Теория (n-I)-мерных распределений на многообразии всех прямых n-мерного аффинного пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение.-.

Глава Г» Строение касательного пространства к многообразию всех прямых в А^ и (И-I)-мерные распределения на этом многообразии

§ I. О строении касательного пространства к многообразию Gr и, п)

§ 2. Задание распределения ДЛ. чна Ст&п) в Аа

Строение элемента распределения общего вида.

§ 3, Классификация распределений на G-г (4, п) по строению элемента.

§ 4. Сопряженность распределений Д^на G-f(4} п).

§ 5, Сопряженность подраспределений распределения на G-rCi П)

Глава П. Исследование распределения на G-n С4} п) с помощью рассмотрения сопряженной пары

§ I» Основные понятия, возникающие при рассмотрении сопряженной пары распределений А.пч на Сгп (Д п)

§ 2. Канонические реперы распределения на Gt (4, in)

Полная система инвариантов

§ 3. Инвариантные подраспределения распределения Д пч на СггЦ Kl) • Важнейшие частные классы распределений

§ 4, Об инволютивности распределения А,^ на СггУ, it) и его инвариантных подраспределений

Глава Ш. Семейства двумерных и (П-2)-мерных плоскостей, ассоциированные с распределением Д^ на G-гЦ tl) в Ал

§ I; Семейства средних фокальных (-2)-плоскостей распределения на Crp (4, п)

§ 2. Семейства, порождаемые основной (ft. -2)-плоскостью распределения Д^ на п)

§ 3. Комплексы двумерных плоскостей, описываемые торсовыми и главной 2-шюскостями

§ 4. Распределения на комплексах торсовых 2-шюскостей

§ 5. Распределение на комплексе главных 2-плоскостей.

§ 6. Применение теории семейств двумерных и (/г-2)«мерных плоскостей к классификации распределений на П.) .Ю

Глава 1У. Особенности теории распределений на

G-p (i} ft) в аффинных пространствах размерностей 3, 4 и 5.

§ I. 0 распределениях Дг на Or и, Ъ) в Аъ

§2.0 распределениях А5 на G-V U} к) в Д^

§ 3. 0 распределениях Д^ на СгГ U, 5 J в

Актуальность темы. Современная локальная дифференциальная геометрия и теория дифференцируемых многообразий берут своё начало, как известно, от классической теории поверхностей, имеющей широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях. Среди многих направлений обобщения этой теории важное место занимают такие два из них, как линейчатая геометрия и теория распределений.

Линейчатая дифференциальная геометрия трёхмерного пространства, имеющая большое прикладное значение (например, в механике сплошной среды и геометрической оптике), разрабатывается уже более столетия, получив монографическое оформление в книгах С.П.Финикова [b?] , Н.И.Кованцова [30] , Р.Н.Щероакова [63]. Ей посвящены также исследования многих других авторов, как в нашей стране, так и за рубежом (см., например, обзор [62]). На основе этих исследований широкое развитие получила теория многообразий cL-мерных плоскостей П-мерного пространства, т.е. подмногообразий грассманова многообразия CrV (1, 1Ъ ) [59], которой посвящены уже многие сотни работ (см., например, обзоры [16, 39], а также [зь]). Дальнейшая разработка этой теории вызывает необходимость более глубокого изучения дифференциальной геометрии грассманова многообразия GV (d , И) плоскостей произвольной размерности (например, в работе [5]), и особенно, случая cL=l, т.е. многомерной линейчатой геометрии.

Другим обобщением классической теории поверхностей является теория распределений [40] на дифференцируемых многообразиях. Произвольному распределению А. на многообразии я локально сопоставляется система уравнений Пфаффа, аннулирующая все векторные поля, принадлежащие этому распределению. В силу этого теория распределений тесно связана с неголономной геометрией (т.е. геометрией систем Пфаффа общего вида), являясь поэтому составной частью теории дифференциальных уравнений [49]. Указанная теория имеет такжа приложение в теоретической механике (неголономная механика [44]). Особенно интенсивно теория распределений развивается в последние десятилетия (см. обзор [371).

Таким образом, изучение многообразий прямых многомерного пространства является актуальным для современной дифференциальной геометрии и её приложений.

История вопроса. Рассмотрение конгруэнции прямых в 11-мерном евклидовом пространстве как (12-1)-параметрического семейства прямых было начато в 30-х годах нашего века средствами тензорного исчисления в работах П.К.Рашевского [47, 48]. Проективной теорией этого многообразия с помощью метода подвижного репера занимались Р.М.Гейдельман и его ученики (см. обзор [16]). К этому же направлению надо отнести работы Т.О. Измайловой ["20-21]. Кроме того, имеется ряд работ, посвященных исследован нию семейств прямых в аффинном пространстве А^ , а также в пространствах конкретной размерности (например, [53-55, 42]). Б указанных работах были обобщены на П-мерный случай такие основные понятия теории конруэнций прямых трёхмерного пространства, как фокусы и фокальные плоскости. Результаты этих работ были использованы для развития как теории комплексов прямых в многомерном пространстве (например, [46, 12]), так и геометрии семейств А-мерных плоскостей при cL> 1 (26, 27, 35]

При изучении многообразий методом подвижного репера их задают обычно с помощью систем Пфаффа. Отсюда естественно встаёт задача исследования геометрии систем Пфаффа общего вида (получившей название неголономной геометрии).

Рассмотрение множества интегральных кривых уравнения Пфаффа общего вида имеется уже в работе А.Фосса [58]. С конца прошлого века возникает необходимость систематического изучения невполне-интегрируемых дифференциальных уравнений в связи с исследованием в механике дифференциальных связей, накладываемых на координаты движущегося объекта и не сводящихся к конечным уравнениям (получивших название неголономных связей). Особенно интенсивно исследование таких уравнений и порождаемых ими геометрических конструкций стало проводиться с 20-х годов нашего столетия, когда, благодаря созданию Э.Картаном метода внешних форм, локальная дифференциальная геометрия стала ассоциироваться главным образом с системами Пфаффа. Фундаментом этих исследований явились работы Э.Картана [28], Г.Врэнчану [15], И.Схоутена и ван Кампена [52]. Значительный вклад в развитие неголономной геометрии внёс советский геометр Д.М.Синцов, посвятивший ей большинство своих работ [51]. В этих работах он произвёл подробное исследование системы интегральных кривых уравнений Пфаффа в Е3 , а также в Е*. Большое признание получили работы В.В.Вагнера (например, [14]), из которых вытекает тесная связь неголономной геометрии с теорией распределений на дифференцируемых многообразиях, В последние десятилетия неголономная геометрия развивается как в направлении непосредственного исследования интегральных многообразий систем Пфаффа общего вида (например, [31, 6з]и др.), так и в направлении изучения соответствующих распределений на дифференцируемых многообразиях и геометрических конструкций, порождаемых этими распределениями (например, [II, 23]). Важное место занимают здесь работы Г.Ф.Лаптева [38] и Ю.Г.Лумисте [40], посвященные общим вопросам теории распределений, а также диссертация В.В.Кайзера [24], в которой приведён подробный обзор исследований в этом направлении.

Вслед за изучением распределений на точечных многообразиях представляет интерес рассмотрение распределений на грассмановом многообразии Gr(V; п) всех прямых Kl-мерного пространства. В случае lt=3 исследованию этих распределений и порождаемых ими геометрических конструкций (неголономных конгруэнции и комплексов в различном понимании этих терминов) посвящены работы [8-9, 12-13 , 42-43 , 25] и ряд других. Имеются также исследования, в которых рассматриваются некоторые распределения на грассмановых многообразиях fl-мерного пространства (например, [22]).

Настоящая диссертация посвящена изучению (Г£ -I)-мерных распределений А на грассмановом многообразии Ст-Г О, П-) всех прямых в It-мерном аффинномпространстве А п .

Целью данной работы является: а) построение общей теории распределений Д^ на GrG, П.) в Ап, б) исследование семейств многомерных плоскостей, ассоциированных с данным распределением, в) выяснение особенностей строения распределений на G-r U, ft) при П^ 5.

Работа выполнена методом подвижного репера. Исследование носит локальный характер, т.е. грассманово многообразие G-rп) рассматривается всегда в окрестности некоторого своего элемента (прямой L1 ), где сохраняется аналитичность всех встречающихся функций.

Краткое содешание. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы.

1. Агафонова T.I. Некоторые пары конгруэнций и псевдоконгруэн-ций в пространстве Рц .-В кн.: Геометрия; Ученые записки Ярославского гос.пед.института. - Ярославль, 1971, с.3-6.

2. Агафонова Т.Л. Классификация двупараметрических семейств двумерных плоскостей в .- В кн.: Геометрия. Сборник науч. трудов, вып.109. Ярославль, 1973, с. 3-8.

3. Агафонова Т.Л. Классификация четырехпараметрических семейств 3-плоскостей в Р5 . Там же, с.9-15.

4. Агафонова T.I. Классификация (11- I)-параметрических семейств (И 2)-плоскостей в Там же, с.16-22.

5. Акивис М.А. К дифференциальной геометрии грассманова многообразия. Tensor, А/ $., Vol.38 (1982), с.273-282.

6. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия: Учебное пособие. Калинин. Изд-во Калининского ун-та, 1977, 82 с.

7. Еишоп Р.Л., Криттенден Р.Д. Геометрия многообразий. Перевод с англ. М. Мир, 1967, 336 с.

8. Барыктабасов Э.Д. Неголономные конгруэнции в трехмерном эквиаффинном пространстве. В кн.: Труды Кирг. ун-та, сер. Математика, вып. 8. - Фрунзе, 1974, с.15-23.

9. Барыктабасов Э.Д. К аффинной геометрии неголономных комплексов. Геометрический сборник, вып. 15, (Труды Томского унта, 255).- Томск, 1975. с.122-144.

10. Елизникас В.И., Гринцевичюс К.И. 0 неголономной линейчатой геометрии. В кн.: Третья Прибалтийская геом. конф. Тезисы докладов. - Паланга, 1968, с.21-25.

11. Елизникене И.В. Некоторые вопросы геометрии полунеголоном-ных и неголономных конгруэнций. В кн.: Труды Геометрического семинара, вып. 5. - М., ВИНИТИ, 1974, с.97-121.

12. Вагнер В.В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. В кн.: "УШ-ой Международный конкурс на соискание премии им. Н.И.Лобачевского (1937). Отчет".- Казань, 1939, 195-262.

13. Врэнчану Г. (Vranceanu G-.) Vorlesungen йЬег Differentialqeomefrie, A'cad-emce-Verfag, Berlin,161. I-37I е., П-405 c.

14. Гейдельман P.M. Дифференциальная геометрия семейств подпространств многомерных однородных пространствах. В кн.: Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 -М., ВИНИТИ, 1967, с.323-374.

15. Гейдельман P.M., Кругляков Л.З. О плоскостных поверхностях. Доклады АН СССР, 1974, т. 219, Ш I, с.19-22.

16. Гербсоммер Л.Э., Кругляков Л.З., Мизин А.Г. О комплексах многомерных плоскостей.- Докл. АН СССР, т.255, В 5, 1980, с.1039-1042.

17. Гринцевичюс К.И. О неголономном комплексе, Литовский математический сборник, IX, вып. I, 1969, с.85-99.

18. Измайлова Т.С. О конгруэнции прямых в Рп . В кн.: Труды Моск. ин-та ж.-д. транспорта. - М., 1970, т.361, с .4148.21 ♦ Измайлова Т.С. О к -параболической конгруэнции прямых в Р, . В кн.: Современная геометрия. - Л.,1978, с.61-66.

19. Кайзер В.В., Кругляков Л.З, 0 касательных подпространствах и характеристиках высших порядков пфаффовых многообразий многомерных плоскостей.: Геометрический сб., вып. 14 (Труды Томского ун-та, т.255). - Томск, 1974, с.47-81.

20. Кайзер В.В. Расширения, сужения и сопряженные направления дифференцируемых распределений в многомерных проективных пространствах. Геометрический сб., вып. 15 (Труды Томского ун-та, т.258). - Томск, 1975, с.20-49.

21. Кайзер В.В. Расширения и сужения дифференцируемых распределений в многомерных проективных пространствах.-Кандидатская диссертация. Томск, 1976, 143 с.

22. Кайзер В.В. Неголономная линейчатая геометрия как теория распределений на грассмановом многообразии. Труды геометрического семинара, вып. 15. - Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1983, с.34-50.

23. Карапетян С.Е. Проективно-дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей (I). Изв. АН Арм.ССР, 1963. т. 16, № 3, с.3-22.

24. Карапетян С.Е. Проективно-дифференциальная геометрия семейств многомерных плоскостей (П).- Изв. АН Арм.ССР, 1963, т. 16, № 5, с.3-22.

25. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962, 237 с.

26. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии (в 2-х томах). Перевод с англ., Наука, М., 1981, т. I.-344 е., т.П 414 с.

27. Кованцов Н.И; Теория комплексов.- Киев. Изд-во Киевскогоун-та, 1963, 292 с.

28. Кованцов Н.И. Геометрия неинтегрируемых систем, Труды П респ.конф. математиков Белоруссии, - Минск, 1969, с,79-86,

29. Кругляков 1,3, К дифференциальной геометрии семейств подпространств в проективном пространстве. Геометрический сборник, вып. 16, - (Труды Томского ун-та, 263),- Томск, 1975, с.44-57.

30. Кругляков Л.З., Мизин А.Г., Никитина Е.С. Комплексы индек-, оа , один плоскостей в пространстве Р5 .- Геометрическийсборник, вып. 18. Томск, Изд-во Томского ун-та, 1977, с.47-58.

31. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований.- Труды Моск. матем. об-ва.- М.,1953, В 2, с.275-382.

32. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей, В кн.: Итоги науки; Геометрия: 1963. - М., ВИНИТИ, 1965, с.5-64.

33. Лаптев Г.Ф. Распределения касательных элементов.- В кн.: Труды геометрического семинара, т.З.- М., ВИНИТИ, 1971, с.29-48.

34. Лумисте Ю.Г. Дифференциальная геометрия подмногообразий.-В кн.: Итоги науки и техники. Алгебра, Топология. Геометрия; т. 13. М., ВИНИТИ, 1975, с.273-340.

35. Лумисте Ю.Г. Распределения на однородных пространствах.-В кн.: Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т. 8.-М., ВИНИТИ, 1977, с.5-24.

36. Мизин А.Г. О комплексах индекса один плоскостей в fs . -Геометрический сборник, вып. 21 .-Томск, Изд-во Томского унта, 1980, с.94-95.

37. Навицкис К.В. Внутренние оснащения неголономных гиперкомплексов четырехмерного аффинного пространства. Литовский матем. сб., XX(I), 1980, с.119-123.

38. Навицкис К.В. Внутренние оснащения распределения гиперплоскостей на грассмановом многообразии. Литовский матем. сб., Ш(2), 1981, с.153-161.

39. Неймарк Ю.И., Г^уфаев Н.А. Динамика неголономных систем. -М., Наука, 1967, 520 с.

40. Норден А.П. Теория композиций. В кн.: Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т.10. - М., ВИНИТИ, 1978, с.П7-145.

41. Орленко Г.И. К метрической теории семейств прямых и плоскостей в многомерном евклидовом пространстве. В кн.: Труды Рижского ин-та инженеров авиации, вып.97.- Рига, 1966, с.3-37.

42. Рашевский П.К. (Rachevsky R) Sup ies congruences 3 plusieurs dimensions. С. R. Лсас/. $61-^1931, c.137-138.

43. Рашевский П.К. Congruence nectihgne dans 1'espace euciidien a ft dimensions . В кн.: Труды семинара по вект, и тензорн. анализу при МГУ, т. 2-3.- М., Изд-во МГУ, 1935, с.212-226.

44. Рашевский П.К. Тензорная дифференциальная геометрия. Вкн.: Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. М.-Л., 1948, с.883-918.50. ?рк Т. (Room Т£.) The geomeinу of deiermiпакЫ loci Cambridge , 1938, 483 c.

45. Синцов Д.Ф. Работы по неголономной геометрии.- Киев, Издво "Вища школа", 294 с.

46. Схоутен И.А., ван Кампен Е.Р. (5clzouietz J. Д., van.1.ampefi E.R.) 2ur EinbeUu-^jen tttid Krummungs-Угеоп'е nicWkobnomer Gebifde,- Matliema-tistie Attnalen, Band Heft 5, 1930, c.752-783.

47. Сычева В.Г. 0 каноническом репере конгруэнций прямых в ?н . В кн.: Ученые записки Орехово-Зуевского пед. инта, вып. 22(3). - 1964, с.64-72.

48. Сычева В.Г. 0 некоторых специальных классах конгруэнций прямых в четырехмерном проективном пространстве Рц . -Там же, с.73-78.

49. Сычева В,Г. Канонические реперы конгруэнции прямых в четырехмерном проективном пространстве.- В кн.: Труды Моск. ин-та инженеров железнодор.транспорта, вып. 190. М., 1965, с.69-89.

50. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948 , 436 с.

51. Фиников С.П. Теория конгруэнций.- М.-Л., ГИТТЛ,1950,528 с.

52. Фосс А. (Vo ss A.) G-eomeirische Ihierpr-eiat i on der DitferenltziqieichurKj Pdec + Q Rdz = O. -Maibemaifshe Annalcn, k 46, 1880, c.556-559.

53. Хода В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии (в 2-х томах) ИЛ, -М.: 1954, 1т.-461 е., П т. 431 с.

54. Хасин Г.Б. Однофокусные псевдоконгруэнции 2-пяоскостей вРц v В кн.: Геометрия. Сборник науч.трудов, вып. 169-Ярославль, 1973, с.212-215.

55. Щербаков Р.Н. Некоторые вопросы аффинной теории прямолинейных конгруэнции. -Математический сборник (Новая серия), т. 37(79), 3, 1955, с.527-556.

56. Щербаков Р.Н. Линейчатая дифференциальная геометрия трехмерного пространства. В кн.: Итоги науки. Алгебра. Геометрия. 1965. -М.,ВИНИТИ, 1967, с.265-321.

57. Щербаков Р.Н. Основы метода внешних форм и линейчатой геометрии. Томск, Изд-во Томского ун-та, 1973, 236 с.Работы автора, выполненные по теме диссертации:

58. Печников И.А. Репера® сопряженных пар пфаффовых многообразий и подмногообразий. Геометрический сборник, вып. 19. - Томск, Изд-во Томского ун-та, 1978, с.122-126.