Геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ



ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ имени ПАТРИСА ЛУМУМНГ

На правах рукописи

ЕУБЯКИН Игорь Витальевич

геометрия пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5

0Г.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ыооква - 1Э91

Работа выполнена в Московском ордена Октябрьской революции и ордена Трудового Красного Знамени институте стали сплавов.

Научный руководитель ~ доктор физико-математических наук, профессор М.А.Лкявис

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук, профессор №.К.Граев кандидат фгакко-глатекатическизс наук Е.В.Ферапочтов

Бедудал организация - Московский педагогический государственный университет имени В.И.Яенина

Защита диссертации состоятся Ца1992 года в ' 15 часов.30 ш ка заседании специализированного совета К 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-катекатическюс наук в З'шверсктете дружбы народов имени , Натряся Иущ1лйи по адресу: 117 302, Москва, ул. Орджокикидз е, 3, ьуд. 485. .

.С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке .Университета дружбы народов по адресу: 117 198, Москва, ул, Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан (ОС^услгв^Я 1991 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук,

доцент ^р > г / М.В.Драгнев

общая характеристика.,, работы

Актуальность теми исследования. Исследований семейств • -"^-мерных плоскостей в пространствах различной размэрности посвящено большое число работ советских и зарубежных геометров. Основная задача исследования состоит з изучении строения, свойств и классификации таких свойств. ■

Семейство /п. -мерных плоскостей называется -комплексом, если через каждув точку некоторой области мно-"гомерного пространства проходит бесконечное число плоскостей . семейства. Теория комплексов многомерных плоскостей возникла в результате обобщений из трехмерных теорий конгруэнций^ и комплексов^ прямых. Комплексам многомерных плоскостей посвящена работа Л.Э.Гербсоммер, Л.З.Круглякова я А,Г,Мизина? Комплексы прямых и плоскостей исследовалась в работе Г,И.0рленко4 ' Теория гиперкошлексов прямых-в к.-керном, пространстве построена К.И.Грянцевичюсом5. И.М.Гелъфанд я М.й,Граев6 при решении основной задачи интегральной геометрии /восстановление функции в комплексном пространстве Сл на основе значений ее ... интегралов по прямым комплекса/ выделили класс комплексов прямых,^ на котором эта задача имеет решение. Такие комплексы были названы допустимыми. Допустимым комплексам прямых в прост-

■'■Финяков С.Л. Теория конгруэнция. - М.-Л.:ШТЛ, 1550.-528 с. . 2Кованцов Н.И, Теория комплексов. - Киев:КГУ, Г963. -292 с. ^Гербсоммер Л'.Э., Кругляков Л.З., Мизин А.Г.О комплексах многомерных плоскостей // ДАН ССОР. - 1980. - Т.255, Я 5. ~ С.1039-1042.

^Орленко Г.И. К метрической теории семейств прямых и плоскостей в многомерном евклидовом пространстве // Тр. Рижского ин-та йнзс. авиации. - 136в. - Т.97. - С.3-37. 5Гриниевячюс К.И. Гиперкомплекс прямых в многомерном проективном пространстве // Тр. 3-го Всес. мат. съезда. - М.,1956,-ТД. - С.14В-149.

^Гельфавд И.М., Граев М.И, Комплексы прямых в пространстве . ,

С // функиион. анализ и его прил. - 1968. - Т.2, внп.З. -С.39-35Г.

Г>п- 7

• ранстве ^ посвящена работа А.Б.Гончарова . В работе С.Г. Гиндикина®■рассматриваются некоторые задачи, приводящие к допустимым комплексам прямых. Геометрическое описание допусти» 'мах комплексов ¿п-мерных плоскостей представляет-значительные трудности. Попытки такого описания делались Л.З.Крутиковым9, В.А.Нерсесянохг^1. • . ......

В настоящей работе изучаются пятшернне комплексы дву-. мерных плоскостей в пятимерном проективном пространстве. Вы-, бор размерности образующего элемента, комплекса и.пространст-. ва обуславливается следующими обстоятельствами. Комплексы двумерных плоскостей пространства Р" являются обобщением комплексов прямых,пространства /?э в том смысле, что элемент такого комплекса зависит, от того, же числа параметров, что и точка-пространства. Это обстоятельство имеет важное значение для инте-.-тральной геометрии.. Семейство двумерных плоскостей в пространстве .Ps будет самодвойственным так же, как и семейство прямых. в пространстве Р3, поскольку при коррелятивном преобразовании, ему соответствует семейство того же вида. В проективном пространстве Р* четырехмерным, шестимерным, семимерным, а так-зце гиперкомплексам двумерных плоскостей посвящены соответственно работы Л^З.Крутлякова, А.Г.Мизина и Е. С.Никитиной*1,

п

Гончаров А.Б, Допустимые семейства К -мерных подмногообразий // ДАН.СССР. - 1988. - 1.300, № 3. - С.535-539. ® Гивдиклн С.Г. Редукций многообразий рациональных кривых, и связанные задачи теории дифференциальных уравнений .// Функциок. анализ и его прил. - 1984. - Т.Г8, вып.4. -С.Г4-39.

® Кругляков Л.З. О некоторых комплексах многомерных плоскостей: в проективном пространстве // Функцион. анализ и его прял. - 1982. - T.I6, вшз.З. - С.66-67. ^Нерсесян В.А. Допустимые комплексы Л'-мерных плоскостей

в р""// Ученые зап. ЕГ7. - I98S. - J6 2C.S4-38. ^Кругляков JI.3., Мизик А.Г., Никитина Е.С. Комплексы индекса одии плоскостей, в пространстве // Геол. сб. Томск, 1977. - Вып.18. - С.47-58.

С.А.Лактионова12 и А.Г.Мизина13. В пространстве Р* остались не исследованными лишь иятимарные комплексы двумерных плоскостей. ......

- Таким образом, исследование пяткмершис комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Рг является актуальной задачей многомерной проэхтивно-дий&ерекшгальной геометрии.

Целью диссертационной работа является исследование пяти-мерннх комплексов двумерных плоскостей в пространстве Р° .построение их классификации, а таете изучение их свойств я строения.

. Научная новизна исследования заключается в том, что. предложен новый принцип классификации ггяткмзрных комплексов двумерных плоскостей в пространстве Р5 и проведена такая классификация. Для этого использовано грассманово отображение*4 многообразия двумерных плоскостей пространства на девятимерное алгебраическое многообразие пространства р^.

В работе применяется метод подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана. Исследования носят локальный характер, я все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми.

Практическое и теоретическое значение работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, дополняют общую теорию семейств многомерных плоскостей. Эти результаты и развитые в работе методы могут быть использованы для изучения комплексов плоскостей произвольной размерности, а также поверхно-

■^Лактионов С.А. Классификация комплексов плоскостей в проективном пространстве // Геом. сб. - Томск, 1985. -Вып.26..-.С.65-76. *®Мизян А.Г. Комплексы коразмерности один и даа двумерных плоскостей в пятнмернсм проективном пространстве: Дисс. кавд.физ.-мат. наук,.- Томск, 1983. - Г45 с. 14Ходж 7 •В.Д. и Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М.: Ш, ХЭ54. - Т.1. - 4бг с;-

стей с плоскими образующими. Полученные результаты могут быть использованы при чтении лекций по проективно-дафференциальной геометрии семейств многомерных плоскостей.

Апробация, работк, Основные результаты диссертации докла- . давались и обсуждались на X /198?г./, XI /1988г./ и ХП /1989г./ научных конференциях молодых ученых факультета физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. Л.Лумумбы, на заседании семинара по классической дифференциальной геометрик под руководством профессора Л.Е.Евтушика, в Московском государственном университете ;ш.М.В.Ломоносова/1989г., а.также неоднократно на заседаниях геометрического семинара под руководством профессора М.А.Акивлса в Московском институте стали и сшивов.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано шесть статей, список которых представлен в конце реферата.

Структура 7! объем диссертации. Работа состоит из введения, •трех глав>и изложена на 115 страницах машинописного текста. Библиография содержит 55 наименований литературы.

обзор содержания' диссертации

. Во введении обоснована актуальность темы, намечены цель и задачи работы, указано значение полученных результатов, изложена история вопроса и приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе изучаются общие свойства пятимерных комп-у лексов К двумерных плоскостей в проективном пространстве Р. При этом используется отображение грассманова многообразия ¿{¿А) двумерных плоскостей пространства на девятимерное алгебраическое-многообразие ¿2^,5) пространства И3*5 , называемое грассмановым отображением.

В § Г рассматривается изображение пятимерных комплексов К на алгебраическом многообразии Пусть £ - точка

на многообразии соответствующая двумерной плоскости

Л пространства Р*. _ Многообразие в каждой точке £ име-

ет девятлыерную касательную плоскость которая высе-

кает из самого многообразия конус асимптотических на-

правлений второго порядка3"^. Проективизация этого конуса с центром в точке б. представляет собой многообразие Сегре*® $¿{2,2)=Г>£>г(-\ которое.является четырехмерной алгебраической, поверхностью шестого порядка^, несущей два семейства двумер-• ных плоских образующих. . .

С точкой С многообразия наряду с конусом

.связан конус . асимптотических направлений третьего поряд- . ка^ с вершиной в точке й . Проективизация конуса с цен-

тром в точке ё представляет собой кубическую гиперповерхность

Р&еЮ пространства РТ^^/г, V , несущую два семейства пятимерных плоских образующих. __

Комплекс К двумерных плоскостей I в пространстве Р~"

задается четырьмя линейно независимыми уравнениями р

где 1-формы определяют перемещение плоскости / . Это-

му комплексу при грассманоиом отображении соответствует пятимерное многообразие У с ¿2(2,$) . Многообразие V имеет в точке ^ пятимерную касательную плоскость, определяемую в касательном пространстве ¿2/2,5) уравнениями (X) . Проективизация этой плоскости представляет собой четырехмерную плоскость РТ^У . Различным водам взаимного расположения плоскости Р71У с многообразием Сегре кубической гиперповерхностью Р&е ^соответствия различные классы комплексов к . В общем случае плоскость РТе пересекает многообразие в шести точках. В каждой точке они определяют шесть

•^Акивис М.А. К дифференциальной геометрии грассманова много-:

образяя // Te/isoi. .. - 1982. - .38. - Р.273-282. ^Акивис М.А. Тка:ш и почти грассмановы структуры // Сиб.мат. - 1982, - Т.23, * 6. - С.6-15.

7Т<?. T~he о/ dcteг ^¿пач {а£ ¿Wt'. -

CA^endge. : 1938. - 484 р.

17 Room

- Ь -

направлений, интегральным кривым которых на комплекса .К со- . ответствуют -песть семейств торсов. При этом через.каждую образующую ¿' комплекса проходит, шесть торсов, по одному из каждого семейства. Кеаднй" торс комплекса /( , проходящий через плоскость I , определяет на I. характеристическую прямую и трехмерную характеристическую плоскость, проходящую через . Если на Плоскости и никакие три характеристические прямые не принадлежат одному пучку и никакие три трехмерные характеристические плоскости, проходящие через плоскость I , не лежат в одной гиперплоскости, то такой комплекс К является комплексом общего вида. Эти комплексы определяются с произволом четырех функций пяти аргументов. . ,

. - В-§ 2 изучаются некоторые общие свойства комплексов. Рассматривается гиперконус С , образованный плоскостями комплекса, проходящими через неособую точку плоскости I . Проективи-зация гиперконуса С с центром в его вершине представляет собой трехмерную линейчатую поверхность РС. Поверхность- РС называется фокальной или п о -л. у ф с к а л ь н о й , если ее прямолинейные образующие касаются-соответственно двух или одной двумерных поверхностей. Показано, что вершина гиперконуса принадлежит характеристической прямой или совпадает с пересечением двух характеристических прямых тогда и только тогда, когда для этой вершины линейчатая . поверхность РС является соответственно полуфокальной или фокальной.

Комплекс к двумерных плоскостей называется специальным, если для каждой его образующей I характеристические прямые и трехмерные характеристические плоскости имеют спехшальнув конфигурацию. Во второй главе для всех классов специальных комплексов выясняется их строение и изучается изображение этих комплексов на алгебраическом многообразии ¿¿{¿¿Х

В § I рассматриваются комплексы К , У которых в каждой образующей имеются тройки характеристических прямых, проходящих через одну точку, а соответствующие трехмерные характеристические плоскости находятся, в общем положении. Если число таких троек радао , то комплекс обозначается через .

При- этом. ЧИСЛО £ Ч .

Показано, что комплекс А является комплексом Кк тог-la и только тогда, когда его плоскости L касается тангенциально невырожденных гиперповерхностей. Доказано, что ком-злексы Kí являются самодвойственными комплексами. •

В § 2 изучаются специальные комплекса Cd , через каж-. ayo образующую которых проходят два торса с общей характеристической прямой. Доказывается, что комплекс К является комплексом C¿ тогда и только тогда, когда его плоскости L касаются трех тангенциально невырожденных гиперповерхностей' з точках, принадленащих одной прямой. Рассматриваются такге. хомплексы, двойственные комплексам Q . Эти комплексы харак-геризуются тем, что через каждую их образующую проходит два торса с общей трехмерной характеристической плоскостью.

В § 3 исследуются комплексы. К , через каждую образующую которых проходят две пары торсов, имеющих.общие характеристические- прямые. Они обозначаются через , Дохазано, что для каждой образующей комплекса fC, трехмерные характеристические плоскости торсов, имеющих общую характеристическую прямую,.не могут совпадать. Поэтому их линейная оболочка четырехмерна. Обозначим через ^ и <\г линейные оболочки трехмерных характеристических плоскостей двух имеющихся ' пар торсов. В зависимости от взаимного расположения этих гиперплоскостей выделяются два вида комплексов С? , а именно: комплексы C¿ пер -вого вида, когда гиперплоскости о1 и Зг - имеют трехмерное цересечение, и комплексы Сг второго вида, когда гиперплоскости <v и . совпадают. Показано, что комплекс К является комплексом С? первого вида тогда и только тогда, когда его плоскости L пересекают некоторую криЕуюи касаются двух тангенциально невырожденных гиперповерхностей. Комплекс К является комплексом Q> второго вида тогда и только тогда, когда его плоскости L пересекают некоторую кривую и принадлежат гиперплоскостям однопараметрмеского семейства. Рассматриваются такие комплексы, двойственные комплексами С,. Эти комплексы характеризуются тем, что через каждую их образующую проходят две пары торсов, имеющие общие трехмерные'характеристические плоскости.

,.' В третьей, главе изучаются /^/-допустимые, комплексы, .оп-. ределенные.В.А.Нерсесяяом?0 и к -допустимые комплексы, определенные Л. 3. Кругляков™9.

В §-1 рассматриваются /^-допустимые комплексы. Как уже было сказано выше, ■через неособую точку М плоскости /. проходит двупараметркческая.совокупность плоскостей комплекса, образующих гиперконус С . Комплекс К называется /К --Д -о п у с т и м ы, м, если гиперконус С являотся. тангенциально вырожденным, и касательная плоскость к этому конусу вдоль образующей не меняется при перемещении точки М в плоскости • . В работе находится изображение /^-допустимых комплексов К на алгебраическом многообразии . Рас-

сматриваются также комплексы, двойственные Л/ -допустимым комплексам. Они определяются следующим образом. Рассмотрим произвольную корреляцию в пространстве /°'т , переводящую двумерную плоскость М в себя. Бри этой корреляции неособой точке М соответствует.неособая гиперплоскость (Я , проходящая через плоскость I . Гиперконусу С , состоящему из плоскостей комплекса А' с вершиной в точке М при этой корреляция будет со-, ответствовать конгруэнция С* плоскостей /. комплекса, принадлежащая гиперплоскости оС . Дуально Д/-допустимые комплексы характеризуются тем, что конгруэнция Сообразована двумерными плоскостями I , касающимися двумерной поверхности, описываемой, некоторой точкой при этом точка А/ не зависит от положения гиперплоскости о( .

В § 2 изучаются комплексы, для которых понижается ранг

Где указанной индекс означает номер строки, а остальные, индексы - номера столбцов. Такие комплексы называются Л'- допустимыми. Выясняется строение этих комплексов и их изображение на алгебраическом многообразии Доказано,, что комплекс к является А'-допустимым тогда и только тогда, когда его плоскости ¿. принадлежат трехмерным плоскостям некоторой конгруэнции. Рассматриваются также комплексы, двойственные к'-допустимым комплексам. Они характеризуются тем, что для них понижается ранг »

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

.. I. Построено грассманово отображение пятимерных комп--лексов двумерных плоскостей в пространстве Рги с его помощью изучены свойства таких комплексов.

2. Дана классификация пятимерных комплексов двумерных плоскостей, основанная на классификации конфигураций характеристических прямых в плоскости I- комплекса и трехмерных характеристических плоскостей, проходящих через плоскость / .

3. Для какдого из выделенных классов комплексов дано полное геометрическое описание.

ПУШЙКАЦИЙ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Вубякин И.В. Об одном специальном классе пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р5// Материалы X конф. мол. ученых Ун-та дружбы народов, Москва, 13-19 апр., 1987г./ Ун-т дружбы народов. - М., 1987. - Ч.З.-С.169-172: ил. - Библиогр.: 4 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 29.12.87, № 9Г53-В87.

2. Еубякин И.В. А'-допусткше комплексы^ К^ двумерных плоскостей в проективном пространстве Р' / Московский ин-т стали и сплавов. - М., Г987. - 21 е.:ил.- Деп. в ВИНИТИ 17.12.87, № 356-В88.

3. Бубякин И.В. О некоторых свойствах Л/-допустимых пятимерных комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р*// Материалы XI конф. мол. ученых Ун-та дружбы народов , Москва, 15-19 марта, 1988г./ Ун-т дружбы народов. -М., .1988. - 4.2. - С.126-129: ил.-Библиогр.': 4 назв.- Рус.-Дсп. в ВИНИТИ 01.07.88, Я 5305-В88.

4. Бубякин И.В. 0 классификации-пягимерних комплексов /^двумерных плоскостей в проективном пространстве />г// Материалы ХП кокф'. мол. ученых Ун-та дружбы народов, Москва, Г8-22 апр., 1989г./ Ун-т дружбы народов. - М., 1989. - 4.2. -С.24-26:ил. - Еиблиогр.: 2 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.89, » 4616-В89.

5. Бубякин И.В. С некоторых свойствах пятимерных.комплексов двумерных плоскостей в проективном пространстве Р*// -Дифференциальная геометрия многообразий фигур. - Калининград, 1990. --Вып.21. - С.12-16.

6. Бубякин И.В. О геометрии пягимерных комплексов двумерных: плоскостей в проективном пространстве /Э*f| Функпион. анализ и его прил. - 1991. - 1.25, вып.З. - С.73-76.

Си —