Представления конечномерных ассоциативных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

I Базисные алгебры конечной гомологической размерности

1. Необходимые сведения о базисных алгебрах

2. Композиция базисных алгебр и композиция по двум гомоморфизмам.

II Представления двухвершинных алгебр

3. Сверхжёсткие объекты в производных категориях модулей над петельными алгебрами

4. Двухвершинные алгебры гомологической размерности

5. Исключительные пары

В диссертации изучаются представления базисных алгебр над полем. Если основное поле агебраически замкнуто, то любая конечномерная алгебра Морита-эквивалентна своей базисной алгебре, и в этом случае охватываются представления всех конечномерных алгебр.

Категория представлений конечномерной алгебры (как и её производная) порождена конечным числом объектов. Такие категории возникают в линейной алгебре, алгебраической геометрии, теории представлений алгебр Ли, в некоторых физических теориях, и их алгебраическая интерпретация может оказаться очень полезной. Особенно важен случай модулей над алгебрами конечной гомологической размерности. Следует сразу сказать, что не всякая насыщенная триангулированная категория [4] (аналог абелевой категории конечной гомологической размерности), порождённая конечным числом объектов, эквивалентна производной категории модулей над конечномерной алгеброй. Как видно из результатов пятой главы диссертации (пример 5.9), примером может служить категория, порождённая исключительной парой < Е, Г > с ненулевыми пространствами Ехх\Е, ЕХ*2{Е, Е

Интерес к представлениям конечномерных алгебр первоначально возник в связи с задачами линейной алгебры, например с задачей о четвёрке линейных подпространств [20]. В этих задачах возникали алгебры путей колчанов без соотношений. Если такая алгебра конечномерна (это равносильно отсутствию в графе петель и ориентированных циклов), то её гомологическая размерность не превосходит 1. Обратно, всякая базисная алгебра гомологической размерности 1 является алгеброй путей колчана без соотношений. Любой комплекс модулей над такой алгеброй квазиизоморфен сумме своих когомологий (это верно для любой абелевой категории гомологической размерности 1). Однако абелева категория представлений таких алгебр может быть устроена очень сложно. В 1972 году Габриэль доказал [17], что у алгебры связного колчана число неизоморфных неразложимых представлений конечно в том и только, в том случае, когда граф колчана - схема Дынкина. В работе [3] были введены так называемые функторы отражения, или обра2 щения стрелок, выходящих (входящих) из одной вершины, которые впоследствии были осмыслены как эквивалентности производных категорий представлений различных колчанов. Достаточно хорошо изучен более широкий, но вполне обозримый класс ручных колчанов (счётное количество неразложимых модулей).

Следующий по сложности класс базисных алгебр — это упорядоченные алгебры. Это алгебры путей упорядоченных колчанов с соотношениями. Иначе говоря, базисная алгебра называется упорядоченной, если её ортогональные идемпотенты рг можно упорядочить таким образом, чтобы пространства Aij = PiApj были нулевыми при i > j, и, кроме того, dim Aiti = 1. Гомологическая размерность таких алгебр меньше числа вершин.

Тесно связанными с представлениями наследственных алгебр оказались категории ко-герентых пучков на некоторых проективных многообразиях с группой Гротендика конечного ранга, в частности на многообразиях Фано. В 1978 году в статье Бейлинсона [1] была установлена эквивалентность производных категорий когерентных пучков на Рп и стабильной гомотопической категории пучков О(г), 0 < г < п, а в статье Бернштейна, Гельфанда и Гельфанда [2] — с факторкатегорией Mb(A)/F Z-градуированных конеч-нопорождённых модулей по свободным над алгебой 0"о Аг(£7), где Е'— (п + 1)-мерное векторное пространство. В дальнейшем выяснилось, что эта категория имеет более простое описание: В работе Бондала [4] доказывается, что она эквивалентна производной категории модулей над алгеброй эндоморфизмов полного исключительного набора пучков. Для Рп этот набор состоит из пучков 0(1), 0(2),., 0(п + 1). Алгебра эндоморфизмов исключительного набора является наследственной. Исключительные наборы были построены и детально изучены для широкого класса многообразий.

В статье [4] также предложена общая теория исключительных наборов. Другой взгляд на проблему, связанный с понятием тилтинг-пучка можно найти в статье Баер [10]. Тилтинг-пучок — это такой когерентный пучок F, что Ext\F,F) = 0 при i > 0, прямые слагаемые F порождают всю производную категорию когерентных пучков Db(Coh — X) и hdim(End(i7')) < оо. В этой ситуации категории Db(Coh — X) и Db(Mod — End(F)) эквивалентны. 3

Понятие тилтинг-объекта имеет смысл в любой триангулированной категории Крулля-Шмидта. При наличие такого объекта в ряде случаев категория эквивалентна производной категории модулей над алгеброй его эндоморфизмов. (Для производной категории модулей над конечномерной алгеброй это было установлено в статьях [18, 23]). Обратно, эквивалентность триангулированной категории и производной категории А-модулей задаётся тилтинг-объектом А £ ОЬ(Х). Примером тилтинг-объекта является прямая сумма объектов сильного исключительного набора (набора, в котором нет ненулевых Ех1-оъ между объектами). Алгебра его эндоморфизмов — упорядоченная алгебра.

Можно предположить эквивалентность триангулированных категорий, порождённых исключительными наборами с изоморфными градуированными алгебрами эндоморфизмов (включающих все ЕхЬ-ы). Однако здесь возникают существенные препятствия. Для установления этой эквивалентности нужна дополнительная структура на категории, так называемое оснащение [6]. Оно существует, к примеру, на "некоммутативных проективных многообразиях" - в триангулированных категориях, получающихся путем деформации производных категорий когерентных пучков на проективных многообразиях. Такие категории возникают в теории поля. Также иногда приходится рассматривать полные подкатегории производных категорий когерентных пучков, порождённые конечным числом пучков (комплексов пучков). Эти категории могут оказаться эквивалентными производным категориям модулей над базисными алгебрами, уже не обязательно наследственными. Остаётся открытым вопрос: всякую ли производную категорию модулей над конечномерной алгеброй конечной гомологической размерности можно вложить в производную категорию когерентных пучков на некотором гладком проективном многообразии?

Одновременно с проективной геометрией представления базисных алгебр стали возникать в трёх тесно связанных между собой теориях: представлений редуктивных алгебр Ли, ходжевых £)-модулей и превратных пучков. В 1988 году Клин, Паршалл и Скотт ввели понятие квазинаследственной алгебры. Алгебра А называется квазинаследственной, если существует цепочка идеалов 0 = То С Л С . С «7/, таких, что ./¿/./¿-1 является наслед4 ственным идеалом в факторалгебре Л/«/гi. Идеал называется наследственным, если он проективен, идемпотентен и алгебра его эндоморфизмов как А-модуля полупроста. В начале 90-х годов теория квазинаследственных алгебр быстро развивалась. Было установлено [16], что производная категория модулей над квазинаследственной алгеброй порождена исключительным набором, что гомологическая размерность квазинаследственной алгебры не превосходит 2п — 2, где п — число вершин. Всякая алгебра гомологической размерности 2 является квазинаследственной. В диссертации описаны исключительные объекты в производных категориях модулей над квазинаследственными базисными 2-вершинными алгебрами. Изучались также обобщения квазинаследственных алгебр — нит-алгебры [15].

Автора настоящей диссертации интересует действие функтора Ext в категориях представлений конечномерных алгебр и их ограниченных производных категориях. Основной инструмент для вычисления Ext-оъ между объектами ограниченной производной категории служат спектральные последовательности Эйленберга-Мура [7]. Если гомологическая размерность алгебры конечна, то в категории её представлений достаточно много проективных объектов, и эти последовательности существуют и сходятся. Для алгебр бесконечной гомологической размерности имеет смысл рассмотрение абелевой подкатегории модулей, порождённой проективными (инъективными) модулями. В этой категории также достаточно много проективных (инъективных) объектов, и спектральные последовательности Эйленберга - Мура сходятся. Однако такая категория не является насыщенной в смысле Бондала и Капранова [5], то есть не всякий точный функтор в производную категорию векторных пространств представим. А именно, (контравариантный) функтор образующих

G(X) = ®kPk(X)/Hk(X)Rad(A)[k], где (Рк(Х) — минимальный проективный комплекс для X (в случае подкатегории, порождённой проективными модулями) представим суммой неприводимых А-модулей, которая не лежит в подкатегории в силу бесконечности гомологической размерности А. В случае конечной гомологической размерности, напротив, категория является насыщен5 ной, что, в частности, даёт существование функтора Серра.

Первый шаг в исследовании категории представлений — замена алгебры на более простую с эквивалентной категорией модулей. В случае алгебраически замкнутого основного поля конечномерная алгебра Морита-эквивалентна своей базисной алгебре.

В связи с вышесказанным возникает задача классификации базисных алгебр конечной гомологической размерности. Автор вводит композицию базисных алгебр — конструкцию, позволяющую по двум базисным алгебрам с одинаковым числом вершин (базисных идемпотентов) построить новую базисную алгебру с тем же числом вершин, гомологическая размерность которой не превосходит суммы их гомологических размерностей. Оказывается, что эта конструкция имеет обобщение — умножение вдоль двух гомоморфизмов.

Следующий вопрос, который автор ставит перед собой — классификация алгебр с "наиболее просто устроенной" производной категорией — порождённой исключительным набором. Случай одной вершины не представляет интереса: единственная локальная базисная алгебра конечной гомологической размерности — это основное поле. Автор решает классификационную задачу для двух вершин.

Прежде всего удаётся доказать, что если триангулированная категория, порождённая исключительной парой < Е,Р >, является производной категорией модулей над базисной алгеброй А, то длина комплекса векторных пространств с нулевым дифференциалом Нот*(Е, Р) не превосходит 2. Сдвигая один из объектов пары, можно считать, что ЕхЬг(Е, .Р) = 0 при г ф 0,1. Для любой такой пары существует алгебра А(т, п) гомологической размерности 2 такая, что градуированная алгебра её эндоморфизмов изоморфна градуированной алгебре эндоморфизмов пары < Е,Р >. Несмотря на то, что Е ф Р не является тилтинг-модулем, эти категории оказываются эквивалентными: в категории А-модулей имеется тилтинг-объект с алгеброй эндоморфизмов, изоморфной А(т,п).

Тем самым, остаётся классифицировать тилтинг-объекты в производных категориях над двухвершинными алгебрами гомологической размерности, не превосходящей 2. (такие алгебры классифицируются парой натуральных параметров и являются композици6 ями упорядоченных). Для этого описываются сверхжёсткие объекты в этих категориях. Прежде всего, доказывается, что, с точностью до действия функтора Серра и сдвига, сверхжёсткий объект является чистым модулем. Это утверждение верно для широкого класса двухвершинных алгебр конечной гомологической размерности — "петельных" алгебр. Затем доказывается, что сверхжёсткие модули индуцированы или двойственным образом индуцированы с упорядоченных подалгебр.

Итак, основные результаты диссертации следующие. Ввведены конструкции композиции базисных алгебр с фиксированным числом вершин и композиции алгебр по двум гомоморфизмам. Доказано, что любой сверхжёсткий объект в производной категории модулей над двухвершинной алгеброй петельного типа с точностью до действия функтора Серра и сдвига является чистым модулем. Классифицированы базисные алгебры, производные категории модулей над которыми порождены исключительной парой. Описаны сверхжёсткие модули и сверхжёсткие объекты в производных категориях модулей над такими алгебрами.

Диссертация делится на две части.

В первой части (главы 1,2) основной объект исследования — конечномерные базисные алгебры.

В главе 1 излагаются необходимые для дальнейшего сведения из теории базисных алгебр. Доказывается следующее свойство базисных алгебр конечной гомологической размерности: у такой алгебры всегда имеется вершина ъ с тем свойством, чтодля левого цоколя (левого аннулятора радикала А в радикале) выполнено Апп£,(Кас1(А), Яас1(А)); = 0.

В главе 2 вводится "композиция" (см. статью [8])- бинарная операция на множестве базисных алгебр с фиксированным числом вершин. Как А — В-бимодуль композиция алгебр А и В изоморфна бимодулю А®сВ, где С — полупростая часть А и В. В отличие от обычного тензорного произведения, существуют естественные проекции композиции на каждую из алгебр. Главное достоинство этой операции заключается в том, что гомологическая размерность композиции не превосходит суммы гомологических размерностей алгебр, а производная категория композиции поддаётся изучению благодаря существо7 ванию функторов индукции и обратного образа. Рассматривается случай двух вершин: доказывается, что любая целочисленная 2x2 матрица с определителем 1 является матрицей размерностей компонент многократной композиции упорядоченных алгебр. Строится полный исключительный набор в производной категории модулей над композицией упорядоченных алгебр, порядки которой отличаются на допустимую перестановку. Рассматривается пример алгебры, не являющейся многократной композицией упорядоченных.

Далее, оказывается, что композиция, точнее "неотфакторизованная композиция" базисных алгебр имеет далёкое обобщение — "композицию по двум гомоморфизмам". Оказывается, по двум алгебрам А ж В я двум гомоморфизмам / : А —> В т д : В А можно построить новую ассоциативную алгебру. Как А — В-бимодуль она изоморфна обычному тензорному произведению А к В, умножение в ней устроено так:

1 (8) 6х)(а2 <8> Ь2) = ах А(ЩЬ2 + а^Ъх)^ ®Ъ2- ахд(Ьх) ® /(а2)Ь2.

Как и в случае композиции базисных алгебр, имеются проекции из композиции А о В на каждую из алгебр: тсА(а ® Ъ) = ад(Ъ)] ' жв(а <8> Ь) = /(а)Ь. Если найдётся такая алгебра С, что имеют место коммутативные диаграммы

А 4 В ж А В

Л ¡2 01 92 / \ >/

С с и кроме того /1^1 = 1(1 с и $2д2 = г'б?с, композицию алгебр А ж В можно отфакторизовать по идеалу, состоящему из сумм элементов вида ас®Ъ — а® сЪ до "экономной" композиции над С, которая является прямым обобщением композиции базисных алгебр. Композиция 2 гомоморфизмов выводит за пределы классов коммутативных и полупростых алгебр. Композиция базисных алгебр выводит за пределы классов наследственных и квазинаследственных алгебр. Рассматриваются примеры: /, д — тождественные гомоморфизмы, /т/ - 1тд = е, где е — единица алгебр. 8

Во второй части (главы 3, 4, 5) (см. статью [9]) предметом изучения становятся 2-вершинные базисные алгебры и производные категории их представлений. Основная задача — классифицировать двухвершинные базисные алгебры, производные категории модулей над которыми порождены исключительной парой. Объект Е триангулированной категории называется исключительным, если Е) = 0 при г / 0 и Нот(Е,Е) ~ к где к — основное поле), а набор исключительных объектов (£,■) называется исключительным, если Ъ&к(Е{, Е3) — 0 при г > ] для любого к.

Основной результат главы 3 (теорема 3.3) имеет технический характер, однако представляет самостоятельный интерес. В этой главе изучаются сверхжёсткие объекты производных категорий модулей над так называемыми петельными алгебрами (название принадлежит автору). Объект X называется сверхжёстким, если Ех^рГ, X) = 0 при к ф 0.

Специфика случая двух вершин проявляется в том, что двухсторонний аннулятор радикала в двухвершинной базисной алгебре конечной гомологической размерности лежит ровно в одной компоненте разложения Пирса алгебры (следствие 1.16). В зависимости от его положения все алгебры делятся на 2 типа: петельные и рёберные. Оказывается, что петельные алгебры лучше поддаются изучению, чем рёберные.

Инструментом исследования сверхжёстких объектов становится функтор Серра. Этот функтор — обобщение двойственности Серра на проективных многообразиях — был впервые рассмотрен Бондалом и.Капрановым в статье [5]. Функтор Серра Б является автоэквивалентностью триангулированной категории и обладает тем свойством, что

Нот'(Х,У) ~ (Нотф(У,8рО))* для любой пары объектов X и У. Выясняется, что в случае петельной алгебры все сверхжёсткие объекты являются чистыми модулями с точностью до действия функтора Серра и сдвига (теорема 3.3). Для доказательства этой теоремы рассматривается бесконечная в обе стороны последовательность — орбита сверхжёсткого объекта относительно действия функтора Серра и обратного функтора. В качестве первого шага доказыватся, что в этой последовательности найдутся два элемента различного типа (тип определяется строением минимального проективного комплекса, квазиизоморфного объекту). Доказа9 тельство основано на рассмотрении целочисленных характеристик объекта — номеров начала и конца минимального проективного и минимального инъективного комплексов для объекта. Используется техника цоколей и "двойственных цоколей" — пространств образующих. Вторым шагом доказывается, что если сверхжёсткие объекты Т и ¿>(Т) разного типа, то один из них, с точностью до сдвига — чистый модуль.

Четвёртая глава посвящена изучению производных категорий модулей над двухвершинными алгебрами гомологической размерности 2. Такие алгебры однозначно определяются парой неотрицательных целых чисел (пункт 4.1, обозначение: А(т,п)). Эту классификацию можно получить с использованием теоремы о квазинаследственности алгебр гомологической размерности 2, но в диссертации выбран другой, более наглядный путь, опирающийся на теорему Игузы-Ленцйнга об отсутствии петель среди образующих радикала базисной алгебры конечной гомологической размерности. Все такие алгебры петельные. Это позволяет получить полное описание сверхжёстких объектов в производных категориях модулей над этими алгебрами. В теореме 4.3 доказывается, что, грубо говоря, всякий сверхжёсткий А(т, п)-модуль индуцирован со сверхжёсткого модуля над подалгеброй А(га,0) или А(0,п) гомологической размерности 1. Доказательство основано на лемме, гласящей, что либо проективная, либо инъективная размерность сверхжёсткого модуля не превосходит 1. Используется тот факт, что пространство образующих и цоколь сверхжёсткого модуля над алгеброй А(ш, п) сосредоточены в компоненте 1-й вершины, если только это не проективный модуль второй вершины. Все сверхжёсткие модули над алгеброй А(т, 0) (соответственно Л(0, п)) получаются применением функтора Серра или к проективному модулю, или к конечной прямой сумме неприводимых модулей.

Частный случай сверхжёсткого объекта — исключительный объект. В пятой главе диссеритации с использованием результатов главы 4 решается задача классификации 2-вершинных базисных алгебр, производные категории модулей над которыми порождены исключительной парой. Оказывается, что это — все алгебры гомологической размерности 0, 1 и 2, а также серия алгебр гомологической размерности 3, зависящих от 3 натуральных параметров. Алгебры из этой серии являются алгебрами эндоморфизмов

10

Часть I

Базисные алгебры конечной гомологической размерности

1. А. Бейлинсон: Когерентные пучки на Рп и проблемы линейной алгебры// Функц. анализ и его прилож. 1978. Т. 12. №3. С. 68-69.

2. И.Бернштейн, И.Гельфанд, С.Гельфанд: Алгебраические расслоения на Рп и задачи линейной алгебры// Функц. анализ и его прилож. 1978. Т.12. N о 3. С. 67-68.

3. И.Бернштейн, И.Гельфанд, В. Пономарёв: Функторы Кокстера и теорема Габриэля// Успехи мат. наук. 1973. Т. 28. Вып. 2. С.19-34.

4. А.Бондал: Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки //Изв. АН СССР. 1989. Т.53. № 1. С. 25—44.

5. А.Бондал, М.Капранов: Представимые функторы, функторы Серра и перестройки// Изв. АН СССР, Сер. мат. 1989. Т. 53. № 6. С. 1183—1205.

6. А.Бондал, М.Капранов: Оснащенные триангулированные категории// Математический сборник. 1990. Т. 181. № 5. С. 669^683.

7. С.Гельфанд, Ю.Манин: Методы гомологической алгебры. М., Наука, 1988.

8. Д.Дубнов: О базисных алгебрах конечной гомологической размерности// Вестник Моск. Ун-та, сер. 1, математика, механика. 1997. No 2, С. 15-17

9. Д.Дубнов: О производных категориях модулей над двухвершинными базисными алгебрами. Депонирована в ВИНИТИ РАН, 1999, № 3458-В99.

10. D. Baer: Tilting sheavs in representation theory of algebras// Manuscripta Math. 1988. V.60. №3 P. 323-347.

11. H. Bass: Finitistic dimension and a homological generalisation of semiprimary rings// Trans. Amer. Math. Soc. 1960. № 95. P. 466-488.

12. M.C.R.Butler, A.D.King: Minimal resolutions of finite,dimension algebras// Preprint.63

13. E.Cline, B.Parshall, L.Scott: Finite dimensional algebras and highest weight categories// J. Reine Angew. Math. 1988. V. 391. P.85-89

14. W. Crawley-Boevey: Exceptional sequences of representations of quivers// Proceedings of ICRA. VI, Carleton-Ottava Math LNS. 14. 1992.

15. V.Dlab, I.Agoston: Neat algebras// Comm. Algebra. 1991. V.19. №2. P. 433-442.

16. V. Dlab, C.M.Ringel: Quazi-Hereditary algebras// Illinois. J. of Math. 1989. V. 33. №2. P. 280-291.

17. P. Gabriel: Unzerlegbare Darstellungen I// Manuscriprta Math. 1972. n° 6, P. 71-103.

18. D. Happel: Triangulated categories in Representation Theory of Finite-Dimensional algebras/ / London Math. Soc. Lectture Note Ser. V. 119. Cambrige niv. Press, Cambrige, UK, 1988.

19. D. Happel, C.M.Ringel: Tilted algebras// Trans. Amer. Math. Soc. 274. 1982. P. 399-443

20. I.Gelfand, V.Ponomarev, Problems of linear algebra and classification of quadruples of subspaces in a finite-dimensional vector space//Colloquia Mathematica Socientatis Ianos. Bolyai, 5 Hilbert space operators, Tihany (Hungary). 1970. P. 163-237.

21. Igusa: Notes on the no loops conjecture//J. of the pure and applied algebra. 1990. № 69. P. 161—176.

22. H.Lenzing: Nilpotente Elemente in Ringen von Endlicher globaler Dimension //Math. Z. 1969. № 108. P.313—324.

23. J.Rickard: Morita theory for derived categories// J. London Math. Soc., 39 (1989). P.436-456.

24. C.M. Ringel: Tame algebras and Integral Quadratic Forms. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 1999, Springer-Verlag, Berlin, 1984.