Обобщенные характеристические классы лагранжевых многообразий и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления групп Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Г1 п

Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.164

Новак Ежи

Обобщенные характеристические классы лагранжевых многообразий и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления групп Ли.

(01.01.04 — геометрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

А- {¡/ш^С.

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

Л. А. Алания

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент А. В. Болсинов

доктор физико-математических наук, доцент И. А. Тайманов

Ведущая организация: Институт математического

моделирования РАН

Защита диссертации состоится 1996 г. в 16 час.

05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.05 по математике при Московском Государственном Университете имени М. В. Ломоносова по адресу 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико— математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ

профессор В.Н.ЧУБАРИКОВ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена изучению атплектических многообразий, т.е. гладких многообразий М2п для которых имеется замкнутая, невырожденная, дифференциальная 2-форма ш € fl2(M2n). На таких многообразиях рассматривается уровнения типа х = sgrad H, где sgrad H обозначает косой градиент функции названной гамильтонианом, а само уравнение гамильтоновым1.

В 1966-69 гг. в работах В. И. Арнольда2 было введено понятие уравнений Эйлера на двойсвенных пространствах алгебр Ли, естественным образом обобщающих классические уравнения Эйлера динамики твердово тела. В этих же работах были изучены некоторые свойства таких уравнений; вчастности, показана их гамильтоновость на орбитах коприсоединенного представления групп Ли, относительно канонической симплектической структуры - формы Кириллова.

Позже, начиная со второй половины 70-х годов потаился большой цикл работ различных авторов, в которых были изучены серии уравнений Эйлера, являющихся аналогами уравнений классической механики и обладающих значительным запасом первых интегралов, в ряде случаев была доказана полная интегрируемость по Лнувиллю. При этом семейства первых интегралов в инволюции были получены каким-либо возмущением инвариантов коприсоединенного представления, либо самой алгебры Ли, на двойственном пространстве которой задан гамильтонов поток, либо некоторой большой объемющей алгебры. Одним из примеров "возмущений" такого рода является метод сдвига ар-

'В.В.Трофимов,А.Т.Фоменко Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд. Факториал. 1995

2Арнольд В. И. Гамильтоновость уравнений Эйлера динамики твердово тела в иде-алыгой жидкости. УМН -1969-т.24-с.225-226.

Arnold V. Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinite et ses applications à l'hydrodynamiques des fluides pur faits Ann. Inst. Fourier -1966-V. 16, N 1- P. 319-361

гумента, предложенный А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко3 обобщающий конструкцию С. В. Манакова для алгебры so(ra).

Определение: Алгебра JIu G называется интегрируемой^ если на G существует линейное подпространство Н С C°°{G*) в котором можно выделить аддитивный базис функционально независимых функции /i, ■ • •q = dim if таких что они находятся в инволюции на G* относительно скобки Пуассона, причем q — | (dim G -Ь ind G).

He смотра на то что все известные примеры алгебр это интегрируемые алгебры, пока не доказанная гипотеза А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко об интегрируемости произвольных алгебр Ли.

Определение. Инволютивная система функционально независимых функции /ь•••,/„ на снмплектическом многообразии М'2п называется канонически сопряженной с инволютивной функционально независимой системой функции дь • • ■, gn, если {/,-, (jj} = 5,j.

Одной из целей настоящей работы - явное построение канонических координат на орбитах копрнсоединенного представления групп Ли.

Вторая тема настоящей диссертации касается обобщенных классов Маслова-Арнольда -Трофимова. В работе В. П. Маслова4 было открыто, что для построения глобального асимтотического решения вида:

оо _

f(x,\) = {exp[>/=TAS(a:)]}5:(VcTA)-Vi(x),

;=о

где 5,0,- -неизвестные функции, уравнения

тп

£ aa(x){\-lDt)af{x) = О

|о|=0

3В.В.Трофимов,А.Т.Фоменко Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. Изд. Факториал. 1395

4Маслов В.П. Теория возмущений и ассимптотические методы -М.;Изд.МГУ 1965

имеется фундаментальное препятствие, которое в настоящее время известно, как индекс Маслова. Это же препятствие возникает в задаче построения трансверсальных лагранжевых под-расслоений в симплектических векторных расслоениях.

Индекс Маслова, это некоторый элемент целочисленных кого-мологии. В. И. Арнольд5 дал новое определение для этого класса. В. В. Трофимов6 использовал группы голономни симплектических связности для определения новых характеристических классов лагранжевых расслоении7.

В предлагаемой диссертации обобщается понятие характери-стпеских классов Маслова-Арнольда-Трофимова на случай некоторых 9i -многообразии.

Цель Работы. Изучение некоторых гамнльтоновых систем, возникающих на симплектических слоях пуассоновых многообразий и построенее новых характеристических классов типа Мас-лова-Арнольда-Трофимова для случая некоторых 5R -действий группы Ли G на многообразии М.

Общая методика работы. В диссертации используется методы симплектической геометрии и топологии, а также техника групп н алгебр Ли, методы элементарной теории инвариантов.

Научная и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер, ее результаты могут найти применение в теории симплектических многообразий, теории характеристических классов и в гамильтоновой механике.

5Арнольд В.И. О характеристическом классе входящем в условие квантования. Функцион. анализ и его приложения-1967-т.1. с.1-14.

6Trofimov V.V. Connection on Manifolds and Nev characteristic classes. Acta Appli-candae Mathematicae т.2'2 p.283-312

Трофимов В.В. Группа голоноиии и обобщенные классы Маслова подмногообразий в пространствах аффннион связности. Мат.заметки том 49 вып.2, 1991

7см. пред. сноску

Апробация работы. Основные результаты диссертации до-клдывалнсь на научных семинарах механико -математического факультета МГУ "Дифференцнальная геометрия и приложения" под руководством академика РАН, проф. А. Т. Фоменко, доц. доктора физикоматематнческих наук В. В. Трофимова.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Построение гамильтоновой системы на орбитах общего положения группы Ли

Х-1 \ Х-А

К = • 0 1 \Х1 ¿0

10 0 1J

найдены полуинварианты коприсоединенного представления этой группы, построены бифуркационные диаграммы для отображения момента и изучены перестройки поверхности уровния отображения момента.

2) Дана полная классификация орбит (ко)присоединенного действия группы % -верхнетреугольных невырожденных матриц на (ко)алгебре Ли (Г3*)Тз. Найдены стабилизаторы типичных элементов. Построены гамильтоновые системы на некоторых орбитах коприсоединенного предтавления группы Ли З3. Построены соответствующие отображения моментов и их бифуркационные диаграммы. Изучены перестройки поверхностей уровня отображения момента.

3) Определены новые характеристические классы типа Маслова-Арнольда-Трофимова для случая некоторых 9? многообразий и они применяются в целях изучения гамильтоновых систем на симплектических многообразиях.

4) Рассмотриваются каноннческие симплектические структуры на орбитах коприсоединенного действия группы Ли З4 ~

верхнетреугольных невырожденных матриц порядка 4 и вещественной борелевской подгруппы в классической простои группе С2 и находится глобальные канонические координаты для формы Кириллова.

5) Рассматривается лагранжевый грассманнан, т.е. однородное пространство Л„ = 17(п)/ 0(п). В диссертации в явном виде найдены мультипликативные образующие кольца когомоло-гии де Рама лагранжевого грассманиана Лп.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссерртации 90 станиц включая 3 страници с рисунками. Список литературы насчитывает 55.

Краткое содержание диссертации

Во введении дан обзор результатов по иследуемым вопросам; введена система обозначений и понятий из которой нам ниже понадобятся следующие: Группа верхнетреугольных невырожденных матрыц вида

<х1 Х-2 \ Хз

0 1 Х4 1*1 7^0

10 0 1)

будем обозначать буквой К . Группу верхнетреугольных невырожденных матриц третьего порядка будем обозначать буквой

В диссертации в первом параграфе приведена полная классификация орбит (ко)прпсоединенного действия групп К и З3. Позже

приведены стационарые алгебры для типичных элементов рассматриваемых орбит. Здесь следует отметить что орбиты общего положения коприсоединенного представления группы Ли - невырожденных верхнетреугольных матриц п-ного порядка в области A[t/2] ф 0, к = 1,.. ,,7i выделяются инвариантами, что было ранше отмечено А. А. Архангельским8.

Во втором параграфе первой главы рассматривается понятие обобщенных характеристических классов Маслова-Арноль-да-Трофимова. Мы введем здесь некоторые важные для нас обь-екты, которые будут использованы нами ниже.9

Пусть (Mm,Tj¡.) пространство аффинной связности Па-

рцельный перенос кривой f(t), 0 < t < 1, из фиксированной точки я.'о = 7(0) в точку х = 7(1) обозначим через т"1. Если Vó-произвольное подпространство касательного пространства ТХаМ'п, то корректно определено подпространство 1 Vq в TtMm. Через С(х0) обозначим множество путей с концами в точке .tq 6 Мт. Операция параллельново переноса вдоль путей 7 6 С(х0) порождает группу линейных преобразований пространства ТХоМт. Эта группа голономии НХа(Мт) данной связности Группа голономии действует очевидно на грассмани-ане Gí(Tl0Mm), где к = dimVó. Рассмотрим приведенный грас-сманнан HGk(TIaMm) = Gk{TIaMm)¡ Нх,(Мт). Пусть Nn С Мт - произвольное подмногообразие, гго 6 Мт -фиксированная точка. Для произвольной точки х £ Nn рассмотрим кривую 7(í) такую, что 7(0) = £0,7(1) = х а параллельный перенос т~1 из точки xQ в точку х вдоль 7. Тогда определено отображение / : Nn —>• Gn(TXoMm) по формуле f(x) - Ty(TxNn) С TIaMm. Поэтому имеется корректно определенное отображение подмногообразия N" в приведенный грассманиан HGn(TXoMm).

'Архангельский А.А. Вполне интегрируемые гамнльтоновые системы на группе треугольных матриц.Мат.сборник. 1979-т. 108, N.1.-с.134-142

"Трофимов В.В. Группа голономии и обобщенные классы Маслова подмногообразий в пространствах аффинной связности. Мат.эаметкн,тои 49, вып.2, 1991

Это отображение будем называть касательным представлением подмногообразия N" аффинного пространства (Мт,Т^к).

В предлагаемой работе будем рассматривать эту конструкцию в модифицированном варианте, а именно: допустим что (и>,М2п) является симплектическим многообразием, на котором задано ли-увиллевое слоение. Рассмотрим дальше симплектическую связность на Л/2" - она всегда существует10. Пусть дальше 3 обозначает почти комплексную структуру на А/2", согласованную с сим-плектической структурой11 (она всегда существует), тогда определяем римановую структуру на А/2" формулой //(£, т]) = ,/77) для £, т? 6 ТхМ2п В дальнейшим будет нас интересовать группа 3? диффеоморфизмов многообразия Л/2"1 которая сохраняет одновременно метрическую и симплектическую структуру пространства М2п. Рассмотрим максимальную такую группу. Предположим дополнительно что эта группа -К = сохраняет заданное лиувиллевое слоени. Рассмотрим фактор-пространство М2п/Й, оно как правило многообразием не является. Устраним особенности, т.е. точки для которых не существует окрестности го-меоморфной Д*. Полученное многообразие имеет каноническую римановую структуру индуцированную метрикой пространства М2п. Дальше булем считать что на многообразии МЬп/Ш уже без особенностей фиксированная рпманнова связность, т.е. связность согласованная с выше описанной метрической струкурой. Поэтому имеем корректно определенное касательное представление профакторизованного слоя N"/5? лиувиллевого слоения / : —» НСк(ТыМ2п1Ш), где » = Ы, [*„] 6 М*'/»

фиксированная точка, к = dim.Nn/$t. Сформулируем все это в виде теоремы:

10Marsden J.E., Ra.tiu T., Raugel G. Symplectic Connection and linearization of Hamil-tonian systems. Preprint

uMc Duff D. Elliptic Methods in Simplectic Geometry. Amer. Math. Soc. Boulder, Colorado 1989

Теорема 1. Пусть Л/2" - симплектическое многообразие; при выше сделанных предположениях, для любого класса когомоло-гии а € Н*(НСк(Т^0]М2п/{(р&})) определен характеристический класс /*(о) 6 Я'(Лгп/{^}).

Эти классы будем называть 3? -характеррнстическими классами Маслова-Арнольда-Трофимова лагранжего подмногообразия Аг" в симплектическом пространстве М2".

Обозначим через О4 орбиту общего положения коприсоединен-ного представления группы Ли На этой орбите рассмотрим гамильтонову систему ¡с = sgradif где Н(х) - функция полученная из полуинварианта Р(х) коприсоединенного представления сдвигом на ковектор а общего положения. Рассмотрим соответствующее отображение момента и прообраз его регулярной точки т.е. Л^2" = {(Н х ^)-1(с)}. При этих предположениях нами доказаны следующие факты.

Теорема 2. (1)Двумерные I? - классы Маслова-Арнольда-Тро-фимова подмногообразия, К2 тривиальны.

(И) Двумерные, орентир о ванные X2 - классы Маслова-Арнолъ-да-Трофимова многообразия ДГ2 тривиальны.

Утверждение 1. Одномерные ориентированные и неорренти-рованные Ь2 - характери^шческие классы Маслова-Арнольда-Трофимова подмногообразия ДГ2 не определены.

Теорема 3. Одномерные 3? характеристические Ь2 - классы Маслова-Арнольда-Трофимова подмногообразия № не тривиальны.

Замечание В выше упомнятых теоремах мы использовали X2 -когомологии и была нами рассмотрена " натуральная" симплекти-ческая структура - отличная от формы Кириллова. Мы выразили также нормы рассматриваемых форм в виде эллиптических интегралов.

Далее на орбитах коприсоединенного представления группы Ли N строим динамическую систему типа х = sgrad Я. где H - полу-инварнант этого представления. Решаем систему линейных дифференциальных уравнений типа:

k Of

счХк~я~7 ~ i = 1, •. •, п; п = dim G

OXj

и в явном виде находим единственный полуинвариант нашего представления: f(x¡ ,х2, х^, ar4) = ехр(—А^г/хз). Итог подводит

Теорема 4. Пусть h-гамильтониан, функционально за висящий от fug (где f-полуинвариант представления Ad* группы Ли К, а g его сдвиг на ковектор общего положения а). О орбита общего положения коприсоединенного представления этой группы. Тогда гамнльтоновая система i = sgrad hx вполне интегрируема на О в классе боттовских интегралов на почти всех изоэнерге-тических поверхностях уровния.

В последствии автором доказаны аналогичные теоремы для случая орбит общего положения коприсоединенного представления группы Ли Зз а также построены бифуркационные диаграммы для отображении моментов и изучены перестройки, поверхности уравния этих преобразовании. При построении выше упомянутых систем автором использован метод сдвига аргумента а также метод цепочек алгебр.

Во второй главе диссертации мы строим в явном виде канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления некоторых гупп Ли12. Такие координаты могут быть использованы для явного интегрирования гамильтоновых систем. Можно их использовать также для вычислений топологических характеристик типа Маслова-Арнольда-Трофимова.

12Vergne M. La structure de Poisson sur 1 algebre symetrique d une algebre de Lie nilpotente. Bull. Soc. Math. France-V.100. N.3-p.301-335,1972

Теорема 5. Существуют глобальные координаты на орбитах общего положения верхнетреугольных невырожденных иатриц порядка 4, в которых каноническая форма Кириллова имеет вид:

4

и> = 52 dq% л dpi, где Pi = хц, р2 = х32, р3 = х4Ь р4 = х42,

i= 1

г,з

1::и(:<-'42-1-'М ~ ¿'4:1*32) Л'44^41 + ^43^31 + #42*21

1 .Г41(х-42Х31 - £41232)

4 131 (143а;з1 - *41*3э) , ¿'21

9 = —-г + —;

•¡•'41 И'42-г31 — ¿'41

здесь Хц - матричные координаты дуального пространства алгебры Ли Т\.

Рассмотрим орбиту О копрпсоеднненного представления общего положения группы Ли ехр(ВС2) где БСг обозначает боре-левскую подалгебру простой особой алгебры Ли типа Сг- Доказана

Теорема 6. На орбите О существуют глобальные координаты в которых форма Кириллова имеет канонический вид. Эти координаты имеют вид рациональных функции.

Замечание Метод доказательства заключается в явном вычислений формы кириллова с использованием базиса Шевале алгебры Ли С?-2 и постепенным преобразованием координат в цели получения ее простейшего вида.

Еше один результат состоит в явном выражении мультипликативных образующих кольца когомологии де Рама однородново пространства А„. Эти формы могут быть полезны при конкретных вычислениях характеристических классов типа Маслова-Ар-нольда-Трофимова и некоторых их обобщений. Обозначим через 5|/тп) (п)-простанство симметрических матриц п-ого порядка.

Ивестно что это пространство составяет клетку максимальной размерности лагранжего грассманиана. Справедлива :

Теорема 7. Пусть 5 € Зутт(п). Формы

порождают кольцо когомологии лагранжего грассманиана. Эти формы являются 11(п) инвариантными на однородном пространстве и(п)/0(п).

Автор выражает глубокую блогодарность своему научному ру-коваднтелю аспирантуры -Академику РАН;профессору А. Т. Фоменко за постановку задач и внимание к работе; доценту, доктору физико-математических наук В. В. Трофимову за важные научные беседы и ценные советы; своему научному руководителю, : кандидату фиэижо-математических наук Л. А. Алания за внимание к работе и полезные обсуждения.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. Новак Е. Обобщенный индекс Маслова-Трофимова для некоторых семейств гамильтонианов на алгебрах Ли верхнетреугольных матриц // Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах.-М.Изд.МГУ 1993

2. Новак Е. Канонические координаты на орбитах коприсоеди-ненного представления // Труды семинара по векторному и тензорному исчислению -М.Изд.МГУ 1994

3 . Nowak J. Z2-generalized Maslov-Trofimov Charakteristik classes// Fund.Math.-сдана в печать.