Симплектические многообразия с контактными особенностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Зотьев Дмитрий Борисович

Симплектические многообразия с контактными особенностями.

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Москва - 2011

4852918

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Голубятников Владимир Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Мищепко Александр Сергеевич

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Трещев Дмитрий Валерьевич

Ведущая организация: Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Защита диссертации состоится 30 сентября в 16 ч. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете им М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 30 августа 2011 г.

Д.501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

Ученый секретарь диссертационного совета

А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы.

Также как и риманова, симплектическая геометрия исходит из предположения о невырожденности тензора структуры, что генетически связано с уравнениями У.Р. Гамильтона в их исходном виде. Широко известны глубокие приложения симплектической геометрии в небесной механике и динамике твердого тела, где фазовые пространства интегрируемых гамильтоновых систем являются симплектическими многообразиями — кокасательными расслоениями или орбитами коприсоединенных представлений123. Однако структурный тензор (замкнутая 2-форма), вообще говоря, вырождается при ограничении на подмногообразие. Последнее может представлять интерес, будучи инвариантным для гамильтоновой системы4. Такие подмногообразия действительно встречаются в физических задачах. Разумно предположить, что, по мере возрастания размерностей задач, новые интегрируемые случаи будут чаще встречаться на ипвариантных многообразиях (в целом неинтегрируемых систем). Первый из таких случаев в динамике твердого тела5 был топологически изучен в кандидатской диссертации автора и стал отправной точкой представленной работы.

С другой стороны, с точки зрения математики естественно допустить, что матрица замкнутой 2-формы является невырожденной почти всюду, но вырождается в точках, составляющих подмножество меры ноль. Тогда симплектическая геометрия имеет особенности, о которых почти ничего не известно в случае, когда ранг формы падает на 2к > 2. Известная статья6 содержит первое и, возможно, единственное общее исследование подобных структур. Однако, в этой глубокой работе собственно симплектическая геометрия ограничена простейшим, хотя и наиболее важным случаем к = 1. Другие исследования, как правило, вращаются

'Abraham R., Marsden J.E. Foundations o} mechanics. Benjamin/Cummings Publishing Company,

London, Amsterdam, 1978.

2Арпольд В.И. Математические методы классической механики. M.: "Наука", 1979.

3Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: "МГУ", 1988.

4Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды, 1 т. М.: "Наука", 1971.

'Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики. Изв. АН СССР, серия мат. 48 (1984), № 5, 883-938.

'Martinet J. Sur les singularities desformes différentielles. Ann. Inst. Fourier. 20 (1970), № 1,95-178.

около результатов Мартине и относятся к вырождениям с двумерным ядром789. Во многом это связано с объективной сложностью задачи, т.к., согласно замечанию В.И. Арнольда, отсутствие условия невырожденности в определении симплектической структуры делает локальную классификацию таких структур необозримой. Напротив, вырожденные особенности пуассоновских структур сравнительно легко поддаются изучению, поскольку не мешают гамильтоновым полям быть всюду корректно определенными, включая и точки вырождения структурного тензора10. Поэтому несмотря на то, что в невырожденном случае симплектические и пуассоновские структуры являются взаимно-определяющими, их вырождения имеют принципиально разные последствия. Ключевым является вопрос о корректной определенности гамильтоновых полей, которому было уделено большое внимание в работах Пневматикоса111213, где на вырождения замкнутых 2-форм накладывается естественное условие generiques. Однако за исключением явно заданных в координатах 2-форм нужного вида, в случае вырождений коранга 2к > 2 отсутствует способ проверки этого условия. Таким образом, сегодня не существует сколько-нибудь общей теории многообразий с вырожденными особенностями симплектической структуры, при которых размерности ядер формы превышают 2.

В диссертационной работе развита теория симплектических многообразий с особенностями, которые удовлетворяют некоторому условию контактности. Оно является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, каждая из которых вырождается в точках гиперповерхности, будучи невырожденной всюду вне ее. Класс несущих на себе такие структуры многообразий, в определенном смысле, включает в себя симплектизации контактных многообразий и аналогичные

7 Арнольд В.И., Гивепталь А.Б. Симплектическая геометрия. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 4 (1985), 7-139.

8Janeczko S., Kowalczyk A. On singularities in the degenerated symplectic geometry. Hokkaido Math. J. 19 (1990), 105-123.

'Domitrz W., Janeczko S., Pasternak-Winiarski Z. Geometry and représentations ofthe singular symplectic forms. Geometry and topology of caustics - CAUSTICS 02. Banach Center Publ, 62 (2004), 57-71.

wWemstein A. The local structure of Poisson manifolds. J. Diff. Geom. 18 (1983), 523-557.

"Pnevmatikos S. Structures hamiltoniennes en presence de contraintes. C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. A-B 289. (1979), № 16, A799-A802.

12Pnevmatikos S. Structures symplectiques singulières generiques. Ann. Inst. Fourier. 34 (1984), № 3,

201-218.

"Pnevmatikos S., Pliakis D. Gauge fields with generic singularities. Math. Phys. Anal. Geom. 3

(2000), № 4, 305-321.

конструкции для локальных алгебр Ли14. В связи с этим некоторые результаты дапиой работы, которая не имеет генетических связей с контактной геометрией, проникают в область исследований ее "вложений" в симплектическую151617. Для симплектических многообразий с контактными особенностями оказалось возможным изучить предельное поведение гамильтоновых полей, в контексте задачи непрерывного продолжения с всюду плотного множества {detoj ^ 0}. На этой основе построена теория, которая следует ключевым понятиям и фактам симплектической геометрии18, включая аналоги теорем Дарбу и Лиувилля. Применительно к контактной геометрии, отсюда возникает понятие интегрируемости по Лиувиллю контактных динамических систем, и имеет место аналогичная теорема. В случае к = 2, который не встречается в классической механике, источником физически-содержательных примеров оказалась теория электромагнитного поля в вакууме19. Понятие нулевой гиперповерхности, введенное в диссертационной работе, подразумевает постановку новой задачи — об устройстве поля вблизи пространственно-временной границы. Полученные на этом пути, первые результаты имеют ясный физический смысл.

Цели диссертационной работы.

1. Обосновать применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к интегрируемым системам на многообразиях с особенностями симплектической структуры.

2. Исследовать вопрос о существовании интегралов гамильтоновых систем, связанных с особенностями симплектической структуры.

3. Изучить предельное поведение гамильтоновых полей в точках вырождения симплектической структуры.

4. Найти эффективный критерий корректной определенности гамильтоновых полей, при некоторых ограничениях на способ вырождения симплектической структуры.

5. Для симплектических многообразий с особенностями, удовлетворяющими

"Кириллов A.A. Локальные алгебры Ли. Успехи мат. наук. 31 (1976), № 4, 57-76. "Gray J.W. Some global properties of contact structures. Ann. of Math. 2 (1959), Л4 69, 421-450.

"Eliashberg Y. On symplectic manifolds with some contact properties. J. Differential Geometry. 33 (1991), № 1, 233-233. "Etnyre J. On symplectic fillings. Algebr. k Geom. Topology. 4 (2004), 73-80.

l8Fomenko A.T. Symplectic Geometry. (Second edition). Gordon and Breach, 1995.

"Лалдау Л.Д., Лифпшц EM. Теория поля. М.: "Физматгиз", 1962.

введенным ограничениям, доказать аналоги теорем Дарбу и Лиувилля.

6. Найти новые примеры симплектических особенностей в физике, а также физические приложения развитой теории.

Основные методы исследования.

В работе использовались методы симплектической геометрии и гамильтоновой механики, топологии интегрируемых систем и классической теории электромагнитного поля.

Научная новизна.

Все результаты работы, за исключением §§1.1, 2.1, 4.1, содержащих справочный материал и историю вопроса, являются новыми и полученными самостоятельно. Основные результаты диссертации, вынесенные на защиту, состоят в следующем.

1. В предметную область теории инвариантов Фоменко-Цшпанга включены интегрируемые системы общего положения, заданные на 4-мерных симплектических многообразиях с типичными особенностями (теорема 3 § 2.2).

2. Найдены условия вырождения симплектических структур, обеспечивающие корректную определенность гамильтоновых полей при некотором естественном, известном ограничении (определение 1 п. 3.1.2, теорема 1 п. 3.1.3).

3. Найден канонический вид симплектической структуры в окрестности контактной точки (теорема 3 п. 3.1.4).

4. Изучено типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных точках (теорема 6 п. 3.3.1).

5. Для интегрируемых систем, заданных на многообразиях с контактными особенностями, доказан аналог теоремы Лиувилля (теорема 7 п. 3.3.2)

6. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой гиперповерхности (теорема 1 § 4.2).

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертационная работа имеет теоретический характер. Полученные результаты открывают новое направление исследований в симплектической геометрии и гамильтоновой механике. Они могут иметь приложения в контактной геометрии и теории интегрируемых контактных динамических систем, включая разработку методов явного интегрирования и анализ фазовой топологии.

Результаты диссертации также прилагаемы в электродинамике, где вводятся новые объекты исследования с ясным физическим смыслом. Предлагаемый подход и некоторые формулы могут оказаться полезными для численного моделирования электромагнитных полей вблизи пространственно-временной границы.

Апробация работы.

На протяжении работы (1999 - 2010) все ее промежуточные итоги обсуждались на семинаре А.Т. Фоменко "Современные геометрические методы". Результаты диссертации также докладывались на семинарах кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ, кафедры общей физики и термоядерного синтеза МЭИ (2008), Института математики СО РАН (2011) и представлялись па следующих конференциях:

1. 8 международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", ИПММ HAH Украины, г. Донецк, 2002г.,

2. Международная юбилейная конференция "Классические задачи динамики твердого тела", ИПММ HAH Украины, г. Донецк, 2004г.,

3. Международная топологическая конференция "Александровские чтения", г. Москва, МГУ, 2006г.

Публикации.

Результаты диссертации публикованы в 9 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях из перечня ВАК, написанных без соавторов, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации.

Объем диссертационной работы составляет 218 страниц, включая 14 рисунков. Она состоит из общей характеристики и четырех глав основного текста. Теоремы и другие утверждения нумеруются внутри каждой главы, независимо от других глав. В автореферате сохраняется нумерация из текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Глава 1 является вводной.

В § 1.1 приводятся основные понятия и факты из симплектической и контактной геометрий. В § 1.2 определяется исходный предмет исследования.

Определение 1 Пусть М есть многообразие с замкнутой 2-формой ш, вырождающейся в точках подмножества © меры ноль в М. Тогда М называется симплекгпическим многообразием с особенностью. Если х £ М и гк{шх) < dim(Af), то точка х называется особой.

В дальнейшем М или М2п есть симплектическое многообразие с особенностью, подмножество © состоит из тех точек х G М, в которых det ujx = 0, и нулевое подпространство (ядро) формы их обозначается Zx. Если х 6 0, то подпространство Zx имеет размерность 2к, где к > 1.

Доказано, что на любом четно-мерном многообразии существует замкнутая и почти всюду невырожденная 2-форма (теорема 3). На многообразиях с симплектической или почти симплектической структурой изучено типичное предельное поведение гамильтоновых полей в точках вырождения с двумерным ядром. Оно состоит в том, что в точке х е © модуль вектора sgrad[f) обращается в оо, но на прямой ZxnTxf~1(f(x)) однозначно определено его предельное направление или пара противоположных предельных направлений (теорема 4, следствие 1).

Множество 0 инвариантно относительно любого потока sgrad(H), корректно определенного на М. Возникает естественный вопрос: в каком случае подмногообразие 0 является поверхностью уровня некоторого интеграла такого потока ? В § 1.3 рассмотрен практически важный случай, когда (М,ш) возникает в виде sgrad(H) - инвариантного подмногообразия в некотором симплектической многообразии (N, ft), где и = П|м и Н есть некоторый гамильтониан на N. Тогда поле sgrad{H\u) корректно определено на М, и определитель матрицы Пуассона набора функций, задающих вложение М С N, обращается в ноль на множестве 0 С М. Найдено необходимое и достаточное условие того, чтобы вышеуказанный определитель был интегралом гамильтоновой системы sgrad(H\M) (теорема 5). Такие ситуации нередко встречаются в динамике твердого тела2021, когда М является поверхностью уровня пары функций Fi и F2 на N (§ 2.3). Тогда искомый интеграл равен объемлющей скобке {F\, F2], ограниченной на подмногообразие М.

В качестве приложения теоремы 5 доказано существование интеграла на М в том случае, когда подмногообразие М С N состоит из критических точек гамильтониана

^Kharlamov М.Р. Bifurcation diagrams of the Kovialevski top in two constant fields. Regular & chaotic dynamics. 10 (2005), № 4, 381-398.

21Kovalev A.M. Invariant and integral manifolds of dynamical systems and the problem of integration of the Euler-Poisson equations. Regular к chaotic dynamics. 9 (2004), № 1, 59-72.

Н : N М и является невырожденным в боттовском смысле (предложение 5).

Глава 2 посвящена вопросу о включении интегрируемых систем с симплектическими особенностями в предметную область теории А.Т. Фоменко — топологическая классификация интегрируемых гамильтоповых систем.

В § 2.1 кратко изложена теория топологических инвариантов Фоменко-Цишанга интегрируемых систем с двумя степенями свободы2223. Такие инварианты изображаются т.п. мечеными молекулами которые представляют собой

графы с рациональными числовыми метками на ребрах. При этом ребра отвечают непрерывным семействам торов Лиувилля Т2 С Q\, а вершины — бифуркациям. Инвариант Фоменко-Дишанга взаимно однозначно определяет топологию слоения Лиувилля на изоэнергетическом или другом инвариантном 3-многообразии.

В § 2.3 обоснована применимость данной теории к интегрируемым системам общего положения, заданным на симплектических многообразиях с особенностями.

Предположим, что на симплектическом многообразии с особенностью (М4,и) корректно определена нерезопансная, интегрируемая система sgrad Н с интегралом F, и дано замкнутое, связное, регулярное, ориентированное изоэнергетическое подмногообразие С (h). Назовем гладким комплексом объединение конечного числа непересекающихся (гладких) подмногообразий, размерности которых могут быть различными. Пусть Q\ тралсверсально пересекается с некоторым гладким комплексом «S, состоящем из точек множества Ö, так что пересечение Q\f)S является гладким комплексом и Qlf)Q = QlnS.K этому добавим следующие стандартные предположения, при которых вычисляются меченые молекулы W(Q3h).

1. Почти все торы Лиувилля Т2 С QI являются нерезонансными.

2. Интеграл F : —► R является такой функцией Ботта, что все ее критические подмногообразия являются вложенными окружностями.

3. Для некоторого е > 0 и целого m > 1 при любом h' e\h — e; h 4- е] множество критических точек интеграла F : Q\, R является несвязным объединением тп вложенных окружностей 5}(Л'), ^(Л'), ..., S^h'). При этом каждая окружность Sl(h') гладко зависит от Л', и образом цилиндра (J {S}(h') : h~e<h'<h + e]

22Фоменко А.Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамилътоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР, серия матем. 54 (1990), Л"« 3, 546-572.

23Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамилътоновы системы. Топология. Геометрия. Классификация. Ижевск: "Удмуртский университет", 1999.

относительно отображения Т = (Я, F) является регулярная кривая которая трансверсально пересекает отрезок F{Qh) в точке (h,F{S}{h))). Любые две кривые сг< и <Tj не пересекаются или совпадают, где 1 <i,j < т.

Тогда справедлива теорема, служащая основным результатом главы 2.

Теорема 3 Любая связная компонента S' гладкого комплекса S имеет размерность 3 или 2. Если dim S' = 3, то каждая связная компонента Q\ П S' представляет собой тор Лиувилля или гладкое многообразие, которое является подмножеством некоторого, критического уровня интеграла F : Ql -> R. Если dim 5' = 2, то связные компоненты Q3h П S' представляют собой вложенные окружности, которые являются критическими или состоят из регулярных точек интеграла F : Q\ —* M.

Для любого, достаточно малого е > 0 многообразие Q\ склеено из связных компонент U(MC) подмногообразий F~l[fc - е ; /с 4- s], выбранных по всем критическим значениям /с интеграла F : —> К. При этом каждое

подмногообразие U(AQ несет на себе структуру атома, который топологически эквивалентен атому некоторой интегрируемой системы на симплектическом многообразии без особенностей, и определена меченая молекула W*(Ql). Любая интегрируемая система sgradH па многообразии Q3 с меченой молекулой W*(Q3) топологически эквивалентна системе sgradH на тогда и только тогда, когда W"(Q3) — W*(Q\) или эти молекулы могут быть сделаны равными после изменения ориентаций некоторых ребер.

По существу теорема 3 означает, что в процессе вычисления молекул W*(Ql), т.е., инвариантов Фоменко-Цишанга можно проигнорировать симплектические особенности, если Ql трансверсально пересекается с гладкими кусками 0.

В § 2.3 рассмотрен пример интегрируемой системы, удовлетворяющей условиям теоремы 3, который называется случаем Богоявленского. Он отвечает намагниченному волчку Ковалевской в двух силовых полях (гравитационном и магнитном), движение которого рассматривается на 4-мерном подмногообразии M нулевого уровня интеграла типа Ковалевской (обобщенный I класс Аппельрота).

В 2.3.2 доказано, что каждая точка 3-многообразия 0 является контактной (это понятие вводится в главе 3). С каждым изоэнергетическим подмногообразием Ql гиперповерхность 0 пересекается по нескольким торам (1, 2 или 4). Для интеграла F данной системы, дополнительного к гамильтониану Я, в предложении

5 описано предельное поведение потока адгай(Р) на торах Т2 С П в. При этом скорость потока обращается в ос, но предельные траектории образуют квазипериодические обмотки торов, которые трансверсальны квазипериодическим траекториям поля здга<1{Н). С точки зрения топологии слоения Лиувилля симплектические особенности данной задачи ничем себя не проявляют. Однако они отразились в значениях некоторых е - меток (е = ±1), что обусловлено наличием периодических траекторий, состоящих из критических точек гамильтониана Я и вложенных в подмногообразие в. Например, е - метки в молекуле а) и на ребрах г = оо в молекуле Ь) (рис. 1) имели бы значения с противоположным знаком, если бы объемлющая симплектическая структура не вырождалась в точках инвариантного подмногообразия в = ¿^(О). Следует заметить, что на симплектическом многообразии (без особенностей) подобные динамические эффекты невозможны, т.к. критические точки гамильтониана всегда являются стационарными траекториями, в силу чего не могут лежать на периодических траекториях потока.

Случай Богоявленского также является содержательным примером к теореме 5 из § 1.3, где роль надмногообразия N Э М играет 6-мерная орбита 0е копредставления полупрямого произведения группы 50(3) с двумя экземплярами Е3. При этом дополнительный интеграл Р, существующий на инвариантном подмногообразии М = 0), пропорционален объемлющей скобке Пуассона

.^г}, где 2 = 2\ -1- ^ есть интеграл типа Ковалевской на О6. В предложении 7 для гладкой гиперповерхности в установлен ее топологический тип Я1 х М2.

Таким образом, в главе 2 предметная область теории инвариантов Фоменко-Цишанга расширена за счет интегрируемых систем с симплектическими особенностями общего положения, которые встречаются в физически содержательных задачах. По-видимому, такие системы станут преобладающими в связи с увеличением размерностей исходных фазовых пространств, внутри которых, т.е., на инвариантных подмногообразиях могут быть найдены интегрируемые случаи с двумя степенями свободы.

Рис. 6: Меченые молекулы в случае Богоявленского.

Глава 3 заключает в себе теорию симплектических многообразий с контактными особенностями. Рассматриваются многообразия М с замкнутой 2-формой и, вырождающейся в точках гладкой гиперповерхности 0 и невырожденной вне ее.

В § 3.1 вводится условие контактности точек р 6 9, которое является свойством общего положения для замкнутых 2-форм указанного вида, а в случае dim Zp — 2 является свойством общего положения в классе всех замкнутых 2-форм на М.

Для каждой кососимметрической матрицы ш = (uij) с точностью до знака определен такой многочлен Р 6 Z[wifi,.. ■ ... ,W2n-i,2n]> что Р2 = det(w). Он называется пфаффианом и обозначается Р/(ш).

Определение 1 Пусть (М,и) - симплектическое многообразие с особенностью, dim Zp — 2k в некоторой точке р 6 Э и существует такая гладкая гиперповерхность S в М, что р £ S С 0 и dim Zy — 2k в каждой точке у 6 S. Тогда при условиях Zp (f. TPS, cP-1P/(w)p ф 0 точка р называется контактной.

Условие d2t_lP/(w)p Ф 0 означает, что в любых координатах хотя бы одна из частных производных порядка 2к—1 отлична от нуля. При этом для любых координат х 6 R2n в окрестности р, в каждой близкой точке у € 0 равны нулю все производные функции P/(wy(x)), порядков от 0 до 2к — 2 включительно (лемма 3).

В предложении 2 дан алгоритм проверки условия контактности в том случае, когда симплектическая структура ограничена на четно-мерное подмногообразие некоторого симплектического многообразия (в связи с чем возникли особенности).

В работе показано, что очевидное необходимое условие df(Zx) г 0 для корректной определенности поля sgrad(f) на М, вообще говоря, не является достаточным. В случае контактных вырождений его достаточность вытекает из следующей теоремы

Теорема 1 Пусть р - контактная точка и / - гладкая функция на М. Если d}{Zy) = 0 для всех у 6 0, достаточно близких к р, то существует предел

lim sgrad(f)(y),

вЦу—р

принадлежащий Тр@ и гладко зависящий от точки р.

Таким образом, найден критерий корректной определенности гамильтоновых полей в контактных точках вырождения симплектической структуры.

Доказана локальная гамильтоновость фазовых потоков, сохраняющих симплсктическую форму с контактными особенностями (предложение 6).

Решена задача о каноническом виде замкнутой 2-формы в окрестности контактной точки, т.е., доказан следующий аналог теоремы Дарбу.

Теорема 3 Пусть р - контактная точка и А\ха2р = 2к > 2. Тогда в некоторой окрестности р существуют координаты (х, р, ^ е К24 х К""* х К""*, в которых:

¿=2 1=1 Такие координаты называются каноническими. В 3.1.5 изучены свойства формы объема П = Доказан аналог теоремы Мозера о том, что для замкнутого и

ориентируемого многообразия М с контактными особенностями группа Н2(М,Щ нетривиальна (теорема 4). Показано, что объем симплектического многообразия с контактными особенностями может быть отрицательным или равным нулю.

В § 3.2 описана каноническая структура Ли на гиперповерхности 0, состоящей из контактных точек (теорема 5, следствия 4,5,6). Поле 2к - мерных ядер 2Х определяет 2к-1 мерное распределение х \—> 2ХПТх9, которое вполне интегрируемо в силу леммы 1 из § 1.2. Таким образом 6 расслоено на 2к - 1 мерные, инъективно погруженные, интегральные многообразия данного распределения. Каждое их них несет на себе точную контактную структуру, которая инвариантно определяется формой и и в любых канонических координатах х,р, я локально задается 1-формой йх2 + . Такое расслоение на контактные многообразия

эквивалентно заданию на 0 структуры регулярного многообразия Ли с нечетно-мерными, транзитивными слоями, а при п —к само 6 является точным контактными многообразием. Этим обусловлен термин контактная точка.

Доказана реализуемость любого точного контактного многообразия гиперповерхностью 0 С М, состоящей из контактных точек вырождения замкнутой 2-формы и на М (равной нулю на ТеМ). Для этого введена конструкция 5 -симплектизации, которая является модификацией обычной симплектизации и не зависит от выбора контактной 1-формы (определение 4, предложение 9). Грубо говоря, стандартные координаты на 1-мерных слоях симплектизации заменяются из квадратами. Аналогичный локальный результат получен для нечетно-мерных многообразий Ли с нечетно-мерными слоями (предложение 8). В 3.2.3 рассмотрен физически содержательный пример 5 - симплектизации, связанный с метрикой

Фридмана стандартной модели расширяющейся Вселенной, где соответствующее контактное многообразие имеет размерность 7.

Таким образом, все точные контактные многообразия являются гиперповерхностями в в симплектических многообразиях с контактными особенностями, отвечающими обнулению формы ш. При этом класс последних отнюдь не исчерпывается Я - симплектизациями, т.к. введенная в работе конструкция контактно-связной суммы порождает симплектические многообразия с контактными особенностями, которые не являются 5 - симплектизациями. Эта конструкция определяет на связной сумме симплектических 2п-многообразий симплектическую форму ш с контактными особенностями в точках сферы 52"-1, по которой происходит склейка. При этом впе бесконечно малой окрестности сферы форма ш согласована с симплектическими формами слагаемых (определение 5). Данная конструкция может быть легко обобщена па случай склеивания по подмногообразиям типа Бт х Бг, так что при этом возникают многообразия с контактными особенностями, отвечающими любым размерностям ядер формы ш .

Из теоремы 3 следует, что в окрестности контактной точки р 6 © гамильтонова система здгас1{$), рассматриваемая па М \ 0, приводится к следующему виду:

где 1 < i < п — А; и 1 < j < й — 1 и dim 2Р = 2к.

В § 3.3 изучено типичное предельное поведение гамильтоповых полей в контактных точках, где к > 1.

Теорема 6 Пусть dim Zp = 2к > 4 и f есть гладкая функция на некоторой окрестности контактной точки р £ 0, удовлетворяющая условию df(Ilp) ^ 0 . Тогда найдется такая окрестность О точки р, что Уу е О П 0 поле sgrad(f) имеет только одно предельное положение в точке у. Оно инцидентно 2к — 3 мерной плоскости П„ П Hv{f) и является несобственным квази-порядка 2. При этом на множестве О определено гладкое поле направлений, продолжающее поле

\

/

направлений потока sgrad(f) и включающее в себя его предельные положения в точках О Л в.

Здесь Пр есть 2к - 2 мерная плоскость канонической структуры Ли на Ö, а Hy(f) обозначает касательную гиперплоскость к поверхности уровня /-1(/(у))-Пространство Пр натянуто на предельные направления всевозможных косых градиептов, являющихся бесконечно большими порядка х~2 ПРИ У Р> У # ® (предложение 10), где х(у) есть расстояние от точки у до гиперповерхности Ö в произвольной рималовой метрике. Утверждение теоремы о предельном положении квази-порядка 2 означает следующее. Имеет место

lim x4l/)-sgrad(f)(]/)=*v*0, lim |s5rad(/)(!/')l = .

Таким образом, в каждой точке у 6 ОП0 хотя бы одна из координат вектора sgrad(f) обращается в оо, но данное гамильтоново поле имеет предельное направление.

Пусть [t>]+ = Ua>o{Ad} есть направление вектора v ^ 0 и [и] = Ua€r{Ai>} . Нам также потребуются следующие обозначения. Пусть на симплектическом многообразии с особенностью (М, и) задана гладкая функция f, и точка р лежит в множестве 0.

1. Если существует limsgrad{J){y) =w£ ТРМ, то вектор w обозначается sgrad(f)(p) и называется косым градиентом / в р.

2. Если при limejty-./) |sprati(/)(i/)| = +со существует

lim [sgrad{f){y)}+ = 1+ С ТРМ ,

©г у—р

то несобственное предельное положение I+ обозначается sgrad^lfjip).

3. Если при lime^plsiraifi/Jfe)! = +оо найдется шаровая окрестность О точки р, разделяемая гиперповерхностью О П в на два открытых полушария 0+ и 0~, и существуют противонаправленные пределы

lim [sgrad(f)(y)]+, lim [sgrad{f){y)\+ ,

О+Эу—р О'ЭУ—Р

то каждое из этих двух направлений в Т„М обозначается sgrad±(f)(p).

Доказаны следующие аналоги теоремы Лиувилля для интегрируемых систем, заданных на симплектических многообразиях с контактными особенностями.

Теорема 7 Пусть па симплектическом многообразии с особенностью (М2п,ш) заданы гладкие функции fi,...,fn, определяющие нерезонансное, пуассоново

действие группы R" на симплектическом многообразии (М2п\&, и>). Предположим, что образ G относительно отображения момента J- : М —» R" имеет меру ноль, и некоторый тор Лиувилля IJ С 0 состоит из контактных точек у, в которых

di тТуТ£ f)Zv = k, dim Zy = 2k>2 .

Тогда на некоторой окрестности U тора IJ1 определены такие функции F\,..., F„, являющиеся интегралами на U\Q, что 9 П U = i;j"1(0) и ковекторы dFi,..., dF„ линейно независимы на U. При этом поле прямых [sgrad(.Fi)], поля направлений [sgraiZ^a)].!. и векторные поля sgrad(Fi) гладко продолжаются с U \ & на все множество U, где 2 < а < к и к + 1 < i < п. Для любого тора Лиувилля Т" С U П 0 в каждой точке р £ Т" имеет место

ТРТ" = (2РПТРТ") © [sgrad{Fh+1)(p),... ,sgrad(Fn){p)] , Zp П ТРТ" = [sgrad±(Fi)(p), sgrad?°(F2)(p)......

При этом интегральные траектории полей sgrad(Fi) и интегральные кривые распределений [sgrad± (Fi)], [sgi-ad^Fc)] являются квазипериодическими обмотками относительно некоторых угловых координат, гладко зависящих от тора Тп С U; при k > 1 в каждой точке pZ.T" имеет место

П„ П Т/Г1 = [sgra<f°(F2)(p),..., agraF°(Fk)(p)] ,

где Пр есть плоскость канонической контактной структуры на любом, проходящем через точку р интегральном многообразии интегрируемого, 2Аг — 1 мерного распределения у i—► Zy П Ту&, определенного на гиперповерхности U П 0.

Интегралы Fi могут быть явно выражены формулами (3.27), и в этом случае все интегральные траектории полей sgrad(Fi) являются 2тг - периодическими.

Формула (3.27) имеет обычный вид

^ = k + l<i<n,

где ¡3 есть первообразная от и и циклы jt гомологичны линиям каких-нибудь угловых координат ^ , так что определяемый ими тор Тп~к С Г" в каждой своей точке у трансверсален к - мерной плоскости Zv Г\ТУТесли V С 0.

В условиях теоремы 7 каждая компактная связная компонента прообраза любого регулярного значения отображения Т — fi х... х /„ является тором Т™ (предложение

2 § 2.2), который не пересекается с множеством © или целиком лежит в нем (предложение 3 § 2.2). В последнем случае он называется тором Лиувилля, и теорема 7 описывает поведение потоков интегралов вблизи такого тора. Размерность подпространства ТРТЦ П 2Р не может быть меньше к (предложение 13). Поэтому в теореме 7 описан случай общего положения. Согласно предложению 14, набор интегралов Рх,..., нельзя улучшить в смысле предельного поведения на V П 0.

Теорема 8 Пусть п > 1 и на симплектическом многообразии с особенностью (АР1,ш) заданы функции Л,...,/п. определяющие нерезонансное, пуассоново действие группы К" на симплектическом многообразии (М2"\0, ш). Предположим, что образ множества 0 относительно отображения момента Т = (Л,..., /п) имеет меру ноль в Кп, и некоторый тор Лиувилля Т0п С в состоит из контактных точек р, в которых 2Р = ТРМ.

Тогда на некоторой окрестности II тора определены независимые функции х,вг,. •.,з„, являющиеся интегралами пуассонова действия на!1\&. На открытом множестве II определены такие координаты

что (многозначные) функции <р\,...,<рп являются угловыми координатами на торах Лиувилля Т" С II, и форма и имеет на множестве V канонический вид:

В случае <Ит2р < сИт М приведение формы ш к каноническому виду на V возможно в том и только в том случае, когда для каждого тора Т" С V П 0 все максимальные интегральные подмногообразия (к - мерного, интегрируемого) распределения Т" Э у >—► 2У П ТуТ1 являются компактными (предложения 15, 16). Эти подмногообразия отнюдь не обязаны быть компактными (предложение 5 § 2.3). Если же они оказались компактными, то форма ш приводится к каноническому виду:

В § 3.4 введено понятие интегрируемой по Лиувиллю, контактной динамической системы, где роль скобки Пуассона играет скобка Лагранжа [*,*]. При этом необходимо добавить условие, согласно которому равны нулю производные

(х, в2, ..., 5„, V?! то(127г, ..., <р„ тос! 2и)

интегралов вдоль (1-мсрных) ядер формы ¿9, где в есть контактная 1-форма. Формально это эквивалентно тому, что все интегралы коммутируют с произвольной константой. Для таких функций скобка Лагранжа имеет гамильтоново выражение = Х;{д) = —Хг(/) , где X/ есть контактное векторное поле с контактным гамильтонианом /. Обозначим С(Х\,... ,Хт) плоскость, натянутую на векторы Х1,... ,Хт. Из теоремы 8 вытекает следующий аналог теоремы Лиувилля.

Теорема 9 Пусть на точном 2п - 1 мерном контактном многообразии (К, П) фиксирована контактная 1-форма в, и даны почти всюду независимые функции /1,..., /п-ъ так что [/¡, /,] = 0 для всех 1 < г, < га — 1. Предположим, что для каждой функции /,- справедливо д/((Кег(с16)) = 0, и прообраз любого регулярного значения отображения х ... х /п_!: К —> К™-1 является компактным.

Тогда каждая из функций является интегралом каждого потока X¡} , и произвольная связная компонента регулярной поверхности уровня интегралов

/!...../„_! является вложенным в К тором Тп, на котором каокдов из полей Хд

определяет квазипериодическое движение.

При этом некоторая нормальная окрестность II тора Т" С К расслоена вложенными, X/, - инвариантными п-торами. Любое интегральное многообразие распределения плоскостей которое проходит через некоторую

точку и, является лежандровым и инъективно погруженным в Хд -инвариантный п-тор, где 1 < г < п — 1.

На I] определены независимые функции 83,...,зп, являющиеся интегралами каждого из потоков X/, . На многообразии II определены координаты

где ipi, ....v'n есть угловые координаты на торах s = const. В этих координатах контактная форма в имеет канонический вид

3=2

Таким образом, теория контактных симплектических особенностей нашла интересное приложение в контактной геометрии.

Глава 4 посвящена примерам и приложениям теории симплектических многообразий с контактными особенностями, найденным в электродинамике.

(s2, ..., s„, tpi mod 27г, ..., ipn mod 2тг),

n

Исходным соображением является следующее. Традиционно электромагнитное поле рассматривается локально, а его граница считается расположенной в бесконечности. Между тем поле имеет край (передний фронт), который быстро удаляется от источников, заметая гиперповерхность в пространстве-времени. Естественно предположить, что электромагнитное поле обнуляется на этой 3-поверхности. Таким образом, классическая электродинамика может быть источником примеров симплектических многообразий с контактными особенностями, которые отвечают полному обнулению структурной формы

ш = -ой Л {Ехйх 4- Еуйу + Егйг) + д.х Л {Н,йу - Нуйг) + Нх<1у Л ¿г

(замкнутой в силу уравнений Максвелла), т.е., тензора электромагнитного поля.

Пространство-время К4 рассматривается с галилеевыми координатами (г, <) = (ж, у, которые определены с точностью до преобразования Пуанкаре, и с метрикой = с2^2 - йх2 - ёу2 - ¿г2. Пусть К? = {(г, *) £ К4 : г £ К3}.

В § 4.1 собраны необходимые сведения из теории поля и рассмотрены наводящие примеры. В § 4.2 даны формальные определения и при некоторых, естественных предположениях изучена геометрия поля вблизи нулевой гиперповерхности. Данное понятие служит формализацией представления о пространственно-временной границе, хотя может рассматриваться и само по себе.

Определение 1 Пусть на 4-мерном подмногообразии V С К4 (возможно с краем) дана замкнутая 2-форма

ш = -с<Й Л (Ехйх + Еуйу + Ег<1г) + йх Л (Нгйу - Нуйг) + Н^у Л йг ,

и фиксирована гладкая гиперповерхность 0 С V. Предположим, что в каждой точке р £ 0 форма ыТ равна нулю, и существует ненулевой вектор £ £ Тр&, который изотропен относительно ёв2.

Тогда будем говорить, что 0 является нулевой гиперповерхностью электромагнитного поля, определяемого тензором и. Если в некоторых галилеевых координатах при фиксированном 4 множество = П<Э непусто, то поверхность С К? называется нулевым фронтом электромагнитного поля.

Условие об изотропном векторе £ весьма естественно с физической точки зрения. Оно потребовалось для того, чтобы в любых галилеевых координатах было корректно определено гладкое (нсинвариантное) 2-мерное подмногообразие

Теорема 1 Пусть & - нулевая гиперповерхность поля с формой и>, имеющей контактное вырождение в некоторой точке ро 6 9. Тогда существует такая окрестность О Э ро, что S = О П 0 является гладкой гиперповерхностью и матрица ш невырождена на 0\&. Если плотность зарядов р равна нулю на S, то для любой точки р = (г, i) 6 S существуют гладко зависящие от р, взаимно ортогональные в Kf пределы

lim [Е(?)]+ С TtT\ и lim [Н(9)]+ С ,

и каждая из величин |Е(д)| и |Н(д)| при 0 $ q —» р имеет порядок х{ч), где х(М) - евклидово расстояние в от точки г до нулевого фронта Tt .

Если плотность зарядов на нулевом фронте тождественно равна нулю, то, согласно теореме 1, в пространственно-временной близости от контактной точки (г0, ¿о) £ 0 электромагнитное поле устроено следующим образом. Величины векторов Е и Н пропорциональны расстоянию до нулевого фронта Ти при этом предельные направления Е и Н касаются фронта и являются взаимно ортогональными. Угол между векторами Е и Н отличается от прямого на величину, которая пропорциональна расстоянию до фронта J-t (рис. 2).

В § 4.3 рассмотрен случай электромагнитного поля, у которого нулевая гиперповерхность 0 С R4(r,t) вложена в световой конус c?t2 — г2 = О, где f > О . Представлены формальные примеры контактных вырождений тензора электромагнитного поля (примеры 4, 5), а также техника получения таких примеров в неограниченном количестве (предложение 3). Пример нулевой гиперповерхности с контактными точками, имеющий ясный физический смысл, приводится в § 4.2 (пример 3). Описана каноническая контактная структура на световом конусе 0. При (г, i) 6 0 контактная плоскость П2Г^ натянута на вектор (г, i) и предельное направление магнитного поля Н (предложение 4). Для электромагнитных полей со сферическим фронтом введены калибровочные условия на потенциалы, обеспечивающие обнуление зарядов на нулевой гиперповерхности (предложение 3). При этих условиях получены дифференциальные уравнения I порядка для потенциалов поля в бесконечно тонком пространственно-временном слое, прилегающем к световому конусу (предложение 5).

Таким образом, электродинамика является естественным источником примеров и приложений теории, развитой в главе 3.

Рис. 1: Возможные конфигурации поля вблизи контактной точки р.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор глубоко признателен профессору Алексею Викторовичу Болсинову за регулярные обсуждения и важные критические замечания на всем протяжении диссертационной работы, без которых она не могла быть осуществлена, академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко за неоценимую поддержку всей научной деятельности, начиная с первых самостоятельных шагов.

Список работ автора по теме диссертации.

1. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang Invariant in the Bogoyavlenskyi Integrable Case. Regular & chaotic dynamics, 5 (2000), Л"1 4, 437-458.

2. Зотьев Д.Б. О симплектической геометрии многообразий с почти всюду невырожденной замкнутой 2-формой. Математические заметки, 76 (2004), вып. 1, 66-77.

3. Зотьев Д.Б. Фазовая топология волчка Ковалевской в 50(2) - симметричном двойном силовом поле. Механика твердого тела, 34(2004), 66-71.

4. Зотьев Д.Б. Фазовая топология I класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном поле. Фундаментальная и прикладная математика, 12 (2006), № 1, 95128.

5. Зотьев Д.Б. Об одном частном интеграле, который можно извлечь из матрицы Пуассона. Нелинейная динамика. 3 (2007) № 1, 75-80.

6. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. Математический сборник, 198 (2007), № 4, 47-78.

7. Zotev D.B. Оп a partial integral which can be derivedfrom Poisson Matriz. Regular & chaotic dynamics, 12 (2007), № 1, 81-85.

8. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения тензора электромагнитного поля. Вестник МЭИ, (2011), № 2 (в разделе математика), 134-138.

9. Zotev D.B. Topology of integrable systems: The Fomenko theory. Reviews in Mathematics and Mathematical Physics (2011).

Зотьев Дмитрий Борисович

СИМПЛЕКТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ С КОНТАКТНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано к печати 18.08.2011г.Формат 60x84/16. Бум офс. Усл.-печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 111. Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства «Перемена», 400131, г.Волгоград, пр.Ленина,27

Общая характеристика работы.

Глава 1. Введение.

§ 1.1. Симплектическая и контактная геометрия.

§ 1.2. Вырожденные особенности симплектической структуры.

1.2.1. Исходные понятия.

1.2.2. Первые результаты.

§ 1.3. Частный интеграл, связанный с особенностью симплектической структуры инвариантного подмногообразия.

Глава 2. Симплектические особенности и теория А.Т. Фоменко.

§ 2.1. Теория А.Т. Фоменко.

§ 2.2. Поправки па симплектические особенности.

§ 2.3. Пример интегрируемой системы с особенностью.

2.3.1. Случай Богоявленского.

2.3.2. Контактные особенности.

2.3.3. Особая поверхность.

2.3.4. Обозначения.

2.3.5. Метки при /11 < Н < /12.

2.3.6. Метки при /г2 < Н < /10.

2.3.7. Метки при Н0 < к < /г3.

2.3.8. Метки при Н >

2.3.9. Топология особой поверхности.

Глава 3. Симплектическис многообразия с контактными особенностями

§ 3.1. Контактные вырождения замкнутых 2-форм.

3.1.1. Контактная структура на особой гиперповерхности.

3.1.2. Контактные особые точки.

3.1.3. Продолжения гамильтоновых полей.

3.1.4. Теорема Дарбу.

3.1.5. Симплектический объем.

§ 3.2. Каноническая структура Ли.

3.2.1. Контактные вырождения и структуры Ли.

3.2.2. Контактные вырождения и симплектизация.

3.2.3. Решения Фридмана.

3.2.4. Контактно-связная сумма.

§ 3.3. Гамильтоновы системы.

3.3.1. Предельные положения.

3.3.2. Теорема Лиувилля.

§ 3.4. Интегрируемые контактные системы.

Глава 4. Нулевая гиперповерхность электромагнитного поля.

§ 4.1. Классическая теория электромагнитного поля в вакууме.

§ 4.2. Нулевая гиперповерхность.

§ 4.3. Тензор электромагнитного поля вблизи светового конуса.

§ 4.4. Плотность токов и зарядов вблизи светового конуса.

Актуальность темы диссертации.

Также как и риманова. симплектическая геометрия исходит из предположения о невырожденности тензора структуры [4, 58], что генетически связано с уравнениями У.Р. Гамильтона в их исходном виде [67]. Широко известны глубокие приложения симплектической геометрии в небесной механике и динамике твердого тела [2, 36], где фазовые пространства интегрируемых гамильтоновых систем являются симплектическими многообразиями — кокасательными расслоениями или орбитами коприсоединенных представлений. Однако структурный тензор (замкнутая 2-форма), вообще говоря, вырождается при ограничении на подмногообразие. Последнее может представлять интерес, будучи инвариантным для гамильтоновой системы. Такие подмногообразия действительно встречаются в физически-содержательных ситуациях. Разумно предположить, что, по мере возрастания размерностей задач, новые интегрируемые случаи будут чате встречаться на инвариантных многообразиях (в целом неинтегрируемых систем). Первый из таких случаев в динамике твердого тела, найденный О.И. Богоявленским в [о] и топологически изученный в [95], стал оправной точкой для этой диссертационной работы.

С другой стороны, с точки зрения математики естественно допустить, что матрица замкнутой 2-формы является невырожденной почти всюду, но вырождается в точках, составляющих подмножество меры ноль. Тогда симплектическая геометрия имеет особенности, о которых почти ничего не известно в случае, когда ранг формы падает на 2 к > 2. Известная статья Ж. Мартине [76] содержит первое и, возможно, единственное общее исследование подобных структур. Однако, в этой глубокой работе собственно симплектическая геометрия ограничена простейшим, хотя и наиболее важным случаем к = 1. Другие исследования, как правило, вращаются около результатов Мартине и относятся к вырождениям с двумерным ядром [50, 51. 62, 70, 83. 84, 87]. Во многом это связано с объективной сложностью задачи, т.к., согласно замечанию В.И. Арнольда: отсутствие условия невырожденности в определении симплектической структуры делает локальную классификацию таких структур необозримой [4]. Напротив, вырожденные особенности пуассоновских структур легко поддаются изучению, т.к. они не мешают гамильтоновым полям быть всюду корректно определенными, ключая точки вырождения структурного тензора [23, 30, 90, 92,

93]. Поэтому несмотря на то, что в невырожденном случае симплектические и пуассоновские многообразия сосуществуют "сопряженными" парами, вырождения соответствующих структур имеют принципиально разные последствия. Ключевым является вопрос о корректной определенности гамильтоновых полей, которому было уделено большое внимание в работах С. Пневматикоса [82, 83, 84, 85], где на вырождения замкнутых 2-форм накладывается естественное условие депеггдиез . Но за исключением явно заданных в координатах 2-форм нужного вида, в случае вырождений коранга 2к > 2 отсутствует способ проверки этого условия. Таким образом, сегодня не существует сколько-нибудь общей теории многообразий с вырожденными особенностями симплектической структуры.

В диссертационной работе развита теория симплектических многообразий с особенностями, которые удовлетворяют некоторому условию контактности. Оно является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, каждая из которых вырождается в точках гиперповерхности, будучи невырожденной всюду вне ее. Класс несущих на себе такие структуры многообразий, в определенном смысле, включает в себя симплектизации контактных многообразий и аналогичные конструкции для локальных алгебр Ли [4, 20]. В связи с этим некоторые результаты данной работы, которая не имеет генетических связей с контактной геометрией, попадают в область исследований ее "вложений" в симплектическую [52, 54, 56, 65, 75, 78]. Для симплектических многообразий с контактными особенностями оказалось возможным изучить предельное поведение гамильтоновых полей, в контексте задачи непрерывного продолжения с множества {с1е!ш ф 0}. На этой основе построена теория, которая следует ключевым понятиям и фактам симплектической геометрии, включая аналоги теорем Дарбу и Лиувилля. Применительно к контактной геометрии, отсюда возникает понятие интегрируемости по Лиувиллю контактных динамических систем, и имеет место аналогичная теорема. В случае к = 2, который не встречается в классической механике, источником физически-содержательных примеров оказалась теория электромагнитного поля в вакууме. Понятие нулевой гиперповерхности, введенное в диссертационной работе, подразумевает постановку новой задачи — об устройстве поля вблизи пространственно-временной границы. Полученные на этом пути, первые результаты имеют ясный физический смысл.

Цели диссертационной работы.

1. Обосновать применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к интегрируемым системам, которые возникают на многообразиях с особенностями симплектической структуры.

2. Исследовать вопрос о существовании интегралов гамильтоновых систем, связанных с вырождениями симплектической структуры.

3. Изучить предельное поведение гамильтоновых полей в точках вырождения симплектической структуры.

4. Ввести разумные ограничения на способ вырождения симплектической структуры, позволяющие сформулировать условия корректной определенности гамильтоновых полей.

5. Доказать аналоги теорем Дарбу н Лиувилля в ситуации симплектичсских особенностей, удовлетворяющих введенным ограничениям.

6. Найти физически-содержательные примеры симплектических особенностей, связанные с теорией электромагнитного поля.

Научная новизна.

Все результаты диссертационной работы, за исключением справочного материала §§ 1.1, 2.1, 4.1. являются новыми и полученными самостоятельно.

1. Доказано сущестовование замкнутой, почти всюду невырожденной 2-формы на любом четно-мерном многообразии (теорема 3 § 1.2).

2. На многообразиях с симплектической или почти симплектической структурой, имеющей особенности общего положения, описано типичное предельное поведение гамильтоновых потоков в точках вырождения с двумерным ядром (теорема 4, следствие 1, предложение 2 § 1.2).

3. Найден критерий существования частного интеграла гамильтоповой системы, связанного с вырождением симплектической структуры на инвариантном подмногообразии (теорема 5, предложение 5 § 1.3).

4. Обоснована применимость теории инвариантов Фоменко-Цишанга к интегрируемым системам общего положения, заданным на многообразиях с особенностями симплектической структуры (теорема 3 § 2.2).

5. В интегрируемом случае О.И. Богоявленского уточнены значения е - меток в инвариантах Фоменко-Цишанга (рис. 4), доказана контактность всех точек вырождения симплектической структуры, описано предельное поведение потоков интегралов на особой гиперповерхности и установлен ее топологический тип (п. 2.3.2, предложение 7 § 2.3).

6. Введено условие контактности особых точек симплектической структуры, которое обобщает типичные вырождения с двумерным ядром и является свойством общего положения для замкнутых 2-форм, вырождающихся в точках гиперповерхности (определение 1 § 3.1).

7. Найдено условие контактности точек вырождения симплектической структуры, индуцированной на четно-мерной поверхности в симплсктическом многообразии (предложение 2 § 3.1).

8. Найден критерий корректной определенности гамильтоновых полей в контактных точках вырождения симплектической структуры (теорема 1, предложение 3 § 3.1).

9. Доказана гамильтоновость фазовых потоков, сохраняющих симплектическую форму с контактными особенностями (предложения 6. 7 § 3.2).

10. Доказан аналог теоремы Дарбу и найден канонический вид замкнутой 2-формы в окрестности контактной точки (теорема 3 § 3.1).

11. Описаны канонические структуры Ли и (или) контактные структуры на гиперповерхностях, состоящих из контактных точек вырождения симплектической структуры (теорема 5, следствия 4,5,6 § 3.2, предложение 10 § 3.3).

12. Доказана реализуемость контактных многообразий гиперповерхностями, состоящими из контактных точек вырождения некоторых симплектичсских структур (конструкция 5 - симплектизации). Аналогичный локальный результат получен для нечетно-мерных многообразий Ли с нечетно-мерными слоями (определение 4, предложение 9 § 3.2), предложение 8 § 3.2).

13. Найдена конструкция контактно-связной суммы симплектичсских многообразий, которая определяет на связной сумме симплектическую структуру с контактными вырождениями (определение 5 § 3.2).

14. Доказана теорема Мозера о нетривиальности 2-мерных когомологий де-Рама (теорема 4 § 3.1).

15. Изучено типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных точках (теорема 6 § 3.3)

16. Доказаны аналоги теоремы Лиувилля для интегрируемых систем, заданных на симплектических многообразиях с контактными особенностями (теоремы 7.8, предложения 15, 16 § 3.3).

17. Доказан аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых контактных систем на точных контактных многообразиях (теорема 9 § 3.4).

18. Найдены примеры контактных вырождений тензора электромагного поля пример 3 § 4.2, примеры 4, 5 § 4.3)

19. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой гиперповерхности (теорема 1 § 4.2)

20. Изучена каноническая контактная структура нулевой гиперповерхности электромагнитного поля (следствие 1 § 4.2, предложение 4 § 4.3).

21. Для электромагнитных полей со сферическим фронтом введены калибровочные условия на потенциалы, обеспечивающие обнуление зарядов на нулевой гиперповерхности (предложение 3 § 4.3, предложение 6 § 4.4)

22. Получены дифференциальные уравнения I порядка для потенциалов поля в бесконечно тонком пространственно-временном слое, прилегающем к световому конусу (предложение 5 § 4.3)

Результаты диссертации, выносимые на защиту.

Все результаты диссертационной работы, за исключением справочного материала §§ 1.1, 2.1, 4.1, являются новыми и полученными самостоятельно.

1. В предметную область теории инвариантов Фоменко-Цишанга включены интегрируемые системы общего положения, заданные на 4-мерных симплектических многообразиях с типичными особенностями (теорема 3 § 2.2).

2. Найдены условия вырождения симплектических структур, обеспечивающие корректную определенность гамильтоновых полей при некотором естественном, известном ограничении (определение 1 п. 3.1.2, теорема 1 п. 3.1.3).

3. Найден канонический вид симплектической структуры в окрестности контактной точки (теорема 3 п. 3.1.4).

4 Описано типичное предельное поведение гамильтоновых полей в контактных точках (теорема 6 п. 3.3.1)

5. Для интегрируемых систем, заданных на многообразиях с контактными особенностями, доказан аналог теоремы Лиувилля (теорема 7 п. 3.3.2)

6. Изучена геометрия электромагнитного поля вблизи контактной точки нулевой гиперповерхности (теорема 1 § 4.2).

Апробация работы.

На всем протяжении работы (1999 - 2010) ее промежуточные итоги регулярно докладывались на научном семинаре АТ Фоменко "Современные геометрические методы" Результаты диссертации также представлялись на семинарах кафедры дифференциальной геометрии и приложений МГУ, Института математики СО

РАН (2011). кафедры общей физики и термоядерного синтеза МЭИ (2008) и конференциях:

1. 8 международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", ИПММ НАН Украины, г. Донецк, 2002г.,

2. Международная юбилейная конференция "Классические задачи динамики твердого тела", ИПММ НАН Украины, г. Донецк, 2004г.,

3. Международная топологическая конференция "Александровские чтения", г. Москва, МГУ, 2006г.

Публикации по теме диссертации.

1. Zotev D.B. Fomenko-Zicschang Invariant in thc Bogoyavlenskyi Integrable Case. Regular & chaotic clynamics, 5 (2000), Л'е 4, 437-458.

2. Зотьев Д.Б. О симплектинеской геометрии многообразий с почти всюду невырожденной замкнутой 2-формой. Математические заметки, 76 (2004), вып. 1, 66-77.

3. Зотьев Д.Б. Фазовая топология волчка Ковалевской в 50(2) - симметричном двойном силовом поле. Механика твердого тела, 34(2004), 66-71.

4. Зотьев Д.Б. Фазовая топология I класса Аппельрота волчка Ковалевской в магнитном поле. Фундаментальная и прикладная математика, 12 (2006), № 1, 95128.

5. Зотьев Д.Б. Об одгюм частном интеграле, который можно извлечь из матрицы Пуассона. Нелинейная динамика. 3 (2007) № 1, 75-80.

6. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. Математический сборник, 198 (2007), Л* 4, 47-78.

7. Zotev D.B. Оп a partial integral which can be derived from Poisson Matriz. Regular & chaotic dynamics, 12 (2007), № 1, 81-85.

8. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения тензора электромагнитного поля. Вестник МЭИ, (2011), № 2, 134-138.

9. Zotev D.B. Topology of integrable systems: The Fomenko theory. Reviews in Math-ernatics and Mathcmatical Physics (2011).

10. Зотьев Д.Б. Инварианты Фоменко-Цишанга интегрируемых систем с симплектическими особенностями. Известия ВУЗов (в печати).

Структура диссертации.

Объем диссертационной работы составляет 218 страниц формата LaTEX. Она состоит из общей характеристики работы, четырех глав основного текста на 185 страницах, списка литературы и 14 рисунков. Определения, теоремы, следствия, предложения, леммы, замечания и примеры имеют независимую нумерацию в каждой главе. В составном номере каждой формулы указан номер текущей главы. При ссылках за пределы текущей главы всегда указывается глава, параграф или подпункт.

Автор глубоко признателен профессору A.B. Болсинову за регулярные обсуждения и важные критические замечания на всем протяжении работы, и академику А.Т. Фоменко за неоценимую организационную и моральную поддержку.

1. Аппсльрот Г.Г. Не вполне симметричные тяжелые гороскопы. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. В Сборнике, посвященном C.B. Ковалевской. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1940, 61-155. М., 1940.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: "Наука", 1979.

3. Арнольд В.И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: "Фазис", 1996.

4. Арнольд В.И., Гивепталь A.B. Симплектическая геометрия. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 4 (1985), 7-139.

5. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли. возникающие в задачах математической физики. Изв. АН СССР, серия мат. 48 (1984), № 5. 883-938.

6. Болсинов A.B. Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Успехи мат. наук. 45 (1990), jY» 2, 49-77.

7. Болсинов A.B., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Топология. Геометрия. Классификация. Ижевск: "Удмуртский университет", 1999.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: "Наука", 1988, 217.

9. Гийемин В. Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: "Мир", 1981.

10. Дирак П.A.M. Принципы квантовой механики. М.: "Физматгиз". 1960.

11. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: "Наука", 1979.

12. Зотьев Д.Б. О симплектической геометрии многообразий с почти всюду невырожденной замкнутой 2-формой. Мат. заметки. 76 (2004), № 1, 66-77.

13. Зотьев Д.Б. Фазовая типология волчка Ковалевской в 50(2) симметричном двойном силовом поле. Механика твердого тела. ИПММ HAH Украины. 34 (2004), 66-71.

14. Зотьев Д.Б. Фазовая топология I класса Аппслърота волчка Ковалевской в магнитном поле. Фундаментальная и прикладная математика. 12 (2006), Ш 1, 95-128.

15. Зотьев Д.Б. Об одном частном интеграле, который можно извлечь из матрицы Пуассона. Нелинейная динамика. 3 (2007). Л* 1. 75-80.

16. Зотьев Д.Б. Контактные вырождения замкнутых 2-форм. Математический сборник. 198 (2007), Л* 4, 47-78.

17. Зотьев Д.Б. Харламов М.П. Изоэнергетические многообразия и области возможности движется твердого тела в двойном поле сил. Нелинейная динамика. 1 (2005), № 1, 23-31.

18. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: "Наука", 1976, 511 (пп. 6.165).

19. Картан Э. Интегральные инварианты. М.-Л.: "Гостехиздат", 1940, 137.

20. Кириллов Л.А. Локальные алгебры Ли. Успехи мат. наук. 31 (1976), Л*8 4, 57-76.

21. Ковалевская C.B. Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. В книге "Научные работы". М.: "Наука", 1948, 153-220.

22. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: "Физматгиз", 1962.

23. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Успехи мат. наук. 37 (1982), jY« 5. 3-49.

24. Ошемков A.A. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркационные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на SO(4)- Успехи мат. наук. 42 (1990), № 2, 199 200.

25. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избр. труды, 1 т. М.: "Наука", 1971.

26. Топалов П.Й. Включение бутылок Клейна в т.еорию топологической, классификации гамильтоновых систем. Успехи мат. наук. 49 (1994), № 1, 227228.

27. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. ДАН СССР. 287 (1986), № 5, 1071-1072.

28. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. Изв. АН СССР, серия матем. 50 (1986), № 6, 1276-1307.

29. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю. Функциональный анализ и его приложения. 22 (1988), № 4, 38-51.

30. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: "МГУ", 1988.

31. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Гомотопическая типология. М.: "Наука", 1989.

32. Фоменко А.Т., Цишаиг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР, серия матем. 54 (1990), X» 3, 546-572.

33. Харламов М.П. Топологический анализ классических интегрируемых случаев в динамике твердого тела. ДАН СССР. 273 (1983), Д* 6, 1322-1325.

34. Харламов М.П. Бифуркации совмест.пых уровней первых интегралов в случае Ковалевской. Прикладная математика и механика. 47 (1983). Л"8 6, 922-930.

35. Abdullaev S.S. The Hamilton-Jacobi method and Hamiltonian maps. J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002), 2811-2832.

36. Abraham R. Marsden J.E. Foundations of mechanics. Bcnjamin/Cummings Publishing Company, London, Amsterdam, 1978.

37. Arnold V.I., Gusein-Zade S.M., Varchenko A. N. Singularities of Differentiable Maps I, Monogr. Math. 82. Birkhauser, Boston, 1985.

38. Balescu R., Vlad M., Spineanu F. Tokamap: A Hamiltonian twist map for magnetic field lines in toroidal geometry. Phys. Rev., E 58. 951 (1998).

39. Bhag Singh Guru. Electromagnetic Field Theory Fundamentals. Cambridge University Press, 2004.

40. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions. Comm. Math. Phys. 122 (1989). № 2. 321-354.

41. Bolsinov A.V. Methods of calculation of the Fomenko-Zieschang invariant. Advances in Soviet Mathematics. AMS. 6 (1991), 147-183.

42. Bolsinov A.V., Fomenko A.T. Integrable Hamiltonian Systems: Geometry, Topology, Classification. Chapman & Hall/CRC. A CRC Press Company, Boca Raton, London, New York, Washington, D.C. USA, 2004.

43. Bolsinov A.V., Richter P.H., Fomenko A.T. The method of loop molecules and the topology of the Kovalevskaya top. Sbornik: Mathematics. 191:2 (2000), 3-42.

44. Boothby W.M. and Wang H.C. On contact manifolds. Annals of Math. (2). 68 (1958), 721-734.

45. Bott R. N on-degenerate critical manifolds. Ann. of Math., Ser. 2. 60 (1954), jS's 2, 248-261

46. Gary J.R. Lie transform perturbation theory for Hamiltonian systems. Phys. Rep. 129 (1981).

47. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infenitesimal. Paris, Gautier, Villar, 1891.

48. De Groot S., Suttorp L. Foundations of Electrodynamics. Amsterdam, 1972.

49. Domitrz W., Janeczko S., Pasternak-Winiarski Z. Geometry and representations of the singular symplectic forms. Geometry and topology of caustics CAUSTICS 02. Banach Center Publ, 62 (2004), 57-71.

50. Domitrz W., Janeczko S. Normal forms of symplectic structures on the stratified spaces. Colloq. Math. 68 (1995), 101-119.

51. Eliasliberg Y. A few remarks about symplectic filling. Geom. Topology. 8 (2004), 277-293.

52. Eliashberg Y. Contact 3-mamfolds twenty years since J. Martinet's work. Ann. Inst. Fourier. 42 (1992), № 1-2, 165-192.

53. Eliashberg Y. On symplectic manifolds with some contact properties. J. Differential Geometry. 33 (1991), № 1, 233-238.

54. Eliashberg Y. The wave fronts structure theorem and its applications to symplectic topology. Funct. Anal. Appl. 3 (1987), 65-72.

55. Etnyre J. On symplectic fillings. Algebr. & Geom. Topology. 4 (2004), 73-80.

56. Etnyre J. Honda K. Tight contact structures with no symplectic fillings. Invent. Math. 148 (2002), № 3, 609-626.

57. Fomenko A.T. Symplectic Geometry. (Second edition). Gordon and Breach, 1995.

58. Geiges H. Constructions of contact manifolds. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 121 (1997), 455-464.

59. Giggini P. Strongly fillable contact 3-mamfolds without Stein fillings. Geometry & Topology, 9 (2005). 1677-1687.

60. Golubitsky M., Tischler D. An example of moduli for singular symplectic forms. Invent, math. 38 (1977), № 3, 219-225.

61. Gompf R. A new construction of symplectic manifolds. Annals of Mathematics. 142 1995, 527-595.

62. Guillemin V., Sternberg S. Symplectic technique in physics. Cambridge University Press, 1984.

63. Gray J.W. Some global properties of contact structures. Ann. of Math. 2 (1959), № 69, 421-450.

64. Gromov M. Pscudo-holomorphic curves in almost complex manifolds. Invent. Math. 82:2 (1985), 307-347.

65. Hehl F.W., Obukhov Y.N. Foundations of Classical Electrodynamics. Birkhauscr. Boston, 2001.

66. Hermann R. Lie algebras and quantum mechanics. W.A. Benjamin, 1970.

67. Janeczko S., Kowalczyk A. On singularities in the degenerated symplectic geometry. Hokkaido Math. J. 19 (1990), 103-123.

68. Kharlamov M.P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields. Regular & chaotic dynamics. 10 (2005), № 4, 381-398.

69. Kharlamov M.P., Zotev D.B. Non-degenerate energy surfaces of rigid body in two constant fields. Regular chaotic dynamics. 10 (2005), № 1, 15-20.

70. Kovalev A.M. Invariant and integral manifolds of dynamical systems and the problem of integration of the Euler-Poisson equations. Regular &; chaotic dynamics. 9 (2004), JVs 1, 59-72.

71. Liouville J. Note sur l'intégration des equations différentielles de la dinamique, presentee au bureau des longitudes le 29 juin 185. Journal de Mathématiques pures et appliquées. 20 (1855), 137-138.

72. Lisca P. On symplectic fillings of 3-manifolds. Tr. J. Mathematics. 23 (1999), 151159.

73. Martinet J. Sur les singularities des formes différentielles. Ann. Inst. Fourier. 20 (1970), № 1, 95-178.

74. Martinet J. Formes de contact sur les variretres de dimension 3. in: Proc. Liverpool Singularities Sympos. II, Lecture Notes in Math., 209. Springer, Berlin, 1971, 142-163.

75. Mc Duff D. Symplectic manifolds with contact type boundaries. Invent. Math. 103 (1991), Jfli 3, 651-671.

76. Moser J. On the volume elements on manifolds. Trans. Amer. Math. Soc. 120 (1965), JS"fi 2, 280-296.

77. Nono T., Mimura F. Poisson bracket under mappings. Hokkaido Math. Journal. (1972), jYs 1, 232-241.

78. Oshemkov A.A. Fomenko invariants for the mam integrable cases of the rigid body motion equations. Advances in Soviet Math. AMS. 6 (1991). 67-146. pp. 67-146.

79. Pnevmatikos S. Structures hamiltoniennes en presence de contraintes. C. R. Acad. Sei. Paris, Scr. A-B 289. (1979), № 16, A799-A802.

80. Pnevmatikos S. Singularités en geometrie symplectique. Symplectic geometry (Toulouse, 1981). Res. Notes in Math., 80, Pitman, Boston, Mass., London, 1983.

81. Pnevmatikos S. Structures symplectiques singulières generiques. Ann. Inst. Fourier. 34 (1984), № 3, 201-218.

82. Pnevmatikos S., Pliakis D. Gauge fields with generic singularities. Math. Phys. Anal. Geom. 3 (2000), № 4. 305-321.

83. Poisson S.D. Traite de mecanique. Paris, 1833.

84. Roussaric R. Modeles locaux de champs et de formes. Astérisque. 30 (1975), 99.

85. Thurston W.P., Winkelnkcmper H.E. On the existence of contact forms. Proc. Amer. Math. Soc. 52 (1975). 345-347.

86. Tien Zung Nguen. Decomposition of nondegenerate singularities of integrable Hamil-tonian systems. Letters in Mathematical Physics. 33 (1995), 187-193.

87. Vaisman I. Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds. Progress in Math., v. 118. Basel: Birkhausen 1994.

88. Warnic K.F., Selfridge R., Arnold D.V. Teaching electromagnetic field theory using differential forms. 2005.

89. Weinstein A. Lectures on symplectic manifolds, in C.B.M.S. Conf. Series., Am. Math. Soc., Providence, R.I. (1977), № 29.

90. Weinstein A. The local structure of Poisson manifolds. J. Diff. Geom. 18 (1983), 523-557.

91. Weinstein A. Contact surgery and symplectic ha,ndlebodies. Hokkaido Math. Journal. 20 (1991), № 2, 241-251.

92. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang Invariant in the Bogoyavlenskyi Integrable Case. Regular & chaotic dynamics. 5 (2000), № 4, 437-458.