Применение метода орбит в спектральных задачах и проблемах квантования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

1 Метод орбит, классификация однородных пространств и гармонический анализ

§1 Структура и классификация орбит коприсоединенного представления

§2 Метод орбит и классификация однородных пространств

§3 Квантование орбит. Л-представление алгебр Ли.

§4 Гармонический анализ на группах Ли и однородных пространствах

4.1 Гармонический анализ на группах Ли.

4.2 Гармонический анализ на однородных пространствах

2 Метод орбит и решение квантовых уравнений

§5 Классификация орбит групп Пуанкаре и де Ситтера.

§6 Интегрирование уравнений Дирака и Клейна-Фока на многообразиях четырехмерных групп Ли.

6.1 Классификация решений уравнений Эйнштейна на четырехмерных группах Ли.

6.2 Метод построения точных решений уравнений Клейна-Фока и Дирака на многообразиях четырехмерных групп

6.3 Точное решение уравнения Клейна-Фока на четырехмерной группе Ли (?2з.

§7 Применение метода орбит для квантования вращательного движения трехмерного асимметрического ротатора.

7.1 Квантовые уравнения на К-орбитах и квазиклассическое приближение.

7.2 Квантование движения трехмерного асимметрического ротатора.

3 Продолжения векторных полей, инвариантные операторы и их спектры на однородных пространствах

§8 Продолжения векторных полей на группах Ли и однородных пространствах

8.1 Постановка задачи и основные определения.

8.2 Продолжения векторных полей на многообразиях групп Ли.

8.3 Продолжение векторных полей на однородных пространствах

§9 Одномерные продолжения, когомологии алгебр Ли и топологические характеристики А-представления

§ 10 Инвариантные операторы и их спектры на однородных пространствах

10.1 Пространство R3.

10.2 Пространство М1'

10.3 Пространство де Ситтера.

В настоящее время к основным целям теоретической и математической физики можно отнести не только разработку новых теорий, призванных описать физическую реальность более полно и с единой точки зрения, но и отыскание методов решения уже накопленных задач. Среди тех проблем, которые призвана решать теоретическая физика, особенно выделяются задачи квантования. Под задачами квантования традиционно понимаются следующие проблемы: построение квантовых уравнений, разработка согласованной теории квантования. В последнее время особенно важным является рассмотрение квантовых задач в пространствах с нетривиальным геометриями и топологиями, так как разработка данных направлений связана с решением одного из труднейших вопросов, стоящих перед современной физической наукой, — построением квантовой теории гравитации.

Особое место среди проблем квантовой теории занимают спектральные задачи, основная цель которых — нахождение спектральных характеристик (собственных значений) дифференциальных операторов, фигурирующих в квантовых уравнениях. Важность изучения спектров обусловлена тем, что последние, в отличии от собственных функций, являются глобальными инвариантами, зависящими лишь от топологических свойств многообразия, а не от конкретной реализации оператора в локальных координатах. Поэтому спектры несут в себе не только важную физическую информацию, например, о массе частицы, ее возможных энергетических и спиновых состояниях, но и о глобальных свойствах рассматриваемого многообразия.

Естественно, что для решения спектральных задач используются достаточно специфические разделы математики, такие как метод алгебр Клиффорда, топологические методы, например, теория характеристических классов, К-теория, и, наконец, спектральная геометрия, которая аккумулировала в себе многочисленные математические конструкции, исследование которых связано со спектральными задачами, см. [1-7]. Спектральная геометрия изучает топологические свойства операторов, проблему влияния граничных условий на спектры операторов, нахождение индексов и детерминантов операторов, матриц плотности, и, наконец, связь между спектрами операторов и топологией многообразий, на которых эти операторы определены. Все это позволяет рассматривать спектральные задачи как особый, самостоятельный класс проблем, тесно связанный с задачами квантования.

Решение спектральных задач, можно рассматривать как развитие теории интегрирования дифференциальных уравнений квантовой теории. Разработка этого направления опирается на теорию симметрий [8-18], которая изучает алгебраические свойства дифференциальных уравнений, причем не только для того, чтобы найти решение уравнения, но и для изучения свойств самих уравнений безотносительно к тому, интегрируются ли они вообще.

В настоящей работе рассматриваются проблемы, лежащие на границе между задачами квантования или, если говорить точнее, теорией симметрий в приложении к задачам квантования, и спектральной геометрией. Один из центральных вопросов, который исследуется в данной работе, — как, зная лишь свойства группы симметрий дифференциального оператора (или алгебры этой группы) или свойства многообразия, на котором определен дифференциальный оператор, построить действенный алгоритм решения соответствующих квантовых уравнений, спектральных задач. Особенно важным является исследование некомпактных пространств и неэллиптических операторов, так как известно, что спектральная геометрия неэффективна в данных случаях.

Данная диссертация призвана показать, что для решения квантовых задач можно избрать путь, сочетающий в себе как наглядность геометрических идей, так и простоту алгебраических методов. Основной идеей, последовательно рассматриваемой в работе, является применение метода орбит для решения квантовых задач. Реализация данной программы потребовала изменения или, вернее, развития метода орбит, который до сих пор эффективно использовался в таких задачах, как изучение алгебры и геометрии гамильтоновых систем, см. монографию [19], теория представлений и, опосредовано, квантование гамильтоновых механических систем [20-22], а в последнее время в алгебраических методах квантования, см., например, [23-28]. Метод орбит получил свое дальнейшее развитие в работах [18,29-31], где он впервые стал целенаправленно использоваться именно для алгебраизации квантовых задач. При этом главным инструментом является конструкция А-представления, предложенная в работе [18]. А-представление, естественно возникающее при квантовании орбит, см. [29,32,33], и изначально использовавшееся для проведения некоммутативной редукции квантовых уравнений, является, как показывает данная диссертация, искомым математическим методом, позволяющим внедрить в задачи квантования достаточно простые и ясные алгебраические структуры. В представляемой работе показано, что применение метода орбит и Л-представления как неотъемлемой части этого метода позволяет заменять исследование дифференциальных операторов на нетривиальных многообразиях на исследование дуальных операторов на многообразиях орбит коприсоединенного представления, что является более простой задачей по двум причинам: во-первых, дуальный оператор содержит меньшее по сравнению с исходным количество переменных, а во-вторых, орбиты коприсоединенного представления устроены, в геометрическом смысле, достаточно просто — они являются симплектическими многообразиями. В настоящей диссертации показано, что эффективность применения техники А-представления в проблемах квантования и нахождения спектров зависит от решения других крайне важных проблем, к числу которых относятся следующие задачи: построение явной классификации орбит коприсоединенного представления [35], классификация однородных пространств [35,36], теория тождеств в обертывающих алгебрах [36], квантование орбит коприсоединенного представления [29,33], гармонический анализ на группах Ли и однородных пространствах [29,37]. Все это дает нам право утверждать, что данная работа лежит на стыке многих направлений современной теоретической и математической физики и решение поставленных задач является актуальным.

Диссертация объемом 150 страниц печатного текста состоит из трех глав, заключения, 2 приложений и списка литературы из 130 наименований.

В первой главе рассмотрен метод орбит, включающий следующие вопросы: классификация орбит коприсоединенного представления (К-орбит), квантование орбит, применение метода орбит для классификации однородных пространств, построение гармонического анализа на группах Ли и однородных пространствах.

В первом параграфе изложен метод классификации орбит коприсоеди-ненного представления. Орбиты коприсоединенного представления, впервые появившиеся в рамках метода орбит в работах [20-22], в настоящее время стали одними из основных объектов исследований в таких областях как геометрическое и деформационное квантование [24,28,34,38-40], алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем [19, 41-43] и теория представлений, см. [20, 44, 45]. В настоящей диссертации и работах [29,32,33,35,36] также показано, что метод орбит коприсоединенного представления может быть эффективно применен в таких областях как гармонический анализ на группах Ли и однородных пространствах, интегрирование ЛДУ, описание квантовых гамильтоновых систем. Основной идеей первого параграфа является построение явной классификации орбит, которая не использовала бы метод фиксации представителя (элемента орбиты), см., например, [34], после чего орбита восстанавливается коприсоединен-ным действием группы на этот выбранный элемент. Результатом первого параграфа Главы 1 является разложение (1.14), где орбиты заданы соотношениями (1.13) и (1.12). Кроме того, в первом параграфе затронут вопрос о структуре аннулятора, см. [32], так как последняя играет большую роль в квантовании К-орбит, а именно при определении их целочисленности.

Во втором параграфе показано, что метод орбит может быть эффективно применен для построения классификации однородных пространств. В отличии от традиционных классификаций, см., например, [46], построенная в работе классификация, см. [35], не носит геометрического характера, а является чисто алгебраической. Нами введено два числа — индекс и степень вырождения (тип) однородного пространства, а также получено разложение (2.21), на основе полученных характеристик на множестве однородных пространств введено два типа отношений эквивалентности. Также в данном параграфе затронут вопрос о тождествах на однородных пространствах, см. [35, 36]. Показано, что каждому однородному пространству можно приписать целое неотрицательное число — дефект однородного пространства. В работе [36] доказан фундаментальный результат, связывающий дефект однородного пространства и свойство коммутативности данного пространства, см. [47]. В заключении второго параграфа приведены две классификационные теоремы о дефекте (соответственно коммутативности) симметрических и, более общо, слабо симметрических пространств.

В третьем параграфе вводится понятие квантования орбит коприсое-диненного представления, основанное на теории Л-представлений алгебр Ли, см. [18,29]. Описана теория квантования для линейных по импульсам функций на К-орбитах. Одним из важнейших и до сих пор окончательно не решенных вопросов является связь приведенной процедуры квантования с другими теориями — геометрическим и деформационным квантованием. По всей видимости, можно утверждать, что именно в классе линейных по импульсам функций на орбитах коприсоединенного представления построенный нами метод совпадает с методом геометрического квантования, см. [48] и ссылки в этой работе.

Четвертый параграф содержит теорию гармонического анализа на группах Ли и однородных пространствах. Основной структурой, введенной нами, являются обобщенные функции D^ ,, определяемые как решения уравнений (4.3). Как показано в [29], функции образуют полное и ортогональное семейство функций, что дает возможность построить прямое и обратное преобразования Фурье на группах Ли. Основным преимуществом построенного формализма является соотношение дуальности (4.12), позволяющее переходить от операторов, построенных на лево- или правоинва-риантных векторных полях, к дуальным операторам £{, определенным на К-орбитах. В первой части параграфа, посвященной гармоническому анализу на группах Ли, также рассмотрена проблема построения спектров операторов Казимира, которая, как показано, тесно связана с понятием целочисленности К-орбит. Во второй части параграфа решена задача о построении гармонического анализа на однородных пространствах. Получены функции Dg(x), построены прямое и обратное преобразование Фурье, а, кроме того, указана явная формула для вычисления функций D^{x). Отметим, что исходя из того, что в подавляющем большинстве физически содержательных примеров (и во всех, рассмотренных в данной диссертации) однородные пространства имеют нулевой дефект, мы рассматривали гармонический анализ именно для пространств нулевого дефекта, более общий случай рассмотрен в работах [29,36].

Вторая глава диссертации полностью посвящена прикладным задачам квантования, иллюстрирующим формализм, изложенный в первой Главе.

В пятом параграфе строится явная классификация орбит коприсоеди-ненного представления для групп Пуанкаре и де Ситтера. Известно, что орбиты коприсоединенного представления тесно связаны с унитарными представлениями групп, см., например, [20]. Этот факт, имеющий непосредственное применение в процедурах квантования, делает проблему классификации К-орбит одной из ключевых в теории квантования. Полученная в данном параграфе классификация не только геометрически наглядна — К-орбиты представлены как поверхности уровня функций Казимира, но также может быть легко использована в других задачах, рассматриваемых в данной работе: квантовании орбит, некоммутативном интегрировании уравнений. В заключении пятого параграфа в соответствии с теорией, изложенной во втором параграфе, кратко рассмотрена классификация всех вещественных четырехмерных однородных пространств с группами преобразований Пуанкаре и де Ситтера, см. [35].

В шестом параграфе на основе метода орбит предложена процедура нахождения точного решения уравнений Клейна-Фока и Дирака на многообразиях четырехмерных групп Ли. Для успешного решения данной задачи предварительно была найдена классификация всех метрик (соответственно всех многообразий), подчиняющихся уравнению Эйнштейна, полученные при этом космологические модели принадлежат ко вселенным Освата-Керра, классификация которых известна, см. [49,50]. Показано, что все уравнения Клейна-Фока на полученных многообразиях интегрируемы. В качестве единственного нетривиального примера приведено точное решение уравнение Клейна-Фока на одной четырехмерной группе Ли, с нештек-келевой метрикой. Этот пример замечателен тем, что проинтегрировать уравнение Клейна-Фока удается благодаря наличию нелокальной симметрии, см. [51].

Седьмой параграф посвящен демонстрации того, что метод орбит может быть эффективно применен к решению известных квантовых задач. В начале параграфа рассматривается применение метода орбит к исследованию квантовых гамильтоновых систем на К-орбитах и квазиклассическому квантованию таким систем, см. [33,52]. Указано на то, что метод орбит, используемый в квазиклассическом приближении, имеет существенное преимущество по сравнению со стандартным методом, см., например, [53,54], так как позволяет сохранять симметрии исходной квантовой задачи. В качестве решаемой в параграфе проблемы выбрана задача о квантовании движения трехмерного асимметрического ротатора, см. [55,56]. Показано, что уравнение Шредингера с тремя независимыми переменными сводится к уравнению на соответствующей орбите коприсоединенного представления, имеющему только одну независимую переменную, и, в этом смысле задача является интегрируемой, хотя и невозможно предъявить точного решения в классе специальных функций. К рассматриваемой задаче был применен метод квазиклассического приближения. Было найдено неявное выражение для энергии вращательного движения трехмерного ротатора в квазиклассическом приближении. Полученная нами формула может быть легко разложена в ряд по параметру асимметрии б, и, следовательно, применима в прикладных задачах ядерной физики [57], теории молекулярных спектров [58].

Третья глава настоящей диссертации содержит центральные результаты работы. В данной главе предложен метод построения инвариантных дифференциально-матричных операторов на группах Ли и на однородных пространствах, а так же предложен формализм нахождения спектров данных операторов, использующий чисто алгебраический подход. Как показано в диссертации, рассмотрение поставленной задачи привело к решению некоторых нетривиальных смежных вопросов. Так, в третьей главе построена теория ^("^-продолжений векторных полей на группах Ли и однородных пространствах. Исследование данного вопроса привело к получению некоторых топологических характеристик А-представлений алгебр Ли, а так же к установлению связи между А-представлениями и одномерными когомологиями специальных алгебр Ли, см. [59].

Восьмой параграф содержит изложение теории з1(У)-продолжений векторных полей. Рассмотрены продолжения векторных полей на группах Ли и, как обобщение, на однородных пространствах. Центральным результатом данного параграфа является доказательство двух ключевых теорем, которые описывают свойства д[(У)-продолжений. В данном параграфе приведен пример, который показывает, что теория ^(У)-продолжений имеет тесную связь с симметриями релятивистских волновых уравнений, в частности с уравнением Дирака.

Девятый параграф затрагивает вопрос о топологических характеристиках А-представлений. Доказана теорема об изоморфности пространства нетривиальных одномерных fll(V)-продолжений (т.е. продолжений, для которых dimy = 1), соответствующим одномерным когомологиям алгебры Ли векторных полей в естественном представлении, см. [59-62]. Показано, что именно к классу одномерных $[(У)-продолжений относятся операторы А-представления алгебры Ли. Найдена явная формула для одномерной группы когомологий алгебры Ли, выраженная через области значений параметров А-представления j^. В качестве примера в данном параграфе рассмотрен вопрос о построении одномерных продолжений векторных полей, образующих алгебру Вирасоро, см. [63], также найдены соответствующие группы когомологий.

Десятый параграф диссертации содержит предложенный автором данной работы метод построения инвариантных дифференциально-матричных операторов на группах Ли на однородных пространствах. Данная теория имеет непосредственную связь с вопросом о единообразном построении релятивистских волновых уравнений, хотя это и не являлось целью данной работы Предложенный формализм следует двум ключевым идеям: методу сдвига аргумента Мищенко-Фоменко, см. [19, 64] и теории уравнений для частиц произвольного спина в форме Дирака, см. [11,65,66]. Можно сказать, что в данной работе идея Мищенко-Фоменко распространяется с классических уравнений на К-орбитах на их квантовые аналоги, а теория уравнений в форме Дирака переносится с плоских пространств на произвольные однородные пространства. В параграфе вводится понятие обобщенных операторов Дирака. Показано, что при соответствующем выборе рассматриваемых групп, в данный класс попадают операторы Дирака, Лапласа-Бельтрами, а также операторы высших порядков, например, оператор Любанского-Паули и т.д. Обобщенный оператор Дирака в общем случае является инвариантным дифференциально-матричным оператором с коэффициентами в соответствующей алгебре Клиффорда, что позволяет говорить о связи предлагаемого подхода с многочисленными теоретическими разработками, в основе которых лежат алгебры Клиффорда и соответствующие им структуры, см., например, [67-69]. Релятивистские уравнения для произвольного спина, представляемые в форме уравнений Дирака, рассматривались в работах различных авторов, см. [66,70-73]. В данном параграфе демонстрируется, что структура полученных диффренциально-матричных операторов такова, что применение метода орбит позволяет находить их спектры, используя в большинстве случаев только методы линейной алгебры. В заключении параграфа рассмотрены три примера, в которых найдены спектры инвариантных операторов на следующих однородных пространствах R3 = E(3)/SO(3), R1'3 = Р1'3/5'0(1, 3) и пространстве де Ситтера 50(1, 4)/50(1,3).

Сформулируем основные положения, выносимые на защиту.

1. Построена полная классификация орбит коприсоединенного представления групп Пуанкаре и де Ситтера в виде поверхностей уровня функций Казимира. Приведена классификация всех вещественных четырехмерных однородных пространств с группами преобразований Пуанкаре и де Ситтера.

2. Предложен метод построения точных решений уравнений Дирака и Клейна-Фока на многообразиях четырехмерных групп Ли. Показано, что все уравнения Дирака и Клейна-Фока на соответствующих многообразиях интегрируемы.

3. В рамках метода орбит решена задача о квантовании вращательного движения трехмерного асимметрического ротатора.

4. Построена теория и описаны свойства 0[(1/)-продолжений векторных полей на группах Ли и однородных пространствах. Доказана теорема об изоморфизме пространства параметров А-представлений алгебр Ли группе одномерных когомологий. Найдены продолжения и одномерные группы когомологий векторных полей на окружности (когомологии алгебры Вирасоро) и прямой.

5. Предложен метод построения инвариантных дифференциально-матричных операторов и нахождения их спектров на группах Ли и однородных пространствах. Найдены спектры обобщенных операторов Дирака на однородных пространствах R3 = E(3)/SO(3), К1'3 = Plfi/SO( 1,3) и пространстве де Ситтера 50(1, 4)/50(1,3).

Материалы диссертации докладывались на научных семинарах физического факультета Омского государственного университета.

XII и XIII международной летней школе-семинаре по современным проблемам теоретической и математической физики — «Волга-2000» и «Волга-2001».

Результаты диссертации опубликованы в статьях [33,35,51,52,59,74,75].

Заключение

В заключении перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Найдена полная классификация орбит коприсоединенного представления групп Пуанкаре и де Ситтера.

2. Предложен метод построения точных решений уравнений Клейна-Фока и Дирака на многообразиях четырехмерных групп Ли. Показано, что все уравнения Клейна-Фока и Дирака в соответствующих многообразиях интегрируемы. Найдено точное решение уравнения Клейна-Фока для нештеккелевой метрики.

3. При помощи метода орбит проведено квантование движения трехмерного асимметрического ротатора с закрепленной точкой. Показано, что данная задача интегрируема, так как соответствующее квантовое уравнение сведено к одномерной задаче. Найдено точное выражение для квазиклассического спектра вращательного движения трехмерного асимметрического ротатора.

4. Предложена теория fll(V)-продолжений векторных полей на группах Ли и однородных пространствах. Исследованы свойства продолжений, для чего были сформулированы и доказаны соответствующие теоремы.

5. Доказано существование изоморфизма между одномерными ^(^-продолжениями и одномерными группами когомологий соответствующих алгебр Ли. На основе доказанной теоремы изучены некоторые топологические характеристики Л-представлений алгебр Ли. Найдены одномерные продолжения векторных полей на окружности и прямой, также вычислены соответствующие группы когомологий.

6. Предложен метод построения инвариантных дифференциально-матричных операторов на группах Ли и однородных пространствах. Сформулирована спектральная задача на орбитах коприсоединенного представления, что положено в основу процедуры нахождения спектров соответствующих операторов.

7. Найдены спектры обобщенных операторов Дирака на однородных пространствах R3 = £(3)/50(3), R1'3 = Р1,3/50( 1,3) и пространстве де Ситтера 50(1,4)/50(1,3).

Я выражаю глубокую признательность своему учителю, профессору Широкову И.В., за многолетнюю помощь и руководство моей научной работой, без чего написание данной диссеретации вряд ли было бы возможно. Также, хочу выразить благодарность моему другу и коллеге Михееву В.В. за плодотворный совместный труд над задачами, изложенными в этой работе.

Спасибо моей семье, особенно маме, за любовь, понимание и терпение, которые всегда помогали мне во время научной работы. Особая благодарность Тоне.

А. Конечномерное представление алгебр so(3) и so (1,3)

Для построения явного вида генераторов конечномерного представления алгебры «о(3) (или изоморфной ей алгебры su(2)) использовалась теория, подробно изложенная в работе [128]. Ниже приведены явные формулы для матричных элементов генераторов представления, обозначаемых нами через щ. Приведенные соотношения реализуют представление типа Ds алгебры so (3), где s — старший вес представления, принимающий полуцелые значения. В физической литературе величина s называется спином.

Итак, для матричных элементов (щ)ы получим

Ы)ы = -ilfai, (А.1)

Ыы = ~(y{a + l)(s-1 + 1)6^-! + V(*-0(s + f + l)w) ' (А-2)

Ыы = l(y(s + l){s-U - + * + (А.З)

Приведенные матрицы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям [xj, 7Tj] = £ijk^k- Очевидно, см. например [129], что приведенные матричные элементы на множитель 2% отличаются от матриц Паули сгг-, то есть (j{ = 2гщ. Учитывая связь, с компонентами оператора спина si в нерелятивистской квантовой механике, см. [130] , можно заметить, что Sj = гщ.

Для построения матричных элементов конечномерного представления алгебры 50(1,3) применим теорию, изложенную в монографии [11]. Ниже мы получим явные формулы для генераторов AQ, реализующих представление DT, произвольного веса т, связанного со спиновым числом s соотношением г = s — 1/2. Перейдем в естественный базис алгебры Лоренца, где генераторы А нумеруются двойными индексами, то есть Аар, где

О!,/3 = 0,.,3. Согласно [11] получим

1 Л Л

А а/? = ^[Га, Г/з] + таД, а, /3 = 0, ., 3; (А.4) А где Га — элемент алгебры Клиффорда, представимый в виде

Га = 7а<8>/, а = 0, .,3; (А.5) где 7а — матрицы Дирака размерности 4x4, I — единичная матрица размера (2т -f 1) х (2т -Ь 1), следовательно Га имеет размерность 4(2т + 1) х4(2т+1); Та/з — величины, строящиеся по представлению алгебры so(3) следующим образом

Тар = eQ/?7T7, «,/3,7=1,2,3; (А.6)

То а = *та, а = 1,2,3; (А.7)

Та = i<8>fa, а = 1,2,3; (А.8) где 1 — единичная матрица размера 4 х 4, а та реализуют представление D(t) алгебры so(3). Тогда (А.4) можно переписать в виде 1

Ла/3 = -[%, %] ® I + 1 ® Тар. (А.9)

Очевидно, что для s = 1/2, в качестве Аар мы получим общеизвестные генераторы конечномерного представления алгебры Лоренца so(l, 3), т.е.

Последнее выражение отличается от общепринятого в физической литературе множителем г, см., например, [90, стр.283]. Отметим, см. [11], что конечномерное представление, задаваемое выражением (А.9), не является неприводимым, так что формально к уравнениям, где используется это представление, нужно добавлять уравнение проектирования на неприводимую компоненту.

В. Л-представление алгебр е(3), р1'3 и so(l,4) А

Операторы /г- для алгебры е(3), ковектора А = {ji,0, О, О, О, J2) и поляризации S) = {ei, е2, е3, е23} имеют вид

А = JiCOS^COS^2), /2 = jisin^cos^2), /з = ji sin(g2), г t • ( w ® iftsin^sin^2) д si 11 (g1)

13 = -г/isin g1)—--—-—j-j2—-r-sr, oq2 cos(ql) oq1 cos\qz) t „ . / и д ihco&iq1) sm(q2) д cosfg1)

23 = -thsmiq1)— +- /2n яТ+Ja-TiT" сир cos (g2) oq1 cos(^)

Приведем явный вид Л-представления алгебры Пуанкаре для невырожденной орбиты. Ковектор выбран в виде А = (ji, 0,0,0,0,0,0, j2, 0, 0), а соответствующая нормальная поляризация f) = {ео, ei, е2, ез, ei2, ei3 + ?б2з}

Л ГЧ

Выпишем операторы о = -3i cosh(g1) cosh(g2) cosh(g3), A = -д sinh(g1),

2 = -Ji cosh^1) sinh(q2), /3 = cosh^1) cosh(§2) smh(^3), к = -rtcoehtf)cosh(,3)A + Sinh(?2)C°Sh(?3) 9 ■ dq1 cosh(g1) dq2 thsmhfa1) sinh(q3) д ( hsmh(q3) cos(q4) «ftsinh(gx) sinh^2) sinh(g3)

H--, , -w on ^ о +--, / --1cosh(^1) cosh(^2) dq3 I cosh(g1) cosh(^1)cosh(92) ft sinh (g2) cosh (д3) sin (g4)\ д ^ /sinh(g2) cosh(g3) cos(q4) sinh(g3) sin(g4) cosh^1) J dq4 I cosh^1) cosh(g1) г , . оч д ih sinh(q2) sinh(g3) д zhsmh(q3) д

02 = -ih cosh(q+ w > w > w > dq2 cosh(7/2) 9g3 cosh(g2) dqA'

03 = "tfi^,

- . , 9 iftsinh^1) cosh(c?2) 3 ftcosh(^2)sin(^4) 3 cosh(q2) cos(g4) /12 = -tHsmh(q )— + ^^ ^ЩдГ) д^ + cosh(^) j2' г . . , о, . , , Чч д гЯsinhCg1) sinh(g2) sinhfg3) д eftsinh(<71)cosh(<73) д /13 = -!SCOSh(^)Slnh(53) + -+ + z/isinh^1) sinh(g2) cosh(g3) ftsinh(g2) sinh(g3) sin(g4) /icosh(g3) cos(g4) ^ д cosing1) cosh(g2) cosh(g'1) cosing1) ) dq4 sinh(<72) sinh(g3) cos(q4) cosh(g3) sin(g4) \ + 1 cosh^1) cosh^1) )Зъ д ifrsinh(g2) cosh(g3) д ^cosh(g3) д

23 = -?ftsinh(g3)— + dq2 cosh(g2) dq3 cosh(g2) dq4'

Приведем операторы fi Л-представления алгебры ло(1,4). Ковектор выбран в виде А = (ji, 0,0,0, 0, 0, 0,j2, 0,0), соответствующая ему поляризация # = {е0, —е\ + бе 14, -е2 + ее24, -ез 4- бе34, ей, ei3 + ге2з}

L - t/icoshfa2^ coshto3) sinh^ — + sinh(g2) a zfesmh(g3) <9 о - гПcosh(g )е cosh(g ) smh(g ) ^ + ^^ ^ + ^^ cos%2) ^ + fe cos(g4) sinh(g1) sinh(g3) be sin(g4) cosh(g3) sinh(g1) sinh(g2) -, , 1N--h ' cosh^g1) coshfa1) the sinh(g2) sinh(g3) \ д ( e sin(g4) sinh(g1) sinh(g3) H--, / A-, , « 7ГТ + cosh(g'1) cosh(g2) J dq4 I cosh(g1) ecosfg4) coshfg3) sinhfg1) sinhfg2) \ , , , . 2. , . --—-CQSh(gi) - I ^ + C0MQ ) cosh{q2) cosh(g3).?b д fi = -ihscosh(q1) — - jismh(ql), h - -гЬ£чтЫа1\*,шЫа2\— - ztecosh^2) 9 ^Цд4) cosh(g2) siiil^g1) д h- ttesmhCOsinh^j^ cosh(?1) dq2 cosh(ql) dq4 +

COs(g4) cosh(g2) sinhfg1) , . . w

- cosh(gt)- 32 ~ h C0Sh(9 } Smh(9 , ,, . . , h , , , ,, 9 г/ie sinhfg2) sinhfg3) д coshfg3) д з = -ifecosh g2)smh g^smh g3)—--I/ n Vl--г./ n I/ 24 ^T dq1 coshfg1) <?gJ cosh(g1) cosh(g2) 9g3 fe: sin(g4) sinh(g1) sinh(g2) sinh(g3) %he cosh(g3) sinh(g2) cosh(g1) cosh.(g1) cosh(g2) he cos(g4) cosh(g3) sinh(g1) j ^ [ e cos(g4) smh(g1) sinh(g2) sinh(g3) cosh(g1) J \ cosh(g1) e sin(g4) cosh(g3) sinh(g1) cosh(g1) j2~ji cosh(g1) cosh(g2) sinh(g3),

01 = -гЛсоьЦ^) cosh(,3) А + ^cosh(g3) sinh(g2) sinh(g1) t) + гПsmh(^) sinh^3) 5 dg1 cosh^1) 9g2 cosh(#2) cosh(^1) dq3 ihsmh(q2) sinh(51) sinh(g3) h cos(g4) sinh(?3) hsin(q4) cosh(qs) sinh(g2) \ д cosh(^,2)cosh(^1) cosh(§1) cosh(?1) J dq4 cos(q4) cosh(^3) sinh(^2) 8ш(?4) sinh(g3) \ cosh^1) cosh^1) F2'

- zHsinh(q3) д ihsmh(q2) smh(qs) д , 3, д

102 ~ ~ COShfe») + дф - ' оз = "^A f ъ ■ ur д i/isinh^1) cosh(g2) д frsm(q4) cosh(g2) д cos(</4) cosh(g2) Ь - -«ftsmhlff )— + — — + Ja cosh(gl) :

A, = -^cosh(g2) sinh(g3)A + Mu]i{ql) siKh(g3) A + ^^(g1) CQSh(g3) 9 , cty1 cosh(§1) dg2 cosh^1) cosh(<?2) dq3

Hcos(q4) cosh(g3) zftsinh^1) sinh(g2) cosh(</3) ftsin(q4) sinh(g2) sinh(g3) \ 3 cosh^1) cosh(ql) cosh(q2) cosh^1) J dq4

32, cos(g ) sinh(<72) sinh(g3) sin(q4) cosh(q3) cosh(^1) cosh(^1) J i / 9 «^sinhfff2)cosh(ff3) д zhcosh(q3) д f23 =-ihsmh(q3)— + dq2 cosh(g2) dq3 cosh(q2) dq4'

1. Atiyah M.F. Eigenvalues of the Dirac Operator j j Lect. Notes in Math. Berlin: Springer-Verlag. 1985. P.251-260.

2. Berard P.H. Spectral Geometry: Direct and Inverse Problems // Lect. Notes in Math. V. 1207. Berlin: Springer-Verlag. 1986. — 272 p.

3. Esposito G. Dirac operator and spectral geometry. New York: Camb. Univ. Press. 1998. — 209 p.

4. Atiyah M.F. Eigenvalues and Riemannian Geometry // Proc. Int. Conf. on Manifolds and Related Topics in Topology. Tokyo. 1975. P. 5-9.

5. Atiyah M.F. Classical groups and Classical Differential Operators on Manifolds // Differential Operators on Manifolds. CIME. 1975. P.5-48.

6. Damgaard P.H. Topology and the Dirac operator spectrum in finite-volume gauge theories // Nucl. Phys. B556 (1999). P.327-349.

7. Kopf T. Spectral geometry of spacetime // Int. J. Mod. Phys. B14 (2000). P.2359-2366.

8. Владимиров С.А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. М.: Атомиздат, 1979. — 167 с.

9. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

10. Малкин И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.: Наука, 1979. — 319 с.

11. Никитин А.Г., Фущич В.И. Симметрия уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1990. 400 с.

12. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. Н.: ИО НФМИ, 1998. 632 с.

13. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1962. — 240 с.

14. Овсянников Л.В., Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ дифференици-альных уравнений механики. // Итоги науки и техики. Серия «Общая механика» Т.2. ВИНИТИ. 1975. С.5-52.

15. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 400 с.

16. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова Думка, 1989. — 335 с.

17. Шаповалов В.Н. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Изв. вуз. Физика. 1978. №5. С. 116-132.

18. Широков И.В. Алгебраические проблемы теории симметрии и методы интегрирования полевых уравнений: Дис. . док. физ.-мат. наук. Томск. 1994. 250 с.

19. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с.

20. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978. — 344 с.

21. KostantB. Quantization and Unitary Representations. I. Prequantization // Lect. Mod. Anal. App. III. Berlin: Springer. 1970. P.87-208.

22. Souriau J.M. Structure de systemes dinamiques: maitrises de mathema-tiques. Paris: Dunod, 1970. — 414 p.

23. Сарданашвили Г.А. Совеременные методы теории поля. III. Алгебраическая квантовая теория. М.: УРСС, 1999. — 216 с.

24. Do N.D. Quantum strata of coadjoint orbits // arXiv:math.QA/0003100.

25. Lledo M.A., Fioresi R. Algebraic and Differential Star Products on Regular Orbits of Compact Lie Groups // Рас. J. Math. 2 (2001). P.411-436.

26. Lledo M.A. Star Products on Coadjoint Orbits // Phys. Atom. Nucl. 64 (2001). P.2136-2138.

27. Lledo M.A. Deformation Quantization of Coadjoint Orbits // Int. J. Mod. Phys. B14 (2000). P.2397-2400.

28. Landsman N.P. Strict quantization of coadjoint orbits // arXiv:math-ph/9807027.

29. Широков И.В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. Омск: ОмГУ, 1998. 99 с.

30. Шаповалов А.В., Широков И.В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. 1995. Т. 104. №2. С.195-213.

31. Шаповалов А.В., Широков И.В. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция // ТМФ. 1996. Т.106. т. С.3-15.

32. Широков И.В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. Т. 123. №3. С.407-423.

33. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Квантовые гамильто-новы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка // ТМФ. 2001. Т.129. №. С.3-13.

34. Харт Н. Геометрическое квантование в действии. М.: Мир, 1985. — 343 с.

35. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. К-орбиты, тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах с группами преобразований Пуанкаре и де Ситтера // Изв. вуз. Физика. 2000. №11. С.72-78.

36. Широков И.В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // ТМФ. 2001. Т.126. №3. С.393-408.

37. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения: В 2 т. Бишкек: "Айнштайн", 1997. Т. 2. - 396 с.

38. Donin J., Gurevich D., Shnider S. Double quatization on some orbits in the coadjoint representations of simple Lie groups // Com. Math. Phys. 204(1). 1999. P.39-60.

39. Echeverna-Enriquez A. et al. Mathematical foundations of geometric quantization // arXiv:math-ph/9904008.

40. Schlichenmaier M. Berezin-Toeplitz quantization and Berezin transform // arXiv:math/0009219.

41. Фоменко A.T. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: МГУ, 1988. 413 с.

42. Ballesteros A., Ragnisco О. A systematic construction of completely in-tegrable Hamiltonians from coalgebras // arXiv:rnath-ph/9802008.

43. Mukhanov V., Wipf A. On the symmetries of Hamiltonian systems // Int. J. Mod. Phys. A10 (1995). P.579-610.

44. Bartlett S.D. et al. Vector coherent state representations, induced representations, and geometric quantization I // arXiv:quant-ph/0201129.

45. Bartlett S.D. et al. Vector coherent state representations, induced representations, and geometric quantization II // arXiv:quant-ph/0201130.

46. Rainer M. Classifying spaces for homogeneous manifolds and their related Lie isometry deformations // arXiv:gr-qc/9602059.

47. Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и коизотроп-ные симплектические действия // УМН. 2001. Т.56. №1. С.3-62.

48. Карасев М.В., Маслов В.П. Геометрическое и асимптотическое квантование // УМН. 1984. Т.39. №6. С.115-173.

49. Ellis G., van Elst Н. Cosmological models // In: "Theoretical and Observational Cosmology", Kluwer, Dordrecht, 1999. P. 1-116.

50. Ozsvath I. Dustfilled universes of class II and III // J. Math. Phys. 11 (1970). P.2871-2883.

51. Барановский С.П., Михеев В.В., Широков И.В. Интегрирование уравнения Клейна-Фока на четырехмерных группах Ли // Изв. вуз. Физика. 2002. №11. С.3-14.

52. Baranovsky S.P., Mikheyev V.V., Shirokov I.V. Quantum hamiltonian systems on K-orbits j j Proc. of XIII International Summer School "Recent problems in Physics". Kazan: KSU, 2001. P.27.

53. Багров В.Г., Белов В.В., Кондратьева М.Ф. Квазислассическое приближение в квантовой механике. Новый подход // ТМФ. 1994. Т. 98. т. С.48-55.

54. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976. — 292 с.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Физматлит, 2001. — 808 с.

56. Mladenov I.M. Prequantization of the rotaional motion // Proc. of II Int. Conf. Geometry, Integrability and Quanization. Sofia: Coral Press. 2001. P.245-253.

57. Айзенберг И., Грайнер В. Модели ядер. Коллективные и одночастич-ные явления. М.: Атомиздат, 1975. — 454 с.

58. Браун П.А., Киселев А.А. Введение в теорию молекулярных спектров. Л.: ЛГУ, 1983. 232 с.

59. Барановский С.П. {^(^-продолжения векторных полей и одномерные когомологии алгебр Ли // Вестник ОмГУ. 2002. №2. С.32-34.

60. Картье П. Когомологии алгебр Ли // Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар "Соффус Ли". М.:ИЛ, 1962. С.32.

61. Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. 272 с.

62. Жаринов В.В. Когомологии алгебры Ли векторных полей на прямой // ТМФ. 2001. Т. 128. т. С. 147-160.

63. Balog J., Feher L., Palla L. Coadjoint orbits of the Virasoro algebra and the global Liouville equation // Int. J. Mod. Phys. A13 (1998). P.315-362.

64. Фоменко A.T. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. М.: МГУ, 1983. — 216 с.

65. Gitman D.M., Shelepin A.L. Fields on the Poincare group: arbitrary spin description and relativistic wave equations // Int. J. Theor. Phys. 40 (2001). P.603-684.

66. Harish-Chandra. On relativistic wave equations // Phys. Rev. 1947. V.71. P.793-805.

67. Marchuk N.G. Gauge fields of the matrix Dirac equation // Nuovo Cim. B113 (1998). P. 1287-1295.

68. Marchuk N.G. Dirac 7-equation, classical gauge fields and Clifford algebra // Adv. Appl. Clifford Algebras 8 (1998). P. 181-224.

69. Frank M. The standart model the commutative case: spinors, Dirac operator and de Rham algebra // arXiv:math-ph/0002045.

70. Гельфанд И.М., Минлос P.A., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. М.:Физматгиз, 1958. — 368 с.

71. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Общие релятивистски-инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца // ЖЭТФ. 1948. Т.18. С.703-733.

72. Kemmer N. The particle aspect of meson theory // Proc. R. Soc. London. Ser. A 173 (1939). P.91-116.

73. Lubanski J.K. Sur la theorie des particules elementaires de spin quel-conque // Physica. V.9 (1942). p.310-338.

74. Барановский С.П. Об одном классе дифференциальных операторов // Вестник ОмГУ. 2002. №3. С.27-29.

75. Березин Ф.А. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функ. анал. и его прил. 1967. Т.1. №2. С. 1-14.

76. Березин Д.В. Инвариантны коприсоединенного представления для алгебр Ли некоторого специального вида // УМН. 1996. Т.51. №1. С.141-143.

77. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения: В 2 т. М.: УРСС, 1998, Т.1. - 336 с. - Т.2. - 280 с.

78. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: В 2 т. М.: Наука, 1981, Т. 1. - 344 с.

79. Сарданашвили Г.А. Совеременные методы теории поля. I. Геометрия и классические поля. М.: УРСС, 1996. — 224 с.

80. Koornwinder Т.Н. Invariant differential operators on nonreductive homogeneous spaces // arXiv:math.RT/0008116.

81. Selberg A. Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric spaces with applications to Dirichlet series // J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20 (1956). P.47-87.

82. Карасев M.B., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. М.: Наука, 1991. — 368 с.

83. Гийемин В., Стернберг С. Геометрические асимптотики. М.: Мир, 1981. 504 с.

84. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 432 с.

85. Weinstein A. Lagrangian submanifolds and Hamiltonian systems // Ann. of Math. (2) 98 (1973). P.377-410.

86. Vergne M. Construction de sous-algebres subordonnees a un element du dual d'une algebre de Lie resoluble // C.R. Acad. Sci. Paris (A). 270 (1970). P.173-175. P.704-707.

87. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир, 1978. 407 с.

88. Березин Ф.А. Квантование // Изв. АН СССР. Сер. математич. 38. 5(1974). С.1116-1175.

89. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. — 616 С.

90. Robertson Н.Р., Noonan T.W. Relativity and Cosmology. Philadelphia, Saunders, 1968. — 456 p.

91. Souriau J.M. Sur la variete de Kepler // Conv. di Geom. Simp, e Fis. Mat. INDAM. Rome. 1973.

92. Kallosh R. et al. Gauged supergravities, de Sitter space and Cosmology // arXiv:hep-th/0110089.

93. Полыпин С.А. Обобщенные когерентные состояния для массивных бесспиновых полей в пространстве де Ситтера // ТМФ. 1999. Т.121. №2. С.258-263.

94. Yi-hong Gao. Symmetries, Matrices and de Sitter gravity // arXiv.hep-th/0107067.

95. Keifer C. Quantum gravitational effects in de Sitter space // arXiv:gr-qc/9501001.

96. Medvedev N.N., Tsaregorodtsev L.I. Spectrum of radiation of a classical electron moving in the de Sitter spacetime // Grav. Cosmol. 4 (1998). P.234-238.

97. Cotaescu I.I. The Dirac particle on de Sitter background // Mod. Phys. Lett. A13 (1998). P.2991-2998.

98. Aldrovandi R., Pereira J. A second Poincare group // arXiv:gr-qc/9809061.

99. Inonii E., Wigner E. P. On the contraction of groups and their representations // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S. 39. (1953). P.510.

100. Gilmore R. Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. Malabar, Fla. : Krieger Pub. Co., 1994. — 587 p.

101. Bros J., Epstein H., Moschella U. Towards a general theory of quantized fields on the anti-de Sitter space-time // arXiv:hep-th/0111255.

102. Cotaescu I.I. The Dirac particle on central backgrounds and anti-de Sitter oscillator // Mod. Phys. Lett. A13 (1998). P.2923-2936.

103. Buchbinder I.L., Pashnev A., Tsulaia M. Massless Higher Spin Fields in the AdS Background and BRST Constructions for Nonlinear Algebras // Proc. XVI Max Born Symp. "Supersymmetries and Quantum Symmetries". Dubna. 2002. P.3-10.

104. Buchbinder I.L., Pashnev A., Tsulaia M. Lagrangian formulation of the massless higher integer spin fields in the AdS background // Phys. Lett. B523 (2001). p.338-346.

105. Фущич В.И., Баранник Л.Ф., Баранник А.Ф. Подгрупповой анализ групп Галилея, Пуанкаре и редукция нелинейных уравнений. Киев: Наук. Думка, 1991. 304 с.

106. Левичев А.В. Однородная хроногеометрия. Новосибирск: НГУ, 1991. -50 с.

107. Мёллер У. Теория относительности. М.: Наука, 1975. — 400 с.

108. Ellis G. Dynamics of Pressure-Free Matter in General Relativity // J. Math. Phys. 8 (1967). P.1171.

109. Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр. М.: МГУ, 1986. 288 с.

110. Horie К. Geometric Interpretation of Electromagnetism in a Gravitational Theory with Torsion and Spinorial Matter // arXiv:hep-th/9601066.

111. Иваненко Д.Д., Пронин П.И., Сарданашвили Г.А. Калибровочная теория гравитации. М.: МГУ, 1985. — 144 с.

112. Брилл Д., Уилер Дж. // В сб. «Новейшие проблемы гравитации». М.: ИЛ, 1961. С.381.

113. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1984. —■ 528 с.

114. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М.: Наука, 1990. — 240 с.

115. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифф. урав. 1980. Т.16. №10. С.1864-1874.

116. Багров В.Г. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. — 143 с.

117. Ray В. Uber die Eigenwerte des Asymmetrischen Kreisels // Zeits. fur Phys. 78 (1932). P.74-91.

118. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964. — 344 с.

119. Шварц А.С. Квантовая теория поля и топология. М.: Наука, 1989. — 400 с.

120. Менский М.Б. Группа путей: измерения, поля, частицы. М.: Наука, 1983. 319 с.

121. Eguchi Т. et al. Quantum cohomology and Virasoro algebra // arXiv.hep-th/9703086.

122. Milnor J.W. Spin-structures on manifolds // Ens. Math. 9 (1963). P. 198203.

123. Morrison S. Classifying Spinor Structures // arXiv.math-ph/0106007.

124. D'Auria R. et al. Spinor algebras // arXiv:hep-th/0010124.

125. Желобенко Д.П., Штерн А.И. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983. 360 с.

126. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.4. Квантовая электродинамика. М.: Физматлит, 2001. — 720 с.

127. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969. 624 с.