Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей параболического типа пространства P5 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ПЫЖЬЯНОВА Альбина Николаевна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ДВУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СЕМЕЙСТВ ДВУМЕРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ПРОСТРАНСТВА Р5

01.01.04-геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань-2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии математического факультета Нижегородского государственного педагогического университета

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент Макеев Геннадий Никитич

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор Столяров Алексей Васильевич

Ведущая организация - Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Защита состоится 2 декабря 2004 года в 11 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18,ауд. 217, корпус 2, КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского КГУ по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлёвская, 18.

Автореферат разослан октября 2004 г.

Учёный секретарь

кандидат физико-математических наук, доцент Подковырин Алексей Семёнович

диссертационного совета

ОБШДЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из возможных направлений в обобщении классической теории конгруэнции прямых проективного пространства Р3 является изучение геометрии двупараметрических семейств двумерных плоскостей (12)2 в пространстве Р5. Семейство (12)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость ¿2 имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один трёхкратный фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических, а также слабопараболических семейств исследованы СЕ. Тычининой [1], [2] и В.А Глуздовым [3]. Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств изучила Т.Б. Жогова [4], а слабопараболических семейств - В.А Глуздов [5].

Таким образом, дифференциальная геометрия параболического семейства плоскостей, которое будем обозначать , оставалась неизученной.

Цель работы. Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве выявление взаимосвязи между параболическим семейством плоскостей и псевдофокальным семейством прямых [6] в Р5\ изучение проективного изгибания семейств (4)2 и выделение некоторых их частных классов.

Общие методы исследования. Исследование в работе ведётся методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э. Картана [7]. Все построения носят локальный характер, а все встречающиеся функции принадлежат необходимому для исследования классу дифференцируе-мости.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Выделим некоторые из них.

1. На стационарной прямой плоскости Х'2 параболического семейства найдены три инвариантные точки, названные фокальными, которые позволили выявить взаимосвязь между гиперболическими, слабопараболическими, параболическими типами плоскостей в Р5.

2. Построена конфигурация Б, состоящая из трёх параболических и трёх гиперболических семейств плоскостей специального типа с общим семейством стационарных прямых. На базе конфигурации Б построена полная конфигурация Б, содержащая семейства плоскостей всех трёх типов.

3. Доказано, что геометрии параболического семейства (4)2 и псевдофокального семейства прямых в Р1 совпадают.

4. Введено понятие фокальной три-ткани конфигурации Б, найдены её форма связности и кривизна, а также произвол существования шестиугольной фокальной три-ткани этой конфигурации.

5. Решена задача проективного изгибания конфигурации Б и семейств, составляющих её.

6. Выделен подкласс семейств Д0\ представляющий особое решение задачи изгибания второго порядка семейства (Ь\)2 конфигурации Б. Доказано, что этот подкласс совпадает с подклассом семейств

допускающих проективное изгибание второго порядка фокальных поверхностей. Отметим, что семейства Л05 являются аналогом конгруэнции

Теоретическое и прикладное значение. Диссертационная работа носит теоретический характер. В ней построена достаточно полная проектив-но-дифференциальная теория семейств плоскостей (4)3 параболического типа пространства Р1. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств (1'г)2 по числу фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль

фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрии пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут использоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых учёных Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII международных конференциях в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Дону (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Н. Новгороде (2002); на VIII международной конференции серии «Нелинейный мир» в Астрахани (2003); на научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском государственном университете им. М. Ломоносова (рук. проф. A.M. Васильев), Московском железнодорожном институте (рук. проф. P.M. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. МА Акивис), в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского (рук. проф. ВА Иго-шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, список которых приведён в конце автореферата. Соавторов нет.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста, включающих 21 параграф, заключения и списка литературы. Она изложена на 136 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 41 наименование работ отечественных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении излагается предыстория вопроса, обосновывается актуальность темы, отмечается научная новизна полученных результатов, их теоретическая и практическая значимость, излагаются основные результаты.

Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических семейств плоскостей в Р,.

В §1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов первого порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством (¿'2)2, изучаются фокальные свойства этого семейства, доказывается теорема существования.

В §1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе которая даёт возможность, используя принцип двойственности проективного пространства, рассматривать инвариантные образы, связанные с исследуемым семейством, а также выяснить геометрический смысл репера первого порядка. Семейство как точечное многообразие представляет собой

гиперповерхность с плоскостной образующей Доказано, что в плоскости 4 существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности постоянна. Эта прямая проходит через фокус плоскости и называется стационарной.

В §1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства двляется основным, а четвёртый - полным.

В §1.4 на стационарной прямой найдены три инвариантные точки, которые имеют первостепенное значение при исследовании свойств семейства . Для их введения дадим следующие определения.

Точка М стационарной прямой называется псевдофокусом той линейчатой поверхности, описываемой стационарной прямой, у которой касательное пространство вдоль образующей совпадает с касательной 3-

б

плоскостью к 3-поверхности (М). Заметим, что каждая точка стационарной прямой является псевдофокусом некоторой линейчатой поверхности.

Направление на 3-поверхности (М), описываемой точкой М стационарной прямой, вдоль которого второй дифференциал точки М лежит в касательном пространстве стационарной прямой, называется асимптотическим направлением. Доказано, что в каждой точке М 3-поверхности (М) существует два асимптотических направления.

Точка М стационарной прямой называется фокальной, если она является псевдофокусом в одном из своих асимптотических направлений.

Как показало исследование, на стационарной прямой существуют только три фокальные точки. Каждая из фокальных точек служит фокусом плоскости некоторого параболического семейства, а каждые две фокальные точки являются фокусами плоскости некоторого гиперболического семейства.

Стационарная прямая, по терминологии P.M. Гейдельмана, описывает псевдоконгруэнцию, которая не является общей. Таким образом, с псевдо-конгруэницей стационарных прямых инвариантно связаны три параболические семейства плоскостей (в их число входит исследуемое семейство (4)2) и три гиперболических семейства. Конфигурация, состоящая из псевдоконгруэнции стационарных прямых и указанных выше шести семейств плоскостей, названа конфигурацией F.

Поскольку все плоскости семейств конфигурации F связаны с фокальными точками стационарной прямой, описывающей псевдофокальное семейство прямых, то естественно поставить задачу о построении конфигурации F на базе произвольного псевдофокального семейства прямых. Эта задача решена в §2.1.

Во второй главе изучаются свойства конфигурации F. Забегая вперёд, отметим, что ближайшей задачей является построение репера, названного оптимальным (§2.3, п.1), который естественным образом связан с

конфигурацией Б. Для оптимального репера {Ар}, р = 1,6, плоскость (Л,Л2Л3) описывает одно из гиперболических семейств конфигурации Б с фокусами в точках прямая -текущая прямая псевдоконгруэнции,а плоскости описывают параболические семейства с фокусами А, и А3 соответственно. Заметим, что исходя из семейства (12)2 или псевдофокального семейства прямых, при помощи полных продолжений и канонизации репера построить оптимальный репер нельзя. В §2.1 исходя из системы уравнений Пфаффа, определяющей псевдофокальное семейство прямых, при помощи ряда частичных продолжений мы приходим к оптимальному реперу. Таким образом, псевдофокальное семейство прямых и конфигурация Б определяются одной и той же системой дифференциальных уравнений. Характеризуя эту ситуацию, будем говорить, что псевдофокальное семейство прямых находится в отношении вместимости с конфигурацией Б, а точнее, вмещено в неё.

В связи с этим в начале второй главы мы вводим понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие б, находится в отношении вместимости с многообразием если существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом в, сС2)тс< будем говорить, что б, вмещено в в,.

Рассматривая общее гиперболическое семейство плоскостей, отнесённое к реперу первого порядка, и накладывая определённые условия на его относительные инварианты, мы выделили специальный класс гиперболических семейств, обозначаемых через (£2)2 (§2.2, п.1). Оказалось, что оптимальный репер можно построить при помощи полного продолжения системы уравнений Пфаффа для семейства (§2.2, п.2), а также частичных продолжений системы уравнений Пфаффа семейства (£2)2 (§2.3, п.2, п.З).

Таким образом, система дифференциальных уравнений оптимального репера является общей для конфигурации Б, параболического семейства (¿2)2, специального гиперболического семейства (¿2)2 и псевдоконгруэнции стационарных прямых. Другими словами, в конфигурацию Б вмещено и семейство и семейство и псевдоконгруэнция стационарных

прямых (§2.3, п.З, теорема 2.8). Отсюда следует, что все названные многообразия имеют одну и ту же геометрию. В частности, совпадают геометрии параболического семейства и псевдофокального семейства прямых, несмотря на то, что у этих семейств образующие элементы имеют разные размерности.

Исследование показывает, что гиперболические семейства плоскостей конфигурации Б связаны между собой преобразованиями Лапласа [8] (§2.4).

На базе оптимального репера построен канонический репер конфигурации Б и выяснен его геометрический смысл (§2.5).

В §2.6 введено понятие полной конфигурации Б. Для построения полной конфигурации отнесём конфигурацию Б к каноническому реперу. Тогда она содержит псевдоконгруэнцию с фокальными точками

три гиперболические семейства плоскостей (А^М6), где Mi=A1-A^, М6=Аг-А6, заданных фокусами; три параболических семейства где М = М1)+Мь,с фокальными прямыми соответственно.

Рассмотрим все первые преобразования Лапласа плоскости £\=(А{А2А,). Кроме плоскостей гиперболических семейств конфигурации Б получим четыре новые плоскости: описы-

вающие гиперболические семейства, которыми пополним конфигурацию Б.

Плоскость (А3Ш6) параболического семейства пересекает по фокальной прямой плоскость того преобразования Лапласа плоскости с которой у неё общий фокус А3, но она не содержит фокальной точки N.

Аналогично, плоскость параболического типа пересекается с преоб-

разованием Лапласа плоскости Х\ от фокуса А1 в направлении фокуса Аг по фокальной прямой (Л,Л4). Рассмотрим второе преобразование Лапласа плоскости которое пересекается с плоскостью параболического

семейства по фокальной прямой Это будет плоскость опи-

сывающая гиперболическое семейство, которым также пополним конфигурацию Б.

Существуют только три точки четвёртые гармонические к

тройке фокальных точек стационарной прямой, где

С этими точками связаны плоскости

слабопараболических семейств с кратным фокусом в фокальной точке, а простым - в четвёртой гармонической к тройке фокальных точек. Этими семействами пополняется конфигурация Б. Отметим, что в фокальной точке асимптотические направления на поверхности, описываемой стационарной прямой, служат фокальными направлениями фокусов плоскости того слабопараболического семейства, у которого эта фокальная точка является кратным фокусом (§2.6, теорема 2.13).

Таким образом, полная конфигурация Б содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей.

В §2.7 рассматривается фокальная три-ткань конфигурации Б. Найдены её форма связности и кривизна, а также произвол существования шестиугольной фокальной три-ткани. Фокальная три-ткань конфигурации Б индуцирует фокальную три-ткань на каждом многообразии, находящемся в отношении вместимости с конфигурацией Б, и все эти ткани между собой эквивалентны.

В третьей главе рассматривается проективное изгибание в смысле Фубини-Картана [9] конфигурации Б и семейств, из которых она состоит.

Исследование показывает, что изгибание первого порядка допускают все семейства, составляющие конфигурацию Б. В частности, любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка так, что совмещаются их фокусы, стационарные прямые, фокальные 3-плоскости и фокальные гиперплоскости (§3.1, теорема 3.1). Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэнцию любой конфигурации Б (§3.3, теорема 3.3). В §3.5 доказано, что пара параболических семейств плоскостей заданной конфигурации Б допускает изгибание первого порядка (теорема 3.5). Кроме того, если пара параболических семейств конфигурации допускает изгибание первого порядка, то псевдоконгруэнция этой конфигурации Б также допускает проективное изгибание первого порядка (теорема 3.6). Доказано существование гиперболического семейства которое изгибанием первого порядка наложимо на задан-

ное семейство (Ь\)г конфигурации Б (§3.6, теорема 3.8).

Будем говорить, что конфигурация Б допускает проективное изгибание первого порядка, если все её семейства допускают одновременно проективное изгибание первого порядка. Базовыми семействами конфигурации Б назовём два параболических и одно гиперболическое семейства, на плоскостях которых построен оптимальный репер. Доказано, что конфигурация Б допускает изгибание первого порядка (§3.6, теорема 3.12). Причём, если базовые семейства конфигурации Б допускают проективные изгибания первого порядка, то и сама конфигурация допускает изгибание того же порядка (§3.6, теорема 3.10).

Исследование показало, что существуют параболические семейства и а также гиперболические семейства и находящиеся в соответствии проективного изгибания второго порядка (§3.2, теорема 3.2; §3.7, теорема 3.13). Существует также класс конфигураций Б, у которых

псевдоконгруэнция допускает изгибание второго порядка (§3.4, теорема 3.4). Установлено, что проективное изгибание второго порядка псевдоконгруэнции конфигурации Б влечёт за собой проективное изгибание первого порядка пары параболических семейств плоскостей (§3.5, теорема 3.7), а также семейства (¿|)2 конфигурации Б (§3.6, теоремы 3.9 и 3.11).

В §3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания второго порядка семейства Особое решение даёт частный случай семейств

(4)2, которые названы семействами (теорема 3.14). Любое семейство допускает непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного параметра (теорема 3.15).

В §3.9 рассмотрено фокальное изгибание семейства отнесённого к оптимальному реперу. Это семейство допускает проективное изгибание первого порядка фокальных поверхностей (теорема 3.16). Доказано, что подкласс семейств которые допускают непрерывное проективное изгибание второго порядка фокальных поверхностей, совпадает с классом семейств Я1 (теорема 3.17).

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Фокальные свойства параболического семейства плоскостей.

2. Построение конфигурации Б на базе параболического семейства плоскостей.

3. Включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей.

4. Связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в Р5.

5. Геометрические свойства конфигурации Б; полная конфигурация Б.

6. Проективное изгибание элементов конфигурации Б; проективное изгибание конфигурации Б.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тычинина, СЕ. Пары Т конгруэнции плоскостей в Р$ /СЕ. Тычи-нина // Изв. вузов. Математика. - 1968. -№3. - С.104-112.

2. Тычинина, СЕ. Расслояемые пары конгруэнции плоскостей в Р1 СЕ. Тычинина // Изв. вузов. Математика. - 1968. - №4. - С.77-84.

3. Глуздов, ВА Слабопараболические пары двупараметрических семейств 2-плоскостей в пятимерном проективном пространстве: Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.01.04 / В.А Глуздов. - Горький, 1973. -112с.

4. Жогова, Т.Б. Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей гиперболического типа пространства Ръ: Дис... канд. физ.-мат. наук: 01.01.04 / Т.Б. Жогова. - М., 1980. -122с.

5. Глуздов, ВА О свойствах слабопараболических и специальнопа-раболических 2-семейств плоскостей в Рь I ВА Глуздов // Учён. зап. Горьк. пед. ин-та. Сер. физ.-мат. наук. -1972. - Вып. 124. - С.9-12.

6. Кругляков, Л.З. Псевдофокальные 2-семейства прямых в Р1 IЛ.3. Кругляков // Геометр, сб. Тр. ТГУ. - 1968. - Т. 196, вып.7. - С.70-78.,

7. Фиников, СП. Метод внешних форм Картана / СП. Фиников, - М. -Л.:ГИТТЛ, 1948.-432с.

8. Макеев, Г.Н. О некотором обобщении преобразований Лапласа/ Г.Н. Макеев // Изв. вузов. Математика. -1975. - №2. - С.123-125,

9. Фиников, СП. Теория пар конгруэнции /СП. Фиников. -М. - Л.: ГИТТЛ, 1956. -443с.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пыжьянова, А.Н. (Егорычева, АН.) Сильнопараболические пары Г и

Т 2-семейств плоскостей в пятимерном проективном пространстве Р, / АН. Егорычева; Редкол. «Изв. вузов. Математика». - Казань, 1976. - 23с. - Деп. в ВИНИТИ 01.07.76; №2465-76.

2. Пыжьянова, АН. Сильнопараболические 2-семейства плоскостей в Р} / АН. Пыжьянова // Тез. докл. науч. конф. молодых учёных Горь-ковской области, посвященной 110-ой годовщине со дня рождения В.И. Ленина. - Горький, 1981. - С.33-34.

3. Пыжьянова, АН. Пары Г и Т специальных сильнопараболических 2-семейств плоскостей в пятимерном проективном пространстве А.Н. Пыжьянова; Горьк. пед. ин-т. - Горький, 1987. - 19с. - Деп. в ВИНИТИ 09.06.87; №4152-В87.

4. Пыжьянова, АН. Двупараметрические семейства сильнопараболических 2-плоскостей и псевдофокальных прямых в Р, ТАН. Пыжьянова; Горьк. пед. ин-т. - Горький, 1988. - 17с. - Деп. в ВИНИТИ 28.09.88; №7210-В88.

5. Пыжьянова, АН. Проективные изгибания семейства (Ь\)2 в пятимерном проективном пространстве А.Н. Пыжьянова // Труды Российской ассоциации «Женщины-математики». Математика. Образование. Экономика. Экология. Междисциплинарный семинар «Нелинейные модели в естественных и гуманитарных науках», Чебоксары, 28 мая-2 июня 2001. - Н. Новгород, 2001. - Т.9, вып.2. - С.47-51.

6. Пыжьянова, АН. Включение заданной поверхности в сильнопараболическое семейство плоскостей в Р, /АН. Пыжьянова // Математика. Экономика. Образование: Тез. докл. межд. конф., Ростов н/Д., 27 мая-2 июня 2002. - Ростов н/Д., 2002. - С. 138.

7. Пыжьянова, А.Н. Конфигурация Б / А.Н. Пыжьянова // Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики: Материалы Всероссийской научно-практической конференции, Н. Новгород, 3-4 декабря 2002. - Н. Новгород, 2002. -С.156-158.

8. Пыжьянова, А.Н. О связи между параболическим семейством плоскостей и псевдофокальным семейством прямых в / А.Н. Пыжьянова // Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы: Матер, межд. конф., Воронеж, 26-30 мая 2003. - М., 2003. -С.57.

9. Пыжьянова, А.Н. Фокальная три-ткань семейства (¿'2)2 /А.Н. Пыжьянова // Образование. Экология. Экономика. Информатика: Тез. докл. межд. конф., Астрахань, 15-20 сент. 2003. - Астрахань, 2003. -С.256.

10. Пыжьянова, А.Н. Гиперболические семейства конфигурации Б / А.Н. Пыжьянова // Математика в высшем образовании: Тез. докл. межд. конф., Чебоксары, 24-30 мая 2004. - Чебоксары, 2004. - С. 148.

Подписано в печать: 19.10.04. Объем 1 пл.

Печать трафаретная. Тираж 100 экз. Заказ 170.

Отдел полиграфии АНО "МУК НГПУ" 603950, г. Нижний Новгород, ГСП-37, ул. Ульянова, 1

P2Ö5 95

РНБ Русский фонд

2005-4 22784

Введение

Глава 1. Параболические 2-семейства плоскостей в Р

§1.1. Репер первого порядка параболического семейства

§1.2. Внутренняя корреляция на семействе (^2)

§1.3. Основной фундаментальный объект семейства (£2)

§1.4. Геометрические свойства семейства (Ь\)

§1.5. Включение заданной 2-поверхности в семейство (£2)2.

Глава II. Геометрия конфигурации F

§2.1. Вмещение псевдофокального семейства прямых в конфигурацию F

§2.2. Вмещение гиперболического семейства (-£-2)2 в конфигурацию F.

§2.3. Оптимальный репер

§2.4. Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F.

§2.5. Канонический репер конфигурации F

§2.6. Полная конфигурация F

§2.7. Фокальная три-ткань конфигурации F

Глава III. Проективное изгибание семейств, определя

• ющих конфигурацию F.

§3.1. Проективное изгибание первого порядка параболического семейства

§3.2. Проективное изгибание второго порядка параболического семейства

§3.3. Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Р.

§3.4. Изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Г.

§3.5. Изгибание пары параболических семейств конфигурации Е.

§3.6. Изгибание конфигурации Р

§3.7. Изгибание 2-го порядка семейств (Ь1)2 . И^

§3.8. Особое решение изгибания 2-го порядка семейств

§3.9. Изгибание фокальных поверхностей семейства {Ь\)

Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнций прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С. П. Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии r-параметрических семейств т-мерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие).

Первые обобщения конфигурации Т и расслояемых пар конгруэнций С.П.Финикова были сделаны В.И.Коровиным [18], P.M. Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики Р. М. Гейдельмана, например, В.С.Фокин [41], М.А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии в Р4

Заметив, что прямая в Р3 является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнций прямых в нечетномерных проективных пространствах. В связи с этим С.Е.Тычинина рассматривала двупараметрические семейства (£2)2 плоскостей L2 в Р5. Семейство (£2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость L2 имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических семейств (£2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычининой [37, 36], а обобщение пар в Попова сделала JI. Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве .Р2П-1 в работах Г.Н.Макеева [2628]. Им введено понятие семейств которые являются обобщением семейств (jD2)25 и пх преобразований Лапласа [25]. В.А.Гпуздов изучал слабопараболические семейства (Х2)2 и их пары в Р5 [6-10].

Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств (£2)2 изучала Т. Б.Жогова [13-15]. Дальнейшие её работы [12, 16, 17] посвящены проективному и коррелятивному изгибанию семейств Л. Е. Куновская в работе [21] рассматривала некоторые свойства параболического семейства (¿2)2 в

Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве Р5.

Исследование ведется методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана [38].

Полученные в диссертации результаты являются новыми.

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:

• фокальные свойства параболического семейства плоскостей;

• построение конфигурации Р на базе параболического семейства плоскостей;

• включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей;

• связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в /5;

• геометрические свойства конфигурации полная конфигурация

• проективное изгибание элементов конфигурации Р-, проективное изгибание конфигурации Р.

Диссертационная работа носит теоретические характер. В ней построена достаточно полная проективно-дифференциальная теория семейств плоскостей (£2)2 параболического типа пространства Р5. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств (£2)2 по числ:У фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрип пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут использоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии.

Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых ученых Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII Международных конференциях серии "Женщины-математики" в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Дону (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (2002); на VIII Международной конференции серии "Нелинейный мир" в Астрахани (2003); на научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском железнодорожном институте (рук. проф. Р. М. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.М.Васильев), в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (рук. проф. В. А. Иго-шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета.

Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, приведенных в конце диссертации. Соавторов нет.

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических 2-семейств плоскостей в Р5, которые обозначим через

4)2

В §1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов 1-го порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством {Ь\)2, изучаются фокальные свойства этого семейства, доказывается теорема существования (Ь\)2.

В §1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе (L\)2, которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия и выяснить геометрический смысл репера 1-го порядка. Семейство (£2)2? как точечное многообразие, представляет собой гиперповерхность с плоскостной образующей L\. Оказалось, что в плоскости Ь\ существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности стационарна. Эта прямая проходит через фокус и называется стационарной.

В §1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства (¿2)2 является основным, а четвертый — полным [22].

В §1.4 продолжено изучение геометрических свойств семейства (Ь\)2. На стационарной прямой найдены три инвариантные точки, каждая из которых описывает двумерную поверхность. Любая из этих поверхностей является фокальной поверхностью параболического семейства плоскостей, а каждые две из них суть фокальные поверхности некоторого гиперболического семейства плоскостей (£2)2- Совокупность семейства стационарных прямых, трех параболических семейств и трех гиперболических семейств образует конфигурацию F.

В §1.5 решена задача о включении заданной поверхности в параболическое семейство

Вторая глава посвящена изучению геометрических свойств конфигурации Р.

В §2.1 вводится понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие 9Л находится в отношении вместимости с многообразием 91, если в Рь существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом ПЯ С 91, то будем говорить, что 9Л вмещено в 91.

Двупараметрическое семейство стационарных прямых является псевдоконгруэнцией, у которой касательное пространство вдоль луча четырехмерно. Доказано, что такое семейство можно вместить в конфигурацию Р.

Двупараметрическое семейство стационарных прямых в дальнейшем будем называть псевдоконгруэнцией.

В §2.2 находятся такие ограничения на гиперболическое семейство (£2)2, ПРИ которых оно может быть вмещено в конфигурацию Р. Это семейство обозначается через (Ь\)2 и существует с произволом пяти функций двух аргументов.

В §2.3 введено понятие оптимального репера конфигурации Р. Оптимальный репер построен на двух параболических семействах и одном гиперболическом семействе (£2)2 плоскостей конфигурации Р. В этом репере прямая (А1А3) описывает псевдоконгруэнцию; точка А\ является фокусом параболического семейства, описываемого плоскостью (А1А3А4); Аз — фокус параболического семейства с текущей плоскостью (АхАбАз); плоскость (А\А2Аъ) описывает семейство {Щ)2 с фокусами в точках А1, А2, А3. Установлено, что любая пара многообразий, составляющих конфигурацию Р, находится в отношении вместимости, а псевдоконгруэнция может быть вмещена как в любое параболическое семейство, так и в любое гиперболическое семейство конфигурации Р.

Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации Р изучается в §2.4. Оказалось, что эти семейства связаны между собой преобразованиями Лапласа [25].

В §2.5 построен канонический репер конфигурации Р и выяснен его геометрический смысл.

В §2.6 введено понятие полной конфигурации Р. Для каждой пары фокальных точек прямой (А1А3) существует единственная пара, содержащая третью фокальную точку, которая гармонически разделяет данную пару точек. Вторая пара точек является парой фокусов некоторой плоскости слабопараболического семейства, причем фокальная точка будет двукратным фокусом. Таким образом, с прямой (А1А3) инвариантно связаны еще три плоскости, каждая из которых описывает слабопараболическое семейство. Этими семействами пополняется конфигурация Р. Каждое из трех гиперболических семейств конфигурации Р имеет шесть первых преобразований Лапласа, некоторые из которых совпадают. Эти преобразования Лапласа также пополняют конфигурацию Р. Полученную конфигурацию назовем полной конфигурацией Р.

Таким образом, полная конфигурация Р содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей.

В §2.7 изучается фокальная три-ткань конфигурации Р Оказалось, что конфигурация Р с шестиугольной фокальной три-тканью суще-^ ствует с произволом четырех функций двух аргументов.

Третья глава посвящена вопросу проективного изгибания конфигурации Р и семейств, составляющих её.

В §3.1 и §3.2 рассматривается задача проективного изгибания 1-го и 2-го порядков параболического семейства плоскостей. Оказалось, что любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка с произволом 52 = 1. А класс параболических семейств, допускающих проективное изгибание второго порядка, существует с произволом «2 = 3.

В §3.3 и §3.4 изучается проективное изгибание первого и второго порядков псевдоконгруэнции. Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэнцию любой конфигурации Р с произволом в2 = 2. Доказано, что существует с произволом 5х = 2 ^ класс конфигураций Р, у которых псевдоконгруэнция допускает изгибание второго порядка.

В §3.5 исследуется задача изгибания пары параболических семейств конфигурации которая допускает изгибание только первого порядка с произволом в2 = 2.

В §3.6 рассмотрено проективное изгибание конфигурации Р Оказалось, что конфигурация Р допускает только проективное изгибание первого порядка с произволом 5х = 13.

В §3.7 установлено, что класс семейств (Ь2)2, допускающих изгибание второго порядка, существует с произволом 52 = 1.

В §3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания семейства (Ь1)2. Оказалось, что в особом случае выделяется класс семейств {Щ)2 (семейства Щ), существующих с произволом в! = 15, которые допус-Ц кают непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного параметра.

В §3.9 рассмотрено фокальное изгибание семейств (Ь2)2. Доказано, что только семейства допускают непрерывное фокальное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. Заметим, что семейство В-1 является аналогом конгруэнций Л в Рз.

Все результаты исследования геометрических свойств параболического семейства являются новыми.

Изучение геометрии параболического семейства плоскостей показало, что геометрия псевдоконгруэнции неотделима от геометрии параболического семейства плоскостей.

Построенная дифференциально-геометрическая теория параболического семейства плоскостей в Р5 достаточно полно отражает геометрию этого семейства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставленная задача изучения дифференциально геометрических свойств параболического семейства плоскостей в Р5, на наш взгляд, выполнена.

1. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. — М.: Физматгиз, 1959. - 144с.

2. Войтенко М. А. Сопряженные пары Т\ в Р4. Вопросы дифференциальной, синтетической и прикладной геометрии. — Московский ин-т. инж. ж.-д. трансп., 1965. Вып. 190. - С. 45-54.

3. Войтенко М. А. Об одностороннем расслоении трехпараметриче-ских семейств многообразий в Р4. — Московский ин-т. инж. ж.-д. трансп., 1965. Вып. 190. - С. 55-68.

4. Гейдельман Р. М.Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах // Итоги науки: Алгебра, топология, геометрия. 1965. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. С. 323-374.

5. Гейдельман Р. М. Расслоение /г-параметрических семейств (к — 1)-мерных плоскостей // Мат. сб. 1954. - Т. 34. - С. 499-524.

6. Гяуздов В. А. Слабопараболические пары Т и Т 2-семейств плоскостей вР5 // Изв. вузов. Математика. 1971. - №11. - С. 57-67.

7. Глуздов В. А. Слабопараболические пары Т 2-семейств плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1971. - №12. - С. 39-48.

8. Гпуздов В. А. О свойствах слабопараболических и специальнопа-раболических 2-семейств плоскостей в Р5 // Уч. зап. Горьк. педин-та. Сер. физ.-мат. наук. 1972. - Вып. 124. - С. 9-12.

9. Гпуздов В. А. Слабопараболические пары двупараметрических семейств 2-плоскостей в пятимерном проективном пространстве: Дис. канд. физ.-мат. наук. — Горький, 1973. 112 с.

10. ЕпуздовВ.А. Специальнопарабодические 2-семейства плоскостей в Д / Редкол. ж. Изв. вузов. Математика. — Казань, 1976. -18с. — Деп. в ВИНИТИ, 09.06.76. №2461-76.

11. Дуничев К. И. Расслояемые пары из Ш13 прямых и плоскостей в Р4 // Изв. вузов. Математика. 1958. - №1. - С. 43-55.

12. Жогова Т. Б. Проективное и коррелятивное изгибание семейств Цы-1 // Изв- вузов. Математика. 2001. - №7. - С. 73-76.

13. Жогова Т. Б. О фокальной три-ткани двупараметрического семейства двумерных плоскостей в Р5 // Геометрия погруженных многообразий. — М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1978. С. 40-46.

14. Жогова Т. Б. К вопросу о проективном изгибании двупараме-трических семейств двумерных плоскостей в Р5 / Горьковск. пед. ин-т. — Горький, 1979. 16 с. — Деп. в ВИНИТИ, 23.07.79. N-2761-79.

15. Жогова Т. Б. Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей гиперболического типа пространства Р5: Дис----канд. физ.-мат. наук. — М., 1980. 122 с.

16. Жогова Т. Б. Проективное изгибание второго порядка семейств Цьп-\ II Изв- вузов. Математика. 1997. - №9. - С. 13-16.

17. Жогова Т. Б. О существовании семейств -й^п—1 ? допускающих проективное изгибание второго порядка // Изв. вузов. Математика. 2002. - N4. - С. 31-38.

18. Коровин В. И. Расслояемые пары комплексов двумерных плоскостей в Р5 // ДАН СССР. 1950. - Т. 72. - С. 837-840.

19. Кругляков Л. 3. О 2-семействах прямых в Р5 и парах конгруэнций прямых в Р3 // Сибирск. матем. журн. 1968. - Т. 9. - №3. -С. 554-567.

20. Кругляков JI. 3. Псевдофокальные 2-семейства прямых в Р5 // Геометр, сб. Тр. ТГУ. 1968. - Т. 196. - Вып. 7. - С. 70-78.

21. Куновская JI.E. Некоторые вопросы геометрии 2-семейств плоскостей в Р5 и конгруэнций демиквадрик в Р3 // Геометр, сб. Тр. ТГУ. — 1979. Вып. 20. - С. 114-116.

22. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально геометрических исследований // Тр. моек, матем. о-ва. 1953. - №2. -С.275-382.

23. Макеев Г.Н. О некоторых признаках инволютивности систем уравнений Пфаффа // Изв. вузов. Математика. 1982. - №9. -С. 81-83.

24. Макеев Г.Н. К вопросу об инволютивности систем уравнений Пфаффа // Изв. вузов. Математика. 1980. - №1. - С. 39-44.

25. Макеев Г.Н. О некотором обобщении преобразований Лапласа // Изв. вузов. Математика. 1975. - №2. - С. 123-125.

26. Макеев Г.Н. Пары Т двупараметрических семейств (п — 1)-плоскостей в (2п — 1)-мерном проективном пространстве // Изв. вузов. Математика. 1970. - №10. - С. 49-60.

27. Макеев Г.Н. Расслояемые пары двупараметрических семейств (п — 1)-плоскостей в Ргп-i // Изв. вузов. Математика. 1970. -№11. - С. 76-86.

28. Макеев Г.Н., Степанова Л. Ф. Пары в двупараметрических семейств (п — 1)-плоскостей в Р2П-1 // Изв. вузов. Математика. -1971. №4.-С. 59-68.

29. Макеев Г. Н. Пары Т трехпараметрических семейств плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1969. - №11. - С. 61-71.

30. Макеев Г. H. Проективное изгибание пар Т двупараметрических семейств (те — 1)-плоскостей в р2п-1 // Изв. вузов. Математика. -1970.-№12.-С.53-60.

31. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. roumaine pureset appl. (RPR). 1962. - T. 7. -№2. -C. 231-240.

32. Розенфельд Б. A. Проективно-дифференциальная геометрия семейств пар Pm + Pnm 1 в Рп // Матем. сб. 1949. - Т. 24. - №3. - С. 405-428.

33. Степанова JI. Ф. Некоторые классы пар двупараметрических семейств 2-плоскостей в // Третья прибалтийская геометрическая конференция: Тез. докл. — Паланга, 1968. С. 154-155.

34. Степанова Л. Ф. О некоторых обобщениях пар 9 Попова // IV Всесоюзная межвузовская конференция по геометрии: Тез. докл. — Тбилиси, 1969. С. 251-252.

35. Степанова JI. Ф. О некоторых парах слабопараболических семейств 2-плоскостей в // V Всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии: Тез. докл. — Самарканд, 1972. -С.209.

36. Тычинина С.Е. Пары Т конгруэнций плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1968. - N-3. - С. 104-112.

37. Тычинина С. Е. Расслояемые пары конгруэнций плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1968. - №4. - С. 77-84.

38. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. — M.-JL: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

39. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций. — M.-JL: ГИТТЛ, 1956. -443 с.

40. Фиников С. П. Теория конгруэнции. — M.-JL: ГИТТЛ, 1950. -528 с.

41. Фокин B.C. Расслоение сопряженной пары Т конгруэнций прямых в Р4 // Тез. докл. второй Всесоюзной геометрической конференции. — Харьков, 1964. С. 297.