Триангулированные категории в коммутативной и некоммутативной геометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 512.73

БОНДАЛ Алексей Игоревич

ТРИАНГУЛИРОВАННЫЕ КАТЕГОРИИ В КОММУТАТИВНОЙ И НЕКОММУТАТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 2005

Работа выполнена в Математическом институте им В. А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. А. Псковских

доктор физико-математических наук,

профессор С. М. Хорошкин

доктор физико-математических наук,

профессор Е. С. Голод

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится "_^_" октября 2005 г. в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д.00'2.022.03 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу:

Москва 119991, ул. Губкина д. 8, Математический институт РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

5~ ■■ оьигл^ 9>

Автореферат разослан "_^ "_/ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 при МИАН,

доктор физико-математических наук / Н. П. Долбилин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Важная часть исглсдований в гомологической алгебре посвящена изучению свойств триангулированных категорий. Введенные сначала Всрдье [18] с целью поставить на твердую почву подход Гротендика к алгебраической геометрии, триангулированные категории оказались платформой объединяющей различные области математики. Причина этого кроется в том. что производные категории от абслевых категорий различной природы оказываются эквивалентны как триангулированные категории.

В примепениии к алгебраической геометрии триангулированные категории возникают в следущем контексте. Геометрия и топология алгебраического многообразия может быть описана производной категорией подходящих пучков на нем. Для изучения топологии многообразия удобно использовать конструктивные пучки, а для изучения геометрии многообразия в классическом смысле итальянской школы начала 20-го века - когерентные пучки.

В работах А. Гротендика и его учеников (Дж.-Л. Вердье, Л. Иллюзи и др.) были исследованы формальные свойства производных категорий пучков различной природы и даны важные приложения построенной теории, среди которых можно отметить доказательство общей формулы Римана-Роха. Венцом этого периода исследований можно считать доказательство П. Делинем гипотез Всйля. Успех П. Делипя предопределил то обстоятельство, что в течение десяти и более лет большинство гомологических исследований алгебраических многообразий были посвящены производным категориям пучков топологической природы.

Изучение производных категорий когерентных пучков было предпринято для конкретных классов гладких алгебраических многообразий представителями московской школы в 80-е годы. Были получены описания производных пучков для проективных пространств [3],[2], квадрик и многообразий флагов [12],[13], [14].

В работе [23] было введено понятие исключительной последовательности в

триангулированной категории и его обобщение " нипягие полуортогонального

НАЦИОНАЛЬМАМ ,

библиотека I

^ * 1 411 Г 4

разложения Было установлено, что на множестве полуортогональных разложений действует группа кос. Далее, в работе [6] было исследовано при каких условиях действие группы кос можно распространить на множество полуортогональных разложений. Для того, чтобы объяснить свойство спиральности, в [6] было введено понятие функтора Серра, которое впоследствии получило широкое применение.

При наличии полной исключительной последовательности доказывается эквивалентность триангулированной категории с производной категорией модулей над конечномерной алгеброй этой последовательности [23]. Таким образом вся информация о геометрии многообразия кодируется соответствующей конечномерной алгеброй. Проективные пространства, квадрики, флаговые многообразия обладают исключительными последовательностями. Вопрос о том для каких многообразий существуют полные исключительные последовательности и как строить такие последовательности тесно связан с гипотезой о гомологической зеркальной симметрии в формулировке М. Концевича [15] ив настоящее время является предметом интенсивных исследований.

Важнейшей составной частью алгебраической геометрии является бираци-ональная геометрия. Современные исследования по бирациопальной геометрии сфокусированы вокруг так называемой программы минимальных моделей, сформулированной в работах С. Мори и М. Рида. Двумерный случай был известен еще итальянской школе алгебраической геометрии начала 20-го столетия. Минимальные модели для трехмерных многообразий были построены в 80-х годах в результате усилий многих выдающихся математиков, среди которых С. Мори, В. Шокуров, М. Рид, Я. Коллар, Ю. Кавамата и др. Была обнаружена важность специальных типов бирациональных преобразований, таких как флип и флоп. Существенный прогресс был достигнут в последнее время в размерности 4 в работах В. Шокурова и Ю. Каваматы. Однако для многомерных многообразий программа минимальных моделей остается открытой.

В работе [8] был предложен новый подход к программе минимальных моделей через производные категории когерентных пучков. Было обнаружено на классе примеров, что при флопах производные категории многообразий эквивалентны, а при флипах имеется строго полное вложение одной категории в другую. Было

вскрыто значение функтора Серра и поведение канонического класса при экви-валентностях производных категорий. В частности было доказано (см. [9]), что если канонический класс обилен или анти-обилен, то многообразие однозначно восстанавливается по своей производной категории.

В результате удалось придать новый смысл программе минимальных моделей как "минимизации"производной категории когерентных пучков (как триангулированной категории) в бирациональном классе многообразия. Причем в процессе минимизации от категории отщепляются слагаемые ее полуортогопаль-ных разложений. Флопы и флипы были интерпретированы как трансформации триангулированных категорий и Ь -структур в них. Были сформулированы общие гипотезы о поведении производных категорий при флопах и флипах, а также гипотеза обобщающая соответствие Маккея (см. [10]).

Эквивалентность производных категорий когерентных пучков при флопах 3-мерных многообразий была доказана Т. Бриджлаидом [11]. В настоящее время активно ведутся дальнейшие исследования по теме эквивалентностей производных категорий при бирациональных преобразованиях (см. свежий обзор Р. Рукье на семинаре Бурбаки [17]).

В последнее время триангулированные категории приобрели особое значение в физике. В теории струн объекты триангулированных категорий интерпретируются как О-браны, т.е. граничные условия для распространяющихся струн. При более широком взгляде, сами топологические теории поля можно понимать как триангулированные категории с подходящими условиями па функтор Серра.

Несмотря на несомненную пользу, которую принесла аксиоматика триангулированных категорий для развития теории, она оказалась недостаточной для решения многих вопросов, что отмечалось еще на раннем этапе (ср. [4]). В течении долгого времени стоял вопрос о подходящем усилении этой аксиоматики. В работе [7] была предложена аксиоматика так называемых оснащенных триангулированных категорий - дифференциально-градуированных категорий с подходящими свойствами. На практике, категории, удовлетворяющие этой аксиматикс являются модельными категориями, из которых некоторой "выжимкой" можно получить триангулированную категорию. Новый технический

аппарат (вместе со своей вариацией - А0а -категориями) оказался достаточно

з

гибким и нашел многочисленные применения как в математике так и в физике, где он приобрел струнную интерпретацию.

Триангулированные категории оказались также полезны в некоммутативной геометрии. В работе [24] был сформулирован новый подход к проблеме некоммутативных деформаций алгебраических многообразий через деформации производных категорий когерентных пучков и вычислено касательное пространство к таким деформациям в когомологических терминах. В случае многообразий Фано такие деформации описываются в полном согласии с классической теорией голоморфными скобками Пуассона на многообразии. Были предложены гипотезы относительно свойств многообразий вырождения скобок Пуассона и доказаны'в размерности 2 и 3.

В докладе [10] обрисованы перспективы категорной некоммутативной геометрии в бирационалытой геометрии, в частности введено понятие некоммутативного разрешения особого коммутативного многообразия и сформулирована гипотеза о существовании минимального категорного разрешения.

Цель работы — определить важнейшие гомологические свойства производных категорий многообразий как триангулированных категорий. Изучить триангулированные категории с такими свойствами в рамках некоммутативной геометрии. Исследовать численные характеристики триангулированных категорий. обладающих полным исключительным набором в дифференциально-геометрических терминах.

Методы исследования. В работе используются методы гомологической алгебры, алгебраической и дифференциальной геометрии, такие как теория триангулированных категорий, теория когерентных пучков на многообразиях, теория симплектичеких группоидов и групп Пуассона-Ли.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Разработана теория генераторов в триангулированных категориях и определены подходы к исследованию триангулированных категорий посредством симплектических группоидов. Основные результаты диссертации кратко можно сформулировать следующим образом.

• Построена теория генераторов в триангулированных категориях. Доказано, что существование сильного генератора в категории влечет представимость всех когомологических функторов конечного типа со значениями в категории векторных пространств.

• Построен генератор в категории совершенных комплексов на произвольной квазикомпактной квазиотделимой схеме. Доказано, что гладкость схемы влечет существование сильного генератора. Доказано существование сильного генератора для гладкой проективной некоммутативной схемы.

• Построен симплектический группоид треугольных билинейных форм. Установлена его связь с пространством флагов. Исключительным объектам в триангулированной категории соотнесены соответствующие сечения естественного расслоения над группоидом.

• Построена новая реализация группы кос лагранжевыми сечениями группоида. Определены гамильтонианы кос.

• Описаны симплектические листы скобки Пуассона на треугольных билинейных формах. Описана структура центра соответствующего алгеброи-да Ли. Построены две пуассоновых пары, включающие скобку Пуассона на треугольных билинейных формах и определены соответствующие интегрируемые системы.

• Дана интерпретация группоида треугольных форм в терминах; теории групп Пуассона-Ли.

Научная значимость работы. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представленные и используемые в работе, имеют широкий спектр применения: в алгебраической геометрии и гомологической алгебре, в симплектической и пуассоновой геометрии, а также в математической физике, в частности, в квантовой механике и в теории струн.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в Математическом институте РАН им. Стсклова

в Москве, в Институте Теоретической и Экспериментальной Физики в Москве.

5

в Объединенном Институте Ядерных Исследований в Дубне, на Международном Математическом Конгрессе в Пекине в 2002 г., в Институте Макса Планка (Бонн, Германия), в Институте Высших Научных Исследований (Бюр-сюр-Иветт, Франция), в Институте Математических Исследований (Беркли, США), в Университетах Париж-6 и Париж-7, в Калифорнийском университете (Лос-Анжелес, США) и ряде других уневерситетов Англии, Франции. Германии, Бельгии, Италии, Испании, Швеции, Канады и США.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы из 87 наименований. Объем диссертации - 154 страницы.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23].[24], [26],[27], часть результатов главы 2 взяты из работы [25].

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

Первая глава носит предварительный характер. Мы описываем в ней ряд понятий, связанных с разложениями триангулированных категорий, и обсуждаем некоторые некоторые мотивационные идеи и перспективы, связанные с основной темой работы.

В первом параграфе определяются понятия исключительной последовательности и полуортогонального разложения, группы Гротеидика и формы Эйлера. Описывается действие группы кос на исключительных последовательностях и полуортогональных разложениях.

Во втором параграфе объясняется гипотеза о существовании триангулированной категории изолированной особенности и ее связь с гомологической зеркальной симметрией для многообразий, обладающих полной исключительной последовательностью.

В второй главе исследуются базовые свойства триангулированных категорий, которым удовлетворяют производные категории когерентных пучков на алгебраических многообразиях.

Оказывается, что для гладких проективных алгебраических многообразий выполнен аналог знаменитой теоремы Брауна из гомотопической топологии о представимости функторов на гомотопической категории спектров.

Мы доказываем теорему о том, что если X - гладкое проективное многообразие, тогда любой контравариантный когомологический функтор конечного типа на ограниченной производной категории когерентных пучков на X представим. Этот факт позволяет строить различные функторы между производными категориями многообразий и тем самым является важным техническим инструментом в изучении таких категорий.

Ввиду того, что производные категории многообразий "малы"по сравнению с категориями спектров (в них как правило не существует гомотопических пределов), для доказательства приходится развивать принципиально новую технику

Категории, для которых выполнено требование представимости функторов описанного вида, называются насыщенными. Мы доказываем общий критерий того, когда триангулированная категория Т> является насыщенной. Руководящей идеей здесь является то, что для этого категория должна быть конечно-порождена в определенном смысле.

Если объект Е € Т> , то мы говорим, что Е является классическим генератором для V , если V есть минимальная триангулированная подкатегория в V , содержащая Е и замкнутая относительно взятия прямых слагаемых.

Определим (Е)п как полную подкатегорию на объектах из V , которые получаются из Е взятием прямых сумм, слагаемых, сдвигов и не более п— 1 конусов. Тогда Е есть классический генератор если (Е) =Г ип(Е)п = V . Мы вводим новое, более сильное, условие на генератор, которое и позволяет контролировать условия конечности в теореме о представимости функторов. Объект Е называется сильным генератором для V , если для некоторого п выполнено (Е)п = V .

Одним из основных результатов первого параграфа является следущая теорема.

Теорема. Предположим, что триангулированная категория V Ext -конечна, имеет сильный генератор и карубиева (т.е. каждый проектор расщепляется). Тогда V насыщена.

Стандартый подход к доказательству теоремы Брауна заключается в апрок-снмацни функтора Н представнмымн функторами и взятии гомотопического предела представляющих объектов. Чтобы работать с категориями, в которых гомотопических пределов не существует, мы вводим понятие п -резольвенты Н по отношению к подкатегории £ в Т> . Такая резольвента - это направленная система объектов, которая дает хорошую аппроксимацию для функтора Я . ограниченного на подкатегорию £ . Далее, если расширять подкатегорию £ конусами и прямыми слагаемыми, то система остается п -резольвентой по отношению к £ за счет увеличения числа п .

Во втором параграфе мы доказываем несколько результатов, касающихся генераторов и насыщенности категорий геометрического происхождения.

В алгебраической геометрии часто возникает необходимость рассмотривать схемы неотделимые и не конечного типа. Схемы не конечного типа возникают, например, при построении факторов многообразий по действию групп (известный контрпример Нагаты к проблеме Гильберта), а неотделимые схемы возникают. к примеру, при построении многообразий модулей пучков.

Естественный класс схем X , для которых имеет смысл рассматривать ко-тегории когерентных и квазикогерентных пучков - это квазикомпактые квазиотделимые схемы. Для таких схем имеется две "большие" (т. с. допускающие произвольные прямые суммы) производные категории таких пучков. Это D(Qch(X)) - производная категория квазикогерептиых Ох -модулей, и DQch(X) - производная категория Ох -модулей с квазикогерентными пучками когомо-логий. Известный контрпример Вердье показывает, что эти категории, вообще говоря, ие эквивалентны. Наши результаты показывают, что более естественной категорией является категория Dqcil(X) .

С любой триангулированной категорией, допускаюкающей произвольные прямые суммы, внутренним образом связана "маленькая"триангулированная подкатегория компактных объектов в ней. Нас интересуют именно эта категория, так как именно она отвечает за геометрию схемы. Категория же Dq^X) носит вспомогательный характер. Теорема утверждает, что компактные объекты в

8

Осуъ (X) - это в точности совершенные комплексы на X , т.е. комплексы пучков локально изоморфные конечным комплексам локально-свободных пучков. Более того, категория компактных объектов имеет классический генератор. Доказательство теоремы использует К-ииъективныс резольвенты Спалтенстейна, точные треугольники типа Майера-Виеториса и принцип редукции для квази-компактых квазиотделимых схем. который выводится в отдельном предложении.

Классический генератор на схеме, вообще говоря, не является сильным. Мы доказываем теорему о том. что сильный генератор в производной категории совершенных комплексов на схеме существует тогда и только тогда, когда схема гладкая. Доказательство основано на том факте, что структурный пучок диагонали является совершенным комплексом па декартовом квадрате схемы. Как следствие получаем насыщенность производной категории когерентных пучков на гладком проективном многообразии.

Отмстим, что в отличие от алгебраических многообразий, можно доказать, что производная категория когерентных пучков на гладкой компактной аналитической поверхности без компактных комплексных кривых не является насыщенной и, следовательно, не имеет сильного генератора.

Теорема о сильном генераторе на гладкой схеме представляет интерес, в связи с тем, что она дает критерий гладкости в чисто категорных терминах. Этот критерий может использоваться как определение гдадкости для общих триангулированных категорий.

В работе [24] был предложен новый подход к некоммутативной геометрии. В соответствии с этим подходом некоммутативное многообразие должно восприниматься как триангулированная категория с подходящими свойствами В свете обсуждавшегося выше, гладкость такого некоммутативного многообразия эквивалентна существованию сильного генератора в категории.

Имеется более традиционный подход к некоммутативной проективной геометрии. обощающий на некоммутативную ситуацию теорему Серра об описании когерентных пучков на проективной схеме через категорию градуированных модулей над градуированной координатной алгеброй многообразия. В третьем параграфе мы доказываем категорную гладкость для таких некоммутативных многообразий.

Если /? - некоммутативное градуированное когерентное слева кольцо, то существует естественная категория qgr(Д) , которую надо понимать как аналог когерентных пучков на проективной схеме, ассоциированной с коммутативным градуированным кольцом. Более точно, - это категория коисчпо-представимых градуированных левых модулей Д -модулей, профакторизован-ная по подкатегории модулей конечной длины. Наша теорема утверждает, что при соответствующих гомологических условиях на кольцо Я (аналогичных тем. которые выполнены для гладких проективных многообразий) ограниченная производная категория от я§г(Д) имеет сильный генератор и насыщена.

В третьей главе строится симплсктический группоид Г треугольных билинейных форм и изучается его связь с многообразием флагов. Понятие симплек-тического группоида является квазиклассичсской версией С* -алгебр [19], [22].

Нс(косо)симметричныс билинейные формы естественно возникают в теории триангулированных категорий как эйлеровы билинейные формы X на группе Гротепдика К0 . Если такая категория обладает полной исключительной последовательностью объектов, то ее форма Эйлера имеет верхне-треугольную матрицу с единицами на диагонали в базисе, ассоциированном с исключительной последовательностью.

Мы рассматриваем пространство Л билинейных форм, имеющих верхнетреугольную матрицу с единицами на диагонали в некотором фиксированном базисе. Формы считаются заданными на п -мерном векторном пространстве V , определенном над полем к . Полная исключительная последовательность в категории не единственна: имеется действие группы кос Артина на множестве исключительных последовательностей. Пространство А также замечательно тем, что группа кос действует на нем.

Симплсктический группоид Г имеет многообразие А в качестве пространства объектов.

Группоид Г - это группоид линейных преобразований, сохраняющих предписанный вид матрицы билинейной формы (см. 3.2). Пространство Л4 мор-физмов группоида состоит из пар (В, А) невырожденных матриц с А € А

и В~тАВ~Х € А . Таким образом, М - (довольно искривленное) аффинное

ю

многообразие. Предложение во втором параграфе содержит явное описание слоев его алгеброида Ли посредством отождествления кокасателыгого расслоения к Л с алгеброидом Ли. Это отождествление, будучи скомбинировано с отображением якоря, дает скобку Пуассона Р , которая будет рассматриваться в следующей главе.

В п. 3.2.5 показано, что А (соотв. М ) (с точностью до некоторой конечной жесткости) имеет естественное, независящее от координат, описание в виде пространства модулей СЬ(У) -орбит пар {Я,Р) (соотв. троек (Я, где Я билинейная форма на V а Р (соотв. ) - флаг(и) в общем по-

ложении относительно Я . Это описание помогает лучше понять многообразие М . Мы покажем, что оно имеет две компоненты и что каждая компонента может быть представлена как конечное перазветвлепиое накрытие открытого подмногообразия в Л х Т , где А - аффинное пространство, а Т - многообразие флагов. Теорема 3.2.5 утверждает, что орбиты группоида находятся в естественном взаимнооднозначном соответствии с СЬ(К) -орбитами невырожденных некососимметричных форм на V .

В п. 3.2.7 описаны п уравнений, которым удовлетворяет любая матрица В , которая сохраняет верхне-треугольность некоторой матрицы А € А .

В третьем параграфе мы снабжаем многообразие М. симплектической формой и доказываем, что она задает структуру симплектического группоида.

Симплектическая структура на пространстве ЛА морфизмов группоида индуцирует скобку Пуассона Р на А с помощью пуассоновой редукции, стандартной для теории симплектических группоидов. Симплектические листы скобки Пуассона, по существу, являются орбитами группоида на его пространстве объектов. Общий лист определяется значениями нескольких функций Казимира, которые обобщают знаменитый многочлен Маркова .

Четвертая глава посвящена изучению этой скобки Пуассона и ее симплектических листов. Также мы вычисляем здесь центр соответствующего алгеброида Ли и определяем гамильтонианы кос.

В пункте 4.1.1 мы вычисляем формулы для скобки Пуассона Р , которая оказывается неоднородной квадратичной, а в пункте 4.1.2 описываем алгебру функций Казимира.

Скобка Пуассона Р может быть включена двумя существенно различными способами в пуассонову пару (см. пп. 4.1.3 и 4.1.4). С одной стороны она составляет пару с линейной скобкой на двойственном пространстве к алгебре Ли ео(п) . С другой стороны, она может быть включена в пуассонову пару с линейной скобкой алгебры Ли зр(тг — 1) , для нечетного п , или алгебры Ли группы симплектических операторов, сохраняющих фиксированный вектор, для четного п . Эти скобки линейны в одинаковых аффинных координатах но с различными точками отсчета, которые соответствуют нулям скобки Р .

Неприводимые компоненты орбит действия группоида на пространстве объектов являются симплектическими листами для Р . В пункте 4.1.5 мы даем описание разложения на неприводимые компоненты всех .в -слоев группоида. В результате мы получаем описание симплектических листов в терминах классов СЬ(п) -эквивалентности билинейных форм.

Коразмерность симплектического листа, содержащего данную билинейную форму совпадает с размерностью стабилизатора формы в СЬ(У) . Используя категорпьтй подход, мы получаем явную формулу для стабилизатора билинейной формы с предписанным расщеплением в неразложимые формы (см. 4.1.6). Эта формула применяется для описания регулярного пласта скобки Пуассона, т е объединения симплектических листов максимальной размерности.

Мы доказываем также теорему о том, что отображение, определенное функциями Казимира (отображение Казимира) при ограничении на регулярный пласт является субмерсисй. Доказательство этой теоремы основано на описании характеров группоида, которое дается в приложении.

Эта теорема применяется во втором параграфе для описания центра алгеб-роида Ли.

Ввиду отождествления алгеброида Ли с кокасательпым расслоением элементы центра могут быть выражены в форме ш = А^/, с /г и дг - функциями Казимира.

Элементы группы кос интерпретируются как лагранжевы бисечения группоида. Это объясняет тот факт, что скобка Пуассона инвариантна относительно действия группы кос. Будучи расширенной с помощью группы Ъ™ , которая представляется постоянными бисечениями, группа кос гипотетически охватывает все полиномиальные (лагранжевы) бисечения группоида.

12

Тот факт что бисечения лагранжевы подсказывает идею определить гамильтонианы кос. Для данной косы ее гамильтониан есть функция на А , которая при поднятии на ЛА определяет гамильтонов поток, такой что преобразование за единичное время отображает единичное сечение группоида в лагранжево бисечение, ассоциированное с косой.

В пятой главе дастся интерпретация и обобщение группоида Г трегольных билинейных форм в рамках теории групп Пуассона-Ли. Мы реализуем группоид билинейных форм Г как подгруппоид группоида симплектического дубля, построенного из группы С = СЬ(тг) , рассматриваемой как группа Пуассона-Ли со стандартной пуассоновой структурой. Этот группоид дубля может быть определен (см. [16]) для любой группы Пуассона-Ли. Он имеет, грубо говоря, С (или равным образом двойственную группу Пуассона-Ли С ) в качестве пространства объектов и, по-существу, группу Пуассона-Ли дубля Г>(С) в качестве пространства морфизмов. Симплектическая структура реатазуется посредством скобки Гейзенберга на дубле.

В первом параграфе мы приспосабливаем эту конструкцию для случая алгебраических групп. Для этого заменяем группу Пуассона-Ли алгебраической тройкой Манина (6, С, С) , а затем конструируем группоиды Г с и Г^ , следуя. с сответствующими модификациями, работе Лу-Вейнстейна [16] , и снабжаем их симплсктической структурой, используя формулу из [1](см. также [21]).

Во втором параграфе показано, что если мы стартуем с алгебраической тройки Манина с С = СЬ(тг) , то группоид билинейных форм Г оказывается симплектическим подгруппоидом в IV • Пространство морфизмов этого группоида можно определить как множество неподвижных точек инволюции а' , которая действует в пространтве морфизмов группоида Г с'

Этот подход допускает следущее обобщение. При условии, что задана алгебраическая тройка Манина (С7, б, С) и инволютивный амттш-автоморфизм р в б , который сохраняет (7 и С и такой что его дифференциал в единице (с1/9)1 меняет знак симметрической формы, участвующей в определении тройки Манина, мы определяем инволютивные автоморфизмы ар и а'р соответствующих группоидов Гс и Гс< . Неподвижные точки этих инволюций дают пару

двойственных симплектических группоидов Гр и Г^ .

13

Пространство объектов Лр (соотв. А'р ) группоида Гр (соотв. Г^ ) является множеством неподвижных точек инволюции р ограниченной на G (соотв G' ). Пуассонова структура на Ар также может быть определена симметризацией посредством р структуры Пуассона-Ли на группе G (соотв. G' ).

В третьем параграфе изучается группоид, двойственный к группоиду билинейных форм. Он имеет пространство невырожденных симметрических матриц в качестве пространства объектов. Общая конструкция снабжает это пространство (квадратичной) скобкой Пуассона

Эта конструкция даст очевидный способ обобщать симплектический группоид билинейных форм па другие полу простые группы Ли.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

[1] A.Yu. Alexeev and A.Z. Malkm, Symplectic structures absociated to Lie-Poisson groups. Coram Math. Phys . vol.162. 1094 p.147-173.

[2] Бейлинсон А А Когерентные лучки на Рп и проблемы линейной алгебры Функ. Анализ и его Прил.. 1.12 N3 (1978) 68-69

[3| Бернпггейн И.. Гельфанд И., Гельфанд С . Алгебраические векторные расслоения на

Р" и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т.12, N3 (1978) 66-67. [4] Beilinson A.. Bernsticii J.. Deligne Р . Faisceaux pervers. Astérisque 100 (1982). [51 Berthelot P , Grothendieck A , Illusie L.. Théorie des intersections et théorème de Riemarin-Roch. SGA6. Lect. Notes in Math, v.225. Springer. Heidelberg. 1971.

[6] A И Бондал M M. Капранов. Представимые функторы, функторы Серра и перестройки. Изв. АН СССР. Сер Магем.. т.53. N6 (1989) 1183-1205.

[7] А.И. Бондал. М.М. Капранов, Оснащенные триангулированные категории. Матем сб.. т. 181, № 5, 1990, 669-684.

[8J Bondal A., Orlov D., Semiorthogonal décomposition for algebraic varieties, Max Planck

Institut fur Mathematik, Bonn, 1995, p.55. [9] Bondal A.. Orlov D. Reconstruction of a variety from the derived category and gioups of autocquwalences. Compositio Mathematica. 125 (2001) 3 327-344

[10] Bondal A , Orlov D . Derived categories of coherent sheaves. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 2 (Beijing 2002), 47-56. Higher Ed. Press, 2002.

[11] Bridgeland T., Flops and deiived categories, preprint math.AG/0009053.

[12] Капранов M., Производная штегория когерентных пучков на многообразии Грассма-

па, Изв. АН СССР. Сер. Матем., 1.48. N1 (1984) 192-202.

14

[13] Капранов M.. Производная категория когерентных пучков на квадрике. Функц Анализ и его Прил.. т.20, N2 (1986) 67. [14| Kapranov M.. On the derived categories of coherent sheaves on some homogenious spaces. Invent. Math.,v.92. N2 (1988) 479-508.

[15] M. Kontsevich. Homological algebra of mirror symmetry. Proceedings of ICM, Zurich, 1995. p.120-139, Basel: Birkhauser.

[16] J-H. Lu and A. Weinstein. Groupoides symplectic doubles des groupes de Lie-Poisson. С R Acad Sci., Parts, t.309. Serie 1. 1989. p.951-954.

|17| Rouquier R.. Catégories derivées et géométrie birationnelle [d'après Bondal, Orlov, Bndgeland, Kawamata...]. Séminaire Bourbaki. 57eme année. 2004-2005. №047.

[18] Verdier J. L., Categories derivées. SGA 4 1/2, Lecture Notes in Math., v.569. SpringerVerlag, 1977.

[19] A. Weinstein. Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer.Math.Soc.. vol 16. 1987. p.101-104.

[20] S. Zakrzewski Quantum and classical pseudogroups Part 1 Union pseudogroups and their quantization. Commun Math. Phys. vol.134. 1990. p.347-370.

[211 S. Zakrzewski, Quantum and classical pseudogroups. Part 2. Differential and symplectic

pseudogroups. Commun. Math. Phys., vol 134. 1990, p.371-395. [22| S. Zakrzewski On relations between Poisson and quantum groups. Lecture Notes m Math., Springer Verlag. vol.1510, 1992. p.326-334

Список трудов по теме диссертации:

[23] Бондал А., Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки. Изв АН СССР. Сер. Матем.. т.53, N1 (1989) 25-44

[24] A.I. Bondal. Non-commutative deformations and Poisson brackets on projective spaces. Max-Planck-Institut, 1993. №67, 1-14.

[25] Boudai A.. Van den Bergh M . Generators and representabihty of functors m commutative and noncommutative geometry , Moscow Math. J., 3 (2003) 1-36.

[26] А.И Бондал. Симплектический группоид треугольных билинейных форм и группа кос. Известия РАН, 2004, сер. матем. т 68, № 4. стр. 19-74.

[27] А И Бондал. Симплектические группоиды связанные с группами Пуассона-Ли Тр матем. ин-та им. В А. Стеклова РАН, 2004. т. 246. стр. 43-63.

$ 1 6 0 2 6

РЫБ Русский фонд

2006-4 13977

0 Введение

1 Триангулированные категории, полуортогональные разложения и зеркальная симметрия.

1.1 Триангулированные категории, исключительные последовательности, группа Гротендика, действия группы кос.

1.2 Зеркальная симметрия для многообразий с исключительными последовательностями.

2 Свойства триангулированных категорий коммутативных и некоммутативных многообразий.

2.1 Генераторы и резольвенты в триангулированных категориях.

2.1.1 Генераторы.

2.1.2 Сильные генераторы

2.1.3 Резольвенты.

2.1.4 Конструкция резольвент.

2.1.5 Контрпример.

2.2 Генераторы и сильные генераторы для схем.

2.2.1 Формулировка результатов.

2.2.2 Поднятие компактных объектов

2.2.3 Компактные генераторы для производных категорий квазикогерентных пучков.

2.2.4 Сильные генераторы для гладких схем.

2.2.5 Производные категории аналитических поверхностей.

2.3 Производные категории градуированных колец.

2.3.1 Общие сведения.

2.3.2 Насыщенность.

2.3.3 Случай когерентного R

3 Симплектический группоид треугольных билинейных форм.

3.1 Действие группы кос и инварианты.

3.1.1 Полуортонормальные базисы и группа кос.

3.1.2 Инварианты.

3.2 Алгебраический группоид Ли и его алгеброид Ли.

3.2.1 Общие сведения об алгебраических группоидах.

3.2.2 Группоид верхне-треугольных билинейных форм.

3.2.3 Алгеброид Ли. 3.2.4 Гладкость группоида.

3.2.5 Флаги и билинейные формы.

3.2.6 Случай п = 2.

3.2.7 Общие уравнения для матриц перехода.

3.3 Симплектическая структура.

3.3.1 Общие сведения о симплектических группоидах.

3.3.2 Формулы для симплектической структуры.

3.3.3 Замкнутость формы.

3.3.4 Невырожденность формы.

4 Скобка Пуассона, центр алгеброида Ли, гамильтонианы кос.

4.1 Скобка Пуассона на Л. ф 4.1.1 Формулы для скобки Пуассона.

4.1.2 Функции Казимира.

4.1.3 Пуассонова пара.

4.1.4 Симплектические листы нулевой размерности и еще одна пуассонова пара.

4.1.5 Слои группоида и описание симплектических листов.

• 4.1.6 Размерность симплектических листов.107ч

4.1.7 Пласты.

4.2 Центр алгеброида.

4.3 Лагранжевы бисечения и гамильтонианы кос.

4.3.1 Реализация группы кос лагранжевыми бисечениями.

4.3.2 Гамильтонианы кос.

Важная часть исследований в гомологической алгебре посвящена изучению свойств триангулированных категорий. Введенные сначала Вердье [81] с целью поставить на твердую почву подход Гротендика к алгебраической геометрии, триангулированные категории оказались платформой объединяющей различные области математики. Причина этого кроется в том, что производные категории от абелевых категорий различной природы оказываются эквивалентны как триангулированные категории.

В применениии к алгебраической геометрии триангулированные категории возникают в следущем контексте. Геометрия и топология алгебраического многообразия может быть описана производной категорией подходящих пучков на нем. Для изучения топологии многообразия удобно использовать конструктивные пучки, а для изучения геометрии многообразия в классическом смысле итальянской школы начала 20-го века - когерентные пучки.

В работах А. Гротендика и его учеников (Дж.-Л. Вердье, JL Иллюзи и др.) были исследованы формальные свойства производных категорий пучков различной природы и даны важные приложения построенной теории, среди которых можно отметить доказательство общей формулы Римана-Роха. Венцом этого периода исследований можно считать доказательство П. Делинем гипотез Вейля. Успех П. Делиня предопределил то обстоятельство, что в течение десяти и более лет большинство гомологических исследований алгебраических многообразий были посвящены производным категориям пучков топологической природы.

Изучение производных категорий когерентных пучков было предпринято для конкретных классов гладких алгебраических многообразий представителями моековской школы в 80-е годы. Были получены описания производных пучков для проективных пространств [8],[7], квадрик и многообразий флагов [41],[42], [43].

В работе [11] было введено понятие исключительной последовательности в триангулированной категории и его обобщение - понятие полуортогонального разложения. Было установлено, что на множестве полуортогональных разложений действует группа кос. Далее, в работе [14] было исследовано при каких условиях действие группы кос можно распространить на множество полуортогональных разложений. Для того, чтобы объяснить свойство спиральности, в [14] было введено понятие функтора Серра, которое впоследствии получило широкое применение.

При наличии полной исключительной последовательности доказывается эквивалентность триангулированной категории с производной категорией модулей над конечномерной алгеброй этой последовательности [11]. Таким образом вся информация о геометрии многообразия кодируется соответствующей конечномерной алгеброй. Проективные пространства, квадрики, флаговые многообразия обладают исключительными последовательностями. Вопрос о том для каких многообразий существуют полные исключительные последовательности и как строить такие последовательности тесно связан с гипотезой о гомологической зеркальной симметрии в формулировке М. Концевича [54] и в настоящее время является предметом интенсивных исследований.

Важнейшей составляющей частью алгебраической геометрии является бирацио-нальная геометрия. Современные исследования по бирациональной геометрии сфокусированы вокруг так называемой программы минимальных моделей, сформулированной в работах С. Мори и М. Рида. Двумерный случай был известен еще итальянской школе алгебраической геометрии начала 20-го столетия. Минимальные модели для трехмерных многообразий были построены в 80-х годах в результате усилий многих выдающихся математиков, среди которых С. Мори, В. Шокуров, М. Рид, Я. Коллар, Ю. Кавамата и др. Была обнаружена важность специальных типов бира-циональных преобразований, таких как флип и флоп. Существенный прогресс был достигнут в последнее время в размерности 4 в работах В. Шокурова и Ю. Ка-ваматы. Однако для многомерных многообразий программа минимальных моделей остается открытой.

В работе [16] был предложен новый подход к программе минимальных моделей через производные категории когерентных пучков. Было обнаружено на классе примеров, что при флопах производные категории многообразий эквивалентны, а при флипах имеется строго полное вложение одной категории в другую. Было вскрыто значение функтора Серра и поведение канонического класса при эквивалентностях производных категорий. В частности было доказано (см. [17]), что если канонический класс обилен или анти-обилен, то многообразие однозначно восстанавливается по своей производной категории.

В результате удалось придать новый смысл программе минимальных моделей как мминимизации"производной категории когерентных пучков (как триангулированной категории) в бирационалыюм классе многообразия. Причем в процессе минимизации от категории отщепляются слагаемые ее полуортогональных разложений. Флопы и флипы были интерпретированы как трансформации триангулированных категорий и t -структур в них. Были сформулированы общие гипотезы о поведении производных категорий при флопах и флипах, а также гипотеза обобщающая соответствие Маккея (см. [18]).

Эквивалентность производных категорий когерентных пучков при флопах 3-мерных многообразий была доказана Т. Бриджландом [24]. В настоящее время активно ведутся дальнейшие исследования по теме эквивалентностей производных категорий при бирациональных преобразованиях (см. свежий обзор Р. Рукье на семинаре Бурбаки [73]).

В последнее время триангулированные категории приобрели особое значение в физике. В теории струн объекты триангулированных категорий интерпретируются как D-браны, т.е. граничные условия для распространяющихся струн. При более широком взгляде, сами топологические теории поля можно понимать как триангулированные категории с подходящими условиями на функтор Серра.

Несмотря на несомненную пользу, которую принесла аксиоматика триангулированных категорий для развития теории, она оказалась недостаточной для решения многих вопросов, что отмечалось еще на раннем этапе (ср. [9]). В течении долгого времени стоял вопрос о подходящем усилении этой аксиоматики. В работе [15] была предложена аксиоматика так называемых оснащенных триангулированных категорий - дифференциально-градуированных категорий с подходящими свойствами. На практике, категории, удовлетворяющие этой аксиматике являются модельными категориями, из которых некоторой "выжимкой"можно получить триангулированную категорию. Новый технический аппарат (вместе со своей вариацией - -категориями) оказался достаточно гибким и нашел многочисленные применения как в математике так и в физике, где он приобрел струнную интерпретацию.

Триангулированные категории оказались также полезны в некоммутативной геометрии. В работе [13] был сформулирован новый подход к проблеме некоммутативных деформаций алгебраических многообразий через деформации производных категорий когерентных пучков и вычислено касательное пространство к таким деформациям в когомологических терминах. В случае многообразий Фано такие деформации описываются в полном согласии с классической теорией голоморфными скобками Пуассона на многообразии. Были предложены гипотезы относительно свойств многообразий вырождения скобок Пуассона и доказаны в размерности 2 и 3.

В докладе [18] обрисованы перспективы категорной некоммутативной геометрии в бирациональной геометрии, в частности введено понятие некоммутативного разрешения особого коммутативного многообразия и сформулирована гипотеза о существовании минимального категорного разрешения.

Цель данной работы — определить важнейшие гомологические свойства производных категорий многообразий как триангулированных категорий, изучить триангулированные категории с такими свойствами в рамках некоммутативной геометрии, а также исследовать численные характеристики триангулированных категорий, обладающих полной исключительной последовательностью в дифференциально-геометрических терминах.

Мы разрабатываем теорию генераторов в триангулированных категориях и определяем подходы к исследованию триангулированных категорий посредством сим-плектических группоидов.

Основные результаты диссертации кратко можно сформулировать следующим образом.

• Построена теория генераторов в триангулированных категориях. Доказано, что существование сильного генератора в категории влечет представимость всех точных функторов со значениями в производной категории векторных пространств.

• Построен генератор в категории совершенных комплексов на произвольной квазикомпактной квазиотделимой схеме. Доказано, что гладкость схемы влечет существование сильного генератора. Доказано существование сильного генератора для гладкой проективной некоммутативной схемы.

• Построен симплектический группоид треугольных билинейных форм. Установлена его связь с пространством флагов. Исключительным объектам в триангулированной категории соотнесены соответствующие сечения естественного расслоения над группоидом.

• Построена новая реализация группы кос лагранжевыми сечениями группоида. Определены гамильтонианы кос.

• Описаны симплектические листы скобки Пуассона на треугольных билинейных формах. Описана структура центра соответствующего алгеброида Ли. Построены две пуассоновых пары, включающие скобку Пуассона на треугольных билинейных формах и определены соответствующие интегрируемые системы.

• Дана интерпретация группоида треугольных форм в терминах теории групп Пуассона-Л и.

Теперь опишем содержание и структуру диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

1. L. Alonso Tarrfo, A. Jeremfas L6pez, and J. Lipman, Local homology and cohomology on schemes, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 30 (1997), no. 1, 1-39.

2. A.Yu. Alexeev and A.Z. Malkin, Symplectic structures associated to Lie-Poisson groups, Comm. Math. Phys., vol.162, 1994, p.147-173.

3. V.I. Arnold, S.M. Gusein-Zade, A.N. Varchenko, Singularities of differential maps, Monographs in Mathematics, vol.83, 1983, Birkhauser.

4. M. Artin and J. J. Zhang, Noncommutative projective schemes, Adv. in Math. 109 (1994), no. 2, 228-287.

5. D. Baer, Tilting sheaves in representation theory of algebras, Manuscripta Math. 60 (1988), no. 3, 323-347.

6. M. Barr, P. A. Grillet, and D. H. van Osdol, Exact categories and categories of sheaves, vol. 236, Springer Verlag, 1971.

7. Бейлинсон А. А., Когерентные пучки на P™ и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т.12, N3 (1978) 68-69.

8. Бернштейн И., Гельфанд И., Гельфанд С., Алгебраические векторные расслоения на Р™ и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т.12, N3 (1978) 66-67.

9. Beilinson A., Bernstien J., Deligne P., Faisceaux pervers, Asterisque 100 (1982).

10. M. Bockstedt and A. Neeman, Homotopy limits in triangulated categories, Compositio Math. 86 (1993), 209-234.

11. Боидал А., Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.53, N1 (1989) 25-44.

12. A.I. Bondal, Квадратичные алгебры и когерентные пучки, Дис. канд. физ.-мат. наук М.:, МИ АН СССР, 1989.

13. A.I. Bondal, Non-commutative deformations and Poisson brackets on projective spaces, Max-Planck-Institut, 1993, №67.

14. А.И. Бондал, M.M. Капранов, Представимые функторы, функторы Серра и перестройки, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.53, N6 (1989) 1183-1205.

15. A.I. Bondal and M.M. Kapranov, Enhanced triangulated categories, Math. USSR Sbornik, vol.70, 1991, p.93-107.

16. Bondal A., Orlov D., Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties, Max Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1995, p.55.

17. Bondal A., Orlov D., Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences, Compositio Mathematica, 125 (2001) 3, 327-344.

18. Bondal A., Orlov D., Derived categories of coherent sheaves, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 2 (Beijing 2002), 47-56, Higher Ed. Press, 2002.

19. Bondal A., Van den Bergh M., Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry , Moscow Math. J., 3 (2003) 1-36.

20. А.И. Бондал, Симплектический группоид треугольных билинейных форм и группа кос. Известия РАН, 2004, сер. матем. т. 68, N2 4. стр. 19-74.

21. А.И. Бондал, Симплектические группоиды, связанные с группами Пуассона-Ли, Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН, 2004, т. 246, стр. 43-63.

22. К. Bongartz, Schichten von Matrizen sind rationale Varietaeten, Math. Ann., vol.283, 1989, p.53-64.

23. W. Borho, Ueber Schichten halbeinfacher Lie-Algebren, Invent. Math., vol.65, 1981, p.283-317.

24. Bridgeland Т., Flops and derived categories, preprint math.AG/0009053.

25. E. Brieskorn, Automorphic sets and braids and singularities, in 'Braids', Santa-Cruz/California 1986, Contemp. Math., vol.78, 1988, p.45-115.

26. G.E. Bredon, Introduction to compact transformation groups, New York, London: Academic press, 1972.

27. J.W.S. Cassels, An introduction to Diophantine approximation, Cambridge University Press, Cambridge, 1957.

28. S. Cecotti, C. Vafa On classification of N = 2 Supersymmetric theories, Commun. Math. Phys., vol.158, 1993, p.569-644.

29. J. D. Christensen, B. Keller, and A. Neeman, Failure of Brown representability in derived categories, Topology 40 (2001), no. 6, 1339-1361.

30. A. Coste, P. Dazord and A. Weinstein, Groupoides Symplectiques, Publ. du Dept. de Math, de I'Universite de Lyon 1.

31. C. De Concini and C. Procesi, Quantum groups, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, vol.1565, 1993,p.31-140.

32. P. Deligne, Action de groupe des tresses sur une categorie, Invent. Math., vol.128, f. 1, 1997, p.159-175.

33. J. Diximier, Polarisation dans les algebres de Lie semi-simples complexes, Bull. Sci. Math., vol.99, 1975, p.45-63.

34. V.G. Drinfeld, Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of the classical Yang-Baxter equations, Soviet Math. Dokl., vol.27, no. 1, 1983, p.68-71.

35. V.G. Drinfeld, Quantum groups, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986, p.798-820.

36. A. Durfee, Fibred knots and algebraic singularities, Topology, vol.13, 1974, p.47-59.

37. V.V. Fock, Dual Teichmueller spaces, ^-5a/9702018.

38. R. Hartshorne, Residues and duality, Lecture notes in mathematics, vol. 20, Springer Verlag, Berlin, 1966.

39. L. Illusie, Existence de resolutions globales, SGA6, Lecture Notes in Math., vol. 225, Springer Verlag, 1971.

40. M. Jurchescu, Theory of categories, topology, Categories, Riemann Surfaces (Romanian), Editura Acad. Republicii Socialiste Romania, Bucharest, 1966, pp. 73-240.

41. Капранов M., Производная категория когерентных пучков на многообразии Гроссмана, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.48, N1 (1984) 192-202.

42. Капранов М., Производ'ная категория когерентных пучков на квадрике, Функц. Анализ и его Прил., т.20, N2 (1986) 67.

43. Kapranov М., On the derived categories of coherent sheaves on some homogenious spaces, Invent. Math.,v.92, N2 (1988) 479-508.

44. M. Kapranov, On the q -analog of homological algebra, available as q-alg/9611005.

45. Kapustin A., Orlov D., Vertex algebras, mirror symmetry and D-branes: case of complex tori, submitted in Comm. Math. Phys., hep-th/0010293.

46. M.V. Karasev, Analogues of objects of the theory of Lie groups for non-linear Poisson brackets, Math. USSR Izvestiya, vol.28, 1987, p.497-527.

47. M. Kashiwara and P. Schapira, Sheaves on manifolds, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 292, Springer Verlag, 1994.

48. P. Katsylo, The rationality of moduli spaces of hyperelliptic curves, Math. USSR Izvestiya, vol.25, 1984, p.45-50.

49. B. Keller, Aoo algebras and triangulated categories, in preparation.

50. B. Keller, Deriving DG-categories, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 27 (1994), 63-102.

51. В. Keller,Introduction to A -infinity algebras and modules, Homology Homotopy Appl. 3 (2001), no. 1, 1-35 (electronic).

52. F. Knop, Ueber die Glattheit von Quotientenabbildungen, Manuscripta Math., vol.56, 1986, p.419-427.

53. B. Kostant, Lie group representations in polynomial rings, Amer. J. Math., vol.85, 1963, p.327-404.

54. M. Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, Proceedings of ICM, Zurich, 1995, p.120-139, Basel: Birkhauser.

55. H. Kraft, Parametrisierung von Konjugationsklassen in sln , Math. Ann, vol.234, 1978, p.209-220.

56. J. Lipman, Notes on derived categories and derived functors, available from http://www.math.purdu/~1ipman.

57. J-H. Lu and A. Weinstein, Groupoides symplectic doubles des groupes de Lie-Poisson, C. R. Acad. Sci., Paris, t.309, Serie 1, 1989, p.951-954.

58. D. Luna, Slices etales, Bull. Soc. Math. France, memoire 33, 1973, p.81-105.

59. W. Magnus, Rings of Fricke Characters and Automorphism Groups of Free Groups, Math. Z., vol.170, 1980, p.91-103.

60. A.A. Markov, Sur les formes binaires indefenies, Math. Ann, vol.17, 1980, p.379-399.

61. K.C.H. Mackenzie, P. Xu, Lie bialgebroids and Poisson groupoids, Duke Math. J., vol.73, 1994, p.415-452.

62. A. Neeman, The derived category of an exact category, J. Algebra 135 (1990), no. 2, 388-394.

63. A. Neeman, The connection between the К -theory localization theorem of Thomason, Trobaugh and Yao and the smashing subcategories of Bousfield and Ravenel, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 25 (1992), no. 5, 547-566.

64. A. Neeman, T/ie Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 205-236.

65. D.Y. Nogin, Helices on some Fano threefolds: constructivity of semi-orthogonal bases of K0 , Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., vol.27, 1994, p.1-44.

66. I. Nakamura, VIIo surfaces and a duality of cusp singularities, Classification of algebraic and analytic manifolds (Katata, 1982) (Boston, MA), Birkhauser Boston, Boston, MA, 1983, pp. 333-378.

67. D.I. Panyushev, Regular elements in spaces of linear representations of reductive algebraic groups, Math. USSR Ivestiya, vol.24, 1985, p.383-390.

68. D. Peterson, Geometry of the Adjoint Representation of a Complex Semisimple Lie-Algebra, Ph.D. Thesis, Harvard University, 1978.

69. Ping Xu, Dirac submanifolds and Poisson involution, math.SG/0110326, 2001.

70. D. Quillen, Higher algebraic К -theory. I, Algebraic К -theory, I: Higher К -theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) (Berlin), Springer, Berlin, 1973, pp. 85-147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

71. I. Reiten and M. Van den Bergh, Noetherian hereditary abelian categories satisfying Serre duality, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 295-366 (electronic).

72. J. Rickard, Morita theory for derived categories, J. London Math. Soc. (2) 39 (1989), 436-456.

73. Rouquier R., Categories derivees et geometrie birationnelle d'apres Bondal, Orlov, Bridgeland, Kawamata.], Seminaire Bourbaki, 57eme annee, 2004-2005, №947.

74. P. Seidel, Vanishing cycles and mutations, Proceedings of the 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, 2000.

75. P. Seidel, More about vanishing cycles and mutations, math/0010032, 2000.

76. M.A. Semenov-Tian-Shansky, Dressing transformations and Poisson group actions, Publ. RIMS, Kyoto Univ., vol.22, no. 6, 1985, p.1237-1260.

77. N. Spaltenstein, Resolutions of unbounded complexes, Compositio Math. 65 (1988), no. 2, 121-154.

78. B. Stenstrom, Rings of quotients, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, vol. 217, Springer Verlag, Berlin, 1975.

79. R. Thomason and T. Trobaugh, Higher algebraic К -theory of schemes and of derived categories, The Grothendieck Festschrift, vol. 3, Birkhauser, 1990, pp. 247435.

80. M. Ugaglia, On a Poisson structure on the space of Stokes matrices, matfi/9902045.

81. J.-L. Verdier, Categories derivees, SGA , Lecture Notes in Math., v.569, Springer-Verlag, 1977, p. 262-311.

82. A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer.Math.Soc., vol.16, 1987, p.101-104.

83. A. Weinstein, The symplectic 'category', Lecture Notes in Math., Springer Verlag, vol.905, 1982, p.45-51.

84. A. Weinstein, Ping Xu, Classical solutions of the Quantum Yang-Baxter Equation, Commun. Math. Phys., vol.148, 1992, p.309-343.

85. S. Zakrzewski, Quantum and classical pseudogroups. Part 1. Union pseudogroups and their quantization. Commun. Math. Phys., vol.134, 1990, p.347-370.

86. S. Zakrzewski, Quantum and classical pseudogroups. Part 2. Differential and symplectic pseudogroups. Commun. Math. Phys., vol.134, 1990, p.371-395.

87. S. Zakrzewski, On relations between Poisson and quantum groups. Lecture Notes in Math., Springer Verlag, vol.1510, 1992, p.326-334.Отдел Алгебры, Математический Институт им. Стеклова РАН, ул. Губкина 8, Москва, 117966 Россия.