Конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. УЛЬЯНОВА - ЛЕНИНА

На правах рукописи

Кузьмина Ирина Александровна

КОНФОРМНЫЕ МОДЕЛИ РАССЛОЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫХ АЛГЕБРАМИ 4-ГО ПОРЯДКА

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2005

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова - Ленина

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ШАПУКОВ Борис Никитович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук.

профессор СТОЛЯРОВ Алексей Васильевич

(Чувашский государственный педагогический университет).

кандидат физико-математических наук,

доцент ТРИШИНА (БЕЛОВА) Наталия Евгеньевна

(Российский химико-технологический университет)

Ведущая организация:

Московский государственный педагогический университет

Защита состоится 30 ноября 2005 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета по математике Д. 212.081.10 Казанского государственного университета по адресу: 420008, Казань,/ул. Кремлёвская. 18, корпус 2) ауд. УМ

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета / Казань, ул. Кремлёвская. 18 /.

Автореферат разослан " " октября 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

/М.А.Малахальцев/

ММЮ/

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Геометрия пространств над алгебрами является для казанской геометрической школы достаточно традиционной. Еще А.П.Котельников в начале XX века, развивая теорию винтов трехмерных неевклидовых пространств, использовал геометрию пространств над алгебрами комплексных и двойных чисел. Затем П.А.Широков, отталкиваясь от его идей, в 1925 г. ввел класс римановых А-пространств. впоследствии получивший название ке-леровых. Он же вслед за А.П. Котельниковым рассматривал вопрос о применении винтового исчисления к задачам дифференциальной геометрии.

В послевоенные годы исследования по применению алгебр в геометрии в Казанском университете были продолжены. А.П.Норден, основатель метода нормализации поверхностей проективного пространства, и его ученики изучали геометрию биаксиальных и биаф-финных пространств, разнообразные их применения к вопросам линейчатой геометрии пространств постоянной кривизны. Так, он показал, что в линейчатой геометрии неевклидовых пространств любой размерности возникают келеровы структуры, определяемые алгебрами комплексных и двойных чисел. А.П.Широков, исследуя би-планарные пространства — многомерное обобщение биаксиальных пространств, пришел затем к теории пространств со структурами, определяемыми алгебрами весьма общего вида •■ ассоциативными и унитальными. В.В.Вишневский изучал пространства с интегрируемой аффинорной структурой и их отображение на многообразия над некоторой алгеброй. Таким образом, в работах А.П.Нордена, а затем А.П.Широкова, В.В.Вишневского и их учеников теория пространств над алгебрами сформировалась в новое направление, которое стало основным в исследованиях на кафедре геометрии Казанского университета.

Структуры, определяемые алгебрами, естественным образом возникают на расслоенных многообразиях различного типа. Такого рода структуры представляет особый интерес в связи с тем, что они находят многочисленные применения в математике, механике и теоре-

тической физике. Так, А.П.Широков показал, что касательные расслоения произвольного порядка несут на себе естественную структуру, определяемую алгебрами плюральных чисел. В.В.Вишневский построил теорию полукасательных расслоений и показал, что они несут на себе нильпотентную аффинорную структуру самого общего вида. Развивая эти идеи, В.В.Шурыгин исследовал расслоения струй, геометрию многообразий над локальными алгебрами А.Вейля. М.А.Малахальцев связал геометрию пространств над алгебрами с теорией слоений. В связи с этим следует также отметить работы Б.Н.Шапукова по теории векторных и, в частности, тензорных расслоений. Н.Е.Белова в своих работах получила класс главных расслоений, определяемых алгебрами 3-го и 4-го порядка при их факторизации по подалгебрам. Тем самым были найдены многочисленные аналоги известного расслоения Хопфа.

Из всего сказанного следует, что вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению различных расслоений со структурами алгебраического типа являются актуальными и представляют научный интерес. В частности, интерес представляет построение различных моделей расслоений. Объектом исследования настоящей работы являются конформные и псевдоконформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка, допускающими скалярное произведение. Это алгебры кватернионов и антикватернионов.

Цель работы. С помощью стереографического отображения гиперсфер 4-мерного евклидова и псевдоевклидова пространств построить и исследовать соответственно конформные и псевдоконформные модели расслоений этих пространств, полученных с помощью факторизации алгебр кватернионов и антикватернионов по подалгебрам второго порядка.

Научная новизна. В диссертации построены и изучены 3-мерные (псевдо)конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка — кватернионов и антикватернионов. Рассмотрена проективизация этих моделей. Тем самым получен и исследован ряд новых расслоений 3-мерных неевклидовых пространств, являющихся аналогами известного расслоения Хопфа.

Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного исчисления, групп Ли, теория расслоенных пространств, методы построения стереографической проекции.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Бе результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях расслоений неевклидовых пространств, а также в учебном процессе.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре Казанского государственного университета (научный руководитель проф. Шапуков Б.Н.). Они были доложены также на третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2003" (г. Казань, 2003 г.) и на итоговой конференции в филиале КГУ (г. Зеленодольск, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ. Одна из них написана совместно с Б.Н.Шапуковым (автору принадлежат первые два параграфа).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Формулы обозначаются двумя числами, где первое означает номер главы, а второе — номер формулы. Параграфы обозначаются двумя числами, а пункты — тремя, где первое означает номер главы, второе — номер параграфа, а третье — номер пункта. Объем работы — 128 страниц машинописного текста, библиография содержит 64 наименования.

Краткое содержание диссертации.

Пусть А — ассоциативная унитальная алгебра размерности п, А — множество ее обратимых элементов. Это группа Ли по умножению. Пусть В — унитальная подалгебра алгебры А, В — множество ее обратимых элементов. В — подгруппа Ли группы А.

Рассмотрим фактормножество А/В правых смежных классов. Тогда расслоение (А, тг, А/В), где 7г — каноническая проекция, есть главное расслоение со структурной группой В.

Исходя из такого подхода, в первой главе рассмотрена конформная модель расслоения, определяемого алгеброй кватернионов. Это ассоциативная унитальная 4 алгебра с базисом 1, г, 3, к и с таблицей умножения

1 г 3 к

1 1 г 3 к

г г -1 к -з

3 3 -к -1 г

к к 3 —г -1

В работах Беловой Н.Е. доказано, что все двумерные подпространства с единицей алгебры кватернионов являются 2-подалгебрами, изоморфными алгебре С комплексных чисел. Рассмотрена 2-под-алгебра Ж(г) комплексных чисел с базисом {1,г}. Имеет место следующая

Теорема. Расслоение (А, тг, М), определяемое формулой тг(х) = (г^ : является главным локально тривиальным расслоением над 2-мерной сферой Б2 с типовым слоем, диффеоморфным 2-плоскости без точки и структурной группой К (г).

В §1.1 найдены уравнения 2-плоскостей Ь^ — слоев этого расслоения. Затем рассматривается ограничение расслоения Е = (А, тг, М) на сферу единичного радиуса 53 с А, т. е. расслоение (53, тг, М). Справедлива

Теорема. Расслоение (в3,тг, М) есть главное расслоение группы в3 на правые смежные классы по подгруппе Ли 5 кватернионов единичного модуля х = (21,0) : = 1 Оно совпадает с расслоением Хопфа.

В §1.2 получено параметрическое уравнение сферы 53, отнесенной к адаптированным координатам (и, V, <р). Найдена риманова метрика д сферы в3 в этих координатах. Построена связность Эресмана в расслоении Хопфа — горизонтальное распределение Н1, ортогональное слоям. Получены коэффициенты связности, определяемой этим распределением и вычислена единственная компонента тензора кривизны в адаптированном репере. Доказана проектируемость метрики д на базу расслоения в смысле Яно-Егиазаряна.

В §1.3 построена конформная модель расслоения Хопфа с помощью стереографического отображения / : 53 —> С3. Исследовано строение семейства слоев в конформном пространстве С3. Получено уравнение инвариантного горизонтального распределения ортогонального к фундаментальному векторному полю V и значение формы кривизны на этом распределении.

В §1.4 рассмотрена группа вращений (первого рода) в Е4, преобразования которой могут быть представлены в виде х = ахЬ, где а, Ь — кватернионы единичного модуля. Они образуют 6-параметри-ческую группу Ли, которая является прямым произведением двух 3-параметрических групп паратактических поворотов — левых и правых. Доказана

Теорема. Левые сдвиги х = ах, |а| = 1 образуют 3-параметпричес-кую группу вращений 50(3). Она содержит 1-параметрическую группу 5 С 50(3) левых сдвигов, сохраняющую слои и совпадающую со структурной группой этого расслоения.

Доказано, что подгруппа правых сдвигов 50(3), сохраняя расслоение, индуцирует на его базе группу преобразований 50* (3) = 7г50(3). С помощью результатов К.М.Егиазаряна доказана Теорема. Группа 50* (3) является 3-параметрической группой всех движений (первого рода) спроектированной метрики д* на базе расслоения Хопфа.

Найдены преобразования этой группы.

С другой стороны, правые сдвиги х = хЬ сферы 53 порождают преобразования £ = в конформном пространстве С3. Найдены преобразования -Рь F2, Fз, порожденные базисными единицами алгебры кватернионов.

Далее во второй главе подробно рассмотрены псевдоконформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов. Это ассоциативная унитальная 4-алгебра с базисом 1, /, е, г и с таблицей умножения

1 / е г

1 1 / е г

/ / 1 i е

е е 1 -/

г г -е / -1

Беловой Н. Е. доказано, что любое двумерное подпространство алгебры антикватернионов, содержащее единицу, является подалгеброй, изоморфной 2-алгебре комплексных, двойных или дуальных чисел.

В §2.1 рассмотрен первый случай — 2-подалгебра Ж(г) комплексных чисел с базисом {1, г}. Имеет место следующая Теорема. Расслоение Е = (А, тг, М), определяемое формулой 7т(х) = (¿1 : г2)> является главным локально тривиальным расслоением над конформной плоскостью С2 без окружности с типовым слоем, диффеоморфным 2-плоскости без точки и структурной группой Ж (г).

Получив уравнения слоев — 2-параметрического семейства 2-плос-костей 1/2 — в этом же параграфе мы рассматриваем ограничение расслоения на сферу единичного радиуса 5|(1) С А, т. е. расслоение (52(1),тг, М). Справедлива

Теорема. Расслоение (51(1), тг, М) есть главное расслоение группы 5|(1) ко правые смежные классы по подгруппе Ли 5 антикватернионов единичного модуля х = (21,0) : 2121 = 1.

В п.2.1.2 сфера 51(1) отнесена к адаптированным координатам (и, V, <р) и найдена ее естественная риманова метрика в этих координатах. Построена связность Н1 расслоения (5|(1), 7г, М) и найдены коэффициенты этой связности, вычислена единственная компонента тензора кривизны в адаптированном репере. Доказана проектируе-мость метрики д на базу расслоения, В п.2.1.3 построена псевдоконформная модель этого расслоения с помощью стереографического отображения / : 5|(1) на псевдоконформное пространство.

Изучено строение семейства слоев в псевдоконформном пространстве. Получено уравнение инвариантного горизонтального распределения ортогонального к фундаментальному векторному полю V и значение формы кривизны на этом распределении.

В п.2.1.4 рассматривается ограничение расслоения Е = (А, 7г, М) на сферу мнимого радиуса 5|(-1) С Á — расслоение (5|(-1), к, М). Построены адаптированные координаты сферы 5|(-1) и найдены компоненты ее римановой метрики в этих координатах. Построена связность в расслоении (5f(—1), 7г, М). Рассмотрено горизонтальное распределение Я1, ортогональное слоям. Найдены коэффициенты связности, определяемой этим распределением, и вычислена единственная компонента тензора кривизны в адаптированном репере. Доказана проектируемость метрики на базу расслоения. В п.2.1.5 построена псевдоконформная модель этого расслоения с помощью стереографического отображения / : Sf(-l) —> Cf. Исследовано семейство слоев в псевдоконформном пространстве С$. Получено уравнение инвариантного горизонтального распределения ортогонального к фундаментальному векторному полю V и значение формы кривизны на этом распределении.

В п.2.1.6 рассмотрена группа вращений (первого рода) в Е|, преобразования которой могут быть представлены в виде х = axb, где a, b — антикватернионы единичного модуля. Они образуют 6-параметрическую группу Ли, которая является прямым произведением двух 3-параметрических групп паратактических поворотов — левых и правых. Доказана

Теорема. Левые сдвиги х = ах, |а| = 1 образуют 3-параметричес-кую группу вращений 50(1,2). Она содержит 1-параметрическую группу 5 С 50(1,2) левых сдвигов, сохраняющую слои и совпадающую со структурной группой этого расслоения.

Доказано, что подгруппа правых сдвигов 50(1,2), сохраняя расслоение, индуцирует на его базе группу преобразований 50*(1,2) = 7г50(1,2). Доказана

Теорема. Группа 50*(1,2) является 3-параметрической группой всех движений (первого рода) спроектированной метрики д* на базе расслоения (5|(1), тг, М).

Найдены преобразования этой группы.

С другой стороны, правые сдвиги х = хЬ сферы 5| (1) порождают преобразования £ = в псевдоконформном пространстве С\, Найдены преобразования Р\, ^з, порожденные базисными единицами алгебры антикватернионов.

В §2.2 рассмотрен второй случай — 2-подалгебра М(е) двойных чисел с базисом {1,е}. Имеет место следующая Теорема. Расслоение (А, тг, М), определяемое формулой 7г(х) = (¿1 : гг), является главным локально тривиальным расслоением над двумерной сферой единичного радиуса псевдоевклидова пространства Е® с типовым слоем, диффеоморфным 2-плоскости без пары пересекающихся прямых и структурной группой Й(е).

В п.2.2.2 рассматривается ограничение расслоения Е = (А, эг, М) на сферу единичного радиуса 5| (1) С А — расслоение (51(1), 7Г, М). Расслоение (52(1), тг, М) несвязно и представляет собой объединение двух расслоений: (51(1),7Г, М\) и (5|(1), я-, Мг). Справедлива Теорема. Расслоение (51(1), 7г, М) есть главное расслоение группы 5|(1) на правые смежные классы по подгруппе Ли 5|(1) антикватернионов единичного модуля а = (аьО) '■ а1й1 = 1-

Получены параметрические уравнения сферы 5|(1) над М\ и Мг, отнесенной к адаптированным координатам (и,и,у>). Найдена псев-дориманова метрика д сферы 5| (1) над М\ и Мг в этих координатах. Построена связность в расслоении (51(1), 7г, М). Вычислены коэффициенты связности и компоненты тензора кривизны расслоений (5|(1), 7Г, Л/х) и (5|(1), 7г, М2) в адаптированном репере. Доказана проектируемость метрики на базу расслоения. В п.2.2.3 построена псевдоконформная модель расслоения (5|(1),7Г, М) с помощью стереографической проекции. Изучено семейство слоев в пространстве С®. Получено уравнение инвариантного горизонтального распределения Яр, ортогонального к фундаментальному векторному полю V и значение формы кривизны на этом распределении.

В п.2.2.4 рассматривается ограничение расслоения Е = (А, тг, М) на сферу мнимого радиуса: (5|(-1), 7г, М). Построены адаптированные координаты (и, V, ф) и найдена псевдориманова метрика сферы в этих координатах. Построена связность в расслоении (5|(—1), тг, М),

найдены ее коэффициенты и вычислена компонента тензора кривизны расслоения (Sf(-l),7r, М) в адаптированном репере. Доказал но, что метрика сферы проектируема на базу расслоения. В п.2.2.5 построена псевдоконформная модель этого расслоения с помощью стереографического отображения / : S|(—1) -V С\. Найдены уравнения слоев и исследовано строение семейства слоев в пространстве С\. Получено уравнение инвариантного горизонтального распределения ортогонального к фундаментальному векторному полю V и значение формы кривизны на этом распределении.

В п.2.2.6 доказана Теорема. Левые сдвиги х =■ ах, |а| = 1 образуют 3-параметричес-кую группу вращений 50(1,2). Она содержит 1-параметрическую группу 5*(1) С 50(1,2) левых сдвигов, сохраняющую слои и совпадающую со структурной группой этого расслоения. Найдены преобразования группы 50*(1,2).

В §2.3 рассмотрен третий случай — 2-подалгебра Ще) дуальных чисел с базисом {1, б}. Имеет место

Теорема. Расслоение (А, тг, М), определяемое формулой тг(х) = (z\ : Z2), является главным локально тривиальным расслоением над цилиндром без окружности, то есть подмножеством двумерной сферы полуевклидова пространства с типовым слоем, диффеоморф-ным 2-плоскости без прямой и структурной группой R(e).

В п.2.3.1 рассматривается ограничение расслоения Е = (А, тг, М) на сферу единичного радиуса S|(l) С А - расслоение (Sf(l), тг, М). Его слои — сечения этой сферы 2-параметрическим семейством псевдоевклидовых 2-плоскостей Li суть пары параллельных прямых. Справедлива

Теорема. Расслоение (5|(1), тг. М) есть главное расслоение группы 5|(1) на правые смежные классы по подгруппе Ли I антикватернионов единичного модуля х = (zi,0) : Z\Z\ = 1. Эта подгруппа состоит из двух компонент и при вещественной реализации изображается парой параллельных прямых.

В п.2.3.2 получено параметрическое уравнение сферы 5|(1), отнесенной к адаптированным координатам (u,v,t). Найдены псевдо-риманова метрика сферы 5|(1) и коэффициенты соответствующей

римановой связности. В п.2.3.3 построена псевдоконформная модель этого расслоения с помощью стереографического отображения / : 5г(1) С?- Найдены уравнения слоев расслоения в пространстве С1 — пары прямых, проходящих через бесконечно удаленную точку пространства (пары окружностей).

В п.2.3.4 мы рассматриваем аналогичные вопросы при ограничении расслоения 7г на сферу мнимого радиуса 5|(-1) С А. В п.2.3.5 построена псевдоконформная модель этого расслоения с помощью *

стереографического отображения / : 5|(-1) —С?. Показано, что слои этого расслоения — пары прямых, проходящих через бесконечно удаленную точку псевдоконформного пространства.

В п.2.3.б, аналогично предыдущим случаям, исследованы движения сфер, порождаемые левыми и правыми сдвигами, найдены преобразования, порождаемые на базе правыми сдвигами, которые являются движениями спроектированной метрики.

Третья глава состоит из трех параграфов. Первый из них имеет вводный характер. В нем кратко излагается проективный подход А.П.Широкова к построению конформных моделей неевклидовых пространств, использующий метод нормализации А.П.Нордена. В двух других параграфах с этой точки зрения мы рассматриваем обобщенные конформные модели тех расслоений, которые изучались в двух первых главах. Для этого мы задаем в проективном 4-иространстве квадрики соответствующего типа, строим их нормализации и конформное отображение этих квадрик из выбранного полюса на гиперплоскость, полярную одной из вершин проективного репера. При сечении этих квадрик семействами 2-плоскостей мы получаем проективные модели тех расслоений (псевдо) конформных пространств, которые рассматривались в первых двух главах диссертации.

V

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. С помощью стереографического отображения 3-сферы на 3-мерное конформное пространство построена конформная модель расслоения Хопфа, определяемого алгеброй кватернионов.

2. Построены и исследованы три псевдоконформные модели расслоений, порождаемых алгеброй антикватернионов при ее факторизации по подалгебрам комплексных, двойных и дуальных чисел.

3. Во всех рассмотренных случаях исследовано строение семейства слоев, построена связность Эресмана и вычислены значения формы кривизны.

4. Найдены римановы метрики рассмотренных расслоений, группы движений и доказана их проектируемость на базу расслоения.

5. Построены проективизации конформных моделей расслоений, определяемых алгебрами кватернионов и антикватернионов.

Публикации автора по теме исследования.

[1] Кузьмина И.А. Связность Эресмана в расслоении Хопфа и тензор кривизны этой связности/ Меж дун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и математич. физике "XIII Петровские чтения 2001м. Тезисы докл. - Казань. - 2001. - С. 92-93.

[2] Кузьмина И.А., Шапуков Б.Н. Конформная и эллиптическая модели расслоения Хопфа// Труды геом. семинара. — Изд-во Казан, ун-та. - вып. 24. - 2003. - С. 81-98.

[3] Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов// Труды мат. центра им. Н.И. Лобачевского "Лобачевские чтения — 2003". — Казань, изд-во Казан, мат. об-ва. - 2003. - т. 21. - С. 142-144.

[4] Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов/ Казанск. ун-т. - Казань, 2004. -20 с. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.2004 № 161-В2004.

[5] Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов Я/ Междун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и математич. физики: "XVI Петровские чтения 2004". Тезисы докл. — Казань. — 2004. - С. 53-54.

[6] Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов II/ Казанск. ун-т. — Казань, 2004. - 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.2004 № 1052-В2004.

[7] Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов// Межвузовский сборник науч-

ных трудов. — Пенза: Изд. Пензенск. гос. педагог, ун-та. - 2005. (в печати).

[8] Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов ///// Уч. записки Казанск ун-та. Труды геом. семинара. — вып. 25. — 2005. (в печати).

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им.В.И.Ульянова-Ленина Тираж 100 экз. Заказ 10/94

420008, ул. Университетская, 17 тел.: 231-53-59, 292-65-60

°5-2263?

РНБ Русский фонд

2006-4 26221

0.1 Введение.

0.1.1 Общая характеристика работы.

0.1.2 Краткое содержание диссертации.

0.1.3 Классификация ассоциативных унитальных алгебр размерности 4.

1 Конформная модель расслоения Хопфа / ) •

1.1 Расслоение'группы обратимых элементов алгебры кватернионов

1.2 Метрика и связность в расслоении Хопфа.

1.3 Конформная модель расслоения Хопфа.

1.4 Вращения, сохраняющие расслоение Хопфа.

2 Псевдоконформные модели расслоений

2.1 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй комплексных чисел.

2.1.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов I.

2.1.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса (1).

2.1.3 Псевдоконформная модель расслоения (5|(1),тг,М)

2.1.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1).

2.1.5 Псевдоконформная модель расслоения (5|(-1),тг,М)

2.1.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй комплексных чисел. ф 2.2 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй двойных чисел.

2.2.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов II

2.2.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1).

2.2.3 Псевдоконформная модель расслоения (523(1),тг,М) 2.2.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1).

2.2.5 Псевдоконформная модель расслоения

• (5|(-1),тг,М)

2.2.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй двойных чисел.

2.3 Псевдоконформные модели расслоений, определяемых подалгеброй дуальных чисел.

•) 2.3.1 Расслоение группы обратимых элементов алгебры антикватернионов III.

2.3.2 Метрика и связность в расслоении сферы единичного радиуса 5|(1).

2.3.3 Псевдоконформная модель расслоения (S¡(l),ir,M)

2.3.4 Метрика и связность в расслоении сферы мнимого радиуса 5|(—1).

•i1 2.3.5 Псевдоконформная модель расслоения

5j(-l),7r,M)

2.3.6 Вращения, сохраняющие расслоения, определяемые подалгеброй дуальных чисел.

3 Проективизация конформных моделей расслоений

3.1 Проективизация конформных моделей неевклидовых пространств.

Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй кватернионов.

Проективизация конформных моделей расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов.

0.1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. Геометрия пространств над алгебрами является одной из традиционных тем казанской геометрической школы. В 1895-1899 г.г., изучая геометрию и механику 3-мерных евклидова и неевклидовых пространств [32], А.П.Котельников, развивая идеи Клиффорда, раскрыл роль алгебр дуальных, комплексных и двойных чисел в теории винтов и линейчатой геометрии [17]. Идеи А.П.Котельникова развивал Д.Н.Зейлигер [14], систематически изучавший линейчатую дифференциальную геометрию евклидова пространства с помощью метода перенесения. П.А.Широков в 1925 году, исследуя различные типы римановых пространств, ввел важный класс А-пространств, впоследствии получивший название келеро-вых [44], изучал геометрию симметрических пространств [45]. Он рассматривал также вопрос о применении винтового исчисления к дифференциальной геометрии, задавая с помощью дуальных векторов [47] различные связанные с поверхностью прямые [46].

Затем исследования по геометрии пространств над алгебрами в Казанском университете были продолжены А.П.Норденом ([19]-[23]). Он развивал теорию пространств над алгебрами во многих направлениях: биаффинные пространства (вещественные модели комплексных аффинных пространств), разнообразные применения пространств над алгебрами к вопросам линейчатой геометрии. В работах [19], [20] он начал детальное изучение геометрии биаксиального пространства эллиптического типа, введенное в 1922 г. Э.Штуди [54].

Различные вопросы геометрии многообразий со структурами, определяемыми различными алгебрами, изучались в работах учеников А.П.Нордена (Н.В.Талантова, И.В.Зуев, Р.С.Бархин, В.Д.Третьяков, А.П.Широков, В.В.Вишневский, А.С.Подковырин, В.В.Шурыгин и др.). Так, А.П.Широков [38] в своей кандидатской диссертации построил теорию бипланарных пространств — многомерных обобщений биаксиальных пространств. Позже он начал изучение гладких многообразий со структурами, определяемыми ассоциативными и унитальными алгебрами общего вида в своей докторской диссертации (1966 г.). В последующие годы в работах А.П.Широкова и его учеников развивались различные аспекты теории пространств над алгебрами, ее многочисленных приложений к линейчатой геометрии, геометрии неевклидовых пространств [10], [43], [41] и др.

При этом обнаружилось, что различные структуры алгебраического типа естественным образом возникают на расслоенных и слоеных многообразиях. Так, в работах [42], [40] А.П.Широков показал, что на касательных расслоениях к-то порядка существует интегрируемая структура, определяемая алгеброй плюральных чисел. В.В.Вишневский [9], исследуя структуры, определяемые аффинор-ным полем на многообразии, показал, что такого типа структуры возникают на полукасательных расслоениях. Алгебраические структуры более общего вида были обнаружены В.В.Шурыгиным при изучении расслоений струй и затем многообразий над локальными алгебрами А.Вейля [49]—[50].

Наконец, отметим, что пространства над алгебрами изучались также Б.А.Розенфельдом и его учениками, а также Г.И.Кручковичем. В Болгарии ряд работ в этом направлении был выполнен учениками А.П.Нордена и В.В.Вишневского (Г.Г.Марков [22], Е.В.Павлов [24], [25] и др.). Это далеко не полный перечень работ в этом направлении. За последние десятилетия проведено большое количество исследований по различным классам почти комплексных, почти эрмитовых, почти контактных и другим структурам. Отметим, например, работы В.Ф.Кириченко, Н.Д.Полякова, A.Gray, Sh.Sasaki, K.Yano, Sh.Ishihara, L.Vanhecke.

Цель работы. С помощью стереографического отображения гиперсфер 4-мерного евклидова и псевдоевклидова пространств построить и исследовать соответственно конформные и псевдоконформные модели расслоений этих пространств, полученных с помощью факторизации алгебр кватернионов и антикватернионов по подалгебрам второго порядка.

Научная новизна. В диссертации построены и изучены 3-мерные (псевдо)конформные модели расслоений, определяемых алгебрами 4-го порядка — кватернионов и антикватернионов. Рассмотрена проективизация этих моделей. Тем самым получен и исследован ряд новых расслоений 3-мерных неевклидовых пространств, являющихся аналогами известного расслоения Хопфа.

Методика исследования. В работе используется классический аппарат тензорного исчисления, групп Ли, теория расслоенных пространств, методы построения стереографической проекции.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретическое значение, а ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях в этом направлении, в учебном процессе.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре Казанского государственного университета (научный руководитель проф. Шапуков Б.Н.). Они были также доложены на третьей всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2003" (г. Казань, 2003 г.) и на итоговой научной конференции в филиале КГУ (г. Зеленодольск, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано восемь работ [57]—[64]. Одна из них [58] написана совместно с Б.Н.Шапуковым (автору принадлежат первые два параграфа).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и пункты, и списка литературы. Формулы обозначаются двумя числами, где первое означает номер главы, а второе — номер формулы. Параграфы обозначаются двумя числами, а пункты — тремя, где первое означает номер главы, второе — номер параграфа, а третье — номер пункта. Объем работы — 128 страниц машинописного текста, библиография содержит 64 наименования.

1. Алексеевский Д.В., Виноградов A.M., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии)/ Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — т. 28. — М.: — 1988. — 299 с.

2. Белова Н.Е. Расслоения алгебр размерности 4/ Казанск. ун-т. Казань, 1999. - 44 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.10.99 № 3037-В99.

3. Белова Н.Е. Расслоения биаксиальных пространств, порожденные алгеброй антикватернионов// Сб. "Движения в обобщ. пространствах". — Пенза: Изд-во Пенз. гос. педаг. унта. 2000. - С. 17-30.

4. Белова Н.Е. Расслоения, определяемые ассоциативными алгебрами/ / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. — Казань, 2001.

5. Берже М. Геометрия — М.: Мир. — 1984. т. 2. — 386 с.

6. Бушманова Г.В., Норден А.П. Элементы конформной геометрии — Казань, изд-во Казанск. ун-та. — 1972. — 177 с.

7. Вишневский В.В. О комплексных структурах одного класса пространств Келера-Рашевского// ДАН СССР. — 1963. — т. 149. №2. - С. 233-236.

8. Вишневский В.В. Полиномиальные алгебры и аффинорные структуры// Труды семинара каф. геом. — Изд-во Казанск. ун-та. 1971. - вып. 6. - С. 22-35.

9. Вишневский B.B. О геометрической модели полукасательных структур// Изв. вузов. Мат. — 1983. — № 3. — С. 73-75.

10. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами — Казань, изд. КГУ. — 1985. — 262 с.

11. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения — М.: Наука. 1979. - 760 с.

12. Егиазарян K.M. О проектировании инвариантных аффинных связностей на главных расслоениях//Изв. вузов. Мат. — 1987. № 7. - С. 97-101.

13. Егиазарян K.M. Спроектированные инвариантные аффинные связности//Труды геометр, семин. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1980. вып. 12. - С. 27-37.

14. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия — JT.-M.: Гостехиздат. — 1934.

15. Кириченко В.Ф. Дифференциальная геометрия К-пространств// Итоги науки и техн. Проблемы геометрии, Т. 8. М.: 1977. - 139-161.

16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии., т. 1. М.: Наука. — 1981. — 344 с.

17. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике — Казань. — 1895.

18. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр — М.: Наука. — 1969. — 668 с.

19. Норден А.П. Внутренняя геометрия поверхностей пространства биаксиальной группы// ДАН СССР. — 1947. — т. 55. — №3. С. 199-202.

20. Норден А.П. Поверхности нулевой кривизны биаксиального пространства// ДАН СССР. 1947. - т. 58. - №8. - С. 15971600.

21. Норден А.П. Теория поверхностей — М.: Гостехиздат. — 1956.- 259 с.

22. Норден А.П., Марков Г.Г. О голоморфно проективных преобразованиях/ / Изв. вузов. Мат. — 1975. — №6. — С. 82-87.

23. Норден А.П. Пространства аффинной связности— М.: Наука.- 1976. 432 с.

24. Павлов Е.В. Вещественная реализация конформного соответствия римановых пространств над клиффордовой алгеброй// Изв. вузов. Мат. 1978. - №7. - С. 64-67.

25. Павлов Е.В. Об одной характеристике симметрического конформно-евклидова многообразия// Труды геом. семинара. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1982. — вып. 14. — С. 70-76.

26. Подковырин A.C. Теория аналитических поверхностей биаф-финного пространства. I// Труды геом. семинара. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1976. — вып. 9. — С. 77-87.

27. Подковырин A.C. Теория аналитических поверхностей биаф-финного пространства. II// Труды геом. семинара. — Изд-во Казанск. ун-та. — 1978. — вып. 10. — С. 65-77.

28. Понтрягин JI.C. Непрерывные группы. (Изд. 3-е) — М.: Наука.- 1973. 519 с.

29. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия — М.: Наука. 1988. - 496 с.

30. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия — М.: Изд-во "Факториал— 1998. — 495 с.

31. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра — М.: Наука. — 1986. — 400 с.

32. Study E,, Cartan E. Nombers complexes// Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. — 1908. — t. 1. — Vol. 1. s. 329-468.

33. Yano K., Ishihara Sh. Fibres spaces with projetable Riemannian metric// J. Diff. Geom. 1967. - 1, № 1. - 71-88.

34. Кузьмина И.А. Связность Эресмана в расслоении Хопфа и тензор кривизны этой связности/ Междун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и математич. физике "ХШ Петровские чтения 2001". Тезисы докл. — Казань. — 2001. — С. 92-93.

35. Кузьмина И.А., Шапуков Б.Н. Конформная и эллиптическая модели расслоения Хопфа// Труды геом. семинара. — Изд-во Казан, ун-та. вып. 24. - 2003. - С. 81-98.

36. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых' алгеброй антикватернионов// Труды мат. центра им. Н. И. Лобачевского "Лобачевские чтения — 2003". — Казань, изд-во Казан. мат. об-ва. 2003. - т. 21. - С. 142-144.

37. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов/ Казанск. ун-т. — Казань, 2004. — 20 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.2004 № 161-В2004.

38. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов II/ Междун. летняя школа-семинар по совр. пробл. теоретич. и математич. физике "XVI Петровские чтения 2004". Тезисы докл. — Казань. — 2004. — С. 53-54.

39. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов II/ Казанск. ун-т. — Казань, 2004. 23 с. - Деп. в ВИНИТИ 22.06.2004 № 1052-В2004.

40. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов// Межвузовский сборник научныхтрудов. — Пенза: Изд. Пензенск. гос. педагогии, ун-та. — 2005. (в печати).

41. Кузьмина И.А. Конформные модели расслоений, определяемых алгеброй антикватернионов III// Уч. записки Казанск. ун-та. Труды геом. семинара. — Изд-во Казан, ун-та. — вып. 25. — 2005. (в печати).