Геометрические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА.

Механике-математический факультет •

На правах рукописи УДК 513

ТРОФИМОВ Валерий Владимирович

ГЕОМЕШ1ЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ ИШ!ЕГРИРУЕМЫХ ГАШЛЬТОНОВЫХ

СИСТЕМ

(01.01.04 - геометрия к топология)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на со екание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре дифференциашгой геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент Российской Академии наук, доктор физико-математических наук, профессор А.И.Кострикин, доктор физико-математических наук, профессор М.В.Карасев, доктор физико-математических наук, профессор О.В.Мантуров.

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет.

Защита диссертации состоится 93 Гв

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета по математике К 2 (Д.053.05.05) при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, ГСП, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

4^"(Ш^У:

Автореферат разослан " [УЛл илеир?/ ^ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.ЧУЕАВ1К0В

ОВДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность томи исследования. Построение и классификация вполне интегрируемых гамильтоновых систем на симплектических многообразиях - это одна из центральных проблем сииплектической геометрии. Бурное развитие этого раздела пришлось на минувшее десятилетие. Были найдена новые эффективные методы построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Достаточно упомянуть школы С.П.Новикова [8, 15] , А.Т.Фоменко ["20, 21 ^ , В.П.Маслова [10, 13, 14] , Л.Д.Фаддеева [16Л , В.И.Арнольда [I, 2, зJ , Марсдена £29] , Вейнстейна [29, 33] . Получены глубокие классификационные теоремы для вполне интегрируемых систем с двумя степенями свободы - теория А.Т.Фоменко £5, 21) . Новые дифференциально геометрические идеи развивалиоь М.Громовым [26] . Им были построены новые инварианты симплектических многообразий, используя геометрические свойства почти комплексных структур, согласованных о симплекгической егдуктурой.

Задача построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на орбитах коприсоединенного представления групп Ли является одной из важнейших в современной симплектическсй геометрии. Многие проблемы прикладного и теоретического характера естественно приводят к этой задаче, см. [2, 4, 9, 10, 16 - 20, 27J . Отметим только важную задачу интегрирования геодезических потоков на ри-мановых многообразиях. Основными методами построения таких систем служат сдвиги инвариантов коприсоединенного представления группы Ли, цепочки подалгебр, сдвиги базисных функций конечномерных представлений в функциональных пространствах, согласованные скобки Пуассона, /^.-матрицы. В настоящее время выполнен большой

- г -

цикл работ, связанных с этой проблематикой. Обзор этих методов и результатов мокло найти в работах 8, 15, 17 -19] . Однако, указанные методы но позволяли строить новые вполне интегрируемые сиотемы, исходя из известных систем. До последнего времени оставался открытым вопрос о существовании таких конструкций. Это было впервые сделано в работах автора (^34 - 413 .

Для классификации интегрируемых гамильтоновых систем ио-полъзуютоя инварианты различной природы, см., например, работы

A.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, А.А.Ошемкова [5, 20 ] . В работах

B.П.Маслова [13, 14 ] было открыто, что для построения глобальных асимптотических решений дисХФеренциальных уравнений имеется препятствие, известное в настоящее время как классы Маслова, ["13, 14.]. Это же препятствие возникает в задаче построения трансверсальных лагранжевых подрасслоений в симплектических векторных расслоениях. Классы Масло ва изучались с различных точек зрения и они были обобщены на высшие размерности в работах В.И.Арнольда, А.Б.Гивенталя, В.А.Васильева, М.В.Карасева, Д.Б.Фукса, ЖЛиока, М.Вернь, М. де Госсона, фс. МорЕана, см., например, [_!,, 3, 10, 12 , 23 - 25 , 28] » Первое такое обобщение было сделано В.И.Арнольдом и изучено Д.Е.Фуксом [1, 22] , Классы Маслопа используются гакке для описания топологии экстремалей вариационных задач, см., например, [7, И] . А.Т.Фоменко поставил задачу о том, что классы Маслова - Арнольда "почти всегда" тривиальны для минимальных лагранжевых подмногообразий. Это утверждение было доказано им и Ле Хонг Ван [7, IIД для случая М = . А.Т.Фоменко выдвинул гипотезу., что "разумно определенные" характеристические классы типа Маслова -Арнольда для минимальных подмногообразий в симплектических мно-

гообразиях должны быть равны нулю. Частичный отпет на этот вопрос получен в работах автора [45, 47, 50].

В современных исследованиях, в частности, при интегрировании уравнений математической физики большую роль играют алгебры Ли малых размерностей, см., например, [4, 9] . Отметим здесь работу Дя.Патера, Р.Шаря, П.Винтернитц [30] , в которой вычислены инварианты ^присоединенного представления всех групп Ли малых размерностей и даны их приложения. В связи с этим актуальна задача исследования на орбитах коприсоединенного представления таких групп Ли структуры вполне интегрируемых гамильтоновых систем с точки зрения той или иной их классификации.

Цель работы. Построить теорию вполне интегрируемых гамильтоновых систем на тензорных расширениях алгебр Ли. Для соответствующих групп Ли доказать реализуемость на орбитах коприсое-диненного представления конечномерных аналогов уравнений магнитной гидродинамики. Доказать полную интегрируемость этих уравнений на орбитах общего положения. Для вполне интегрируемых, гамильтоновых систем разработать новый метод построения геометрических инвариантов, являющихся обобщением классов Маслава. Доказать нетривиальность построенных инвариантов.

Общая методика ^заботы. Для решения проблемы построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем применяется аппарат теории групп Ли и алгебр Ли, а также симплектической геометрии. При разработке нового метода построения инвариантов'используются методы дифференциальной геометрии (теория связностей) и алгебраической топологии (теория характеристических классов). При

исследовании интегрируемых гамильтоношсс систем на тензорных расширениях алгебр Ли работают метода шлплоктической геометрии и теории инвариантов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В диссертации построена теория тензорных расширений алгебр Ли, исследовано уравнение Эйлера на тензорных расширениях алгебр Ли. Решена проблема гамильтоновости и полной интегрируемости icoнечномерных аналогов уравнений магнитной гидродинамики, Цля тензорных расширений полупростых алгебр Ли построены секционные операторы, являющиеся аналогами операторов, известных для полупростых алгебр Ли, и дано доказательство полной интегрируемости уравнений Эйлера с построенными секционными операторами на тензорных расширениях полупростых алгебр Ли. Зано построение обобщенных классов Маслова для подмногообразий з многообразиях с аффинной связностью, в частности, доказана теорема инвариантности индексов подмногообразий в многообразиях с аффинной связностью относи тельно кобордизмов с векторными полями. Установлено, что обобщенные классы Маслова можно получить проекцией некоторых классов когомологий пространства путей симплектического многообразия, что дает классы когомологий, которые уже но зависят от выбора симплектической связности. Исследована гипотеза А.Т.Фоменко об обращении в ноль "почти всегда" классов типа Маслова - Арнольда для минимальных подмногообразий в общих римановых многообразиях, в частности, предъявлен широкий масс минимальных подмногообразий, для которых эта гипотеза справедлива. Построены обобщенные классы Маслова для лагранлсевнх подмногообразий в произвольном симплекгическом многообразии и дано доказательство инвариантное-

и индекса относительно соответствующего ко бордизма. Эти инвари-нты вычислены для 83 бесконечных серий алгебр Ли, являющихся ензоряыми расширениями алгебр Ли малых размерностей. Изучены бобщенныо классы Масло ва для геометрических структур, отличных |Т симплектичеоких: для изотропных подмногообразий а псеацорима-говых многообразиях и для лагранжевнх подрасслоений в симплекги-1еских векторных расслоениях.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Конструкции, результаты и методы настоя-пяй габоты мо^т найти применение в симплектнческой геометрии и топологии, в частности, для построения и класси'рикацик вполне интегрируемых гашльтоновых систем; в теории представлений, например, в методе орбит; з вариационном исчислении при изучении топологии экстремалей многомерных функционалов; в дифференциальной геометрии для построения инвариантов подмногообразий с различными ограничениями ка юс геометрию.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Конгрессе по математической физике (Лейпциг), на Международной конференции по алгебре (Новосибирск), на Международной топологической конференции (Баку), на Всесоюзной топологической школе (Еакуриани), на Всесоюзной зимней Воронежской школе (цикл лекций), на Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Минск), на Всесоюзной школе по тёории инвариантов (Ташкент), на Всесоюзной конференция по геометрии "в целом" (Новосибирск), в математической лаборатории Л.Д.Фадцеева в ЛОМИ, на городском семинаре по ди-оференциальншл уравнениям и Функциональному анализу (Ижевск), на конференции в Киевском университете, в математическом институте АН УССР (Киев), на семи-

наро Б.П.Маслош в ИПМ, на Всосэюзной шсолс Алгебры Ли и их приложения (Москва), на семинаре по векторному к тензорному анализу, на ежегодных научных конференциях механик)-математического факультета МП', на Всесоюзних конференциях по дифференциальным уравнениям им. И.Г.Еетровского в МГУ, на Ломоносовских чтениях МГУ, на семинаре Современные геометрические методы в МГУ, на кафедральных семинарах кафедры Высшей геометрия и топологии и кафедры Ди^фзренциальной геометрии а приложили.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34 - 60J , приведенных в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве нот.

Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из введения и трех глав, которые делятся в общой сложности на 22 параграфа, а также из списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 242 стр. Список литературы содеряшт 105 названий.

ОСНОВНОЕ С0ДЕР2АНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена краткая история вопроса и дан обзор основных результатов диссертации.

Первая глава работы посвящена изложению нового метода построения вполне интеграруемцх гамильтонопък систем. А именно, оказывается, что каждой алгебре Ли Сг , для котором на пространстве G имеется полный инзолютивный набор функции, соответствует бесконечная серия алгебр Ли С?®i " *) обладающих этим se свойством.

В § 1.-1 излагается основной алгоритм, связанный с тензорными расширениями алгебр Ли. Пусть ... ,„ многочлены. Рассмотрим факторкольцо /ЯС^г-^г^ р ) -» К , где ( .....^ ) - идеал в Я1хг>- -> , порожденный Я; , ... , и 77-К - естественная проекция, = 7Г (X с ) . Рассмотрел алгебру Ли Ст®К = » (т ^ с естественной скобкой Ли. Очевидно, что С[ ¡^ явля-

етоя алгеброй Ли над Ш . Основные результаты работы относятся

л»//-/ тп+1

к случаю, когда ( , ... , ) = ( , ... ).

В этом случае обозначим алгебру Ли (т/с через ((г) » где

« = ( ^..... -п? ^ ). Положим £>('<?) =

Пусть ^^ Г • * • у ^ ^ - базис алгебры Ли О . Тогда

• е^ , -с^ г= ¿1т £ , <7* Ч: « »у, -1. ...

... ,72 , образуют базис алгебры Ли£с?„С^) I где а -

« ..........). Координаты в пространстве &г в базисе,

дуальном к , обозначим через , а координаты в (£■)

в базисе, дуальном к •...' , обозначим через

I (о. Зведем в Г(т) переменные

^-уу-^ * ^

Пусть Р(х(г..., - аналитическая функция на (г (или на некотором открытом подмножестве К ^ )• Расклады-

вая ПрЗр -V ) в РЯД Тейлора и подставляя 3-4* из (1), мы получим конечную сумму, так как достаточно высокие степени элементов £ ¿ равны нулю. ПоэтомуА]^,...,"^) можно представить а виде

=Ц ^. .• С(*</<,...м) (2,

с? ' " •

Л'',....

Обозначим набор функций ^ из разложения (2) через

ОХ ( г ) , основное свойство алгоритма ( ОХ ), благодаря которому он находит приложения в симплоктической геометрии, содержится в следующей теореме.

Теорема!. Пусть аналитические функции^*).....^(х),

определенные на пространстве & , находятся в инволюции относительно канонической симплектической структуры на всех орбитах ко-присоединенного представления группы Ли, ассоциированной с алгеброй Ли Сг . Тогда все функции семейства 0 находятся в инволюции относительно канонической симплоктической структуры на всех орбитах коприсоединенного представления группы Ли, ассоциированной с алгеброй Ли ((г), а = , ... Причем, если, ... , /^функционально независимы на (т* , то все функций ^семейства функционально независимы на пространстве

. Если (-Г - алгебраическая алгебра Ли, то из того,

что К...../V - полный инболютивкый набор функций на <т

вытекает, что Ё - полный инволютивный набор функций наС?а (Сг) ,

л = ( ж1.....тп >.

В § 1.2 изучаютоя уравнения Эйлера на пространствах £2аС(г) > « = ( ••• • Оказывается, что методика,

изложенная в § 1.1, -позволяет доказать гамильтоноЕость известных уравнений, связанных с магнитной гидродинамикой. Уравнения магнитной гедроданашки несжимаемой идеально проводящей жидкости имеют в качестве конечномерного аналога следующую систем дифференциальных уравнений

А Г С Я,М1 - , //=.[ 5?, ИЗ, (3)

найденную С.В.Вкаиком и Ф.В.Должанским в [б] .

- правый сдвиг в единицу группы

вектора скорости

с/ • (/ ~ 1ШЗТ~ ность тока в теле, // = д. Ь > Ь - напряженность магнитного поля в тело, ¡4 - кинетический момент в пространстве.

Теорема 2. Уравнения (3) являются гамильтоновыми на всех орбитах коприсоединенного представления группы Ли, ассоциированной с алгеброй Ли Я^С^о(п)) = ло

В §<1.3 для комплексных полупростых алгебр Ли, компактных вещественных форм в полупростых комплексных алгебрах Ли, нормальных компактных подалгебр в комплексных полупростых алгебрах Ли в явном виде построены такие операторы С: —> (&) ,

для которых уравнения Эйлера из § 1.2 будут обладать свойством полной интегрируемости по Лиувиллю,

ЖО) = 1/(**).

В § 1,4 доказывается теорема о полной интегрируемости уравнений Эйлера с построенными в § 1.3 операторами С

Теорема 3. Пусть (-г - комплексная полу про стая алгебра Ли или ее компактная вещественная форма или нормальная компактная подалгебра, сс = ас^с(х} ~ уравнения Эшюра на пространстве (х)1* с описанными выше операторами С* . Тогда эта система уравнений Эгаера вполне интегрируема по Лиувиллю на всех орбитах общего положения коприсоединенного представления группы . Ли, ассоциированной с алгеброй Ли

. Соответствующий коммутативный набор первых интегралов строится с помощью алгоритма ( ), описанного в § 1.1.

В § 1.5 излагается общая конструкция линейных операторов С , для которых уравнения Эйлера X - (%) облада-

ют большим запасом первых интегралов, коммутирующих мевду собой.

В §'1.6 показано как, используя алгоритм ( ), можно канонические координаты на орбитах коприсоединешшго представле-

ния группы Ли, ассоцииропашшй с алгеброй Ли , продолчшть

до каноничеасих координат на орбитах коприсоодинешюго продстав-ления группы Ли, ассоциированной с алгеброй Ли

*

Во второй главе строятся инварианты, необходимые для классификации гамильтоновнх систем с большим запасом первых интегралов. Более точно, излагается конструкция обобщенных 1слассов Мас-лова - Арнольда для произвольнее многообразий с аффинной связностью.

В § 2.1 показано, что естественное обобщение классов Мао-лова - Арнольда в случае многообразий с аффинной связностью приводит к построению некоторых классов когомологин пространства

путей. Пусть X - гладкое многообразие, на котором задана афшш-

г' /т V7

ная связность ' /д , ¿_ - произвольное подмногообразие в А .

* V"

Выберем и зафиксируем точку х0 & Л . Введем обозначение

/ - такое кусочно гладкое

I -уП

отображение отрезка [0, ^ в многообразие А , что Ы Со)= ¿г0 и о^ (V) Z ^ . Определим отображение п3и Стт (7^оХ") проотранства/Х^ ¿"1/ в грассманиан (гт (Iхс X" ) , порожденный касательным пространством ~Т~х0 XП , тп - ¿¿гп /_ Если с<

, то касательное пространство ¿ переносится параллельно относительно связности Л/ £ в точку Х0 = Ы (о) вдоль пути о<. . Образ пространства С

при этом параллельном переносе обозначим через ) . Простран-

ство Щ является по определению образом пути о( при отобраке-нии ^ , которое назовем касательным представлением подшогооб-

. Оно индуцирует отображение в когомологиях

Г- Н*((тХо XV) —> Iм! ) . пусть

- произвольный класс когомологий грае-

сманиана Сгт 0хо X ) . Тогда мл с си когомологий шда ^ (<х)£ Н*([ХЛ Z ) назовем обобшешгыгли массами Маслова подмногообразия /^сХ" • Основные спойстш от ¡к классов собраны п следующей теореме.

Теорема 3. Обобщенные классы Маслова не зависят от выбора связности ^к на |Л1гаГ[) дразни X

б) Если / * СГ ^ - лаг ранке во подмногообразие в стандартном сямплектическом пространстве ($ ^п) , ^ -= ЛЕТ а-Р: л"// ), то обобщенные классы Масло га, определенные относительно симплегсгической связности на , совпадают с классическими классами Маслова - Арнольда (после естественных отождествлений пространств когомологий).

в) Классы Маслова - Арнольда лагранжова подмногообразия СИ. ¡¡^ не зависит от выбора плоской симплектической связности в пространстве $

В § 2.2 показано, что я некоторых случаях характеристические классы, определенные на пространстве путей ГХ, где

X. - многообразие с аффинной связностью, можно спроектировать

/ т

в некоторые классы когомологий подмногообразия о . Результат проекции, однако, уже зависит от выбора связности. Обозначим через 1 ^ параллельный пареное вдоль кривой Х(^) , 0 '¿^ -I, из фиксированной точки эс0 = ¥{О) в точку X

= ¡ГО) . Если V - произвольное подпространство касательного пространства 7д-0 X , то Ту V - корректно определенное подпространство в Тх X" . Поэтому группа голономии Ц =/-/х0(ХП) о базисной точкой Х0 действует на грассмановом многообразии (т{- Х^ , к - ей

у» V . Рассмотрим приведенный грассманиан Н &к(7х0ХП) = Г) / Н • Предположим, что

¿^О. %П ~ произвольное подмногообразие, х0 6 X . Для произвольной точки Х^ рассмотрим кривую $(т^) , такую, что

Х(о) = ОСс , *{<) = X . Положим 4(х)

X . Тогда получим корректно определенное отображение

¿т-^ //^(ТХоК ) подмногообразия / а приведенный

грассманиан Н (г»> С7х0 Х?) • Отображение £ индуцирует отобра-ттв^Н^С^) в когомологиях. Классы кого-мологий . (ТССоКП))^ ,

назовем относительными характеристическими классами пары ( X , ). Показано, что они обращаются в ноль для вполне геодезических подмногообразий в X

В § 2.3 вводится понятие индекса подмногообразия. Он необходим для сравнения относительных характеристических классов разных подмногообразий в данном многообразии с аффинной связностью. Индекс О. \_(-,т1 подмногообразия I* *** равен значению класса когомо-логий а

на фундаментальном цикле Динамические системы можно классифицировать с разных точек зрения. А.Т.Фоменко была поставлена задача классификации гамильто-новых вполне интегрируемых систем с точностью до бордантности, см. С 21] . Это понятие находит свое отражение в рамках общей теории классов Маслова в агёфинной геометрии. Цва замкнутых ориентированных многообразия ^ и называются гту^коборцантними (кобор-дизм с векторными полями), если существует компактное ориентированное многообразие + , такое, что^^

« ж/1 и /уц

и невырожденное касательное векторное поле V на , которое определяется внутренними нормалями в точках /К^ и внешними нормалями в точках , см. работу Рейнхарта ["31} .

Теорема 4. Пусть подмногообразие //П в многообразии М с аффинной связностью т^-кобордантно нулю. Тогда все индексы подмногообразия

/Г

равны нулю.

В § 2.4 вводятся обобщенные классы Масдова и соответствую-

щие индексы для лагранжевых подмногообразий в сииплектических многообразиях. Для их построения мы должны рассмотреть специальный класс связностей на симплекткческих многообразиях (/^ , Ы ) -симплектические связности, характеризуемые равенством ^ = 0. В это 11 ситуации груша голономии действует на лагранжевом грассма-ниане

можно определить приведенный лагранжев грассма-ниан/^Г^с0. М и соответствующее отображение /V"

(Тх0 лаграняева подмногообразия /V в приведенный

лагранжев грассманиан

НА(Ис0 А/**)

, а также обобщенные классы маслова4*(а)еН*(М*) , аеНЧМСК.М**)) .

Указано соответствующее отношение кобордантности лагранжевых подмногообразий и доказана теорема инвариантности обобщенных индексов Маслова относительно этого отношения эквивалентности.

В § 2.5 рассмотрен случай вполне интегрируемых гамильтоно-вых систем X = л^чаЛ. Н на симплектическом многообразии

(А/ , ш ) • Если .....- полный инволютивный набор

первых интегралов этой системы, то совместная компактная связная поверхность уровня {х€(х) * Су , ... , = ^ яв-

ляется лагранжевым тором и для него определены обобщенные классы Маслова.

В § 2.6 строится плоская симплектическая связность, ассоциированная с вполне интегрируемой гамильтоновой системой, которая позволяет построить нетривиальные классы и индексы Маслова на торах Лиувилля вполне интегрируемой гамильтоновой системы. Здесь ле предложен алгоритм для продолжения плоских метрик с многообразия на его касательное расслоение, что позволяет строить богатые серии примеров плоских симплектических связностей, необходимых для определения обобщенных классов Маслова.

В § 2.7 конструкции § 2.1 распространяются на более общие

связности, чем связности в касательных расслоениях. 1ано построение сообщенных классов Масло ва для подрасслоемш в векторных расслоениях со связностью, а также дая лагранжевых подрасслоений в симплектических векторных расслоениях. Определено соответствующее понятие ко бордантности «доказаны теоремы инвариантности обобщенных индексов относительно этого отношения эквивалентности.

В § 2.8 рассмотрен случай псевдоримановых многообразий и изотропных подмногообразий в них. Оказывается, что все основные конструкции обобщенных классов Масло ва модно повторить и для этого случая. Введено соответствующее понятие кобордантности и в этой ситуации доказана теорема инвариантности для индексов изотроп них подмногообразий в псевдоримановых многообразиях.

В § 2.9 исследуются параллельные симплектические структуры на римановых многообразиях. Тля этих структур доказано уточнение теоремы де Гама о разложении.

Теорема 5. Пусть м - связное односвязное полное риманово многообразие, допускающее параллельную относительно связности Ле-ви-Чивита ЛД симплектическую структуру, т.е. Г^ - симплек-тическая связность. Тогда М изометрично прямому произведению

, где М0 - евклидово пространство, при

Здесь ке построены примеры параллельных симплектических структур на римановых многообразиях. Используя связности абсолютного параллелизма, построенные по вполне интегрируемой .гамильтоно-вой системе, введено новое понятие относительного класса Маслова одной вполне интегрируемой гамильтоновой системы по отношению к другой.

В § 2.10 строится аналог лоскутно симплектических многооб-

односвязные полные неприводимые римановы многообразия

разий, иподоииих Л.Т.Фомонко для изучения понятия жесткой бордантности интегрируемых боттопских гамильтоновых систем, см. [21] . Оказывается, что для лоскутно снмплектичесглх многообразий существует соответствующий аналог в теории многообразий с аффинной связностью - лоскутно аффинные многообразия. Для этого класса многообразий можно определить все окюшшо конструкции обобщенных классов Маслова. В частности, справедлива теорема )шзариантности обобщенных индексов подмногообразий относительно тг^-коборцизма.

Третья глава работы содержит приложения обобщенных классов Маслова и та вычисления для торов Лиувилля широких серий вполне интегрируемых гамильтоновых систем на орбитах ^присоединенного представления групп Ли.

В § 3.1 обсуждается гипотеза А.Т.Фоменко об обращен™ в О "почти всегда" обобщенных классов Маслова для минимальных подмногообразий. Частичный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

Р. Мт А/

Теорема 6. а) Пусть-/"/' - изометрическая иммерсия,

л/17,41

где'" - компактное ориентированное ринаново шогообразие, а/» -

плоское ориентированное риманово многообразие. Если миншаль-но и устойчиво (относительно- функционала объема), то все относительные характеристичессте классы пары М ег П равны нулю.

б) Пусть М - компактное ориентированное подмногообразие без границы в параллелизуемом многообразии А^ , ^ - изометрия. Если Р минимально и устойчиво относительно (Тункциокала объема, то все относительные характеристические классы пары • ' '— ' равны нугш.

В § 3.2 в явном виде вычислены плоские симплестические связности на орбитах общего положения ^присоединенного представ-

В § 3.3 в явном виде вычислены симплсктические плоские связности на орбитах общего положения коприсоединенного представления четырехмерных групп Ли.

В § 3.4 в явном виде вычислены плоские симплсктические связности на орбитах общего положения коприсоединенного представления пятимерных групп Ли.

В § 3.5 в явном виде вычислены плоские симплектические связности на орбитах общего положения коприсоединенного представления ншгьпотентннх шестимерных групп Ли.

В итоге имеет место следующее утверждение.

Георема 7. Пусть бг - неразложимая вещественная алгебра Ли, <0.п\ (х = 3, 4, 5, (т т^-Ьо(З) , или (г - неразложимая вещественная нильпотентная алгебра Ли, Жт = 6, а -

группа Ли, отвечающая алгебре Ли . Тогда на всех орбитах

общего положения коприсоединенного представления группы Ли ^ имеется такая плоская оимплектическая связность, обобщенные классы Маслова торов Лиувилля вполне интегрируемых гамильтоновых систем на , по отношению к которой нетривиальны.

Кроме того, в §§ 3.2 - 3.5 на пространстве , дуальном к алгебре Ли (ц- (рассмотренной в этих параграфах), построены в явном виде такие функции, что после их ограничения на орбиты общего положения, мы получим канонические координаты сразу на всех орбитах такого типа.

В § 3.6 построены плоские симплектические связности на орбитах общего положения коприсоединенного представления тензорных расширенийгрупп Ли, изученных в §§ 3.2 - 3.5. Доказана нетривиальность обобщенных классов Маслова по отношению к этим связностям. Далее, на пространствах Жаг , двойственных к алгебрам Ли , указаны такие функции, что после их ограни-

чения на орбиты общего положения коприсоединенного продставле-

ния, м» получим канонические координаты сразу на псех орбитах

такого типа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В.И. О характеристическом классе, нходяшем в условия квантования // Функц. анализ и его приложения. - 1967. -

T. I, Il I. - С. I - 14.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механика. -М.: Наука, 1974.

3. Арнольд В.И., Гивеяталь А.Б. Симплектическая геометрия./итоги-науки и техники. ВИНИТИ. Современ, пробл. мат.: Фундаментальные направления. - 1985. - Т. 4. - С. 5 - 139.

4. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. - М.: Наука,Г991.

5. Болсинов А.В., Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // Успехи матем. наук,-1990. - Т. 45, в. 2. - С. 49 - 77.

6. Вшпяк C.B., Цолжанский Ф.В. Аналоги уравнений Эйлера - Пуаосока магнитной гидродинамики, связанные с группами Ли // ДАН СССР,-1982. - Т. 266, » 3. - С. 533 - 537.

7. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. - "Д.: Наука, 1987.

8. Дуброаш: Б.А., Кричевер И.М., Новиков С.П. Интегрируемые системы. Т. // Итоги науки и техники. БИНИШ. Современ. пробл. мат.: Фундаментальные направления. - 1985. - Т. 4. - С. 179-284.

9. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. - М.: Наука, 1986.

10. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. - П.: Наука, 199!.

И. Ле Хонг Ван, Фоменко А.Т. Критерий минимальности лагранжевых

подмногообразий в кэлеровых многообразиях // Матем. заметки.-1987. -»4. - С. 559 - 571.

12. Лион Ж., Вернь М. Представление Войля, индекс Маслова и тэта-ряды. -М.: Мир, 1983.

13. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. -И.: МГУ, 1965.

14. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. -М.: Наука, 1988.

15. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса //Успехи матем. наук. - 1982. - Т. 37, в. 5. -

С. 3 - 49.

16. Тахтадяян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.: Наука, 1986.

17. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиуаиллв гамильтоновых систем на алгебрах Ли // Успехи матем. наук. -1934. - Т. 39, в. 2. - С. 3 - 56.

18. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Геометрия скобок Пуассона и метода интегрирования по Лиувиллю систем на симметрических пространствах // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современ, пробл. мат.: Новейшие достижения. --1986. - Т. 29. - С. 3 -108.

19. Трофимов В.В,, Фоменко А.Т. Геометрические и алгебраические механизмы интегрируемости гамильтоновых систем на однородных пространствах // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Современ. пробл. мат.: Фундаментальные направления. -1987. - Т. 16. -С. 227 - 299.

20. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. -М.: МГУ. -1988.

21. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. Ali СССР. Серия матем.- 1991.- Т. 55, й 4. - С. 747 - 779.

22. Фукс Д.Б. О характеристических классах Маслова - Арнольда // ДАН СССР. - Ï9G8. - Т. 170, ft 2. - С. 303 - 306.

23. Dazord P. Une interpretation geonetrique de la classe de Mas-lov - Arnold // J. Math. Pure et Appl. - 1977- - V. 56. -

P. 25Ï - 250.

24. Dazord P. Invariants homotopiques attaches aux fibres simp-lectiques /7 Ann. Inst. Fourier, Grenoble. - 4979- - V. 29, H 2. - P. 25 - 78.

25. Soason de M. La definition de l'indice de lîaslov sans hypothese de transversalite // C.R. Acad. Soi., Paria. - 1990. -V. JLO. - P. 279 - 282.

26. Gromov M. Pseudo-holomorphic curves in symplectic manifolds // Invent. Math. - 1905- - V. 82. - P. 307 - 34727. Guillemin 7., Sternberg S. Syoplectique techniques in physics.-

Cambridge Univ. Ргеаэ, 1984»

28. Morvan J.M. Classée de Maslov d'une immersion lagrangienne et minimalite // C.B. Acad. Soi. -<1981.- AB 292. -

P. 633 - 636.

29. Marsden J., Weinatein A. Seduction of symplectic manifolds with symmetry // Reports Math. Phys. - -1974. - V. 5, N -1. -P. T2Î - 130.

30. Patera J., Sharp R.T., Winterniti P. Invariants of real low dimension Lie algebras // J. of Math. Physic3. -Î976. -

V. 17, Я 6. - P. 986 - 994.

31. Reinhart D.L. Cobordisn and Euler number // Topology. -Î9S3. - V. 2. - P. 173 - 178.

32. Vassilyev V.A. Lagrange and Legandre characteristic classes.-Gordon and Breach Science Publ», 1988.

33. Weinatein A. Local structure of Poisson manifolds // J. Differential Geometry. - 1983. - V. 18, N 3. - P. 523 - 'j'jQ.

ПУБЛИКА ЩШ ПО ТЕМЕ ДОСЕРТАЩИ

34. Трофимов В.В. Теоретико-групповая интерпретация уравнений магнитной гидродинамики идеально проводящей жидкости // Нелинейные колебания и теория управления. Ижевск. ИГУ. --1981. - С. 118 - 124.

35. Трофимов Б.В. Вполне интегрируемые геодезические потоки лево-инвариантных метрик на группах Ли, связанные с коммутативными градуированными алгебрами с двойственностью Пуанкаре // ДАН СССР. - 1982. - Т. 263, Н 4. - С. 812 -816.

36. Трофимов В.В. Вполне интегрируемые системы гидродинамического типа и алгебры с двойственностью Пуанкаре // Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Минск. - 1982. -С. 192 - 193.

37. Трофимов В.В. Коммутативные градуированные алгебры с двойственностью Пуанкаре и гамильтоновы системы // Топологические и геометрические методы в математической физике. Воронеж. -1983. - С. 128 - 132.

38. Трофимов В.В. Расширения алгебр Ли и гамильтоновы сиотемы // Изв. АН СССР. Серия матем. -1983. - Т. 47, гё 6. -

С. 1303 - 1321.

39. Трофимов В.Б. Теоретико-групповая интерпретация некоторых клас сов уравнений классической механики // Дифференциальные уравнения и их приложения; МГУ. - 1984. - С. 108 - 111.

40. Трофимов В.В. Новый метод построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Качественная теория дифференциальных уравнений и теория управления движением. Саранск. - 1985. -С. 35 - 39.

41. Трофимов В.В. Плоские симметрические пространства с некомпактными группами движений и гамильтоновы системы // Труда семинара по векторному и тензорному анализу. - 1985. - В. 22. -

12. Трофимов В.Б. Геометрические инварианты вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Тезисы докладов Всесоюзной конференции по геометрии в "целом". Новосибирск. - 1987. - С. 121.

13. Трофимов В.В. Обобщенные классы Масло па лагранжевых поверхностей в симплектических многообразиях // Успехи матем. наук.-

1988. - Т. 43, в. 4. - С. 169 -170.

14. Трофимов В.В. Индекс Маслова лагранжевых подмногообразий симплектических многообразий // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. - 1988. - В. 23. - С. 190 - 194.

L5. Трофимов В.В. О гипотезе Фоменко для вполне геодезических подмногообразий в симплектических многообразиях с почти кэле-ровой метрикой // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики. МГУ. - 1988. - С. 122 - 123.

16. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметри-яии. - М.: МГУ, 1989.

17. Трофимов В.В. Симплектические связности, индекс Маслопа и гипотеза Фоменко // ДАН СССР. -1989. - Т. 304, № 6. -

С. 1302 - 1305.

18. Трофимов В.В. Геометрические инварианты лагранжевых слоений // Успехи матем. наук. - Т. 44, в. 4. - С. 213.

19. Трофимов В.В. О геометрических свойствах полного инволгатив-ного семейства функции на симплектическом многообразии // Бакинская Международная топологическая конференция. Баку. -

1989. - С. 173 - 184.

50. Трофимов В.В. Группа голошмии и обобщенные классы Маслова подмногообразий в пространствах аффинной связности // Матем. заметки. - 1991. - Т. 49, в. 2. - С. ИЗ - 123.

51. Трофимов В.В. Индекс Маслова в псевдорпмаювой геометрии // Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах. МГУ. - 1991. - С. 198 - 203.

52. Трофимов В.В. Обобщенные классы Маслова и кобордизмы // Труд семинара по векторному и тензорному анализу. - 1991. -

B. 24. - С. 185 - 198.

53. Трофимов В.В. Плоская псовдориманова структура на касательно расслоении плоского многообразия // Успехи матем. наук. -1992. - Т. 47, в. 3. - С. 177 - 178.

54. Трофимов В.В. Пространство путей и обобщенные классы Маслова лаграшкевых подмногообразий // Успехи матем. наук. - 1992. -Т. 47, в. 4. - С. 213 - 214.

55. Трофимов В.В. Псевдоевклидова структура индекса ноль на каса тельном расслоении плоского многообразия // Избранные вопрос алгебры, геометрии и дискретной математики. МГУ. - 1992. -

C. 158 - 162.

56. Трофимов В.В.. О связностях абсолютного параллелизма на симп-лектическом многообразии // Успехи матем. наук. - 1993. -

Т. 48, в. I. - С. 191 - 192.

57. Trofimov V.V. On the geometric properties of the complete coi mutative set of functions on symplectic manifold // Тезисы Бакинской Международной топологической конференции. Баку. -1987. - С. 297.

58. Trofimov V.V. On the connections on symplectic manifolds and the topological invariants of Hamiltonian systems on Lie algebras// Тезисы Международной конференции по алгебре. Новосибирск. - 1939. - С. 102.

59. Trofimov V.V. Connections on manifolds and new characteristi classes // Acta Appl. Math. - 1991. - V. 22.- P. 28? - 312.

60. Trofimov V.V. Symplectic connections and Maslov - Arnold characteristic classes // Advances in Soviet Math. - 1991. -V. 6. - P. 257 - 265.