Двойственная геометрия сетей и тканей на подмногообразиях в пространствах с проективной структурой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи ;0\

Кондратьева Надежда Викторовна

ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕТЕЙ И ТКАНЕЙ НА ПОДМНОГООБРАЗИЯХ В ПРОСТРАНСТВАХ С ПРОЕКТИВНОЙ СТРУКТУРОЙ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г 1 ПАР 2013 005050932

КАЗАНЬ-2013

005050932

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профес-

сор, Чувашский государственный педагогический университет имени И. Я. Яковлева, профессор кафедры геометрии Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профес-

сор, Институт проблем управления имени В. А. Трапезникова, заведующий лабораторией Кушнер Алексей Гурьевич

кандидат физико-математических наук, профессор, Пензенский государственный университет, профессор кафедры «Алгебра» Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Нижегородский государствен-

ный технический университет имени Р. Е. Алексеева»

Защита состоится «21» марта 2013 г. в 16 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 в ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «_» февраля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Начала теории многомерных сетей были положены исследованиями Э. Картана', Чжень Шэн-шэня2, В. Т. Ба-зылева3'4.

В этом направлении разными авторами получены многочисленные результаты по изучению внутренней геометрии различных многообразий, несущих сети того или иного класса.

Вопросы внутренней геометрии плоской сети S относительно нормализации проективного пространства Рп полем гармонических плоскостей, изучаются в работах В. Т. Базылева3,5, А. В. Столярова6'7, А. И. Чахтаури8.

Различным вопросам инвариантного оснащения (в смысле А. П. Нордена или Э. Картана) поверхности Vm czP„, определяемого заданной сетью S с Vm, посвящены работы М. А. Акивиса9'10, В. Т. Базылева4, H. М. Остиану11, А. В. Столярова12,13,14. В статье В. Т. Базылева4 определены чебышевские сети на поверхностях VmczPn. Некоторые вопросы геометрии поверхностей VM с:Р„, несущих чебышевские и геодезические сети, изучаются в работах А. В. Столя-

„„__12,13.14

рова

В работах Ж. Н. Багдасаряна15, А. К. Рыбникова16 находятся критерии реализации линейных связностей в касательных расслоениях подмногообразия, несущего сеть того или иного строения.

'Cartan Е. Sur les Varietes de courbure constante d'un espace euclidiene ou non euclidiene/ E. Cartan // Bull. Soc. Math, de France. - 1919. - V. 47. - P. 125-160; 1920. - V. 48. - P. 132-208.

"Chern S. S. Laplace transforms of a class of higher dimensional varieties in a projective space of n dimensions / S. S. Chern // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. - 1944. - V. 30. - № 4. - P. 95-97.

3Базылев В. Т. К геометрии плоских многомерных сетей / В. Т. Базылев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-та им. В. И. Ленина, 1965. -№243. - С. 29-37.

'Базылев В. Т. О сетях на многомерных поверхностях проективного пространства / В. Т. Базылев // Известия вузов. Матем. - 1966. - № 2. - С. 9-19.

3Базылев В. Т. О нормализациях проекшвного пространства, порождаемых заданной в нем сетью / В. Т. Базылев И Лит. мат. сб., 1966.-Т. 6-№3.-С. 313-322.

Столяров А. В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном прстранстве /А. В. Столяров // Известия вузов. Матем, - 1969. 8. - С. 104-111.

'Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: Моно-графия / А. В. Столяров. - Чебоксары: изд-во Чуваш, педин-та, 1994. — 290 с.

'Чахтаури А. И. О внутренней геометрии трехмерной сети / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. ун-та. - 1966. - С. 129-133.

9Акивис М. А. О нормалях Фосса поверхности, несущей сеть сопряженных линий / М. А. Акивис // Матем. сб. -1962. -Т. 58(100). - № 2. - С. 695-706.

10Акивис M. А О строении сопряженных систем на многомерных поверхностях / М. А. Акивис // Известия вузов. Матем. - 1970. - № 10. - С. 3-11.

"Остиану H. М. Инвариантное оснащение поверхности, несущей сеть / H. М. Остиану // Известия вузов. Матем., 1970. - №7. - С. 72-82.

'"Столяров А. В. О сетях с совпавшими псевдофокусами, заданных на гиперповерхностях проективного пространства / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1970. 2. — С. 86-93.

1эСтоляров А. В. О внутренней геометрии двух классов плоских многомерных сетей в проективном прстранстве /А. В. Столяров//Известия вузов. Матем. - 1969.-№ 8.-С. 104-111.

14Столяров А. В. О внутренней геометрии многомерных поверхностей, несущих проективно чебышевскую сеть /А. В. Столяров// Известия вузов. Матем. - 1971.-№ 11. - С. 99-103.

"Багдасарян Ж. Н. Об инвариантных аффинных связностях на гиперповерхности в Рл, оснащенной семейством конусов / Ж. Н. Багдасарян // Соврем. Геометрия. - Л., 1978, - С. 7-18.

1бРыбников А. К. О реализации аффинных связностей без кручения на по-верхностях, несущих сеть сопряженных линий / А. К. Рыбников // Веста. Моск. ун-та. Мат., мех. - 1973. - № 6 - С. 64-71.

3

Чебышевские и геодезические сети 2 в пространствах аффинной связности А„„ рассматриваются в работах А. Е. Либера17'18. С. Е. Степанов19,20,21 в пространстве аффинной связности А„ „ (и > 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью.

Отметим некоторые другие исследования по проективной и аффинной теории поверхностей, несущих сети (или их обобщения) того или иного класса. В работе В. Т. Базылева22 на поверхности Ут с Р„ полного ранга рассмотрены поля сопряженных и фокальных направлений, голономные сопряженные сети и преобразования Лапласа поверхности. Обзор работ по теории многомерных сетей приведен в работе В. Т. Базылева .

В работах В. И. Шуликовского24'23 дается систематическое изложение теории сетей двумерного пространства Х2 методом тензорного анализа.

В работе С. И. Билчева и Д. Т. Дочева26 дана классификация гиперповерхностей пространства Е5, несущих голономную сеть линий кривизны по наличию равенств между их главными кривизнами.

Однако следует заметить, что практически все исследования по теории сетей и тканей проводились без привлечения теории двойственности; исключение составляют работы А. И. Чахтаури27,28'29 - по двумерным сетям и некоторые работы А. В. Столярова по многомерным сетям (см. например ' ).

В работе32 А. В. Столяровым положено начало по изучению двойственной

"Либер Л. Е. К теории сетей в многомерном пространстве / А. Е. Либер // Сб. «Дифференциальная геометрия» / Саратовский ун-т, 1974. - Вып. 1. - С. 72-84.

18Либер А. Е. О чебышевских сетях и чебышевских пространствах / А. Е. Либер // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. - М. : МГУ, 1974. - Вып. 17. - С. 177-183.

"Степанов С. Е. Геометрия декартовых пространств / С. Е. Степанов // ВИНИТИ. - М„ 1978. - № 3414 - 78деп -8с

20Степанов С. Е. Чебышевские оснащения поверхности / С. Е. Степанов // ВИНИТИ. - М„ 1978. - № 3414 -78деп. - 8 с.

21Степанов С. Е. Реализация чебышевской связности на гиперповерхности аффинного пространства / С. Ь. Сте-

панов//Современная геометрия: Вопросы дифференциальной геометрии. - Л., 1980. - С. 73-76. "Базылев В. Т. О полях сопряженных направлений на многомерных поверхностях полного ранга / В. Т. Базы-лев // Уч. зап. Моск. гос. пед. ин-таим. В. И. Ленина. - 1967. -№271. С. 7-33.

^Базылев В. Т. О многомерных сетях и их преобразованиях / В. Т. Базылев // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. - 1965. - С. 138-164.

"Шуликовскии В. И. Классическая дифференциальная геометрия/ В. И. Шуликовскии. - М. : Физматтиз, 1963. - 540 с.

^Шуликовскии В. И. Проективная терия сетей / В. И. Шуликовскии. - Казань: Изд Казанск. ун-та, 1964. - 78 с.

2бБилчев С. И., Дочев Д. Т. Четырехмерные поверхности пятимерного евклидова пространства, несущие вполне голономную 4-ткань линий кривизны / С. И. Билчев, Д. Т. Дочев II Изв. Мат. ин-т. Болг. АН. - 1973. - 14. - С. 287—305.

"'Чахтаури А. И. Внутренние геометрии плоских сетей / А. И. Чахтаури // Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрССР. -Тбилисси, 1947.-Т. 15.-С. 101-148.

^Чахтаури А И. Приложения внутренних геометрий плоских сетей в теорию поверхностей / А. И. Чахтаури И Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрССР. - Тбилисси, 1954. - Т. 20. - С. 89-130.

-'Чахтаури А. И. О внутренней геометрии трехмерной сети / А. И. Чахтаури И Тр. Тбилисск. ун-та. - 1966. - С. 129-133.

"Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей и полярно сопряженных конфигурациях на гиперповерхности / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1972. - № 4. - С. 109-119.

"Столяров А. В. О двойственной геометрии сетей на регулярной гиперполосе / А. В. Столяров // Известия вузов. Матем. - 1977. - № 8. - С. 68-78.

"Столяров А. В. Двойственная геометрия ш-тканей на распределении Яс?и / А. В. Столяров // Тез. Докладов 8-й Всес. конф. по совр. проблем, диф. геометрии - Одесса, 1984. - С. 151.

4

геометрии ти-тканей на регулярном гиперполосном распределении т-мерных линейных элементов, вложенном в пространство проективной связности.

Актуальность диссертационного исследования обусловлена тем, что:

1) вопросы построения основ двойственной геометрии плоских многомерных сетей, а также основ двойственной теории многомерных сетей и тканей на различных подмногообразиях (на гиперповерхности Уя_{, на т-мерной поверхности Ут {т < п -1), на распределении гиперплоскостных элементов), вложенных в пространства проективной структуры (проективное Ря , проективно-метрическое К„ ) до настоящего времени в математической литературе оставались слабо разработанными; поэтому в дифференциальной геометрии назрела задача разрешения этих вопросов;

2) решение ключевой задачи 1) оказалось тесно связанным с разработкой основ теории двойственных аффинных связностей, определяемых произвольной нормализацией изучаемых подмногообразий; одной из центральных задач диссертационного исследования явилась задача приложения этих связностей к исследованию двойственной геометрии многомерных сетей и тканей на них.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является решение указанных ключевых задач №1, №2.

Методы исследования. В диссертационном исследовании рассматриваемая теория развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева , методом внешних дифференциальных форм Э. Картана34 и методом нормализации А. П. Нордена35. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым33*3 .

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач (см. цель работы), являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что изучением двойственной геометрии многомерных сетей и тканей геометры ранее почти не занимались.

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

"Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев И Тр. Моск. матем. о-ва, 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1948.-432 с.

"Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. : Наука, 1976. - 432 с. "Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия многомерных поверхностей / Г. Ф. Лаптев // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. - 1965. - С. 5-64.

Теоретическая и практическая ценность результатов. Диссертационная работа имеет теоретическое значение, полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании многомерных сетей и тканей на многообразиях, вложенных в пространства более общей структуры (например, в пространства

Кп и Л» соответственно проективной и аффинной связности).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация и внедрение результатов. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2008-2011 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2008-2011 гг.), на XLVIII и XLIX Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2010г. и 2011 г.), в II Всероссийской научной конференции «Научное творчество XXI века» с международным участием (г. Красноярск, 2010 г.) (работа была признана лучшей в секции «Физико-математические науки»); в научной конференции с международным участием «Геометрия многообразий и ее приложения» (г. Улан-Удэ, 2010 г.); в Девятой молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения - 2010» (г. Казань, 2010 г.), на II Международной научно-практической конференции «Наука и современность - 2010» (г. Новосибирск, 2010 г.); на Международной конференции «Геометрия в 0дессе-2010»; во Второй Российской школе-конференции для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (г.Тверь, 2010 г.); во II Международной научной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы науки и техники» (г. Уфа, 2010 г.), в международной школе-конференции «Геометрия. Инварианты. Управление» (г. Москва, 2012 г.).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 26 печатных работах автора, общим объемом 13 печатных листов, в том числе 4 из них в журналах, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований.

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 131 наименование. Полный объем диссертации составляет 125 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертационная работа состоит из общей ее характеристики и трех глав.

В главе I разрабатывается двойственная теория плоских многомерных сетей в проективном и в проективно-метрическом пространствах.

В §§ 1,2 главы I доказаны следующие предложения (теорема 1.1,1.2):

- При невырожденной нормализации проективного пространства Рп индуцируется нормализованное проективное пространство Рп, двойственное исходному в смысле А. В. Столярова7;

- Невырожденная нормализация проективного пространства Рп индуцирует двойственные пространства аффинной связности А„ „ и А„ „ без кручения, (проективно-евклидовы связности 1-го и 2-го родов35), которые соответствуют двойственным друг другу проективным пространствам Рл и Рп.

В § 3 найдены приложения двойственных аффинных связностей V и V пространств АП !1 и А„_„ к изучению плоских сетей ХсР„.

Вводится понятие двойственного образа сети Е - тангенциальная плоская сеть Ёв Рп. Записаны дифференциальные уравнения указанной сети, приведены инвариантные геометрические образы этой сети - псевдофокальные гиперплоскости 77/ и гармонические полюса т], (гиперплоскости), двойственные соответствующим образам р/, /7 сети 2 с Рп.

В § 4 изучается нормализация проективного пространства Рп, определяемая сетью Е, в частности, взаимногармоническая нормализация (при п-2 взаим-ногармоническая нормализация является взаимнолапласовой относительно сети БсР227) и нормализация пространства, гармоничная сети Е. Найдены аналитические условия указанных нормализации.

В этом параграфе приведены также геометрические характеристики чебы-шевской и геодезической сети (теоремы 1.7, 1.8):

- в невырожденной нормализации Аа -» проективного пространства Р„, гармоничной сети £ с Р„, рассматриваемая сеть есть геодезическая второго (первого) рода тогда и только тогда, когда она является сетью с совпавшими псевдофокусами первого (второго) рода и поле гиперплоскостей (точек А0) совпадает с полем ее гармонических гиперплоскостей ] (гармонических точек Р);

- чебышевская сеть первого (второго) рода ХсРл при п > 2 есть п -сопряженная система, являющаяся геодезической сетью второго (первого) рода относительно данной нормализации проективного пространства РП.

В § 5 рассматриваются приложения геометрии нормализованного проектив-но-мегрического пространства К„ к изучению плоских сетей. В частности, доказаны следующие предложения:

- В случае сети ИсКп, сопряженной относительно поля конусов направлений aSTa= 0, полярная нормализация пространства К„ является нормализацией, гармоничной сети (теорема 1.13).

- Если сопряженная относительно поля невырожденного тензора a,s сеть

Г с Кп, п>2 при некоторой нормализации пространства К„ есть чебышевская первого рода, то она не может быть геодезической первого рода, что равносильно тому, что нормализация пространства К„ не может быть полярной (теорема 1.18).

- Если относительно невырожденной нормализации пространства К„ (У*0), гармоничной сети Е<=*„, п>2 (ta=0,I*K), сеть £ является че-бышевской второго рода, то I есть геодезическая сеть первого рода и при п > 2 она является геодезической первого рода и «-сопряженной системой одновременно (теорема 1.20).

- Пространство аффинной связности Л„ „, индуцируемое полем гармонических гиперплоскостей чебышевской сети Ъс.Кп первого рода, при п>2 является эквиаффинным; при этом нормализация исходного проективно-метрического пространства К„ гармонична сети 2 (теорема 1.21).

Глава II посвящена построению двойственной геометрии сетей на многомерных поверхностях в пространствах с проективной структурой, а именно, в проективном Р„ ив проекгивно-мегрическом К„.

В § 1 с использованием теоремы Картана - Лаптева получены двойственные аффинные связности V и V на нормализованной гиперповерхности К„_, в пространстве Р„ (теоремы 2.1, 2.2), найдены приложения этих связностей к изучению внутренней геометрии сопряженных сетей Ее F„_, (теоремы 2.3-2.5). Найден произвол существования гиперповерхности Г„_„ несущей сопряженную чебышевскую сеть первого и второго рода 2 с (п > 3) (теорема 2.6).

В § 2 исследование сетей на оснащенной многомерной поверхности Vm (2<т<п-\) проективного пространства Р„ проводится с использованием внутренним образом ассоциированной с ней (в 3-й дифференциальной окрестности) гиперполосы Нт в Р„, для которой исходная поверхность Vm является

базисной (см. теоремы 2.11 и 2.12).

В п. 3 § 2 найдены и изучаются (теоремы 2.14-2.17) две двойственные аффинные связности без кручения на нормализованной в смысле Нордена - Чак-мазяна ассоциированной с поверхностью Vm(2 < т < п -1) гиперполосе Я„ в Рп; все это позволяет построить двойственную геометрию сетей на рассматриваемой поверхности.

Действительно, инвариантное присоединение к поверхности

Vm с. Рп(2<т<п~\) регулярной (тензор baA"j невырожден) гиперполосы Н с Р„ с учетом наличия ее двойственного образа, а, следовательно, двойственного образа сети IcK, привело к построению инвариантной нормализации базисной поверхности Vm полями гармонических (/1-ти)-мерных и (т-1)- мер-

8

ных плоскостей сети 2 с: Ут, слабо сопряженной относительно поля симметричного тензора ЬаАсу (теорема 2.18); последнее на Ут индуцирует две двойственные аффинные связности без кручения. С учетом этого на поверхности Ут с Рп (2 < т < п -1) вводятся в рассмотрение, в частности, различные двойственные подклассы сетей (геодезические сети первого и второго рода, чебышев-ские сети первого и второго рода).

§ 3 посвящен разработке двойственных вопросов геометрии сетей £ на невырожденном абсолюте в проективно-метрическом пространстве Кп.

В п. 1 получен один из центральных результатов § 3 (теорема 2.22): проек-тивно-метрическое пространство Кп с невырожденным абсолютом в первой дифференциальной окрестности индуцирует двойственное относительно инволютивного преобразования структурных форм проективно-метрическое пространство Кп с невырожденным абсолютом £>„1,; абсолют пространства Кп есть семейство касательных гиперплоскостей второго порядка к абсолюту (2л-1 пространства Кп. В тангенциальном репере найдено уравнение

абсолюта .

В п. 2:

1) при и>4 найдено условие голономности сопряженной относительно поля конусов направлений g¡kй)'0QJo = 0 сети Е с £¿1; геометрически это условие эквивалентно тому, что абсолют (2л-1 пространства Кп является гиперсопряженной системой37 (теорема 2.23);

2) доказана теорема существования абсолюта с Кп {п >4), являющегося гиперсопряженной системой относительно сопряженной сети (теорема 2.24).

В п. 3 найдены поля гармонических прямых д'П и гиперпрямых <7? сети 2 с £>^-1 > определяемые внутренним образом. Доказаны следующие предложения (теоремы 2.25, 2.26):

- поля гармонических прямых д{ и гиперпрямых сопряженной сети Е, заданной на невырожденном абсолюте 1 проективно-метрического пространства Кп (и > 3) двойственны по отношению друг к другу и нормализуют гиперквадрику (З^ взаимно.

В п. 4 строятся различные инвариантные оснащения абсолюта с КП. Вводятся понятие сильно оснащенного и согласованно оснащенного абсолюта

с Кп. К основному результату этого пункта можно отнести теорему 2.27: нормализация {у'п , у?} невырожденного абсолюта проективно-

метрического пространства КЛ является взаимной тогда и только тогда, когда

"Смирнов Р. В. Преобразования Лапласа р-сопряженных систем / Р. В. Смирнов // ДАН СССР. — 1950. - Т.71. -№3. - С. 437-439.

гиперквадрика согласованно оснащена полями геометрических объектов И> у° } и ' /4,} в смысле соответственно Э. Картана и Э. Бортолотги.

Доказано, что пространство проективной связности индуцируемое

оснащением в смысле Э. Картана невырожденного абсолюта с К„, вырождается в проективное пространство тогда и только тогда, когда оснащающая точка Картана неподвижна (теорема 2.28).

Найдены поля геометрических объектов и на невырож-

денном абсолюте б„2_, проективно-метрического пространства К„, определяемые сопряженной сетью 2 с <2\_х, которые задают согласованное оснащение

гиперквадрики (теорема 2.9).

В п. 5 вводятся в рассмотрение аффинные связности, индуцируемые нормализацией абсолюта 2„2ч с К„ полями гармонических прямых д'„ и гиперпрямых д? сопряженной сети 2 с £>1_х.

В п. 6 для сети главных линий на абсолюте с: Кп доказано утверждение (теорема 2.33): если сопряженная сеть Г с с Кп есть сеть главных линий первого рода конгруэнции ее гармонических прямых, то линии сети Е суть

кривые второго порядка.

Глава Ш посвящена получению новых результатов по геометрии проективных и двойственных аффинных связностей, а также двойственной геометрии тканей Е на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов ГМ первого рода в проекгивно-метрическом пространстве Кп.

В § 1 приводится необходимый в дальнейшем изложении материал, носящий, в основном, реферативный характер. Здесь даются основные определения, приводятся дифференциальные уравнения многообразия 9Л и его двойственного образа М, а также дифференциальные уравнения полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов на М.

В § 2 рассматривается распределение гиперплоскостных элементов М, внутренним образом оснащенное в смысле Э. Картана38 полем геометрического объекта {н'„, Н„\, при этом найдена система форм Пфаффа {(9)}, определяющая на М пространство проективной связности Р„ „_,, приведено строение тензора кривизны-кручения Щвт этого пространства.

Основным результатом § 2 является теорема 3.2: пространство проективной связности Рп „_,, индуцируемое оснащением в смысле Э. Картана регулярного распределения гиперплоскостных элементов М в проекгивно-метрическом пространстве К„ полем геометрического объекта {Н'„,Н„}, вырождается в плоское

"Cartan Е. Les espaces a connexion projective / Е. Caitan // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. -М.: МГУ, 1937. - Вып. 4. - С. 147-159.

пространство тогда и только тогда, когда оснащающая точка неподвижна.

Доказано предложение, определяющее геометрическую характеристику оснащающей точки распределения: оснащающая точка распределения гиперплоскостных элементов М в проективно-метрическом пространстве Кп совпадает с полюсом текущего элемента ПлЧ = [А0А/] этого распределения относительно абсолюта .

В § 3 внутренним образом построено двойственное инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных элементов 9А в смысле А. П. Нордена полями квазитензоров \н'п, Я,}, взаимное относительно абсолюта .

К основным результатам этого параграфа относятся следующие утверждения:

1) Если центр распределения М в Кп смещается вдоль кривой, принадлежащей подмногообразию Ж, то нормализация (н'п, Я,) распределения индуцирует риманову связность с полем невырожденного тензора а- (теорема 3.5 и следствие).

2) Нормализация распределения гиперплоскостных элементов 94. в проективно-метрическом пространстве К„ полями квазитензоров Н'п и Н1 индуцирует риманово пространство постоянной кривизны К, когда поле нормалей первого рода Н'„ есть связка прямых с центром в точке ■£„; при этом

К = —— (теорема 3.6). с

В § 4 найдены приложения двойственных аффинных связностей пространств Ап и А„ „_, к изучению геометрии сопряженной ткани 2 на распределении

гиперплоскостных элементов ¡М в К„.

Найдены условия параллельного перенесения направления касательной А0А, к г'-ой линии ткани Е с М вдоль ее линии со\ в аффинной связности пространства Ал „_, или Ап „_1, индуцируемого нормализацией А. П. Нордена регулярного распределения гипергоюскостных элементов М. Дано определение геодезической и чебышевской тканей первого и второго рода, получены необходимые и достаточные аналитические условия существования их.

Основным результатом § 4 является предложение (теорема 3.9): сопряженная ткань Е на регулярном распределении гиперплоскостных элементов М в проективно-метрическом пространстве Кп является тканью с совпавшими псевдофокусами Р* (псевдофокальными гиперплоскостями т]* ) тогда и только тогда, когда относительно поля гармонических гиперпрямых (гармонических прямых ) данная ткань является геодезической второго (первого) рода.

И

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Построены основы двойственной геометрии плоских многомерных сетей в проективном и в проективно-метрическом пространстве.

2. На различных подмногообразиях, вложенных в пространство с проективной структурой, построена двойственная теория сетей и тканей.

3. Разработаны основы теории двойственных аффинных связностей, определяемые нормализацией рассматриваемых подмногообразий.

4. Найдены приложения аффинных связностей, индуцируемых нормализацией различных подмногообразий проективного Рп и проективно-метрического К„ пространств, к изучению двойственной геометрии сетей и тканей на них.

Публикации по теме диссертации

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ

1. Кондратьева Н. В. О некоторых классах сетей, заданных на регулярной гиперповерхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2010. - № 4 (68). - С. 94-101.(0,5 п. л.)

2. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия тканей на распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2011. - № 2 (70). - С. 55-62. (0,5 п. л.)

3. Кондратьева Н. В. Некоторые приложения геометрии проективно-метрического пространства к изучению плоских сетей / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2011. - № 2 (70). - С. 63-69. (0,4 п. л.)

4. Кондратьева Н. В. Связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2011. - №8(11). - Ч. 1. - С. 14-19. (0,4 п. л.)

Публикации в других изданиях

5. Кондратьева Н. В. Нормализованное проективное пространство / Н. В. Кондратьева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2008. - № 3 (59). - С. 32-39. (0, 3 п. л.)

6. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия плоских многомерных сетей / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2008. - № 449 - В2008. - 20 с. (1,3 п. л.)

7. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия плоских сетей в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 22 - В2008. - 14 с. (0,9 п. л.)

8. Кондратьева Н. В. Плоские сети в нормализованном проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 61 - В2008. - 11 с. (0,7 п. л.)

9 Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия сопряженных сетей на гиперповерхности / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 148 -В2008. - 16 с. (1,0 п. л.)

10. Кондратьева Н. В. Геометрия сопряженных сетей на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева II ВИНИТИ РАН. - М., 2008. - № 434 - В2008. - 18 с. (1,1 п. л.)

11. Кондратьева Н. В. Сопряженные сети на регулярной гиперповерхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Наука и современность -2010 : материалы I Международной научно-практической конференции : в 3 ч. - Новосибирск : Изд-во «СИБ-ПРИНТ», 2010. - Ч. 2. - С. 160-165. (0,06 п. л.)

12. Кондратьева Н. В. О сопряженных сетях в нормализованном проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2010. - №4(10). - Ч. 5. -С. 7-9. (0,2 п. л.)

13. Кондратьева Н. В. О гиперповерхности, несущей сопряженную сеть / Н . В. Кондратьева // Геометрия многообразий и ее приложения : материалы научной конференции с международным участием. - Улан-Удэ : Изд-во Бурятского гос. ун-та, 2010. - С. 28-34. (0,3 п. л.)

14. Кондратьева Н. В. Приложения геометрии проективно-метрического пространства к изучению некоторых классов сетей / Н . В. Кондратьева // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции. - Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 2010. - С. 73. (0,06 п. л.)

15. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия сетей на невырожденном абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2010. -№1(15). - С. 3-9. (0,4 п. л.)

16. Кондратьева Н. В. О сопряженной сети на гиперквадрике проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // В мире научных открытий. - Красноярск : Научно-инновационный центр, 2010. - №5(11). - Ч. 1. -С. 14-19. (0,5 п. л.)

17. Кондратьева Н. В. О сопряженных сетях, заданных на гиперповерхности / Н. В. Кондратьева // Геометрия в Одессе - 2010 : тезисы докладов Международной конференции. - Одесса : Фонд «Наука», 2010. - С. 38. (0,06 п. л.)

18. Кондратьева Н. В. Аффинные связности на абсолюте проективно-метрического пространства / Н. В. Кондратьева // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского : материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010». - Казань : Казанское математическое общество, 2010. - Т. 40. - С. 184-188. (0,3 п. л.)

19. Кондратьева H. В. Сети и аффинные связности на гиперполосе, ассоциированной с поверхностью / Н. В. Кондратьева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов / Чувашский госпедун-т. - Чебоксары, 2010. - №2(16). - С. 19-23. (0,3 п. л.)

20. Кондратьева Н. В. Некоторые классы сетей в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Диф. геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Российский гос. ун-т им. И. Канта, 2010. - Вып. 41. - С. 61-69. (0,6 п. л.)

21. Кондратьева Н. В. Сопряженные сети на поверхности проективного пространства / Н. В. Кондратьева // Актуальные проблемы науки и техники : сб. трудов II Международной научной конференции молодых ученых. -Уфа : Нефтегазовое дело. - 2010. - T. I. - С. 11-15. (0,3 п. л.)

22. Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия многомерной поверхности в проективном пространстве / Н. В. Кондратьева // Математика, информатика, их приложения и роль в образовании : Материалы второй Российской школы-конференции с междун. участием для молодых ученых. - Тверь : Твер. гос. ун-т, 2010. - С. 150-155. (0,4 п. л.)

23 Кондратьева Н. В. Двойственная геометрия сетей на поверхности проек-' тивного пространства / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М„ 2008. - № 704-В2010.-20 с. (1,25 п. л.)

24. Кондратьева Н. В. Внутренняя геометрия распределения гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // ВИНИТИ РАН. - М., 2011. - № 154 - В2008. - 12 с. (0,75 п. л.)

25. Кондратьева Н. В. Проективные связности на распределении гиперплоскостных элементов в проективно-метрическом пространстве / Н. В. Кондратьева // Студент и научно-технический прогресс : материалы XLIX Международной научной студенческой конференции. - Новосибирск : Новосиб. гос. ун-т, 2011. - С. 78. (0,06 п. л.)

26. Кондратьева Я. В. Приложения теории гиперполос к изучению двойственной геометрии сетей на поверхности / Н. В. Кондратьева // Диф. геометрия многообразий фигур : Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Калининград: Российский гос. ун-т им. И. Канта, 2011. - Вып. 42. - С. 48-56. (0,5 п. л.)

Подписано к печати_. Формат 60x84 /16.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ .

Отдел оперативной полиграфии Чувашскою государственного педагогического университета 428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева»

На правах рукописи Кондратьева Надежда Викторовна

двойственная геометрия сетей и тканей

на подмногообразиях в пространствах с проективной структурой

01.01.04 - геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Столяров А. В.

Чебоксары 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. Исторический обзор..................................................................................................................5

2. Общая характеристика диссертации......................................................................8

1. Постановка вопроса и актуальность темы..........;..........................................8

2. Цели и задачи работы..................................................................................................................9

3. Методы исследования................................................................................................................9

4. Научная новизна..............................................................................................................................10

5. Теоретическая и практическая ценность результатов..................................10

6. Апробация и внедрение результатов............................................................................10

7. Публикации..........................................................................................................................................11

8. Вклад автора в разработку избранных проблем......................................................11

9. Структура и объем работы..........................................................................................................11

10. Некоторые замечания..............................................................................................................11

3. Содержание диссертации....................................................................................................................................12

Глава I. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПЛОСКИХ МНОГОМЕРНЫХ СЕТЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ С ПРОЕКТИВНОЙ СТРУКТУРОЙ

§1. Нормализованное проективное пространство Рп................. 21

§2. Двойственные аффинные связности в нормализованном

пространстве Рп................................................................. 27

§3. Приложения двойственных аффинных связностей к изучению плоских сетей Е в Рл

1. Дифференциальные уравнения сети Е и инвариантные геометрические образы, порождаемые ею.............................. 29

2. Чебышевские и геодезические сети первого и второго рода.... 31

3. Двойственный образ сети Е в Рп..................................... 33

§4. Нормализация проективного пространства Рп, определяемая сетью

1. Взаимногармоническая нормализация пространства Рп......... 35

2. Нормализация проективного пространства Рп, гармоничная

сети Е....................................................................... 37

§5. Приложения нормализации проективно-метрического пространства Кп к изучению плоских сетей Е

1. Полярная нормализация пространства Кп.......................... 40

2. Сеть сопряженная относительно поля конусов направлений а5тО)д(Од =0................................................. 48

3. Чебышевские и геодезические сети в пространстве ......... 51

Глава II. ДВОЙСТВЕННАЯ ГЕОМЕТРИЯ СЕТЕЙ НА МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

§1. Внутренняя геометрия сопряженных сетей £ на гиперповерхности в проективном пространстве Рп

1. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности

Уп_, в пространстве Рп................................................... 56

2. Дифференциальные уравнения сети £ и некоторые ее геометрические образы...................................................... 61

3. Чебышевские и геодезические сопряженные сети первого и второго рода............................................................... 63

4. Сеть главных линий на гиперповерхности Уп_х в проективном пространстве Рп........................................................... 68

5. Голономная сопряженная сеть £ на гиперповерхности Уп-1 в

пространстве Рп........................................................... 69

§2. Сети и аффинные связности на многомерной поверхности Ут в проективном пространстве Рп

1. Гиперполоса Нт, ассоциированная с поверхностью Ут..................71

2. Двойственный образ регулярной гиперполосы Нт..............................74

3. Двойственные аффинные связности на нормализованной в смысле Нордена-Чакмазяна поверхности Ут..............................................76

4. Поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик........................79

5. Внутренняя геометрия некоторых классов сетей £ на поверхности Ут в пространстве Рп..............................................................................81

§3. Двойственная геометрия сетей £ на невырожденном абсолюте в проективно-метрическом пространстве Кп

1. Двойственный образ абсолюта <2Л_, проективно-метрического пространства Кп....................................... 87

2. Сопряженная сеть £ на абсолюте <2^-1 в пространстве Кп.... 89

3. Поля гармонических прямых ^^ и гиперпрямых сопряженной сети £............................................................ 92

'Л

4. Инвариантные оснащения абсолюта в Кп................... 94

5. Связности, индуцируемые нормализацией абсолюта

Й-. <= Кп.................................................................. 98

6. Сеть главных линий на абсолюте £>в Кп....................... 101

Глава III. ДВОЙСТВЕННЫЕ СВЯЗНОСТИ И ТКАНИ НА ОСНАЩЕННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В К„

§1. Распределение гиперплоскостных элементов М в Кп и его

двойственный образ............................................................................... 103

§2. Инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных

элементов М в смысле Э. Картана.......................................... 106

§3. Инвариантное оснащение распределения гиперплоскостных

элементов М в смысле А. П. Нордена..................................... 108

§4. Двойственная геометрия сопряженных тканей на распределении гиперплоскостных элементов !М................................... 111

ЛИТЕРАТУРА................................................................... 116

ВВЕДЕНИЕ

1. Исторический обзор

Начала теории многомерных сетей были положены исследованиями ^ по геометрии гс-сопряженных систем (работы Э. Картана [127], Чжень Шэн-шэня [130], В. Т. Базылева [10], [12]).

Можно сказать, что многообразие Картана [127] особого проективного типа - это есть поверхность Ут<^Рп (п > 2т) с 2га-мерной соприкасающейся плоскостью, несущая сопряженную сеть. Эта сеть, как было отмечено Картаном, является голономной.

Чжень Шэн-шэнь [130] показал, что для поверхности Картана Ут можно построить преобразования, которые конструктивно выполняются так же, как и преобразования Лапласа поверхности У2с^Р3, осуществляемые с помощью конгруэнции касательных к двум семействам линий сопряженной сети на поверхности У2. Именно, он установил, что на каждой касательной АА1 к линиям сопряженной сети поверхности Картана Ут существует га-1 точек Р/ (г Ф ]) таких, что когда точка А описывает поверхность Ут, каждая из точек Р* описывает в общем случае га-мерную поверхность (Р/), причем прямая АА1 касается каждой из поверхностей (Р/) в точке Р{]. Поверхность {Р,]) в общем случае (когда ее размерность равна га) также является поверхностью Картана и, следовательно, ее можно подвергнуть тому же преобразованию и т. д. Переход от поверхности Ут к поверхности (Р/) и называется преобразованием Лапласа. Получается последовательность Лапласа из поверхностей Картана Ут в проективном пространстве Рп (п>2т), аналогичная последовательности Лапласа из поверхностей У2аРъ, построенная с помощью сопряженной сети исходной V2. Этому результату Чжень Шэн-шэня дал значительное обобщение Р. В. Смирнов [99], построив преобразования Лапласа для произвольных га-сопряженных систем. При этом га-сопряженная система определяется как такая га-мерная поверхность Ут аРп, на которой существует сеть £, обладающая тем свойством, что касательные к линиям г-го семейства, взятые вдоль любой линии у'-го семейства, образуют развертывающуюся поверхность (г ^ _/).

Вопросы внутренней геометрии сетей Ес/^, относительно нормализации пространства Рп полем гармонических плоскостей сети, изучаются в работах В. Т. Базылева [11], А. В. Столярова [104], [108],

А. И. Чахтаури [121]; к этому направлению примыкает также работа М. М. Аксирова [6].

Различным вопросам инвариантного оснащения (в смысле

A. П. Нордена или Э. Картана) поверхности Vm а Рп, определяемого заданной сетью LaPn, посвящены работы М. А. Акивиса [2], [4], В. Т. Ба-зылева [12], Н. М. Остиану [83], А. В. Столярова [105]—[108], [111].

В работах Ж. Н. Багдасаряна [9], А. К. Рыбникова [94] находятся критерии реализации линейных связностей в касательных и нормальных расслоениях подмногообразия Vmcz Рп, несущего сеть того или иного строения. В статье В. Т. Базылева [12] определены чебышевские сети на поверхностях Vm а Рп. Некоторые вопросы геометрии поверхностей Vma Рп, несущих чебышевские и геодезические сети, изучаются в работах А. В. Столярова [105]-[108], [111].

Чебышевские и геодезические сети Еш в пространствах аффинной связности Апп рассматриваются в работах А. Е. Либера [74], [75].

С.Е.Степанов [101 ]—[ 103] в пространстве аффинной связности Апп(п> 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью. В работах В. И. Ведерникова [22], [23] рассмотрены некоторые глобальные вопросы теории плоских сетей в аффинном пространстве Ап; в частности, в работе [22] для выяснения геометрии сети используются полиномиальные морфизмы, вводится индуцированная связность плоской сети, относительно которой направления сети переносятся параллельно.

Отметим некоторые другие исследования по проективной и аффинной теории поверхностей, несущих сети (или их обобщения) того или иного класса. В работе М. А. Акивиса [4] изучается строение многомерных сопряженных систем на тангенциально невырожденных поверхностях Vm а Ап; при т - 2 строение двухкомпонентных неприводимых сопряженных систем на Vm с Рп изучается в работе М. А. Акивиса [3]. В случае голономных двухкомпонентных сопряженных систем на Vm а Рп в работе Degen W. [131] найдены обобщенное уравнение Лапласа и тензоры Дарбу системы.

В работе В. Т. Базылева [15] на поверхности Vm а Рп полного ранга рассмотрены поля сопряженных и фокальных направлений, голономные сопряженные сети и преобразования Лапласа поверхности. В работе [17]

B. Т. Базылев вводит в рассмотрение V-сопряженные сети в пространстве аффинной связности Ап п.

В работах Г. Н. Линьковой [76], [77] исследуются различные классы сетей на гиперповерхности Vnч с Ап: сети линий кривизны, геодезиче-

ские и чебышевские сети и т. д.; для геометрической характеристики их использованы опорные /с-плоскости. В работе В. Т. Базылева [13] изучаются чебышевские сети и сети линий кривизны на поверхностях Ут евклидова пространства Еп.

Отметим, что в работах В. Т. Базылева [16], В. И. Грачевой [31]* [32], М. Р. Сокушевой [100] исследуются некоторые приложения теории многомерных сетей к теории дифференцируемых отображений п-мерных евклидовых пространств и гиперповерхностей в них.

Изучению геометрии плоских ромбоэдрических и ромбических сетей в трехмерном и «-мерном евклидовом пространствах посвящены, работы В. В. Падервинскаса [85]—[90]. В частности, в работах[88], [89] исследованы преобразования п-мерного евклидова пространства Еп, преобразующие любую л-мерную ромбоэдрическую (ромбическую) сеть в ромбоэдрическую (ромбическую); такими преобразованиями являются конформные преобразования и только они. В [90] исследуются я-мерные ромбоэдрические изогональные сети в Еп множество таких сетей разбивается на классы конформных сетей и в конечном виде найден представитель каждого класса. В работе В. М. Пылаева [90] найдены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых сеть Е в гс-мерном римановом пространстве становится ромбической.

Исследованию некоторых подклассов голономных сетей посвящены работы О. М. Веселовой [24], [25].

В работе СЬегп Б. 8. [131] решена задача отыскания сетей с максимальной подвижностью (М-сети) в римановом «-пространстве; эта задача сводится к случаю неприводимых М-сетей, дается полная их классификация.

В работе А. Е. Хачатряна [116] с ортогональной сетью в римановом 4-пространстве связываются поля четырех чебышевских векторов и рассматриваются случаи, когда некоторые из них градиенты. В статье [117] А. Е. Хачатряном дается инвариантная аналитическая характеристика голономных и чебышевских сетей в римановом 3-пространстве, а также обобщается понятие равнопутной сети в этом пространстве.

В работах В. И. Шуликовского [123], [124] дается систематическое изложение теории сетей двумерного пространства Х2 методом тензорного анализа.

В статье О. А. Сдвижкова [96] рассмотрена поверхность Ут в Еп, несущая чебышевскую сеть III рода. В работе Е. К. Сельдюкова [98] исследованы геометрические свойства поверхностей и , инвариантно присоединенных к г-ой линии ортогональной сети на поверхности Ут в Еп. В работе С. И. Билчева и Д. Т. Дочева [20] дана классификация

гиперповерхностей пространства Е5, несущих голономную сеть линий кривизны по наличию равенств между их главными кривизнами.

В работах [112], [113] А. В. Столяровым положено начало в изучении двойственной геометрии m-тканей на регулярном гиперполосном распределении Н га-мерных линейных элементов, вложенном в пространство проективной связности Рп п (т < п -1).

В работах Г. П. Иванова [34], [35] рассмотрены поверхности V3 в Е5, несущие одно или два семейства сдвоенных асимптотических линий; изучены геометрические свойства некоторых сетей, инвариантно присоединенных к этим семействам линий сопряженной сетью этой поверхности.

Вопросам классификации многомерных ортогональных сетей с помощью распределений, изучению свойств полученных классов и применению этих сетей к исследованию геометрии распределений и поверхностей евклидова пространства посвящены работы М. К. Кузьмина [67]-[70].

В статье [67] введены так называемые канонические сети распределений в евклидовом пространстве Еп. В работах [67], [69], [70] исследована также зависимость между свойствами различных классов плоских сетей и распределений в Еп.

2. Общая характеристика диссертации

1. Постановка вопроса и актуальность темы. Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [71], если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия):

dga=(paKi{g)co^+(paKy\

где со*1 - главные (первичные) формы, со*2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций paK2(g), определяющих оснащающий объект ga; в зависимости от их строения имеем различные оснащения многообразия. Заметим, что задание оснащения многообразия определяет на нем соответствующую дифференциально-геометрическую структуру (см. [33], [122]).

Отметим, что задачи, возникающие при изучении оснащенных многообразий, в зависимости от типа оснащения, характера объемлющего пространства и исходного погруженного многообразия, оказываются

весьма разнообразными, что, по-видимому, делает проблему построения дифференциальной геометрии оснащенных многообразий неисчерпаемой.

Подмногообразие (поверхность, распределение и т. д.) с заданной на нем сетью (тканью) является одним из примеров касательно осна-3 щенных [79] многообразий. В этом направлении получены многочисленные результаты по изучению внутренней геометрии различных многообразий, несущих сети (ткани) того или иного класса. Однако, следует заметить, что практически все исследования по теории сетей и тканей проводились без привлечения теории двойственности; исключение составляют работы А. И. Чахтаури - по двумерным сетям и некоторые работы А. В. Столярова по многомерным сетям (тканям).

Объектом исследования настоящей работы являются плоские многомерные сети Е, сети на различных многомерных поверхностях, вложенных в проективное Рп или проективно-метрическое Кп пространства, ткани Г на распределении гиперплоскостных элементов 5М, а также линейные связности (аффинные, проективные), индуцируемые различными оснащениями изучаемых подмногообразий в пространствах с проективной структурой (в проективном Рп или проективно-метрическом Кп ).

2. Цели и задачи работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение двойственной теории сетей £, а именно:

1) получение новых результатов по исследованию внутренней геометрии различных многообразий, несущих сети (ткани) того или иного класса;

2) разработка основ теории двойственных аффинных связностей, определяемых нормализацией рассматриваемых подмногообразий;

3) приложение аффинных связностей, индуцируемых нормализацией различных подмногообразий проективного Рп и проективно-метрического Кп пространств, к изучению двойственной геометрии сетей и тканей на них.

3. Методы исследования. Теория многомерных пространств, поверхностей и сетей (тканей) на них развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [71], методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [115] и методом нормализации А. П. Нордена [80].

Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [71], [72].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Все рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции пр�