Голоморфно-проективные отображения специальных келеровых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

^С^дв.сэдщ государственны!! университет им. М.В.Ломоносова

Голоморфно-проективные отображения специальных келеровых пространств

01.01.04 - геометрия я топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

механико-математический факу льтет

Яа праьах рукописи

УДК 514.7

сз

С'-!

Мишель ХАДДАД •

"Москва -Ш5

о

Работа выполнена на кафедре геометрик и топологии Одесского государственного университета им.И.И.Мечникова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Л.Е.Евтушнк "

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.Г.Попов, (

кандидат физико-математических "наук, доцент В.И.Пеньженский

Ведущая организация - Всероссийский институт научной и технической информации РАН

Защита диссертации состоится 15 декабря 1995 года в 1С час. 05 мин., на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08. '

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

. ' ' Г - ■ ■ О

Автореферат разослан "15" ноября 1995 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д,053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Чубариков

с

1. Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена, изучению некоторых специальных келеровых пространств Кп и их голоморфно-проективных отображений.

Геометрия келеровых пространств интенсивно Изучаете в течение последних семидесяти лет. В 1925 г. П.А. Широков начал изучать специальные римановы пространства, которые назвал А-пространствами. Из других соображений эти пространства исследовались Э.Келером и в литературе, как правило, называются келеровыми.

Различным вопросам геометрии келеровых пространств посвящено, в различных ее аспектах огромное количество работ, которые отражены частично в монографиях и обзорах [1] - [7]. Многие исследования посвящены исследованию с различных точек зрения специальных рнмано-вых и келеровых пространств, обладающих условиями на тензоры Ри-мана, Риччи, Бохнера а других. Такими являются, в частности, в нашей терминологии, гармошгческие пространства. Так, Например, в работах [Б], [9] изучаются свойства гармонических, отличных от риччи-симмет-рических, келеровых пространств. Но как мы показываем, такое множество пространств пусто. '

Геодезические отображения келеровых, пространств Начали изучать Н.Кобурн, К.Яно, Т.Нагако, В.Вестлейк, М.Кога. В итоге этих исследо-В31 1Й установлено, что келеровы пространства не: допускают нетривиальных геодезических отображений на келеровы пространства, при сохранении структуры. В работах Й.Микеша установлены новые зако1 мерности геодезических отображений Кп (см. Ц103

Понятие голоморфно-проективных отображений и преобразований келеровых пространств К„, введено й работах Т.Оцукн, Я.Ташлро, С.Исихара, см. [1]-[7]. Общие закономерности теорин голоморфно-»¡»о-гктивных отображений получены в рабгтах указанных авторов и в статьях В.В.Домашсва и Й.Мщхчш ЦЦ. Й.Микеша [12], (»3],

И.Г.Шандры [14]. см. [5], [7].

Голоморфно-проективные отображения и преобразования специальных келеровых пространств исследовались многими авторами, см. например, [2]-[19]. В частности, были выделены пространства, не допускающие голоморфно-проективные отображения и преобразования.

Подобные вопросы исследовались также для голоморфно-проективных отображений гиперболически и параболически келеровых пространств, К- и Я- пространств [4], [6]. Заметим, что голоморфно-проективные отображения являются частным случаем почти геодезических отображений Н.С.Синюкова [5], [б] и .Р-планарных отображений Й.Микеша и Н.С.Синюкова [20]. Другие обощения см. например, [4], [21]. : ;

Краткий обзор показывает, что келеровы пространства изучались во многих направлениях. Вместе с тем, вопросы голоморфно-проективных отображений многих интересных специальных келеровых пространств либо вовсе- не рассматривались, либо в таких исследованиях многие вопросы оставались открытыми. Поэтому тема данной диссертации, в которой исследуются специальные келеровы пространства и их голоморфно-проективные отображения, является вполне актуальной.

2. Целью данной диссертационной работы является:

а) изучение Л-гармонических пространств;

б) изученкеТ-квазисиммег^чческих пространств;

* в) исследование голоморфно-проективных отображений бохнер-гармонических и Г-квазисимметрических келеровых пространств;

г) исследование голоморфно-проективных отображений обобщенно-рекуррентных пространств;

д) изучение голоморфно-проеюгНвных отображений и преобразований пространств Келерг-Эйнштейна.

3. Научная новизна:

а) исследованы Л-гзрмошгческие пространства, найден пример бох-нер-гармонических келеровых пространств;

б) получены псвые закономерности в Г-квазНсимметрг тескнх пространствах;

в) изучены основные закономерности голоморфно-проективных отображений бохнер-гармоннческих келеровых пространств, для них найдено общее решение основных уравнений теории голоморфно-проективных отображений;

г) доказаны основные свойства голоморфно-проективных отображений Г-квазисимметрпческих пространств;

д) выделены келеровы пространства, не допускающие нетривиальные голоморфно-проективные отображения; .

е) установлено, что четырехмерные пространства Келера- Эйнштейна непостоянной голоморфной кривизны не допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения на пространства Эйнштейна.

4. Теоретическая и практическая ценность.1 Исследование носит теоретический характер. Основные результаты диссертации могут бить применены для дальнейшего развития теории диффеоморфизмов пространств с аффиннорными структурами, а также могут использоваться в различных приложениях: в вопросах, моделирования физических пол^Ч, оптимизации движений механических систем, динамических процессов в гравитационных и электромагнитных полях, в сплошной среде.

5. Метод исследований. Исследования ведутся локально, п классе достаточно гладких функций с использованием тензорных методоп.

'-46. Апробация работы. Диссертация и отдельные ее части докладывались на:

а) заседаниях семинар? кафедры геометрии н топологии Одесского госушгаерсптета (1993, 1994 гг.);

б) республиканской конференции,- посвященной 200-детию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, 1992);

в) всесоюзной школе Оптимальное управление. Геометрия и анализ (Кемерово, 1990);'

г) на научном семинаре МГУ им. М.В.Ломоносова - руководитель профессор Л.Е.Евтушнк (1994, 1995 гг.);

д) международных конференциях по дифференциальной геометрии в г.Казань (Татарстан) и г.Опава (Чешская Республика, 1992).

7. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [24] - [28].

8..Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (7 параграфов) и списка литературы. В диссертации принята сквозная нумерация параграфов. Для формул и теорем применяется двойная индексация, где первая цифра означает номер параграфа, а вторая - номер формулы (теоремы) в этом параграфе. Текст работы изложен на 105 страницах. Список литературы ь:;лючает 103 наименования.

9. Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена изучению Л-гармонических и Т-квазисим-метрических келеровых пространств.

В первом параграфе гтедены основные * понятия теории келеровых пространств. Келеровым пространством (Кп), как известно [1]-[7], налы-

иают чспюмерное рпмаиово пространство, в котором наряду с метрическим тензором <л}(х) введен структурный аффи'чгор удозлетсо-

рялощнй условиям:

где "," обозначает ковариантную производную в Кп, (I, ]) - симметрирование по индексам I и } без деления, ¿>/' - символы Кронекера. Для удобства изложения в Кп вводим операцию сопряжения индексов сле; дующим образом Г; зТаК";Тг ^ТаР1а.

Во втором параграфе введено понятие А-гармоннческнх пространств. Пусть А - тензор типа )• Л-гармоническим пространством

(АМп) называем рнманово пространство, в котором выполняется условие

В зависимости от того, если А является тензором Рнмана Риччн (Л/1), Бохнера конформной (С,у„), проективной (И7Д),

конциркулярной (Уу*), голоморфно-секционной (Н)> или голоморфно-Проективной (Л>). кривизны,, пространство АМп будем- называть гармоническим (НМп), рнччи-гармоническим (ЯкМп), бохнер-гармо-ническнм (ВМп), конформно-гармоническим (СМп), проектпшго-гармо-шгеским (\\,Мп), конщфкулярно-гармоническим (УМп), голоморфно-секцнонно-гармоническим (ИМп) или голоморфно-проективно-г.трмоик-1ескнм (РМп) соответственно.

В этом парш^афе установлены следующие зависимости, справедливые для римановых пространств:

. сл/„ и

п

ШеМ п оК*=спп!>1,

где R - скалярная кривима. Напомним, что пространство называют риччн-симметрпческим (RicSесли его тензор Риччи удовлетворяет условию Rijjc = 0. Для келеровых пространств имеет место

Rie -fn

... и

RMn = WMn a YMn а НМп а РМп.s C7Wn s Лгс5',

. ^ п

ВМЯ .

В частности, доказана . Теорема 2.1, Келеровы пространства являются гармоническими тогда и только тогда, когда они риччи-симметрические.

В работах [8], [9] рассматривались вопросы келеровых пространств RM,Д^ Rie S},),. что на основании указанной теоремы не имеет смысла. Данная теорема существенно упрощает доказательства в работах [18], [19].

Пространством Ln Н.С.Сннюков [5] назвал риманово пространство непостоянной скалярной кривизны, для которого

Rij,k-ak'Jijгде etj и hi - некоторые ненулевые векторы. Установлено, что Ln с. СМп , а следовательно, келеровых пространств Ln не существует. • •

По аналогии с Ln мы ввели в рассмотрение келерово пространство £*. Пространством £*- называется такое келерово' пространство непостоянной скаля; ной кривит чы, в котором выполняется условие: Rij,к ="к 9 Ц i9j)k ^ iOj)k -

Доказана

Теорема 2.3. Бохнер-гармоничесхие пространства непостоянной скалярной кривизны ВМп и только они являются пространствами L*.

- Г Г *

построен пример пространства 1

В третьем параграфе изучаются некоторые свойства Т-квазнспм-¡¡.ичеекпх пространств'. Сначала в Кп определим операцию «1т»,-

для произвольного тензора Т: Т«/Ст». Келерово пространство называем Г-квазисимметрическим ГPsлfВ/, если выполняется . условие Г«/От» = 0. Этот класс пространств обобщает полуспмметрнческие и риччн-иолусимметрические пространства (1ИсР$п). Существенно Г-квазнсимметрцческим пространством Т*Р5п{В] называем пространство ТРзп[В], в котором тензор Т не представляется в виде тен.-юрной суммы произведений инвариантов, структурного, метрического и ему обратного тензоров.

Когда тензор Г равен Л^.Лу.И^.Ур.С^Ну^Рр, то ТРип[В]

обозначаем через Л{сРз„[В], \VPSfJB}, СРз^В], НРзп[В],

РРбп[В] соответственно, и называем соответственно квазисимметрическим, рнччн-, проектнвно-, конциркулярно-, конформно-, голоморфно-секционио-, голоморфно-проективно- квазисимметрическим. Напомним, что имеют место включения:

ппгк сРх„ с л^в]=рр5я[в]вялп[я]е1тп[я]

п п п '....

ПЭ с ЯкРзп сЯкРзп [В]

где ППГК - пространства постоянной голоморфной кривизны, ПЭ - пространства Эйнштейна. Доказана теорема, имеющая общий характер; .

Теорема 3.1. Пусть произвольная свертка тензора Т типа с.

символами Кронекера, метрического; обратаого или структурного, тензоров представляет собой композицию инвариантов, метрического, обратного или структурного тензоров. Тогда.при р + <7 < п существует тензор Т*, являющийся композицией инвариантов, метрического, обратного и структурного тензоров такой, что любая свертка тензора Т + Т* с символами Кронекера, метрическим, обратным или структурным тензорами равна нулю.

Вторая глава посвящена изучению голоморфно-проективных отображений бохнер-гармонических и Г-квазисимметрических пространств.

В начале четвертого параграфа напоминаем основные понятия теории голоморфно-проективных отображений. Диффеоморфизм у между точками келеровых пространств Кп и Кп называется голоморфно-проективным отображением, если каждая аналитически планарная крива/! Кп яереходит в аналитически пленарную кривую /Г,,'.Как известно [11], (см. [5]-[7]), келерово пространство Кп допускает нетривиальное голоморфно-проективное отображение на Кп тогда и только тогда, когда имеет решение относительно неизвестных тензора а¡у и вектора А? следующее уравнение

Отображение называется нетривиальным, если ■

Для бохнер-гармонических пространств £* найдено общее решение

уравнен)1Й (*):

й,у = с,( Яу - ^ +с2 д{]-,

где С/ и • с2 - постоянные такие, что /«¿у / * 0. Следовательно, пространства Ь*п допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения и степень подвижности • Ь'п относительно этих отображений (введеной в [12], см. [5]-[7]) равна двум. Показано, что пространства Ь"п не допускают нетривиальных геодезических отображений. ,В пятом параграфе доказана

Теорема 5.1. Если существенно Т-квазисимметрическое пространство ТР%п ¡11] при я > 4(т • I) , где т = р + </'- валентность тензора Т, допускает голоморфно-проективное отображение, то основные уравнения теории голоморфно-проективных отображений принимают вид:

. "И ,к =;М/> + >йд])к К) я Щ +Ваг] •

где /Iнекоторый инвариант.

Пространстса, в которых выполняются такие условия названы пространствами К „[В], см. [13], [15]. Для K,JB), В - const, И.ШандрЛ [14] получил новые закономерности в теории голоморфно-проективных отображении.

Из теоремы 5.1 при В = 0 вытекает

Теорема 5.2. Если существенно Г-полусимметрпческое пространство T*Psn при п > 4(т - 1) допускает голоморфно-проективное отображение, то •

=h iOjik + ?(iO])k; hj = m-

Пространства, в которых выполняются такие условия, названы пространствами Кп[0] (си. [13], [15]), п в них существуют сходящиеся векторные поля П.А.Широкова [22].

Эти теоремы усиливают аналогичный результат Й.Микеша, доказанный при т — 1, 2 , а также при т — 4 в некоторых случаях [13], [15].

На основании этих результатов выделили новые классы хелеровых пространств замкнутых относительно голоморфно-проективных отображений. Такими являются пространства, в которых имеет место:

Rhijk«^ » «/;■ /,/ »... «¡2 т -ihm»

и тензор К/ф«1\12»«1314»„«13т^11т_г». не представляется в виде

тензорной суммы произведений инвариантов, метрического п структурного тензоров (при п > 4(2tn + i),, а Также пространства, для которых в указанных формулах вместо тензора Рпмана, фигурирует тензор Рнччи (при я > 4(2т - 1.)).

Третья глава посвящена выделению некоторых типов пространств, не допускающих нетривиальные голоморфно-проективные отображения. Не повторяя, отметим, что такие пространства не допускают нетривиальные голоморфно-проективные преобразования, нетривиальные геодезические отображения, а также нетривиальные проективные преобразования. В шестом параграфе установлена

. Теорема 6.1. Пусть тензор не представляется в виде

тензорной композиции постоянных, метрического и структурных тензоров, и для него в келеровом пространстве Кп выполняются условия

■ при «>/,«> 4(т + 5-3) или 5 = 1, п > 4(т - 1) . Тогда Кп допускает нетривиальное. голоморфно-проективное отображение только при условии =МЗу ф-соПзЬ.

Из нее вытекают

Теорема 6.2. ги-симметрические пространства Кп (я > 4(т + 1)) непостоянной голоморфно-секционной кривизны не допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения.

Теорема 6.3. Неэшшггейновы риччи от-снмметрические Кп (п'> 4(т - 1)) не допускают нетривиальные голоморфно-проективные отображения.

Рнманово пространство называется »¡-симметрическим (риччи т-симметрйческим), если его тензор Римана (Риччи) удовлетворяет условиям [23]:

=0

Далее доказана • •

- Теорема 6.4. Не существует пространств К^О], в которых выполз няется одно из перечисленных ниже условий

Лт^Ыа^* ¡Ыт

гдч 5 - некбгорые тензоры, Л/,)/* # 0.

Отсюда вытекает, что полусимметрические или риччи-полусим-метрические и >'е[ овы пространства, в которых выполняется одно из указанных соотношений, не допускают нетривиальные голоморф, о-про-

ективные отображения. Эти теоремы усиливают результаты, полученные Т.Сакагучи [17], В.Домашева и Й.Микеша [11], Й.Микеша [13], [15], [16] и других. ' *

В заключительном седьмом параграфе доказывается

Теорема 7.1. Если пространство Эйнипенна-Келера Кп допускает голоморфно-проективное отображение на пространство Эйнштепна-Ке-лера К~п, то в Кп имеют место уравнения:

где Я - скалярная кривизна Кп .

Доказано, что четырехмерные пространств;» Эйнштейна-Келера непостоянной голоморфной кривизны не допускают нетривиальные Голоморфно-проективные отображения на пространства Эйнштейна-Келера, а также не допускают нетривиальных голоморфно-проективных отображений. . . ' . "

Автор выражает: глубокую благодарность профессору Л.Е. Евтуши-ку за научное руководство, а также доценту Й.Микешу за полезные об- • суждения и замечания. • . ;

IijrnipoBaHiraji .MrrepaTypa

1. Yano K., Bochner S. Curvature and Betti numbers. Princeton, New Jersey, 1953.

2. Yano K. Differential geometry on complex and almost complex spaces.-^ Oxford Pergamon Press, 1965.-32S p. .

3. Kobayashi S., N'omizu K. Foundation of differential geometry. Vol. 1.-

Inteic. Publ., N.Y.-London^ 1963; Vol. 2. Interc/ Publ., N.Y.-London-Sydney, 1969.

4. Беклемишев Д.В. Дифференциальная геометрия пространств с почти комплексной структурой // Геометрия. 1963. ■ Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР.- М4> 1965.- С. .165-212.

5. Chhiokod Н.С. Геодез1Р1есКне отображения римановых простраьотв.-М.': Наука, 197S.- 255 с. , . ■ : , ;

6. Сннюков Н.С. Почти геодезические отображения аффияносвязных и римановых Пространств // Итоги науки и техн. Пробл. Геометрий /ВИНИТИ, 1982.- 13.-С. 3-26. ' _ - . '

f. Синюков Н.С., Курбатова И.Н., Микеш Й. Голоморфно-проективные отображения келеровых пространств:- Уч. пособие.-. Одесса: ОГУ, 1985.-69 с.' '/ • ' •

8. Singh S.S., Srivastava Р.К., Ojha R.P. A classification ef Kahlerian manifolds satisfying some special conditions // Acta math. Hung. -1986.-48, n 3-4.-P. 77-101. ' ' •• '

9. Эсенов К.P. Нетривиальное голоморфно-проективное отображение /Н.Г.П.О-./ специальных келеровых пространств на пространство Эйнштейна /Одес. ун-т.- Одесса, 1985.- 4 е.- Библиогр. 3 назв. Деп. в УкрНИИНТИ 20.04.85, Хэ 793Ук-85. ' • . • •

10. Микеш Й. О сасакмевых и эквидистантных келеровых пространствах // Докл. АН СССР,- 1986.- 291, № 1,- С. 33-36.

11. Домашев В.В., Микеш Й. К теории голоморфно-проективных отображений келеровых пространств // Мат. заметки.- 1978.- 23, № 2.: с; 297-304. ■ ,'. '•■■';■ ' ;

12. Микеш ,Й. О голоморфно-проективных отображениях келеровых пространств // Укр. геометр. «5.- 1980;- 23.- С. 90

13. Mikesh j. F-plnnar mapingp and transfonuatioos//' Diff. geom. and its appl. jProc. of Coof. Brno (Czechosl.), 1986. - P. 245-254.

14. Шандра И. Г. Геодезические отображения эквидистантных пространств и Йордановы алгебры пространств V/jCK) / / Дифф. геом. многообразий фигур.- Вып. 24.- Калининград, 1993,- С. 104-111.

15. Мнкеш Й. Геодезические и голоморфно-проективные отображения специальных римановых пространств: Дне. ... канд. физ.-мат. наук,-Одесса, 1979,- 107 с..

16. Мик'чц Й. О геодезических и голоморфно-проективных отображе-Ш1ях обобщенно ж-рекуррентяых .римановых пространств /Ред. Сиб. мат. ж.- Новосибирск, 1991.- 14 с. Деп. в ВИНИТИ 12.03.91,

105Э-В91.

17. Sakaguchi Т. On. the holomorphically projective correspondence between Kahlerian spaces preserving conjplex structure // Hokkaido

Math. J.- 1974.-3, .a 2.-P. 203-212. ♦ .

18. Hasegava I. A remark on infinitesimal holomorphically projective transformations //Math. Japonica.- 1994.- 39, n 2.- P. 367-372.

19. Hasegava I., Yamaguchi K. On infinitesimal holomorphically projective transformations in compact Kahlerian manifolds // Hokkaido Math. J.- 1979,- S, n 2.- P. 214-219.

20. Микеш Й., CjftnoKOB H.C. О квазяпланарных отображениях пространств аффинной связности // Изв. вузов. Мат.- 1983.- М« 1.- С,

' 5S-61.

21. Вишневский В.В.,. Широкоз А.П., Шурыгин В,В. Пространства над алгебрами.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1985,- 2G2 с.

22. Широков П.А. Избранные работы по геометрии.- Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1955. . •

23. Кайгородов В.Р. Структура кривизны пространства-времени // Итоги науки и техн. Пробл. геометрии /ВИНИТИ, 1983.- 14.- С, 177-204.

Публикации автора

24. Хаддад М. О голоморфно-проективных отображениях четырехмерных келеровых пространств Эйнштейна // Ш Всес. шк. Понтря-гннскпе -пения. Оптом, управл. Геометрия и анализ. Тез докл.-Кемерово, 1990.- С. 52.

25. Хаддад М. Об обобщенно гармонических келеровых. пространствах // Всес. совещ. мол. ученых по дифф. геометрии, посвящ. 80-тн летню Н.В.Ефимова, Тез. докл.- п. Абрау-Дюрсо. Ростов-на-Дону, 1990.- С. 112. ' • •

26., Хаддад М. Голоморфно-проективные отображения обобщенно ква-■ зиполусимиетрнческих келеровых пространств // Междунар. науч. конф. Лобаческий к созр. геометрия. Тез. докл. Часть I.- Казань, 18-22 авг. 1992.-КГУ, 1992.-С. 106. 27. Хаддад М. О голоморфно-проективных отображениях специальных келеровых пространств // Тез. докл. Респ. научно-метод. конф., посвященная 200-летию со дня рожд. Н.И.Лобачевского. Часть I.. Одесса: ОГУ, 1992.- С. 97-93.. . . 28.. Haddad М. Holomorphically-proje;:tive mapping of T-quasisemisym-metric and generally semisymmetric spaces.// Proc. of Conf. Diff. Geom. and its Appl.- Opava, August; 24-28, 1992.- P. 143-149. 29. MitKeui Й., Радулович Ж.; Хаддад M. Геодезические и голоморфно-проективные отображения »«-псевдо н m-квазнспмметрических рима-. новых пространств // Изв. ВУЗов.- 1995.

подписано к печати Uj. 1А,уол>эрмат ouxtiV'ь, бумага газетная." . Печать офсетная. 0,93 усл.пе'ч.л. 1,0 уч.-изд..л. Тираж 100 экз. '... Заказ F _

Одесский государственный политехнический университет.' 270044, Одесса, пр.Еечченко,!. . '., - ■ ■ •