Метод редукции: инвариантные поляризации и би-пуассоновы структуры на пространствах инвариантных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

МИКИТЮК Игорь Владимирович

УДК 514.763+512.816

МЕТОД РЕДУКЦИИ: ИНВАРИАНТНЫЕ ПОЛЯРИЗАЦИИ И БИ-ПУАССОНОВЫ СТРУКТУРЫ НА ПРОСТРАНСТВАХ ИНВАРИАНТНЫХ

ФУНКЦИЙ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2004

/

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в Институте прикладных проблем механики и математики НАН Украины и в Национальном университете "Львовская политехника".

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук.

профессор А. В. Болсинов

-- доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Неретин

— доктор физико-математических наук, А. Н. Старков

Ведущая организация — Математический институт

им. В. А. Стеклова РАН

Защита диссертации состоится " ^ " _ 2004 г.

в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основным объектом исследования в работе являются комплексные (7-инвариантн ые поляризации на областях кокасательных расслоений Т*М римановых однородных пространств М = G/К редуктивных групп Ли G и пуассоновы алгебры G-инвариантных функций на Т*М.. Среди поляризаций особо выделены положительно определенные поляризации, т.е. кэлеровы структуры (J, П) с канонической симплектической формой Q в качестве кэлеровой формы. Основным методом, который используется в работе, является метод редукции. С его помощью решение уравнений в частных производных, описывающих инвариантные поляризации, сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и к решению задач теории полупростых групп и алгебр Ли. Развитые в работе методы применены также к описанию инвариантных гиперкэлеровых структур на областях кокасательных расслоений эрмитовых симметрических пространств.

Кэлеровы структуры («/, Г2) на областях кокасательных расслоений Т*М римановых пространств М, инвариантные относительно группы изометрий, естественно возникают во многих задачах рима-новой геометрии и комплексного анализа. Таковой является адаптированная комплексная структура (,7д,П), определенная в окрестности нулевого сечения М С Т*М. Ее изучение было начато почти одновременно В. Гийемином и М. Стензелем [1] в связи с комплексным однородным уравнением Монжа-Ампера, Л. Лемпертом и Р. Шоке [2] как структуры канонически индуцированной римановой метрикой, а позже продолжено А. Данцером (A. Dancer,1997), Д. Бернсом, Р. Хиндом, С. Хайвершайдом (D. Burns, R. Hind, S. Halverscheid, 2002), P. Бремиганом (R. Bremigan, 2001) и Р. Агуляром (R. Aguilar, 2001). В случае компактной группы Ли G эта структура определена

[1] V. Guillerain, М. Stenzel Grauert tubes and the homogeneous Monge-Ampere equation // J. Differential Geometry.- 1991.- V. 34, no. 2.- P. 561-570.

[2] L. Lempert, R. Sz6ke Global solutions oj the homogeneous complex Monge-Ampere equation and complex structures on tangent bundles of Riemannian manifolds // Math. Ann.- 1991.- V. 290.- P. 689-712.

на T*(G/K) [3].

Другой тип кэлеровых структур, определенных на проколотом кокасательном расслоении TqM = Т*М \ {нулевое сечение}, естественно возникает как результат геометрических конструкций метода геометрического квантования. Такую структуру (Js,fi) для сферы М = S" = SO(n+ \)/SO(n) обнаружил Дж. Сурио [4]. Позже Дж. Раунсли [5] заметил, что J$ инвариантна относительно гамиль-тонова потока функции длины на Tq Sn (нормализованного геодезического потока), а сама функция длины является строго плюрисуб-гармоничной относительно Js; он использовал J$ для геометрического квантования нормализованного геодезического потока. Начиная с 1994 года интерес к этим структурам возобновился: К. Фурутани и Р. Танака [6] определили кэлерову структуру (Js, с аналогичными свойствами на проколотых кокасательных расслоениях комплексного и кватернионного проективных пространств. К. Ии и Т. Морикава [7] описали эту структуру на проколотых кокасательных расслоениях классических компактных симметрических пространств ранга один в терминах геометрических структур, ассоциированных с метрикой на М = G/K. Р. Шоке [8] исследовал связь между («/5, Г2) и адаптированной комплексной структурой как результат -

он построил структуры (Js,fi) на проколотых кокасательных расслоениях всех компактных симметрических пространств ранга один

[3] R. Sz6ke Adapted complex structures and Riemannian homogeneous spaces // Annales Polonici Mathematici.- 1998.- V. 70.- P. 215-220.

[4] J. M. Souriau Sur la variete de Kepler // Symposia Math.- 1974.- V. 14.-P. 343-360.

[5] J. H. Rawnsley Coherent states and Kahler manifolds // Quart. J. Math. Oxford.- 1977.- V. 28.- P. 403-415.

[6] K. Furutani, R. Tanaka A Kahler structure on the punctured cotangent bundle of complex and quaternion projective spaces and its applications to geometric quantization I // J. Math. Kyoto Univ.- 1994,- V. 34, no. 4,- P. 719— 737.

[7] K. Ii, T. Morikawa Kahler structures on the tangent bundle of Riemannian manifolds of constant positive curvature // Bull, of Yamagata Univ.- 1999.-V. 14, no. 3.- P. 141-154.

[8] R. Szoke Adapted complex structures and geometric quantization j/ Nagoya Math. J.- 1999.- V. 154,- P. 171-183.

(включая и проективную плоскость Кэли OiP2 = Fi/Spin{9))

Так как из этой работы Р. Шоке не ясно, является ли обнаруженная им связь между структурами спецификой только пространств ранга один, а адаптированные структуры существуют на кокасательных расслоениях всех компактных симметрических пространств, то возникает вопрос о существовании кэлеровых структур типа для симметрических пространств ранга > 1. В диссертации дан отрицательный ответ на этот вопрос.

Гиперкэлеровость многообразия X означает наличие на X трех попарно антикоммутирующих комплексных структур J\,J2, Jz = и римановой метрики которая является кэлеровой относительно этих трех комплексных структур одновременно. П. Крон-хеймер [9] доказал, что регулярные орбиты

QC

присоединенного

представления полупростой комплексной группы Ли являются гиперкэлеровыми многообразиями, причем среди этих гиперкэле-ровых структур имеются такие, что орбита

0С

(как вещественное

многообразие), снабженная комплексной структурой J\ , изоморфна комплексной орбите со стандартной комплексной структурой. Основная идея доказательства П. Кронхеймера состояла в реализации такой орбиты как пространства модулей решений уравнений Нама (Nahm's equations). С помощью этого же подхода А. Г. Ковалевым [10] и О. Бигаром [11] одновременно было доказано, что гипер-кэлеровы многообразия суть все орбиты присоединенного представления нолупростой комплексной группы Ли. Причем все построенные таким образом структуры являются глобально определенными и инвариантными относительно компактной формы G С Gc. Полупростые орбиты Ос = Gc/Kc благодаря диффеоморфизму Мо-

[9] Р. В. Kronheimer A hyper-Kählerian srtucture on coadjoint orbits of a semisimple complex Lie group //J. London Math. Soc - 1990.- V. 42, no. 2.-P. 193-208.

[10] A. G. Kovalev Nahm's equations and complex adjoint orbits // Quart. J. Math. Oxford.- 1996.- V. 47, no. 2,- P. 41-58.

[11] 0. Biquard Sur les équations de Nahm et la structure de Poisson des algebres de Lie semi-simples complexes // Math. Ann.- 1996.- V. 304,- P. 253276.

стова [12] (?-эквивариантно диффеоморфны касательному расслоению T(G/K) ~ T*{G/K) компактного эрмитова однородного пространства M ~ G ¡К. Одновременно кокасателыюе расслоение Т*М наследует комплексную структуру J~ из M, относительно которой оно является голоморфным симплектическим многообразием. Другой, более общий подход к доказательству существования локальных гиперкэлеровых структур на Т*М в окрестности М, где М - произвольное вещественно-аналитическое кэлерово многообразие, был обнаружен Д. Калединым [13] PI Ф. Фейх [14]. Явное описание тройки комплексных структур J\, J2, J3 и гиперкэлеровой метрики g для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром получено О. Бигаром и П. Годюшоном [15] только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами. Это обобщает известный результат Е. Кала-би для Т*СРп [16].

В диссертации рассмотрены также поляризации, инвариантные относительно гамильтоновых потоков динамических систем, и, связанные с ними, частичные плоские связности, возникающие в теории геометрического квантования Костанта-Сурио [17]. Частичные плоские связности были введены Р. Боттом [18], и как структуры метода геометрического квантования исследовались Дж. Раунс-

[12] G. D. Mostow Some new decomposition theorems for semisimple groups // Mem. Amer. Math. Soc.- 1955.- V. 14,- P. 31-54.

[13] D. Kaledin'Hyperkâhler structures on total spaces of holomorphic cotangent boundles // Preprint.- 1997.- alg-geom/9710026.

[14] F. Feix Hyperkâhler metrics on cotangent bundles // J. reine angew. math.-2001.-V. 532.-P. 33-46.

[15] 0. Biquard, P. Gauduchon Hyperkâhler metrics on cotangent bundles of Hermitian symmetric spaces // Lect. Notes Pure Appl. Math.- 1996.- V. 184.-P. 287-298.

[16] E. Calabi Métriques Kâhlériennes et fibres holomorphes // Ann. Ее. Norm. Sup.- 1979,- V. 12,- P. 269-294.

[17] B. Kostant Quantization and unitary representation I. Prequantization If Lect. Notes Math.- 1970.- V. 170.- P. 87-208.

[18] R. Bott Lectures on characteristic classes and foliations // Lect. Notes in Math.- 1972.- V. 279.

ли [19] и другими.

Гамильтонову систему на симплекшческом многообразии называют вполне интегрируемой, если она допускает максимальное число независимых интегралов в инволюции. Представляет интерес вопрос о вещественно-аналитической интегрируемости гамильтоиовых потоков на T*(G/K), определенных G-инвариантными римановыми метриками на однородных пространствах компактных групп

Ли G. Такие вполне интегрируемые потоки на кокасательных расслоениях компактных групп Ли были найдены А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [20]. Позже этот список однородных пространств был расширен в работах А. Тимма (A. Timm) (1981), А. С. Мищенко (1982), А. В. Браилова (1983,1986), Г. Патернайна (G. Paternain) и Р. Спатцера (R. Spatzier) (1994), и включал все симметрические пространства, многообразие Штифеля SO{n)/SO(n — 2), пространство А. В. Болсинов и Б. Йованович в работе [21], доказали это же свойство для многообразий Штифеля

, а в недавней работе [22] - для всех орбит присоединенного представления классических полупростых групп Ли, а также пространств SO(n)/(SO(A:i) х SO(k2)), U(n)/(U(l)kl x U(k2) х U(k3)), U(n)/SO(k), 50(nx) x SO{n2)/diag(SO{k) x SO{k)),

Остававшийся открытым вопрос обобщения этого результата на орбиты всех (компактных) полуиро-стых групп Ли (не только классических) положительно решен в диссертации.

Цель работы состоит

1) в разработке эффективного метода исследования G-

[19] J. H. Rawnsley Flat partial connections and holomorphic structures in C°° vector bundles // Proc. Amer. Math. Soc.- 1979,- V. 73,- P. 391-397.

[20] A. С. Мищенко, A. T. Фоменко Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР, сер. матем,- 1978.- Т. 42, №2.- С. 396-415.

[21] А. В. Болсинов, Б. Иованович Интегрируемые геодезические потоки на однородных пространствах // Матем. сборник.- 2001.- Т. 192, Л*г7.- С. 21-40.

[22] А. V. Bolsinov, В. Jovanovic Complete involutive algebras of functions on cotangent bundles of homogeneous spaces, acccpted for publication in Math. Zeitschrift.

инвариантных кэлеровых структур (,/, на кокасательных расслоениях Т*(0{К) симметрических пространсГ^Кюлупро-стых групп Ли О;

2) в построении поляризаций, содержащих структуры Коши-Римана коразмерности 2 и инвариантных относительно гамильтоно-вых потоков систем Кеплера и М1С-Кеплера; в описании пространств горизонтальных сечений линейных комплексных расслоений, относительно частичных плоских связностей, определенных этими поляризациями;

3) в разработке метода редукции, позволяющего свести изучение (би)пуассоновых структур на пространстве (7- и нвариантных функций на кокасательных расслоениях Т*(С?/АГ) однородных пространств С/К компактных групп к изучению аналогичных объектов, но с более простой структурой отображения момента на соответствующем кокасательном расслоении.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации:

1) описаны все С-инвариантные кэлеровы структуры (7, П) на кокасательных расслоениях симметрических пространств ранга один полупростых групп Ли О; среди них выделен класс структур, инвариантных относительно нормализованного геодезического потока;

2) описаны все О-инвариантные кэлеровы структуры («/, П) на О-инвариантных областях В С Т*(С/К) кокасательных расслоений неприводимых эрмитовых симметрических пространств компактного типа, антикоммутирующие с комплексной структурой 3~ на Т*(С/К) (индуцированной однородной комплексной структурой на каждая такая пара задает гиперкэлерову структуру на Б;

3) построены поляризации, содержащие структуры Коши-Римана коразмерности 2 и инвариантные относительно гамильтоновых потоков систем Кеплера и М1С-Кеплера; описано пространство горизонтальных сечений линейных комплексных расслоений, относительно частичных плоских связностей, определенных этими поляризациями;

4)доказано, что для орбит присоединенного представления О = С/К полупростой компактной связной группы Ли О геодезический поток на симплектическом многообразии Т*0, соответствующий О-инвариантной римановой метрике на О (индуцированной би-инвариантной римановой метрикой на группе Ли О), является вполне интегрируемым в классе вещественно-аналитических интегралов;

5) для исследования пуассоновой алгебры (7- и н вар иант ных функций на Т*(С/К) предложен метод редукции, позволяющий свести изучение этой алгебры к аналогичной проблеме для однородного пространства с более простой структурой отображения момента на соответствующем кокасательном расслоении.

Методы исследования. Основным методом, который используется в работе, является метод редукции применительно к симплекти-ческим, кэлеровым и би-пуассоиовым структурам. В работе используются факты и методы симплектической геометрии, теории групп Ли и алгебр Ли, теории симметрических пространств.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты и методы, предложенные в ней, могут найти применение при исследовании геометрии кэлеровых и гиперкэлеровых структур, в теории представлений (как приложения метода геометрического квантования), в теории интегрируемых динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

♦ неоднократно на семинарах в Московском гос. университете им. М. В. Ломоносова (механико-математический факультет): по динамическим системам и эргодической теории (рук. акад. Д. В. Аносов, проф. Р. И. Григорчук и проф. А. М. Степин); по группам Ли и теории инвариантов (рук. проф. Э. В. Винберг и проф. А. Л. Онищик); на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений (рук. акад. А. Т. Фоменко);

♦ на семинарах кафедры комплексного анализа в Рурском университете в Бохуме (рук. проф. А. Т. Хаклберри), 10.04-31.05 2000 г. и 30.10-25.12 2001 г.;

♦ на семинаре кафедры алгебры Киевского национального университета (рук. проф. В. И. Сущанский), на семинаре отдела математических методов в физике Института теоретической физики НАН Украины (рук. проф. А. У. Климык), 13-19 сентября 2001 года;

♦ на семинаре кафедры геометрии в университете им. Кошута (рук. проф. П. Надь), Дебрецен, Венгрия, 23-24 июня 2003 г.;

♦ на семинаре кафедры геометрии в университете Eotvos Lorand, (рук. проф. Р. Шоке и проф. Л. Лемперт), Будапешт, Венгрия, 25-26 июня 2003 г..

и на конференциях:

♦ "XV Workshop on Geometric Methods in Physics, Quantizations, Deformations and Quantum Geometry", Беловежа, Польша, 1 -7 июля 1996 г.;

♦ "'XVI Workshop on Geometric Methods in Physics, Coherent States and Differential Quantum Geometry", Беловежа, Польша, 30 июня - 6 июля 1997 г.;

♦ "Workshop on Poisson Geometry dedicated to the memory of Stanislaw Zakrzewski", Варшава, 3-15 августа 1998 г.;

♦ Workshop "Representation Theory and Complex Analysis", Обер-вольфах, Германия, 23-29 апреля 2000 г.;

♦ "3-d International Conference on Geometry, Integrability and Quantization", св. Константин и Елена, Болгария, 14-23 июня 2001 г.;

♦ Workshop "Multihamiltonian Structures: Geometric and Algebraic Aspects", Бедлево, Польша, 9-17 августа 2001 г.;

♦ "4-th Conference Geometry and Topology of Manifolds", Криница, Польша, 29 апреля - 4 мая 2002 г.;

♦ "'XXI Workshop on Geometric Methods in Physics, Recent Developments in Quantization", Беловежа, Польша, 30 июня -6 июля 2002 г.;

♦ "5-th Conference Geometry and Topology of Manifolds'', Криница, Польша, 27 апреля - 3 мая 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях и двух монографиях.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, основного текста, содержащего 16 параграфов, сгруппированных в 4 главы, и списка литературы из 142 наименований. Общий объем диссертации — 266 страниц.

Содержание диссертации

Во Введении дается обзор исследований, связанных с диссертационной темой, и сформулированы результаты диссертации.

В главе 1 рассмотрены инвариантные кэлеровы структуры на (ко)касательных расслоениях римановых симметрических пространств. Глава 1 состоит из семи параграфов.

Пусть М — G¡К - риманово симметрическое пространство с полупростой группой Ли G и (компактной) подгруппой К. Стандартная <7-инвариантная метрика gM на G/K определяет геодезический поток с гамильтонианом IIна касательном расслоении T(G/K), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплекти-ческой 2-формой (индуцированной канонической симплектиче-ской структурой на кокасательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики). Обозначим через д и Е алгебры Ли групп Ли G и К. Тогда д == t ф т, где [6, т] С т, [т,т] С Е, и т естественно отождествляется с касательным пространством T0(G/K), о = {К}. Метрика определяется ограничением на ш некоторой инвариантной невырожденной билинейной формы {,) на алгебре Ли д.

Мы отождествляем почти-комплексную структуру J с ее распределением F = F(J) (0,1)-векторов, а почти-кэлерову структуру обозначаем парой («/, ft) или (F, ft), где ft - ее фундаментальная 2-форма. В §§1 и 2 показано, что существует взаимно однозначное соответствие между G-инвариантными почти-кэлеровыми структурами (F, ft) на G-инвариантных областях D С T(G/K) и К-эквивариантными отображениями

P-.W-+ End(mc), W = D П T0{G/I<) С m, (1)

для которых каждый эндоморфизм Рш,и] 6 IV, симметричен, а его вещественная часть положительно определена, Х-эквивариантность отображения Р означает выполнение условия

Ас1* ■Рь] • Ас!*-. = РА<и(ю), V«; € Щ к е К.

(2)

При этом распределение Р = Р(Р) инволютивно тогда и только тогда, когда отображение Р определяет некоторый гомоморфизм из алгебры Ли 0 в алгебру комплексных векторных полей на Сх IV. В терминах отображения Р существование такого гомоморфизма означает выполнение тождества

(3)

на Ж при всех (фиксированных) £,г] £ т (здесь Р(^) и Р{г)\ обозначают векторные поля на Ж со значениями и Рю^п) в точке и € Ш).

Рассмотрим разложение касательного пространства Т(ТМ) = в прямую сумму его горизонтальной компоненты , определенной связностью Леви-Чевита, ассоциированной с метрикой gM на М, и вертикальной компоненты V, касательной к слоям проекции ТМ М. Для произвольного элемента ю 6 Т0(0/К) пространства Н^ и естественно отождествляются с т = Т0{0/К). Фиксируя ортонормированный базис в ш, мы тем самым зафиксируем базис в Н^ Ф Ущ- В этом базисе матрицы 2-формы О, и кэлеровой метрики g(•, ■) = 7-, •) будут иметь вид

п" = ( 1 о )' = (

Рщ 8ц)Иу, Бц! БЩР

Р.,У Б-,,

\

Н-й )

(4)

Здесь через Яю и 5Ш, и> € IV обозначено вещественную и мнимую части эндоморфизма Рт € Епс1(тс).

Пусть 0 - каноническая 1-форма на ТМ ~ Т*М, т.е. (10 = Положим |ги| у/(гу, ю). В§2сследуются кэлеровы с т р у к т й), для которых функция от является их потенциальной функцией. Доказано следующее утверждение.

Предложение 1.2.5. Пусть (F, iî) - G-инвариантная. кэлерова структура на G'-инвариантной области D в проколотом касательном расслоении риманова симметрического пространства GJK. Пусть q : —>• R - вещественная гладкая функция [\W\ С R+). Равенство В = Imfl(go ч/Я) для (F=F(P), П) имеет место тогда и только тогда, когда каждый вектор w 6 W есть собственный вектор оператора

Pw с собственным значением А(|эд|) = —J—|у. Тогда, в частности,

А ~ положительная функция и Î2 = idd(q о у/Н), т.е. (q о у/Н))1! -

потенциальная функция для (F,Q).

В §3 рассматриваются кэлеровы структуры, которые, дополнительно, инвариантны относительно гамильтонова векторного поля ^Vh Функции у/Н. Показано, что тогда отображение Р (1) удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению, которое решается явным образом. Решение существует только тогда, когда ранг симметрического пространства G/K равен 1 и оно компактно.

Теорема 1.3.4. Пусть M = G/K - полупростое риманово симметрическое пространство ранга один. Предположим, что F - G-инвариантная положительно-определенная поляризация определенная на G-инвариантном открытом подмножестве D в ТМ, 0 ^ W. Пусть Pw : ШС —> mc,w G W, - соответствующее семейство линейных отображений. Если поляризация F инвариантна относительно гамильтонова векторного поля функции у/11, то симметрическое пространствоС/К имеет компактный тип и

где - гладкая функция с положительной

вещественной частью.

Обратно, комплексное распределение F = F(P), где отображение Р определено условием (5) и G ¡К - симметрическое пространство компактного типа, является положительно-определенной поляризацией на D.

Пусть а : T(GjK) —ï T(G/K) обозначает инволюцию, которая отображает произвольный касательный вектор Y в точке дК в век-

тор —У в этой же точке дК. Очевидно, что <7*(.Р(Р)) = Р(Р), т.е. а аитиголоморфнаяинволюция,тогдаитолькотогда,когда Рт = Р~ю, Уги € IV. Для отображения Р (5) это эквивалентно вещественности функции А. Следующая теорема описывает свойства положительно определенной поляризации Р(Р) (см. теор. 1.3.4).

Теорема 1.3.7. Пусть М = С/К - симметрическое пространство компактного типа ранга один и пусть д : М+ -> К - гладкая строго возрастающая функция. Для класса функций [д + С]<7ек существует единственная О-инвариантная положительно определенная поляризация Р = Р(д) на проколотом касательном расслоении Т°М = ТМ \ М такая, что

(1) / инвариантна относительно гамильтонова векторного поля

функции у/Н;

(2) один-форма 1т с = (до ^/Н), совпадает с канонической один-формой

(3) отображение а является антиголоморфной инволюцией. Более того, для этой поляризации Р --- Р{д):

(a) Р = Р(Р), где Р задается формулой (5) с А(го) = 2|ц;|/</(|ш|), ■ш € т \ {0};

(b) функция удовлетворяет однородному комплексному уравнению Монжа-Ампера {ддуЩ)А™м = 0 па Т°М тогда и только тогда, когда

Определение 1.4.1. Будем говорить, что комплексная структура на области метрически согласована, если для произвольной геодезической отображение 7 : С —» Т((7/Я"), (х + гу) н» уу(х) голоморфно на открытом множестве7_1(Д). Если область D содержит нулевое сечение С?/К С Т(0/К), то такая комплексная структура называется адаптированной [2].

" Если адаптированная комплексная структура существует, то она единственна [1,2]. В параграфе 4 мы доказываем критерий адаптиро-ванности комплексной структуры (Р(Р),П) на области^ С Т(С/К),

содержащей нулевое сечение G/K: Pw(w) = w, w € W, и приводим пример комплексной структуры, которая является метрически согласованной, но не является адаптированной, т.е. исключение из определения адаптированной комплексной структуры одного условия регулярности в окрестности нулевого сечения приводит к потере единственности. Далее описаны адаптированные структуры на T(G/K) для компактных п р о с т р а нс/£Г( н е обязательно симметрических), а в случае симметрических пространств найдены явные выражения для оператор-функции Р в терминах оператора ad^ : m m,£ >-> [u;, [и>,£]].

Параграф 5 носит вспомогательный характер. В нем рассмотрено действие группы диффеоморфизмов на множестве кэлеровых структур (F, П) и получена формула для тензора кривизны проективной плоскости Кэли F^/Spin(9) в терминах 16-мерного спинорного представления группы Spin(9), которое мы реализуем с помощью алгебры октонионов.

Параграф б содержит один из основных результатов этой главы. В нем описаны все G-инвариантные кэлеровы структуры на областях D С T(G/K) для римановых симметрических пространств G/К ранга один размерности > 3 с полупростой группой Ли G (как компактного так и некомпактного типов). Список рассмотренных тут компактных пространств G/K включает сферьРйрмплекс-ные и кватернионные проективные пространства СРп, ELP" и проективную плоскость Кэли СаР2 = F4/Spin(9). Здесь под описанием мы понимаем нахождение всех решений уравнения (3) относительно неизвестного отображения Р, которое задает почти-кэлерову структуру. Найденные решения фактически параметризуются одним функциональным параметром A(i) и одним комплексным параметром из С (константой интегрирования). Из-за большой группы симметрии уравнение (3) редуцируется к обыкновенному дифференциальному уравнению Риккати, зависящему от одного функционального параметра X[t). Это уравнение Риккати разрешимо, поскольку частные его решения определяются кэлеровыми структурами с оператор-функцией Р (5), найденными в §3. Все решения Р выписываются явно в терминах упомянутых выше функционального и

числового параметров, а также дополнительных эндоморфизмов на пространстве т, которые определяют на m комплексную структуру, если G/K = СРп, кватернионную структуру, если G/K = HP", 16-ти мерное спинорное представление группы К ~ Spin(9), если G/K=F4/Spin(9).

В §7 доказано, что все найденные в §б кэлеровы структуры для комплексного проективного пространства СРп и для кватернионного проективного пространства НРП, для к о т о р ыж - антиголоморфная инволюция, могут быть получены с помощью кэлеровой редукции Гийемина-Стернберга [23] из аналогичных, найденных нами кэлеро-вых структур на касательном расслоении сферы в первом случае и ш = An + 3 во втором. Доказательство использует явный вид оператор-функций определяющих эти кэле-

ровы структуры. Взаимно-однозначное соответствие между такими структурами на исходном пространстве и редуцированном пространстве установлено явно: оператор-функции Р исходной и редуцированной структуры задаются идентичными параметрами при выборе согласованных друг с другом метрик gM на S 2,1+1 и

HP".

Риманово 4п-мерное многообразие (X, g) называется гиперкэле-ровым, если его группа голономий содержится в группе Sp(n). Рима-ново многообразие является гиперкэлеровым тогда и только

тогда, когда на X существуют две антикоммутирующие комплексные структуры Ji,J2 (J1J2 = —J2J1) такие, что обе они параллельны (т.е. есть кэлерова метрика относительно каждой из них). Отметим, что произведение J3 = J1J2 также является параллельной комплексной структурой на X. Вообще на X существует целая сфера {zjlJi +X2J2 + ^з7з}, (х\,Х2,х$) 6 S2 параллельных (кэлеро-вых) структур. В силу теоремы Берже гиперкэлерово многообразие риччи-плоско, а, значит, является многообразием Эйнштейна. Обозначим через фундаментальные (кэлеровы) 2-формы, соответствующие {(«/fc)g)}jt=i? т.е. uik[Y,Z) — g(—JkY,Z). Комплексная 2-форма (¿2 + гшз параллельна и J\-голоморфна, т.е. является ком-

[23] V. Guillemin, S. Sternberg Geometric quantization and multiplicities of group representations // Invent. Math - 1982.- V. 67.- P. 515-538.

плексно симнлектической структурой на комплексном многообразии

Пусть G/K - эрмитово неприводимое симметрическое пространство компактного типа полупростой группы Ли G. Тогда кокаса-тельное расслоение T*(G/K) является комплексно симплектическим многообразием. Изоморфизм T*(G/K) ~ T[G/K) определяет на T(G/K) комплексную структуру J' и вещественную каноническую симплектическую 2-форму Q. Эта комплексная структура J~, как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры J+ на T(G/K), индуцированной исходной комплексной структурой на G/K. В главе 2 явно описаны все G-инвариантные кэле-ровы структуры (J, П) = (J(P),ii) (с кэлеровой формой 17) на G-инвариантных областях антикоммутирующие с ком-

плексной структурой J~. Каждая полученная гиперкомплексная структура, т.е. антикоммутирующая пара вместе с соответ-

ствующей метрикой определяет гиперкэлерову структуру на D.

Глава 2 состоит из трех параграфов. Параграф 1 носит вспомогательный характер. В нем все нужные нам понятия кэлеровой геометрии мы переформулируем на языке, допускающем естественную редукцию, - на языке поляризаций (распределений) и 2-форм вместо почти-комплексных тензоров и метрик как обычно.

В §2 мы, используя замкнутость фундаментальной 2-формы кэлеровой структуры (J~,g), переписываем уравнение (3) на искомое отображение Р, которое задает почти-кэлерову структуру J(P), в новых терминах. Получаем, что условия антикоммутирования J(P)J~ = —J~J(P) выполнены тогда и только тогда, когда для всех w Е W: PWI = IPW, где эндоморфизм / : m —> т. /2 = — 1 (поэлементно коммутирующий с группой задает однородную комплексную структуру на G/K. Более того, искомое отображение Р удовлетворяет уравнению

и задает некоторое (локальное) антиголоморфное отображение / : W —> тп {W С ш) относительно канонической комплексной Ad(/£) инвариантной структуры I на ш. Здесь черезй^бозначена производная вдоль вектора Это отображение связано с Р следующим

соотношением = /»ш, V?« £ Ж, где касательное отображение

/.г,, в каждой точке к; естественным образом рассматривается как эндоморфизм на т = ТШ\У. Тут уместно отмстить, что аналогичные уравнения на Р другим методом получены О. Бигаром и Р. Годюшо-ном [15] (при переводе на язык отображения Р), но в доказательстве леммы 2.1 (о единственности) в их работе [15] имеется пробел. В частности, из доказательства этой леммы в [15] следует, что отображение / всегда нулевое. Это не так. Явное выражение для антиголоморфного отображения / дает следующее предложение:

Предложение 2.3.10. Пусть (.7(Р),Г2) - кэлерова структура на Б, такаячтоР1 ~ 1Р. Тогда ЗЛ-1 = {а\ 4- «2/)Т» на IV, где 0,1,0,2 € К

и Т - рациональное К-эквивариантное отображение на ш, определенное формулой

Эндоморфизм : т —> ш, где т принадлежит множестЩх регулярных точек функции Т, антикоммутирует(I тогдаитолъкотогда, когда все корни из ограниченной системы корней Е симметрического пространств^? / К неделимы, т.е. Е имеет тип Сг, т — гапк(<7//Г).

Для неприводимых пространств с ограниченной системой корней второго типа (ВС)Г (из двух возможных) все/ д=гО.Н о так как все такие нетривиальные отображения если

имеют особенность в окрестности нулевого сечения,

то само утверждение леммы 2.1 из [15] оказывается верным, поскольку речь в нем идет о глобальных гиперкэлеровых структурах (определенных на всем касательном расслоении Т(С¡К)). В этом случае отображение Р вещественно, т.е. 5 = 0. Как видно из формул (4), метрики, определяемые посредством Р с ненулевой мнимой частью, существенно отличаются от глобально определенных метрик: для них разложение Т(ТМ) = Н^ ® V не является ортогональным.

Таким образом в §3 найдено множество отображений Р, содержащее все искомые, не только глобально определенные, решения. Дальше доказан и сформулирован основной результат главы 2 - теорема 2.3.12, которая описывает искомые гиперкэлеровы структуры

(,/ = J(P),íl), 33~ = —3~3 вместе с их максимальной областью определения.

Структура отображения Р зависит от типа ограниченной системы корней Е симметрического пространства О/К. Для каждого из двух возможных типов мы определим множество АР С К3 х {±1}:

Для элемента а = (ао, аь 02, е) € „Дс, пусть

если + а^ > 0 и а^ = —ао, если а\ = 02 = 0.

Пусть а - некоторое подпространство Картана (максимальная абелева подалгебра) в т. Тогда подалгебра Ли алгебры д, порожденная подпространствами а и 1а, изоморфна полупростой компактной алгебре Ли д = 0л где д^ — йи(2). В каждой из подалгебр Ли можно выбрать базис

и выполнены коммутационные соотношения Положим

Это подмножество в подпространстве Картана а определяет единственное А с! (К") - и н в а р и а н тн о е открытое связное подмножество вше П а = Для а Е Лвс, пусть = ш, если е — 1

и = ш \ {0}, если е — —1. Обозначим через единствен-

ное открытое (г-инвариантное подмножество в Т((7/К) такое, что

Центральным результатом главы 2 является следующее утверждение.

Теорема 2.3.12. Пусть («7(Р),П) - С-инвариант ная кыеровас трук-тура на G-инвариантной области И С Т(С/К), где (7/К - неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа.

Предположим, что 1Р = Р1 на ИЛ Тогда существует единственная четверка,(ао,а\,а,2,£) € Л^ такая, Што И^р и

Обратно, для произвольного (ао, а\, <22> £) € так заданная оператор-функция Р определяет кэлерову структуру (,7(Р),П) на некоторой максимальной непустой О-инвариантной области С Т(0/К). Эта структура антикомму тирует с «7~. Пара антикомму-тирующих комплексныхструктур ((«/(Р), .7") определяет гипер-кэлерову структуру на О^.

Больше того, если а-2 - 0, то эта кэлерова структура = (10) допускает О-инвариантную потенциальную функцию С}, т.е. О = 2если, дополнительно, а\ = 0, то в = 2\та.д(2. Функция ф единственным образом определяется Ас1(Х)-инвариантной функцией ю (д(— — а¿^.^и), ги) на IV С ш, где

- 1 [ йЬ

В случае, когда ох = аг = 0 и ао > 0 описанные выше гиперкэле-ровы структуры совпадают со структурами, найденными О. Бигаром и П. Годюшоном[15].

В главе 3 мы рассматриваем гамильтоновы динамические системы: многомерную проблему Кеплера и проблему М1С-Кеплера. Применяем метод редукции при построении для них инвариантных поляризаций ¥, содержащих инвариантные структуры Коши-Римана коразмерности 2, и проведения вычислений размерностей соответствующих пространств Б-горизонтальных (голоморфных) сечений (кратностей собственных значений квантовых операторов). Глава 3 состоит из трех параграфов.

Параграфы §§1 и 2 носят вспомогательный характер. Их результаты потом используются для проведения вычислений в §3. Пусть

I : L М - комплексное линейное расслоение над связным многообразием М, т.е. /_1(т) ~ С, Vm Е М. Пусть F С (ТМ)С обозначает комплексное распределение на М. Частичная связность VF на L отличается от обычной связности только тем, что определяет ковариантную производную для векторных полей Y, которые касаются F. Частичная связность является плоской, если [Vy,V£] = Vlyzy Частичные плоские связности исследовались К. Гавендски [24] и Дж. Раунсли[19]. Эти исследования мотивировались в основном потребностями теории геометрического квантования. В §1 мы доказываем, что если комплексное распределение F интегрируемо (F и F + F инволютивны), то частичная плоская связность на продолжается до связности Далее мы

изучаем эти продолжения с точки зрения свойств формы кривизны curvV продолжения V по отношению к распределению /'. Рассмотрим вещественное распределение D, Dc = FDF и предположим, что естественная проекция р : М М' = M/D - локально-тривиальное расслоение с сепарабельным базовым слоем. Основной результат §1

- это следующая теорема.

Теорема 3.1.9. Группы голономий G(m'), m! € М', связностей (Vi,,b|p-1(m')) не зависят от выбора точки тогда и только тогда, когда у каждой точки т' 6 М' существуетокрестностьО' и продолжение VF до связности V навсейокрестности р_1(0') с формой кривизны и такой,что oj(D,TAi)\p~l(0') = 0.

Предгильбертово пространство процедуры геометрического квантования Костанта-Сурио состоит из решений уравнений VyS = 0 (s

- сечение некоторого линейного расслоения L над М) для векторных полей Y, касающихся комплексной поляризации F С (ТМ)С. Хорошо известно, что если группа голономий ограничения V^ на слои вещественного подрасслоения нетривиальна, то у этого уравнения не существует глобальных гладких решений. Носители же обобщенных решений являются подмножествами объединения BS всех D-слоев с тривиальной группой голономий. В §2

[2d] К. Gawedzki Fourier-like kernels in geometric quantization // Dissertationes Mathematicae.- 1976.- V. 128.- P. 1-80.

мы показываем, что для широкого класса поляризаций множество /¿Л' является объединением Е-слоев, т.е. интегральных многообразий вещественного распределения Е, где 1?с = Р + Р.

Интегрируемая поляризация F строго допустима [24]. когда распределения D и Е регулярны, т.е. когда определены следующие суб-мсрсии:

Мы доказываем следующее предложение, которое при упрощении некоторых предположений относительно поляризации F можно сформулировать следующим образом.

Предложение 3.2.3*. Пусть F - строго допустимая поляризация. Предположим, что 7Тр : М М/И - локально тривиальное расслоение. Тогда множество ВБ есть объединение слоев (интегральных многообразий) вещественного распределения Е С ТМ,т.е. если Оа - интегральное многообразие распределения И С ТМ и £>о С Е0 П ВБ, то Е0 С ВБ.

Всюду дальше в этой главе рассматриваются только строго допустимые поляризации. Мы строим на пространстве обобщенных сечений структуру гильбертова пространства такую, что каждая вещественная функция с полным гамильтоновым векторным полем, сохраняющим поляризацию, посредством процедуры геометрического квантования порождает одно-параметрическую группу унитарных операторов.

В последнем параграфе 3 главы 3 найдены инвариантные поляризации F для двух гамильтоновых систем - многомерной проблемы Кеплера и проблемы MIC-Кеплера. Под системой М1К-Кеплера мы понимаем гамильтонову систему на фазовом пространстве X = с симплектической структурой

и функцией Гамильтона

где = Як^ • Эта система описывает движение заряжен-

ной частицы в присутствии монополя Дирака В^ = ньюто-

новского потенциала —к/|д|, и центробежного потенциала /х2/(2|д|2). При эта система вырождается в трехмерную систему Кеплера.

Метод нахождения инвариантных поляризаций состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Xй — {л: € X : Н[х) = а} гамильтониана Н и ищем согласованные вложения (ра многообразий Ха в модельное симплектическое многообразие Т*М№ такие, что орбитам (траекториям) потока Хц\Ха соответствуют в <ра(Ха) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на

Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие фа(Ха) С Т*К'У, структуру Коши-Римана, а, значит, и структуру Коши-Римана (¿аГ\(2а = 0 на Ха. Необходимо, чтобы полученное таким образом однопараметрическое семейство (Ха, (}а) вместе с гамильтоновым векторным полем Хн порождало поляризацию Р на (X, ш). Ее инвариантность относительно потока Хн следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с однопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для двух рассматриваемых гамильтоновых систем, для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Сразу заметим, что для проблемы М1С-Кеплера конструкция применяется не напрямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме М1С-Кеплера.

Дальше в §3 исследуются соответствующие пространства F-горизонтальных сечений линейных расслоений полуформ, ассоциированных с поляризацией F, причем, для системы М1С-Кеплера это делается с использованием метода редукции (симплектической и

КЭЛСрОЕОЙ).

Глава 4 диссертации посвящена исследованию пуассоновой алгебры (г-инвариантных функций на (ко)касательном расслоении T{G/K), где группы Ли (7 и К редуктивны. Мы отождествляем T*(G/K) и T(G/K) с помощью (псевдо)римановой метрики g^ на М = G/K, индуцированной би-инвариантной (псевдо)римановой метрикой на G. Основной инструмент исследования - отображение момента J : T(G/K) —» д*, ассоциированное с действием G на

Пусть АР обозначает множество вещественно-аналитических (7-инвариантных функций на T(G/K), a ZG - центр алгебры

Ас относительно канонической пуассоновой структуры на (T(G/K),Sl). Пусть ddim.AG - дифференциальная размерность пространства функций А°. Положим 2e(G,K) = ddim.4G — ddim ZG.

Так как группы Ли G и К редуктивны, то имеется ортогональное (относительно невырожденной инвариантной билинейной формы (,) на д, определяющей (псевдо)риманову м е т р и gig н а М) Ad(K")-инвариантное разложение 0 = m ® Е. Тогда пространство естественным образом отождествляется с пространством А^ всех Ad(K)-инвариантных вещественно-аналитических функций на m = T0(G/K).

В §1 показано, что максимальное число функций в инволюции вида/ioj u&T(G/K) равно dim(G/K)—e(G,K) и найдено выражение для характеристики с = e(G,K) в терминах централизатора 01 С 0 элемента общего положения х £ тп:

dim(07(0* nt)) + \ dim(0/0*) = dim(0/t) - е.

Это тождество переписывается в виде

(rank 0 — rank Е1) + dimit/t1) = dimm — 2е,

где tx =f 6П01, т.е. как выражение для сложности <5(GC, ,ЙГС) аффинного алгебраического многообразия Gc/Kc в работе Д. Панюшева [25], если заменить е на <J.

[25] D.I. Panyushev Complexity and rank of homogeneous spaces // Geometriae Dedicata.- 1990.- V. 34.- P. 249-269.

Один из основных результатов - это теорема, которую в случае, когда группа Ли G компактна можно переформулировать следующим образом.

Теорема 4.1.11*. Пусть О - компактная группа Ли, 1о £ ш = Т„{С/К) - элемент общего положения. Пусть С! - компонента единицы стабилизатора алгебры 6го в С1, т.е. группы Ли {5 6 С : А(1 д(г) =

г, Уг 6 К *== К Г)Сг. Однородное многообразие С!/¿естественно вложено в С/К как орбита элемента о = {К} € С/К. Тогда существует (г-инвариантная (соотв. С-инвариантная) окрестность и с Т(С/К) (соотв. й С Т{д/к)) и диск В? С Т(д/К) С Тф/К), содержащий точку размерности р = (1сНт Ас такие, что

(1) и ~ £)Р х (С • х0) и и ~ ГР х (<? • хо);

(2) каждой (¡-орбите С ■ х в окрестности Л соответствует единственная (¡¡-орбита (С• х)Г\и в и, т.е.пространстваинвариант-ных функций А°\и и А^\и изоморфны;

(3) алгебра Ли группы изотропии (стабилизатора) точки общего положения х € Т(С / К) для действия СИ наТ(Сг/К)содержится в центре алгебры Ли 0 группы Ли 0.

Дальше в §1 доказано утверждение о вещественно-аналитической интегрируемости всех (7- инвариантных гамильтоновых систем на касательном пространстве Т(С!/К), если е(С,К) = 1: доказано, что число е((7, К) совпадает со сложностью пространства <$((3С, Кс), где О - компактная группа Ли. Напомним, что сложность 3(Сс,Кс) пространства Сс/Кс - это коразмерность орбиты максимальной размерности подгруппы Бореля В С в комплексном аффинном алгебраическом многообразии (?С/К'С. Факт совпадения характеристик отмечен одновременно в нашей работе [А10] и в работе Э. Б. Винберга [26].

Нужно отметить, что комплексные аффинные пространства Сс/Кс,

как сложности 1 так и произвольной сложности, алгебраическими методами изучал Д. Панюшев в работе [25], упомянутой выше,

[26] Э. Б. Винберг Коммутативные однородные пространства и коизо-тропные симплектические действия // Успехи матем. наук.- 2001.- Т. 6, Л'51.- С. 3-62.

и в следующей своей работе [27] он получил список всех редуктив-ных пространств Gc/Kc сложности 1, когда группа Ли Gc простая. Мы в §1 главы 4, используя иной подход, основанный на изучении алгебры G-инвариантных функций на T*(G/K) как пуассоновой алгебры, и другой метод доказательства, получаем этот же список. Задача о классификации пространств сложности 1 была сформулирована Э. Б. Винбергом в работе [28].

Рассмотрим коприсоединенное действие редуктивной группы Ли G на 0* и некоторую (7-орбиту О С д*, проходящую через полупростой элемент а Е g* ~ д. Тогда О = G/K, где К - замкнутая редуктивная подгруппа в G (изотропная группа элемента а). Через шо обозначим симлектическую форму Кириллова-Костанта-Сурио на орбите О, через П каноническую симплектическую структуру на Т*0 ^ ТО. Пара симплектических 2-форм П и р*шо, где р : ТО О - естественная проекция, определяет на касательном расслоении би-пуассонову структуру

{^(wo)}teR2 = {hm + hm, h-M € R),

где - обратные пуассоновы би-век-

торы. В §2 мы формулируем следующий вспомогательный результат - теорему А. Панасюка (см. [29]). Эта теорема утверждает, что пара (AG, {77<(k>o)}tei£2l-<4G) микро-кронекерова, если действие группы Ли локально свободно. В случае компактной группы Ли G микро-кронекеровость этой пары означает, что линейное семейство пуассоновых структур {^t(ÜJo)}tcR2 Iia ТО, будучи ограниченными на пространство функций AG\U трубчатой окрестности индуцирует на дискемикро-кронекерову би-пуассонову структуру. Напомним, что би-пуассонова структура

[27] D. I. Panyushev Complexity of quasiaffine homogeneous varieties, t-decompositions, and affine homogeneous spaces of complexity 1 // Advances in Soviet Math.- 1992.- V. 8.- P. 151-166.

[28] Э. Б. Винберг Сложность действий редуктивных групп // Функц. анализ и его прил.- 1986 - Т. 20, вып. 1.- С. 1-13.

[29] A. Panasyuk Projections of Jordan Ы-Poisson structures that are Kroneker, diagonal actions, and the classical Gaudin systems // Journal of Geometry and Physics.- 2003.- V. 47.- P. 379-397.

{7?{}<еЕ2 на многообразии X называется кронекеровой в точке х Е X, если ранг кососимметрической билинейной формы т]*х на Т*Х постоянен для всех ненулевых комплексных . Эта структура называется микро-кронекеровой, если она кронекерова на открытом плотном подмножестве в X [30]. В силу теоремы Болсинова [31] при выполнении некоторых технических условий функции Казимира микро-кронекеровой би-пуассоновой структуры, состоящей из вырожденных структур, порождают максимальное инволютивное семейство функций на

Параграф 3 содержит основной результат главы 4. Это следующая

Теорема 4.3.9. Для произвольной полупростой орбиты О = О/К в д* ~ д пара {Ас, {??г(шр)}<ек:2|-<4с) микро-кронекерова.

Ее доказательство в компактном случае - это проверка того, что изоморфизм пространств функций (см. тео-рему4.1.11*) продолжается до изоморфизма пуассоновых алгебр функций, так как пространство (7/К само является орбитой О того же полупростого элемента а Е д П Но на ТО действие группы Ли АОД уже локально свободно. По сути эта же теорема в случае, когда О - классическая компактная полупростая группа Ли, доказана Л. Болсиновым и Б. Йовановичем в работе [22]. Но метод доказательства в [22] использует матричные представления классических полупростых алгебр Ли, и поэтому возникают трудности с его обобщением на неклассические простые группы Ли.

Пусть К\ обозначает алгебраическую подгруппу Ли в К, содержащую коммутант К' компоненты единицы группы Кг Пусть 3 -центр алгебры Ли 6 = да, 61 - алгебра Ли группы Ли К\. Тогда справедливо ортогональное разложение 3 = 3»®3ь где 31 = зП^. Обозначим через - симметрический линейный

[30] И. Гельфанд, И. Захаревич Спектральная теория для пары косо-симметричных операторов на Б1 // Функц. анализ и прил.- 1989.- Т. 23, вып. 2.- С. 1-11.

[31] А. В. Болсинов Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли и полнота семейств функций в инволюции // Известия АН СССР, сер. Мат.-1991.- Т. 55, ЛИ.- С. 68-92.

оператор, (линейный) секционный оператор Мищенко-Фоменко, который определяется на пространстве Ш[ = 3« ф m следующим образом: <pa,b,D{x) = 1 [6,je], если X е m, и <ра,ь,о(х) — D{x), если х G 3». Тогда Ad(K"i)-инвариантная функция ha,b,D{x) = <pa,b,D(x)) на mi, рассматриваемая как G-инвариантная функция на T(G/Ki), является гамильтонианом некоторой (псевдо)римановой метрики на G/Ki, если оператор <pa,b,D невырожден. Как применение теоремы 4.3.9 получается

Теорема 4.3.10. На симплектическом многообразии T*[G/K\) ~ T{G/K\) существует максимальное инволютивное множество, состоящее из независимых вещественно-аналитических функций. Эти функции являются интегралами для

(1) геодезического потока псевдо-римановой метрики на G/K\, определенной формой {, ) на g;

(2) гамильтонова потока с функцией Гамильтона habD на Т{С/КХ).

Другими словами, эти потоки вполне интегрируемы в классе вещественно-аналитическихинтегралов.

Некоторые из этих метрик являются римановыми даже тогда, когда группа Ли G некомпактна; соответствующий пример приведен в конце параграфа 3. Сформулированный результат является обобщением теоремы 3.4 из работы [22], где приведено его доказательство, когда G — U(n). Метод доказательства из [22] обобщается на случай компактных групп Ли , так как можно использовать

матричное описание подгрупп максимального ранга во всех классических полу простых группах, найденное в работе Е. Б. Дынкина [32]. По сути теорема 4.3.10 подтверждает предположение, высказанное в [22] для произвольных компактных групп Ли G.

Здесь уместно сказать несколько слов о тех дополнительных e(G,Ki) интегралах (функциях Казимира пуассоновых структур

ограниченных на к интегралам вида

h о J, которые мы находим. Это элементы множества, состояще-

[32] Е. Б. Дьшкин Полупростые подалгебры полупростых алгебр Ли // Матем. сборник.- 1952,- Т. 30(72).- С. 319-462.

го из (г-инвариантных функций на Т(0/К\), однозначно определяемых А (1 (Кх)- и н вар и антн ы м и ф у н к/^х)и=я/(ш +иЛа^ а Ш! = Т{к1}(0/К\), где / - А(1(С)-инвариантный полином на алгебре Ли д. Из микро-кронекеровости пары

силу теоремы Болсинова [31]) и некоторых алгебраических свойств редуктивной нары (д, 61) следует полнота и инволютивность этого множества функций. Эти же функции использовались в качестве дополнительных интегралов в работе [22].

Я выражаю глубокую признательность своему учителю профессору Анатолию Михайловичу Стёпину, который на протяжении многих лет направляет и вдохновляет меня. Наши продолжительные плодотворные дискуссии внесли неоценимый вклад в представленную работу.

Работы автора по теме диссертации

[А1] И. В. Микитюк Об интегрируемости инвариантных гамиль-тоновых систем с однородными конфигурационными пространствами // Матем. сборник.- 1986.- Т. 129, №4.- С. 514534.

[А2] И. В. Микитюк Кэлеровы структуры на касательных расслоениях симметрических пространств ранга один // Матем. сборник.- 2001.- Т. 192, №11.- С. 93-122.

[A3] И. В. Микитюк Инвариантные гиперкэлеровы структуры на кокасателъных расслоениях эрмитовых симметрических пространств И Матем. сборник.- 2003.- Т. 194, №8.- С. 113-138.

[А4]* А. К. Прикарпатский, И. В. Микитюк Алгебраические аспекты интегрируемости нелинейных динамических систем на многообразиях.- Киев: Наукова думка, (СССР) 1991.- 285 с.

* В монографии [А4] автором диссертации написаны главы 1, 2 и §§3-6 главы 4; все результаты из этих глав, включенные в диссертацию,

[Л5] И. В. Микитюк Гиперкомплексные и гиперкэлеровы структуры на кокасательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств ранга один // Успехи матем. наук.- 2003.-Т.58, №1.-С. 189-190.

[Л6]** А. К. Prykarpatsky, I. V. Mykytiuk Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds. Classical and quantum aspects.- Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1998.- Math, and its Appl.- V. 443.- 553 p.

[A7] I. V. Mykytiuk Geometric quantization: Hilbert space structure on the space of generalized sections // Reports of Math. Phys.- 1999.-V. 43, no. 1/2.- P. 257-266.

[A8] I. V. Mykytyuk Extensions of partial flat connections // Diff. geometry and its applications.- 2000.- V. 12.- P. 145-156.

[A9]*** I. V. Mykytyuk, A. M. Stepin Classification of almost spherical pairs of compact simple Lie groups // Banach Center Publ.- 2000.-V. 51.- P. 231-241.

[A10] I. V. Mykytyuk Actions of Borel subgroups on homogeneous spaces of reductive complex Lie groups and integrability // Compositio Math.- 2001.- V. 127, no. 1.- P. 55-67.

[All] I. V. Mykytyuk The Lie triple system of the symmetric space F/Spin(9) // Asian J. of Math.- 2002.- V. 6, no. 4.- P. 713-718.

[A12] I. V. Mykytyuk Invariant Kahler structures on the cotangent bundle of compact symmetric spaces // Nagoya Math. Journal.-2003.- V. 169.- P. 191-217.

** Как отмечено в предисловии к монографии [А6] в ней диссертантом написаны главы 1 и 2; результаты из главы 2 монографии [А6], вошедшие в диссертацию и составляющие основное содержание §3 главы 3 диссертации, принадлежат диссертанту.

*** В совместной работе [A9j А. М. Стёпину принадлежит постановка задачи и руководство работой.

р-9166

Введение

1 Кэлеровы структуры на кокасательных расслоениях симметрических пространств

1 С-инвариантные кэлеровы структуры на Т(С/К)

1.1 Поляризации.

1.2 С-инвариантные комплексные структуры.

2 С? -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств.

2.1 О-инвариантные комплексные структуры на касательных расслоениях симметрических пространств

2.2 Потенциальные функции.

3 Кэлеровы структуры на областях касательных расслоений симметрических пространств, инвариантные относительно нормализованного геодезического потока.

3.1 Алгебраическое уравнение.

4 С-инвариантные метрически согласованные комплексные структуры на Т(0/К)

4.1 Основная лемм а.

4.2 Адаптированные комплексные структуры наТ(0/К).

5 Инвариантные кэлеровы структуры и тензор кривизны симметрического пространства.

5.1 Кэлеровы структуры и локальные диффеоморфизмы

5.2 Каноническая кэлерова структура и локальные диффеоморфизмы

5.3 Тензор кривизны проективной плоскости Кэли

6 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств ранга один.

6.1 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях Б в касательных расслоениях пространств

50(п + 1)/50(п) и 5О0(1,п)/5О(п) (п > 2)

6.2 К -эквивариантные отображения.

6.3 Нормирование.

6.4 Основная лемма.

6.5 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях D

7 Редукция.

7.1 Редукция и поляризации.

7.2 Редуцированные кэлеровы структуры на ТСРП и ТШРП.

7.3 Редукция и адаптированные структуры.

Инвариантные гиперкэлеровы структуры на кокасательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств

1 Антикоммутирующие комплексные структуры.

2 Инвариантные кэлеровы структуры на эрмитовых симметрических пространствах

2.1 G-инвариантные кэлеровы структуры (J(P),Q)

2.2 Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств

2.3 Гиперкэлеровы структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств

3 Гиперкэлеровы структуры на неприводимых эрмитовых симметрических пространствах.

3.1 Системы корней эрмитовых симметрических пространств

3.2 Инвариантные отображения и корневые системы эрмитовых симметрических пространств.

3.3 Основная теорема.

3 Инвариантные поляризации и частичные плоские связности

1 Продолжение частичных плоских связностей.

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Дифференцирования.

1.3 Плоские частичные связности и их продолжения.

2 Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений

2.1 Строго допустимые поляризации.

2.2 Структура гильбертова пространства.

2.3 Гильбертово пространство.

3 Гамильтоновы системы осцилляторного типа: инвариантные поляризации и их применение в геометрическом квантовании

3.1 Обобщенный п-мерный осциллятор: инвариантные поляризации и структуры Коши-Римана.

3.2 Многомерная система Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании

3.3 Система MIC-Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании

4 Пуассоновы алгебры G-инвариантных функций на T*(G/K) 200 1 Каноническая структура Пуассона на T*(G/K): структура алгебры G-инвариантных функций и действие подгрупп Бореля на однородном пространстве Gc/K€.

1.1 Отображение момента и гамильтоново действие

1.2 Пары редуктивных алгебр Ли.

1.3 Пары редуктивных алгебраических алгебр Ли

1.4 Каноническая пуассонова структура и почти-сферические однородные пространства.

1.5 Действия подгрупп Бореля на однородных пространствах редуктивных алгебраических групп Ли . 219 1.6 Почти сферические подалгебры простых алгебр Ли

2 Инвариантные би-пуассоновы структуры на Т* (С?/К), пространство С-инвариантных функций и редукция

2.1 Основные обозначение и определения.

2.2 Би-пуассоновы структуры {г)*(а)} на Т*М.

3 Редукция.

3.1 Би-пуассонова структура {г}ь{шо)} в явных формулах

3.2 Би-пуассоновы структуры {г]1(шо)} '■ максимальные инволютивные семейства функций.

3.3 Би-пуассонова структура {^(соо)}: редукция.

3.4 Интегрируемые геодезические потоки.

Основным объектом исследования в работе являются комплексные (?-инвариантные поляризации Р на кокасательных расслоениях Т*(С/К) редуктивных однородных пространств С/К редуктивных групп Ли С и пуассоновы алгебры С-инвариантных функций на Т*(С/К). Среди поляризаций мы особо выделяем два типа:

1) положительно определенные поляризации, т.е. кэлеровы структуры;

2) поляризации, содержащие некоторую структуру Коши-Римана коразмерности два.

Основные применения в данной работе эти структуры имеют в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Основным методом, который используется в работе, есть метод редукции. С его помощью и ввиду инвариантности решение уравнений в частных производных, описывающих эти поляризации, сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и к решению задач теории полупростых групп и алгебр Ли. Развитые в работе методы применены также к описанию инвариантных гиперкэлеровых структур на областях касательных расслоений эрмитовых симметрических пространств.

Группы симметрии и их свойства лежат в основе и квантовой и классической механики. Метод редукции первоначально возник как метод классической механики, позволяющий свести исходную (гамильтонову) динамическую систему на фазовом пространстве (X, О,), при наличии у нее коммутирующего семейства интегралов, к системе с меньшим числом степеней свободы. Позже этот метод (гамильтоновой редукции) был обобщен В.И. Арнольдом, Дж. Марсденом и А. Вейнстейном (см. [Арн79] и [М\¥74] ) на случай, когда динамическая система допускает и некоммутативную группу симметрий 5 (метод симплектической редукции). Было введено понятие отображения момента 3 \ X я* со значениями в дуальном пространстве алгебры Ли группы Ли 5. Основное свойство этого отображения, используемое нами, - это эквивариантность относительно действия группы Ли 5, приводящая к каноничности отображения момента Л как отображения пуассоновых многообразий. В данной работе мы остановимся на обобщениях метода симплектической редукции, связанных со структурами геометрического квантования (поляризациями и кэлеровыми структурами, линейными расслоениями со связностями и частичными плоскими связностями) и с би-пуассоновыми структурами. Метод редукции был применен к кэлеровым структурам на кокасательных расслоениях В. Гийемином и С. Стернбергом [0882] в связи с задачами геометрического квантования, потом обобщен на более широкие классы кэлеровых (комплексных) многообразий (см., например, П. Хайнцнер, А. Хаклберри и Ф. Лоос [ННХ94]). Метод редукции был применен в теории геометрического квантования и к вещественным поляризациям, к металинейным и к метаплектическим структурам, связанных с соответствующими расслоениями реперов М. Готе [Got86], А. Снятицким ршвО, БшвЗ], М. Путой [Р^84, Р^93], Дж. Раунсли и П. Робинсоном [Ш189]. Н. Хитчин и др. применили метод редукции к ги-перкэлеровым структурам [ЬШ87] (см. также Н. Хитчин [НШ)1], Р. Беляв-ски [В1е97, В1е99], С. Дональдсон [Боп88], О. Бикар [В1д96]) как в конечномерном так и в бесконечномерном случае. Эффективное применение отображения момента к действиям алгебраических групп на неприводимых алгебраических многообразиях было найдено Ф. Кирван [Клг84], а потом использовано и другими в этой же области: М. Брионом [Вп87Ь] для задач сферических (торических) вложений алгебраических многообразий, Ф. Кноппом [Кпо90] для введения понятия группы Вей ля действия алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X и эквивариантной теории компактификации X. Идеи этих алгебраических применений мы используем эффективно в четвертой главе диссертации.

Таким образом мы можем с уверенностью сказать, что метод редукции является одним из наиболее широко используемых методов построения геометрических и алгебраических структур, исходя из таких же структур на более простых многообразиях X. Факт усложнения описания этих структур на редуцированном многообразии J, ¡i € s*, Sfj, С S неоспорим. Поэтому естественно описывать такие структуры не на редуцированном многообразии, а на многообразии С X, где их описание намного проще как из-за простоты геометрии пространства J-1(м) так и из-за простоты описания структуры на J-1(/i). Таким образом получается метод исследования, обратный методу редукции: исходя из изучаемых структур на многообразии J~l{fj)/S,j, как исходном многообразии, найти соответствующую группу симметрий S и многообразие X и изучать соответствующие S^-инвариантные структуры на многообразии J-1(/i).

Полезность метода (*) состоит еще и в том, что на многообразии J1(/i) зачастую существуют глобальные структуры, которые не проектируются на Jтак как не являются -инвариантными, но могут быть использованы для исследования других, проектируемых структур. Этот метод мы повсюдно применяем в диссертационной работе. Он был хорошо известен и ранее. М.А. Ольшанецкий и A.M. Переломов [ОП76] с помощью этого метода в гамильтоновой механике исследовали динамику движения гамильтоновых систем, Д. Каждан, Б. Костант, С. Стернберг [KKS78] исследовали динамику движения частиц: на прямой - под действием обратного квадратного потенциала, на окружности 9

- под действием потенциала sin .

В работе исследуются геометрические структуры, возникающие в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Наибольшее внимание уделяется исследованию и построению комплексных поляризаций, инвариантных относительно потока гамильтоновой динамической системы на фазовом пространстве (X, Q). С вычислительной точки зрения (для геометрического квантования) наиболее предпочтительным является случай, когда такая комплексная поляризация F оказывается положительно-определенной, т.е. определяет кэлерову структуру на (Х,0.) с кэлеровой формой Тогда, в частности, Р Г\ Р = 0, т.е. .Р - комплексная структура на X. Очевидно, что если динамическая система допускает группу симметрий С, то естественно требовать такого же свойства инвариантности и от поляризации F. Существование таких кэлеро-вых поляризаций накладывает различные геометрические ограничения на характер движений динамической системы, так как соответствующий поток порождает однопараметрическую группу би-голоморфных преобразований, коммутирующую с С. Таковым является, например, нормализованный геодезический поток стандартной би-инвариантной метрики на компактных симметрических пространствах ранга один; все траектории этой динамической системы замкнуты и имеют постоянный период. Доказательство этих фактов имеет длинную историю, начавшуюся в 70-х годах. Остановимся на них более подробно.

Пусть М = О/К - симметрическое пространство с полупростой группой Ли й и компактной подгруппой К. Стандартная (3 -инвариантная риманова метрика gм на (?/К определяет геодезический поток с гамильтонианом Н на касательном расслоении X = Т(С/К), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплектической 2-формой О, (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики).

Комплексные структуры, определенные на выколотом касательном расслоении Т°(0/К) = Т{С*/К) — {нулевое сечение}, естественно возникают как результат геометрических конструкций метода геометрического квантования. Такую структуру Js для сферы Б" = 5'0(п + 1)/5,0(п) обнаружил Дж. Сурио в работе [8ои74]. Позже Дж. Раунсли [11а\у77а] заметил, что функция длины является строго плюрисубгармонич-ной относительно упомянутой выше комплексной структуры Зэ и, таким образом, определяет кэлерову метрику на Т°Зп с О как кэлеровой формой. Он также заметил, что Js инвариантна относительно гамильтоно-ва потока Xфункции длины л/Я (нормализованного геодезического потока) и использовал кэлерову структуру (Г2) для геометрического квантования нормализованного геодезического потока [11аэд-77а, Ыа\у79Ь].

Впоследствии К. Фурутани и Р. Танака рТ94] определили кэлеро-ву структуру (75,0) с аналогичными свойствами на выколотых касательных расслоениях комплексного и кватернионного проективных пространств СРп, ШРп, а позже К. Фурутани и С. Йошизава [РУ95] использовали ее для геометрического квантования на Г°(СРП). Только недавно в работе [Риг02] К. Фурутани применил метод геометрического квантования к этой положительно-определенной поляризации на выколотом касательном расслоении к проективному кватернионному пространству Т°(ШРп). В работе [1М99] К. Ии и Т. Морикава описали эту структуру на выколотых касательных расслоениях классических компактных симметрических пространств ранга один в терминах геометрических структур, ассоциированных с метрикой gм на М = О/К (связности Леви-Чевита, ассоциированной с метрикой). В работе [БгбЭЭ] Р. Шоке исследовал связь между Js и так называемой адаптированной комплексной структурой За на соответствующем касательном расслоении Т(С/К). Он показал, что для всех компактных симметрических пространств ранга один семейство комплексных структур, являющихся образами адаптированной комплексной структуры относительно подходящего семейства диффеоморфизмов, имеет границу и эта граничная комплексная структура совпадает с </<?. В работе [БгбЭЭ], кроме всего прочего, Р. Шоке построил структуру (</5,0) на выколотом касательном расслоении проективной плоскости Кэли СаР2 = /<4/5ргп(9). Эту же структуру в других терминах описал К. Фурутани в работе [Риг04], которая вскоре должна выйти из печати; его подход основан на описании Фрейденталя проективной плоскости Кэли.

В диссертационной работе (глава 1) мы, используя методы теории алгебр Ли, описываем все (?-инвариантные кэлеровы структуры (Р, О) (с О как кэлеровой формой) на выколотых касательных расслоениях Т°(С/К) римановых симметрических пространств С/К, которые инвариантны относительно нормализованного геодезического потока X^. Мы показываем, что такие кэлеровы структуры (Р, О) существуют только на выколотых касательных расслоениях компактных симметрических пространств ранга один. Они параметризуются одним функциональным параметром - комплекснозначной функцией Л : Е+ С с положительной вещественной частью, причем найденная ранее структура ^ соответствует параметру (функции) А(£) =t.

Но, как хорошо известно, Т(в/К) = З^^/К, где Л : ТС -»• Г -отображение момента, ассоциированное с правым действием группы К на симплектическом многообразии Т*0 ~ ТО = х д. Тут д и Е -алгебры Ли групп Ли С и К соответственно, д = шф!, Примененный нами метод (*) к многообразию уровня Л-1(0) = (?хт позволяет нам в главе 1 сделать большее:

2) описать все О -инвариантные кэлеровы структуры (.Р, П) на областях симплектических многообразий Т(0/К), где О/К - риманово симметрическое пространство ранга один размерности > 3 с полупростой группой Ли С (не обязательно компактной);

3) показать, что этот класс {(Р, Г2)} кэлеровых структур инвариантен относительно процедуры кэлеровой редукции Гийемина-Стерн-берга[С882];

4) найти Ли-алгебраический метод описания С-инвариантных кэлеровых структур (Р, О) на касательных расслоениях симметрических пространств С ¡К - в терминах гомоморфизмов из алгебры Ли группы Ли в конечномерную алгебру Ли комплексных векторных полей на Л1(0) = Схт.

Этот Ли-алгебраический метод оказался эффективным и применительно к другой задаче: описания гиперкэлеровых структур специального вида на Т*{р/К), где О/К - эрмитово симметрическое пространство компактного типа полупростой группы Ли О, которое, в частности, является орбитой присоединенного представления С в алгебре Ли д. Касательное пространство Т(0/К) ~ Т*(0/К) (2-эквивариантно диффео-морфно комплексному фактор-многообразию <3С/Кс, благодаря диффеоморфизму Мостова [МовббЬ, Мовбба], причем это верно для произвольной компактной подгруппы Ли К С О. Поэтому решенная нами задача является частью более общей задачи - описания гиперкэлеровых структур на орбитах присоединенного представления комплексной полупростой группы Ли Gc, инвариантных относительно компактной формы G С Gc.

Напомним, что гиперкэлеровость многообразия X означает наличие на X трех попарно антикоммутирующих комплексных структур J1} J2, J3 = J\Ji и римановой метрики g, которая является кэлеровой относительно этих трех комплексных структур одновременно. П. Кронхеймер в работе [КгоЭОа] доказал, что регулярные орбиты öc = Gc/Kc присоединенного представления полупростой комплексной группы Ли Gc являются гиперкэлеровыми многообразиями, причем

1) эти структуры параметризуются "регулярной" тройкой элементов (ti, -7-2» подалгебры Картана f) компактной алгебры Ли д в том смысле, что этой тройке векторов соответствуют три класса кого-мологий трех фундаментальных (кэлеровых) форм;

2) если комплексный вектор 72+гтз регулярен в f)c, то орбита Ос (как вещественное многообразие), снабженная комплексной структурой Ji, изоморфна комплексной орбите Ос со стандартной комплексной структурой.

Основная идея доказательства П. Кронхеймера состоит в отождествлении точек орбит присоединенного представления с некоторыми ограниченными решениями уравнений Нама (Nahm's equations). А.Г. Ковалев [Kov96] обобщил этот результат П. Кронхеймера на все полупростые орбиты полупростых комплексных групп Ли. П. Кронхеймер в следующей своей работе [Kro90b] доказал гиперкэлеровость нильпотентных орбит присоединенного представления полупростых комплексных групп Ли. О. Бигар [Biq96] и А.Г. Ковалев в работе [Kov96], упомянутой нами выше, одновременно доказали существование гиперкэлеровых структур на всех орбитах, используя для доказательства подход, связанный с уравнениями Нама. Но как мы уже отмечали выше, полупростые орбиты Gc/Kc диффеоморфны касательному расслоению T(G/K), причем однородное компактное пространство G/K является эрмитовым однородным пространством, т.е. его касательное расслоение наследует некоторую комплексную структуру из й/К, а, значит, на комплексной орбите

0с уже существуют две существенно различные комплексные структуры: относительно первой, естественной, нулевое сечение С/К С Т(С/К) является тотально вещественным подмногообразием в Ос ~ Т(С/К), относительно второй многообразие (?/К комплексно. Причем кокасательное (касательное) расслоение Т*(С/К) является относительно второй структуры голоморфным симплектическим многообразием.

Ситуация, описанная выше, не оставалась незамеченной и рассматривалась разными математиками в более общем случае. Так Ф. Фейх [РеЮ1] доказано, что в некоторой окрестности нулевого сечения М кокасатель-ного расслоения Т*М вещественно-аналитического кэлерова многообразия М существует гиперкэлерова структура, согласованная с каноничной голоморфно-симплектической структурой на Т*М. Этот же результат содержит и более ранняя работа (препринт) Д. Каледина [Ка197].

Но из этих работ нельзя получить явного описания ни тройки комплексных структур 71, </3, ни гиперкэлеровой метрики §. Такое описание для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром пока что известно только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами или же для орбит, которые можно приблизить такими "симметрическими" орбитами [ВС98]. Нужно отметить, что все эти структуры глобальны, т.е. определены на всем (ко)касательном расслоении. Мы в главе 2 обобщаем эти результаты, рассматривая не только глобальные (7-инвариантные гиперкэлеровы структуры. Чтобы перейти к описанию этих структур, конкретизируем задачу.

Пусть С/К - неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа с однородной метрикой gм • Так как С/К - однородное комплексное многообразие, то его кокасательное расслоение Т*(С/К) имеет естественную комплексную структуру. Используя метрику мы можем отождествить кокасательное и касательное расслоения и таким образом получим комплексную структуру на Т{(2/К), относительно которой нулевое сечение С/К С Т(С/К) комплексно. Эта комплексная структура , как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры на Т{С/К), индуцированной исходной комплексной структурой на С/К. С другой стороны, кокасательное расслоение Т*{С/К) ~ Т(С/К) является симплектическим многообразием с канонической симплектической формой П. В главе 2 явно описаны все (?-инвариантные кэлеровы структуры (7, О,) (с кэлеровой формой О) на С-инвариантных областях В С Т(С/К) антикоммутирующие с комплексной структурой «/" . Фактически каждая полученная гиперкомплексная структура вместе с соответствующей метрикой g определяет гиперкэлерову структуру на Б.

Если область И содержит нулевое сечение М = С/К, то ограничение гиперкэлеровой метрики § на М есть данная однородная метрика gм с точностью до постоянного множителя (можно сделать этот множитель равным 1, используя для отождествления Т*(С/К) и Т(С/К) однородную метрику на О/К пропорциональную к дм). Такие глобальные гиперкэлеровы структуры были построены: в работе [Виг86], используя твистор-метод и шаг за шагом классификацию симметрических пространств; в работе рЕ^96], используя уравнения Нама, и в рБ97] (для пространств классических групп), используя деформацию так называемой адаптированной комплексной структуры на Т(Ст/К). В работе рЕЮ96] О. Бигар и П. Гадюшон нашли явную формулу для этих гиперкэлеровых метрик в терминах некоторых оператор-функций Р : т —► Епс1(т) на пространстве т с± Т0(С/К), о = {К}. Там же они доказали, что для метрики Киллинга дм на (?/К существует единственная гиперкэлерова метрика g на всем Т(С/К), совпадающая с дм на С/К с Т(С/К) и такая, что ^ = , а фундаментальная (кэлерова) форма кэлеровой структуры совпадает с канонической 2-формой Эти гиперкэлеровы структуры являются глобальными. Наши дополнительные гиперкэлеровы структуры не определены на нулевом сечении М = С/К. Так что мы не можем говорить об ограничении соответствующих гиперкэлеровых метрик на нулевое сечение С?/К как в работе [ВС96]. Тем не менее, полученные нами в главе 2 выражения для Р и потенциальных функций, обобщают соответствующие формулы работ [ЕЮЭб, ВС98].

Отметим также, что все цитированные выше авторы [0897, ВС96, ВС98] для доказательств используют один и тот же стандартный геометрический прием: работают на многообразии Т(С/К) с разложением векторного расслоения Т(Т(0/К)) в суму горизонтальной и вертикальной составляющих, индуцированным связностью Леви-Чивита на й/К. Мы же существенно упрощаем все вычисления, решая уравнения в частных производных, работая на тривиальном векторном расслоении Схт, которое является поверхностью уровня Л-1^) отображения момента Л, и используя естественное однородное разложение векторного расслоения Т(Схш) ~(?хдхтхт, обычное для теории алгебр Ли. Как приложение, в главе 2 получено новое простое доказательство хорошо известной теоремы Хариш-Чандры-Мура об ограниченных системах корней эрмитовых симметрических пространств, а также описание этих корневых систем в терминах, адекватных поставленной задаче о ги-перкэлеровых структурах. Отметим, что теорема Хариш-Чандры-Мура достаточно груба, чтобы быть использованной для решения этой задачи в случае локальных гиперкэлеровых структур, в то время как для описания глобальных структур она являлась основным инструментом в доказательстве О. Бигара и П. Гадюшона [В096].

В последние три десятилетия использование дифференциально-геометрических методов в математической физике постоянно возрастало. Возможно наиболее интенсивно развивались геометрические теории связанные с симплектической (или пуассоновой) формулировкой классической механики и с проблемами квантования. Так как основатели квантовой теории, к сожалению, не дали формального определения квантования, то параллельно возникло много геометрических, функционально-геометричеких и алгебраических теорий квантования. Среди них следует упомянуть геометрическое квантование (Дж. Сурио [8ои70], Б. Ко-стант [Ков70]), деформационное квантование (см. [Bat89, В-878, Реё9б]), асимптотическое квантование (М. Карасев, В. Маслов [КМ84]). Теория геометрического квантования стремительно развивалась до конца девяностых годов и наиболее значительные приложения она нашла в построении геометрических реализаций неприводимых унитарных представлений групп, встречающихся в физике. Нужно отметить, что эта сторона теории тесно примыкает к методу орбит Кириллова [Кир74]. В главе 3 работы рассмотрен метод геометрического квантования Костанта-Сурио применительно к динамическим системам классической механики. Предгильбертово пространство , конструируемое с помощью этого метода, состоит из ¥ -горизонтальных сечений некоторого линейного расслоения; т.е. сечений, которые ковариантно постоянны вдоль векторных полей комплексной поляризации Р. Причем, чтобы проквантовать заданную гамильтонову систему, необходимо, чтобы ее гамильтоново векторное поле сохраняло эту поляризацию. В противном случае квантовый оператор, действующий в пространстве всех сечений, не сохраняет подпространство %'. Чтобы обойти это препятствие, было построено множество модификаций теории геометрического квантования. Среди них укажем только две модификации, наиболее употребляемые в статьях: Чижа-Гесса [Сгу77, Нез81] (вообще не использующей понятие поляризации) и использующую метаплектические структуры (см. Гийемин-Стернберг [ГС81], Робинсон-Раунсли [М189]). В главе 3 мы предлагаем метод, который позволяет находить инвариантные поляризации относительно гамильтонова потока Xf с функцией Гамильтона / на сим-плектическом многообразии (X, . Метод состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Ха = {х £ X : /(х) = а} гамильтониана / и ищем согласованные вложения <ра многообразий Ха в модельное симплектическое многообразие Т*ШМ такие, что орбитам (траекториям) потока Х^Ха соответствуют в (ра(Ха) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на Т*!^ (здесь 2Ы > сНтХ). Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие 1ра(Ха) С Т*ШМ, структуру Коши-Римана, а, значит, и структуру Коши-Римана (¿а,(ЭаГ)(2а = 0 на Iй. Необходимо, чтобы полученное таким образом одно параметрическое семейство (Ха, (¿а) вместе с гамильтоновым векторным полем порождало поляризацию

Г на (X, . Ее инвариантность относительно потока следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с од-нопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для некоторых гамильтоновых систем, для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Таковыми гамильтоновыми системами, как показано в главе 3 работы, являются многомерная проблема Кеплера и проблема М1С-Кеплера. Сразу заметим, что для последней системы конструкция применяется не на прямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме М1С-Кеплера. Тут также уместно отметить, что найденные поляризации и метод (*) позволяют нам эффективно исследовать все производные структуры геометрического квантования этих систем (голоморфные линейные комплексные расслоения, расслоения полу-форм), что как показывает практика, случается очень редко при использовании других методов.

Эти две гамильтоновы системы рассматривались разными авторами. Гамильтонова система, описывающая трехмерную проблему Кеплера, была проквантована Д. Симмсом ([8ип72]), который применил теорию геометрического квантования Костанта-Сурио к комплексному многообразию в2 х Э2 орбит этой динамической системы, принадлежащих поверхности уровня гамильтониана. Он вычислил кратности собственных значений квантового оператора с помощью теоремы Римана-Роха-Хирцебруха для комплексных поверхностей. В ([М1а85]) И. Младенов применил модифицированную схему геометрического квантования Чижа [Сгу77] и Гесса [Нез81] к многомерной проблеме Кеплера. Проблеме квантования системы М1С-Кеплера посвящены работы И. Младено-ва [М1а87, М1а89а, М1а89Ь], в которых он применил модифицированную схему Чижа-Гесса к расширенному фазовому пространству этой системы. Бейтс ([Bat89]) проквантовал эту систему используя алгебраическое представление системы, Одзиевич и др. ([0896]), используя отображение когерентных состояний ([Ос1г88], [ОсЬ92]); т.е. отображение из классического фазового пространства в комплексное проективное гильбертово пространство (квантовое фазовое пространство). Ни в одной из этих работ не была применена процедура геометрического квантования из-за отсутствия инвариантной поляризации.

Вторая проблема, возникающая в теории геометрического квантования, состоит в том, что может не существовать глобальных Р-горизонтальных сечений линейного расслоения из-за препятствий топологического характера, связанных с поляризацией, а, значит, стандартная процедура геометрического квантования становится невозможной. Мы в главе 3 работы решаем эту проблему для широкого класса поляризаций: вводим структуру гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений таким образом, что произвольная вещественная функция с полным гамильтоновым векторным полем, касающимся некоторого распределения в X (в большинстве случаев оно совпадает с распределением Е, где Ес = Р+Р) порождает однопараметрическую группу унитарных операторов. Это обобщает конструкцию Гавендски [Са^Тб] для гладких сечений.

Пусть X - симплектическое многообразие. Гамильтонову систему на X называют вполне интегрируемой, если она допускает максимальное число независимых интегралов в инволюции (сИт Х/2 функций коммутирующих относительно скобки Пуассона на X). Обозначим через (2 вещественную связную редуктивную группу Ли, которая действует на X гамильтоновым образом, через К замкнутую связную редуктивную подгруппу в (?. Пусть Л : X —> д*, где д - алгебра Ли группы Ли С?, соответствующее отображение момента. Функции вида к о 3, Н : д* —К, называются коллективными. Эти функции являются интегралами для произвольного гамильтонова потока на X с С-инвариантным гамильтонианом Н. Возникает вопрос: для каких симплектических многообразий X все С-инвариантные гамильтоновы системы на X вполне интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов, порожденных группой симметрий (?.

Многообразие X обладает этим свойством тогда и только тогда, когда на X существует вполне интегрируемая система, состоящая из вещественноаналитических функций типа ИоЗ (так называемая коллективно вполне интегрируемая система [С884а]). Все симметрические пространства полупростых групп Ли <2/К допускают существование коллективно вполне интегрируемых систем на фазовом пространстве Т*(0/К) (см. [Тпп81, Мищ82, Мик83, С884а] и [Г№84]). Более того, если группы Ли в и К компактны, то следующие условия эквивалентны [Мищ82, С884а, Мик8б]:

1) на фазовом пространстве Т*(С/К) существует коллективно вполне интегрируемая система;

2) коразмерность д(Сс,Кс) орбиты максимальной размерности подгруппы Бореля В С(?с в комплексном аффинном алгебраическом многообразии Сс/Кс равна 0;

3) подгруппа Кс группы Ли С0 сферична, т.е. квазирегулярное представление группы Ли (?с в пространстве С[Сс/Кс] регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии Сс/Кс имеет простой спектр;

4) алгебра С -инвариантных функций на симплектическом многообразии Т*(й/К) коммутативна.

Некоторые обобщения свойств (1)-(4) на случай вещественных некомпактных групп Ли были получены М. Чумаком [Чум86]. Многие другие аспекты данной проблематики отражены в обзоре [Вин01]. Классификация сферических подгрупп полупростых комплексных (связных) групп Ли была получена в работах [Кга79, Мик86, Вп87а]. Так как пуассонова структура на симплектическом многообразии X невырождена, то в случае существования коллективной вполне интегрируемой системы на X, произвольная гамильтонова система с С-инвариантным гамильтонианом Н локально имеет вид /г о Л; т.е. для интегрирования мы не используем эффективно сам гамильтониан Н. Этот факт был замечен в нашей работе [МБОО] и использован для получения новых классов однородных пространств О/К, для которых каждая С-инвариантная гамильтонова система на Т*{0/К) интегрируема в классе вещественно-аналитических интегралов. Перейдем к более точным формулировкам.

Пусть Nmax(X) - максимальное число независимых вещественно-аналитических функций в инволюции на X вида h о J. Если Nmax(X) = (dimX/2) — 1 мы будем называть соответствующую систему функций почти-коллективно вполне интегрируемой системой, а, если, дополнительно, X = T*(G/K), где G,K - редуктивны, мы будем называть пространство G/K почти сферическим пространством [MS00]. В главе 4 мы изучаем эти пространства как с точки зрения пуассоновой геометрии, так и с чисто алгебраической точки зрения, перечисляем их в случае, когда группа G простая. Мы доказываем, что компактное пространство G/K является почти сферическим тогда и только тогда, когда комплексное аффинное алгебраическое многообразие Gc/Кс имеет сложность один, т.е. d(Gc, Кс) = 1. Тут нужно отметить, что комплексные аффинные пространства Gc/Кс как сложности 1 так и произвольной сложности алебраическими методами изучал Д. Панюшев в работе [Рап90], в следующей своей работе [Рап92] он получил список всех редуктивных пространств Gc/Kc сложности 1, когда группа Ли Gc простая. Мы в главе 4, используя иной подход, основанный на изучении алгебры G -инвариантных функций на T*(G/K) как пуассоновой алгебры, получаем этот же список несколько другим методом. Недавно в работе [АЧОЗ] И. Аржанцев и О. Чувашова перечислили все аффинные пространства Gc/Кс сложности 1 с полупростой группой Ли Gc . Принципиальная возможность такой классификации была отмечена раньше Э.Б. Винбергом в работе [Вин01].

Как мы отметили выше, для редуктивного пространства G/К можно определить неотрицательное целое число e(G, К) положив e(G, К) = dim{G/K)-Nmax{T*{G/K)). В главе 4 мы доказываем, что S{GC, Кс) = s(G, К), т.е., что так определенное число e(G, К) равно сложности пространства Gc/Kc.

Таким образом редуктивные пространства Gc/Kc сложности 0 или 1 - это примеры пространств, для которых все G-инвариантные га-мильтоновы потоки на кокасательном расслоении T*(G/K) ~ T(G/K) интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов. Но на каждом однородном пространстве G/K с редуктивными G и К есть потоки, вещественно-аналитическая интегрируемость которых вызывает постоянный интерес. Это гамильтоновы потоки на T*(Q/K), определенные G-инвариантными (псевдо)римановыми метриками на G/K. Такие вполне интегрируемые потоки существуют на следующих однородных пространствах

• компактных группах Ли (A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко [МФ78]);

• сферических пространствах [Мик86], включающих симметрические пространства (А. Тимм [Tim81], A.C. Мищенко [Мищ82, Мищ83], A.B. Браилов [Бра83а, Бра86Ь]);

• пространствах сложности 1 [MykOlbj, включающих многообразия Штифеля SO{n)/SO{n-2) (А. Тимм [Tim81]), SU(3)/{U(l)xU{l)) (Г. Патернайн, Р. Спатцер [PS94]);

• многообразиях Штифеля SO(n)/SO(k), G/T, где Т-максимальный тор компактной группы Ли G (А. Болсинов, Б. Йованович [БЙ01]);

• орбитах присоединенного представления классических полупростых групп Ли, а также SO{n)/{SO{kl)xSO{k2)), U(n)/(U{l)kl xU{k2)x U{k3)), U(n)/SO(k), SO(ni)xSO(n2)/dM0(5O(fc)xSO(AO), U{ni)x

U{n2)/diag{U{k) x U(к)) (А. Болсинов, Б. Йованович [BJ04]).

В работе [БЙ01] А. Болсинов и Б. Йованович для произвольных однородных пространств компактной группы Ли G доказали так называемую некоммутативную интегрируемость [МФ78а] геодезического потока би-инвариантной метрики на G/K в классе вещественно-аналитических интегралов. В следующей работе [BJ03] они для этих же однородных пространств и для этих же потоков доказали их вполне интегрируемость, но уже в классе гладких интегралов. Тут нужно отметить, что в общем случае из гладкой интегрируемости геодезического потока не следует его вещественно-аналитическая интегрируемость из-за препятствий топологического характера (см., например, [Тай94]). В главе 4 мы устанавливаем вещественно-аналитическую интегрируемость для широкого класса однородных пространств, содержащего пространства не представленные в приведенном списке. Перейдем к более точным формулировкам.

Пусть G/K - полу простая орбита присоединенного представления полупростой вещественной связной группы Ли G, т.е. G/K = Ad(G!) • а, где а - полупростой элемент алгебры Ли 0 группы Ли О. Обозначим через К1 произвольную замкнутую подгруппу в К, содержащую коммутант К' компоненты единицы группы Ли К. В главе 4 мы доказываем, что геодезический поток на симплектическом многообразии Т*(С/К\), соответствующий С-инвариантной (псевдо)римановой метрике на С/К\, индуцированной би-инвариантной (псевдо)римановой метрикой на группе Ли О, является вполне интегрируемым в классе вещественно-аналитических интегралов. Если группа Ли (? компактна, то эта метрика риманова. Более того, в главе 4 мы, кроме упомянутых би-инвариантных метрик на О/К, рассматриваем О -инвариантные метрики, построенные с помощью секционных операторов (ра,ь,о Мищенка-Фоменка [МФ78], и доказываем вполне интегрируемость соответствующего геодезического потока с помощью того же набора интегралов. Некоторые из этих метрик являются римановыми даже тогда, когда группа Ли (? некомпактна; соответствующий пример завершает главу 4. Здесь уместно сказать несколько слов об тех дополнительных е((7, К\) интегралах к интегралам вида /г о J, которые мы находим. Это С-инвариантные функции на Т((?/К\), однозначно определяемые Ас^Кх) -инвариантными функциями /А(ж) == /(¡г + Да) на Шх = Т0{С/К\), где / - Ас^С?) -инвариантный полином на алгебре Ли д. Эти же функции использовались в качестве дополнительных интегралов в работе [ВЛ04].

Структура и содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Номера всех утверждений (теорем, лемм,.) и формул состоят из двух чисел, первое из которых - это номер параграфа текущей главы. Исключение составляют следствия: так как большинство из них не являются самостоятельными утверждениями, то их номер состоит из номера утверждения, к которому они относятся, и номера самого следствия. При ссылке на утвеждения из другой главы мы впереди их номера ставим еще и номер главы.