Геометрия тензора Бохнера приближенно келеровых многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ныевв В. И. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукоппсп

АЛЬ-ОТМАН Ахмад Махмуд Аль-Салех

ГЕОМЕТРИЯ ТЕНЗОРА БОХНЕРЛ ПРИБЛИЖЕННО КЕЛЕРОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

01.01.04 — геометрия п топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па сбпскавйб учепбй й1епёнй кйвдпдйтй фпзпко-матемамчёски* паук

Москва 1993

г ■ * /

/ -л / / А

Работа выполнепа на кафедре геометрии МПГУ имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. Ф. КИРИЧЕНКО

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических паук, профессор АКИВИС М. А.

кандидат физико-математических паук, И. Г. ШАНДРА

Ведущая организация — Российский Университет Дружбы Народов.

на заседании Специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете имени В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, Математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (адрес университета: 119435, Москва, улица Малая Пироговская, д. 1, МПГУ имени В. И. Ленина).

Автореферат разослан «............» .............................. 1993 года.

Ученый секретарь с

Защита состоится

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕПЫ. Конформная геометрия является одним иэ наиболее ваших разделов дифференциальной геометрии, берущим начало от работ /I. Эйлера и интенсивно изучаемым в настоящее время с самых различных точек зрения. В настоящее время этот раздел геометрии находит важные приложения в теории калибровочных полей в связи с известным результатом Пенроуза-Атьи-Хитчина-Сингера, утверждающим, что твисторно* пространство над 4-мерным римановым многообразием М несет каноническую комплексную структуру тогда и только тогда, когда М конформно полуплоско 13). Рядом авторов была получена классификация 4-мерных конформно-полуплоскии римановых многообразий при дополнительных предположениях их келеровости и некоторых других. С другой стороны, геометрия келеровых многообразий является комплексным аналогом римановой геометрии: многие важнейшие понятия римановой геометрии, такие, как секционная кривизна, пространственны* формы, аксиомы подмногообразий н многие другие, имеет своего комплексного "двойника", имеющего весьма нетривиальный смысл в геометрии келеровых и, более общее, почти эрмитовых многообразий.

К числу таких понятий относится и тензор Вейля конформной кривизны - основной объект изучения конформной геометрии. В 1949 г. С. Боннер ввел комплексный аналог этого тензора для келеровых многообразий. Тензор типа (3,1), введений Бохнером и впоследствии названный ого именем, обладает всеми свойствами симметрии тензора

Римана-Кристоффеля и имеет смысл для произвольных почти эрмитовых многообразий. Однако он имеет весьма слохное строение, и несмотря на значительное число работ, посвященных его изучешш, до настоящего времени имеется мало информации о его геометрии, причем эта информация касается главным образом келеровых многообразий.

Перечислим наиболее существенные, с нашей точки зрения, работы в этом направлении. Как мы ухе упоминали, тензор Бохнера был введен Бохнером в (41. Он был формально определен в комплексных координатах келерова многообразия как комплексный аналог тензора Вейля конформной кривизны риманова многообразия. Татибана в (181 дал его вещественное вырахение, показавшее, что этот тензор имеет смысл на лобом почти эрмитовом многообразии. В (161 Татибана показал, что приводимое келерово многообразие постоянной скалярной кривизны с нулевым тензором Бохнера локально голоморфно изометрично произведение комплексных пространственных форм, т. е. келеровых многообразий постоянной голоморфной секционной кривизны с и (-с) соответственно. С другой стороны, Мацумото [121 показал, что келерово многообразие постоянной скалярной кривизны с нулевым тензором Бохнера локально симметрично, а в случае неприводимости является многообразием Эйнштейна и, следовательно, комплексной пространственной формой. Ольчак (131 получил классификацию 4-нерных компактных Бохнер-плоскнх келеровых многообразий неполохительной скалярной кривизны,, а такхе классифицировал компактные Бохнер-плоские келеровые многообразия размерности

свыше четырех Неположительной скалярной кривизны, тензор Риччи которых удовлетворяет некоторым дополнительный условиям. Петрович-Торгашев и Верстраелен (141 классифицировали Бохнер-плоские келеровы многообразия, тензор Вейля конформной кривизны которых удовлетворяет некоторым дополнительным условиям. Наконец, Сейно (15) доказал, что Бохнер-плоское келерово многообразие размерности свыше двух имеет постоянную скалярную кривизну.

Ряд работ посвящен' выяснению геометрического смысла обращения в нуль тензора Бохнера келеровых многообразий. К ним, например, можно отнести работу Ямагути 1241, изучавшего свойства гиперповерхностей келеровых Бохнер-плоскнх многообразий, а также работу Ганчева (71, изучавшего геометрические условия обращения в нуль тензора Бохнера как келеровых, так и более общих почти эрмитовых многообразий. Например, он доказал, что келерово многообразие, конформно эквивалентное почти эрмитову многообразию нулевой голоморфной секционной кривизны, Бохнер-плоско. Он также получил обобщение этого результата на случай произвольных почти эрмитовых многообразий.

Среди других работ, посвященных изучению тензора Бохнера на почти эрмитовых многообразиях, более общих, чем келеровы многообразия, отметим работу Ванхекке и Янсенса (211, в которой изучаются Бохнер-плоские приближенно келеровы многообразия, в частности, получена их классификация при ряде дополнительных предположений. Кроме того, Ванхекке изучал свойства тензора Бохнера на так

называемых обобщенных комплексных пространственных формах. Например, в (231 он доказал, что Бохнер-плоская обобщенная пространственная форма является парлкелеровым многообразием.

Как видно из приведенного обзора, изучение геометрии тензора Бохиера группируется главным образом вокруг вопросов, связанных с многообразиями, в основном, келеровыми, на которых этот тензор принимает наиболее простой вид, а именно, равен нуле. Это связано, главным образом, о большими трудностями вычислительного характера, воэникатцими при рассмотрении тензора Бохнера более общих почти эрмитовых многообразий, ввиду весьма сложного строения этого тензора. Поэтому задача изучения свойств цензора Бохнера на таких многообразиях. решениБ которой посвящена настоящая работа. ПРЕДСТАВЛЯЕТСЯ АКТУАЛЬНОЙ. Основной интерес в этом плане представляет приближенно келеровы многообразия, известные также под названиями К-пространств и почти татибановых многообразий. Понятие приближенно келерова многообразия является одним из наиболее важных обобщений понятия келерова многообразия. История изучения приближенно келеровых многообразий начинается с 1955 года, когда Фрелнхер доказал существование канонической почти эрмитовой структуры на взстиморной сфере 15). а Фуками и Иснхара в 161 показали, что фундаментальная форма этой структуры является формой Киляингв. Обоев понятие приближенно келерова многообразия было сформулировано Татибаной в (17], назвавшим такие многообразия К-пространствами. Как оказалось, эти многообразия имеют очень интересные геометрические свойства,

и поэтому они привлекли внимание большого числа исследователей. Существенный вклад в изучение геометрии приближенно келеровых многообразий внесли А. Грей (который и предложил этот, термин, ставший в настоящее время общепринятым) [91,110], В.Ф. Кириченко (1],[21, Ватанабе и Такамацу I19],Мацумото [111, Ванхекке [221 и многие другие исследователи.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. - Вычисление спектра тензора Бохнера приближенно келеровых многообразий и использование его для изучения свойств приближенно келеровых многообразий с теми или иными ограничениями на их кривизну Бохнера.

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1. Вычисление спектра тензора Бохнера приближенно келерова многообразия на пространстве присоединенной G -- структуры.

2. Изучение Бохнер-плоских приближенно келеровых многообразий.

3. Изучение дополнительных свойств симметрии тензора Бохнера приближенно келеровых многообразий.

4. Изучение приближенно келеровых многообразий В-постоянного типа.

5. Изучение приближенно келеровых многообразий постоянной голоморфной Бохнеровой кривизны.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми. Перечислим важнейшие из них:

1. Вычислен спектр тензора Бохнера приближенно

келеровых многообразий, в наиболее компактном и развернутом виде содержащий всю информацию о строении этого тензора.

2. Получена полная классификация Бохнер-плоских приближенно келеровых многообразий.

3. Найдены два дополнительных свойства симметрии тензора Бохнера приближенно келерова многообразия и третье свойство симметрии этого тензора, равносильное келеровости многообразия.

4. Введено понятие В-постоянства типа почти эрмитова многообразия и доказано, что приближенно келерово многообразие имеет В-постоянный тип тогда и только тогда, когда оно келерово либо шестимерно.

5. Введена понятие голоморфной Бохнеровой кривизны почти эрмитова многообразия и получена полная классификация приближенно келеровых многообразий точечно постоянной голоморфной Бохнеровой кривизны.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геометрии приближенно келеровых многообразий, а также для чтения спецкурсов по дифференциальной геометрия в соответствующих высших учебных заведениях.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Объединенном научном геометрическом семинаре кафедры геометрии МПГУ им. В. И. Ленина и МИСиС (руководители - проф. и. А. Акивис н проф. В.Ф. Кириченко). .

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 2 работы

1251, 1261.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ - метод внешних форм Картана, основанный на систематическом использовании структурных уравнений С-структуры, внутренним образом присоединенной к приближенно келерову многообразно.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы и изложена на 98 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 52 наименования отечественной и зарубежной литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. В первой главе диссертации, носящей вспомогательный характер, в систематической форме изложен весь материал, необходимый для проведения диссертационного исследования. Дан детальный вывод структурных уравнений и структурных тождеств приближенно келерова многообразия на пространстве присоединенной С-структуры, приведенных в работах В. Ф. Кириченко Ш, 121. Вычислен спектр основных тензоров, характеризующих приближенно келерову структуру, на пространстве присоединенной С-структуры: метрического тензора, оператора структуры, фундаментальной формы структуры, тензора Римаиа-Кристоффеля и тензора Риччи.-

Вторая глава диссертации посвящена выводу спектра тензора Бохнера приближенно келерова многообразия. Полученные здесь формулы в наиболее концентрированной и удобной форме выражаит строение тензора Бохнера приближенно келерова многообразия. Их применение в ходе дальнейшего

изложения позволило в явном виде использовать информацию об этом тензоре, скрытую или сильно завуалированную при использовании традиционного инвариантного исчисления Кошуля.

Третья глава диссертации начинается с изучения Бохнер-плоских приближенно келеровых многообразий. Доказано, что приближенно келерово многообразие М2п Бохнер-плоско тогда и только тогда, когда оно является келеровым многообразием, компоненты тензора ' НЭ-кривизны которого на пространстве присоединенной С-структуры имеют строение А^ = = где I - тензор типа (1,1) на М2п, с

необходимостью равный I = - п 0 + 4(п + 1Нп + 2) 1(1 ' 0 - тензор Риччи, И - скалярная кривизна многообразия. В частности, доказано, что Бохнер-плоское приближенно келерово 1 многообразие является многообразием Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно является' комплексной пространственной формой. Этот результат обобщает результат Ванхекке и Янсенса (211 и, более того, выявляет ошибку, закравшуюся в результат этих авторов, исключая из их классификации шестимерную сферу, которая, будучи некелеровым многообразием, не ыохет быть Бохнер-плоской.

Далее используя полученный нами критерий Бохнер-плоскости приближенно келерова многообразия, с учетом известных результатов Татибаны (161, Цацуиото [121 и Сейко (151, о которых упоминалось выше, кы получаем полную классификацию Бохнер-плоскпх приближенно келеровых многообразий. Нами доказана основная теорема для Бохнер-плоских НК-многообразий:

Всякое приближенно келерово многообразие Бохнер-,плоско тогда и только тогда, когда оно локально голоморфно изомет-рично одному из следующих многообразий: 1) С"; 2) СРП; 3) СО"; 4) М2; 5) СР"(с) х СОа(-с); В) СРп(с) х М2(-с); 7) СО"(-с) х Н2(с); 8) М2(с) х М2(-с), снабженных канонической келеровой структурой, где с - модуль голоморфной секционной кривизны соответствующей комплексной пространственной формы.

Этот результат существенно обобщает результаты как перечисленных авторов, так и упоминавшиеся результаты Ольчака •• [131, Петровича-Торгашева и Верстраелена 1141.

Следующий раздел третьей главы диссертации посвящен выявлению дополнительных свойств симметрии тензора Бохнера приближенно келеровых многообразий. Доказано, что тензор Бохнера приближенно келерова многообразия удовлетворяет следующий тождествам: . '

1) Ё(Х,у.г.и» « в<л,л,2,и) + вихл.^.и) + + В (ЛЛ.г.ДЛ;

2) В(х.у.г.и) = Вих.л.л.ло.

Кроме того, доказано, что справедливость тождества Б(Х, У.г. V) = В(Х,У,Л2,ЛИ) равносильна келеровости приближенно келерова многообразия. Эти результаты являются Бохнеровыми аналогами аналогичных результатов для тензора Рпиаиа-Крпстоффеля приближенно келеровых многообразий, полученных А, Греем (81.

В последнем разделе третьей главы диссертации введено . понятие В-постоянстпа типа почти эрмитова многообразия.

являющееся Бохнеровш аналогом понятия постоянства типа почти эрмитова, многообразия, введенного для приближенно келеровых многообразий А.Греем (91 и обобщенного Ванхекке и Боутеном для произвольных почти эрмитовых многообразий (201. Именно, приближенно келерово многообразие U называется многообразием В-постоянного типа, если

3 с е СЮ(М> V X.Y е %(И) <X,Y> = <X.JY> = 0 » «> Ё(Х, Y, JX, JY) - В(Х, Y,X, Y) = cllXH2IIYII2. Доказано, что В-постоянство типа приближенно келерова многообразия равносильно постоянству его типа в смысле А. Грея, откуда получено, что приближенно келерово многообразие М имеет В-постоянный тип тогда и только тогда, когда либо М - келерово многообразие, либо dio Н = 6.

В четвертой главе диссертации изучается приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны Бохнера (короче, НВ-кривизны), т.е. многообразия М, для которых справедливо тождество

Б(Х,JX,X,JX) = HIIXII4; X е *(М), где Н - некоторая функция на 11. называемая НВ-кривизной многообразия.Основной результат этой главы утверждает, что всякое приближенно келерово многообразие точечно постоянной НВ-кривизны является либо Бохнер-плоским келеровым многообразием, либо локально голоморфно изометрично шестимерной сфере, снабженной канонической приближенно келеровой структурой. В частности, оказался справедлив аналог классической теоремы Шура: точечное постоянство НВ-кривизны приближенно келерова многообразия размерности

свыше двух эквивалентно глобальному постоянству его НВ-кривизны. С учетом результатов предыдущей главы мы приходим к полной классификации приближенно келеровых многообразий точечно постоянной НВ-кривизны. Нами доказана Основная теорема: Всякое приближенно келероово многообразие точечно постоянной НВ-кривизны локально голоморфно изометрично одному из следующих многообразий:

1> С" ; 2) СРП ; 3) СО" ; 4) Мп ; 5) Б8 :

6) СрП(с)хС0"(-с);7) Ср"(с)хНг(-с) ; 8) СВП(-с)хМг(с) ;

9) Нг(с)хМ2(-с)

снабженных канонической приближенно келеровой структурой, где с - модуль голоморфной секционной кривизны соответствующей комплексной пространственной формы. Этот результат можно рассматривать ка* широкое обобщение классификации Бохнер-плоских приближенно келеровых многообразий, и тем более классификации Бохнер-плоских келеровых многообразий, и следовательно, как широкое обобщение результатов Татибаны, Мацумото, Сейно, Ванхекке и Янсенса, Ольчака, Петровича-Тор-гашева и Верстраелена, о которых упоминалось выше.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кириченко В. Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств. // Проблемы геометрии (Итоги науки И техники. ВИННТН АН СССР). - 1977. - Т. 8. - С. 139-161:

2. Кириченко В.Ф. К-пространства максимального ранга.//

Ыатем. заметки.- 1977.- Т.22. No 4 ,С.465-476.

3.Atiyah И.Г.,Hlthcln N.J., Singer J.И. Self-duality in four-dimensional Rlemannian geometry.// Proc. Roy.London. -1978.' -V.A362. -P. 425-461

4.Bochner S. Curvature and Bettl Numbers,II.//Ann.of math. -1949.-V.50.-P. 77-93.

5.Frolicher A. Zur differetlalgeometrie der Komplexen Structuren.//Hath.Ann.-1955.-V.129.-P. 50-95.

6.Fukamy Т., Ishihara S. Almost Hermitian structure on Se.// Tohoku.Math.J.-1955.-V.7.-P.151-156.

7.Ganchev G.T. On Bochner curvature tensors in almost Hermitian manifolds.// Pliska Stud.math.bulg. -1987. -V.9. -P.33-43.

8. Cray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds.// Tohoku Math.J.-1969.-V.21,No 2. -P.190-194.

9. Gray A. Nearly Kahler manifolds.// J.Diff.Geom. -1970. V.4,No 3. P.283-309.

10. Gray A.The Structure of nearly Kahler manifolds.// Ann.Math.-1976.-V.223.-P.233-248.

11. Mat'sumoto M. On 6-dimensional almost Tachibana space.// Tensor.-1972.-V.23.No.2.-P.250-252.

12. Matsumoto M. On Kahlerian spaces with parallel or vanishing curvature tensor.// Tensor N.S.- 1969.-V.20. -P. 25 - 28.

13. Olsgak Z. Bochner flat manifolds.// Diff. geom. Banash C-.P.-1984.-V. 12.-P.219-223.

14. Petrovlc-Torgasev M., Verstraelen L. On the conclrcul&r tensor, the projective curvature tensor and the Einstein curvature tensor of Bochner-Kaehler aanlfolds.// Math. Rep. Toyana Untv.-1987.-V.10.-P.37-61.

15. Selno N. On vanishing or recurrent Bochner curvature tensor.// Hokkaido Math.J.-1982.-V.11.-P.216-224.

16. Tachlbana 5. Notes on Kahlerlan aetrlcs with vanishing Bochner curvature tensor.// Kodal Math. Seiln. Repts. -1970. -V.22. -P.313-321.

17. Tachlbana S. On alaost analytic vectors In certain alaost Herattlan aanlfolds.// Tohoku Math. J.-1959.-V. 11.-P.351-363.

18. Tachlbana S. On Bochner curvature tensor.// Not. scl. Ochanonldzu Univ.-1967.-V.18.-P. 15-19.

19. Takaaatsu K., Vatanabe Y. Classification ' of a conforsally flat K-space,// Tohoku Math. J. .-1972.-V.24,No 3.-P. 435-440.

20. Vanhecke L. Bouten F. Constant type for alaost Heraltian aanlfolds.// Bull.Math.Soc.Scl, aath.RSR.- 1976(1977).-V.20,' Ha 3-4.-P.415-422.

21. Vanhecke L., Janssens D. The Bochner curvature tensor on alaost Heraltlan nanlfolds.// Hokkaido Hath.J.-1978.-V.7. Ho 2.-P.252-258.

22. Vanhecke L. Soee theorers for quasi - and nearly Kahlcr nanlfolds. // Boll. Unionc cat. ital'.-l975.-V. 12, Ho. 3, suppl.-P.174-188.

23. Vanhecke L. The Bochner curvature tensor on alnost

Heraitlan manifolds.// Geoe.Dedlcata.-1977.-V.-6.-P.389-397.

24. Yaiaguchi S..On a C-usbiIleal hypersurfaces of a Kahler manifolds with a vanishing Bochner curvature tensor.// Tensor N.S.-1969.-V.20.-P.95-99.

Публикации автора по теме диссертации:

25. Аль Отыан A.M. 0 геометрии тензора Бохнера приближенно келерова многообразия. // Ыоск. пед. гос. ун-т им В. И. Ленина. -К., 1993. -42 с. * Библногр.: 27 наэв.-деп. в ВИНИТИ 23.02.93. No 433-В93.

26; Аль Отман А. Ы. ■ Приближенно келеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны Бохнера. // Ыоск. пед. гос. ун-т им В. И. Ленина.-К., 1993.-41 с. Библиогр.: 25 наэв.-деп. в ВИНИТИ 23.02.93. No 434-В93.