Геометрия в целом поверхностей в полуевклидовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

АРТЫКБАЕВ АБДШААЗЙЗ

УДК 514.753.3

ГЕОМЕТРИЯ В ЦЕЛОМ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ПОЛУЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 - -.геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1992

Работа выполнена в Ташкентском Ордена Трудового Красного' Знамени Института инженеров железнодорожного транспорта им. ' А.Икрамова'

Официальные оппоненты:'доктор физико-математических наук, < .-.• профессор Ю.Ф.Борисов

доктор физико-математических наук, , - . , профессор Э.Г.Позняк

доктор физико-математических наук, ! профессор Л.К.Гун

' Ведущее предприятие - Ленинградский Государственный Педа-' готический Университет им. -

Зашита состоится "__"_;______ 1993 г.' ■ ■ •

в на заседаний специализированного совета Д 002.23.02

по физико-математическим .наукам в ИМ СО, РАН.

Автореферат разослан _;_ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета '.

доктор физико-математических.

наук, профессор . . ' ' В.А.Шарафутдинов

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы.

В классической дифференциально? геометрии евклидова пространства выделяются два направления. Одно из них, называемое геометрией "в малом", изучает локальные свойства геометрических объектов, а второе исследует геометрические объекты на всем их протяжении и называется геометрия "в целом".

Геометрия "в целом", по-видимому, берет свое начало от знаменитов теоремы О.Коши о том, что два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленные из равных гране?, равны. В своем развитии геометрия "в целом" связана с именами выдающихся математиков таких, как Д.Гильберт, Г.МинковскиР, Г.ВеРль, С.Кон-Фоссен и.другие.

Истоки современного этапа развития геометрии "в целом" связаны со ставшими ныне классическими работами А.Д.Александрова, А.В.Погорелова и их многочисленных учеников.

Многие результаты геометрии "в целом", полученные в евклидовом пространстве, обобщены на случай поверхностей в пространствах постоянной кривизны.

Прежде всего, изучен случай поверхностей в эллиптическом пространстве Лобачевского. Геометрические методы,развитые в евклидовом пространстве и в пространствах постоянно? кривизны, дали возможность обобщить эти результаты на поверхности общих римановых пространств. В настоящее время сравнительно хорошо изучены основные вопросы геометрии "в целом" в псевдоевклидовом пространстве.

Однако перечисленные выше пространства являются лишь частным случаем в обшей схеме Кели-Клейна. Имеются 27 трехмер-

ных пространств с проективными метриками, в которых кроме перечисленных выше пространств имеются галилеевы: изотропное, флаговое, квазиэллиптическое и другие пространства.

Общая теория в малом поверхностей этих пространств приведена в монографии Б.А.Розенфелда "Неевклидовы пространства".

В связи с вышеизложенным приобретает актуальность постановка следующего вопроса: возможна ли содержательная постановка и решение задач геометрии "в целом" в пространствах с проективными метриками, то есть в пространствах с вырожденной метрикой?

Подчеркнем, что изучение геометрии галилеева пространства представляет безусловный интерес и с точки зрения теоретической физики. Дело в том, что это пространство представляет собор пространство-время классической механики, и, сравнивая его геометрию с геометрией псевдоевклидовой, мы более глубоко понимаем соотношение релятивистической и не релятивистической динамики.

Цель.работы

Основной целью работы является изучение основных задач геометрии "в целом", поверхностей в полуевклидовом пространстве. В этой связи появилась необходимость изучения теории поверхности полуевклидова пространства. Была построена тео~-рия поверхностей, пригодная к постановке и решению задач по геометрии "в целом". Выяснить, какие из задач геометрии "в целом" возможно обобщать для полуевклидовых пространств, а также определить новые задачи, приводящие к изучению поверхности на всем ее протяжении.

Научная новизна .

В работе получило развитие новое направление - геометрия "в целом" в полуевклидовом пространстве. Определена и изучена внешняя кривизна выпуклой поверхности полуевклидова пространства. Задача восстановления поверхности по внешне? кривизне применена к решению широкого класса уравнений Монжа-Ампе-ра. Рассмотрены аналоги основных задач геометрии "в целом" в галилеевом пространстве. Введено понятие внутренней кривизны выпуклой поверхности в галилеевом пространстве и изучены связанные с ним вопросы.

Исследованы седловые поверхности галилеева пространства и рассмотрены некоторые задачи, связанные с седловыми поверхностями.

Апробация работы

По материалам диссертации сделаны доклады на следуших конференциях: Всесоюзной конференции по геометрии "в целом" (Новосибирск, 1987), Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (Новосибирск, 1989), Всесоюзном совещании молодых ученых по дифференциальной геометрии, посвященном 80-летию Н.В.Ефимова (Ростов-на-Дону, 1990), Международной научной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992).

Кроме того, сделаны доклады на семинарах: семинарах Московского Государственного Университета (рук. Фоменко А.Т. и рук. Н.В.Ефимов), семинаре Ленинградского педагогического Университета им. А.И.Герцена (рук. А.Л.Вернер), семинаре математического института им. В.А.Стеклова Ленинградское отделение (ЛОМИ), семинаре Новосибирского Института математики СО РАН, семинаре Ташкентского Государственного Университета.

Структура и объем работы

Диссертационная работа, изложенная на 178 страницах машинописи, состоит из введения, четырех глав.и четырех рисунков. Библиография насчитывает 66 наименований.

, Краткое содержание работы

Во введении дается общая характеристика работы и обзор диссертации по главам.

В первой главе.диссертации излагаются основные определения геометрии полуевклидова пространства, а также формируются некоторые из результатов диссертации, необходимые для решения задач из геометрии "в целом".,Даны необходимые определения для полуевклидова пространства произвольной размерности (§ I). Конкретные вопросы,, связанные со свойствами многообразий, рассмотрены в трехмерном случае (§2). Коротко изложены факты полуевклидовой плоскости - плоскости Галилея-Ньютона. Более детально мы .рассматриваем дифференциальную геометрию трехмерных полуевклидовых пространств - изотропного и галилеева. В частности определены первая и вторая квадратичная форма поверхности >и получены аналоги формул Петерсона-Кодацци и Гаусса.

Специальное рассмотрение трехмерных полуевклидовых пространств необходимо, потому что при изучении пространств произвольной размерности не выявляются конкретные геометрические свойства поверхности. В частности, при избранном нами способе рассмотрения становятся заметными следующие интересные с точки зрения геометрии "в целом" факты. Гауссова кривизна поверхности и геодезическая кривизна кривой на поверхности не выражаются через коэффициенты первой квадратичной формы, то

есть не являются объектами внутренней геометрии поверхности.

Кроме того, во всех задачах, связанных с метрикой, возникают специфические черты, зависящие от размерности пространства и порядка вырожденности ее метрики. Это ощутимо, в частности, при изучении изометрии поверхностей в полуевклидовом пространстве. Оказывается, что необходимо различать два вида изометрии: полуиэометрию и собственно изометрию.

Полуизометричными называются поверхности, соответствующие по изометрии, точки которых имеют равные расстояния по первой метрике поверхности, а изометричными - такие, у которых расстояния мевду соответствующими точками равны и имеют одинаковый порядок. К сожалению, полуизометрия и изометрия мало характеризуют поверхности. Б полуевклидовом пространстве возможен следующий факт, совершенно невозможный в евклидовом пространстве. Выпуклая поверхность может быть изометричной седловой поверхности. Этот факт показывает, что изометрич -ность поверхностей недостаточна для определения геометрической формы поверхности. Поэтому мы вводим понятие вполне изо-метричных поверхностей, в котором требуются дополнительные условия, кроме условия изометричности.

В § 4 главы I мы рассматриваем допустимые преобразования сети на поверхности полуевклидова пространства, изучаем некоторые специальные виды координатных линий (асмптотичес-кие, линии кривизны). В качестве примера рассматриваются поверхности вращения и приводятся примеры поверхностей вращения постоянной отрицательной кривизны. Примером поверхности вращения постоянной положительной .кривизны является поверхность, образованная вращением дуги кривой которая является аналогом сферы евклидова пространства в га-

7

лилеевом пространстве.

Мы анализируем также нетривиальный вопрос о понятии полноты поверхностей в галилеевом пространстве. В полуевклидовом пространстве полноту невозможно понимать как полноту метрического пространства. Поэтому мы назовем полными те поверхности полуевклвдова пространства, которые являются полными в смысле евклидова пространства.

В галилеевом пространстве также полными мы называем поверхности, имеющие одну общую точку с особыми плоскостями пространства. Таким образом, поверхность вращения положительной постоянной кривизны мы считаем полной поверхностью в галилеевом пространстве.

Хотя не все полуевклидовы пространства имеют характерные физические приложения, среди них существуют те, которые успешно используются в решении технических задач. Об этом мы коротко говорим в § 5 главы I.

- Во второй главе изложен основной аппарат исследования поверхностей в полуевклидовом пространстве. Геометрические методы, изложенные в этой -главе, применяются к конкретным задачам по геометрии "в целом" в последующих главах.

Обычно в изучении свойств поверхностей полуевклидова пространства пользуются ее двойственным отображением, то есть

поверхностью в проективно двойственном пространстве. Полуевк-

0ю

лидову пространству п^ проективно двойственно пространст-^ п-т-хп-1

во ._> п . Исследование свойств двойственного ото-

пт

бражения полуевклидова пространства г\п показало, что вместо двойственного образа выпуклых поверхностей можно рассматривать ее проекцию на плоскости общего положения прост-

л-т-щ-1

ранства 5 ^ . Полученное отображение мы назовем ци-

линдрическим отображением выпуклой поверхности в полуевклидовом пространстве.

г ^ .(\-m-in-l

Плоскость общего положения пространства 3 п

пП-т

можно интерпретировать как сферу в пространстве Пп . Таким образом, мы каждой опорной плоскости выпуклой поверхности полуеЕКЛИдова пространства будем сопоставлять точ-

0п-т

ку на сфере пространства г)п . При этом уменьшается размерность пространства, и это отображение дает возможность легче изучать свойства выпуклой поверхности полуевклидова пространства.

Известные сферическое и нормальное изображения выпуклой поверхности евклидова пространства являются частными случаями цилиндрического отображения выпуклой поверхности. При этом цилиндрическое отображение выпуклой поверхности обладает всеми свойствами сферического отображения выпуклой поверхности евклидова пространства.

Цилиндрическое отображение выпуклой поверхности галиле-ева пространства реализуется на сфере изотропного про-

странства . С помощью цилиндрического отображения нами

определена внешняя кривизна выпуклой поверхности. Внешняя кривизна множества равна площади ее цилиндрического отображения.

Внешняя кривизна выпуклой поверхности галилеева пространства, которая обладает всеми замечательными свойствами внешней кривизны выпуклой поверхности евклидова пространства, имеет свойства, специфические для галилеева пространства. В частности, когда выпуклые поверхности с общим краем, не име-

шие особых опорных плоскостей, приближаются к поверхности с особой опорной плоскостью, то их внешняя кривизна неограниче-на (особыми называем евклидовы плоскости галилеева пространства).

Часто в исследованиях свойств выпуклых поверхностей мы будем пользоваться методом приближения выпуклых многогранников к выпуклой поверхности, развитыми в работах А.Д.Александрова. Однако в полуевклидовом пространстве этот метод также требует уточнения (§2). Эти уточнения, в основном, связаны с желанием сохранить порядок метрик между точками сходящихся поверхностей.

Значение угла между векторами существенно зависит от расположения их в пространстве. Подобно метрике пространства, мера угла также вырожденная. Особенно это влияет на вычисление полного угла вокруг вершины конуса.. В § 3 второй главы мы проводим определение полного угла вокруг;вершины конуса в некоторых полуевклидовых пространствах. Особо неожиданный результат получен в определении полного угла вокруг вершины конуса в галилеевом пространстве.

Для определения угла между кривыми на выпуклой поверхности в галилеевом пространстве мы используем углы мевду образующими касательными, которые, в свою очередь, выражаются через полный угол вокруг вершины конуса. Таким образом, внутреннее понятие угла между кривыми мы определяем с помощью внешней геометрической величины. Этот вынужденный шаг связан с тем, что метрика поверхности галилеева пространства не пригодна для определения внутренней геометрии поверхности в галилеевом пространстве.

Метрика поверхности галилеева пространства имеет своеобразное свойство, состоящее в том, что длина пути между точками, лежащими на разных особых плоскостях, не зависит от пути, соединяющего эти точки. Это свойство метрики затрудняет определение кратчайшей на поверхности, так как все кривые, соединяющие эти точки, имеют одинаковые длины. Поэтому выбор линии, аналогичной кратчайшей, должен определяться по другим свойствам, отличным от ее длины. Мы предпочитаем определять кратчайшую между точками на поверхности галилеева пространства как кривую, соединяющую данные точки и имеющую наименьшую вариацию поворота. Некоторые свойства кривых ограниченной вариации поворота изучены в § 5 главы 2.

Изучение геометрии полуевклидова пространства позволяет по-новому взглянуть на некоторые вопросы евклидовой геометрии. Примером этого является понятие обобщенного сферического отображения выпуклых поверхностей, приведенное в конце второй главы.

В третьей главе изложены принципиально новые результаты, полученные при применении методов теории выпуклых поверхнос- . • тей галилеева пространства для исследования уравнения Мовяа-Ампера. Эти результаты изложены подробно и основательно.

Обшая теория геометрического метода уравнения Монжа-Ам-пера разработана А.Д.Александровым, А.В.Погореловым и И.Я.Ба-кельманом. - ,

Геометрический подход к решению аналитической задачи для уравнения Монда-Ампера позволяет использовать геометрическую задачу о существовании и единственности выпуклых поверхностей с заданной внешней кривизной для исследования аналитических задач дифференциальных уравнений.

II •

Решение уравнений Монжа-Ампера мы проводим для уравнений с конкретно заданной правой частью, а именно

Выделение этих уравнений связано с тем, что исследование задачи Дир»хле для этих уравнений наиболее просто. Кроме того, с помощью этих уравнений и топологических методов функционального анализа эти результаты можно обобщить не только для простейшего уравнения Монжа-Ампера, но и для сильно эллиптических уравнений Монжа-Ампера, а с помощью аппарата условной кривизны, развитой И.Я.Бакельманом, можно рассматривать аналогичные задачи для функции общего вида.

Геометрическая задача, приводящая к этим уравнениям, является задачей построения выпуклой поверхности в галилеевом пространстве, у которой внешняя кривизна представляет собой данную функцию проекции точки поверхности на плоскость общего положения и на особую плоскость.

Задача Дирихле для уравнения Монжа-Ампера решена с различными условиями и в различных областях плоскости и на сфере. Особенно надо отметить результаты для неодносвязных и невыпуклых областей на плоскости. Аналогичные задачи не были решены с помощью теории поверхностей в евклидовом пространстве.

Доказательство теорем основано на методе А.В.Погорелова, в котором используется монотонность внешней кривизны, а также на свойстве цилиндрического отображения выпуклой поверхности галилеева пространства.

Ключевой момент доказательства состоит в геометрической

конструкции внешней кривизны в галилеевом пространстве. В дальнейшем исследование общего случая уравнения Монжа-Ампера эллиптического типа в галилеевом пространстве рассматривалось Х.М.Магамедовым (19851, в.§ 4 третьей главы коротко изложены эти результаты, относящиеся к общему случаю.

В конце главы показывается возможность получения некоторых результатов о восстановлении поверхности по внешней кривизне с помощью обобщенной условной кривизной и развитых методов геометрии полуевклидова пространства.

Внутренняя геометрия выпуклой поверхности галилеева пространства строится с помощью ее внешних геометрических величин. Результатом этого подхода является аналог внутренней кривизны выпуклой поверхности галилеева пространства, приведенной в начале четвертой главы.

Внутренняя кривизна вначале определяется для основных множеств: открытых треугольников, открытых кратчайших и точек. Для произвольных борелевеких множеств на выпуклой поверхности внутреннюю кривизну получим предельным переходом от выпуклых многогранников.

Внутренняя кривизна выпуклой поверхности, как и ее внешняя кривизна, является положительно определенной и вполне аддитивной функцией борелевских множеств на выпуклой поверхности.

В этой же главе получен аналог теоремы Гаусса-Бонне для допустимых областей.

Допустимыми считаем области на выпуклой поверхности, касательные к краям, области которых не параллельны особой плоскости.

Одной из классических задач геометрии "в целом" является

13

задача Минковского. В ней рассматривается существование замкнутой выпуклой поверхности, у которой гауссова кривизна является заданной функцией единичного вектора внешней нормали. Однако единичная нормаль поверхности галилеева пространства всегда параллельна особой плоскости. Поэтому не удается задавать функцию кривизны относительно этой нормали и ее приходится"связывать с единичным вектором цилиндрического отображения в изотопном пространстве. Это дает возможность получения аналога теоремы Минковского в галилеевом пространстве. Формулировка теоремы одинакова с евклидовым вариантом этой теоремы. В доказательстве теоремы используется метод наложенного пространства.

Отношение изометрии в силу вырожденности метрики мало характеризует поверхность в галилеевом пространстве. Несмотря на это, удается получить ряд теорем, связанных с изометрией поверхности в галилеевом пространстве.

Выявлен ряд задач, содержательное обобщение которых на рассматриваемый нами случай невозможно- Например, любая поверхность, однозначно проектирующаяся на плоскость общего положения, изомегрична флаговой плоскости. Это показывает, что изометрия поверхности не определяет ее однозначно. Однако в классе поверхностей вращения такое обобщение возможно. Показано, что изометричные поверхности вращения равны.

Далее получена теорема о равенстве вполне изометричных поверхностей в галилеевом пространстве. Здесь кроме изометри-чности поверхностей требуется равенство угла видимости изометричных точек поверхности. Полученная теорема справедлива для. поверхностей, которые видны из некоторой точки изнутри. Поверхность называем видной изнутри, если любой луч, выходящий из данной точки, пересекается с поверхностью не более чем в

14

одной точке. Угол видимости равен углу между радиусом векторов точек на поверхности. Теорема получена в классе обших выпуклых поверхностей.

Поверхности в евклидовом пространстве по знаку кривизны разделяются на два класса. Поверхности положительной кривизны реализуются в виде выпуклой поверхности, а поверхность отрицательной кривизны - седловыми поверхностями. Знаки гауссовой кривизны поверхности галилеева пространства и этой же поверх-ностиности, рассматриваемой в евклидовом пространстве, одинаковы. Поэтому седловые поверхности галилеева пространства являются седловыми и в евклидовом пространстве.

В евклидовом пространстве особое место занимают поверхности постоянной отрицательной кривизны, которые связаны с реализацией плоскости Лобачевского. В отличие от евклидова пространства в галилеевом пространстве существуют полные поверхности, имеющие постоянные отрицательные кривизны. Примером этого может служить поверхность вращения постоянной отрицательной кривизны. Существует также поверхность, однозначно проектирующаяся на плоскость общего положения и имеющая постоянную отрицательную кривизну.

Для произвольной отрицательной функции можно построить поверхность, однозначно проектирующуюся на всю плоскость общего положения, кривизна которого равна заданной функции.

В конце четвертой главы мы рассматриваем аналог задачи реализации в галилеевом пространстве.

Задачу реализации в галилеевом пространстве мы понимаем в следующем: задана первая квадратичная форма и функция, определяющая ее дефекты кривизны. Рассмотрим вопрос, при каких условиях существует поверхность, первая квадратичная форма кото-

рой будет заданная форма, гауссова кривизна которой определяется дефектом и коэффициентом первой квадратичной формы.

Доказательство этой теоремы основано на технике решения системы дифференциальных уравнений в римановых инвариантах, развитой Э.Г.Позняком и Е.В.Шишкиным.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях, а также 'в книге, написанной в соавторстве с Д.Д.Соколовым. Вторая часть книги "Геометрия пространств с вырожденными метриками" является результатом исследований автора диссертации.

СПИСОК РАБОТ

1. Артыкбаев А. Восстановление выпуклых поверхностей по внешней кривизне в пространствах с проективными метриками // Доклады АН УзССР, § 10, 1976. С.6-7.

2. Артыкбаев А. Восстановление выпуклых поверхностей по внеш ней кривизне в галилеевом пространстве //Матем. сб. АН СССР,

1982, т.119(161), №2 (10), С.204-224.

3. Артыкбаев А., Вернер А.Л. Неодносвязанные выпуклые поверхности с заданной интегральной условной внешней кривизной //Вопросы дифференциальной геометрии "в целом". Сб. статей. Л. 1983.

4. Артыкбаев А. К проблеме Минковского в галилеевом пространстве //Доклады АН УзССР, 1986, Ii 3, C.II-I2.

5. Артыкбаев А. Классификация точек поверхности в галилеевом пространстве //Исследование по теории поверхностей в многообразиях знакопостоянной кривизны. Л., 1987. C.II-I5.

6. Артыкбаев А. Полный угол вокруг вершины конуса в галиле-евом пространстве //Матем. заметки, 1988, т.43, 3.

С. 657-661.

7. Артыкбаев А. О геодезических кривых на поверхности галиле-ева пространства //Тезисы Всесоюзной конференции по геометрии и анализу. Новосибирск, 1989.

8. Артыкбаев А. Изометрические выпуклые поверхности в галиле-евом пространстве //Тезисы докладов Всесоюзного совещаения молодых ученых го дифференциальной геометрии, посвященного 80-летию Н.В.Ефимова, Росто-на-Дону, 1990.

9. Артыкбаев А., Соколов Д.Д. Геометрия "в целом" в плоском пространстве-времени. Ташкент, "Фан", 199I. - 180 с.

10. Артыкбаев А. Седловые поверхности в галилеевом пространстве //Тезисы Международной конференции "Лзбачевсяий и современная геометрия". Казань, 1992. - С.6-7.

11. Артыкбаев А. Аналог внутренней кривизны на выпуклой поверхности в галилеевом пространстве //Узбекский математический журнал. Ташкент, 1993. T.I. - С.8-13.