Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами

Шевляков, Артем Николаевич

Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Шевляков, Артем Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Омск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами»

Автореферат диссертации на тему "Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами"

004697639

Шевляков Артём Николаевич

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НАД КОММУТАТИВНЫМИ ПОЛУГРУППАМИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

- 2 СЕН 2010

Омск 2010

004607639

Работа выполнена в лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики Омского филиала Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор

Ремесленников Владимир Никанорович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор

Мартынов Леонид Матвеевич

кандидат физико-математических наук ассистент

Кукина Екатерина Георгиевна

Ведущая организация: Новосибирский государственный технический

университет.

Защита состоится 23 сентября 2010г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета ДМ.212.179.07 при ОмГУ им. Ф.М. Достоевского по адресу г. Омск, ул. Нефтезаводская 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.

Автореферат разослан "У" июля 2010.

Учёный секретарь диссертационного совета ,л! л

кандидат физ.-мат. наук, (¿к^^К^у А.М.Семёнов

Введение

Актуальность темы. Алгебраическая геометрия — это одна из классических математических дисциплин, изучающая решения систем алгебраических уравнений над полем. Решения систем алгебраических уравнений изначально искались во множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результатов использовали лишь алгебраическую замкнутость ноля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай произвольного алгебраически замкнутого поля. Более того, в первой половине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нёте.р была развита алгебраическая геометрия над произвольным полем.

Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение систем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким образом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого поля, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?

Решение данной проблемы составляет основное содержание универсальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины. Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой Л занимается изучением свойств элементов Л, задаваемых системами уравнений.

Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над алгебраическими системами) было начато в работах Б.И. Плоткина [23, 24] (для многообразий алгебр), Г. Баумслага, А.Г. Мяспикова. В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремес-леншгкова [22] (для групп). Данные работы являются попытками теоретически осмыслить результаты, полученные ранее при решении некоторых классов уравнений над конкретными алгебрами и группами (например, уравнения над свободной группой ранее изучались в работах Р. Линдона |18J, К. Аппеля [1], А.И. Мальцева [20), Г.С. Макапипа [19], A.A. Разборова [25, 26], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [11]).

За последние годы накоплен достаточно богатый материал об алгебраических геометриях над различными алгебраическими системами. К настоящему времени многие задачи и проблемы алгебраической геометрии были решены в следующих классах групп и алгебр:

• метабелевы группы: В.Н. Ремесленников [30], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [27, 28], В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский [31], В.Н. Ремесленников, Б.И. Тимошенко [32];

• разрешимые группы: Н.С. Романовский [33];

• алгебры Ли: Э.Ю. Даниярова, И.В. Казачков, В.Н. Ремесленников [3, 4], Э.Ю. Даниярова [8], Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников [9], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [29];

• свободная группа: А.Г. Мясников, О. Харлампович [13,14,15], 3. Села [34].

Отдельно следует сказать об алгебраической геометрии над свободной группой. Её развитие в первую очередь было вызвано попытками решить проблему Тарского об элементарной эквивалентности свободных некоммутативных групп конечных рангов. Работа над её решением велась многие годы и многими специалистами. Завершающие результаты были получены в работах А.Г. Мясшкова, О. Харлампович и 3. Селы, указанных выше. Последние работы не только положительно решают проблему Тарского, но и содержат описание координатных групп алгебраических множеств над свободной группой и это описание дано на языке свободных конструкций.

Естественно, что после построения алгебраической геометрии над свободной группой была сделана попытка описать координатные алгебры над свободным моноидом. В настоящее время данная проблема, несмотря на работу многих специалистов, далека до окончательного решения. В качестве одной из причин её сложности укажем на один из результатов данной диссертации, утверждающий, что алгебраическая геометрия даже над однопорождёниым бесконечным моноидом достаточна сложна.

В алгебраической геометрии над алгебраическими системами есть ряд общих принципов, которые не зависят от свойств конкретной алгебраической системы. В связи с тем, что стало появляться много работ над различными группами и алгебрами, возникла необходимость в изложении общих основ алгебраической геометрии над алгебраическими системами. В этом направлении работает коллектив математиков, состоящий из Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова, которым уже подготовлено три статьи [5, 6, 7] по данной теме.

В данных работах были доказаны так называемые Объединяющие теоремы, позволяющие изучать координатные алгебры с семи разных точек зрения. Там же были сформулированы несколько проблем, решению которых посвящена вторая часть данной диссертации.

Статьи [5, 6, 7] по универсальной алгебраической геометрии объясняют общие принципы, верные для любой алгебраической системы. Но в то же время решение классификационных задач для конкретной алгебраической системы по-прежнему остаются интересным и требующим решения.

В частности, в первой главе настоящей диссертации, следуя идеям работ [5, б, 7], изучается алгебраическая геометрия над однопорождённым бесконечным моноидом (наиболее естественное представление этого объекта — натуральные числа N с операцией сложения) и описываются все координатные моноиды.

Дополняя множество натуральных чисел до множества целых, мы получаем абелеву группу. Проблема описания координатных групп над группой Z была решена в работе [22], где было доказано, что любая координатная группа над Z изоморфна 2", и наоборот: все декартовы степени Z" являются координатными группами алгебраических множеств над Z. Заметим также, что на самом деле в [22| были описаны координатные группы алгебраических множеств над любой абелевой группой.

К сожалению, в многообразии моноидов нет хороших структурных результатов (таких как теорема о разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму циклических групп), и поэтому не существует универсального метода, позволяющего по заданному коммутативному моноиду М описать все координатные моноиды алгебраических множеств над М. Более того, даже для моноида N натуральных чисел множество всех координатных моноидов достаточно сложно и, как доказано в диссертации, не исчерпывается декартовыми степенями М".

Многие свои понятия и подходы универсальная алгебраическая геометрия берёт из классической алгебраической геометрии над полем. Например, заимствованными понятиями являются алгебраическое множество и координатная алгебра — аналог понятия координатного кольца в классическом случае. На случай произвольной алгебраической системы обобщаются и некоторые результаты из алгебраической геометрии над полем (например, теорема о дуальной эквивалентности категории алгебраических множеств и координатных алгебр). Однако другие результаты (и их большинство) на случай произвольной алгебраической системы не переносятся. Это ставит перед исследователем задачу по поиску контрпримеров, не допускающих такое обобщение.

Кончено, построение таких примеров облегчается тем, что в качестве алгебраической системы А мы можем брать произвольную модель произвольного языка без предикатов и доказывать, что алгебраическая гео-

метрия над ней не допускает переноса результатов с алгебраической геометрии над полем. Но большую ценность контрпример будет иметь, если найденная алгебра Л будет принадлежать стандартному многообразию алгебр (например, Л будет группой).

Конечно порождённые кольца многочленов над полями являются нё-теровыми. Этот факт в классической алгебраической геометрии над полем к играет решающую роль, так как аффинное, пространство кп оказывается нётеровыми топологическим пространством (с топологией За-рисского). Произвольная алгебраическая система с таким свойством называется нётеровой по уравнениям.

Во второй главе настоящей диссертации в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант и решается ряд проблем, поставленный в работах [6, 7], и связанный с понятием нётеровости по уравнениям.

Помимо построения примеров, показывающих переносимость некоторых результатов с алгебраической проблемы над полем, в универсальной алгебраической геометрии рассматриваются и чисто теоретико-модельные проблемы. Например: является ли класс всех нётеровых по уравнениям алгебраических систем языка С аксиоматизируемым. В нашей диссертации даётся отрицательный ответ на этот вопрос.

Цель работы:

Описать координатные моноиды над коммутативным моноидом с сокращениями; доказать критерий неприводимости для алгебраических множеств. Решить проблемы, поставленные в универсальной алгебраической геометрии, связанными с понятием нстсровости по уравнениям и его обобщениями.

Методика исследований. В качестве методов исследования использовались методы линейной алгебры, теории моделей, универсальной алгебраической геометрии.

Научная новизна работы. Все полученные в диссертации результаты являются новыми и перечислены ниже в порядке появления их в работе.

1. Описаны координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел А'о в языке (+, 0). Изучены моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о-

2. Описаны неприводимые координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел N в языке (+,0,1,2...). Предложен метод разложения приводимых алгебраических множеств над

ßf в объединение неприводимых компонент. Дана удовлетворительная аксиоматизация универсального замыкания UcI(jV).

3. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы произвольный моноид М. являлся координатным для некоторого непустого алгебраического множества надЛЛ Дана удовлетворительная аксиоматизация квазимногообразия Qva.t(ßf) с помощью квазитождеств простейшего вида. Получены структурные результаты о координатных моноидах алгебраических множеств над N.

4. Построены примеры коммутативных идемпотептных полугрупп в счётом языке С. = {•, Со, сь Cj...}, показывающие несовпадение свойств нётеровости по уравнениям и различных видов компактности (классов N,N', Q,U).

Теоретическая и практическая ценность. Была создана алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел (в стандартном и в языке с константами), построены примеры коммутативных идемпотептных полугрупп в языке с счётным числом констант, решающие проблемы, поставленные в работах (б, 7]. Доказана неаксиоматизируемость класса нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотептных полугрупп в языке С.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Омском алгебраическом семинаре (2008-2010), международных математических конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 20082010), "Geometrie tmd Asymptotic Group Theory with Applications" (USA, Hoboken, 2009) и международных семинарах "Makanin-Razborov Algorithm" (Italy, Alagna, 2008), "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (Омск, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36, 37, 35, 38]. Работа [36] выполнена совместно с П.В. Морарем при равном вкладе соавторов.

Структура и объём работы. Диссертация изложена на ста пяти страницах, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы разбиты на параграфы, список литературы содержит 38 наименований.

В первой главе изучается алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел и рассматриваются две алгебраические системы Д) = (N; +,0) иАГ = (N; +,0,1,2,...). В параграфе 1.1 дано описание всех координатных моноидов алгебраических множеств над

Л/о и доказываем, что все алгебраические множества над Л/ц неприводи-мы. В параграфе 1.2 описаны все моноиды геометрически и универсально эквивалентные моноид}' Л/о- Это позволит распространить полученные до этого результаты на целый класс коммутативных моноидов. В параграфе 1.3 описываются координатные моноиды неприводимых алгебраических множеств над Л^, а в параграфе 1.5 — все координатные моноиды над В параграфе 1.4 предложен метод разложения приводимого над ЛГ алгебраического множества в конечное объединение неприводимых и исследованы свойства такого разложения. Параграф 1.6 содержит метод вычисления радикала линейного уравнения Ь{Х) = а, а 6 N. Данные уравнения играют большую роль при аксиоматизации квазимногообразия, порождённого моноидом ЛГ.

Во второй главе настоящей диссертации все исследовния проводятся в в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп языка £ = {•, с(), сь...) (полугруппы такого языка здесь называются £-полугруппами). Найдены решения следующих проблемы, поставленные в работах [6, 7].

Проблема 1 [7]. Пусть V — некоторое многообразие алгебр. Существуют ли в V алгебры, показывающие различие классов 14, и, <3, и'?

Проблема 2 [б]. Допустим, что каждая совместная над алгеброй А система уравнений >5 эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Будет ли из этого следовать, что алгебра А иётерова по уравнениям?

Проблема 3 [6]. Пусть V — многообразие алгебр языка £. Будет ли аксиоматизируемым класс всех нстсровых по уравнениям «алгебр из V

Проблема 4 (Проблема вложения) [7]. Пусть В — С(^-компактная алгебра языка С. Пусть С — координатная алгебра над В. Будет ли С вкладываться в конечное декартово произведение алгебр из 11с1(В)? Если ответ "нет", то решить аналогичную проблему для и^.-компактной алгебры В.

Исторически проблеме 1 предшествовала проблема разделения классов 14, СЗ для групп. Эта проблема была решена Б.И. Плоткиным [24]. Проблема разделения пар классов пары 14, № и пары и, решена М.В. Котовым [16] для алгебраических систем языка состояще-

го из счётного числа одноместных функциональных символов.

Полный набор примеров (£-полугруппы Ль А?, Аз, А1), показывающих попарное несовпадение всех классов К, И', и, <3, приведён в параграфе 2.1. Таким образом, проблема 1 полностью и положительно решена в многообразии коммутативных идемпотентных £-полугрупп. Кроме

того, мы строим ¿-полугруппу Л5, не принадлежащую всем указанным выше классам. К тому же ¿-полугруппа А\ решает в отрицательном смысле проблему 2. Иными словами, любая совместная над «4] система уравнений эквивалентна своей конечной подсистеме, но в то же время над А\ существуют несовместные системы, каждая конечная подсистема которых совместна.

Отрицательному решению проблемы 3 посвящен параграф 2.3. В этом параграфе найден критерий нётеровости по уравнениям ¿-полугрупп (теорема 2.27). Следствием данного критерия является отрицательное решение проблемы 3.

В параграфе 2.2 будут определены ¿-полугруппы В,С такие, что С — координатная полугруппа над и^-компактной ¿-полугруппой /3, и С не вложима ни в какое конечное декартово произведение ¿-полугрупп из класса 1Гс1(Я)и. Таким образом, что построенные полугруппы С решают проблему 4 отрицательно.

Содержание работы

Диссертация начинается с, вводной главы, в которой даются основные определения теории полугрупп, теории моделей и универсальной алгебраической геометрии. Приведём лишь некоторые из них.

Мы будем рассматривать язык стандартный теории моноидов ¿о ~ {•, с0} и его расширение ¿ = {•, с0, сь...}, где • — двуместный функциональный символ, с, - константы.

С-полугруппой будем называть алгебраическую систему А языка С с ассоциативной операцией •, где в качестве константных символов с, выбраны некоторые элементы основного множества алгебраической системы А.

Носитель (основное множество) алгебраической системы А будем обозначать через А соответственно. Элементы носителя, соответствующие константным символам с,, для краткости будем называть константами.

Термы языка ¿ будем обозначать с помощью греческих букв т, <т,.... Термы, не содержащие константных символов, обозначаются с помощью латинских букв t, я,.... Множество переменных, входящих в терм г будем обозначать через ХТ.

Универсальной С-формулой называется формула вида УХф(Х), где через УХ обозначено .. .\/хп, и <р(Х) — бескванторная формула.

Две ¿-полугруппы А^А-г называются универсально эквивалентными, если А\ [= ф о А-> |= ф для любой универсальной ¿-формулы ф.

Квазитоэюдеством языка ¿ называется универсальная формула с ¡р(X) равной = ^¡(Х) —» т(Х) — а(Х) для квазитождеств.

Множества всех истинных на .¿-полугруппе универсальных формул и квазитождеств определяют два важных в алгебраической геометрии класса алгебраических систем языка С. Универсальным замыканиель ис1(Д) (соответственно квазимногообразием С^уаг(Л)) ¿-полугруппы А называется класс всех алгебраических систем языка ¿, на котором истинны все универсальные формулы (квазитождества) языка ¿, истинные на Л.

Дадим базовые определения универсальной алгебраической геометрии. Так как в своей работе мы будем работать в конкретном многообразии алгебр, то все определения статей [5, 6, 7] адаптируются ниже для коммутативных ¿-полугрупп.

Пусть X = {х1, %2, я»} ~ конечное множество переменных.

Уравнением над С-полугруппой А (¿-уравнением, Д-уравнением) называется атомарная формула т(Х) = <т{Х) языка С.

Система уравнений над А (система ¿-уравнений, система А-уравнеиий) — это произвольное множество уравнений над А. В своей работе мы будем рассматривать только системы уравнений, зависящие от конечного числа переменных X. Решение системы ¿-уравнений 5 в ¿-полугруппе А обозначается как и определяется как пересечение

решений всех уравнений системы

Множество У С А" называется алгебраическим над ¿-полугруппой А, если существует система ¿-уравнений <5 такая, что У^(<5) = У. Непустое алгебраическое над А множество У называется приводимым, если оно является нетривиальным конечным объединением алгебраических над А множеств.

¿-полугруппа А называется пётеровой по С-уравпепшм, если любая система ¿-уравнений &'(Х) эквивалентна над А своей конечной подсистеме.

Пусть У С Ап — алгебраическое множество над ¿-полугруппой А. Тогда радикал Илс1^(У) множества У есть множество всех ¿-уравнений (следствий) т(Х) = а(Х), которым удовлетворяют все точки множества У. В частности, радикал пустого множества совпадает с множеством всех ¿-уравнений. Радикал системы уравнений 5 определяется как И;и1д(5) = ЕяЛдСУд^)).

Пусть Тс(Х) — свободная коммутативная ¿-полугруппа. Другими словами, носитель Тс{Х) состоит из термов языка ¿ с определённой на них операцией умножения. Пусть 5 — система ¿-уравнений. Каж-

дое из уравнений радикала Rad^(5) можно рассматривать как эквивалентность двух элементов ¿-полугруппы Тс{Х). Следовательно, радикал Rad^(«S) определяет на ¿-полугруппе Тс(Х) конгруэнцию.

Пусть 0пасц(5) ~ конгруэнция, порождённая радикалом системы S над ¿-полугруппой Л. Тогда ¿-факторполугруппа

TA(Y) = Тс(Х)/вКаЫ5)

называется координатной С-полугруппой алгебраического множества у = Vj(S).

Алгебраическое множество Y будем называть логически неприводимым над А, если е Ucl(yt).

Мы будем говорить, что ¿-полугруппы А\, Ai являются геометрически эквивалентными, если для любой системы ¿-уравнений S выполнено равенство Rad^OS) = R.ad^2(<S). Это означает, что множества координатных ¿-полугрупп над Ai и Аг совпадают.

¿-полугруппа А называется qw-компактной, если для произвольной системы ¿-уравнений S(X) и уравнения т(Л') = сг(Х) такого, что С V^(r(X) = cr(.Y)) существует конечная подсистема Sq{X) С «S(A') с решением Уд(5„) С VA(r(X) = а(Х)).

¿-полугруппа А называется и^.-компактной, если для произвольной системы ¿-уравнений <S(X) и конечного множества уравнений т,(Х) = MX) (1 < i < m) такого, что VA(S) С Ц", VA(r,(X) = at(X)), существует конечная подсистема <Sq(X) С S{X) с решением Va(Sq) С

¿-полугруппа А называется слабо нётеровой по уравнениям, если для любая система ¿-уравнений S(X) эквивалентна некоторой конечной системе ¿-уравнений <Sq(X) (здесь система ¿-уравнений So может не являться подсистемой <S).

¿-полугруппа А называется слабо ^-компактной, если каждое логически неприводимое множество над А будет неприводимым.

В первой главе рассматриваются две алгебраические системы Afo-Af с носителем N. Алгебраическая системаЛо определена в языке ¿о, система Ai является ¿-моноидом с интерпретацией констант сг- *—> г. Операция • в обоих алгебраических системах интерпретируется сложением на множестве N. Операцию • и константы с,-, входящие в уравнения над J\fü,M, будем обозначать с помощью + и чисел 0,1,... В лемме 1.8 мы доказываем, что алгебраические системы M.>,Ai нётеровы по уравнениям.

Далее мы изучаем алгебраическую геометрию над моноидом Л/о и описываем координатные моноиды.

Следующее свойство моноида Л/о (аксиома позитивности) А,»,: УхУу(х + у = 0 х = 0) используется при описании координатных моноидов над Л/о-Теорема 1.3. Для моноида Л/"о верны следующие утверждения.

1. Моноид С является координатным моноидом алгебраического множества над Л/о тогда и только тогда, когда С коммутативен, позитивен и имеет свойство сокращений.

2. Все алгебраические множества над Л/"о, заданные системами Сд-уравнений, неприводимы.

Следствие 1.4. Пусть У^,..., У,„ (т > 2) — алгебраические множества над моноидом Л/"о, и У{ У} (I ф ]). Тогда объединение У] и... и Ут не является алгебраическим мноокеством над моноидом Л/"о.

Из теоремы 1.3 следует аксиоматизация классов ис1(Л/ц), Оуах(Мо) (см. Следствие 1.5 диссертации).

Также для моноида Л/о были описаны все моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о.

Теорема 1.7.

1. Моноид С геометрически эквивалентен Л/о тогда и только тогда, когда С — ненулевой моноид, и С € руаг(Л/о) (то есть С является коммутативным позитивным моноидом с сокращениями).

2. Если моноид С геометрически эквивалентен Л/о, то С универсально эквивалентен Л/о-

Приведём результаты, полученные для £-моноида Л/". Пусть Я некоторый /2-моноид с носителем М, в котором константы с,; образуют ненулевой подмоноид А (Л ф К). Тогда справедливо следующее утверждение.

Лемма 1.9. Множество У является алгебраическгш над С-моноидом ЛГ при А ф {0} тогда и только тогда, когда У — алгебраическое множество над N.

Поскольку основной задачей алгебраической геометрии является классификация алгебраических множеств, то согласно лемме 1.9 изучение алгебраической геометрии над Л/" может заменено на изучение алгебраической геометрии над £-моноидом Л/*.

Пусть п ¿-моноиде Л4 истинны следующие формулы

Ci + С^ — СС; + Со = С

Это означает, что константы в Л4 также образуют подмоноид изоморфный АЛ Следуя [5], такой ¿-моноид М. будем называть М-мопоидом.

Следующее определение является ключевым при описании неприводимых координатных ¿-моноидов надЛА и является обобщением понятия позитивности в языке ¿о.

Определение 1.10. Л/"-моноид М будель называть М-позитивным, если для любой пары его элементов гщ.т? € М таких, что т\ +Ш2 6 N выполнено ттц € N и тг € N.

Следующая теорема описывает координатные ¿-моноиды, соответствующие неприводимым алгебраическим множествам над ЛЛ

Теорема 1.12. Пусть конечно порождённый моноид М является координатным моноидом непустого алгебраического множества над Л/". Моноид М пеприоодим над N тогда и только тогда, когда М. является ЛГ-позитивным.

Фактически доказывается более сильное утверждение.

Теорема 1.13. Конечно порождённый N-моноид М является координатным моноидом неприводимого алгеб]>аического множества над N тогда и только тогда, когда М. является коммутативным М-позитивным с сокращениями N-моноидом, и множество гомоморфизмов Иот(М,]\[) не пусто.

Из теоремы 1.13 получаем аксиоматизацию класса ис1(Л9.

Следствие 1.14. Универсальное замыкание ис](Л/") аксиоматизируется всеми истинными па Л/* квазитождествами и формулами Ахк_гю, языка¿.

Далее в первой главе мы рассматриваем следующую проблему.

Проблема. Пусть У — непустое приводимое алгебраическое множество над ЛЛ заданное системой ¿-уравнений. Требуется найти разложение У в объединение неприводимых компонент У = У! и ... и Ут и исследовать свойства множеств К,.

Переменную х € X будем называть фиксированной, если х = а €

Лемма 1.17. Пусть У — произвольное непустое алгебраическое множество над ЛГ. Тогда У представимо виде конечного объединения попарно непересекающихся неприводимых множеств У\, Уо,..., У),.. Более того, множества У| обладают одинаковым непустым набором фиксированных переменных.

Далее в диссертации приводится аксиоматизация класса (¡}уаг(А/") с помощью квазитождеств простейшего вида (Следствие 1.27 настоящей диссертации).

Для координатных ЛЛ-моноидов над N справедлив следующий структурный результат.

Теорема 1.28. Конечно порождённый N-моноид М. является координатным моноидом непустого алгебраического множества над N тогда и только тогда, когда М вкладывается в конечную декартоеу степень N-моноида N.

Во второй главе диссертации мы работаем в многообразии коммутативных идемпотентных ¿-полугрупп и решаем проблемы 1-4, поставленные в работах [6, 7].

В параграфе 2.1 мы определяем коммутативные идемиотентные С-полугрупны А(1 < г < 5). Нами были описаны решения уравнений и некоторых бесконечных систем над ¿-полугруппами А{. Из данного описания следует, что все ¿-полугруппы .4,- не являются нётеровыми по уравнениям.

Для ¿-полугрупп Л; нами были получены следующие результаты, приводящие, к решению проблем 1,2.

Теорема 2.7. С-полугруппа А\ обладает следующими свойствами

1. Аг слабо нётерова по уравнениям;

2. каждая совместная система над полугруппой А\ эквивалентна своей конечной подсистеме, однако существует несовместная над А\ система, у которой все конечные подсистемы совместны.

3. каотдое логически неприводимое над А1 алгебраическое множество яв.ияется точкой;

4■ алгебраическое множество У^, (ж = х) не представимо в виде конечного объединения логически неприводимых множеств.

Теорема 2.13. С-полугруппа Аъ м^-компактна.

Теорема 2.17. С-полугруппа Аз qu,-кoмnaкmna, но не является и^-компактной.

Теорема 2.18. С-полугруппа А4 не принадлежит объединению классов дик', но А4 е и'.

Теорема 2.19. С-полугруппа Ац не принадлежит классам С} и и'.

В параграфе 2.2 диссертации решается проблема 4. Мы определяем £-полугруппы В, С, для которых доказываются следующие результаты.

Лемма 2.20.

1. Полугруппа С конечно порождена;

2. С является координатной полугруппой алгебраического множества = х);

3. С не вкладывается в конечное прямое произведение. Т>\ х х ... х 2?„, где А £ ис1(Я).

Лемма 2.25. Полугруппа В является и^-компактной.

Таким образом, проблема 4 решается отрицательно в многообразии коммутативных идемпотентных ¿-полугрупп.

Параграф 2.3 посвягцён решению проблемы 3. Был доказан следующий критерий нётеровости по уравнениям коммутативной идемпотент-пой £-полугруппы.

Теорема 2.27, Коммутативная идемпотентная С-полугруппа А является нётеровой по уравнениям тогда и только тогда, когда С-подполугруппа С, порождённая константами c¿, конечна.

Из данного критерия мы получаем отрицательный ответ на проблему 3.

Следствие 2.28. Класс нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных С-полугрупп не является аксиоматизируемым.

Список литературы

[1] К. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912918, 1968.

[2] G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I: Algebraic sets and Ideal Theory // J. Algebra, 219, pp. 16-79, 1999.

[3] E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra I: U-Algebras and Universal Classes // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3292-3310, 200G, arXiv:0710.3871vl [matli.AGj.

[4] E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra II: Finite Field Case // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3311-3326, 2006, arXiv:0710.3872 [math.AG],

[5] E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Math., 1, pp. 80-112, 2008, arXiv:0808.2522vl [math.AG].

[6] E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures II: Foundations // 2010, arXiv:1002.3562vl [math.AG].

[7J E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algcbraic structures III: equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics, submitted, 2010, arXiv:1002.4243 [math.AG].

[8] Э.Ю. Даннярова. Алгебраическая геометрия над свободными метабелевыми алгебрами Ли III: Q-алгебры п координатные ачгебры алгебраических множеств // препринт, Омск, ОмГУ, С. 1-130, 2005.

[9] Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников. Ограниченная алгебранчоская геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика 44(3), С. 269-304, 2005.

[10] Ф-Р. Гантмахер. Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, 560с, 2010.

[И] R.I. Grigorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp. 159-171, 1992.

[12] P. Grillet. Commutative semigroups, Springer, 45Cp, 2001.

[13] O. Kharlampovich, A, Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadratic equations and Nullstellensatz //J. Algebra, 200(2), pp. 472—516, 1998.

[14] O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517-570, 1998.

[15] O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic geometry over free groups: Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213-318, 2005.

[16] M. Kotov. Equationally Noetherian Property and Close Properties, Southeast Asian Bulletin of Mathematics // submitted, 2010.

[17] M.M. Ковалёв. Целочисленное программирование // УРСС, 192с, 2003.

18] R. Lyndon. Groups with paramctric exponents // Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518533, 1060.

19] Г.С. Маканнн. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(C) С. 1199-1273, 1982.

20] А.И. Мальцев. OG уравнении [j, у] = [а, Ь] в свободной группе // Алгебра п Логика, 1 С. 45-50, 19С2.

21] D. Marker. Model Theory: an Introduction // Springer, 340p, 2000.

22] A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups II: logical foundations // J. Algebra, 234, pp. 225-276, 2000.

23] B. Piotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties// Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 04-97 (1997).

24] B. Piotkin. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math., 242 C. 1G5-196, 2003.

25] А. А. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

26] A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

27] V. Remeslennikov, R. Stohr. Oil algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491-513, 2005.

28] V. Remeslennikov, R. Stohr. On the quasivariety generated by a non-cyclic free metabelian group // Algebra Colloq., 11, pp. 191-214, 2004.

29] V. Remeslennikov, R, Stohr. The equation [.r, u] + [j/,r] = 0 in free Lie algebras // Preprint http://eprints.ma.man.ac.uk/272/, 2006.

30] B.H. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабеле-вой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873-885, 2000.

31] В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601-621, 2005.

32] В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологических размерностях u-групп // Снб. мат. жури., 47 Х«2 (2006), 415-431; translation in Sib. Math. J., 47 №2, С. 341-354, 2006.

33] Н.С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и Логика, 48(2), С. 258-279, 2009.

31] Z. Sola. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group// C.AFA, 1С, pp. 707-730, 2006.

Работы автора по теме диссертации: опубликованные в журналах из списка ВАК

[35] А.Н. Шевляков. Алгебраическая геометрия над моноидом натуральных чисел. Неприводимые алгебраические множества // Труды Института математики и механики УрО РАН, 16(4), С. 258-269, 2010.

другие работы по теме диссертации

[36] P. Morar, A. Shevliakov. Algebraic Geometry over the Additive • Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations //

Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences, pp. 261-278, 2010.

[37] A. Shevlyakov. Algebraic geometry over the additive monoid of natural numbers: The classifcation of coordinate monoids // Groups, Complexity and Cryptology, 2(1), pp. 91-111, 2010.

[38] A. Shevlyakov. Classes and u^,-compact and equationally Noetherian commutative semigroups ate pairwise distinct. Тезисы конф. "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах Омск, 16-22 авг. 2009.

Шевляков Артём Николаевич

Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами.

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ЛР №020380 от 29.01.97 Подписано в печать 17.06.10. Формат

бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1.3. Тираж 100 экз. Заказ №591.

Издательско-полиграфический отдел ОмГУ 644077, г. Омск-77, пр. Мира 55-а.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Шевляков, Артем Николаевич

Введение

0 Предварительные сведения

0.1 Предварительные сведения из теории полугрупп.

0.2 Предварительные сведения из теории моделей.

0.3 Предварительные сведения из универсальной алгебраической геометрии.

1 Описание координатных моноидов для коммутативного моноида с сокращениями

1.1 Координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел в языке без констант.

1.2 Геометрическая эквивалентность коммутативных моноидов с сокращениями.

1 3 Описание неприводимых координатных моноидов над моноидом натуральных чисел в языке с константами

1.4 Разложение приводимого множества над Л/" в объединение неприводимых компонент.

1.5 Описание координатных £-моноидов над Л/", аксиоматизация квазимногообразия Qvar(AT).

1.6 Вычисление радикала вырожденного уравнения над N

2 Идемпотентные коммутативные полугруппы на службе у алгебраической геометрии

2.1 Несовпадение классов N.N', Q,U в многообразии коммутативных идемпотентных ^-полугрупп.

2.2 Решения проблемы вложения координатной полугруппы в конечное произведение логически неприводимых полугрупп

Класс нётеровых по уравнению £-полугрупп не аксиоматизируем.

Введение диссертация по математике, на тему "Алгебраическая геометрия над коммутативными полугруппами"

Алгебраическая геометрия — это одна из классических математических дисциплин, изучающая решения систем алгебраических уравнений над полем. Решения систем алгебраических уравнений изначально искались-, во-множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результатов использовали лишь алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай произвольного алгебраически замкнутого поля. Более того, в первой половине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нётер была развита алгебраическая геометрия над произвольным полем.

Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение - систем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким образом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого ноля, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?

Решение данной проблемы составляет основное содержание универсальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины! Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой Л занимается изучением свойств элементов И., задаваемых системами уравнений.

Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над над алгебраическими системами) было начато в работах

Б.И. Плоткина [23, 24] (для многообразий алгебр), Г. Баумслага,

A.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова,

B.Н. Ремесленникова [22] (для групп). Данные работы являются попытками теоретически осмыслить результаты, полученные ранее при решении некоторых классов уравнений над конкретными алгебрами и группами (например, уравнения над свободной группой ранее изучались в работах Р. Линдона [18], К. Аппеля [1], А.И. Мальцева [20], Г.С. Маканина [19], A.A. Разборова [25, 26], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [11]).

• метабелевы группы: В.Н. Ремесленников [30], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [27, 28], В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский [31], В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко [32];

• разрешимые группы: Н.С. Романовский [33];

• алгебры Ли: Э.Ю. Даниярова, И.В. Казачков, В.Н. Ремесленников [3, 4], Э.Ю. Даниярова [8], Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников [9], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [29]

• свободная группа: А.Г. Мясников, О. Харлампович [13, 14, 15], 3. Села [34]

Отдельно следует сказать об алгебраической геометрии над свободной группой. Её развитие в первую очередь было вызвано попытками решить проблему Тарского об элементарной эквивалентности свободных некоммутативных групп конечных рангов. Работа над её решением велась многие годы и многими специалистами. Завершающие результаты были получены в работах А.Г. Мясникова, О. Харлампович и 3. Селы, указанных выше. Последние работы не только положительно решают проблему Тарского, но и содержат описание координатных групп алгебраических множеств над свободной группой и это описание дано на языке свободных конструкций.

Естественно, что после построения алгебраической геометрии над свободной группой была сделана попытка описать координатные алгебры над свободным моноидом. В настоящее время данная проблема, несмотря на работу многих специалистов, далека до окончательного решения. В качестве одной из причин её сложности укажем1 на один из результатов данной диссертации, утверждающий, чю алгебраическая геометрия даже над однопорождённым бесконечным моноидом достаточна сложна.

В алгебраической геометрии над алгебраическими системами есть ряд общих принципов, которые не зависят от свойств конкретной алгебраической системы. В связи с тем, что стало появляться много работ над различными группами и алгебрами, возникла необходимость в изложении общих основ алгебраической геометрии над алгебраическими системами. В этом направлении работает коллектив математиков, состоящий-из Э Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова, которым уже подготовлено три статьи [5, 6, 7] по данной теме

Статьи [5, 6, 7] по универсальной алгебраической геометрии объясняют общие принципы, верные для любой алгебраической системы. Но в то же время решение классификационных задач для конкретной алгебраической по-прежнему остаются интересным и требующим решения.

В частности, в первой главе настоящей диссертации, следуя идеям работ [5, 6, 7], изучается алгебраическая геометрия над однопорождённым бесконечным моноидом (наиболее естественное представление этого объекта — натуральные числа N с операцией сложения) и описываются все координатные моноиды.

Дополняя множество натуральных чисел до множества целых, мы г получаем абелеву группу. Проблема описания координатных групп над группой Ъ была решена в работе [22], где была доказано, что любая координатная группа над Ъ изоморфна и наоборот- все декартовы степени Ъп являются координатными группами алгебраических множеств над Z. Заметим также, что на самом деле в [22] были описаны координатные группы алгебраических множеств над любой абелевой группой.

К сожалению, в многообразии моноидов нет хороших структурных результатов (таких как теорема о разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму циклических групп), и поэтому не существует 'универсального метода, позволяющего по заданному коммутативному моноиду М описать все координатные моноиды алгебраических множеств над М. Более того, даже для моноида N натуральных чисел множество всех координатных моноидов достаточно сложно и, как доказано в диссертации, не исчерпывается декартовыми степенями

Кончено, построение таких примеров облегчается тем, что в качестве алгебраической системы Л мы можем брать произвольную модель произвольного языка без предикатов и доказывать, что алгебраическая геометрия" над ней не допускает переноса результатов с алгебраической геометрии над полем. Но большую ценность контрпример будет иметь, если найденная алгебра Л будет принадлежать стандартному многообразию алгебр (например, А будет группой).

Конечно порождённые кольца многочленов над полями являются нётеровыми Этот факт в классической алгебраической геометрии над полем к играет решающую роль, так как аффинное пространство кп оказывается нётеровыми топологическим пространством (с топологией Зарисского). Произвольная алгебраическая система с таким свойством называется нётеровой по уравнениям.

Во, второй главе настоящей диссертации в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант и решается ряд проблем, поставленный в работах [С, 7|, и связанный с понятием нётеровости по уравнениям.

Помимо построения примеров, показывающих переносимость некоторых результатов с алгебраической проблемы над полем, в универсальной алгебраической геометрии рассматриваются и чисто теоретико-модельные проблемы. Например: является ли класс всех нётеровых по уравнениям алгебраических систем языка С аксиоматизируемым В нашей диссертации даётся отрицательный ответ на этот вопрос.

Основные цели данной работы: описать координатные моноиды над коммутативным моноидом с сокращениями, доказать критерий неприводимости для алгебраических множеств Решить проблемы, поставленные в универсальной алгебраической геометрии, связанными с понятием нётеровости по уравнениям и его обобщениями.

В качестве методов исследования использовались методы линейной алгебры, теории моделей, универсальной алгебраической геометрии.

Перечислим основные результаты в порядке появления их в работе.

1. Описаны координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел Л/о в языке (+,0). Изучены моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о

2. 'Описаны неприводимые координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел N в языке {+, 0,1, 2 .). Предложен метод разложения приводимых алгебраических множеств над Л/* в объединение неприводимых компонент Дана удовлетворительная аксиоматизация универсального замыкания ис1(Л/).

3. Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы произвольный моноид Л4 являлся координатным для некоторого непустого алгебраического множества над Л/". Дана удовлетворительная аксиоматизация квазимногообразия С^уаг(Л/") с помощью квазитождеств простейшего вида Получены структурные результаты о координатных моноидах алгебраических множеств над

ЛЛ

4. Построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в счётом языке С = {■, со-ci, ci.), показывающие несовпадение свойств нётеровости по уравнениям и различных видов компактности (классов N, N', Q, U).

Все цели исследования были достигнуты, а именно: была создана алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел (в стандартном и в языке с константами); построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в языке с счётным числом констант, . решающие проблемы, поставленные в работах [6, 7]; доказана неаксиоматизируемость класса нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных полугрупп в языке С.

Результаты диссертации были доложены на Омском алгебраическом семинаре (2008-2010), международных математических конференциях к

Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008-2010), "Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications" (USA, Hoboken, 2009) и международных семинарах "Makanin-Razborov Algorithm" (Italy, Alagna, 2008), "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (Омск, 2009).

Результаты диссертации опубликованы в работах [35, 36, 37]. Работа [35] выполнена совместно с П.В. Морарем при равном вкладе соавторов.

Диссертация изложена на ста пяти страницах, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы разбиты на параграфы, список литературы содержит 37 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Шевляков, Артем Николаевич, Омск

1. К. Appel. One-variable equations in free groups // Proc. Amer. Math. Soc., 19, pp. 912-918, 1968.

2. G. Baumslag, A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups I; Algebraic sets and Ideal Theory // J. Algebra, 219, pp. 16-79. 1999.

3. E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra I: U-Algebras and Universal Classes // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3292-3310, 2006, arXiv:0710.3871vl math.AG],

4. E. Daniyarova, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Algebraic Geometry over Free Metabelian Lie Algebra II: Finite Field Case // J. of Math. Sci., 135(5), pp. 3311—3326, 2006, arXiv:0710.3872 math.AG].

5. E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra and Discrete Math., 1, pp. 80-112, 2008, arXiv:0808.2522vl math.AG],

6. E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures II: Foundations // 2010, arXiv:1002.3562vl math. AG],

7. E. Daniyarova, A. Miasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over algebraic structures III: equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bulletin of Mathematics, submitted, 2010, arXiv: 1002.4243 math.AG],

8. Э.Ю. Даниярова. Алгебраическая геометрия над свободными метабелевыми алгебрами Ли III: Q-алгебры и координатные алгебры алгебраических множеств // препринт, Омск, ОмГУ, С. 1-130, 2005.

9. Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников. Ограниченная алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли // Алгебра и логика 44(3), С. 269-304, 2005.

10. Ф.Р Гантмахер. Теория матриц, ФИЗМАТЛИТ, 560с, 2010.

11. R.I Gngorchuk, P.F. Kurchanov. On quadratic equations in free groups // Contemp. Math., 131(1), pp 159-171, 1992.

12. P. Grillet. Commutative semigroups, Springer, 456p, 2001.

13. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group I: Irreducibility of quadiatic equations and Nullstellensatz // J. Algebra, 200(2), pp. 472-516, 1998.

14. O. Kharlampovich, A. Myasnikov. Irreducible affine varieties over free group II: Systems in trangular quasi-quadratic form and description of residually free groups // J. Algebra, 200(2), pp. 517—570, 1998.

15. О Kharlampovich, A. Myasnikov. Algebraic geometry over free groups. Lifting solutions into generic points // Contemp. Math., 378, pp. 213318, 2005.

16. M. Kotov. Equationally Noetherian Property and Close Properties, Southeast Asian Bulletin of Mathematics // submitted, 2010.

17. M.M. Ковалёв. Целочисленное программирование // УРСС, 192с, 2003'.

18. R. Lyndon. Groups with parametric exponents // Trans. Amer. Math. Soc., 96, pp. 518-533, 1960.

19. Г.С. Маканин. Уравнения в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 46(6) С. 1199-1273, 1982.

20. А.И. Мальцев. Об уравнении х,у] — [а. Ь] в свободной группе // Алгебра и Логика, 1 С. 45-50, 1962.

21. D. Marker. Model Theory: an Introduction // Springer, 340p, 2000.

22. A. Myasnikov, V. Remeslennikov. Algebraic geometry over groups II: logical foundations // J. Algebra, 234, pp. 225-276, 2000.

23. B. Plotkin. Varieties of algebras and algebraic varieties. Categories of algebraic varieties// Siberian Advances in Math., 7(2), pp. 64-97 (1997).

24. B. Plotkin. Algebras with the same (algebraic) geometry // Proc. Steklov Inst. Math., 242 C. 165-196, 2003.

25. A.A. Разборов. О системах уравнений в свободной группе // Изв. АН СССР, сер. мат., 48(4), С. 779-832, 1982.

26. A. Razborov. On systems of equations in a free groups // Combinatorial and geometric group theory, Cambridge University Press, pp. 269-283, 1995.

27. V. Remeslennikov, R. Stohr. On algebraic sets over metabelian groups // J. Group Theory, 8, pp. 491-513, 2005.

28. B.H. Ремесленников. Размерность алгебраических множеств над свободной метабелевой группой // Фундам. и прикл. мат., 7, С. 873885; 2000.

29. В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский. О неприводимых множествах в метабелевых группах // Алгебра и логика, 44(5), С. 601-621, 2005.

30. В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко. О топологических размерностях п-групп // Сиб. мат. журн., 47 №2 (2006), 415-431; translation in Sib. Math. J., 47 №2, С. 341-354, 2006.

31. Н.С. Романовский. Нётеровость по уравнениям жёстких разрешимых групп // Алгебра и Логика, 48(2), С. 258-279, 2009.

32. Z. Sela. Diophantine geometry over groups VI: The elementary theory of a free group// GAFA, 16, pp. 707—730, 2006.Работы автора по теме диссертации

33. P. Morar, A. Shevliakov. Algebraic Geometry over the Additive Monoid of Natural Numbers: Systems of Coefficient Free Equations // Combinatorial and Geometric Group Theory: Dortmund and Carleton Conferences, pp. 261-278, 2010.

34. A. Shevlyakov. Algebraic geometry over the additive monoid of natural numbers: The classifcation of coordinate monoids // Groups, Complexity and Cryptology, 2(1), pp. 91-111, 2010.

35. А.П. Шевляков. Алгебраическая геометрия над моноидом натуральных чисел. Неприводимые алгебраические множества // Труды Института математики и механики УрО РАН, 16(4), С. 258-269, 2010.

36. A. Shevlyakov. Classes qw- and uw-compact and equationally Noetherian commutative semigroups ate pairwise distinct. Тезисы конф. "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах С. 21, Омск, 16-22 авг. 2009.