Двойственная геометрия распределения Картана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Ж

Кузьмина Наталья Александровна

ДВОЙСТВЕННАЯГЕОМЕТРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАРТАНА

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 8 МДП 2009

Казань-2009

003471265

Работа выполнена на кафедре геометрии ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Аминова Ася Васильевна

доктор физико-математических наук, профессор

Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация: Тверской государственный университет

Защита состоится 18 июня 2009 года в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д. 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В. И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324

, С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имени Н. И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В. И. Ульянова-Ленина (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан апреля 2009 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачёв Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Постановка вопроса и актуальность темы. Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий.

История теории связностей начинается с работы Т. Леви-Чивита [24] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. В 1950 году В. В. Вагнер [6] и Ш. Эресман [23] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Г. Ф. Лаптев [9], следуя идеям Э. Картана [8], линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.

A. П. Норденом [12] разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуциро-

_вать аффинные связности без кручения._

В 1926 г. Э. Картан [19] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G ».

В работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану [10], [13], [14] получила широкое развитие теория распределений /я-мерных линейных и гиперплоскостных элементов в проективном пространстве Р„ и пространстве проективной связности Р„ . В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью без кручения эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [4], [5]. Ю. Г. Лумисте [11] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа.

В работе А. В. Столярова [16], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях ряда многообразий пространства проективной связности

Ри,и • ✓

B. Т. Базылевым [1], [2] получена обширная теория многомерных сетей Е„, погружённых в и-мерное проективное пространство Р„.

Э. Картан [20], [21] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства Р2т выделил класс таких по-■ верхносгей Vm, для которых число линейно -независимых квадратичных асимптотических форм Фа = (i,k = 1, т\ а = т + \,2т) на поверхности равно т и поверхность Vm несёт сеть сопряжённых линий.

Чжень Шэн-шэнь [22] показал, что для поверхности Картана Vm можно построить преобразования Лапласа. Этому результату дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [15], построив преобразования Лапласа для произвольных р-сопряжённых систем. Поверхность Картана есть частный случай р-сопряжён-ной системы.

Изучением поверхности Картана также занимались В. Т. Базылев [3], А. В. Столяров [17] и др.

Обобщая понятие поверхности Картана, нами вводится понятие «распределения Картана».

В проективном пространстве Р2т рассмотрим распределение оW касательных элементов (А0,Пт). В репере нулевого порядка система дифференциальных уравнений распределения otf имеет вид [10] со" = A"lú)q (L = \,2т).

Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм Фа =a"kcDl0a>Q, а?к = + на распределении равно т;

2) распределение ctf несёт m-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани 2 с oíf попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Ф" = 0.

Такое распределение назовём распределением Картана olí.

Объектом исследования настоящей работы являются распределение Картана oW (главы I и II) и поверхность Картана Vm (глава III) в 2/и-мерном проективном пространстве Р2т.

Эти исследования являются актуальными и представляют большой научный интерес, ибо: 1) исследования по изучению двойственной геометрии поверхности Картана Vm в проективном пространстве Р2т ранее геометрами не проводились; 2) геометрия распределения Картана oí-Г в проективном пространстве Р2т до настоящего времени в математической литературе вообще не изучалась.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является построение двойственной геометрии поверхности Картана Vm и распределения Картана oW в проективном пространстве Р2т на основе широкого привлечения их двойственных образов. Достижение поставленной цели включает в себя решение следующих основных задач:

1) построить основы двойственной геометрии распределения Картана ctf в проективном пространстве Р2т с существенным привлечением ассоциированного с оW внутренним образом гиперполосного распределения св Р2т;

2) разработать основы теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных и нормальных), индуцируемых при различных классических оснащениях (в смысле A. JI. Нордена, Э. Картана) распределения Картана Olí в проективном пространстве Р2т, а также найти пути приложения аффинных связностей к изучению сопряжённой ткани I с olí;

3) проводить изучение двойственной геометрии поверхности Картана Ут в проективном пространстве Р2т на основе привлечения её двойственного образа.

Методы исследования. В диссертации используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований, а именно, метод продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [9], метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [18] и метод нормализации А. П. Нордена [12]. Использование указанных методов

4

позволило ввести в рассмотрение дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями образующих элементов исследуемых подмногообразий до шестого порядка включительно.

Все исследования в работе проводятся в минимально специализированных системах отнесения, что позволило получить результаты в инвариантной форме. Все рассмотрения проводятся с локальной точки зрения. Встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми, то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие, а при доказательстве теорем существования - аналитическими. Следует заметить, что результаты по геометрии линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [7], [9].

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании, являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что двойственная геометрия поверхности Картана Ут и распределения Картана о1С в проективном пространстве до настоящего времени в математической литературе оставалась практически не изученной.

В диссертации приведены доказательства всех основных предложений, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении различных многообразий, погружённых в пространства более общей структуры, а также многообразий, несущих сеть (ткань) того или иного класса (типа).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве материала специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов по геометрии оснащённых подмногообразий в обобщённых пространствах, а также при написании ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 2006-2008 гг.); на научных конференциях аспирантов, докторантов и научных сотрудников Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева (Чебоксары, 20062008 гт.); на региональной научной конференции «Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела» (Чебоксары, 2006 г.); на XV международной конференции «Математика. Образование» (Чебоксары, 2007 г.); на 5-й и 6-й молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения», (Казань, 2006-2007 гг.); на заседаниях Казанского городского научно-исследовательского геометрического семинара (Казань, КГУ, 2008-2009 гг.).

Публикации. Основные научные результаты, включённые в диссертационную работу, опубликованы в 14 печатных работах автора.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика и содержание диссертации), трёх глав и списка литературы, включающего 99 наименований. Полный объём диссертации составляет 129 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе вводится понятие распределения Картана elf в Р2т. В разных дифференциальных окрестностях строятся различные поля геометрических объектов на распределении сЛ{, найдены их геометрические характеристики (гиперполосное распределение Картана, его двойственный образ, оснащения, поле соприкасающихся гиперквадрик).

В п. 1 § 1 по аналогии с поверхностью Картана Vm в Р2т вводится понятие распределения Картана ОW в проективном пространстве Р2т, приводятся дифференциальные уравнения распределения оU, сопряжённой иг-ткани 2 с olí в Р2т. Доказано, что: 1) сопряжённая ткань 2 на распределении Картана во второй дифференциальной окрестности внутренним образом определена самим распределением Картана ой" в Р2т (теорема 1.1); 2) если распределение Картана C'.f в проективном пространстве Р2т голономно, то ткань 2 с сМ голономна (теорема 1.2); голономное распределение Картана OW в Р2т (т > 2) является «-сопряжённой системой в смысле Р. В. Смирнова [15].

В п. 2 §1 построены внутренние инвариантные оснащения в смысле А. П. Нордена и Э. Картана голономного и необязательно голономного распределения Картана oW в Р2т.

В п. 1 §2 показано (теорема 1.8), что с распределением Картана СМ в Р2т во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом ассоциируется гиперполосное распределение оС в Р2т, для которого исходное распределение сW является базисным.

Найдены дифференциальные уравнения ассоциированного распределения си условие его регулярности. Методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [9] построены различные поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении в Р2т.

Центральным результатом п. 2 §2 является теорема 1.10: ассоциированное регулярное гиперполосное распределение Картана сзв прректиеном пространстве Р2т в четвёртой дифференциальной окрестности индуцирует: 1) проективное пространство Р2т, двойственное исходному пространству Р2т относительно инволютивного преобразования J структурных форм Пфаффа; 2) многообразие Сf6 в Р2т, двойственное исходному распределению

Таким образом, двойственность ассоциированного гиперполосного распределения св Р2т влечёт за собой двойственность геометрии исходного распределения Картана OW в Р2,„, являющегося базисным для

В пп. 1, 2 §3 строятся различные инвариантные оснащения (в смысле А. П. Нордена, Э. Картана) распределения Картана о!/ в Р2т с использованием ассоциированного гиперполосного распределения ей?. Доказано (теорема 1.11), что нормализация одного из регулярных гиперполосных распределений Картана Сiß в Р1т и <У6 в Р2га равносильна нормализации другого, найдена связь между компонентами полей оснащающих объектов , v,0 j и {v^, v,°| подмногообразий <Уб и сfß .

С использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения аС в Р2ш в четвёртой дифференциальной окрестности построены двойственные инвариантные нормализации [12] распределения Картана elf в Р2т: нормализации Михэйлеску, Фубини и Вильчинского (теоремы 1.12,1.12*, 1.13,1.14).

В п. 3 §3 доказано (теорема 1.15), что распределение Картана Ы{ в Р2,„ в —четвёртой. дифференциальной-окрестности_вну_тренним_образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик Qlm_{. Найдено условие соприкосновения третьего порядка гиперквадрик этого поля с распределением Картана Off; этим условием является обращение в нуль тензора Дарбу .

Глава II посвящена построению основ теории двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных) на оснащённом распределении Картана СW в проективном пространстве Р2т ■

В §1 второй главы доказано (теорема II. 1), что на нормализованном распределении Картана ОW в проективном пространстве Р2т индуцируются две

1 2

двойственные аффинные связности V и V, причём эти связности обобщённо сопряжены относительно поля-тензора М j™ вдоль любой кривой I, принадлежащей распределению Картана. Пространство аффинной СвЯЗНОСти А2т,т

(Aim.m ) имеет нулевое кручение тогда и только тогда, когда распределение нормалей первого рода Nm(v) {второго рода Nт_^{уУ) является голономным. Найдены геометрические характеристики параллельного перенесения до-

1 2

пустимого направления в аффинных связностях V и V вдоль любой кривой I, принадлежащей распределению Картана cAf.

1 2 1

Найдены условия совпадения связностей V и V пространств А2«,т и

2

А 2т,т (теорема II.2): на распределении Картана cif в Р2т с полем симметрич-

2 12 ного тензора М,/" аффинные связности V и V совпадают тогда и только тогда,

когда ассоциированное распределение сiß является взаимным, нормализация

oW есть нормализация Михэйлеску и соприкасающиеся гиперквадрики имеют

касание третьего порядка с распределением elf.

Доказано (§2), что на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана ОW в Р2т индуцируется первая проективная связность; найден тензор кривизны-кручения соответствующего пространства проективной связности 1

Р2т,т ■

Центральным результатом §3 является теорема II.4: при оснащении в смысле Э. Картана распределения Картана СМ в ï*2m с полем симметричного тензора кроме первой проективной связности индуцируются ещё две линейные связности проективного типа, причём: 1) соответствующие пространст-

1 2

ва проективной связности Ргт,т и Р2т,m двойственны тогда и только тогда,

k 1 3 когда тензор Div(v) обращается в нуль; 2) пространства Р2т,m U Р2т,т ЯвЛЯЮтСЯ двойственными.

1 2

Если пространства Pim.m и P2m,m являются двойственными, то все три

12 3

пространства проективной СВЯЗНОСТИ Р2т,т, Р2т.т, Ргт,т попарно двойственны между собой.

Найдена геометрическая характеристика аналитического условия двойст-1 2

венности пространств P2m,m и Ргт.т (теорема II.5): связности пространств

I 2

Ргт,т и Р2т,m двойственны тогда и только тогда, когда при смещениях центра В0 распределения Картана OW в Р2т вдоль любой кривой /, принадлежащей распределению cii, смещение оси Nm_2(B0) = [Ми\ оснащающей плоскости Картана Nm_x (В0 ) = \М1т, Ми ] принадлежит характеристике оснащаю-

щего распределения гиперплоскостных элементов; при этом ось \Ми\ совпадает с осью Кёнигса [£„].

Найдены инвариантные аналитические условия совпадения связностей

12 13

пространств P2m,m и ?2т,т, Ргт,т и ?гтж. Доказаны следующие предложения:

1 2

- связности пространств Ргт,т и Ргт,т, индуцируемых при оснащении распределения Картана оW в Р1т с полем симметричного тензора Mf", совпадают тогда и только тогда, когда эти пространства двойственны и тензор bf^ обращается в нуль (теорема II.6).

1 з

- условием совпадения связностей пространств Р2т,m и Ргш.т является одновременное обращение в нуль тензоров b*(v) и bfk™ (теорема II.7).

В §4 доказано (теорема II.8), что на распределении Картана Gif в Р2т, оснащённом в смысле Нордена-Картана, в расслоении нормалей первого рода ин-

Ô [ _ —

дуцируются пять нормальных связностей V (а = 0,4). В случае голономного

или взаимного с полем симметричного тензора Мйи ассоциированного гипер-

3.4,

полосного распределения ей? в Р2т связности V «V совпадают.

Справедливо предложение: если на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана О«" в Р2т оснащающая плоскость (\) не-

5 ,

подвижна, то нормальная связность V является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема 11.9).

Найдены условия совпадения нормальных связностей, индуцируемых на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана оА( в Р2т (теоремы 11.10,11.11):

з . о .

- нормальные связности V и V совпадают тогда и только тогда, когда нормализация распределения с№ является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик;

-П—2~1—4~1-

- нормальные связности V , V , V вырождаются в одну тогда и только

тогда, когда любые две из них совпадают.

В §5 рассмотрены поля плоскостей, являющиеся параллельными в нормаль-

а .

ных связностях V . Показано, что:

- на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана о№ в Р2т поле характеристик Пга_,(50) ассоциированного гиперполосного распре-

а .

деления с#?в Р2т является параллельным в каждой нормальной связности V ;

- поле инвариантных прямых /г = [в0Мгт\ является параллельным в нормальной связности V1 тогда и только тогда, когда тензор А 2„,*(у) обращается в нуль;

- для распределения Картана сМ в Р4 в третьей дифференциальной окрестности существует единственная инвариантная внутренним образом определяемая нормализация С(/, поле инвариантных прямых А которой является па-

а ,

раллельным в нормальной связности V .

В §6 второй главы найдены приложения двойственных аффинных связно-

12 12 стей V и V пространств Агт,т и А2т,т к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана сЛС в Р2т. Заметим, что сопряжённая ткань Е на распределении называется вполне сопряжённой, если на сЛ{ фундаментальный тензор М]™ симметричен. Доказаны следующие предложения:

- двойственные поля ?п-мерных и (т -1) -мерных гармонических плоскостей на распределении Картана сУ в Р2т, несущем вполне сопряжённую т-ткань во второй дифференциальной окрестности задают двойственную

внутренним образом определённую нормализацию подмногообразия CW (теорема 11.15);

- поля гармонических плоскостей q'2m и д° вполне сопряжённой jn-ткани Z с elf нормализуют распределение Картана ctf взаимно относительно поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда данная ткань есть ткань Дарбу (теорема 11.16);

- вполне сопряжённая т-ткань Z на распределении Картана oW в Р2т

есть ткань с совпавшими псевдофокусами Ff (с совпавшими псевдофокальными гиперплоскостями tjf) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей qf [q'2m) она является геодезической тканью второго (первого) рода (теорема 11.17);

- если ассоциированное гиперполосное распределение о*6 в Р2т является голономным или взаимным, то исходное распределение Картана oW в Р2и, на котором вполне сопряжённая т-ткань £ является чебышевской первого и второго родов (одновременно), имеет соприкосновение третьего порядка с соприкасающимися гиперквадриками тогда и только тогда, когда поля гармонических плоскостей [7,] и [/;] т-ткани нормализуют подмногообразие elf взаимно (теорема 11.18).

Глава III диссертации посвящена изучению двойственной геометрии поверхности Картана Vm в проективном пространстве Р2т.

Материал п. 1 § I носит реферативный характер; здесь даётся определение поверхности Картана Vm в Р2ш, приводятся дифференциальные уравнения поверхности Vm и сопряжённой сети 2т с Vm в Р2т; при т> 2 поверхность Картана Vm в Р2т является /я-сопряжённой системой [15] и существует с произволом в т(т -1) функций двух аргументов.

Показано, что с поверхностью Картана Vm в Р2т в третьей дифференциальной окрестности внутренним образом ассоциируется гиперполоса Нт, для которой данная поверхность Картана Vm является базисной (п. 2 §1). Такая гиперполоса названа гиперполосой Картана Нт, ассоциированной с поверхностью Vm в Р2т • Найдены дифференциальные уравнение гиперполосы Картана Нт в Р2т и условие её регулярности (теорема III.2).

В п. 3 §1 получен один из центральных результатов третьей главы (теорема Ш.З): ассоциированная регулярная гиперполоса Картана Нт в Р2т в шестой дифференциальной окрестности индуцирует: 1) проективное пространство Р2т(//т), двойственное исходному пространству Р2т(Ят) относительно ин-

волютивного преобразования J: Qj —> fij структурных форм Пфаффа-, 2)многообразие Нт в Р2т, двойственное исходному Нт.

Следовательно, двойственность ассоциированной гиперполосы Нт в Р2т влечёт за собой двойственность геометрии исходной поверхности Картана Vm в Р2т, являющейся базисной для Нт.

В §2 рассматривается нормализация Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в Р2т. Доказано (теорема Ш.4), что нормализация одной из регулярных

гиперполос Картана Н,„ в Р2„, и IIт в Р2т равносильна нормализации другой.

Показано (теорема III.5), что поверхность Картана Vm в Р2т в пятой дифференциальной окрестности внутренним образом порождает поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик Q2m-i, причём в каждой точке BQ е Vm касательная плоскость Т„(В0) и характеристика Пт_,(Я0) полярно сопряжены относительно соответствующей локальной гиперквадрики. Условием соприкосновения третьего порядка гиперквадрик с поверхностью Vm является обращение в нуль тензора Дарбу .

С~помощью_двойственного_образа"регулярнойгиперполосы-Я—в-Р2—в пятой дифференциальной окрестности построены взаимные внутренние нормализации Фубини и Вильчинского поверхности Картана Vm в Р2т (теоремы III.6, III.7).

В §3 третьей главы рассматриваются двойственные аффинные связности

1 2

V и V на нормализованной поверхности Картана Ут в Р2т и их приложения.

В п. 1 §3 доказано (теорема III. 8), что на поверхности Картана Vm в Р2т, нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна, индуцируются две аффинные 1 2

связности V и V без кручения, двойственные относительно инволютивного преобразования J форм связности. Эти связности сопряжены [12] относи, о

тельно поля симметричного тензора Mik". Связность V, средняя по отноше-

[ 2 , нию к V и V, является вейлевой с полем невырожденного тензора М f".

Получен (§ 3, п. 2) ряд результатов по изучению внутренней геометрии взаимной нормализации поверхности Картана Vm в Р2т:

1) показано (теорема III.9), что альтернированные тензоры Риччи и 2 1 2

гдвойственных аффинных связностей V и V, индуцируемых взаимной нормализацией поверхности Картана Vm в Р2т, совпадают; следовательно, геометрии этих связностей могут быть эквиаффинными лишь одновременно; усло-

0

вием их эквиаффинности является римановость средней связности V;

2) доказано (теорема III.10), что геометрии двойственных аффинных связ-

1 2

ностей V и V, индуцируемых нормализацией Фубини поверхности Картана Vm в Р2т, являются эквиаффинными, а их средняя геометрия - риманова;

3) доказано (теорема III. 11), что если для взаимной нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в Р2т тензоры Риччи двойственных аффинных связностей V и V совпадают то данная нормализация является нормализацией Вильчинского {(- W2m)[ W,° j.

1 2

Показано (теорема III. 12), что двойственные аффинные связности V и V, индуцируемые на нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Картана Vm в Рт,,,. совпадают тогда и только тогда, когда данная нормализация является взаимной относительно поля соприкасающихся гиперквадрик и гиперквадрики этого поля с поверхностью Vm имеют соприкосновение третьего по-

1 2 О

рядка; при этом связность V = V = V является римановой с полем метрического тензора М]".

В п. 3 §3 найдены приложения двойственных аффинных связностей к изучению геометрии сопряжённой сети Ет на поверхности Картана Vm в проективном пространстве Р2га. Имеют место следующие утверждения:

а) поля гармонических плоскостей q'2m и qf сопряжённой сети на поверхности Картана Vm в Р2т нормализуют поверхность Vm взаимно относительно поля инвариантных соприкасающихся гиперквадрик тогда и только тогда, когда данная сеть есть сеть Дарбу (теорема III. 14);

б) сопряжённая сеть Ет на поверхности Картана Vm в Р2т есть сеть с совпавшими фокусами F/ (с совпавшими фокальными гиперплоскостями ?;/) тогда и только тогда, когда относительно поля её гармонических плоскостей qf {q'2m) она является геодезической сетью второго (первого) рода (теорема III. 15);

в) поверхность Картана Vm в Р2т, на которой сопряжённая сеть Ет является чебышевской первого и второго родов (одновременно), имеет соприкосновение третьего порядка с соприкасающимися гиперквадриками поля тогда и только тогда, когда поля гармонических плоскостей [/7, ] и [F(] сети нормализуют поверхность Vm взаимно (теорема 111.16);

г) если поверхность Картана V2 в Р4 нормализована полями гармонических плоскостей сопряжённой сети Z2, то обе внутренние геометрии могут быть квазиевклидовыми лишь одновременно (теорема III. 18);

д) если поверхность Картана Vm в Р2т (т > 2), несущая сильно сопряжённую чебышевскую сеть первого и второго родов, нормализована полями гармонических плоскостей сети, то обе внутренние геометрии являются аффинными (локально) (теорема 111.19).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Доказано, что с распределением Картана CW в Р2т во второй дифференциальной окрестности инвариантным внутренним образом ассоциируется гиперполосное распределение сЛ? в Р2т, для которого исходное распределение OW является базисным. Показано, что ассоциированное регулярное гиперполосное распределение Картана оз>6 в проективном пространстве Р2т индуцирует проективное пространство Р2т, двойственное пространству Р2т и многообразие в ?2т > двойственное исходному распределению сfG.

2. Доказано, что нормализация одного из регулярных гиперполосных распределений Картана св Р2ш и св Р2я равносильна нормализации другого. С использованием двойственного образа регулярного гиперполосного распределения cf6 в Р2т в четвёртой дифференциальной окрестности внутренним инвариантным образом получен ряд-двойственных-[16] нормализаций [12] распределения Картана оW в Р2т (нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчин-ского).

3. Показано, что на нормализованном распределении Картана of f в проективном пространстве Р2т индуцируются две двойственные аффинные связно-

1 2

сти V и V, найдены их приложения к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана ОW. Доказано, что на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана Ов Р2т индуцируются три линейные связности проективного типа, причём соответствующие пространства проек-

1 3

тивной связности P2m,m и Ргт.ш являются двойственными, найдено условие

1 2

двойственности пространств Р2т,т и Ргт.т- Получены инвариантные аналити-

I 2 1

ческие условия совпадения связностей пространств Ргт,т и Ргт.т, Ргт,т и

Ргт.т. Показано, что на распределении Картана d( в Р2т, оснащённом в смысле Нордена-Картана, в расслоении нормалей первого рода индуцируются

а ,

пять нормальных связностей V ; исследованы поля плоскостей на распределении Картана ctf, параллельные в этих нормальных связностях.

4. Доказано, что с поверхностью Картана Vm в проективном пространстве Р2т внутренним образом ассоциируется гиперполоса Нт, для которой данная поверхность Картана Vm является базисной. Показано, что ассоциированная регулярная гиперполоса Картана Нт в Р2т индуцирует проективное пространство Р2т(Нт), двойственное пространству Р2„(#„), и многообразие Нт в Р2т, двойственное исходному Нт. Доказано, что нормализация одной из регулярных гиперполос Картана Нт в Р2т и Нт в Р2м равносильна нормализации другой. С помощью двойственного образа регулярной гиперполосы Нт в Р2т

построены взаимные внутренние нормализации Фубини и Вильчинского поверхности Картана Vm в Р2т. Найдены двойственные аффинные связности V и 2

V, индуцируемые на нормализованной поверхности Картана Vm в Р2т. Найдены пути приложения полученных аффинных связностей к изучению двойственной геометрии сопряжённой сети SncFm в Р2т.

Список литературы

[1] Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей /В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. - 1965. - № 243. — С. 29-37.

[2] Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки и техники. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1965.-С. 138-164.

[3] Базылев В. Т. О плоских сетях, присоединённых к поверхности Картана / В. Т. Базылев II Сибирский матем. журнал. - 1964. - Т. 5. - № 4. - С. 729-738.

[4] Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства / В. И. Близникас // Liet. mat. rinkinys: Лит. мат. сб.-Вильнюс, 1971.-Т. ll.-№ 1.-С. 63-74.

[5] Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В. И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т на-учн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

[6] Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. - Москва, 1950. -Вып. 8.-С. 11-72.

[7] Евтушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / Л. Е. Евтушик [и др.] // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

[8] Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. - Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. - 210 с.

[9] Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погружённых многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Тр. Моск. матем. об-ва. - М., 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

[10] Лаптев Г. Ф. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 49-94.

[11] Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. - М„ 1977. - Т. 8. - С. 5-24.

[12] Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М.: Наука, 1976. - 432 с.

[13] Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостиых элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

14

[14] Остиану H. M. Распределения /и-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. II / H. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. - 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

[15] Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа />-сопряжённых систем / Р. В. Смирнов //Доклады АН СССР. - 1950. - Т. 71. - № 3. - С. 437-439.

[16] Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. - Чебоксары: Чувашский госпедин-т, 1994.-290 с.

[17] Столяров А. В. О внутренней геометрии поверхности Картана / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. - Калининград: Калининградский ун-т, 1976.-Вып. 7.-С. 111-118.

[18] Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

[19] Cartan Е. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Carian // Acta math. - 1926,48. - P. 1-42.

-[20] Cartan-E.-Sur-les-variétés de courbure.constante.d!un.espace.euclidiene.on.

non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. - 1919. - V. 47. - P. 125-160.

[21] Cartan E. Sur les variétés de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. - 1920. - V. 48. - P. 132-208.

[22] Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions. Proc. Nat. Acad. Sei. USA, 1944, 30. - №4. -P. 95-97.

[23] Ehresmann С. Les connexions infinitésimales dans un éspace fibré differen-tiable / C. Ehresmann // Colique de Topologie (Bruxelles, 1950). - Paris, 1951. -P. 29-55.

[24] Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conse-guente specificazione geometrica délia curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matern. - Palermo, 1917. - P. 173-205.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Кузьмина Н. А. Инвариантные оснащения распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Пятой молодёжной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2006. -T. 34.-С. 140-142.

[2] Кузьмина Н. А. Распределение Картана / Н. А. Кузьмина // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела: тезисы регион. науч. конф. - Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2006. - С. 22-23.

[3] Кузьмина Н. А. Гиперполосное распределение, ассоциированное с распределением Картана / Н. А. Кузьмина // Математика. Образование: Материалы XV междунар. конф. - Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007. - С. 241.

[4] Кузьмина Н. А. К двойственной геометрии распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2007. - № 1 (9) - С. 7-12.

[5] Кузьмина Н. А. Двойственные нормализации распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2007. - № 3 (55) - С. 43-48.

[6] Кузьмина Н. А. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2007.-№2 (10).-Т. 1.-С. 106-112.

[7] Кузьмина Н. А. Двойственная геометрия вполне сопряжённой ткани на распределении Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. - М., 2007. - № 977 -В2007.- 18 с.

[8] Кузьмина Н. А. Приложение двойственных аффинных связностей к изучению геометрии вполне сопряжённой ткани на распределении Картана / Н. А. Кузьмина // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Шестой молодёжной науч. школы-конф. - Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2007. -Т.36.-С. 128-131.

[9] Кузьмина Н. А. Нормальные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. - М„ 2007. - № 1173 - В2007. -13 с.

[10] Кузьмина Н. А. Проективно-дифференциальная геометрия распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 62-69.

[11] Кузьмина Н. А. Двойственная геометрия поверхности Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. -№ 238 - В2008. - 35 с.

[12] Кузьмина Н. А. Двойственные аффинные связности на нормализованной поверхности Картана / Н. А. Кузьмина // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2008. - № 2 (58).-С. 23-30.

[13] Кузьмина Н. А. Приложение двойственных аффинных связностей к изучению геометрии сопряжённой сети на поверхности Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2008. - № 1 (11). - Т. 1. -С. 11-16.

[14] Кузьмина Н. А. Двойственная геометрия распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Известия вузов. Математика. - 2008. - № 7. - С. 73-78.

Подписано к печати . Формат 60 х 84/16.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ

Отдел оперативной полиграфии Чувашского государственного педагогического университета. 428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38

ВВЕДЕНИЕ.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР.

2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ.

1. Постановка вопроса и актуальность темы.

2. Цель.работы.

3. Методы исследования.

4. Научная-новизна1.

5. Теоретическая и практическая значимость.

6. Апробация.

7. Публикации.

8. Вклад автора в разработку избранных проблем.

9. Структура и объём работы.

10. Некоторые замечания.

3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

ГЛАВА I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА.

§1. Распределение Картана ОМ в проективном пространстве Р2т.

1. Дифференциальные уравнения распределения Картана C>W в проективном пространстве Р2/и.

2. Инвариантные оснащения распределения Картана сМ в Р2т в смысле А. П. Нордена и Э. Картана.

§2. Ассоциированное гиперполосное распределение Картана в проективном пространстве Р2/и.

1. Дифференциальные уравнения ассоциированного гиперполосного распределения Картана с$6 в Р2ш; поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов на распределении с^б.

2. Двойственный образ регулярного ассоциированного' гиперполосного распределения Картана С&6 в Р2/п.

§3. Инвариантные оснащения распределения Картана ОW в Р2/„ с использованием ассоциированного гиперполосного распределения.

1. Двойственная нормализация распределения Картана Of Г в Р2т

2. Оснащение в смысле Э. Картана распределения Картана oWBP2m.

3. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик Q2m-\ на распределении Картана.

ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ

НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ КАРТАНА оМ В ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Р2т.

§1. Двойственные аффинные связности на нормализованном распределении Картана Q>W в V2m.

§2. Первая проективная связность на оснащённом в смысле Э. Картана распределении Картана OW в Р2т.

§3. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана oW в Р2/„.

§4. Нормальные связности первого рода, индуцируемые на оснащённом в смысле Нордена-Картана распределении Картана ОW в Р2т.

§5. Поля плоскостей на распределении Картана, параллельные в нормальных связностях.

Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии присоединённых расслоенных многообразий. История теории связностей начинается с 1917 года с работы Т. Леви-Чивита [93] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Эта идея была обобщена в различных направлениях, например, в общей теории относительности. Для построения единой теории поля в 1918 году Г. Вейль [99] ввёл понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 году Р. Кэниг [92], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.

Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана [24] в 20-х годах XX века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В 1924 году И'. А. Схоутен [95], [96] установил взаимосвязь между концепциями Кэнига и Картана.

В 1950 году начинается следующий этап в развитии теории связностей, когда В. В. Вагнер [17] и Ш. Эресман [91] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

В 50-х годах XX века Г. Ф. Лаптевым [39] был развит новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью. С использованием этого метода задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. Г. Ф. Лаптев, следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия, удовлетворяющие определённым условиям.

Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю. Г. Лумисте [44].

В 1926 г. Э. Картан [88] ввёл понятие «неголономного пространства с фундаментальной'группой G».

Некоторые задачи движения механических систем, подчинённых добавочным линейным неголономным связям, задаваемым, например, неинтег-рируемой системой уравнений Пфаффа, в пространстве конфигураций механической системы приводят к понятию неголономного многообразия (см. работы В.В.Вагнера [14], А. В. Гохмана [22], П. К. Рашевского [57], С. А. Чаплыгина [79]).

Наряду с этим независимо от задач механики к понятию неголономного многообразия математики пришли путём обобщения основных положений геометрии подпространства на случай, когда поле /w-мерных пучков направлений не задаёт семейства m-мерных подпространств (см. работы В. В. Вагнера [13], [15], Д. М. Синцова [58], А. И. Схоутена [97], монографию Михэй-леску [94]).

В 70-х годах 20-го столетия теория распределений га-мерных касательных элементов в пространстве представления некоторой группы Ли, а также обобщённая теория распределений га-мерных линейных элементов в проективном пространстве Р„ и пространстве проективной связности Рл„ получили дальнейшее развитие в инвариантной аналитической форме в работах Г. Ф. Лаптева и Н. М. Остиану (см. [42], [43], [51], [52]).

В случае распределения гиперплоскостных элементов в пространствах со связностью» без кручения* эта теория нашла своё отражение в работах В. И. Близникаса [11], [12]. Ю. Г. Лумисте [45] изучает распределения на однородных пространствах, названных им пространствами проективного типа. Исследования Э. Д. Ал шибая. [1] посвящены изучению распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве. А. П. Норден [47], [48] устанавливает связь теории многочленных композиций с теорией распределений.

В 1950 году появилась монография А. П. Нордена [46, 2-е изд.], в которой разработан метод нормализации, позволяющий в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Согласно работе А. П. Нордена [46], нормализация w-мерного проективного пространства Р„ состоит в задании некоторого однозначного, непрерывного и дифференцируемого соответствия «точка А0 — гиперплоскость », где А0 £ . При этом, принимая гиперплоскость за образующий элемент пространства, автор строит проективное пространство Ря, двойственное исходному пространству Р/г. Нормализации Aq —> отвечает внутренняя5 проективно-евклидова геометрия* (первого рода). Применение принципа двойственности к нормализованному пространству Pw позволило принять гиперплоскость за нормализуемый элемент проективного пространства Р„, а связку гиперплоскостей с центром в точке Aq — за нормализующее многообразие и связать с тем же двойственным соответствием внутреннюю аффинную связность второго рода (без кручения), также принадлежащую к классу проективно-евклидовых пространств. В силу двойственности пространств Ри и Р„ индуцируемые аффинные связности первого и второго родов А. П'. Норденом также названы двойственными.

Используя двойственный характер геометрии проективного пространства Ря, А. И. Норден [46], В. В. Вагнер [16], А. И. Чахтаури [81], [82],

А. П. Широков [84], А. В. Чакмазян [76], Ю. И. Попов [54] - [56], М. А. Ва-силян [18] — [20] и другие получили ряд глубоких результатов по изучению ч некоторых вопросов двойственной геометрии нормализованной гиперповерхности Vnx с: Ря, гиперполосы Нт а Р„, нормализованного пространства Р„, а также по изучению двойственной геометрии сетей Z2 cz Р2 и S2 сГ2 сР3. В указанных работах важное место занимают исследования по двойственным аффинным связностям.

В работе А. В. Столярова [73], используя данное им определение двойственных пространств с линейной связностью с точки зрения инволютивных преобразований форм их связностей, значительно расширена теория двойственных линейных связностей (аффинных, проективных, нормальных), индуцируемых при различных оснащениях (в смысле Э. Картана, А. П. Нордена,

Э. Бортолотти) ряда многообразий пространства проективной связности р

В классической дифференциальной геометрии теория сетей занимает существенное место. В этом направлении по двумерным и трёхмерным сетям интересные результаты получили Годо (Godeaux L.), Швец (Svec А.), СуБу-цин (Su Buchin), Ефимов Н. В., Дубнов Я. С., Бланк Я. П., Гольд-берг В. В., Чахтаури А. И., Шуликовский В. И. и др.

В области дифференциальной геометрии многомерных сетей существенные результаты получили Чжень Шэн-шэнь [90], Смирнов Р. В. [59], Ба-зылев В. Т. [2] - [10] и др. Степанов С. Е. [60] - [62] в пространстве аффинной связности Ln (п > 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью.

Но следует заметить, что все эти исследования проведены без привлечения теории двойственности; исключения составляют работы А. И. Чахтаури по двумерным сетям и некоторые работы Столярова А. В. — по многомерным [63], [68], [71]. В начальной стадии находятся исследования двойственной геометрии аналогов сетей, а именно, тканей на неголономных подмногообразиях, погружённых в пространства проективной структуры.

Э. Картан [86], [87] при изучении семейства асимптотических форм многомерных поверхностей проективного пространства Р„ выделил класс таких поверхностей Vm (п> 2т), для которых:

1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм фа = Aaik6) о О) о (г, j, к = 1, т\ а = т +1,2т )на поверхности равно т;

2) поверхность Vm несёт сеть сопряжённых линий; следовательно, в репере, отнесённом к этой сети, направления касательных к её линиям попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.

Сеть на поверхности Картана является голономной, то есть вдоль каждой линии сети поверхность Vm допускает расслоение на (т -1) -мерные подповерхности, несущие сети из линий остальных т — 1 семейств.

Чжень Шэн-шэнь [90] показал, что для поверхности Картана Vm можно построить преобразования, которые конструктивно выполняются так же, как и преобразования Лапласа поверхности V2 в Р3, осуществляемые с помощью конгруэнций касательных к двум семействам линий сопряжённой сети на поверхности V2. Этому результату Чжень Шэн-шэня дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [59], построив преобразования Лапласа для произвольных /^-сопряжённых систем. При этом р-сопряжённая система определяется как такая ^-мерная поверхность Vр в Ри, на которой существует сеть Ър, обладающая тем свойством, что касательные к линиям z-го семейства, взятые вдоль любой линии у'-го семейства, образуют развёртывающуюся поверхность {1ф j). Если такую поверхность Vp отнести к подвижному реперу, построенному на касательных к линиям сети, то A^j = 0, / Ф j и cijj = 0 (все индексы различны). Следовательно, эта сеть является, сопряжённой голономной сетью; Точки F/ = -а^А0 + Аг-, \ Ф j — фокусы касательной А0Аг к линии /-го семейства в точке А0 - описывают поверхности, для которых, а также и для исходной поверхности Vp, прямая А0А,- является общей касательной. Таким образом, в общем случае существует р(р-1) новых поверхностей (f/J — преобразований Лапласа исходной поверхности Vp. Эти поверхности {f{ J также являются р-сопряжёнными системами (если^ исключить случаи вырождения), к которым можно применить то же преобразование, и т.д.

Поверхность Картана есть частный случай /^-сопряжённой системы.

Изучением поверхности Картана Vm также занимались В. Т. Базылев [2], А. В. Столяров [66] и др.

Обобщая.понятие поверхности Картана, нами вводится [25], [26] понятие «распределения Картана».

В! проективном пространстве Р2ш, отнесённом к подвижному реперу R = {Ajj, рассмотрим распределение OW касательных элементов (А0,Пт) [43]. В репере нулевого порядка (вершины репера А0,А, расположены в соответствующей плоскости распределения, причём А0 совпадает с его центром) система дифференциальных уравнений распределения /я-мерных линейных элементов имеет вид cof = A?iL6)q [43].

Продолжая уравнения этой системы, получим, что совокупность функций есть тензор первого порядка, вообще говоря, не симметричный по индексам /, к, но им охватывается симметричный тензор

Допустим, что: 1) число линейно независимых квадратичных асимптотических форм Фа = afko)'0o)о на распределении равно т; 2) распределение О if несёт га-ткань сопряжённых линий, то есть направления касательных к линиям ткани Е cz olf попарно сопряжены относительно любого конуса направлений Фа = 0.

Такое распределение, по аналогии с поверхностью Картана [86], [87], назовём распределением Картана QM.

Следует заметить, что двойственная теория ряда оснащённых подмногообразий (голономная и неголономная гиперполосы, голономная и неголо-номная гиперповерхности), вложенных в и-мерное пространство проективной связности ¥пп (в проективное пространство Р/г) разработана достаточно полно (см., например, [73]). Но до настоящего времени вопросы, изучения двойственной геометрии поверхности и распределения Картана математиками не ставились и не рассматривались.

1. Алишбая Э. Д. К геометрии распределений гиперплоскостных элементов в аффинном пространстве / Э: Д. Алшибая // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. -М., 1974. - Т. 5. - С. 169-193.

2. Базылев В. Т. О плоских сетях, присоединённых к поверхности Картана / В. Т. Базылев // Сибирский матем. журнал. 1964. — Т. 5. - № 4. -С. 729-738.

3. Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетях / В. Т. Базылев // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1965. -№243.-С. 29-37.

4. Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях /B. Т. Базылев // Итоги науки. Геометрия (1963) / ВИНИТИ АН СССР. М., 1965.-С. 138-164.

5. Базылев В. Т. О нормализациях проективного пространства, порождаемых заданной на нём сетью / В." Т. Базылев, // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1966. Т. 6. - № 3. - С. 313-322.

6. Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. — 1966. — № 2. —C. 9-19.

7. Базылев В. Т. О фундаментальных объектах плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Известия-вузов: Матем. 1967. - № 9. - С. 3-15.

8. Базылев В. Т. О V-сопряжённых сетях в пространстве аффинной связности / В: Т. Базылев // Известия вузов. Матем. 1974. - № 5. — С. 2530.

9. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В'. Т. Базылев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР^ М., 1974. - Т. 6. - С. 189-205.

10. Базылев В. Т. Сети на многообразиях / В. Т. Базылев, М. К. Кузьмин, А. В. Столяров// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР.-М., 1981.-Т. 12. — С. 97-125.

11. Близникас В. И. Дифференциальная геометрия неголономной гиперповерхности риманова пространства. / В. И. Близникас // Ziet. mat. rinkinys: лит. мат. сб., 1971. Т. 11. — № 1. - С. 63-74.

12. Близникас В. И. О неголономной поверхности трёхмерного пространства проективной связности / В: И. Близникас // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М*., 1971. - Т. 3. - С. 115-124.

13. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий / В. В. Вагнер // 8-й Международный конкурс на соискание премий им. Лобаческого: сб. ст. Казань, 1940. - С. 195-262.

14. Вагнер В. В. Геометрическая интерпретация движения неголономных динамических систем / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1941. — Вып. 5. С. 301-327.

15. Вагнер В. В. Геометрия {п -1)-мерного неголономного многообразия в ^-мерном пространстве / В. В'. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. 1941. - Вып. 5. - С. 173-225.

16. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1950. -Вып. 8. С. 197-272.

17. Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер'// Труды семинара по векторному и тензорному анализу / МГУ. — 1950. — Вып. 8. -С. 11-72.

18. Василян М. А. Об инвариантном оснащении гиперполосы / М. А. Василян // Докл.АН АрмССР. 1970. - Т. 50. - № 2. - С. 65-70.

19. Васгтян М. А. Проективная теория многомерных гиперполос / М. А. Василян // Изс. АН АрмССР: 1971. - Т. 6. - № 6. - С. 477-481.

20. Василян М. А. Аффинные связности, индуцируемые оснащением гиперполосы / М. А. Василян // Докл. АН АрмССР. 1973. - Т. 57. - № 4. -С. 200-205.

21. Голъдберг В. В. Об одной нормализации /^-сопряжённых систем «-мерного проективного пространства / В. В. Гольдберг // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР:-М., 1966.-Т. 1.-С. 89-109.

22. Гохман А. В. Дифференциальная геометрия и классическая динамика систем / А. В. Гохман // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. — М*., 1966.-Т. 1.-С. 111-138.

23. Еетушик Л. Е. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / JI. Е. Евтушик и др:.,// Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. - Т. 9. - 246 с.

24. Картан Э. Пространства аффинной, проективной и конформной связности / Э. Картан. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1962. — 210 с.

25. Кузьмина Н. А'. Инвариантные оснащения распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Пятой молодёжной науч. школы-конф. — Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва, 2006. Т. 34. - С. 140-142*.

26. Кузьмина Н. А. Распределение Картана / Н. А. Кузьмина // Современные вопросы геометрии и механики деформируемого твёрдого тела: тезисы регион, наун. конф. — Чебоксары: Чувашский госпедун-т, 2006: -С. 22-23.

27. Кузьмина Н. А. Гиперполосное распределение, ассоциированное с распределением Картана / Н. А. Кузьмина // Математика. Образование: Материалы XV междунар. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007. -С. 241.

28. Кузьмина Н. А. К двойственной геометрии распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. — Чебоксары, 2007. — № 1 (9) -С. 7-12.

29. Кузьмина Н. А. Двойственные нормализации распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Як Яковлева / Чувашский госпедун-т. Чебоксары, 2007. - № 3 (55) - С. 43-48.

30. Кузьмина Н\ А. Двойственные проективные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. -Чебоксары, 2007.-№ 2 (10).-Т." 1.-С. 106-112.

31. Кузьмина Н. А. Двойственная*геометрия вполне сопряжённой ткани на распределении Картана / Н. А. Кузьмина // ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 977 - В2007. - 18 с.

32. Кузьмина Н. А. Нормальные связности на оснащённом распределении Картана / Н. А. Кузьмина 11 ВИНИТИ РАН. М., 2007. - № 1173 -В2007. - 13 с.

33. Кузьмина Н. А. Проективно-дифференциальная геометрия распределения Картана / Н. А. Кузьмина // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. - Вып. 38. - С. 62-69.

34. Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. М., 1958. - Т. 3. - С. 409-418.

35. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погружённые в обобщённые про- • странства1/ Г. Ф. Лаптев // Тр. 4-го Всес. матем. съезда (1961). Ленинград, 1964.-Т. 2.-С. 226-233.

36. Лаптев Г. Ф. Распределения касательных элементов / Г. Ф. Лаптев // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 29-48.

37. Лаптев Г. Ф. Распределения w-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I / Г. Ф. Лаптев, Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН'СССР. М., 1971. - Т. 3. -С. 49-94.

38. Лумисте Ю: Г, Теория связностей в расслоенных пространствах / Ю: Г. Лумисте // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 / ВИНИТИ AH? СССР. М., 1971.-С. 123-168.

39. Лумисте Ю. Г. Распределения на однородных пространствах / Ю. Г. Лумисте // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН*СССР. -М:, 1977. Т. 8. - С. 5-24.

40. Норден А. П. Пространства аффинной связности (2-е изд.) / А. П. Норден. М.: Наука, 1976. - 432х.

41. Норден А. П. Теория композиции / А. П; Норден // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР: М., 1978. - Т. 10. -С. 117-145.

42. Норден А-. П. Многочленные композиции и теория распределений / А. П. Норден // Известия вузов. Матем. 1978. - № 11 - С. 87-97.

43. Остиану Н. М. О канонизации подвижного репера погружённого многообразия / Н. М. Остиану // Rev. math, pures et appl (RPR). 1962. -T. 7. -№ 2. - C. 231-240.

44. Остиану H. M. Инвариантное оснащение поверхности, несущей сеть / Н. М. Остиану // Известия.вузов. Матем. 1970. - № 7 - С. 72-82*.

45. Остиану Н. М. Распределения' га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. И / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ.АН СССР. М., 1971. - Т. 3. - С. 96-114.

46. Остиану Н. М. Распределения гиперплоскостных элементов в проективном пространстве / Н. М. Остиану // Тр. Геом. семинара / Ин-т научн. информ. АН СССР. М., 1973. - Т. 4. - С. 71-120.

47. Остиану Н. М. Дифференциально-геометрические структуры на дифференцируемых многообразиях / Н. М. Остиану // Итоги науки и техника. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977. - Т. 8. -С. 89-111.

48. Попов Ю. И. К теории оснащённой регулярной гиперполосы в многомерном проективном пространстве / Ю. И. Попов // Уч. зап. Московского гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина. М., 1970. - № 374. - Т. 1. — С. 102117.

49. Попов Ю. И. Общая теория'регулярных гиперполос: учебное пособие / Ю. И. Попов. Калининград: Калининградский ун-т, 1983 - 82 с.

50. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными / П. К. Рашевский. Mi: Гостехиздат, 1947. - 354 с.

51. Синцов Д. М. Работы по неголономной геометрии / Д. М. Синцов. Киев: Вища школа, 1972. - 294 с.

52. Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа ^-сопряжённых систем / Р. В. Смирнов // Доклады АН СССР. — 1950. — Т. 71.-№3.-С. 437-439.

53. Степанов С. Е. Геометрия декартовых пространств / С. Е. Степанов. -М. 1978. -№ 3414 - 78 Деп. - 8 с.

54. Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов. -М. 1978. -№ 3415 - 78 Деп. - 8 с.

55. Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Е. Степанов // Соврем, геометрия: Вопросы дифференц. геометрии. Л. — 1980. — С. 73-76.

56. Столяров А. В. О двойственной геометрии плоских многомерных сетей / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1973. - № 7. — С. 92-102.

57. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ РАН СССР. 1975. - Т. 7. - С. 117-151.

58. Столяров А. В. О геометрии сетей на распределениях m-мерных линейных элементов / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1976. -№2473-76 Деп.-21 с.

59. Столяров А. В. О внутренней геометрии поверхности Картана / А. В. Столяров // Диф. геометрия многообразий фигур. Калининград: Калининградский ун-т, 1976. - Вып. 7. — С. 111-118.

60. Столяров А. В. Двойственные линейные связности на оснащённых многообразиях пространства проективной связности / А. В. Столяров // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1977.-Т. 8.-С. 25-46.

61. Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1977. - № 8. -С. 68-78.

62. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. I / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. - № 1. — С. 79-82.

63. Столяров А. В. Двойственная теория регулярного распределения гиперплоскостных элементов в пространстве проективной связности. II / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1980. - № 2. - С. 84-87.

64. Столяров А. В. Двойственная геометрия га-тканей на распределении М с ~Рп п / А. В. Столяров // Тез. докл. 8-й Всес. конф. по совр. пробл.диф. геометрии. Одесса, 1984. - С. 151.

65. Столяров А. В. Двойственные нормальные связности на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. 1985. - № 9. -С. 72-75.

66. Столяров А. В. Двойственная теория оснащённых многообразий: Монография. 2-е изд., доп. / А. В. Столяров. Чебоксары: Чувашский гос. пед. ин-т, 1994.-290 с.'

67. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П: Фиников. М. - Л.: ГИТТЛ, 1948. - 432 с.

68. Фисунов П. А. Двойственные нормальные связности на гиперполосах в проективном пространстве / П. А. Фисунов. — Чебоксары: Чуваш, гос. пед. ун-т, 2006. 129 с.

69. Чакмазян А. В. Двойственная нормализация I А. В. Чакмазян // Докл. АН АрмССР. 1959. - Т. 28. - № 4. - С. 151-157.

70. Чакмазян А. В. Связность в нормальных расслоениях нормализованного подмногообразия Vm в Р„ / А. В. Чакмазян // Проблемы геометрии / Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. М*., 1978. - Т. 10. - С. 5574. '

71. Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий / А. В. Чакмазян. Ереван: Армянск. пед. ин-т, 1990. - 116 с.

72. Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе / С. А. Чаплыгин // Полное собрание сочинений. -Л., 1933.-Т. 1.-С. 212-214.

73. Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чах-таури // Труды« Тбилисского матем. ин-та АН ГрССР. Тбилиси, 1944, 15. -С. 101-148.

74. Чахтаури А. И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури // Труды Тбилисского матем. инта АН ГрССР. Тбилиси, 1954, 20. - С. 89-130.

75. Чахтаури А. И. Об обобщении конфигураций Лапласа для /7-мерных сетей / А. И. Чахтаури // 6-я Всес. геом. конф. по совр. проблемам геометрии: тез. докл. — Вильнюс, 1975. С. 251-253.

76. Широков А. 77. Структуры на дифференцируемых многообразиях / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия / ВИНИТИ АН СССР. М., 1974. - Т. 11 - С. 153-207.

77. Широков А. П. Пространства аффинной связности (некоторые аспекты метода нормализации А. П. Нордена) / А. П. Широков // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1985. -Т. 17 - С. 131-151.

78. Шуликовский В. И. Проективная теория сетей / В. И. Шуликов-ский. Казань: Изд. Казанск. ун-та, 1964. - 78 с.

79. Cartan Е. Sur les varietes de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. 1919. - V. 47. -P. 125-160.

80. Cartan E. Sur les varietes de courbure constante d'un espace euclidiene on non euclidiene / E. Cartan // Bull. Soc. Math. France. 19201 - V. 48. -P. 132-208.

81. Cartan E. Les groups d'holonomie des espaces generalizes / E. Cartan // Acta math. 1926, 48. - P: 1-42.

82. Cartan E. Les espaces a connexion projective / E. Cartan // Труды семинара по-векторному и тензорному анализу / МГУ. М., 1937. Вып. 4. -С. 147-159.

83. Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1944, 30. № 4. - P. 95-97.

84. Ehresmann C. Les connexions infinitesimals dans un espace fibre dif-ferentiable / G. Ehresmann // Collque deTopologie (Bruxelles, 1950). Paris, 1951.-P. 29-55.

85. Konig R. Beitrage zu einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslhre / R. Konig // Jahresb. D. Deutsch. Math. Ver. 1920; 28. - P. 312-228.

86. Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e con-seguente specificazione geometrica' della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. matem. Palermo, 1917, 42. - P. 173-205.

87. Michailescu T. Geometrie differentials projectiva / T. Michailescu // Bucure§ti Acad. RPR, 1958. 494 p.

88. Schouten J. A. Uber nicht-holonome Ubertragungen in einer Ln /J. A. Schouten // Mathematische Zeitschrift. 1929, 30. - P. 149-172.

89. Svec A. On orthogonal conjugate nets in E4 I A. Svec // Comment.Math. Univ. Carol.~1975, 16.-№1.-P. 183-187.99: WeylH. Raum. Zeit, Materie / H. Weyl. Berlin, 1918.