Геометрия квазикосимплектических многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Валеев Руслан Рунарович

ГЕОМЕТРИЯ КВАЗИКОСИМПЛЕКТИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ

Специальность 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре геометрии математического факультета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор КИРИЧЕНКО Вадим Федорович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор СТЕПАНОВ Сергей Евгеньевич; кандидат физико-математических наук, доцент РОДИНА Елена Викторовна

Ведущая организация:

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится « 21 » марта 2005 г. в «_» часов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, 14, ауд. 301, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, 1.

Автореферат разослан «_» ____2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Г. А. КАРАСЕВ

ш&ч

-ш

Общая характеристика работы

214 т/

Актуальность темы

Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Почти контактные метрические структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в классической и квантовой механике, в теории геометрического квантования. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей риманова многообразия.

Уже около пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя (Chern S.-S.) [1], Дж. Грея (Gray J. W.) [2], Сасаки (Sasaki S.) [3]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает (/-структуру со структурной группой {e}xU(n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [3], что такая С-структура порождает тройку (Ф, г|), где Ф - тензор типа (1,1), Ъ, - вектор, ti - ковек-тор. Эта тройка обладает свойствами

из которых легко вывести, что

Ф(£) = 0, т|°Ф = 0.

Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики И на таком многообразии, он построил риманову метрику

(Д7) = /г(ФХ,ФГ) + /г(ф2Х,Ф2г) + л(^)т1(У),

»of РК

РОС fA.il' 'МАЛЬНАЯ ьи- ЬКА С. Hi ,<-,>.'>) рг

дополняющую (Ф, ri) до почти контактной метрической структуры.

Почти контактные метрические структуры являются нечетномерным аналогом почти эрмитовых структур, и между этими классами структур существует ряд важных взаимосвязей. Например, почти контактная метрическая структура внутренним образом возникает на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия. С другой стороны, если (Л/,Ф,!;,т],£) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии МхМ канонически индуцируется почти эрмитова структура [4]. Например, к^к было доказано Кириченко В. Ф. [4], косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на келерово многообразие, точнейше косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на приближенно келерово многообразие.

Изучение взаимосвязи между классами почти контактных метрических и почти эрмитовых структур позволяет выделить новые интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Оубинья (Oubina J. А.) в 1981 г. в своем докладе «A classification for almost contact structures» на конференции «VIII Jornadas Luso-Espanholas de Matematica» (Коимбра, Португалия) выделил новый класс структур, которые назвал квази-К-косимплектическими структурами. Он определил этот класс структур как линейное расширение квазикелеровых структур. Более того, он доказал, что, если М- почти эрмитово многообразие, то многообразие МхМ будет квази-.К-косимплектическим тогда и только тогда, когда M является квазикелеровым. Оубинья также доказал, что этот класс структур характеризуется тождеством

ЪХ(Ф)Г + УФХ(Ф)ФУ = УХ,Y € Х(М),

которое позднее возьмут за определение Чинея (Chinea D.) [5] и Капурси (Capursi M.) [6]. В данной работе это тождество также принято за определение. В 1984 году Чинея изучал римановы субмерсии данного класса многообразий. Капурси в 1987 г. назвал этот класс квазикосимплектическими структурами. В статье [6] Капурси показал, что классы почти косимплектических, точнейше

косимплектических и косимплектических многообразий являются подклассами класса квазикосимплектических многообразий. Кроме того, он привел пример квазикосимплектических многообразий, отличных от почти косимплектических и точнейше косимплектических многообразий. Капурси показал, что произведение двух почти контактных метрических структур является квазикелеровой структурой тогда и только тогда, когда эти структуры являются квазикосим-плектическими. Он также рассматривал инвариантные подмногообразия квазикосимплектических многообразий. В дальнейшем изучение квазикосимплектических многообразий вышло из поля зрения ведущих геометров, во всяком случае, в печати не появлялись работы, посвященные изучению этих многообразий. Поэтому представляет интерес изучить более детально дифференциально-геометрические свойства данного класса многообразий и его подклассов.

Цель диссертационной работы

Состоит в изучении дифференциально-геометрических свойств класса квазикосимплектических (короче, <2Ся-) многообразий и его подклассов.

Основные задачи

В соответствии с целью выделим следующие задачи нашего исследования:

1. Получить структурные уравнения квазикосимплектических многообразий и на их основе вычислить выражение классических тензоров этих многообразий в специализированном репере.

2. Изучить некоторые аспекты геометрии класса квазикосимплектических многообразий, выделить его подклассы: класс псевдокосимплектических (короче, РС?-) и класс строго псевдокосимплектических (короче, ЯРСя-) многообразий. Исследовать свойства многообразий этих классов.

3. Изучить свойства постоянства типа псевдокосимплектических многообразий.

Новизна результатов

Результаты, полученные в процессе решения поставленных задач, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Выделены подклассы класса квазикосимплектических многообразий: класс псевдокосимплектических и класс строго псевдокосимплектических многообразий. Получена полная группа структурных уравнений QCs-, PCs- и SPCs-многообразий и исследованы их свойства.

2. Получены некоторые соотношения между классом квазикосимплектических многообразий и другими классами почти контактных метрических многообразий.

3. Найдены условия, при которых почти контактная метрическая структура, индуцированная на гиперповерхности квазикелерова многообразия, будет квазикосимплектической структурой.

4. Доказано, что псевдокосимплектические структуры индуцируются на ^Су-гиперповерхностях приближенно келерова многообразия, а строго псевдокосимплектические структуры - на (^-гиперповерхностях келерова многообразия.

5. Вычислены компоненты тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи, Вейля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий; вычислена скалярная кривизна на пространстве присоединенной G-структуры в терминах структурных тензоров.

6. В терминах структурных тензоров охарактеризованы тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий. На их основе выделены классы этих многообразий, являющиеся контактными аналогами классов Грея для почти эрмитовых многообразий.

7. Получена исчерпывающая геометрическая характеристика строения псевдокосимплектических многообразий постоянного типа.

Методы исследования

Результаты данной работы получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана - метода присоединенных G-структур. Исследования геометрических свойств квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий проводятся на пространстве некото-

рой (7-структуры, естественным образом присоединенной к многообразиям. По мере необходимости использовались также метод инвариантного исчисления Кошуля [7] и метод присоединенных 0-алгебр [8], [9].

Теоретическое и прикладное значение

Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти контактных метрических многообразий, в частности квазикосимплектических, псевдокосимплектических и строго псевдокосимплектических многообразий, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и теоретической физике. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории почти контактных метрических структур в высших учебных заведениях.

Апробация работы

Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании научно-исследовательского семинара кафедры геометрии МПГУ под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Кириченко; на Международном геометрическом семинаре «Лаптевские чтения - 2003», г. Пенза; на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию КГУ и 70-летию НИИ математики и механики КГУ, г. Казань.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях. Их список приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы. Список литературы содержит 33 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 79 страницах машинописного текста.

Обзор содержания диссертации

Введение

Обосновывается актуальность темы, излагается предыстория вопроса, формулируются дели и задачи диссертационного исследования, излагаются основные результаты, полученные в работе.

Глава 1. Квазикосимплектические многообразия

Параграф 1 носит реферативный характер. В нем формулируется понятие почти контактной метрической структуры, описывается способ построения специализированного репера, приводится первая группа структурных уравнений почти контактной метрической (короче, АС-) структуры в этом репере. Рассматривается классификация АС-структур [10], являющаяся контактным аналогом классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур. Далее изучается тензор Нейенхейса N структурного оператора Ф почти контактной метрической структуры; вычисляются компоненты этого тензора для почти контактной метрической структуры на пространстве присоединенной С-структуры.

В параграфе 2 приводится определение квазикосимплектической структуры, которая характеризуется тождеством

УХ(Ф)Г + VФX^Ф)ФГ = УХ,Г € Х(М).

Получена полная группа структурных уравнений квазикосимплектических многообразий:

Ло = С"ьсоа Л со6 + СаЬсо0 Л со*;

¿со" = &аь Л £0* + ВаЬс(йь Л сос + ВаЬаь А со;

с!®а = —С0д Л аь + ВаЬсФЬ Л шс + ВаЬсаь Л ш;

+ВЬЫ"ас Л о* - Вас\&с Л ю„ + А°Ьс0сос Л со + А*°ас Л со. Кроме того, получены следующие соотношения:

¿дЛс = дОк^а + да^А + даЫ^ + + В-Ь, ^ + даЬсО^.

<&аЪс = -В^Х - ВаЛсш* - ВаЬХ + ВаЬсУ + ВаЬслъл + ВаЬс0ог, ЛВаЪ = ВсЬ + В™ ш* + ОаЬсъс + ПаЬс0)с + £>а6 V

= ~всь< ~ М + ОаЬсас + Ц/сас +

¿С"4 = С^со® + С"* со' + СаЬс(ос + СаЬс юс; = - Сассо1 + С^со* + СаЬсос.

В параграфе 3 рассматриваются некоторые соотношения между классом {^Су-многообразий и другими классами ЛС-многообразий. Предварительно доказываются следующие утверждения.

Предложение 1. Пусть 5 = (Ф, т|, g) — АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны:

1) Б — квазикосимплектическая структура;

2)В = £ = С = 0;

3) 5 - АС-486-структура.

Предложение 2. Для квазикосимплектических многообразий справедливы тождества:

1)^Ф = 0; 4) У^-ФУ^О;

2)У^ = 0; 5) Ух(л)К + Уфх(л)(ФГ)-0;

3) - 0; 6) Уф2;г (Ф)Ф2Г + У,* (Ф)ФГ = 0,

где Х,7€Х(М).

Следует заметить, что тождества 1) - 5), доказанные в Предложении 2, из совершенно других соображений были получены Капурси [6].

Далее формулируются определения косимплектических, точнейше косим-плектических, слабо косимплектических, почти косимплектических, нормаль-пых и квазисасакиевых многообразий. Доказываются следующие теоремы

Теорема 1. Квазикосимппектическое многообразие является косимплек-тическим тогда и только тогда, когда структурные тензоры первого и второго рода равны нулю.

Теорема 2. Квазикосимплектическое многообразие является точнейше ко-симплектическим многообразием тогда и только тогда, когда

1) ¿г| = 0;

2) V** (Ф)ФГ + Уфг(Ф)ФХ = 0, УХ,¥еХ(М).

Теорема 3. Класс квазикосимплектических многообразий пересекается с классом слабо косимплектических многообразий по классу точнейше косим-плектических многообразий.

Теорема 4. Пусть М - квазикосимплектическое многообразие келерова типа. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) второе фундаментальное распределение £ инволютивно\

2) М— почти косимплектическое многообразие.

Далее приводится пример квазикосимплектических многообразий, отличных от почти косимплектических и точнейше косимплектических многообразий, который привел Капурси в работе [6].

В конце данного параграфа вычисляются компоненты тензора Нейенхейса квазикосимплектического многообразия. Доказываются следующие теоремы.

Теорема 5. Интегрируемая квазикосимплектическая структура является косштпектической.

Теорема 6. Нормальная квазикосимплектическая структура является ко-симплектической.

Следствие. Класс квазикосимплектических многообразий пересекается с классом квазисасакиевых многообразий по классу косимплектических многообразий.

Замечание. Согласно Теореме 6 косимплектическую структуру можно определить как нормальную квазикосимплектическую структуру

В параграфе 4 на пространстве присоединенной (7-структуры вычисляются выражения компонент тензоров Римана-Кристоффеля и Риччи, а также скалярная кривизна квазикосимплектической структуры.

В параграфе 5 в терминах структурных тензоров найдены тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля £)С.?-многообразий. На их основе выделены классы этих многообразий, являющиеся контактными аналогами классов Грея для почти эрмитовых многообразий. Приводятся определения ЛС-многообразий классов СД3, СЯ2 и С/?,. Далее доказываются следующие теоремы.

Теорема 1. (УСв-многообразие является многообразием класса С7?3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры:

О-

Теорема 2. QCs-мнoгooбpaзue является многообразием класса СЯ2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры:

^Ъы" ~ 0 . Ва[сВ\Щ] + ®аЬ[«/] + т ~ ^[йаМ] = 0 •

Теорема 3. (2С5-многообразие является многообразием класса СЛ1 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры.

вЬс/ = о, вш (вш - Вм -ВЬНа) =0,

+ + б^фЦ] — — 0 .

Глава 2. Псевдокосимплектические многообразия

В параграфе 1 рассматриваются АС-структуры, индуцированные на ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия. Формулируются определения приближенно келеровых, квазикелеровых и почти келеровых многообразий. Получены условия, при которых А С-структура, индуцированная на гиперповерхности квазикелерова многообразия, будет ^Ся-структурой. Приводится доказательство следующей теоремы [11].

Теорема 1. На любой ориентируемой гиперповерхности почти эрмитова многообразия внутренним образом индуцируется почти контактная метрическая структура.

Доказываются следующие теоремы.

Теорема 2. АС-структура, индуцированная на гиперповерхности ОК-многообразия, будет QCs-cmpyкmypoй тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры:

1) сг£ = 0; 2) = лР1а"ь; 3) ВаЬп = 0.

Теорема 3. АС-структура, индуцированная на гиперповерхности (¿К-многообразия, будет QCs-cmpyкmypoй тогда и только тогда, когда

1) a(Z,y) + a(JX-,J7) = 0;

2) Vv(j)X — 2a(X, J (y))v + 2a(JX,J(v))J(v), X,YeZ.

Теорема 4. Если M - почти келерово многообразие, N СМ - QCs-гиперповерхность, то структура, индуцированная на N - почти косимплекти-ческая.

Теорема 5. Квазикелерово многообразие, через каждую точку которого проходит ACs-гиперповерхность, является почти келеровым многообразием.

Далее определяются подклассы класса (ЗСу-миогообразий, названные нами псевдокосимплектическими и строго псевдокосимплектическими многообразиями. Доказано, что псевдокосимплектические структуры индуцируются на бСя-гиперповерхностях приближенно келерова многообразия, а строго псевдокосимплектические структуры - на бСл-гиперповерхностях келерова многообразия.

Определение 2. gCs-многообразие назовем псевдокосимплектическим (короче, PCs-) многообразием, если

1)Л1 = 0;

2) ФУфх(Ф)(Ф7) + ФУфу(Ф)(ФХ) = О, XJеХ{М).

Определение 3. OCs- w н о гоо бр аз ие назовем строго псевдокосимплектическим (короче, SPCs-) многообразием, если

1) dr\ — 0;

2) ФУфх(Ф)(ФГ) = 0, X,YeX(M).

Теорема 6. Если М - приближенно келерово многообразие, N С М - QCs-гиперповерхность, то структура, индуцированная на N - псевдокосим-плектическая.

Теорема 7. Если М — келерово многообразие, N СМ - QCs-гиперповерх-ностъ, то структура, индуцированная на N - строго псевдокосимплекти-ческая.

В параграфе 2 вычисляется полная группа структурных уравнений псев-докосимплектических многообразий:

dto = 0;

dm" = < Л coA + 5аАесо6 Л со, + В^co¿ Л со; Лпв = -cot Л cofc + ВаЬс<й" ЛшЧ 5аЬсо4 Л со;

d(i>"b = юса Л co¿ + + < )®с Л со, + Д/о/ Л ш - Eñbсо, Л а>.

Кроме того, получены следующие соотношения:

dB abe = Bdbcaa + даЬ^Ь + ¡Mqfc

dBabc = -BdbX - BaJc(údb - ВаЬУс-dBab = 5<V + + Dahc&c + Da\coc + DaMco; ^ = " ВаЛ + Dabc(äc + D¿<s>c + Dabaш.

Доказывается следующее утверждение.

Предложение 1. Пусть S — (Ф, т|, g) - АС-структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения равносильны:

1) S- псевдокосимплектическая структура',

2)В = С0 = Ц =£ = F,=G = 0;

3)S-AC-196-структура.

Получено дифференциальное продолжение второй группы структурных уравнений псевдокосимплектических многообразий:

j jad _ ¿hdma . jahr^d jadrh jad,Л . Aodh,^ . jad rh . jad ,4

<^Ьс = Ас + Ас ША - Ahc ®Ь ~ Ahh Я + АЬс + Abcha + АЬс0ю-

Кроме того, получены следующие соотношения:

dDbca = - - + А/Ч + £>fc>A f zy°со; dD°-b = D^híüj + - + + + •

Далее рассматриваются строго псевдокосимплектические многообразия. Приводится полная группа структурных уравнений строго псевдокосимплектических многообразий: diо = 0;

d&" —(Ob Л ®b + ВаЬаь А со;

daa=-aba /\<йь + ваье>ь Лот,

da¡ = шса А ®сь + Aga* A(od+ Dbc"ac А со - Я">е A со.

Предложение 2. Пусть 5 = (Ф, Т], ¿) - АС-структура на многообразии М Тогда следующие утверждения равносильны:

1)5- строго псевдокосимплектическая структура;

2)В = С = Ц=Е = Ъ=С = 0;

3) Б - ЛС-68-структура.

В Параграфе 3 на пространстве присоединенной ^-структуры вычисляются выражения компонент тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи и Вейля, а также скалярная кривизна псевдокосимплектической структуры. Доказывается ряд теорем.

Теорема 1. РСя-многообразие всегда является многообразием классаСЯг.

Теорема 2. РСз-многообразие является многообразием класса СТ?2 тогда

и только тогда, когда на пространстве присоединенной С-структуры выполняется

ВасВЛ = ВайВсЬ ■

Теорема 3. РСз-многообразие является многообразием класса С/?, тогда и

только тогда, когда оно является SPCs-мнoгooбpaзueм и на пространстве присоединенной С-структуры выполняется

ВасВйЬ ~ Ва<1ВсЬ-

Теорема 4. Кривизна Риччи РСэ-многообразия М в направлении структурного вектора неположительна; она равна нулю тогда и только тогда, когда М - точнейше косимплектическое многообразие.

Напомним, что многообразие называется Риччи-плоским, если его кривизна Риччи равна нулю.

Следствие 1. Риччи-плоское РСя-многообразие является точнейше косим-плектическим.

Следствие 2. Риччи-плоское РСя-многообразие локально эквивалентно произведению ЫК-многообразия на вещественную прямую.

Следствие 3. Скалярная кривизна 5РСз-многообразий с нулевым структурным тензором третьего рода неположительна. При этом она равна нулю

Глава 3. Постоянство типа PCs-многообразий

Эта глава посвящена изучению свойств и строения PCs-многообразий постоянного типа. Напоминаются понятия g-алгебры и А"-алгебры. Вводится следующие определения.

Определение 3. Комплексную 0-алгебру назовем g-алгеброй непостоянного типа, если

Все С VX,re£: ((X,Y)) = 0=> ¡X * if = c|Jf|f ||7|f, где £ - гиперплоскость в овеществлении С -модуля ©, называемая контактной гиперплоскостью.

Определение 4. НС-многообразие М назовем многообразием точечно постоянного типа, если его присоединенная g-алгебра имеет АС-постоянный ran в каждой точке из М. Функция с, если она существует, называется постоянной типа НС-многообразия. Если к тому же с —const, то М называется НС-многообразием глобально постоянного типа.

Эго определение является контактным аналогом понятия постоянства типа почти эрмитовых многообразий, введенного В. Ф. Кириченко. Доказывается ряд теорем и предложений.

Предложение 1. PCs-многообразие является многообразием точечно постоянного типа с тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры выполняется тождество

ВмВш = 2сЬ?а.

Теорема 1. Точечное постоянство типа связного PCs-многообразия размерности свыше трех равносильно глобальному постоянству его типа.

Теорема 2. Класс PCs-многообразий нулевого постоянного типа совпадает с классом SPCs-многообразий. Класс PCs-многообразий ненулевого постоянного типа совпадает с классом АС-многообразий, локально эквивалентных произведению шестимерного собственного NK-многообразия на вещественную прямую.

Литература

1. Chern S.-S. Pseudo-groupes continus infinis H Colloque de Géométrie Différentielle, Strasbourg, 1953, p. 119-136.

2. Gray J. W. Some global properties of contact structures II Ann. Math., 69, №2,1959, p. 421-450.

3. Sasaki S. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures II Tôhoku Math. J., 12, №3, 1960, p. 459-476.

4. Kiritchenko V. F. Sur la géométrie des variétés approximativement cosymplectiques II C. R. Acad. Se. Paris, t. 295. Série 1,1982, p. 673-676.

5. Chinea D. Quasi-K-cosymplectic submersions H Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Tomo XXXIII, 1984, p. 319-330.

6. Capursi M. Quasi cosymplectic manifolds II Rev. Roumane Math. Pures Appl., 32, 1, 1987, p. 27-35.

7. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: «Мир», 1970.

8. Кириченко В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры //Изв. АН СССР, т. 47, №6, 1983, с. 1208-1223.

9. Кириченко В. Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой // Мат. заметки, т. 29, №2, 1981, с. 265-278.

10. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., МИГУ, 2003, - 495 с.

11. Yano К., Ishihara S. Almost contact structures induced on hypersurfaces in complex and almost complex spaces // Kodai Math. Semin. Repts, 1965, 17, №3, p. 222-249.

Публикации автора по теме диссертации

12. Валеев Р. Р., Кириченко В. Ф. О геометрии псевдокосимплектических многообразий II Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейный сборник - 70 лет кафедре мат. анализа МПГУ. М.: МПГУ, 2004, с. 220 - 229. (0,62 печ. л., соискателем выполнено 80% работы)

13. Валеев Р. Р. Некоторые примеры квазикосимплектических многообразий И Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. Сборник статей. М.: «Прометей», 2004, с. 48-53. (0,37 печ. л.)

14. Валеев Р. Р., Рустанов А. Р. О геометрии квазикосимплектических многообразий II Университетский вестник, №3, Смоленск: «Универсум», 2003, с. 12 -19. (0,50 печ. л., соискателем выполнено 80% работы)

15. Валеев Р. Р. Об одном классе квазикосимплектических многообразий И Деп. в ВИНИТИ РАН, №1314-В2004,2004, - 25 с. (1,56 печ. л.)

16. Валеев Р. Р. О постоянстве типа псевдокосимплектических многообразий II Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Том 25. Актуальные проблемы математики и механики. Материалы международной научной конференции - Казань (26 сентября - 1 октября 2004 г.), с. 58 - 59. (0,12 печ. л.)

с

1

1

)

Подл, к печ. 28.01.2005 Объем 1.0 п.л. Заказ №. 25 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

РНБ Русский фонд

2006-4 6029

.р

Введение.

Глава 1. Квазикосимплектические многообразия.

§1. Почти контактные метрические структуры.

§2. ^Су-структура и ее структурные уравнения.

§3. Некоторые характеризации класса gCs-многообразий.

§4. Вычисление некоторых классических тензоров (gCs-многообразий в А-репере.

1. Тензор Римана-Кристоффеля.

2. Тензор Риччи.

3. Скалярная кривизна.

§5. Тождества кривизны для ^С^-многообразий.

Глава 2. Псевдокосимплектические многообразия.

§1. Определение PCs-многообразий.

§2. Структурные уравнения PCs'-многообразий.

§3. Вычисление некоторых классических тензоров PCs-многообразий в Арепере.

Глава 3. Постоянство типа PCs-многообразий.

Актуальность темы. Многообразия, которым посвящена настоящая работа, принадлежат классу многообразий, наделенных почти контактной метрической структурой. Почти контактные метрические структуры составляют один из наиболее содержательных примеров дифференциально-геометрических структур. Их теория является естественным обобщением так называемой контактной геометрии, имеющей многочисленные приложения в классической и квантовой механике, в теории геометрического квантования. Кроме того, интерес к теории почти контактных метрических структур объясняется богатством внутреннего содержания самой теории и ее взаимосвязями с другими разделами дифференциальной геометрии, в частности, с теорией гиперповерхностей ри-манова многообразия.

Уже около пятидесяти лет почти контактные многообразия являются предметом интенсивного исследования ученых-геометров. Изучение этого типа многообразий с точки зрения их дифференциально-геометрических структур началось с появлением основополагающих работ Чженя (Chern S.-S.) [1], Дж. Грея (Gray J. W.) [2], Сасаки (Sasaki S.) [3]. В 1953 году Чжень обнаружил, что контактное многообразие допускает G-структуру со структурной группой {e}xU(n). Многообразия, допускающие такую структуру, Дж. Грей назвал почти контактными многообразиями. Сасаки заметил [3], что такая (/-структура порождает тройку (Ф, г|), где Ф - тензор типа (1,1), % - вектор, г| - ковек-тор. Эта тройка обладает свойствами: <&2 = -id + Ti<g>$, из которых легко вывести, что:

Ф($) = 0, Л°Ф = О.

Кроме того, исходя из произвольной римановой метрики h на таком многообразии, он построил риманову метрику

X,Y) = h(<&X,<t>Y) + h(02X,02Y) + r](X)r\(r), дополняющую (Ф, rj) до почти контактной метрической структуры.

Почти контактные метрические структуры являются нечетномерным аналогом почти эрмитовых структур, и между этими классами структур существует ряд важных взаимосвязей. Например, почти контактная метрическая структура внутренним образом возникает на гиперповерхностях почти эрмитова многообразия. С другой стороны, если (М,Ф, r|, g) - почти контактное метрическое многообразие, то на многообразии Мх1 канонически индуцируется почти эрмитова структура [4]. Например, как было доказано Кириченко В. Ф. [4], косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на келерово многообразие, точнейше косимплектическое многообразие локально устроено как произведение вещественной прямой на приближенно келерово многообразие.

Изучение взаимосвязи между классами почти контактных метрических и почти эрмитовых структур позволяет выделить новые интересные классы почти контактных метрических структур. Так, например, Оубинья (Oubina J. А.) в 1981 г. в своем докладе «А classification for almost contact structures» на конференции «VIII Jornadas Luso-Espanholas de Matematica» (Коимбра, Португалия) выделил новый класс структур, которые назвал квази-К-косимплектическими структурами. Он определил этот класс структур как линейное расширение квазикелеровых структур. Более того, он доказал, что, если М- почти эрмитово многообразие, то многообразие М х R будет квази-ЯГ-косимплектическим тогда и только тогда, когда М является квазикелеровым. Оубинья также доказал, что этот класс структур характеризуется тождеством

Vx(0)Y + УФА,(Ф)ФУ = лО^фЛ vx,Y <= Х(М), которое позднее возьмут за определение Чинея (Chinea D.) [5] и Капурси (Capursi М.) [6]. В данной работе это тождество также принято за определение. В 1984 году Чинея изучал римановы субмерсии данного класса многообразий. Капурси в 1987 г. назвал этот класс квазикосимплектическими структурами. В статье [6] Капурси показал, что классы почти косимплектических, точнейше косимплектических и косимплектических многообразий являются подклассами класса квазикосимплектических многообразий. Кроме того, он привел пример квазикосимплектических многообразий, отличных от почти косимплектических и точнейше косимплектических многообразий. Капурси показал, что произведение двух почти контактных метрических структур является квазикелеровой структурой тогда и только тогда, когда эти структуры являются квазикосимплектическими. Он также рассматривал инвариантные подмногообразия квазикосимплектических многообразий. В дальнейшем изучение квазикосимплектических многообразий вышло из поля зрения ведущих геометров, во всяком случае, в печати не появлялись работы, посвященные изучению этих многообразий. Поэтому представляет интерес изучить более детально дифференциально-геометрические свойства данного класса многообразий и его подклассов.

Цель диссертационной работы. Состоит в изучении дифференциально-геометрических свойств класса квазикосимплектических (короче, QCs-) многообразий и его подклассов.

Основные задачи. В соответствии с целью выделим следующие задачи нашего исследования:

1. Получить структурные уравнения квазикосимплектических многообразий и на их основе вычислить выражение классических тензоров этих многообразий в специализированном репере.

2. Изучить некоторые аспекты геометрии класса квазикосимплектических многообразий, выделить его подклассы: класс псевдокосимплектических (короче, PCs-) и класс строго псевдокосимплектических (короче, SPCs-) многообразий. Исследовать свойства многообразий этих классов.

3. Изучить свойства постоянства типа псевдокосимплектических многообразий.

Новизна результатов. Результаты, полученные в процессе решения поставленных задач, являются новыми. Выделим основные из них:

1. Выделены подклассы класса квазикосимплектических многообразий: класс псевдокосимплектических и класс строго псевдокосимплектических многообразий. Получена полная группа структурных уравнений QCs-, PCs- и SPCs-многообразий и исследованы их свойства.

2. Получены некоторые соотношения между классом квазикосимплектических многообразий и другими классами почти контактных метрических многообразий.

3. Найдены условия, при которых почти контактная метрическая структура, индуцированная на гиперповерхности квазикелерова многообразия, будет квазикосимплектической структурой.

4. Доказано, что псевдокосимплектические структуры индуцируются на ^Су-гиперповерхностях приближенно келерова многообразия, а строго псевдокосимплектические структуры - на £?Сз-гиперповерхностях келерова многообразия.

5. Вычислены компоненты тензоров Римана-Кристоффеля, Риччи, Вейля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий; вычислена скалярная кривизна на пространстве присоединенной G-структуры в терминах структурных тензоров.

6. В терминах структурных тензоров охарактеризованы тождества, которым удовлетворяет тензор Римана-Кристоффеля квазикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий. На их основе выделены классы этих многообразий, являющиеся контактными аналогами классов Грея для почти эрмитовых многообразий.

7. Получена исчерпывающая геометрическая характеристика строения псевдокосимплектических многообразий постоянного типа.

Методы исследования. Результаты работы получены систематическим использованием современной версии метода внешних форм Картана - метода присоединенных G-структур. Исследования геометрических свойств ква-зикосимплектических и псевдокосимплектических многообразий проводятся на пространстве некоторой G-структуры, естественным образом присоединенной к многообразиям. По мере необходимости использовались также метод инвариантного исчисления Кошуля [7] и метод присоединенных (2-алгебр [8], [9].

Теоретическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения почти контактных метрических многообразий, в частности квазикосимплектических, псевдокосимплектических и строго псевдокосимплектических многообразий, в соответствующих разделах дифференциальной геометрии и теоретической физике. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материалов для специальных курсов по теории почти контактных метрических структур в высших учебных заведениях.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на заседании научно-исследовательского семинара кафедры геометрии Mill У под руководством доктора физико-математических наук, профессора В. Ф. Кириченко; на Международном геометрическом семинаре «Лаптевские чтения - 2003», г. Пенза; на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 200-летию КГУ и 70-летию НИИ математики и механики КГУ, г. Казань.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 5 публикациях [34] - [38].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы. Список литературы содержит 33 наименования работ отечественных и зарубежных авторов. Диссертация изложена на 79 страницах машинописного текста.

1. Chern S.-S. Pseudo-groupes continus infinis 1. Colloque de Geometrie Differentielle, Strasbourg, 1953, p. 119-136.

2. Gray J. W. Some global properties of contact structures II Ann. Math., 69, №2, 1959, p. 421-450.

3. Sasaki S. On dijferentiable manifolds with certain structures which are closely related with almost contact structures II Tohoku Math. J., 12, №3, 1960, p. 459-476.

4. Kiritchenko V. F. Sur la geometrie des varietes approximativement cosymplectiques IIC. R. Acad. Sc. Paris, t. 295. Serie 1, 1982, p. 673-676.

5. Chinea D. Quasi-K-cosymplectic submersions II Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Serie II, Tomo XXXIII, 1984, p. 319-330.

6. Capursi M. Quasi cosymplectic manifolds II Rev. Roumane Math. Pures Appl., 32, 1, 1987, p. 27-35.

7. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: «Мир», 1970.

8. Кириченко В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры II Изв. АН СССР, т. 47, №6, 1983, с. 1208-1223.

9. Кириченко В. Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой И Мат. заметки, т. 29, №2, 1981, с. 265-278.

10. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., МПГУ, 2003, 495 с.

11. Yano К., Ishihara S. Almost contact structures induced on hypersurfaces incomplex and almost complex spaces II Kodai Math. Semin. Repts, 1965, 17, №3, p. 222-249.

12. Blair D. E. Contact manifolds in Riemannian geometry. Lecture Notes in Mathematics, 509, Springer-Verlag, Berlin, 1976, p. 146.

13. Кириченко В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий //.Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., ВИНИТИ, т. 18, 1986, с. 25-71.

14. Кириченко В. Ф. Аксиома Ф -голоморфных плоскостей в контактной геометрии // Известия АН СССР, Сер. Мат., 48, №4, 1984, с. 711-734.

15. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Мат. сборник, т. 193, №8, 2002, с. 71-100.

16. Chinea D., Marrero J. С. Classification of almost contact metric structures II Rev. roum de math, pures et appl., 37, №3,1992, p. 199-211.

17. Kirichenko V. F. Generalized quasi-Kahlerian manifolds and axioms of CR-submanifolds in generalized Hermitian geometry II I, Geometriae Dedicata 51, 1984, p. 75-104.

18. Gray A. Minimal varieties and almost Hermitian submanifolds II Michigan Math. J. 12 (1965), p. 273-278.

19. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. М., «Наука», 1981, 414 с.

20. Бишоп Р., Криттенден Р. Дж. Геомтерия многообразий. М.: «Мир», 1967.

21. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М., МГУ, 1980, 439 с.

22. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds II Tohoku Math. J., v. 28, 1976, p. 601-812.

23. Barros M., Ramirez A. Decomposition of quasi-Kahler manifolds which satisfy the first curvature condition II Demonstr. Math. 11, №3, 1978, p. 685-694.

24. Sawaki S. Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomor-phic sectional curvature II J. of Diff. Geom., v. 9, 1974, p. 123-134.

25. Rizza G. -В. Varietaparakahleriane II Ann. Math, pure and appl., v. 98, № 4, 1974, p. 47-61.

26. Vanhecke L. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature И J. of Diff. Geom., v. 12, № 4, 1977, p. 461-471.

27. Naveira A. Hervella L. M. Quasi-Kahler manifolds II Proc. Amer. Math. Soc. Univ., 49, №2, 1975, p. 327-333.

28. Волкова E. С. О геометрии нормальных многообразий киллингова типа II Деп. в ВИНИТИ РАН, №2111-В96, 1996, 25 с.

29. Степанова JI. В. О контактной геометрии на гиперповерхностях почти эрмитовых многообразий II Смоленский пединститут. Деп. в ВИНИТИ, №1038-В94, 1994,-23 с.

30. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., гос. изд. технико-теоретич. литературы, 1953, 635 с.

31. Кириченко В. Ф. Почти эрмитовы многообразия постоянного типа Н Докл. АН СССР, т. 259, №6, 1981, с. 1293-1297.

32. Gray A. Nearly Kahler manifolds II J. Diff. Geom. 4, №4, 1970, p. 283-309.

33. Кириченко В. Ф. Аксиома голоморфных плоскостей в обобщенной эрмитовой геометрии II Докл. АН СССР, т. 260, №4, 1981, с. 795-799.Публикации автора по теме диссертации

34. Валеев Р. Р., Кириченко В. Ф. О геометрии псевдокосимплектических многообразий И Актуальные проблемы математики, информатики, физики и математического образования. Юбилейный сборник 70 лет кафедре мат. анализа МПГУ. М.: МПГУ, 2004, с. 220 - 229.

35. Валеев Р. Р. Некоторые примеры квазикосимплектических многообразий II Научные труды МПГУ. Серия: естественные науки. Сборник статей. М.: «Прометей», 2004, с. 48-53.

36. Валеев Р. Р., Рустанов А. Р. О геометрии квазикосимплектических многообразий //Университетский вестник, №3, Смоленск: «Универсум», 2003, с. 12 -19.

37. Валеев Р. Р. Об одном классе квазикосимплектических многообразий II Деп. в ВИНИТИ РАН, №1314-В2004, 2004, 25 с.