Многомерные однозначно проектируемые поверхности в сферическом и проективных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЦЦЕНИЕ.

Глава I. ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

1.1.Линейчатые поверхности в сферическом и проективных пространствах

1.2.Линейчатые однозначно проектируемые поверхности

1.3.Комплексные линейчатые однозначно проекти -руемые поверхности.

1.4.Семейства- свешивающихся сфер.

Глава 2. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.

2.1.Строение вполне вещественных параболичес ких поверхностей в CP171' и HP Пь •••

2.2.Параболические поверхности положительной секционной кривизны.

Глава 3. ВПОЛНЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ СЛОЕНИЯ.

3.1.Вполне геодезические слоения положительной кривизны в смешанных направлениях

3.2.Характеристические свойства комплексного и кватернионного проективных пространств

Актуальность темы. В последние годы в работах советских и зарубежных геометров (Геоель С.З., Борисенко А.А., Глазы -рин В.В., §ерус Д., Грэй А., Чен Б.-Е., Зскобалес Р., Зйб К. и др.) интенсивно исследуются новые классы многомерных поверхностей б евклидовом, сферическом и проективных пространствах, а также вполне геодезические слоения.

В нашей работе введены и изучаются следующие классы по -верхностей в названных пространствах: - линейчатые однозначно проектируемые поверхности;

- линейчатые поверхности -положительной секционной кривизны в смешанных направлениях.

Классы ^ и ^ представляют собой обобщения класса линейчатых развёртывающихся, или сильно-параболических по -верхностей. Как выяснилось, они тесно связаны и с известными классами

7/ - параболических однозначно проектируемых поверхностей;

7э - параболических поверхностей положительной секционной кривизны.

Отправной точкой наших исследований послужила теорема «е-руса Д. о вполне геодезических слоениях и некоторые её следствия .

Теорема ffj ♦ Пусть на римановом многообразии i п >0 ) за.лано У -мерное С*-слоение j/ij с полными вполне геодезическими листами, причём смешанная секционная кривизна удовлетворяет условию (ссеП, ye rz^ (o.i)

Тогда </><'"), (о.г) где jD(n)-f - максимальное число непрерывных поточечно линейно независимых векторных полей на сфере

Последовательность JSCst.) вычисляется по правилу [Р J

JD((неvesn.) <2 - 8£+ 2еО; О^с*3).

Линейчатые развертывающиеся поверхности в сфере удовлетворяют условиям теоремы Д.Феруса. Поэтому из нее следует оценка нуль - индекса JU полной сильно-параболической поверхности если ju ? то /< где ^(e) = mcrx {t: t <jo(t-t)y

Грэй к, [ 3 J в 1966 г. предположил, что полное многообразие с положительным индексом Af - дефектности при Af>& изометрично сфере или комплексному проективному пространству в келеровом случае.

Известно, что многообразие с индексом ju# > О допускает вполне геодезическое слоение, для которого выполнено условие ( О,/ ). Следовательно, теорема Д.Феруса даёт силь -ное продвижение и в проблеме А.Грэя.

Эта теорема привлекла внимание геометров (см./" 4 — & J), так как содержит новый подход к актуальной проблеме о вполне геодезических слоениях: характеризашш топологических свойств с помощью римановой кривизны.

На геометрическом семинаре (Институт математики СО АН СССР, 1980г) В.А.Топоногов высказал предположение,что ферусовская оиенка (0.2) справедлива и для слоений положительной кривизны в смешанных направлениях,то есть при замене (0.1) условием

0 ( осе П , rzu)m

В случае слоения на компактном многообразии вопрос В.А.То-поногова пока открыт. Если рассматривать слоение в окрестности одного листа,то,как показывает следующая теорема,нужны дополнительные ограничения.

Теорема 3.1. Область любого из пространств

НРт (т>/), СсгРг можно регулярно расслоить на полные геодезические.

В самом деле, здесь / , /Z нечётное и выполнено ^ = jD (/Is) . хотя секционная кривизна положительная. В связи с указанным примером у нас появился .интерес к более узкому классу вполне геодезических слоений: линейчатым поверх -ностям Яг .

Основным результатом диссертационной работы является по -лучение опенки (0.2) для класса JI^ и установление включений С J7g с J7j . Тем самым, частично доказано предположение В.А.Топоногова и получена новая оаенка ранга вторых квадратичных форм поверхностей /7^ .

Для поверхностей и слоений с дополнительной келеровой структурой удалось значительно усилить ферусовскую оценку и подтвердить гипотезу А.Грэя.

Таким образом, в диссертационной работе продолжены ис следования тесно связанных между собой классов многообразий: вполне геодезических слоений, линейных и параболических поверхностей. Поэтому тема диссертации является.актуальной.

Целью работы является

1. изучение классов ^ и линейчатых поверхностей и их связей с классами /7у и параболических поверхностей;

2. изучение вполне геодезических слоений с положительной кривизной в смешанных направлениях.

Научная новизна и практическая ценность. Результаты диссертации являются новыми. Впервые изучаются классы jfi и линейчатых поверхностей. Работа носит теоретический характер и может найти применение в дальнейших исследованиях по римановой геометрии слоений, линейчатых и параболических поверхностей.

Методика исследования. В настоящей работе используются синтетические методы геометрии подмногообразий в сочетании с аппаратом вариационной теории геодезических.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по геометрии подмногообразий Института Математики СО АН СССР (рук. д.ф.-м.н. Топоногов В.А., д.ф.-м.н. Шефель С.З.), на семинаре по геометрии "в целом" ХГУ И ФТЙНТа (рук. академик Погорелов А.В.), на всесоюзном симпозиуме по геометрии "в целом" и основаниям теории относительности (г.Новосибирск, 1982г), на научно-методическом семинаре слушателей ФПК и преподавателей КазГУ по обмену опытом работы в вузе (г. Алма-Ата, 1983г), на восьмой Всесоюзной научной конференции по современным проблемам дифференциальной геометрии (г.Одесса, 198^+г).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав, содержит страниц, в списке литературы 40

1. fe 2 us • Го£а££у ^eoc/estc fo&a-tco/zs. - A/at А. rf/гп., A97<9f /923 y4y/o.3/3~3/S.

2. P£e //. Pppt/cat^o/2 of а /Pcccatltype c/cffeze/ztiaA equate o/z toAce/na/z/zia/z /гга/zifoAe/ iwctAz totaftu yeoc/escc c/cstzc£utio/z. 7Ъ/гоАи. ААсуг/г. 7., /973, 25, У4 э p 425-444.

3. A?£e M A7 cAazactezizatio/z о/ totatfyyeoa/esic Aype 2 su 2faces of tf^^'a/z с/ CPn+f. Pzoc. MS, 7Щ $/, //4,p. 603-69S.

4. Борисенко А.А. 0 внешне геометрических свойствах параболических поверхностей и топологических свойствах седловых поверхностей в симметрических пространствах ранга один. Ма -тем.сб., 1981, 116(158), ЛЗ(П), с.440-457.

5. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. -М. Мир, 198I.

6. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии, т.1, т.2.- М. : Наука, 1981.

7. Тамура И. Топология слоений. М.: Мир, 1979.

8. C/zen 8.- У. £ео/7?е£гу of s б/£/ггсулz/-fo£ds.~ Af. Z>eA£ez, /Уе* Уог£, /&73.16. funa>£cys/zc & Totcy^y СО/72/Э&Х Лио/ с/ ^cytezntonlctlae/i^ezcan ЮСУПС/О£С/. //о С/СУ с А7<у£/г.J., №79, р, 3/4 336.

9. Pz&sz 7* Afa>sz6 fc?<fc/s wet Аposctczre cc/zvcytu?ePacific J? A/c?tAz.y /05/, //y p. /65 /74,

10. Бишоп P., Криттенден P. Геометрия многообразий. M.: Мир, 1967.

11. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология.- М.: Мир, 1970.

12. Математическая энциклопедия, т.1-4.- М.: Советская энциклопедия, 1977 1984 г.г.

13. А/су<?£& /?. The nudity spaces ofсиг vcytu?e Сс^е terzs&zs. У. Geosn., 7, P-S/2-S23.

14. Милнор Дж., Сташеф Дж. Характеристические классы. М.: Мир, 1979.23. А/. Co/rzp^et/iess ofcuzvatt/ze Sиzface^s of а/г csooietzccim/nezsco/- ч/Г R^ff. &eo/?z /274y 49 p. 7-20.

15. Мазаев Е.Д. Квазиомбилические поверхности в пространстве постоянной кривизны. В кн.: Симпозиум по геометрии в целом и основаниям теории относительности. Тезисы докладов (г.Новосибирск, 28-30 сентября, 1982г), Новосибирск, 1982, с.70-71.

16. A/az t/77 су/г Р. С/г csosnetzcc с/гг/т???-$co/?s с/г еис^ес/ссу/г ярасо of srzaszt -foSc/s ivi tA /го/г/?еу at eve £<°с&с?/гсу£ сиг vat и zes, Z- Tza/?s. /PCS, //5, p. /29.10 z

17. Борисенко А.А. О строении А* -мерных поверхностей с вырождённой второй квадратичной формой. Укр.Геом.сб., 1972, I3,cJ8-27.

18. Шефель С.З. О двух классах л/ -мерных поверхностей в евклидовом пространстве. Сиб.мат.журнал, 1969, 10, № 2, с.456-467.

19. Глазырин В.В. Топологическое и метрическое строение К -седловых поверхностей. Сиб.мат.журнал, 1978, 19, №3,с.555-563.

20. Уа/7 о Af. 9 ffo/г ff. AP/z zV сгг усуъссулг S6/£/r?СУ/2cfodcfs. - Af. Я)еЫе2, f/ewYozk, /270.

21. Is ft сАс/гсу £ &b>cy£<pzsz6a/z /AcyeA-Aezccy/z ncyszifoSc/s. JT Яг/f. &ео/7г /974, 0, p. 403-S00.

22. В Асу с г Я). 7?rz сАго"гсУс?е 2 cz action of compAex p?2oyectczre S/Ocyce7. /i&t/z. Soc. Усурсу/ъ y p. 0-/P.

23. Afctec/c/ У. 0/г су с A cyzcyc tezczcy of fyucyieznie/zic spcycec/cffeze/ttccy^ e^ucyAte/is. fac/ai AfcrtAl . /?бр. 3p. 43/.