Алгебраические методы в теории атомных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ОРДЕНА ТРУДОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ

им. Б.И. СТЕПАНОВА

. , ^ од -

1,0

На правах рукописи

Ле Вал Хоанг

УДК 530.12:145

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ АТОМНЫХ СИСТЕМ 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на согГскание ученой степени доктора фноико-математических наук

Минск - 1995

Рабо та выполнена па кафедре теоретической фиоики Белорусского государственного университета

Научный консультант: доктор фиоико- математических паук,

ирофсссор Комаров Л.И.

Официальные оипоненты: доктор фиоико-математических наук,

профессор Хрусталев O.A. (Московский государственный университет),

доктор фиоико математических наук Толкачев Ё.А. (ИФ АН Беларуси),

доктор фиоико-математических наук Завтрак С/Г. (НИИ ядерных проблем при ИГУ).

Недущан оргашюация: НИИ ядерных проблем при 1>ГУ, г. Минск.

Защита состоится " 1995 года в часов на оассда-

иии спсцишшпирои&нного сойота Д.ООО.01.02 при Институтофипикм ЛИ Беларуси (220072, Минск, проспск-и Ф.Скорииы, 70) в конференц-оаде института.

С диссертацией можно оонакомиться в библиотеке Института фиоики АН Беларуси.

Автореферат раоослан "с7£ " Q^j/ic^ifl995 года

Ученый секретарь совета i J /

кандидат фин.-мат. наук ^ ('¿f' ^ Куоочкин Ю./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Необходимость разработки новых алгебраических методов атомных расчётов тесно связана с тем, что в последнее время в физихе ведутся интенсивные исследования, связанные с поиском новых активных сред для квантовых генераторов в рентгеновском и 7-дианаоонах, с разработкой новых полупроводниковых устройств, с рассмотрением движения заряженных частиц и фотонов в плаоме и т.п., и вопрос о корректном учёте влияния внешних классических и квантовых полей на движение электронов в атоме становится особенно важным. Кроме отого, в связи с достижениями последних лет в сканирующей туннельной микроскопии возникает большой интерес к зада * чам о спектре атома, локализованного на поверхности кристалла. Это экспериментальное направление стимулирует развитие теоретических методов для расчётов атомных систем на поверхности.

Для круга оадач атомной фиоики возможность развития алгебраических, методов в оначительной мере обусловлена достижениями в развития теории динамических симметрии. В последнее время активно развивается тенденция использовать обнаруженную в работах Куста-анхеймо и Штифеля связь между задачей о четырёхмерном изотропном гармоническом осцилляторе и кулоновской оадачей. На основе использования отой свяои предложен простой и эффективный в приложениях вариант реализации динамической симметрии водородоподобпого атома 4,2). Эта реализация открыла новые пути в использовании алгебраических методов в атомпых расчётах. Фактически, все вычисления, основанные на использовании алгебры 50(4,2), непосредственно строятся на коммутативных соотношениях операторов уничтожения и рождения квантовых воо Суждений и многочисленные сложные вычисления атомных характеристик сводятся к чисто алгебраическим операциям приведений произведения операторов уничтожения и рождения возбуждений к нормальному виду.

Цель диссертационной работы заключается в разработке, обосновании и апробации оффективных методов алгебраических расчетов свойств атомных систем.

Научная новгона и практическая ценность работы состоит в том, что в ней предложены и обоснованы методы расчётов свойств атомных систем, основанные на сочетании аналитических методов в теории воомущешга и методов алгебраичесжих вычислений. Операторные представления хулоновских функций Грина (нерелятивистской и релятивистской) построенные впервые в диссертации, являются основанием для применения алгебраических методов. Испольоованис операторного представления хулоновских функций Грипа сводит довольно сложные вычисления матричных элементов к чисто алгебраическим операциям приведения к нормальному виду произведений операторов уничтожения и рождения квантрвых вообуждешш и тем самым существенно расширяет область применения аналитических методов в теории возмущений. Предложенный в диссертации метод теоретической оценки области оначений свободного параметра, при хотором итерационные ряды операторного метода наиболее быстро сходятся, является новым и пооволяет широко применять операторный метод для круга оадач атомных систем. Дохаоательство сходимости итерационных процессов операторного метода для любого выбора баоиса волповых функций гармонических осцилляторов является шагом вперед в теории операторного метода.

Публикации и апробация работах. Осповпые реоультаты диссертационной работы опубликованы в 17 статьях и докладывались на "IX Всесоюоной конференции по теории атомов и атомных спектров" (Ужгород, 1985), III и IV Семинарах по атомной спектроскопии (Черноголовка, 1992, 1993 гг.), Int. Workshop "Quantum Systems : New Trends and Method" (Minsk, 1994).

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит ио введения, четырех глав, раобитых на 20 параграфов, оахлгочения, списка цитированной литературы. Ее общий объем составляет 236 страниц, включая 11 рисунки и 8 таблиц. Список литературы содержит 196 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснован выбор темы исследования, актуальность рас-.матриваемых вопросов, дано положение основных результатов, выно-:имых на оащиту.

Первая глава посвящена теории спяои между задачей о гармониче-:ком осцилляторе и кулоновской оадачей. Заполнены некоторые про-5елы в теории преобразования Кустаанхеймо и Штифеля, с помощью которого осуществляется упомянутая свяоь, и развиты те ее аспекты, юторые необходимы для построения алгебраических методов. Сам ракт существования связи между оадачей о гармоническом осцилляторе и кулоновской оадачей весьма интересен и требует ответа на вопрос: каковы размерности пространств, в которых уравнение Шредингера }ля кулоновской задачи и уравнения Шредингера для гармонического эсциллятора связаны между собой с помощью обобщенных преобразо-заний Кустаанхеймо и Штифеля. На основе выбора обобщенных КШ преобразования в виде :

«А = (ГА).« (Л= 1,2,... ,д + 1),

Ха = *.(«) = 1), (1)

с вещественными симметричными N х N - матрицами Гд, удовлетворяющими соотношениям

5р(ГА) = 0 , Гд Гц + Гц Гх = 26^1 (2)

Показано в §1.1 утверждение о том, что свяоь между оадачей Кеплера в вещественном пространстве размерности д + 1 и задачей об изотропном гармоническом осцилляторе в вещественном пространстве размерности N существует и может быть установлена только в тех случаях, когда # = 2д и £ = 2А(Л = 0,1,2,3). Предложен также простой рецепт построения обобщённых КШ-преобразований, реализующих эту свяоь.

В §1.2 построено уравнение в двумерном комплексном пространстве, которое при переходе к обычному пространству с помощью преобраоования Кустаанхеймо и Штифеля

= , (А = 1,2,3)

= ^

приводится * уравнению Шрёдингера для водородоподобного атома в електромагнитпом поле (А, V»)- Хотя свяоь между этими уравнениями была испольоована во многих работах, до сих пор изучению общей структуры первого уравнения, которое несомненно имеет большую важность для егр применения в конкретных решениях, ещё не достаточно уделяют внимания. Уравнение, построенное в общем виде, является уравнением Шрёдингера для гармонического осциллятора в спинорном поле (А,, А*), а при переходе к трехмерному пространству описывает водородоподобный атом в электромагнитном поле которое определяется ш (А,, А^) с помощью явного соотношения.

Задача о четырёхмерном осцилляторе содержит ещё одну особенность, па которую авторы многих работ не обратили внимание. Дело в том, что при переходе от Пространства переменных £ к пространству трёх переменных (21,23,23) можно определить ещё одну переменную х (см. (3)), "лишнюю", так как она непосредственно не свяоана с физическим трехмерным пространством. В терминах топологической геометрии лишней переменной х соответствует слой у каждой точки сферы 5г в расслоепии Хопфа 5Э —► 52. Как иовестно, при конкретном определении переменнойх уравнение Шрёдингера для иоотроппого гармонического осциллятора в четырёхмерном пространстве приводится к уравнению Шрёдингера для водородоподобного атома в поле монополя Дирака плюс скалярный потенциал <р/(2г2). Другими словами, ш набора волновых функций двумерпого комплексного иоотропного гармонического осциллятора можно выделить волновые функции для мик-кеплеровой оадачи. Однако возникает интересный вопрос : какие ещё фяоические решения содержатся в наборе волновых фул?.ггш двумер-» кого комплексного иоотропного гармояичесхого осциллятора. В §1.3, ;,ана интерпретация лишней перекопкой в общем виде и покаоано, что ей раоличные выборы приводят Лишь к калибровочному преобраоова-ияю потенциала монополя Дирака.

В §1.4 положены основные положения алгебраического метода ре-

шения уравнения Шрёдынгера для водородонодобных атомов. Решение уравнения Шредингера для иоотронного гармонического осциллятора в ^-пространстве легко построить в виде

|пь"2,»з,п3> = (4)

Аналио, приведенный в §1.3 , побволяет ио (4) выделить волновые функции для кулоновской оадачи: те векторы ио (4), у которых щ 4- п3 = пз+«4, являются кулоновскими волновыми функциями. Получены в терминах операторов рождения и уничтожения вообуждения общих формул для баоиса кулоновских функций, отвечающих оаданным оначени-ям оператора квадрата орбитального момента количества движения и Vоператора его третьей проекции:

|/т) = (М+)''£>(т(т+)|0И>, (5)

где

Возможность чисто алгебраических вычислений основана, во-первых, на исполызовании операторного представления кулоновских волновых функций (5), и, во-вторых, на том, что при преобраоовании операторов А к ^-пространству и оатем к операторам а,(а+) и Ь,(Ь+) вооникают только следующие комбинации операторов уничтожения и рождения:

М(и>) = а,(ш)Ь,(и), М+(и) = а+(и>)Ъ+(а>),

2 + ^(ы) = 2 + а?(и)а,(ш) + Ь+(и>)Ь.(и) ,

т\(и) - («га, = (сг>),(а+(ш)6+(а>)

пЦи) = , п{(ч>) = (ах).гЬ+(ш)Ъ,{и), (6)

которые обраоуют оамкнутую алгебру, иооморфную алгебре группь 50(4,?). Коммутативные соотношения между операторами (6) полу чены ио перестановочных соотношении:

[«,(«),«+(<*)] = , [б.Н.й»] = (7

В §1.5 приведены реоультаты вычисления алгебраическим методо! матричных элементов оператора кулоновского воаимодействия двух оа рядов в баопсе кулоновских волновых функций. Общие формулы вти матричных елемептов необходимы для многих расчётов характеристи многоелехтронных атомов. Эффективность метода алгебраическог метода продемонстрирована в вычислениях формфакторов водород; подобных атомов. Формфакторы водородонодобных атомов играю важную роль не только для расчётов атомной фдаики, но и для мног< численных вычислений в фиоике Ьысоких онергий. С использование операторов (6) получены общие формулы для формфакторов в ви;

бЫСТрО СХОДЯЩИХСЯ рЯДОВ. ЭТИ формулы удобно ИСПОЛЬООВаТЬ При В!

полнении конкретных вычислений.

Одним ио преимуществ использования свяои между оадачами с атоме водорода и гармоническом осцилляторе является то, что име но эта свяоь пооволяет непосредственно и аффективно применять оп раторный метод (ОМ) в проблемах атомной фиоихи. Операторш метод был предложен Комаровым и Феранчуком и является эффекта ньш методом приближённого решения уравнения Шрёдингера, а так; для получения точных численных решении последнего. Сущность О состоит в введении (вместо операторов канонических сопряжённых I ординат и импульсов) операторов рождения и уничтожения квантов] вообуждений

вместе с предположением, что часть оператора Гамильтона Н(а+, а,< коммутирующая с операторами чисел вообуждений п = а+а, т.е. Йо(а+а,и) определяет основной вклад в энергию системы. Влияние <

5рощешшх в пулевом приближении членов оператора Гамильтона

V = Я(а+, а, ы) - Й0(а+а,и)

учитывается оатем либо с помощью раоличных схем теории возму-цений, либо с помощью относительно несложных для реализации конфетных вычислении итерационных процедур. Благодаря простоте схе-лы реалиоащш, ОМ окапывается эффективным и применимым для ре-ления самых разнообразных оадач. Построение баоиса кулоноаских функций в представлении операторов уничтожения и рождения возбуждений позволяет применить ОМ непосредственно для решения оа-?ач атомной физики. Вторая глава диссертации посвящена исследова-шю проблемы сходимости итерационных процедур операторного метода, которая до сих пор не решена окончательно. Тесно связана с проблемой сходимости ОМ и проблема выбора свободного параметра, эведёпного при определении операторов уничтожения и рождения воо-Зуждений гармонического осциллятора (см. (8)).

В §2.1 приведены результаты численных окснериментов на примере задачи об ангармоническом осцилляторе, которые показывают, что ятерационные процедуры, используемые в ОМ позволяют находить точиле численные решения для всех значении свободного параметра в широком диапазоне опачений константы ангармоничности и для любых, зт основного до высоко возбуждённых., состояний. При отом ваблюда-зтся тот факт, что существует область опачений свободного параметра, при котором ряд последовательных приближений наиболее быстро :ходится (диапазон быстрой сходимости). Очень важным для решения многих сложных оадач является предварительный выбор свободного параметра в диапазоне быстрой сходимости, поэтому в §2.1 предложен эбщий критерий теоретической оценки диапазоны быстрой сходимости ао требования выполнения условия

¡|Яо!| > ги, (9)

где ^

1Й1 = (Т<Ь91(х)А39я(х)У .

Теоретические оценки (9) и реоультаты численных ^экспериментов согласуются между собой и, поскольку предложенный критерий выбора параметра вытекает ш общих соображений и не содержит особенностей конкретных квантовых систем, можно надеяться, что он будет применён для других оадач.

При рассмотрении оадач атомной физики с помощью ОМ может возникать случай, когда итерационный процесс сходится очень медленно при фиксировании свободного параметра, поэтому на основе апа-лиоа частичных сумм рядов теории возмущений как функций свободного параметра был предложен так наоываемый оптимальный выбор параметра. Основная идея отого выбора заключается в том, что при каждой итерации выбирается соответствующее оначепие свободного параметра, т.е. в место ряда

получается

Этот метод выбора существенно повышает скорость сходимости, однако сложен в реализации для неодномерных оадач. В связи с отим в §2.2 предложен ещё один вариант оптимального выбора свободного параметра, где критерий выбора параметра вытекает ио требования выполнения теоремы о вириале для приближённых квантовых функциг в каждом порядке приближении. Этот критерий сводится к достаточно простым уравнениям для определения параметра. Эффективное^ нового способа выбора параметра демонстрируется на примере задач! об ангармоническом осцилляторе и о движении частицы в двухъямдак потенциале.

Часто встречается случай, когда необходимо получит' достаточ но точные аналитические решения в нулевом приближении. В отог случае необходимо учитывать особенности асимптотического поведе ния волновых функций системы. В §2.3 показано, как можно учест асимптотическое поведение волновых функций в построении нулевс го приближения ОМ для получения аналитических решений уравнени

Шрёдингера для водородоподобного атома о магнитном поле. Найдены аналитические оценки, которые качественно правильно передают функциональную оависимость онергии системы от внешнего магнитного поля во всём диапаооне интенсивности.

В §2.4 мы рассмотрена возможность применения ОМ для двумерных атомных систем. В последнее врем оадачп о двумерных атомных системах высыпают большой интерес у исследователей ио-оа их важности по многих проблемах фиоики твёрдого тела. Предложен вариант реализации динамической симметрии 50(3,2) на основе свяои между двумерной кулоновской задачей и оадачей о гармоническом осцилляторе в одномерном комплексном пространстве. С помощью преобразования Леви-Чивита уравнение Шрсдипгера для двумерной кулоновсхой оадачп ^приводится х уравнению Шредингера для гармонического осциллятора в пространстве. Это позволяет построить баоис волновых функций двумерной кулоновской оадачи в виде :

|п,т) = (а+)п+т(Ь+)п-п\0(и)). (10)

При преобразовании оператора А х ^-пространству и затем к операторам а(а+) и Ь(Ь+) возникают только следующие комбинации операторов уничтожения и рождения вообуждений :

М(ы) = а(ь>)Ь(ы),' М+,(ш) = о+(ш)Ь+(ш), Щи) = а+(ы)а(ы) + Ь+(и)Ь(и), Ыи>) = \ (»»(«) + Ь\ы)), = («*(«) - Ъ\«)) ,

= \ (<*+V) + Ь+\ш)) , гп${ш) = 1 (а+г(а/) - Ь+»(«)) ,

т(и>) — а+(и>)Ь(и>) + Ь+(ь})а(и), п3(и) = —г(а+(ы)Ь(и>) - Ь+(и)а(ы)),

<3{ш) = а+(а/)а(«) - Ь+(ы)Ъ(и), (11)

которые обраоуют замкнутую алгебру, изоморфную алгебре группы 50(3,2). С помощью отой реализации ОМ непосредственно применяется к оадачам о двумерных атомных системах. Эффективность применения ОМ демонстрируется на примере оадачи о двумерном атоме

водорорда в магнитном ноле, где получены точные численные решена ы аналитические оцепки, которые правильно передают функциональную оависымость энергии от магнитного ноля во всём диапазоне интенсив вости.

Третья глава диссертации посвящепа построению операторного пр ставленая кулоновской функции-Грина и применению его в конкретны вычислениях.

В §3.1 методом функционального интегрирования построепа свяо между функцией Грина дм изотропного гармонического осциллятора двумерном комплексном пространстве U(£,77; Z) и функцией Грина дл водородонодобного атома в электромагнитном поле:

= - JdxU^rj; {11

Построенная свяоь, во-первых, расширяет класс потенциалов, допу< хающих точные вычисления интегралов по траекториям, и, во-вторы; дает относительно простой рецепт построения функции Грипа для ато пых систем. Конкретно с помощью соотношения (12) построены: кул< иовская функция Грина, фунхция Грина для мик-кеплеровой проблем! функция Грина для атома водорода в поле Аароиоиа-Бома плюс по; монополя Дирака:

Кя{гУ-,Е) = ~exp[-2inq(x - х')}*

00 2Z

х I dt exp(i—i)(sin <)~3exp[aw(r + г') cot ijx

1 w

x exp

2iq arctan----

тт' + г.г' + гх з + т'х з и найдены в §3.2 их операторные представления в форме нормальпь произведений операторов (6). Эффективность использования опер торного представления кулоновской функции Грина демонстрируется всрелятивистском расчете сдвигов и радиационных ширин онергет ческих уровней водородоподобпых атомов. Показано, что для рассм триваемой оадачи отказ от применения диполыюго приближения р

0нш-;ид1д взаимодействия олектропа с квантовым олектромагнцтпъш полем практически не увеличивает объема необходимых вычислений.

В §3.3 и §3.4 покаоано, как иснольоовать операторное представление кулоповсхой функции Грина для оадач о расчетах характеристик мпогоолектрошшх атомов и молекул. Для того, чтобы применить по-строезнсе в §3.2 операторное представление кулоновской фунхцтга Грина к решению упомянутых оадач необходимо решить один принципиальный вопрос: при переходе к многомерному пространству двумерных комплексных иоотрогшых гармонических осцилляторов возможно ли выразить вооникающую мпогочастичпую функцию Грипа черео од-ночастичные функции Грипа? При рассмотрении оадачи в обычном трехмерном пространстве методом теории воомущепий ото воомож-но благодаря тому, что операторы Гамильтона без учета кулоновско-го межчастичного воаимодействия для каждой частицы коммутируют между собой. Однако уравнение в ^-пространстве для описания мпо-гочастнчной системы имеет иную структуру и проблема выражения многочастичпой функции Грипа черео одночасти'шые фупкции Грина более сложна. В §3.3 получено выражение многочастичной кулоповсхой функции Грина черео функции Грина для гармонического осциллятора и построено операторное представление для первой. Покаоано, что ото представление можно привести к нормальному виду и, тем самым, оф-фективпо применить для алгебраических расчетов сложных матричных олементов с волновыми функциями мпогоолектрошшх атомов. В качестве примера в §3.3 рассмотрена оадача о взаимодействии двух атомоп водорода. Для случая большого расстояния между атомами получены реоультаты, числеппые оценки которых совпадают с известными, а для спучая блиокого растояния в §3.4 рассмотрена эквивалентная по степени сложности оадача о спектре атома гелия; получены численные оценги, совпадающие с иовестными реоультатами. Здесь численные реоультаты получены только для демонстрации правильности примененного метода, а основными результатами являются представление решений волповых фупкции (во втором порядке теории воомущепий) п В1;,7 действия операторов рождения на состояния вакуума, что равносильно с аналитическими волновыми функциями и удобно п примене-

екях в вычислениях характеристик многоолектроипых атомов.

В настоящее время затрачиваются большие усилия в исследованиях физических объектов в пространствах различных размерностей. В связи с тем, что связь между задачей о пятимерном водородоподобпом атоме и задачей о восьм1й-:ерпом гармопическом осцилляторе оказывается полезной для выделения зависимости от полного орбитального момента количества движения в гамильтониане атома гелия, в §3.5 методом функционального интегрирования построена связь между пятимерной кулоновской функцией Грина и функцией Грина для изотропного восьмимерного гармонического осциллятора:

1 4 +00 +00 +00

К(г= ЫЮ / / <1хв(ижа>тг).

В четвертой главе алгебраический метод применен с использованием связи задачи о четырехмерном гармоническом осцилляторе с задачей об атоме водорода в электромагнитном поле для случая релятивистских задач. "

В §4.1 построено в ¿-пространстве общее уравнение

ЯФ(0 = £е3Ф(0, (1<

Я = -™аА(г,)а{ А 4- Сщ:) + (еахАх + тс'Р - е)^, (15

где Ф(£) — четырёхкомпонентныи спинор, являющийся функцией ком плексных координат (з = 1,2); ад (А = 1,2,3) и ¡3 — матриц* Дирака. Уравнение (14) с помощью преобразования (3) приводится : уравнению Дирака для водородоподобного атома в олектромагнитно! поле. Структура уравнения в пространстве проста в том смысл? что часть уравнения, описывающая взаимодействия, представляется виде полинома от координат и, поэтому, позволяет применять просты алгебраические методы в конкретных расчетах. Получены на основ использования отого уравнения точные решения уравнения Дирака дл водородоподобного атома в поле Ааронова-Вома плюс поле монопог

Дирака. С помощью отих точных решений анализируется релятивистский аналог эффекта Ааропова-Бома при наличии кулоповсхого поля.

В §4.2 положены основные положения алгебраического метода решения уравнения Дирака для кулоповскоп проблемы па основе кспольоо-вания уравнения (14). Уравнение (14) для кулоновсхой проблемы можно представить в представлении операторов (б) следующим обраоом

[м +1 (Я + 2) - т + {;■. + 10) = о,

Здесь введено обозначение к = 1 + Угловая часть решения построена обычным обраоом но собственных векторов оператора <7з и но векторов Х>;т(ш+)[0), отвечающих заданным числам I и т. Радиальная часть построепа чисто алгебраическим операциям с использованием перестановочных соотношений операторов (б).

На основе нспольоования баоиса кулоновских волновых функций, построенных в§4.2 в представлении операторов уничтожения и рождения возбуждений, в §4.3 операторный метод применен для приближенного решения уравнения Дирака. Конкретно в этом параграфе рассмотрена оадача о релятивистском олектроне в кулоновском и магнитном нолях, уравнение Дирака для которой можно представить в виде:

£|Ф) = 2е2|Ф), (16)

I = —%{М - М+)Б\ + + ох{п\ - п\)52 + ~сВ г0с2&у2-

О

-еВ(х3хх - !£цг2)СГД£З + 2г53 - ег,

где матрицы

*-!(%-.')•

действуют в пространстве векторов

|Ф) = Ых+ + Ых~

(х+ ы — собственные векторы матрицы 53 с собственным:- опасениями соответственно 1,-1). Для основного состояния, например, решение в нулевом приближении ОМ приводится к решению системы алгебраических уравнений:

I + (1 + в) + + 2а)

еВ ........1

= га\

-ъ - + 2а)(1 4- а) + ^(1 4- а)/1-т1 = 0. (17)

Ъи* и

В пределах случая слабых магнитных полей решения, полученные в ре-оультате решения уравнений (17), согласуются с известными.

В §4-4 построено операторное представление релятивистской куло-повской функции Грина и оно существенно расширяет область применения аналитических методов в теории воомущений.

В §4.5, на основе операторного представления функции Грина, вычислена поляризуемость многооарядных водородоподобных иопоз. Получено выражение для релятивистской поляризуемости:

а = ао + . (18)

где

е'(е -1- 1)(2е 4- 1)(4е? 4- 13е 4- 12) е'(е - 2)аГ(е 4- 7 + 4) Г(3 4- е - 7) а°~ 36а/4 216(7- е + 3)Г(2е) ш*

е3(е-2)гГ(е + 7 + 4)Г(3 + е-7) , 36еаИГ(2е) Т(~с - 7) Г(-е 4-7 4-1) *

°° Г(& — с — 7) Г(к — е 4- 7 4-1) . ( . ¿Г» {к 4- 3)! (А: 4- 7 — е + 3) К ' '

к Т Чд-е + 1 + 1)Т(д-£ -7 4-2) у Г(д - £ - 7) Г(д - £ 4- 7 + 3) (я + 3)! Г(д - е 4- 7 + 4) ¿Ь з!Г(з-е-7 + 3)

(7 = -2 + -/4- 22с*, е = %/1 — 23е1), численные оценки которого согласуются с результатами других авторов. Более того, ио-оа особенности операторного представления кулоновсхой функции Грина, полученный результат представлен быстро сходящимся рядом и ио него выделяется часть, а именно ао, содержащая основпой вклад в поляризуемости (99,9% точных оначений) , хоторая служит простым аналитическим выражением для поляризуемости, когда необходимо анализировать физические эффекты, связанные с водородоподобпыми иопами.

В §4.6 вычислена динамическая релятивистская поляризуемость основного состояния водородоподобных атомов. Подобного рода расчет представляет, кроме чисто теоретического, еще и практический интерес в свяои с большим прогрессом в экспериментальных исследованиях мпогооарядых ионов в последнее десятилетие. В пределах нерелятивистском и статическом реоультаты §4.6 согласуются с известными.

В заключение в диссертации перечислены основные реоультаты, полученные автором и выносимые на оащиту.

1. Развитие теории свяои между задачи о гармоническом осцилляторе и хеплеровой оадачей :

- предложение варианта параметризации обобщенных КШ преобразования л доказательство утверждения о размерности пространств, в которых можно построить обобщенных КШ преобразований, связывающих оадачу о гармоническом осцилляторе и кеплеровую садачу;

- выяснение роли лишней переменной в КШ преобразовании;

- построение в общем виде уравнения в двумерном комплексном пространстве для описания водородоподобного атома в олехтромагнитном поле;

2. Построение в представлении операторов уничтожения и рождения возбуждений базиса хулоновских волновых функций; вычисление матричных олемептов оператора межчастичпого взаимодействия и фор-мфакторов водородоподобных атомов. •

3. Раовитие теории операторного метода решения уравнения Шре-ди'лгера :

- демонстрация сходимости итерационных процедур операторного ме-

тода на примере оадачи о ангармоническом осцилляторе для всех значений свободного параметра в широком диапаооне оначений константы свяои и для любых, от основного до высокого возбужденных, состояний;

- предложение метода теоретической оценки диапаоона быстрой сходимости итерационных процедур операторного метода;

- предложение метода последовательного выбора свободного параметра на основе испольоования теоремы о вириале;

4. Сочетание операторного метода с учётом асимптотических поведений волновых функций системы; аналитические оценки для онергии и волновых функций водородоподобного атома в магнитном поле для всего диапаоона значения интенсивности; предложение нового варианта реализации динамической симметрии 30(3,2) и алгебраического метода решения уравнения Шредингера для оадач двумерных атомныз систем;

5. Свяоь между функцией Грина для шотронного гармоническогс осцилятора и функцией Грина для атомных систем:

- получение функции Грина для мик-кеплеровой оадачи, функции Геринг для атома водорода в поле Ааронова-Бома плюс поле монополя Дирака

- построение операторного представления кулоновскои функции Грин; и вычисление нерелятивистского вклада в сдвигах и радиационных ши ринах уровней водородоподобных атомов;

- построение операторного представления многочастичной кулоновско] функции Гарина и применение к задачам о взаимодействии двух атомо: водорода и о спектре атома гелия;

- построение свяои между функцией Грина для изотропного гармони ческого осциллятора в четырехмерном комплексном пространстве и ш тимерной кулоновской функцией Г^ина;

6. Построение уравнения в двумерном комплексном пространств для описания релятивистских атомных систем :

- Применение операторного метода к решению уравнения Дирака дл релятивистского электрона в кулоновском и магнитном полях;

- получение точных решений уравнения Дирака для частицы в куле новском поле плюс поле Ааронова-Бома плюс поле монополя Дирака

анализ релятивистского аналога эффекта Ааронова-Бома при наличии кулоновского поля;

7. Построение операторного представления релятивистских куло-повских функций Грина и применение его в конкретных расчетах характеристик атомных систем :

- вычисление поляриоуемости водородоподобных атомов ;

- аналитическое выражение для статической релятивистской поляризуемости основного состояния водородоподобных атомов и форма для динамической релятивистской поляризуемости в виде быстро сходящихся рядов.

Основные реоультаты диссертации положены в следующих опубликованных статьях:

1. Ле Ван Хоанг, Комаров Л.И., Романова Т.С., О кулоновской функции Грина I. Весц1 АН БССР, сер.ф!о-мат.навук,1987, No 3, с. S2-86.

2. Ле Ван Хоанг, Комаров Л.И., Романова Т.С. О кулоновской. функции Грина II. Becqi АН БССР, сер.фга-мат. навук, 1987, No 4,с. 93-99. - „ '

3. Le Van Hoang, Komarov L.L, Romanova T.S. On the Coulomb Greca function. J.Phys.A: Math.Gen.,1989,Voí.22, No 2,p. 1543-1552.

4. Le Van Hoang, Tony J.Viloria, Le Anh Thu. On the Hydrogen-like atom in five-dimensional space. J. Phys. A: Math. Gen., 1991, Vol. 24, p. 3021-3030.

5. Ле Ван Хоанг, Вилория Тони. Свйрь о а дач о пятимерном атоме недорода и четырехмерном комплексном иоотроппом гармоническом осцилляторе. Весщ АЙ БССР, сер. ф1о-мат. навук, 1991, No 5, с. 81-Й5.

6. Jle Ань Тхы, Ле Ван Хоанг. О кулоновской функции Гртт в пятимерлол пространстве: Becni АН БССР, сер. фю-мат. палук, 1991, No б, с. 44-49.

7. Ле Ван Хоапг. О функции Грина для Мик-Кеплеровой задачи. Веем АН БССР, сер. фю-мат. навук, 1992, No 2, с. 76-80.

8. Le Van Hoang, Ly Xuan Hai, Komarov L.I., Romanova T.S. Relativis-tic analogy of the Aharonov-Bohm effect in the presence of Coulomb field and magnetic charge. J. Phys. A: Math. Gen., 1'992, Vol. 25, p. 6461-6469.

9. Le Van Hoang, Viloria Tony. On the interpretation of the "extra" variable in the KS-transformation. Phys. Lett. A, 1992, Vol. 171, p. 23-25.

10.Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang. The algebraic method for two-dimensional quantum atomic systems. J. Phys. A: Math. Gen., 1993, Vol.

26, p. 1409-1418.

11.Le Van Hoang, Nguyen Thu Giang. On the Green function for a hydrogenlike atom in the Dirac monopole field plus the Aharonov- Bohm field. J. Phys. A: Math. Gen., 1993, Vol. 26, p. 3333-3338.

12.Le Van Hoang, Komarov L.I. Theory of the generalized Kustaanheimo-Stiefcl transformation. Phys. Lett. A, 1993, Vol.177, p. 121-124.

13.Комаров Л.И., Jle Ван Хоанг. Обобщенные преобраоованиа Ку-стаанхеймо и Штифеля. ТМФ, 1994, Т. 99, No 1, с. 75-80.

14.Le Van Hoang, Komarov L.I. The generalized KS transformations and their applications. Proceed.Int. Workshop " Quantum Systems : New Trends and Methods" (May 23-29,1994, Minsk) Singapore : World Sci. Pub., 1994, p.

15.Le Anh Thu, Le Van Hoang, Komarov L.I., Romanova T.S. Operator representation of the Dirac Coulomb Green function and relativistic polariza-bility of Hydrogen-like atoms. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 1994, Vol.

27, p. 4083-4094. ■■

16.Le Anh Thu, Le Van Hoang, Komarov L.I., Romanova T.S. Operator representation of the Dirac Coulomb Green function II: Dynamical relativistic polarizability of Hydrogen-like atoms. J. Phys. B: At. Mol, Opt. Phys., 1995, Vol. 28, p.

17.L& Van Hoang, Komarov L.I., Romanova T.S. On the many-particle Coulomb Green function. J. Phys. A; Math. Gen.,1995, Vol. 28, p.

РЭЗЮМЭ

:е Ban Хоапг. Алгебрмчныя метары $ тоорьп атамных cîctdm.

Пераутваронпе Кустаанхеймо-Штафеля, сувяоь пам!ж кулона^схай адачай i аадачай аб гарманзчным асгрлятары, алгебра! чны метад, апе-атарны метад, кулона^ская фунхцыя Грыпа, аператариае продста^ленне,

Распрацаваны, абгрунтаваны i апраб^равапыофехткфныя алгебра5ч-ыя метады раалкаэ* уласц1васцей атамных cjctgm. Падставам] да рас-радо^к! новых метада^ о'я^ляюцца: (1) ужыванне cymroi пам5ж хуло-аускай оадачай î оадачай аб гармашчным асц5лятары; (2) раов^ццё апе-атарпага метада рашоппя уравнение? nipeoinrepa да атамных сктом; J) олучонне метадау алгебра! чпых раолкау о анал^тычным! метадам1 тооры! уобуронплу.

Эфектыувасць алгебра]чных метадау адлгостравапа у рашштях оа-ач аб неролятьшсюх i ролятьни'сых атамных cîctom.

РЕЗЮМЕ

île Ван Хоапг. Алгебраические методы в теории атомных систем.

Преобразование Кустаанхеимо Штифеля, свяоь между хулоновской адачей и оадачей о гармоническом осцилляторе, алгебраический ме-од, операторный метод, кулоновская функция Грина, операторное нред-гавлепие.

Раоработаны, обоснованы и апробированы эффективные методы асчетов свойств атомных систем. Основанием для раоработки новых етодов являются :(1) использование силон между хулоповской оадачей оадачей о гармоническом осцилляторе, (2) раовитие операторного етода решения уравнения Шредингера для атомных систем, (3) соче-ание методов алгебраических расчетов с аналитическими методами в еории воомущений.

Эффективность алгебраических методов продемонстрирована в ре-(ениях оадач о перелятивистских и релятивистских атомных системах.

SUMMARY

LE VAN HOANG. Algebraic methods in the theory of atomic ¿systems.

The Kustaanheimo Stiefel transformation, connection between the Couloi problem and the problem of harmonic oscillator, algebraic method, operator method, Coulomb Green function, operator representation.

Effective algebraic methods of calculation of the properties of atomic systems are established on basis of : (i) using the connection between the Coulomb problem and the problem of harmonic oscillator, (ii) developing the operator method of the solution of the Schrodinger equation for the atomic problems, (iii) combination of the method of algebraic calculations and the analystical methods in the perturbation theory. The advantage of the new algebraic methods are demonstrated by solving the problems of relativistic and non-relativistic atomic systems.