Классические и квантовые аспекты размерно-редуцированной гравитации и изомонодромные деформации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Санкт-Петербургское Отделение Математического Института имени В.А.Стеклова

На правах рукописи

Короткин Дмитрий Александрович

Классические и квантовые аспекты

размерно-редуцированной гравитации и изомонодромные деформации

01.01.03 - математическая физика

>

диссертация-ла соискание учёаэй с-Фенёни

Й ' А ' В " *

доктор а физико-математических^'н»аук

&

... у^ Й '• • «Я

Санкт-Шетерг' - 1998

Содержание

1 Введение 3

2 Редукция уравнений Эйнштейна к двум измерениям. Каноническая структура 12

2.1 Уравнение Эрнста. Каноническая Пуассонова структура .... 12

2.2 Скобки Пуассона матриц перехода....................................17

2.3 Волны Эйнштейна-Розена с одной поляризацией..................21

2.4 Пуассонова интерпретация группы Героча..........................21

2.5 Обсуждение..............................................................23

3 Каноническое квантование: центрально расширенный твистованный Ян-гианный дубль 24

3.1 Квантовая алгебра......................................................24

3.2 Обсуждение..............................................................27

4 Уравнение Эрнста и изомонодромные деформации 29

4.1 Уравнения Шлезингера. Изомонодромная Пуассонова структура 29

4.2 Система Шлезингера и уравнение Эрнста..........................30

4.3 "Дву-временная" Гамильтонова формулировка уравнения Эрнста 32

4.4 Учёт симметрии матрицы О ..........................................34

4.5 Расширение на всё фазовое пространство............................37

4.6 Изомонодромное квантование уравнения Эрнста ..................40

4.7 Замечания................................................................43

5 Тэта-функциональные решения системы Шлезингера. Тау-функция 45

5.1 Решения системы Шлезингера в тэта-функциях....................45

5.2 Тау-функция системы Шлезингера....................................52

5.3 Эллиптический случай и уравнение Пенлевё 6 ....................55

5.4 Обсуждение..............................................................57

6 Алгебро-геометрические решения уравнения Эрнста.

Формулы для коэффициентов метрики 58

6.1 Известная форма тэта-функциональных решений уравнения Эрнста 65

6.1.1 Роль формы сШ7................................................65

6.1.2 Решения (6.32) из решений (6.41)............................67

6.2 Общее тэта-функциональное решение уравнения Эрнста из решений, связанных с системой Шлезингера..........................69

6.2.1 Частичное вырождение спектральной кривой..............69

6.2.2 Непрерывный предел: сгущение двойных точек............71

6.3 Обсуждение..............................................................72

7 Самодуальные 5и"(2)-инвариантные метрики Эйнштейна в терминах тэта-функций 73

1 Введение

Модели, возникающие путем размерной редукции из четырехмерных уравнений Эйнштейна, служат важным испытательным полигоном при решении многих вопросов как классической, так и квантовой гравитации. При этом физическая значимость получаемых результатов существенно зависит от сложности модели, построенной таким способом.

В качестве простейшего и наиболее изученного примера моделей этого типа можно привести так называемые mini super space models [1] 1, которые содержат лишь конечное число физических степеней свободы, и поэтому при квантовании не могут дать никакой информации о полевых эффектах квантовой гравитации. Менее тривиальный пример, привлекающий устойчивый интерес, - это модель, описывающая цилиндрические гравитационные волны с одной поляризацией (волны Эйнштейна-Розена) [2, 3]. Эта модель, которую естественно называть midi super space model, уже включает в себя бесконечное число физических степеней свободы. Такая модель после фиксации всех калибровок допускает описание в терминах единственного скалярного поля ip, зависящего от радиальной координаты х 6 [0,оо) и временной координаты t. Уравнения движения и скобка Пуассона, наследуемые из четырёхмерного действия Эйнштейна-Гильберта, в терминах (р имеют вид

Общее решение уравнений движения может быть легко выписано в явном виде:

где ./о - функции Бесселя. В терминах коэффициентов Фурье Пуассонова структура переписывается в виде

-<Ptt + -<Рх + 4>хх = 0 ,

х

(1.1)

(1.2)

Русский аналог этого термина автору неизвестен

что предполагает интерпретацию квантованных операторов А± как операторов рождения и уничтожения. Для нас в данный момент интересно также отметить, что в переменных

/"ОО

T±(w) = exp / A±(\)e±twXd\ ,

J о

Пуассонова алгебра становится квадратичной:

J V — W

Вопросы квантования этой модели и её физического истолкования являлись на протяжении достаточно долгого времени предметом весьма интенсивного изучения [2, 3, 4, 5]. Впрочем, очевидно, что линейность уравнений движения, по всей вероятности, скрывает существенные нелинейные эффекты квантовой гравитации.

Одной из основных целей данной работы является изучение следующей по сложности модели, которая обобщает волны Эйнштейна-Розена на случай двух поляризаций. В нашей модели уравнение движения становится существенно нелинейным и сводится к уравнению Эрнста

{xGxG-% - (xGtG-^t = 0 ,

где G - симметричная вещественная матрица с единичным определителем. Разумеется, в отличие от предыдущей модели, общее решение этого уравнения не может быть выписано явным образом, однако, как было показано в работах Белинского и Захарова [6] и Мэйсона [7] около 20 лет назад, оно допускает вложение в схему (классического) метода обратной задачи рассеяния. А именно, оно является условием совместности следующей линейной системы:

Gtj-G ^ _

ш — х±_ф

1 ± 7

где х± = t dz х - координаты светового конуса и

1

X

w £ С - спектральный параметр. Эта линейная система превращается в линейную систему двумерной сигма-модели [8], если считать параметр у не зависящим от (x,t).

7 (ж, t,w) = ^ jw - i + i/(w - x+)(w — ж_)| ; (1-4)

Наличие вспомогательной линейной системы позволяет в свою очередь надеяться развить канонический формализм в виде, подходящем для квантования в соответствии с общей философией квантового метода обратной задачи [9, 10]. Центральным объектом при этом должна являться матрица перехода между граничными точками интервала х е [0, оо). При реализации такой программы следует ожидать возникновения ряда трудностей. Трудность технического порядка состоит в учёте симметрии матрицы (7, которая требует наложения дополнительных связей. Основная же ожидаемая трудность связана с наличием неультралокального члена (производной дельта-функции) в скобках Пуассона между токами, который в изучавшихся ранее моделях типа двумерной сигма-модели ведёт к невозможности определения скобок Пуассона между матрицами перехода, инвариантного по отношению к способу их вычисления. Неожиданно оказывается [11, 40], что зависимость 7 от х и í уничтожает эту неоднозначность для случая уравнения Эрнста. А именно, при подходящей нормировке матриц перехода их Пуассонова алгебра имеет вид

¿и =

П 1 2

V — IV

1 2 1 П 1 2 1 2 тр

Г± (V) , И =-т± (V) И- т± (V) и-,

) V — и> т ^ ' -Г у _ п}

где 2+(к;) обозначает матрицу перехода, определённую при значениях параметра и, лежащих в верхней, а Т_(гг) - в нижней полуплоскости; П обозначает 4x4 оператор перестановки, а Н7 - результат применения к этому оператору инволюции г] : а —» -а*, а 6 5£(2) в одном из пространств. Величины Т± имеют простую интерпретацию: они дают решение задачи Римана-Гильберта на вещественной оси

МИ = Т+(и?)21(и?) ,

где матрица сопряжения совпадает со значениями поля С? на оси симметрии с точностью до обращения:

М(и>) = С-1(® = (М = г£>)

Как легко видеть, эта квадратичная алгебра оказывается непосредствн-ным обобщением скалярной квадратичной алгебры (1.3), ибо при переходе к скалярному случаю выживает лишь соотношение между Т+ и Г_. При этом оказывается, что матрицы Т± являются интегралами движения, и, следовательно, могут быть использованы для генерации симметрий уравнения Эрнста. Эта группа симметрий известна в течение долгого времени и носит название группы Героча [13] (с точки зрения теории интегрируемых систем это просто группа одевающих преобразований [14]). Пуассонова интерпретация этих симметрий для ряда моделей обсуждалась в работах [15, 16]. В соответствии с философией этих работ группа Героча оказывается порождённой операторами Т+1 айт+ и ТГ1 «с!у_, которые, как легко проверить, исходя из скобок Пуассона между Т±, удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры петель. Тем самым, мы получаем Пуассонову интерпретацию группы Героча [39], и видим, что, как и следовало ожидать, она не сохраняет симплектич-еской структуру. Действие этой группы оказывается не Пуассоновым, а Ли-Пуассоновым, в соответствии с терминологией, принятой в работе [15].

Оказывается, что построенная выше классическая алгебра наблюдаемых допускает по существу единственное квантование, которое даётся следующей квадратичной алгеброй:

12 2 1 Т± (у) Т± (го) =Т± (го) Т± (и)2г(«-1/>) ,

12 2 1 Щу-ю-Ш) Г_ (и) Т+ (го) =Т+ (и?) Т_ («)£"(«-г»+Ш) х(и-и?) ,

где

ед = «1-шп, хМ^ ■

При этом условие с1е1 С — 1 переходит в условие равенства единице квантового детерминанта [17]:

Я<1е1;Г±(и>) = Т^^-гЩТ^^-Т^^-ЩТ^1^) = 1.

Построение теории представлений этой алгебры, которую естественно называть центрально расширенным твистованным Янгианным дублем, является на

данный момент открытой проблемой. Тем не менее, уже на данном этапе можно сделать некоторые выводы физического свойства. А именно, в нашей модели имеется тесная связь между поведением всех объектов в спектральной плоскости параметра шина мировом листе. Тем самым нелокальность порядка планковской длины в плоскости из, которую мы наблюдаем и в коммутационных соотношениях, и в определении квантового детерминанта, являются признаком возникновения подобной нелокальности также и на мировом листе.

Кроме описанного выше способа квантования, основанного на канонической Гамильтоновой структуре, наследуемой из действия Эйншетейна-Гильберта, возможен и другой способ, основанный на тесной связи уравнения Эрнста с таким классическим объектом, как система Шлезингера [18],

которая описывает изомонодромные деформации обыкновенного матричного дифференциального уравнения

Решение Ф этого уравнения решает также задачу Римана-Гильберта на разрезах [77,00) с некоторыми не зависящими от {7,} матрицами сопряжения М^ которые однозначно восстанавливаются по матрицам А^, и носят также название матриц монодромии. Динамика по отношению к в уравнениях Шлезингера задаётся коммутирующими гамильтонианами

N

по отношению к следующей пуассоновой структуре [19, 20]:

{Аау,Аьк} = /аЬсАск6зк

(1.5)

где /аЬс обозначают структурные константы алгебры з1(2). Производящая функция Гамильтонианов Н3 определяется уравнениями

~ 1п т = Я,- .

и называется г-функцией системы Шлезингера. Как было замечено в работах Решетихина [21] и Харнада [22], наивное квантование путём замены скобок Пуассона (1.5) на коммутаторы даёт квантовую модель, уравнения Шрёдингера в которой (по отношению к "временам" у3) совпадают с уравнениями Книжника-Замолодчикова, а т-функция переходит в соответствующий оператор эволюции.

Оказывается [23, 25], что по каждому решению системы Шлезингера, удовлетворяющему некоторым дополнительным редукциям, можно восстановить некоторое решение уравнения Эрнста, если предположить, что все у^ зависят от х± в соответствии с (1.4) с различными Тем самым, сужая фазовое пространство на изомонодромный сектор (что на самом деле не является необходимым, но позволяет ясно понять общую картину), мы получаем Гамильтонову формулировку уравнения Эрнста, в которой пуассонова структура задаётся скобкой (1.5), а динамика в направлениях х± задаётся коммутирующими Гамильтонианами

д*= 1 ^У *А*Ак

Т.-—

(1±7;)(1±7*) '

При этом тау-функция оказывается просто связана с одним из метрических коэффициентов к(х±) по формуле [23]:

Квантование такой "дву-временной" Гамильтоновой структуры уравнения Эрнста ведёт к тому, что возникающие уравнения Уилера-деВитта (этот термин в данном случае обозначает просто уравнения Шрёдингера в контексте квантовой гравитации) выглядят следующим образом:

дф _ гН I ^ 1 + у^ук „ Уз+Ук

у- ^ -г улк о.. + V Ь Гк П -и

дх+ х+ - I (1 + 7,-)(1 + Ук) ^ (1 + 7,)(1 + 7/с)

дф _ г!г I ^ 1 + у^ук п у3 + ук

> ф ,

х ч- 1}1к 0 у- Уз -ч- У к л ( ■

где волновая функция ф живет в прямом произведении N представлений главных серий алгебры si(2);

ttjk = ®h + e3 <g> fk + fj <g> ek ,

&jk = - (~hj ®hk + e3 ® ek + fj <g> fkj ,

и hj,ej,fj - генераторы Шевалле в ju представлении. Эти волновые уравнения оказываются тесно связаны с решениями (несколько модифицированной) системы Книжника-Замолодчикова для представлений главных серий алгебры sl(2); такая связь является квантовым аналогом описанной выше связи между т-функцией системы Шлезингера и метрическим коэффициентом е2к.

Такой альтернативный подход к квантованию модели Эрнста сталкивается с трудной технической проблемой решения системы Книжника-Замолодчико-ва для представлений главных серий. Основной концептуальной проблемой при этом является неясное соотношение исходной изомонодромной пуассоновой структуры с канонической структурой, возникающей из Эйнштейновского лагранжиана.

Впрочем, назависимо от проблем, связанных с квантованием, описанная выше связь уравнений Эйншетейна с системой Шлезингера оказывается весьма продуктивной уже на классическом уровне, при описании решений уравнения Эрнста в терминах тэта-функций. Тэта-функциональные, или конечнозонные, решения уравнения Эрнста были получены в работе [26]; в последующем они нашли физическое применение в задаче описания гравитационного поля бесконечно тонкого вращающегося пылевого диска [28, 29], которое описывается специальным решением рода 2. При этом задача определения не только потенциала Эрнста, но и всех метрических коэффициентов оставалась до последнего времени нерешённой. Решение было получено в работе автора и Матвеева [30], используя описанную выше связь с системой Шлезингера и результаты работы Китаева и автора [31], в которой была решена в терминах тэта-функций задача Римана-Гильберта о построении функции Ф, имеющей произвольный

набор анти-диагональных матриц монодромии с N = 2д + 2:

/ 0 тп4 \

М,- = , го,- е С, ] = 1,...,2д + 2,

V 0 /

Решение такой задачи Римана строится по гиперэллиптической кривой С рода д, задаваемой уравнением

2д+2

у2 — ъ). ¿=1

в терминах тэта-функций с произвольными комплексными характеристиками £ Сэ, которые просто связаны с элементами гп3 матриц монодромии. В свою очередь, решение такой задачи Римана определяет решение сис-

темы Шлезингера. При этом оказывается возможным явно проинтегрировать уравнения для соответствующей г-функции, которая может быть записана в красивом виде:

где Л обозначает матрицу а-периодов ненормированных голоморфных дифференциалов уЫу/у , 3 = 0,.. .,д — 1, а В - матрицу 6-периодов кривой С.

Уместно заметить, что решение описанной выше задачи Римана было практически одновременно получено (в существенно разных терминах) в работах [31] и [32]; при этом задача вычисления г-функции (1.6) в работе [32] не рассматривалась.

После наложения соответствующих редукций (которые, в частности, требуют нечётности д: д = 2до — 1), эти результаты могут быть интерпретированы в контексте уравнения Эрнста. При этом соответствующее решение самого уравнения Эрнста может быть выражено в терминах тэта-функций, отвечающих вещественной кривой рода до, задаваемой уравнением

2 д0

= с1-7)

¿=1

X/2

где, для описания стационарных осесимметричных пространств вместо цилиндрических волн, мы заменили координаты светового конуса х± на комплек-

сные координаты (£,£). Потенциал Эрнста, который однозначно задаёт опре-

♦ • /Ч о и

деленную выше матрицу С, имеет следующий простои вид:

в £] (г Ц01 в0)

©В] (у\ Г2 Во)

(1.8)

где через Во обозначена матрица ^-периодов кривой Со; = /р ¿У] где (IV3 -нормированные голоморфные дифференциалы на Со; г, в 6 С30 - два произвольных постоянных вектора, удовлетворяющих условиям вещественности

^(В0г + 5) = 0 ,

и однозначно определяющих вектора р, я £ С2эо . Знание соответствующей тау-функции и её связи с матричным коэффициентом е2к позволяет получить для него следующую формулу:

© й (0|В) 250

е2к =

х/ЗёГАо

ПК-^Г1/4, (1.9)

где До - матрица а-периодов голоморфных дифференциалов , ] =

1,... ,до■ Подчеркнём, что, функция е2к не выражается простым образом через тэта-функции, отвечающие кривой Со и требует использования тэта-функций кривой £, которая является двулистным неразветвлённым накрытием над Со-

Класс решений (1.8), если принять во внимание частично вырожденные кривые, эквивалентен классу тэта-функциональных решений, полученному в работе [26]. В частности, простой предельный переход ведёт к решению, описывающему пылевой диск [28, 33]. При этом предельном переходе формула (1.9) даёт выражение для соответствующего метрического коэффициента.

Выражение для тау-функции, приведённое выше, имеет ещё одно приложение к пространствам Эйнштейна, допускающим фиксированные группы изо-метрий. А именно, она позволяет весьма эффективно локально описывать 5£7(2) инвариантные самодуальные многообразия Эйнштейна. Как известно из работ [34, 35, 36], произвольная 5£7(2)-инвариантная самодуальная метрика Эйнштейна (в общем случае с ненулевой космологической постоянной) мощет

быть записана в следующем виде: [34, 36]: где 1-формы о3 удовлетворяют уравнениям

¿а\ = ст