Исследование свойств синхротронного излучения в периодических магнитных структурах асимптотическими методами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Г Г Б ОД

На правах рукописи

' 7 ОПТ 1998

ШИШАНИН Олег Евстропович

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ СИНХРОТРОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЕРИОДИЧЕСКИХ МАГНИТНЫХ СТРУКТУРАХ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 19 98

Работа выполнена в Московском государственном индустриальн университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.Г.Багров, доктор физико-математических наук профессор В.В.Белов, доктор физико-математических наук профессор Ю.М.Лоскутов.

Ведущая организация :Томский политехнический университет.

Защита состоится "Ц" ЬшЩЛ 1998 г. в на заседании диссертационного Совета Д 053.05.41 при Московски государственном университете им. М.В. Ломоносова по адрес 119899, г. Москва, Воробьевы горы, МГУ, физический факульте яуп. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан (г- ¿зл/ьа^л—_ 1998г.

Ученый секретарь

диссертационного Совета _______

доцент МГ" " И.А. Квасников

ЛР № 020407 от 12.02.97. Подписано в печать 06.10.98 Сдано в производство 06.10.98

Формат бумаги 16x90/16 Бум. множит.

Усл. печ. л. 1,25 Уч.-изд. л. 1,25

Тираж 100_Заказ №303_

Ротапринт МГИУ, 109280, Москва, Автозаводская, 16

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.В настоящее время синхротронное излучение используется во многих областях современной науки, где рассматривается взаимодействие излучения с веществом. Работы с синхротронным излучением признаны приоритетным направлением в наборе фундаментальных исследований. Для генерации синхротронного излучения в наиболее развйтых странах стремительно растет число специализированных установок, которые представляют собой электронные синхротроны и накопительные кольца с большими магнитными полями.

Ранее теория излучения была достаточно хорошо разработана для однородного магнитного шля методами классической, а также квантовой электродинамики. Затем были поставлены эксперименты, которые в основном подтвердили выводы теории, но вместе с тем выявили определенные расхождения.Дело в том, что в существующих машинах применяются довольно сложные магнитные системы, включающие в себя, кроме того, фокусирующие и дефокуспрующпе магниты, линзы и промежутки без поля. Принципиальным отличием динамики частиц в однородных и периодических магнитных полях является то, что в последнем случае электроны совершают бетатронные колебания, приводящие к заметному изменению угловых распределеюш мощности излучения.

В связи с этим небходимо было провести теоретические исследования непосредственно для неоднородных магнитных-полей. Однако при этом выяснилось, что аналитическое описание свойств излучения в периодических магнитных полях становится весьма затруднительным вследствие возникающих математических трудностей. Для решения поставленной задачи в делом необходимо было развить новые асимптотические методы, которые бы дали возможность прежде всего рассмотреть динамику электрона в более адаптированном для этого случая виде, а затем провести детальный анализ параметров излучения.

Уже первые теоретические результаты, полученные для аксиально-симметричного магнитного поля, показали сильную зависимость свойств излучения от частоты и амплитуды вертикальных бетатрон-ных колебаний. Это дало основание считать, что нужно более глубокое изучение рассматриваемого физического явления для магнитных моделей , максимально приближенных к реальным установкам.

При этом, помимо нахождения собственно точных характеристик излучения, представлялось также целесоообразным выяснение условий, при которых возможно получение синхротронного света с улучшенными параметрами. Это особенно важно для нового поколения машин, на которых проводятся и будут проводиться более прецизионные опыты, учитывающие, в частности, поляризацию излучения.

Целью диссертации является дальнейшее развитие теории синхротронного излучения, применимой в периодических магнитных полях ускорителей и накопительных колец, поиск условий, при которых возможно повышение степени поляризации.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту.

1. Разработаны оригинальные методы асимптотического исследования дифференциального уравнения Хилла. Для этого развита техника теории возмущений, близкая к работам Пуанкаре и Уиттекера, а также предложены способы нахождения третьего и четвертого приближения теории усреднения Боголюбова-Митропольского.

2. С помощью этих методов найдены асимптотики поперечных ос-цилляций в периодических магнитных полях, применяемых в ускорителях и накопительных кольцах. Введены в практику расчета впервые полученные периодические функции, "включающие" тот или иной элемент магнитной ячейки в определенный момент. Проведен анализ сходимости асимптотических разложений. Показано, что полученные в решениях рады сводятся к многочленам Эйлера и Бернулли.

3. Исследован классический эффект влияния вертикальных бе-татронных колебаний электронов в сложных магнитных полях на спектрально-угловые и угловые характеристики синхротронного излучения. Впервые теоретически показано, что степень воздействия колебаний на излучение зависит от конкретных локальных параметров

движения ускоряемых частиц в области формирования синхротронного света.

4. На основе операторного метода Швингера получена формула для вероятности излучения в периодических магнитных полях, учитывающая квантовую отдачу при испускании фотонов и поляризационные свойства синхротронного света. На основе этой формулы, а также найденных классических решений, определяющих динамику частиц для различных систем, исследованы спектрально-угловые свойства излучения в периодических магнитных шлях с учетом квантовых эффектов.

5. Исследованы особенности синхротронного излучения в накопительных кольцах. Впервые представлен анализ спектрально-углового распределения интенсивности излучения в зависимости от параметров установки: эмиттанса, вертикальной бетатронной функции и ее производной. Показано, что влияние вертикальных бетатронных колебаний на излучение существенно зависит от характерного параметра в различных областях спектра; при этом выявлены условия, при которых возможно повышение степени поляризации излучения.

6. Впервые получены на основе классической электродинамики спектрально-угловые характеристики в системе фокусировка-дефокусировка, а с помощью методов квантовой теории - выражения, описывающие угловые распределения излучения в сильнофокусирую-щих периодических магнитных полях циклических ускорителей с прямолинейными промежутками.

7. Получено выражение, определяющее степень линейной поляризации излучения как функцию сферического угла 9 при произвольном значении амплитуды вертикальных колебаний и частоты. Обнаружено, что степень линейной поляризации в плоскости равновесной орбиты не равна единице, а 7г-компонента вследствие вертикальных колебаний оказывается отличной от нуля; при этом с ростом амплитуды аксиальных колебаний происходит сглаживание максимумов 7г-компоненты и упшрение кривых для сг-компоненты.

8. Развита теория синхротронного излучения в периодическом сла-бофокусирующем магнитном поле. Рассчитанные по полученным формулам спектрально-угловые и угловые распределения интенсивности излучения объясняют ранее выполненные эксперименты. Выяснено, что прямолинейные промежутки усиливают влияние бетатронных колебаний на свойства излучения.

9. Показано, что смещение секторов магнитов по вертикали приводит к дополнительным вынужденным колебаниям электронов, около которых происходят малые по амплитуде быстрые осцилляции. В связи с этим впервые выяснено, что вертикальные бетатронные колебания меняют кривые распределения интенсивности излучения, а вынужденные колебания сдвигают эти кривые относительно плоскости орбиты. Исследовано воздействие на излучение наклонов магнитов, которые приводят к связи поперечных бетатронных колебаний между собой и к слабой зависимости свойств излучения от радиальных колебаний и от угла наклона; при этом показано, что влияние вертикальных колебаний остается по-прежнему весьма заметным.

10. Разработана методика расчета высших приближений при аппроксимации функции Бесселя и ее производной. На ее основе исследованы спектрально-угловые и спектральные распределения излучения электрона, движущегося по винтовой линии в однородном магнитном поле, с релятивистскими поправками, существенными, в частности, при рассмотрении космического магнитотормозного излучения.

Практическая ценность диссертации. Полученные в диссертации результаты представляют интерес прежде всего для специалистов, проектирующих и создающих источники синхротронного излучения, а также использующих его в многочисленных научных и технических приложениях. Разработанные в ней новые методы исследования могут служить также основой для изучения физических явлений в периодических структурах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Семнадцатой Международной конференции по ускорителям высоких энергий (НЕАСС'98), Девятой Всесоюзной конференции по использованию синхротронного излучения (81Г90), на Всесоюзном и Всероссийских совещаниях по ускорителям заряженных частиц (Москва, 1990; Дубна, 1992; Протвино, 1994; Протвино, 1996), на Ломоносовских чтениях (МГУ, 1970), на научных семинарах кафедры теоретической физики физического факультета МГУ, а также в ОИЯИ, в ФЙРАНе, в

Физическом институте Чехословацкой АН.

Публнкации.По материалам диссертации опубликовано 25 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав основного текста, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 273 наименований. Объем диссертации составляет 201 страниц текста, набранного в издательской системе ЬаТЕХ, включая 19 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится обоснование выбора темы диссертации, ее актуальности и формулируется цель работы.

В первой главе диссертации приведен обзор литературы по спектральным, поляризационным и квантовым свойствам синхротронного излучения. Кроме того, в ней отмечены области применения излучения, дальнейшее расширение исследований, проводимых в специализированных научных центрах, а также необходимость уточнения характеристик синхротронного света в периодических магнитных полях ускорителей и накопительных колец.

Во второй главе рассмотрены свойства синхротронного излучения в однородном магнитном поле с релятивистскими поправками.

В §2.1 при движении электрона по винтовой траектории найдены составляющие вектора электрического поля излучения в волновой зоне, компоненты линейной поляризации интенсивности излучения с определенной частотой, а также угловые распределения.

Если составляющая скорости частицы, параллельной магнитному полю, равна нулю, то полученные выражения переходят в соответствующие формулы для движения по окружности. Однако данными спектрально-угловыми распределениями пользоваться неудобно, так как максимум излучения падает на высокие гармоники и, входящие в аргумент и индекс бесселевых функций.

В §2.2, в связи с этим, методом ВКБ уточнено асимптотическое представление функции Бесселя Jv{x) и ее производной. С их помощью получены спектрально-угловые и спектральные распределения интенсивности излучения с учетом второго приближения.

При переходе к круговому движению частицы, представляющему интерес и для ускорительной техники, и суммировании компонент поляризации найдена впервые спектральная формула с релятивистскими поправками порядка 1 - 01 = (mac'/Ef, где v = (Зс и Е - соответственно скорость и полная энергия частицы.

В §2.3 рассмотрен еще один метод для вывода ранее найденных бесселевых асимптотик. Здесь принято во внимание, что в ультрарелятивистском случае основной вклад в излучение в заданном направлении дает малый участок траектории, определяемый областью углов <р ~ rriQ<?/Е. Это позволяет при вычислении угловых интегралов сразу переходить к модифицированным функциям Бесселя Такой под-

ход даст возможность находить решение в последующих более трудных задачах, когда подобные интегралы точно не вычисляются.

В третьей главе построена теория синхротронного излучения в периодической магнитной системе FD (фокусировка-дефокусировка). Здесь впервые в работе проведен переход к переменным магнитным системам.

В §3.1 обоснована методика расчета, начиная с получения уравнений движения заряженной частицы и кончая выводом угловых распределений излучения. Показано, что наиболее адекватным данной физической задаче описанием является способ разложения градиента п или компонент ведущего магнитного поля HZ,HT в ряд Фурье или представление их в виде тригонометрического многочлена. Такой подход дает возможность перейти от набора дифференциальных уравнений движения для отдельных элементов орбиты к одному уравнению типа Хилла.

В §3.2 для изучения вертикальных колебаний применена процедура, наиболее близкая к способам Уиттекера и растянутых параметров. Частные решения дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами внутри огибающих, согласно теореме Флоке, берутся в виде z = exp(z'7zr), где <рг{т) — <Pz{T + 2х), = 0, т = Nip, N-

число периодов на замкнутой орбите. Для функции <рг(т) получено новое дифференциальное уравнение, решение которого находится в виде асимптотических рядов по степеням 1/JV; величина 7* также представ-

ляется в виде ряда. В полученной последовательности уравнений исключаются секулярные слагаемые. Данная процедура дает также возможность параллельно найти частоту колебаний. Полученная в действительной форме асимптотика представляет собой суперпозицию синусоиды и косинусоиды с модулированными амплитудами; входящие в эти переменные амплитуды ряды выражаются через многочлены Эйлера.

В §3.3 аналогичным приемом найдено асимптотическое решение и частота для радиальных колебаний. Параметром разложения в полученных асимптотиках является отношение 4n/irN2. Найденные решения ограничены, что находится в согласии с принципом сильной фокусировки о суммарной устойчивости движения.

В §3.4 получены выражения для угловой и полной скоростей частицы, вычислена координата р с точностью до величин третьего порядка малости. Здесь к малым параметрам отнесены <р, т, wot, vpA/R, v2B/R, где u>o = cc0Hq/E - угловая частота основного вращения, R - радиус орбиты, А и В - амплитуды соответственно радиальных и вертикальных колебаний, а ир и vz - их частоты. Кроме того, из формулы для полной скорости найден параметр Rojq/c, также необходимый для решения задачи об излучении.

В §3.5 методами классической электродинамики рассмотрены особенности синхротронного излучения в структуре FD. Для этого вначале найдены составляющие скорости электрона и вектор-потенциала поля излучения. Здесь, кроме того, учтено, что излучение локализуется вблизи плоскости орбиты (сферический угол в ~ тг/2) и cos в того же порядка малости, что и пц(?/Е. Показано, что полученные спектрально-угловые распределения компонент интенсивности излучения существенно зависят от амплитуды вертикальных колебаний В и от частоты vk. Эти выражения усреднены по начальным фазам бетат-ронных колебаний. Выяснено, что найденные после интегрирования по углам спектральные формулы отличаются от соответствующих выражений для однородного магнитного поля малыми поправками порядка A2/R2, B2/R2. Это замечание относится и к интегральным формулам. Напротив, угловые распределения сохраняют сильное влияние вертикальных осцилляций частицы.

В §3.6 получены другим электродинамическим способом формулы, определяющие угловые свойства излучения, и проведен анализ зависи-

мости полной интенсивности излучения от бетатронных колебаний в данной магнитной системе.

В четвертой главе развита теория синхротронного излучения в сильнофокусирующих магнитных полях с прямолинейными промежутками.

В §4.1 рассмотрена система FODO (О означает пространство без поля), которая наиболее часто используется при создании мощных электронных синхротронов. Здесь вся орбита состоит из N периодов, где фокусирующие и дефокусирующие магнитные поля действуют на криволинейных участках длиной о и с радиусом R, а расстояние между магнитами I. Так как на свойства излучения влияют только аксиальные колебания, то сделаны ряд упрощений, касающихся радиального движения. Усреднено или распространено по всей длине периода ведущее магнитное поле Щ и принято, что частица движется по кругу радиуса Ro — Д(1 + к), где к = NI/kR — l/а. Вместо градиента магнитного поля п введена периодическая функция п(т), которая включает фокусировку и дефокусировку в соответствующих местах траектории, а в свободных от магнитного поля местах она равна нулю. В этом параграфе получены дифференциальные уравнения для малых поперечных колебаний частицы, а также определено выражение для угловой скорости, причем частота вращения щ уменьшилась здесь в 1+к раз из-за влияния свободных промежутков.

В §4.2 методом Боголюбова-Митропольского с учетом высших приближений найдены решения для уравнений типа Хилла по степеням параметра 1/JV. Одно уравнение второго порядка сведено здесь к двум дифференциальным уравнениям, которые образуют систему типа Ка-ратеодори. Показано, что полученные решения являются и единственными, поскольку выполняются условия Липшица. Разработана в общем виде методика поиска третьего и четвертого порядков теории усреднения, которая затем применяется для нахождения асимптотик и частот бетатронных колебаний. Обнаружено, что параметром разложения уже в построенных асимптотических решениях является величина n(l + fc)2/Ar2, а входящие в них ряды сводятся к многочленам Эйлера. В конце параграфа отмечено, что в данной задаче имеется полный набор условий, необходимых для сходимости полученных решений.

В §4.3 для исследования динамики частиц в сильнофокусирую-

тем магнитном поле применена процедура, уже описанная частично в третьей главе и близкая к методу Пуанкаре. Показано, что при данном подходе можно найти решения предыдущего параграфа, только последний метод является менее трудоемким. Сформулирована теорема о том, что приближенные решения, найденные для уравнений поперечных бетатронных колебаний методом усреднения и предложенным в работе способом возмущений, для всех порядков приводят к одинаковому результату.

В §4.4 найдены дополнительные динамические величины, такие как квадрат полной скорости и2, Ешо/с, компоненты скорости, координата (р и произведение ур/До, необходимые при втором этапе исследований уже непосредственно самого излучения.

В §4.5 с помощью операторной формулировки квазиклассического приближения найдена формула для вероятности излучения, в которой учтена квантовая отдача при испускании фотонов, определяемая параметром Н ш/Е, но не принято во внимание квантование движения самого электрона в магнитном поле. Еходящее в эту формулу произведение (£Г2а) (г/х«4"), где а - амплитуда вектор-потенциала, определено для различных компонент поляризации излучения.

В §4.6 исследованы спекгрально-угловые свойства компонент линейной поляризации излучения в первом квантовом приближении в рассматриваемой магнитной структуре ¥ОВО. Причем за сг здесь обозначена линейная компонента, у которой электрический вектор излучения лежит в плоскости орбиты, а за тг - компонента, у которой этот вектор перпендикулярен плоскости орбиты. Соответствующие распределения после усреднения по начальным фазам 5 имеют вид:

где г/ = г/(1 + ки>/Е), частота излучения и = ¡¿и>о,

£1 = 1 -/З2 + е2, £2 = (соз0 - асоэ(5)2, а = 1/„ег5/Дь

(1)

ТГ2П п(1 + к)2 \ 21/2

ттпу/1 +4к + ЗА;2

Формулы (1) уже не зависят от радиальных колебаний. Вместо cos в можно использовать здесь также угол ?/>, который отсчитывается от плоскости орбиты. Поскольку в любом сечении пучка частиц есть набор амплитуд от нуля до максимального значения, то под амплитудой вертикальных колебаний В следует понимать ее среднеквадратичную величину.

Показано с помощью (1), что при в = тг/2 поляризация

Р = {dWa - dWv)/(dWa + dWw)

уже не равна единице из-за влияния бетатронных колебаний, а интенсивность 7г - компоненты при малых аксиальных колебаниях прямо пропорциональна квадрату амплитуды.

Разработано несколько приближенных методов расчета интегралов, входящих в (1). С помощью найденных выражений построены графики для магнитной модели при Е = 5 ГэВ, R — 30 м, N — 24, п — 70, к = 0,6. В частности, на рис.1 приведены кривые для сг и тг - компонейт при длине волны излучения Л = 10 АА и В = 0,5 мм. Из рисунков 1-4 видно, что я- - компонента не обращается в нуль в плоскости орбиты и с ростом амплитуды В вместо минимума у ней появляется максимум; кривые для о - компоненты в этом случае становятся более низкими и широкими. На рис.6 показано, что при фиксированной амплитуде В в плоскости орбиты степень поляризации уменьшается при стремлении в коротковолновую область спектра.

В §4.7 рассмотрены компоненты правой и левой круговой поляризации излучения. Из построенных по соответствующим формулам графиков 7 и 8 видно, что линии компонент круговой поляризации при увеличении амплитуды аксиальных колебаний становятся более размытыми.

В §4.8 получены угловые распределения интенсивности излучения после суммирования (1) по частотам. После усреднения по начальным фазам классическая часть этих формул выражается через полные эллиптические интегралы К(г),Е(г); кроме того, здесь изучается также круговая поляризация. На рис.10 показано, что вертикальные колебания приводят к уширению и спаду компонент круговой поляризации по сравнению с линиями для однородного магнитного поля.

В §4.9 рассмотрена структура F1OD2O, где фокусирующий магнит имеет градиент поля щ, дефокусирующий - пг и происходит перест-

ройка функции п(т). В полученных методом возмущений решениях ряды выражаются уже через многочлены Бернулли. Входящий в (1) параметр щег зависит от щ, пг-

В §4.10 проведено обобщение предыдущей модели на случай, когда длины прямолинейных промежутков /¡,¿2 внутри одной магнитной ячейки не равны между собой. Для решения динамической задачи применен способ усреднения. Величина ц,ег, определяющая свойства излучения, включает в себя также и При 1\ = /2 все формулы переходят в соответствующие выражения предыдущего параграфа.

В §4.11 исследовано, кроме того, магнитотормозное излучение в сильнофокусирующей системе РОРООИ. Здесь длина одного периода Ь составлена последовательно как а + Ь 4- а + а + /г + где а ~ длина магнитов, 12 - длины прямолинейных промежутков. В этом случае асимптотики после суммирования также содержат многочлены Бернулли, а

7гп-\/1 + к

3 тг'п к-к ,11+12

4 167У2 I >гдеА- 4а "

Затем рассмотрен случай, когда градиенты фокусирующих и дефо-кусирующих магнитов равны соответственно щ и —л-г- Это принципиально не меняет всю картину, но приводит к усложнению показателя магнитного поля п(т) и параметра иуег.

Отмечено, что при сравнении рассмотренных моделей с конкретными установками нужно учитывать специфическую магнитную структуру отдельных синхротронов, приводящую к некоторым изменениям частоты и амплитуды колебаний, а, значит, в какой-то степени и параметров излучения.

В пятой главе дано обобщение теории синхротронного излучения, развитой ранее В.Ч.Жуковским и автором для кругового аксиально-симметричного магнитного шля, на случай периодической структуры типа "рейстрек".

В §5.1 рассмотрена магнитная система с показателем спадания поля п € (0,1) из N периодов, где один элемент состоит из поворотного магнита длиной а и свободного промежутка протяженностью I. Найденные уравнения колебаний включают в себя периодическую функцию п(т), которая принимает попеременно значения п и 0. Ранее описанными способами получены решения этих уравнений, выраженные также че-

рез полиномы Бернулли. В задаче об излучении

= v.

7r2nfc(2 + к) + 3(1 + k)N2 '

где

= + + к = Ца.

Отсюда сделан вывод о том, что прямолинейные промежутки увеличивают параметр uver и усиливают воздействие аксиальных колебаний на характеристики излучения. Приведенные графики показали идентичность проявления бетатроннных колебаний при формировании синх-ротронного света для сильной фокусировки, а также слабой и практически совпали с ранее выполненными экспериментами. Отмечено, что разработанные методы дают также возможность учесть реальные искажения магнитных полей при разложении в ряд Фурье составляющих магнитного поля Hz,Hr.

В §5.2 учтены параллельные сдвиги магнитов кругового ускорителя по вертикали, появление, в связи с этим, дополнительной периодической силы Лоренца и вынужденных колебаний. Проведенные исследования показали, что в этом случае параметр

£2 = (cosfl - £ k^-sin(ipk - kipa) ~ cos<5)2.

*=l М Я

Здесь Zk и tpk - амплитуды и начальные фазы вынужденных колебаний, а начальный угол ipo удобнее выбирать так, чтобы он соответствовал началу какого-либо сектора ускорителя.

Одновременное воздействие бетатронных и вынужденных колебаний приводит к тому, что графики распределения интенсивности линейных компонент поляризации смещаются относительно плоскости равновесной орбиты, при этом минимум тг - компоненты не обращается в нуль, а максимум а - компоненты становится ниже и новый

угол симмметрии определяется из равенства

00

cos в-Yj k~sm(tpk - ktp0). k= l K

В §5.3 рассмотрено влияние на излучение линейного резонанса связи между вертикальными и радиальными свободными осцилляциями,

возникающего вследствие наклона медианной поверхности на постоянный угол. Показано, что тогда свойства излучения определяются, кроме того, амплитудой радиальных колебаний А л углом наклона, однако при угле менее одного градуса влияние радиальных колебаний будет незначительным по сравнению с аксиальными.

В §5.4 изучен случай, когда неоднородность магнитного поля задается изменением показателя спадания магнитного поля п по азимутальному углу <р. При разложении в ряд возмущения 5п((р) и учете первой добавки вместо п взята функция п — щ cos <р. В формулах для излучения это приводит к тому, что по сравнению со случаем аксиально-симметричного магнитного поля параметр а = \JnB/R заменяется на величину \/n(l — ni/(4n — 1 ))B/R. Коэффициент ряда Фурье щ для реальных магнитных полей находится численным методом.

В шестой главе впервые применен математический аппарат, описывающий вертикальное движение заряженной частицы с помощью бета-функции, для анализа формирования синхротронного излучения в накопительных кольцах.

В §6.1 получены дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами для изучения динамики частиц в линейных системах. При этом рассмотрены три основных периодических ячейки, используемых в накопительных кольцах: FODO (F и D теперь используются уже для обозначения фокусирующего и дефокусирующего квадрупо-лей, а О- для поворотного магнита), ячейка Чесмена-Грина и триплет. Эти структуры состоят из поворотных магнитов с однородным полем, квадрупольных линз и зазоров и для них также, как и раньше, проведено разложение в ряд Фурье всех поперечных составляющих магнитного поля, входящих в один из N периодов. При этом впервые получено уравнение Хилла с большим параметром, которое не удовлетворяет описанным в литературе условиям теорем, а потому представляет также интерес и с чисто математической точки зрения. Поскольку в действительности магнитные ячейки включают в себя,кроме того, секступольные и октулольные линзы и являются довольно сложными, то сделан вывод о том, что свойства излучения целесообразнее изучать с помощью имеющихся для каждой машины описаний бета-фунций.

В §6.2 рассмотрена подробно теория синхротронного излучения в накопительных кольцах. Использовано представление вертикальных бе-

татронных колебаний заряженных частиц функцией

N

ÄA,

cos

(/

где Az - эмиттанс, ßz - бетатронная фунция, зависящая от длины орбиты s, öq - начальная фаза.

С помощью расчетов свойств излучения для конкретных магнитных структур в III - V главах установлены общие методические приемы, которые дали возможность в VI главе провести вычисления уже в наиболее общем виде. В частности, установлено, что в параметре £2 = (cos 0 — a cos 5)2 величина а = vz/c\v-const для всех магнитных структур.

В итоге сиектрально-утловые распределения интенсивности излучения выражены через функцию Эйри и ее производную следующим образом:

(2)

где по-прежнему ег = 1 — ß2 + £2, а

2V3ce2i/2/3

z = £i(ö) > е2 = {ф-<Х cos 5у

W =

я Щ

и уже нет зависимости от радиальных колебаний. Параметр а, характеризующий вертикальные бетатронные колебания, определен как

\

7г

1

1 + (2d7}

т=0

т. е. зависит только от эмиттанса Аг я бетатронной функции (Зг. При практическом использовании формул (2) нужно взять значение из ее графика для той точки, откуда снимается излучение, а производную можно заменить отношением Д/?2/Дв. Поскольку для поворотных магнитов график функции Д, почти линейный, то можно производную определить также через тангенс угла наклона данного участка прямой. При 9 = 7г/2 £1 = (1-/?2)(1-Ьа2соз2£/(1 ~(32)) и выявленный таким образом параметр а2/(1 — /З2) определяет степень влияния

вертикальных бетатронных колебаний на излучение. При стремлении этого отношения к единице, а также при перемещении в коротковолновую область спектра (увеличивается и) воздействие осцилляций усиливается.

Сделан важный физический вывод о том, что для повышения степени поляризации необходимо уменьшать параметр а в локальной области замкнутой траектории, формирующей излучение в заданном направлении. В работе приведены также приближенные методы для вычисления интегралов, входящих в (2).

Показано, что соответствующие угловые распределения, полученные после суммирования по спектру, имеют вид:

Они играют важную роль в экспериментах, использующих весь спектр излучения. Выражения (3) испытывают также сильную зависимость от параметра а, они сводятся к полным эллиптическим интегралам.

Отмечено, что спектральные формулы и суммарные интенсивности излучения в накопительных кольцах близки к тем же характеристикам в однородном магнитном поле.

В заключении приведены главные выводы, вытекающие из проведенных в диссертации исследований.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Шишанин O.E. Исследование свойств синхротронного излучения с учетом второго приближения.// Вестник Моск.ун-та. Физика. Астрономия. 1969. No 4. с.103-105.

2. Соколов A.A., Жуковский В.Ч., Колесникова М.М., Никитина Н.С., Шишанин O.E. К теории синхротронного излучения при движении электрона по спирали.// Изв.вузов. Физика. 1969. No 2.

(3)

dWж 5 се2

dQ. 64тт2Щ

с.108-116.

3. Жуковский В.Ч., Шишанин O.E. Поляризация и угловое распределение излучения электронов, движущихся в фокусирующем магнитном поле.// Изв.вузов. Физика. 1971. No 3. с.52-58.

4. Жуковский В.Ч., Шишанин O.E. Свойства синхротронного излучения электронов, движущихся в слабофокусирующем магнитиом поле.// Оптика и спектроскопия. 1971. t.XXXI. вып.6. с.857-861.

5. Жуковский В.Ч., Соколов A.A., Шишанин O.E. К вопросу о затухании бетатронных колебаний в слабофокусирующем магнитном поле.// Изв.вузов. Физика. 1972. No 2. с.90-95.

6. Жуковский В.Ч., Шишанин O.E. Влияние бетатронных колебаний электрона на свойства синхротронного излучения.// ЖЭТФ. 1971. т.61. вып.4. с. 1371-1378.

7. Жуковский В.Ч., Шишанин O.E. Излучение электрона при движении в слабофокусирующем магнитном поле (квантовая теория).// Изв.вузов. Физика. 1973. No 4. с.60-64.

8. Жуковский В.Ч., Шишанин O.E. Синхротронное излучение электронов в циклических ускорителях с учетом азимутальной неоднородности магнитного поля.// Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия. 1975. No 4. с.467-472.

9. Жуковский В.Ч., Шишанин O.E. К вопросу о роли бетатронных колебаний в формировании синхротронного излучения.// Изв.вузов. Физика. 1978. No 3. с.149-151.

10. Шишанин O.E. Зависимость синхротронного излучения от линейной связи бетатронных колебаний.// Изв.вузов. Физика. 1979. No 8. с.82-85.

11. Шишанин O.E. Влияние азимутального изменения показателя магнитного поля на характеристики синхротронного излучения.// Изв.вузов. Физика. 1981. No 3. с.112-113.

12. Жуковский Б.Ч., Шишанин O.E. Синхротронное излучение электронов в неоднородных магнитных полях (случай азимутальной неоднородности).// Вестник Моск. ун-та. Физика. Астрономия. 1984. т.25. No 1. с.48-51.

13. Шишанин O.E. Синхротронное излучение в магнитных полях с большим показателем спадания поля.// Изв.вузов. Физика. 1986. No 6. с.103-104.

14. Shishanin O.E. Dependence of synchrotron light characteristics on the inhomogeneity of magnetic fields.// Nucl.Instr. and Methods. 1991. v.A 308. Nos.1,2. p.111-112.

15. Шишанин O.E. Дополнительные вопросы теории бетатронных колебаний. АН СССР. Сиб-ое отд-е. Томский научный центр. 1992. Препринт No 2. 13с.

16. Шишанин O.E. Некоторые способы построения асимптотик для уравнения Хилла.// Укр.мат.журнал. 1992. т.44. No 1. с.142-145.

17. Шишанин O.E. Синхротронное излучение электрона в системе фокусировка-дефокусировка.// Изв.вузов. Физика. 1992. No 11. с.61-64.

18. Шишанин O.E. Синхротронное излучение электрона в сильно-фокусирующем магнитном поле.// ЖЭТФ. 1993. т.103. вып.4. с.1117-1126.

19. Шишанин O.E. Угловые характеристики синхротронного света в магнитных полях с жесткой фокусировкой.// Письма в ЖЭТФ. 1993. т.57. вып.12. с.772-776.

20. Шишанин O.E. Спектрально-угловые характеристики синхротронного света в сильнофокусирующем ускорителе. Труды XIII Совещания по ускорителям заряженных частиц. 1993. Дубна. Изд-во ОИЯИ. т.1. с.419-423.

21. Шишанин O.E. Изучение особенностей синхротронного света в системе FOFDOD.// Письма в ЖТФ. 1994. т.20. вып.20. с.4-8.

22. Шишанин O.E. Свойства синхротронного излучения в системе FODO.// ЖТФ. 1994. т.64. вып.8. с. 196-200.

23. Шишанин O.E. Свойства синхротронного излучения в слабофоху-сирующем ускорителе. XIV Совещание по ускорителям заряженных частиц. 1994. Протвино. ИФВЭ. т.З. с.263-268.

24. Шпшанин O.E. Применение асимптотических методов к исследованию свойств синхротронного излучения с учетом бетатронных колебаний.// ТМФ. 1996. т.106. No 2. с.285-299.

25. Шишанин O.E. Особенности синхротронного излучения в синхротронах. XV Совещание по ускорителям заряженных частиц. 1996. Протвино. ИФВЭ. т.2. с.350-353.



МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

.ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ТЕХНИЧЕСКОЙ

ФИЗИКИ

свойств синхротронного излучения в периодических магнитных структурах асимптотическими методами

УДК 539.12.076; 621.384.63

На правах рукописи

Исследование

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1998

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

Глава I. СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ (СИ) И V ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ " 7

§ 1.1. Спектральные и поляризационные свойства СИ .... 7

§ 1.2. Квантовые эффекты в СИ................ 9

§ 1.3. Области использования СИ .............. . 12

Глава II. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИ В ОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ С УЧЕТОМ ВТОРОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 15

§ 2.1. Вывод основных выражений для движения частицы по

винтовой линии ...................... 15

§ 2.2. Формулы для спектральных распределений...... 19

§ 2.3. Второе приближение в аппроксимации функций Бесселя 24

Глава III. ТЕОРИЯ СИ В ФОКУСИРУЮЩИХ И ДЕФО-

КУСИРУЮЩИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ 27

§ 3.1. Метод расчета..............................................27

§ 3.2. Применение способов Уиттекера и растянутых параметров для изучения вертикальных колебаний . . . •. 29 § 3.3. Асимптотические решения для радиальных колебаний 35

§ 3.4. Угловая и полная скорости частицы....................38

§ 3.5. Задача об излучении......................................40

§ 3.6. Анализ полной мощности излучения ................45

Глава IV. ТЕОРИЯ СИ В СИЛЬНОФОКУСИРУЮЩИХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ

ПРОМЕЖУТКАМИ 49

§ 4.1. Вывод уравнений движения типа Хилла................49

§ 4.2. Метод Боголюбова — Митропольского с учетом высших приближений..........................................51

§ 4.3. Применение метода Пуанкаре в исследовании динамики частиц в неоднородном поле..........................59

§ 4.4. Полное решение динамической задачи............64

§ 4.5. Формула для вероятности излучения....................67

§ 4.6. Спектрально - угловые распределения компонент линейной поляризации........................................71

§4.7. Компоненты круговой поляризации излучения .... 87 § 4.8. Угловые распределения интенсивности излучения 88 § 4.9. Система с неравными по модулю градиентами поля . 103 § 4.10. Модель с различными по длине прямолинейными промежутками ..................................................106

§ 4.11. СИ в магнитных системах сложной конфигурации . . 111

Глава V. ОСОБЕННОСТИ СИ В СЛАБОФОКУСИРУ-ЮЩЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 119

§ 5.1. Излучение в периодическом магнитном поле с малым

градиентом неоднородности............... 119

§ 5.2. Воздействие вынужденных колебаний электронов на СИ 132 § 5.3. Зависимость СИ от линейной связи бетатронных колебаний ............................ 143

§ 5.4. Роль азимутального изменения градиента магнитного

поля при образовании излучения............ 148

Глава VI. СИ В НАКОПИТЕЛЬНЫХ КОЛЬЦАХ 151

§ 6.1. Получение дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами для описания динамики частицы в линейных системах...............'. 151

§ 6.2. Характеристики СИ в магнитных структурах, состоящих из суперпериодов.................. 158

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 170

ПРИЛОЖЕНИЕ А 176

ЛИТЕРАТУРА 179

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрение явлений, связанных с движением и излучением заряженных частиц во внешних магнитных полях, всегда представляет интерес для многих областей физики. В частности, сейчас ввиду резко возрастающего применения синхротронного света весьма актуально детальное исследование различных характеристик синхротронного излучения релятивистских электронов, движущихся в магнитных полях ускорителей и накопительных колец. Наиболее существенным при этом является то, что синхротронное излучение обладает целым рядом уникальных свойств, таких как острая направленность углового распределения, непрерывность спектра, простирающегося в широкой области длин волн, сильная поляризация и др. Являясь, таким образом, своеобразной разновидностью света с весьма необычными характеристиками, синхротронное излучение электронных ускорительных машин усиленно используется в научных и прикладных исследованиях.

Существующая теория полностью описывает излучение лишь в однородном магнитном поле, в то время как фокусирующее магнитное поле циклических ускорителей является неоднородным. Электроны, которые двигаются в таком поле, совершают колебания около равновесной орбиты. Последнее обстоятельство даже в случае малой амплитуды этих колебаний может сильно сказаться на поведении спектрально-углового распределения и поляризации испускаемого излучения. В связи с этим представляет интерес рассмотреть влияние неоднородностей и чередования магнитных полей ускорителей на свойства синхротронного излучения. Эти уточненные характеристики излучения особенно важны для нового поколения машин, на которых проводятся и будут проводиться более прецизионные опыты.

В рамках современных математических подходов решить поставленную проблему было затруднительно, поэтому в диссертационной работе были развиты новые асимптотические методы. Они позволили

таким образом описать сложное движение частицы в комбинациях магнитных полей, что дало возможность в полном объеме выявить все особенности излучения в найденных формулах в ультрарелятивистском случае.

Настоящая работа посвящена исследованию классических и квантовых эффектов синхротронного излучения в периодических магнитных полях, включая сильную и слабую фокусировку, а также накопительные кольца.

В предлагаемой диссертации рассмотрены следующие вопросы:

1. в первой главе приводится обзор только тех работ, которые имели определяющее значение для развития данной проблемы; отсюда видно, что происходит дальнейшее расширение исследований с синхротронным излучением, образуемым в циклических резонансных ускорителях, а это требует продолжение изучения свойств синхротронного света;

2. во второй главе на основе построенных аппроксимаций функций Бесселя с точностью до второго слагаемого включительно получены уточненные спектрально-угловые и спектральные распределения компонент поляризации интенсивности излучения электрона, движущегося по винту и по окружности в однородном магнитном поле; разработана методика вычисления угловых интегралов с помощью выявленного малого параметра;

3. в третьей главе на основе теории усреднения Боголюбова-Митропольского, взятой впервые до четвертого порядка точности, и параллельно развиваемой техники теории возмущений найдены асимптотические решения уравнения Хилла в системе фокусировка - дефокусировка; затем получены в рамках классической электродинамики новые выражения для спектрально-углового распределения компонент линейной поляризации интенсивности излучения электрона с учетом бетатронных колебаний заряженной частицы;

4. в четвертой главе с помощью методов, разработанных в предыдущем разделе, рассматривается движение электрона в основных сильнофокусирующих системах, применяемых в современных ускорителях; задача об излучении решается методами квантовой электродинамики; построены графики по спектрально-угловым и угло-

вым формулам излучения, которые выявили его сильную зависимость от вертикальных колебаний электрона;

5. в пятой главе исследуются вопросы движения заряженной частицы в слабофокусирующем ускорителе; детально изучено влияние прямолинейных промежутков и вынужденных колебаний на свойства синхротронного излучения, проанализирована роль связи линейных колебаний электрона и изменения градиента магнитного поля на формирование излучения;

6. в шестой главе аналогичные задачи решаются для магнитных систем с квадрупольными линзами, являющимися основными ячейками для накопительных колец; проведено впервые общее описание характеристик излучения в произвольных магнитных системах накопителей с помощью параметров, которые описывают вертикальные осцилляции частицы; полученные формулы могут служить основой для теории излучения в накопительных кольцах.

В конце работы сделан краткий анализ проведенного в ней исследования.

Глава I

СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ (СИ) И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

§ 1.1. Спектральные и поляризационные свойства СИ

Первые исследования по спектральному и угловому распределению интенсивности излучения электрона, движущегося по окружности в магнитном поле, были проведены Шоттом [1].

Впоследствии вопрос об излучении релятивистских электронов в магнитном поле привлек внимание физиков в связи с постройкой индукционных электронных ускорителей — бетатронов на большие энергии. На важность интенсивного электромагнитного излучения электронов для работы бетатрона впервые указали Д.Д. Иваненко и И.Я. По-меранчук [2, 3]. Они установили, что в ультрарелятивистском случае интенсивность излучения становится весьма большой величиной и вследствие этого будут нарушены условия ускорения в бетатроне, в котором компенсируется только релятивистское увеличение массы, а не потери энергии на излучение.

Затем JI.A. Арцимович и И.Я. Померанчук [4] нашли, что максимум спектра частоты излучения электрона в бетатроне лежит в области, которая соответствует длине волны, пропорциональной (m^c2/Е)3. Ю. Швингер [5] также пришел к выводу, что излучение приходится на высокие обертоны частоты вращения. Вскоре Блюиттом [6] было обнаружено сжатие электронных орбит в бетатроне вследствие излучения, а затем магнитотормозное или синхротронное излучение наблюдалось непосредственно группой физиков [7 - 9].

В 1948 году Д.Д. Иваненко и A.A. Соколов [10, 11] получили формулу для спектрального распределения интенсивности излучения, ко-

торую можно записать в виде:

оо у

2 , ,

где R — радиус вращения электрона, у = -v I 1 , v — номер

излучаемой гармоники, а К5/з(х) — модифицированная функция Бесселя. Такой же результат был получен в 1949 году Ю. Швингером [12]. Формула (1.1) хорошо описывает весь континуум спектра излучения, это было подтверждено проведенными экспериментами [13 - 17].

В 1956 году A.A. Соколов и И.М. Тернов [18] (см. также [19 - 22]) впервые исследовали поляризационные свойства синхротронного излучения. В частности, оказалось, что это излучение имеет две компоненты линейной поляризации: сг-компоненту (у нее вектор электрического поля излучения лежит в плоскости орбиты электрона) и 7г-компоненту, у которой этот вектор направлен вдоль магнитного поля. Общая формула для интенсивности излучения, найденная в работе [18], характеризует не только спектральное и угловое распределения, но и поляризационные эффекты; она имеет следующий вид:

dWi се2 2

— -v

dü 6тг4Л2

кеК\1ъ ^)-Ьсозв^еК1/3 )]\ (1.2)

где Г2—телесный угол, в—сферический угол излучения, е= 1 — (32зт26, V = с(3—скорость электрона. Если в формуле (1.2) положить ¿2 = ¿з — 0, то получим интенсивность для (7-компоненты {г = сг); если 12 = 0, /3 = 1, то для 7г-компоненты (г = тт). При вычислении интенсивности излучения, поляризованного по кругу, следует в (1-2) положить 12 = —1$ — 1 /л/2 для правой круговой поляризации (г = 1) и /2 = Ь — 1/\/2 для левой круговой поляризации (г = —1).

Формулы для спектрального распределения а и 7г-компонент равны:

л/Зсе2 Е 47Г.Я2 171qc2'

K5/3(x)dx ± К2/3{у)

-у

(1.3)

Полученные экспериментальные данные [23 - 31] на слабофокуси-рующих синхротронах показали хорошее согласие с теоретическими

результатами работы [18] в области энергий электронов до 700 МэВ. Уже в первом опыте Ф.А. Королева и др. [23] были обнаружены о и 7г-компоненты линейной поляризации синхротронного излучения.

§ 1.2. Квантовые эффекты в СИ

По-видимому, в истории развития теории синхротронного излучения наиболее сложным и интересным оказался вопрос о пределе применимости классической теории этого излучения.

По оценкам, сделанным в ряде работ [32, 33], квантовые эффекты при существующих в настоящее время магнитных полях как будто бы не должны играть заметную роль до энергий 1015 эВ. В связи с этим заметим, что квантовые эффекты при движении ультрарелятивистских частиц в магнитном поле проявляются, в частности, в следующем:

1. в квантовании самого движения электрона (оно характеризуется отношением ?1шо/Е, где и>о = у/Я—частота вращения электрона по круговой орбите);

2. в квантовой отдаче при излучении фотона (она определяется величиной Тио/Е = (Н/(В,тос))(Е/(т0с2))2, где со—частота излучения,

3 Нсо

или параметром £ = ——-);

2 Е

3. кроме того, во влиянии спиновых свойств для частиц с отличным от нуля спином (усредненные спиновые эффекты играют роль лишь в членах порядка К2, так как соответствующий матричный элемент пропорционален К).

Поскольку максимум интенсивности излучения приходится на частоту и ~ щ(Е / то с2)3, то очевидно, что наибольший вклад в первую квантовую добавку к интенсивности и частоте даст эффект, связанный с отдачей при излучении, т.е. величина первой квантовой добавки будет пропорциональна параметру Следовательно, квантовые эффекты для подсчета мощности и частоты излучения будут малы при £ << 1, т.е. Ью « Е, а это означает, что только при энергии электрона Е ~ Ег/2 = т0с2(Лсто/^)1//2 нельзя пользоваться формулами классической теории излучения.

С другой стороны, как было показано A.A. Соколовым [34], такая оценка для учета квантовых эффектов верна только в отношении полной интенсивности и частоты излучения. Оказалось, что, кроме этого, нужно еще учитывать влияние квантовой отдачи при излучении на движение электрона по радиусу. Действие этого квантового эффекта на движение электрона сказывается уже при энергии Е ~ Е\!5 — Шо С (mocR/h)1/5, что находится в области параметров существующих ускорителей.

Формула для интенсивности излучения с учетом первой квантовой поправки при £ << 1, найденная в работах [35 - 37] на основе решения уравнения Дирака, равна:

Формула (1.4) позднее была получена другим методом Ю. Швин-гером [38]. Полное решение квантовой задачи было найдено Н.П. Клепиковым [39]. Затем на основе решений уравнений Клейна-Гордона и Дирака было показано [40, 41], что мощность излучения электрона и бесспиновой частицы различна и это различие обнаруживается в членах порядка Н2. В 1967 году в работе [42] (см. также [43, 44]) путем обобщения метода Швингера [38] были найдены результаты работ [35-41], а также формула для интенсивности излучения с квантовыми поправками для частиц со спином 1.

При £ >> 1 в ультраквантовом случае вместо формулы (1.4) было получено [39] следующее соотношение:

Интересно отметить, что при магнитных полях порядка Но = т2с3/еН = 4,41 • 1013 Гс квантовые свойства движения электрона уже заметным образом влияют на его излучение [45].

Поляризационные свойства синхротронного излучения с учетом спиновых свойств электрона были исследованы в работах [20, 21, 46,

¿4

где классическая интенсивность излучения

(1.4)

(1.5)

Для получения пучков поляризованных электронов весьма важным оказался эффект поперечной радиационной самополяризации спина электрона, предсказанный в работах [48 - 51] (см. также [52 - 61]) и обнаруженный экспериментально в Орсэ [62, 63] и в Новосибирске [55].

В дальнейших исследованиях квантовых эффектов А.А. Соколов и И.М. Тернов [64, 65] установили, что вследствие излучения при энергиях порядка #1/5 и выше происходят квантовые флуктуации радиуса орбиты электрона. В этом случае вращение вокруг магнитного поля описывается классической теорией, а радиальные колебания с макроскопической амплитудой — законами квантовой механики [66]. Для такого "макроатома" имеет место своеобразный принцип неопределенности, который возникает из-за того, что классическая система при взаимодействии с вторично квантованным полем фотонов сама становится квантовой [67, 68].

Квантовые флуктуации радиуса орбиты электрона могут оказать заметное влияние на движение в ускорителе электрона, который в то же время совершает синхротронные и бетатронные колебания. Бом и Фолди [69] показали, что реакция излучения приводит к радиационному затуханию синхротронных или фазовых колебаний.

Однако позднее Сэндс [70, 71] установил, что квантовые флуктуации излучения приводят к возбуждению фазовых колебаний. Реакция синхротронного излучения вызывает также затухание и бетатронных колебаний [72 - 76].

В работах [70, 72, 77] путем введения флуктуационных сил, характеризующих квантовое возбуждение, в классические уравнения движения был создан квазиклассический метод, описывающий движение электрона в ускорителе.

Несколько раньше А.А. Соколов и И.М. Тернов [78, 79] получили квантовым методом формулы для возбуждения радиальных и вертикальных бетатронных колебаний в слабофокусирующем магнитном поле вследствие излучения за счет квантовых флуктуаций; при этом наиболее существенным оказалось то, что квантовые эффекты необходимо учитывать при создании и использовании современных циклических ускорителей электронов.

В экспериментах, проведенных Ф.А. Королевым и др. [80, 81] на синхротроне ФИАН (680 МэВ), были обнаружены радиационное затухание бетатронных колебаний, квантовое возбуждение радиальных ко-

лебаний, а также стабилизация амплитуды вертикальных колебаний. В работах [20, 21, 82] была сделана оценка для амплитуды вертикальных колебаний, с которой класс