения, при изучении инфинитезимальных Н-проективных преобразований келеровых многообразий, а также в теории дифференциальных уравнений и теории алгебр Ли.

Результаты четвертой и пятой глав работы могут быть использованы при рассмотрении классических и квантовых физических систем в релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля, теории частиц со спином и т.д.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались в Казанском государственном университете на семинаре кафедры теории относительности и гравитации под руководством проф. В. Р. Кайгородова (1995 г.) и на геометрическом семинаре под руководством проф. Б. Н. Шапукова (1995 г.), на научном семинаре, руководимом проф. А. В. Аминовой (1992-1995 гг.), на геометрическом семинаре Пензенского государственного педагогического университета под руководством доц. А. Я. Султанова (1995 г.). Материалы диссертации были также представлены на международных конференциях "Геометризация физики" (г. Казань. 1993. 1995 гг.), на VIII Российской гравитационной конференции (г. Пущино. 1993 г.), на международной конференции по дифференциальной геометрии и ее приложениям (г. Афины, Греция, 1994 г.). на международном научном семинаре, посвященном 100-летию со дня рождения П. А. Широкова (г. Казань, 1995), на XXXI научной конференции факультета физико-математических

и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов (г. Мосьза, 1995 г.), на международной научной конференции СШ4 (г. Флоренция, Италия, 1995 г.), на международной школе-семинаре "Основания теории гравитации и космологии" (г. Одесса, 1995 г.), на международной школе-семинаре "Квантовая теория поля под влиянием внешних условий" (г. Лейпциг, Германия, 1995 г.) и на международном семинаре "Гравитационные волны и гравитационная энергия" (г. Дубна, 1995 г.).

Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 174 наименования. Работа изложена на 144 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность и указывается степень разработанности проблемы, ставятся цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

Первая глава носит вводный характер.

В первом параграфе приводятся необходимые сведения о комплексных и почти комплексных многообразиях.

Пусть V — вещественное линейное пространство. Комплексной структурой на V называется линейный оператор 3 : V —> V, такой, что «Т2 = — ¡(1^. Комплексификация Vе = простран-

ства V представляется в виде суммы Vе — 01,0) © у'0,1^ подпространств , , соответствующих собственным значениям +г и —г оператора .7.

Почти комплексной структурой на дифференцируемом многообразии М называется дифференцируемое поле операторов .]р : ТРМ —* ТРМ, р € М, таких, что = — ¡с^лг • Многообразие с заданной на нем почти комплексной структурой называется почти комплексным многообразием. Почти комплексное многообразие имеет четную размерность (1ш1аМ = 2п. Кручением почти комплексной структуры .7 на М называется тензорное поле N, определенное равенством

ЛГрГ.У) = 2([.ТХ, /У] - [.Т. У] - .][Х, .7У] - 7[.7,Т, У])

для любых векторных полей А'Л' на М. Если кручение N равно нулю, то почти комплексная'структура J называется комплексной структурой, а почти комплексное многообразие М — комплексным многообразием.

Пусть Мс —комплексно-аналитическое многообразие комплексной размерности п и (U,za), U С Ме. о = 1,...,п, — произвольная комплексная карта. На многообразии Мс, рассматриваемом как топологическое пространство, можно ввести структуру вещественного дифференцируемого многообразия М, определенную картами {U, х°, уа), где х°, уа — вещественные и мнимые части функций za = ха -f гу°, а = 1,...,п. Дифференцируемое многообразие М называется многообразием, ассоциированным с комплексно-аналитическим многообразием Мс. На дифференцируемом многообразии М. ассоциированном с комплексно-аналитическим многообразием Мс, существует естественная интегрируемая почти комплексная структура. Обратно, для любого комплексного многообразия М существует единственное комплексно-аналитическое многообразие Мс, которое ассоциировано с ним9.

В § 1.2 рассматриваются эрмитовы и келеровы многообразия.

Комплексное многообразие (M,J) с определенной на нем псев-доримановой метрикой д, удовлетворяющей равенству g(JX, JY) = g(X,Y) для любых векторных полей X, Y, называется эрмитовым многообразием. Билинейная антисимметричная форма П, определенная равенством Q(X,Y) = g(JX,Y), называется фундаментальной 2-формой эрмитова многообразия М. Келеровым многообразием называется эрмитово многообразие с замкнутой фундаментальной 2-формой.

Если (M,g,J) есть 2п-мерное келерово многообразие и {U,za, г3), а = 1,..., п . — некоторая комплексная карта в М, то компоненты метрической формы g и комплексной структуры J имеют вид

ЗаЭ-Шр- gaß = = 0, (1)

Г3=-Ц=гЬ% Ц = 0. (2)

9 Newlander A.. Xirenberg L. Complex analitic coordinates in almost complex manifolds. // Ann. of Math.. - 1957. - V. 65. - P.391-404.

где Ф — вещественяозначная функция, которая называется келе-ровым потенциалом метрики д.

Пусть М — келерово многообразие, тгр — неизотропная плоскость в касательном пространстве ТрМ, р € М (т.е. такая плоскость, что д(Х,X) ф 0 для любого X £ ж) инвариантная относительно действия 7 (это означает, что для любого вектора А" 6 тгр вектор ЗХ принадлежит хр). Величина К(тгр) = И(Х, ЗХ, X, УЛГ), Х)| = 1, X € 7Гр. где — тензор кривизны многообразия М, называется голоморфной секционной кривизной многообразия М. Если К(жр) постоянна для всех хр С ТРМ и не зависит от выбора точки р 6 М, то Л/ называется многообразием постоянной -голоморфной секционной кривизны.

В § 1.3 приведены необходимые определения и теоремы теории Н-проективных отображений келеровых многообразий.

Гладкая кривая у : [0,1] —> М : ( н ц на келеровом многообразии М называется Н -планарной, если она удовлетворяет уравнению = а(0.\ 4- b(t)Jx, = ¿х/сИ, где а(£), — гладкие функции параметра I, а V — связность Леви-Чивиты метрики д. Пусть (М, </,,/), (М',д',У) — два келеровых многообразия. Диффеоморфизм / : М —+ М' называется голоморфно-проективным, или Н -проективным отображением, если для любой Н -планарной кривой 7 в М кривая / о 7 является Н-планарной кривой в М'. Отображение / : М —> М' является Я-проективным тогда и только тогда, когда в соответственных координатах аг*|Рем = выполняются условия

Г%-Т)к = 26'^} + 2.ГиГк)1р$. (3)

Если f : М М' есть Н-проективное отображение, то оно сохраняет комплексную структуру, т.е. выполняются условия /, о./ = У о /,, где /„ — дифференциал отображения М. Уравнение (3) в соответственных комплексных координатах (л°,-а) на М имеет вид

р'п г" _ л - Т'"* _ _ Л"| -Я"

1 (иг ~ 1 ре — ^(р1!/)' 1 ]ТР ~ ^(р1^)'

отсюда следует

Если а — билинейная форма на М, определенная преобразованием Н. С. Синюкова3 а^ = е^д'1тдцдт^, то уравнение (4) можно записать в эквивалентной форме так:

ааЦ,7 ~ = £?(7Та, аа1} = а^ц = 0, (5)

¿а — =- 2<р„е ^{] ''/;,>?/• —■ £1а-

Пусть (М,д,.1) — келерово многообразие и и; — форма связности Леви-Чивиты метрики д. Вещественное голоморфное векторное поле Л' на .V/ (т.е. векторное поле, обладающее свойством /, \-.7 = 0. где Ьх — производная Ли) называется ипфипитезималъ-ным Н -проективным преобразованием многообразия М, если выполняются условия

Ьх^' = Ф1 + 1(Ь— фoJLoJ — loJфoJ.

где ь — оператор внутреннего произведения, а ф — некоторая замкнутая 1-форма на .V/.

В четвертом параграфе излагаются основные факты теории проективно-эквивалентных римановых связностей, развитой в работах А. В. Аминовой10.

В первой главе диссертации содержится также краткий обзор литературы (§ 1.5) по теории Н-проективных отображений келе-ровых многообразий.

Во второй главе находятся формы Н -проективно-эквшзален-тных римановых связностей на келеровом многообразии произвольней допустимой сигнатуры и любой (четной) размерности.

В § 2.1 решается задача о приведении пары эрмитовых форм д, а произвольной сигнатуры в линейном пространстве V к каноническому виду. При этом использован метод, разработанной А. 3. Петровым11 для приведения пары билинейных форм к каноническому виду.

Пусть V есть 2п -мерное вещественное линейное пространство с комплексной структурой .7. Назовем базис (2а. 2«) . ос =

10 Аминова А. В. Проективно-эквивалентные римаковы связности. // Изв. вузов. Математика. - 1992..- N 6. - С.21-32; Аминова А. В. Псевдоримановы многообразия с общими геодезическими. //■ УМН. - 1993. - Т.48. - С.107-159.

11 Петров А.З. К теореме о главных осях тензора. // Изв. физ.-мат. об-во. при Казанском ун-те. - 1949. - Т. 14. - С.37-51.

1....,п, в V, в котором матрица оператора комплексной структуры 1 имеет вид (2), адаптированным. Пусть д, а — две симметричные билинейные формы, такие, что д(Х, У) = д(.1Х,ТУ) и а(Х,У) = а(/Х, ТУ) для любых Х,У € У- В адаптированном базисе (2а, ¿Га-), а = 1...п, не равны нулю только следующие компоненты форм д ж а: дар = = д^, аар = а^ = а=р, а,/3 = 1,...,п. Пусть А, С — матричные функции, совпадающие с матрицами (да$), , соответственно.

Поскольку матрица (дар) невырождена, можно рассмотреть линейный оператор Ка : У^1,0' —+ определенный равенством а(X, У) = д(КаX, У), где X, У е У(1'0). Пусть оператор Ка имеет к различных собственных значений Л15..., А*, являющихся корнями характеристического уравнения с1еЦЛ"а — АаЕ7) = 0, и элементарные делители Л -матрицы (Ка — АЕ) определены характеристикой Сегре12 х — [(т! • ■ •гп11) ■ •■ (т1 • • • Характеристику Сегре х линейного оператора Ка назовем приведенной характеристикой Сегре билинейной формы а.

В силу того, что див — вещественные симметричные билинейные формы, приведенная характеристика Сегре билинейной формы а имеет вид

Х = [(т{... • •. <т{' • • - <)К'+| • • - С'.ХтГ-С!) • - -

(т^...(6)

где числа , А = 1,.. .,к1, соответствуют вещественным, а числа т;4, А — А'1 + 1,..., + кг, — комплексным корням характеристического уравнения (1е1(а — Ад) = 0.

Основным результатом § 2.1 является следующая теорема.

Теорема 2.1 Пусть V есть 2га -мерное вещественное линейное пространство с комплексной структурой J и д. а — два эрмитовых скалярных произведения в V. Если билинейная форма а имеет приведенную характеристику Сегре (6) и собственные значения ц^+Ьг > то существует базис ¿Го), а = 1,...,п, адаптированный к комплексной структуре 3, в котором матри-

12 Широков П. А. Тензорное исчисление. - Казань: Изд-во КГУ, 1961.

цы С = (да, А = (аа0) имеют следующий вид

/Сг \

Тк!+1

/Лг

А =

/ \

А

•4*1+1

V

(8)

Ль,+Ь /

г(?е в случае вещественного собственного значения Ад = Ад матрицы <?4, Л,{ есть Г4-мерные блочно-диагональные матрицы, состоящие из т^ -мерных блоков

/ е*\А \

(

Vе:,

5'4 \

/

»л

. е^Дл е.

соответственно, а при Ад Ал матрицы Схд, .Дд имеют вид

М^гНМаИ''). <9>

где звезда означает зрмитово сопряжение и , -4.4 вето» гд -мерные блочно-диагональные матрицы, состоящие из вд т£-мерных блоков

/

/

V 1

Ал \ Аа 1

Ад V Аа 1

Параграф 2.2 посвящен анализу основных уравнений (5) Я-проективного соответствия двух келеровых многообразий (М.д../) и {М',д',Г). .

С помощью результатов § 2.1 матрицы формы д и формы а, связанной с д и д' преобразованием Н. С. Синюкова приводятся к каноническому виду, состоящему из блоков, определенных в теореме 1. Эти блоки совпадают по своему строению с соответствующими блоками в псевдоримановом случае. Это обстоятельство позволило распространить выводы и результаты А. В. Аминовой, полученные для проективно-эквивалентных связностей псевдори-мановых многообразий любых сигнатуры и размерности на келе-ровы многообразия, решив, таким образом, задачу определения Я -проективно-эквивалентных римановых связностей для келеровых многообразий произвольной допустимой сигнатуры и любой размерности. В диссертации приведены компоненты форм Я-про-ективно-эквивалентных римановых связностей келеровых многообразий М и М' (теорема 2.3).

Третья глава диссертации посвящена определению метрических форм келеровых многообразий, допускающих неаффинные Я-проективные отображения. Эта задача является очень сложной, поэтому полученные в диссертации результаты касаются в основном случая размерности п = 4.

В первом параграфе доказывается следующая теорема.

Теорема 3.1 Пусть / есть нёаффинное Н •проективное отображение кслероеа многообразия (М. д, /) на келерово многообразие (М',д',.1). Пусть № = £,ас1га + есть точная 1-форма, опре-

деленная уравнениями (5). Тогда вещественное векторное поле ■ТА = иада — Иада является инфинитезималъной изометрией многообразия М. т.е. удовлетворяет уравнению Киллинга Ьл^д = 0.

Параграф 3.2 посвящен определению метрик неэйнштейновых четырехмерных келеровых многообразий, допускающих Я-про-ективные отображения. Здесь получен следующий результат.

Теорема 3.2 Пусть / есть неаффинное Я -проективное отображение нежнгитейнова (/?,_, ф кд^) четырехмерного келерова многообразия (М^.д^) на келерово многообразие То-

гда в окрестности каждой точки р € Л/4 существует локальная комплексная система координат :а), а = 1..... гг. в которой

келеров потенциал Ф многообразия М4 определяется равенствами

Ф = W(sl + + F = F, d2F ф0, W ф const, (10)

где черта означает комплексное сопряжение. Компоненты метрического тензора g выражаются формулой

gaj = (11)

В соответственных координат ах в окрестности точки f(p) € Л/4 контравариантпые компоненты метрического тензора д' имеют вид

gij = е-Ъа1тдндтК

где

а0ф = Щ = dn$di$f> + рдаЩФ. aol3 = а^ = 0, р G R.

Келерово многообразие, келеров потенциал которого допускает представление в виде (10) называется обобщенно эквидистантным. В диссертации доказано, что четырехмерное келерово многообразие допускает инфинитезимальное if-проективное преобразование тогда и только тогда, когда оно обобщенно эквидистантно (теорема 3.3).

В § 3.3 рассматривается алгебра Ли инфинитезимальных Н-проективных преобразований (" if-проективная алгебра Ли") ке-лерова многообразия М постоянной голоморфной секционной кривизны. Получена реализация генераторов этой алгебры в виде векторных полей на М. Отмечается, что Н -проективная алгебра bp (М) келерова многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны изоморфна овеществлению sln(n + l,C) алгебры Ли sl(n + 1, С).

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию классической и квантовой динамики механических систем, которые интерпретируются как деформации п -мерного гармонического осциллятора.

В первом параграфе этой главы приведены основные сведения о методе геометрического квантования, и дал краткий обзор литературы.

Как известно, основным объектом классической гамильтоно-вой механики является фазовое пространство — симплектическое многообразие (M, Q). Физические величины, или наблюдаемые в гамильтоновой механике — это бесконечно дифференцируемые вещественные функции / 6 С°С{М) на фазовом пространстве M. Симплектическая 2-форма П определяет на M скобку Пуассона {,} , которая превращает пространство С°°(М) в алгебру Ли П"(JW). Каждой функции / 6 С°°(М) ставится в соответствие гамилътоново векторное поле ad (/) на M, определенное равенством t(ad(/))Q = —df.

Под квантованием понимают процесс построения квантовой системы по заданной классической гамильтоновой механической системе, при этом функциям из П°°(М) ставятся в соответствие операторы в некотором гильбертовом пространстве 7Ï. Метод геометрического квантования, предложенный в работах А. А. Кириллова, Б. Костантаи Ж. М. Сурьо ставит своей целью построение квантовых объектов, исходя из геометрии фазового пространства классической системы.

Параграф 4.2 посвящен квантованию функций, сохраняющих антиголоморфную поляризацию на келеровом многообразии.

Пусть £ — эрмитово линейное расслоение со связностью D и D-инвариантной эрмитовой структурой. Если форма кривизны Е связности D совпадает с формой где h = 2rh — посто-

янная Планка, то предквантование Суръо-Костанта определяется формулой V{f) = / - £ftZ>ad(/), где / € П°°(!У).

Интегрируемое лагранжево подрасслоение F С ТМ®кС ком-плексификации касательного расслоения многообразия M называется поляризацией в М. Поляризация называется келеровой, если F Л F = 0 и форма b(X, Y) = г Q(X, Y) положительно определена для всех X, Y £ F. Если поляризация выбрана, то гильбертово пространство H состоит из квадратично интегрируемых ковариантно постоянных сечений расслоения £®V'AnF, где \f A"F — расслоение Блатптпера С-зпачных полуформ, нормальных к поляризации F.

Пусть F — некоторая поляризация. Говорят, что функция / € П°°(А/) сохраняет поляризацию F. если выполняется равенство [ad(/), Ха] =а рХ^, где 'а р — дифференцируемые функ-

ции, а векторные поля . ос = 1..... п образуют базис пространства Fp в каждой точке р 6 М. В случае, когда векторные поля X" являются гамильтоновыми. квантование алгебры функций, сохраняющих поляризацию F, может быть получено с помощью формулы

о = Н^а<1(я + / - у ^ =

(7

Пусть (М. д, J) — келерово многообразие. Келерова поляризация F, определенная для любой комплексной карты (¿7, га, г5) на М условием Г„ = {X € ГМР ®С\Х = Цр ас! {га)р, е С}, где — дифференцируемые функции, называется антиголоморфной.

Основные результаты, полученные в § 4.2 сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 4.3 Пусть М — келерово многообразие и Г — антиголоморфная поляризац ия в М. Функция / 5 П°°(Л/) сохраняет поляризацию F тогда и только тогда, когда в каждой комплексной карте (и.:а,га), а = 1, ...,п, на М она может бить представлена в виде

/=даФфа(2) + х(:),

где Ф — келеров потенциал, а Р°(~). \'(~) — произвольные голоморфные функции.

Теорема 4.4 Пусть М — келерово многообразие, F — антиголоморфная поляризация в М и С П°°(Д/) — алгебра функций на М, сохраняющих поляризацию F. Тогда в каждой комплексной карте (и,2а,1°). а= 1,...,п на М, определено квантование Q алгебры Тр{М), которое для каждой функции / 5 / = 4- задается оператором

= (Х + Но^^ о-

В третьем параграфе рассматривается гамильтонова механическая система, фазовым пространством которой является келерово многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны. Найдена алгебра наблюдаемых этой системы, которая является деформацией алгебры наблюдаемых п-мерного гармонического осциллятора. Поэтому указанная система называет-

ся деформированным гармоническим осциллятором. В диссертации доказано, что рассматриваемая алгебра является алгеброй Ли ¿зо./(п, к) голоморфных инфинитезимальных изометрий келе-рова многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны. Доказана следующая

Теорема 4.5 Действие группы изометрий, сохраняющих комплексную структуру в собственно келеровом многообразии М постоянной голоморфной секционной кривизны к., пуассоново относительно симплехтической структуры, определяемой келеровой метрикой, тогда и только тогда, когда к ф 0.

Во второй части этого параграфа с помощью результатов § 4.2 построено квантование алгебры наблюдаемых деформированного гармонического осциллятора, которую образуют функции, сохраняющие антиголоморфную поляризацию на келеровом многообразии постоянной голоморфной секционной кривизны, — фазовом пространстве рассматриваемой системы.

В пятой главе исследуются траектории заряженных частиц в магнитных полях специального вида. — так называемых келе-ровых магнитных полях, на келеровых многообразиях постоянной голоморфной секционной кривизны.

Параграф 5.1 носит вводный характер. Пусть (М,д) есть псевдориманово многообразие. Магнитным полем называется замкнутая дифференциальная '2-форма В на М. Пусть 1 — косо-симметричный оператор I : ТЫ —* ТМ, определенный условием В(Х,У) = д(XX,У) для произвольных векторных полей А',У. Гладкая кривая 7 : I = [0,1] —* М называется траекторией магнитного поля В, если она удовлетворяет уравнению ¥хх — 1 X = ¿"¡/а. Замкнутая 2-форма qQ, д 6 П., д ф 0, на келеровом многообразии М с фундаментальной формой П называть келеро-вым магнитным полем.

Во втором параграфе определяются траектории заряженных частиц в келеровых магнитных полях на многообразиях постоянной голоморфной секционной кривизны. Для этого используется тот факт, что келерово многообразие допускает (локально) Н-проективное отображение на плоское пространство тогда и только тогда, когда оно имеет постоянную голоморфную секционную кривизну. Так как траектории келеровых магнитных полей на ке-

леровом многообразии -V/ являются if-планарными кривыми в M, они могут моделироваться if-шганарными кривыми плоского пространства.

Основным результатом параграфа является следующая Теорема 5.1 Пусть (M,g,J) — келерово многообразие постоянной голоморфной секционной кривизны к с фундаментальной 2-формой П и В = qQ, q G R, — келерово магнитное поле на M. Пусть za,za, а = 1,...,л, есть локальные комплексные координаты в M. в которых символы Кристоффеля метрики g иЛеют вид

гА = é 5х 4- é ¿x ГА = ГА- = ГА = = ГА- = О

1 а/J VaVfi 1- 0/1 — ¿ gp L ají L а/1 1 â]t x oj! u-

Тогда любая траектория y(t) магнитного поля В принадлежит двумерному вполне геодезическому подмногообразию Р С M, определенному уравнениями

= и б С.

С помощью этой теоремы исследование системы уравнений, определяющих траектории частиц сводится к исследованию одного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Решение последнего уравнения при заданных начальных условиях может быть получено численными методами.

В заключении приводятся основные результаты диссертации.

По результам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Аминова А. В., Калинин Д. А. Н-проективно-эквивалентные четырехмерные римановы связности. Известия вузов. Математика. - 1994. - N8. - С.11-20.

2. Аминова А. В., Калинин Д. А. Я-проективные отображения четырехмерных келеровых многообразий. // Известия вузов. Математика (в печати).

3. Аминова А. В.. Калинин Д. А. Симметрии квантовых систем с келеровой структурой. // Тез. докл. VIII Росс. грав. конф. -М., 1993. - С-158.

4. Калинин Д. А. Келеровы магнитные поля на пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны. // Известия вузов. Фишка. - 1996. - N1. - С.13-19.

5. Калинин Д. А. Влияние квантовых поправок на эволюцию космологических моделей. // Тез. докл. VIII Росс. грав. конф. -М„ 1993._vc.121.

6. Калинин Д. А. Магнитные поля на келеровых пространствах постоянной голоморфной секционной кривизны. // Тез. докл. XXXI научной конф. фак-та физ.-мат. и естеств. наук, посвященной 35-летию Росс. Ун-та Дружбы Народов. Часть 2. - М., 1995. - С.61.

7. Aminova А. V., Ivalmiu D. A. Geometric quantization: Я-projective symmetries of phase space. // Труды международной конф. "Геометризация физики". - Казань, 1994. - С.48-52.

8. Aminova А. V., Kalinin D. A. Quantization of Kahler manifolds admitting H-projective mappings. // Tensor. - 1995. - V.56. - P. 1-11.

9. Aminova A. V., Kalinin D. A. Geometric quantization: if-projective symmetries of phase space. //Тез. докл. международной конф. "Теометризация физики". - Казань. 1993. - С.2.

10. Aminova А. V., Kalinin D. A. Ivahler and hyper Kahler geometry and nonlinear a -model. // Тез. докл. международной конф. "Геометризация физики". - Казань, 1993. - С.З.

11. Kalinin D. A. Geometry of quantum systems with Kahler structure. // Тез. докл. междунар. школы-семинара "Основания теории гравитации и космологии''. - Одесса. 4-10 сент. 1995. - Москва, 1995. - С.96.

12. Kalinin D. A. Geometry of quantum systems with Kahler structure. // Abstracts of Contr. Papers. Int. Conf. GR14. - Florence, 1995. -P.D60.

13. Kalinin D. A. Quantization of polarization preserving functions on Kahler manifold. // Тез. докл. междунар. конф. "Геометризация физики-2". - Казань, 1995. - С.32.