Геометрия двумерных поверхностей в пятимерном полуевклидовом пространстве R 2/5 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I

ДВУМЕРНЫЕ НЕПАРАВОЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Vz В /?*

С НЕВЫРОдаЩЕЙСЯ ИНДИКАТРИСОЙ НОРМАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

§1.Предварительные сведения о пространстве

§2.Индикатриса нормальной кривизны для поверхности Vz

Абсолютный параллелизм.

§3.Построение полуканонического репера.

§4.Линии на поверхности.

§5.Основные классы линий на поверхности.

§6.Канонические реперы поверхности.

§7.Классы поверхностей.

ГЛАВА П

ДВУМЕРНЫЕ НЕПАРАВОЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ Мг В Rf С

ВЫРОЖДАЩЕЙСЯ ИНДИКАТРИСОЙ НОРМАЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ.

§1.Поверхности с индикатрисой,лежащей на прямой,не проходящей через точку X поверхности.

§2.Поверхности с индикатрисой,лежащей на прямой,проходящей через точку X поверхности.

• §3.Поверхности с индикатрисой,вырождающейся в точку.

ГЛАВА Ш

ДВУМЕРНЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ V2' И V/ В

§1.Построение полуканонического репера для поверхности Vz\

§2.Линии на поверхности V

§3.Основные классы линий на поверхности

§4.Канонические реперы поверхности К.

§5.Классц поверхностей Vz.

§6.Поверхности ]/% ,несущие некоторые специальные линии.

§7.Особо параболические поверхности Vz в Rs.

Первая неевклидова геометрия открыта и разработана Н.И.Лобачевским в начале XIX века (его доклад "Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных" состоялся в 1826 г.,первая публикация - в 1829 г.).

Общематематическое значение этого открытия общеизвестно.В геометрии и ее приложениях во второй половине XIX века на основе идей Ш.Клейна и Б.Римана возник целый ряд геометрических систем (геометрий),весьма существенно отличающихся от евклидовой.Важным приложением этих систем,особенно их дифференциальной геометрии, было открытие в начале XX века специальной и общей теории относительности.Она в большой степени стимулировала дальнейшее развитие теории неевклидовых геометрий.Следует подчеркнуть,что открытие специальной теории относительности связано не только с именем гениального физика А.Эйнштейна,но и с именами таких математиков, как А.Пуанкаре и Г.Минковский (см.,например,[9],[lб]).

Первое описание всех неевклидовых геометрий,основанных на введенном А.Кэли [б] понятии проективной метрики,дано еще в 1910 году Д.М.Ю.Соммервилем [32].Тогда же было начато изучение некоторых их них [4,30,3lJ.

Наиболее полное изложение теории неевклидовых пространств дано в известной монографии Б.А.Розенфельда [1б].Там же имеются некоторые исторические сведения.Полное представление об истории вопроса дает монография того же автора "История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве".М.,1976.

Дифференциальная геометрия полуевклидовых и полунеевклидовых пространств разработана еще недостаточно.До недавнего времени основное внимание уделялось дифференциальной геометрии пространств с невырожденными метриками,а также квазиэллиптических и квазигиперболических пространств.В последние годы началась интенсивная разработка теории поверхностей в полуевклидовых (т.е. подчиненных аффинному ; точное определение см. [16 ,c.3I0j)пространствах.

Сначала изучались кривые и поверхности в простейших полуевклидовых пространствах,а именно,в изотропных (к.Штрубеккер,[34-Зб]), флаговых(н.В.Парнасский, [14},0.А.Сдвижков, [I9J и др.),галилеевых (р.Г.Бухараев,[з] ,И.Н.Мигалева[8}, А.И.Сирота/207,Н.Е.Панкина[П-1з1) и др.Из более ранних работ упомянем [25],[29],[33].

Теории многомерных непараболических поверхностей в полуевкли

Л«">« . довых пространствах К„ при произвольных и,т и t посвящено исследование О.А.Сдвижкова £I8J.0ho открыло возможность для более глубокого исследования поверхностей конкретных размерностей в конкретных (т.е. соответствующих фиксированным п , уу) , ъ. ) полуевклидовых пространствах.

Настоящая работа посвящена детальному изучению двумерных поверхностей в пятимерном полуевклидовом пространстве R^ ,на основе которого можно перейти к пространству /?и , 5 ,так как размерность второго соприкасающегося пространства двумерной поверхности равна пяти.В работе наряду с непараболическими поверхностями Vz, изучены и параболические Vz ,ранее никем не рассматривавшиеся.

Цель работы - построение основ теории двумерных поверхностей в пятимерном полуевклидовом пространстве и изучение линий на этих поверхностях.

Работа имеет теоретическое значение.В ней содержатся необходимые основы для изучения двумерных поверхностей в полуевклидовых пространствах ДРУГИХ исследований в области дифференциальной геометрии неевклидовых пространств.

Научная новизна,Впервые детально рассматривается геометрия двумерных поверхностей в пространстве , изучаются параболические поверхности в R^ ,которые ранее вообще никем не рассматривались.

Краткое содержание работы.Диссертация выполнена методом подвижного репера и внешних форм Картана.Результаты исследования носят локальный характер,т.е. справедливы лишь в некоторой окрестности, связанной с элементом рассматриваемого геометрического образа.

Диссертация состоит из трех глав основного текста, состоящего из 17 параграфов.

Первая глава состоит из семи параграфов и побвящена изучению двумерных непараболических поверхностей V^ в с невырождающейся индикатрисой нормальной кривизны.

В §1 изложены предварительные сведения о пятимерном полуевклидовом пространстве ^ ,которое определяется как пятимерное аффинное пространство п $ ,в несобственной гиперплоскости / о которого задан мнимый 3-конус с двумерной плоской вершиной ,в которой лежит мнимая квадрика.Среди двумерных поверхностей этого пространства есть непараболические Vz ,касательные плоскости которых не пересекают вершинную плоскость абсолюта,параболические ,касательные плоскости которых пересекают в точке,и особо параболические Vz ,касательные плоскости которых пересекают по прямым.Нормальные плоскости Л^ (л) для этих поверхностей являются соответственно евклидовыми пространствами ^з, галилеевыми fj и изотропными з

В §2 рассматривается индикатриса нормальной кривизны,которую описывает конец вектора нормальной кривизны при изменении направления на поверхности при условии,что вектор k„ приложен к точке Л & \/z .В общем случае индикатриса является эллипсом с центром, определяемым радиусом-вектором /п средней кривизны. Установлено,что непараболические поверхности обладают абсолютным параллелизмом как в касательной плоскости,так и в нормальном расслоении.

В §3 проводится построение полуканонического репера,в котором вектор е3 параллелен вектору т средней кривизны,вектор параллелен плоскости индикатрисы и перпендикулярен вектору , вектор ё,, определяется единственным образом как перпендио кулярный векторам е3 и .В полуканоническом репере поС верхность относится к некоторой произвольно фиксированной ортогональной сети.Найдены инварианты поверхности и указан их геометрический смысл.

В §4 изучаются линии на поверхности , найдены инварианты линии,которым дана геометрическая характеристика.Получены вычислительные формулы для инвариантов линии на поверхности 1/2 . Найдены основные дифференциальные формы поверхности.

В §5 рассмотрены классы линий на поверхности 1/к :геодезические, полуасимптотические,линии - 0 и линии

В §6 построены два канонических репера поверхности Vz . Первый канонический репер получен из полуканонического ('поверхность отнесена к семейству линий - О).Второй репер получен независимо от полуканонического,что позволяет рассматривать в этом репере те поверхности,для которых построение первого канонического репера невозможно.Во втором репере векторы <23 и параллельны осям индикатрисы,вектор б?^ перпендикулярен плоскости индикатрисы,вектор е, - касательный к той линии со2'- О на поверхности,для которой вектор нормальной кривизны соответствует одной из главных осей индикатрисы, вектор €г , касательный к линии

- О ,перпендикулярен .Выведены формулы,связывающие между собой векторы этих двух канонических реперов,и найдены выражения инвариантов,полученных в §3,через коэффициенты . ,полуJ ченные во втором репере.

В §7 даны начала классификации поверхностей V2 .Основными классами являются:i) минимальные поверхности Q ,для которых вектор средней кривизны обращается в нуль,2) поверхности 4 -- о, для которых вектор средней кривизны перпендикулярен плоскости индикатрисы,з) поверхности ~ О , плоскости индикатрис нормальной кривизны которых проходят через точку поверхности,4)поверхности Иц-0 ,несущие линии tsO~-0 »для которых вектор нормальной кривизны параллелен координатной плоскости (ё3/ё„) ,5) поверхности , через каждую точку которых проходит только одна линия класса к1-0 .Для каждого класса определен произвол задания.

Во второй главе изучаются непараболические поверхности с вырождающейся индикатрисой нормальной кривизны.В этом случае поверхности несут сопряженные сети,так как

В §1 рассматриваются поверхности,для которых индикатриса нормальной кривизны лежит на прямой,не проходящей через точку X поверхности.Установлено,что основным свойством поверхности этого класса является существование единственной ортогональной сопряженной сети.

В §2 изучены поверхности У г ,для которых индикатриса нормальной кривизны лежит на прямой,проходящей через точку х поверхности. Показано, что поверхности данного класса принадлежат трехмерному изотропному пространству й^

В §3 рассматриваются поверхности Vz ,индикатрисы нормальной кривизны которых вырождаются в точку.Эти поверхности принадлежат трехмерному изотропному пространству ^з ,и любая сопряженная сеть на поверхности данного класса является ортогональной.

Третья глава посвящена изучению параболических поверхностей и состоит из семи параграфов.

В §1 проведено построение полуканонического репера для параболической поверхности У^ ,выявлена его геометрическая характеристика, найдены основные инварианты поверхности.

В §2 построена теория линий на поверхности И? ,найдены инварианты линии на поверхности,которым дана геометрическая характеристика. Получены вычислительные формулы для инвариантов линии. Найдены основные дифференциальные формы поверхности Vz .

В §3 изучены основные классы линий на поверхности И? :ли-нии ^ •=. О , 6~- О , ул - О , ^ - О ,геодезические.

В §4 построены два канонических репера поверхности Vz Первый репер получен из полуканоническо^о (поверхность отнесена к семейству линий У = О ) .Второй репер получен независимо от полуканонического. Установлено, что произвол задания поверхности Кг в /?5- - две функции двух аргументов.

В §5 даны начала классификации поверхностей V2 .Основными классами являются: i) поверхности Л, - О , J2 ^ ^ ,которые принадлежат четырехмерному галилееву пространству и являются там поверхностями общего вида,2) поверхности являющиеся картановыми многообразиями и имеющие изотропные прямолинейные образующие,з) поверхности о^ £JS 4 О ,являющиеся картановыми многообразиями и имеющие сопряженную сеть,состоящую из плоских изотропных и цилиндрических линий,4) изотропные линейчатые поверхности с вырождающейся индикатрисой нормальной кривизны,являющейся прямой,перпендикулярной постоянному вектору,б) поверхности,являющиеся цилиндрами с изотропными образующими.Для каждого класса определен произвол существования.

В §6 рассмотрены поверхности V ,несущие некоторые специальные линии.

В §7 рассматриваются особо параболические поверхности Vz , касательные плоскости которых пересекают вершинную плоскость абсолюта по прямым.Показано,что поверхность данного класса принадлежит трехмерному евклидову пространству.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1.Геометрическая характеристика репера линии на двумерной поверхности в .Классификация линий на поверхностях Vz и

2.Геометрическая характеристика канонических реперов двумерных поверхностей в .

3.Доказательство,что двумерные непараболические поверхности с вырождающейся индикатрисой нормальной кривизны или являются картановыми многообразиями,или лежат в трехмерном изотропном пространстве.

4.Исследование геометрического строения и доказательство существования ряда классов поверхностей,характеризующихся обращением в нуль основных инвариантов,найденных при построении тех или иных реперов.

Апробация диссертации.Основные результаты диссертации докладывались на УП Всесоюзной конференции по современным проблемам геометрии в г.Минске (1979г.),на У1 научной конференции по математике и механике Западно-Сибирского региона MB и ССО РСщСР в г.Томске

1977г.) ,на областной математической конференции в г.Омске (1979г.),на геометрических семинарах им. Н.Г.Туганова при кафедре геометрии Томского университета,на семинарах профессора Б.А.Розенфельда в г.Москве,на семинарах профессора М.А.Акивиса в г.Москве,на семинаре профессора В.Т.Базылева в г.Москве,на научных конференциях в Волгоградском пединституте,на геометрическом семинаре кафедры геометрии Казанского университета (l983r.).

Публикации.По теме диссертации опубликовано три статьи и тезисы доклада в материалах конференции ^2^25].

1.Акивис М.А.Многомерная дифференциальная геометрия.Калинин, 1977,84с.

2. Акивис М.А.О строении поверхностей,несущих сеть сопряженных линий.Уч.зап.МГПИ им.В.И.Ленина,М., 1963,31-48.

3. Вухараев Р.Г.О поверхностях евклидова пространства с вырождающимся абсолютом.Уч.зап.Казанского гос.ун-та,т.П4,1954, 39-52.

4. Котельников А.П.Принцип относительности и геометрия Лобачевского. Сборник " yruLyyuyz-LO-mт.2,Казань,1927,37-66.

5. Кэли А.Шестой мемуар о формах.Сб."Об основаниях геометрии" ,М.,Гостехиздат,1956,222-252.

6. Лагалли М.Векторное исчисление. Mv'-Л. ,0нти, 1936,343с.

7. Любишева Л.В.Гиперповерхности в полуевклидовых пространствах .Уч .зап.Коломенского пед.института,т.УШ,1964,I08-II7.

8. Мигалева И.Н.Теория кривых и гиперповерхностей пространства с вырожденным абсолютом."Вопросы диф. и неевклид.геометрии", уч.зап. МГПИ им.В.И.Ленина, 1963,252-264.

9. Минковский Г.Время и пространство.В сб."Принцип относительности", М. -Л. ,0НТИ, 1935,181-203.Ю.Норден А.П.Пространства аффинной связности.М.,"Наука", 1976,432с.

10. Панкина Н.Е.Линейчатая геометрия галилеева 3-пространства. М.,1980,Деп. в ВИНИТИ 30 июня 1980г.,Р 2755-80.

11. Панкина Н.Е.2-поверхности в галилеевом 4-пространстве. М., 1980,-32с.,Деп. в ВИНИТИ 6 июня 1980г.,№ 2274-80.

12. Панкина Н.Е.К теории поверхностей трехмерного галилеевапространства.В сб."Геометрия погруженных многообразий",М.,1980, 71-77.

13. Парнасский Й.В.Аксиоматическое построение трехмерной параболической геометрии.Уч.зап.Орловского пед.института,т.2, №2,1956,3-40.

14. Пуанкаре А.Об основных гипотезах геометрии.В сб."Об основаниях геометрии",М.,Гостехиздат,1956,388-398.

15. Розенфельд Б.А.Неевклидовы пространства.М., "Наука", 1969,548с.

16. Рудь Н.Н.К дифференциальной геометрии пространств с проективной метрикой.Уч.зап.МГПИ им.В.И.Ленина.Вопросы диф. и неевклид.геометрии,1965,325-344.

17. Сдвижков 0.А.Геометрия поверхностей Vm в /V .Геом.сб.,20 (Изд-во Томского ун-та),1979,60-69.ГЭ.Сдвижков О.А.О геометрии w -поверхности пространства .Геом.сб.,вып.17 (Трудц Томского ун-та), 1976,104-116.

18. Сирота А.И.Геометрия трехмерного пространства с вырожденной евклидовой метрикой."Вопросы диф. и неевклид.геометрии", Уч.зап.МГПИ им.В.И.Ленина,1963,298-314.

19. Схоутен И.А. и Стройк Д.Дж.Введение в новые методы дифференциальной геометрии,П т.,М.,ИЛ, 1948,348с.

20. Широбакина Н.В.К геометрии двумерных непараболических поверхностей в пятимерном полуевклидовом пространстве . Геом.сб.,21,Изд-во Томского ун-та,1980,37-44.

21. Широбакина Н.В.Двумерные непараболические поверхностив R<r с вырождающейся индикатрисой нормальной кривизны.Геом. сб.,22,Изд-во Томского ун-та,1982,84-91.

22. Широков П.А.Интерпретация и метрика квадратичных геометрий. 1917,опубл.1966г. в кн.:Широков П.А.Избранные работы по геометрии.Изд-во Казанского ун-та,Казань,1966,15-179.

23. Щербаков Р.Н.Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.Томск,1973,235с.