Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебраических многообразий и проблема рациональности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

. \ у.

: и ,,

У

I

гум ВАК России: чу:;; ДОКТОРА

Начальных управления ВАК России

Ч

<Х// 11

./ /)

ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА РАН

На правах рукописи

Пухликов Александр Валентинович

УДК 513.6

БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ МНОГОМЕРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ И ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНОСТИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва — 1997

Оглавление

0. Введение 5

1. Общая теория 27

1.1. Фано-расслоения и их бирациональные соответствия 27

1.2. Язык дискретных нормирований...........32

1.2.1. Геометрические дискретные нормирования . 32

1.2.2. Кратности....................33

1.2.3. Разрешение....................34

1.2.4. Структура ориентированного графа.....35

1.2.5. Кратности в терминах разрешения......35

1.3. Неравенство Нетера-Фано...............36

1.4. Техника подсчета кратностей.............40

1.4.1. Пересечения, степени и кратности......40

1.4.2. Основное вычисление..............41

1.4.3. Следствия.....................44

1.5. Техника пробных поверхностей............44

1.5.1. Конус над кривой................44

1.5.2. Прямой образ дискретного нормирования . . 46

1.5.3. Алгебраические семейства циклов на многообразиях ....................47

1.5.4. Доказательство предложения 1.2.2......49

1.5.5. Доказательство предложения 3........50

1.5.6. Рациональные кривые с предписанными ветвями .......................50

2. Бирационально жесткие многообразия Фано 55 2.1. Двойные накрытия индекса 1.............55

2.1.1. Основной результат ..............55

2.1.2. Исключение максимальных циклов......57

2.1.3. Исключение бесконечно близкой особенности 62

2.2. Двойные пространства с особенностью.......64

2.2.1. Основной результат ..............64

2.2.2. Исключение максимальных циклов......67

2.2.3. Исключение бесконечно близкой максимальной особенности..................................73

2.3. Гиперповерхности степени М в Рм ..................78

2.3.1. Регулярные гиперповерхности Ум С Рм . . 78

2.3.2. Исключение максимальных циклов......82

2.3.3. Исключение бесконечно близкого случая . . 83

3. Бирационально жесткие Фано-расслоения 86

3.1. Трехмерные многообразия с пучком поверхностей Дель Пеццо........................ 86

3.1.1. Определения и общие факты ..................86

3.1.2. Формулировка основного результата .... 91

3.1.3. Максимальные кривые.............93

3.2. Исключение максимальной особенности для пучков поверхностей степени 1,2.............99

3.2.1. Сверхмаксимальная особенность.......99

3.2.2. Разрешение....................100

3.2.3. Подсчет кратностей ..............102

3.3. Исключение максимальной особенности для пучков кубических поверхностей I.

Существование прямой.................103

3.3.1. Сверхмаксимальная особенность........103

3.3.2. Существование прямой.............104

3.3.3. Случай единственной прямой.........105

3.3.4. Случай двух прямых..............105

3.3.5. Случай трех прямых..............106

3.3.6. Случай шести прямых.............107

3.4. Исключение максимальной особенности для пучков кубических поверхностей II.

Основная конструкция.................109

3.4.1. Описание основной конструкции.......109

3.4.2. Доказательство в неспециальном случае . . . 110

3.4.3. Доказательство в специальном случае . . . .111

3.5. Исключение максимальной особенности для пучков кубических поверхностей III.

Завершение доказательства..............113

3.5.1. Неравенство Нетера-Фано в терминах лестницы .......................114

3.5.2. Техника подсчета кратностей.........116

3.5.3. Цикл в терминах лестницы.......117

3.5.4. Подсчет класса %м ...............118

3.5.5. Завершение доказательства: случай А) ... 120

3.5.6. Завершение доказательства: случай В) ... 122

3.5.7. Завершение доказательства: случай С) ... 123

3.6. Многообразия с пучком двойных пространств . . . 126

3.7. Многообразия с пучком трехмерных квартик .... 128

3.7.1. Условие общности положения.........128

3.7.2. Кратности вертикальных циклов.......128

3.7.3. Основной результат ..............130

Глава 0. Введение

1. Бирациональная геометрия является одним из центральных разделов алгебраической геометрии. Это обусловлено тем обстоятельством, что поле рациональных функций аккумулирует "почти всю" существенную информацию об алгебраическом многообразии, так что осмысленна (и исключительно важна) задача описания бирационально инвариантных, т.е. не зависящих от операций типа раздутия или стягивания собственного подмножества, перехода к открытому подмножеству путем выбрасывания собственных замкнутых подмножеств, свойств алгебраических многообразий. Изо всех подходов к общей задаче классификации алгебраических многообразий именно бирациональная классификация дает оптимальное сочетание грубости (и, тем самым, обозримости) с информативностью.

Начиная с работы М.Нетера о преобразованиях Кремоны и ис-

I

следований Дж. Фано, задачи бирациональной геометрии привлекают все большее внимание. Сейчас это одна из наиболее актуальных областей современной математики; сюда относятся многие работы Ф.А.Богомолова, М.Х.Гизатуллина, Ф.Гриффитса, В.А.Псковских, Ю.Каваматы, Г.Клеменса, Я.Коллара, В.С.Куликова, Ю.И.Манина, Ш.Мори, М.Рида, В.Г.Саркисова, А.С.Тихомирова, А.Н.Тюрина, И.Р.Шафаревича, В.В.Шокурова и других отечественных и зарубежных алгебраических геометров. В результате многочисленных исследований в понимании природы бирациональных соответствий и в решении задач бирациональной геометрии был достигнут весьма значительный прогресс, особенно в размерности три.

Основным бирациональным инвариантом являются дифференциальные формы (включая сечения тензорных степеней и произведений соответствующих расслоений). По этой причине задачи бирациональной геометрии всегда тяготеют к одному из двух полюсов: либо имеются ненулевые глобальные формы (в указанном выше обобщенном смысле), и тогда задача в той или иной мере сводится к специфической бирегулярной проблеме типа изучения канонической модели, либо ненулевые глобальные формы отсутствуют, и тогда объектом исследования оказываются многообразия, близкие к рациональным, на которых канонический класс "достаточно отрицателен" и имеется "достаточно много" рациональных кривых. Именно эти многообразия и составляют основной предмет бирациональной геометрии.

История бирациональной геометрии начинается приблизительно в 1870 году с теоремы М.Нетера об образующих Кремоновой группы, т.е. группы бирациональных автоморфизмов проективной плоскости [59]. М.Нетер обнаружил, что эта группа, ВпР2, порождена подгруппой бирегулярных автоморфизмов Агй Р2 = А1^С3/С* и одним (любым) квадратичным кремоновым преобразованием г, которое в подходящей системе однородных координат может быть записано в виде

г: (а?о: жг) %оХ2-

Нетер рассуждал следующим образом. Возьмем произвольное кремоново преобразование:

Х:Р2--->Р2.

Тогда либо х есть проективный изоморфизм, либо собственный прообраз линейной системы прямых в Р2 есть линейная система плоских кривых |х| степени п(х) > 2 с предписанными базисными точками ам, включая бесконечно близкие. Пусть V1,..., у^ суть их кратности относительно системы |х|, и допустим, что У\ > уч > ... > Ум- Нетер доказал, что N >3 я первые три кратности удовлетворяют неравенству

уг + у2 + Уъ > п,

известному с тех пор как неравенство Нетера.

Если среди точек аг,а2,аз нет бесконечно близких, то легко показать, что композиция

Хт: Р2--->Р2,

где т — квадратичное преобразование, построенное по этим трем точкам, удовлетворяет неравенству

п(хт) <п(х),

/

что позволяет доказать теорему индукцией по степени п(х)- Случай бесконечно близких точек гораздо сложнее, однако к началу столетия трудности были преодолены, и теорема Нетера полностью доказана.

Подчеркнем, что ключевым моментом в доказательстве теоремы Нетера является выделение в базисном множестве линейной системы, задающей бирациональное отображение, подмножества большой кратности, и понижение с его помощью основного инварианта линейной системы — "степени".

Следующий этап в формировании бирациональной геометрии связан с работами Дж.Фано, публиковавшимися на протяжении всей первой половины столетия — см., например, [47-49]. Фано пытался найти трехмерные аналоги двумерных бирациональных конструкций, ставших к тому времени уже вполне эффективными. Основная идея Фано, как и в работах по''геометрии плоскости, состояла в том, чтобы в базисном множестве линейной системы, задающей бирациональное соответствие, выделить подмножество "большой кратности" и детально изучить его. Оказалось, что далеко не всякий алгебраический цикл может быть таким подмножеством; наоборот, возможность для цикла В иметь "большую кратность" относительно заданной подвижной линейной системы определяет ограниченное (иногда вообще пустое) семейство циклов. Исходя из этих соображений (и большого количества разнообразных вычислений и геометрических построений), Фано пришел к ряду очень сильных утверждений о бирациональной геометрии трехмерных многообразий с обильным антиканоническим классом (ныне известных как многообразия

;

Фано). В частности, он утверждал, что любое бирациональное соответствие между гладкими трехмерными квартиками есть бирегулярный (проективный) изоморфизм. К сожалению, Фано не смог даже дать точное оформление своим идеям, не говоря о полных и связных доказательствах своих анонсов. Тем не менее, необходимо отметить, что при ошибочности многих рассуждений прогнозы Фано оказались удивительно точными.

Современный этап бирациональной геометрии начался с работ Ю.И.Манина и В.А.Исковских по теории рациональных поверхностей над незамкнутыми полями [7,8,19-21], также [3,4] и [14,17]. Изучение двумерных задач привело Ю.И.Манина и В.А.Исковских к пониманию того, чего следует ожидать в высших размерностях. Оглядываясь назад, в этих работах 60-х годов сейчас можно распознать прообразы таких современных достижений, как теорема В.Г.Саркисова о расслоениях на коники [29] и теорема А.Корти о факторизации бирациональных соответствий между трехмерными Мори-расслоениями (программа Сар-кисова), см. [46,68,70]. Опираясь на накопленный двумерный опыт, Ю.И.Манин и В.А.Исковских начали изучение бирациональной геометрии трехмерных многообразий Фано. В 1970 году они разработали эффективный метод, позволивший дать строгую современную реализацию идеи "подмножеств большой кратности", о которой речь шла выше, и доказать утверждение Фано о трехмерных квартиках [15]. Мы называем этот метод методом максимальных особенностей. Развивая и дополняя этот метод, В.А.Исковских доказал (с уточнениями) ряд других утверждений Фано, и тем самым наметил общие контуры бирациональной классификации в размерности три, см. обзор [10]. Обобщая известную теорему В.А.Исковских о поверхностях с пучком рациональных кривых [7,8], В.Г.Саркисов доказал исключительно важную теорему о единственности структуры расслоения на коники при достаточно больших вырождениях [29].

Однако к началу 80-х годов развитие бирациональной геометрии приостановилось. К этому привели несколько причин. Техника, с помощью которой была доказана основополагающая теорема о квартике [15], эффективно работала лишь для неосо-

бых многообразий очень малой степени (< 4). Кроме теоремы В.Г.Саркисова, доказательство которой существенно опиралось на специфические свойства расслоений на коники, в силу чего рассуждения невозможно было перенести на другие классы многообразий, отсутствовали какие-либо результаты в размерности выше трех. Не рассматривались задачи описания бирациональ-ных соответствий для многообразий с особенностями.

Успехи программы минимальных моделей (теории Мори), см. [45,54,56-58], породили надежду построить замкнутую теорию бирациональных соответствий между трехмерными расслоениями Мори по аналогии с двумерной геометрией. Соответствующая концепция была развита В.Г.Саркисовым [30,70] и получила название программы Саркисова [68]. В конце концов конструкции В.Г.Саркисова получили полное обоснование [46]. Однако попытки применить построенную теорию к описанию бирациональных соответствий конкретных трехмерных многообразий оказались практически безуспешными. Дело в том, что эта теория не дает средств описания (т.е., главным образом, исключения) максимальных особенностей. Для эффективной работы необходима техника, восходящая к исходному методу В.А.Исковских и Ю.И.Манина. Привлечение современных достижений не позволяет обойтись без нее; более того, именно техника метода максимальных особенностй является основной компонентой исследования бирациональных задач. Стоит отметить, что в настоящее время эта техника (точнее, ее многомерное обобщение) является вообще безальтернативной в высших размерностях (начиная с четырех).

2. Основная задача диссертации — разработка многомерного метода максимальных особенностей и описание на этой основе бирациональных соответствий многообразий Фано и Фано-рас-слоений произвольной размерности, в частности, доказательство их нерациональности. Эти многообразия удовлетворяют условию обрыва присоединения канонического класса, и важнейшей характеристикой линейной системы является порог канониче-

ского присоединения (на котором присоединение обрывается). Основным средством изучения бирациональных соответствий является анализ поведения порогов канонического присоединения при взятии собственного прообраза линейной системы, приводящий к концепции максимальной особенности, удовлетворяющей неравенству Нетера-Фано.

В диссертации развиты две техники изучения максимальных особенностей: техника подсчета кратностей и техника пробной поверхности. Обе в конечном счете восходят к технике пробного класса В.А.Псковских и Ю.И.Манина, однако техника подсчета кратностей значительно сильнее: результаты о Фано-расслоениях (глава 3) в принципе не могут быть доказаны методом пробного класса. Существенную роль во всех этих конструкциях играет ориентированный граф бесконечно близких нормирований, введенный в [15].

На этой основе в диссертации получены следующие основные результаты.

Доказана бирациональная жесткость, исчерпывающим образом описывающая бирациональные соответствия, включая нерациональность, совпадение групп бирегулярных и бирациональных автоморфизмов и отсутствие нетривиальных структур Фано-расслоений (в бирациональном смысле) следующих серий многообразий Фано: '

— двойных пространств и двойных квадрик индекса 1 размерности 4 и выше;

— двойных пространств индекса 1 произвольной размерности с особенностью;

— общих гиперповерхностей степени М в Рм, М > 5.

Доказана бирациональная жесткость, включая нерациональность, описание группы бирациональных автоморфизмов и отсутствие других структур Фано-расслоений (в бирациональном смысле) следующих серий Фано-расслоений:

— трехмерных многообразий с пучком поверхностей Дель Пеццо степени 1,2,3, достаточно сильно "закрученных" по базе (гипотеза В. А.Псковских [13]);

— многообразий с пучком двойных пространств индекса 1

произвольной размерности и четырехмерных многообразий с пучком трехмерных квартик при условии достаточной "закрученно-сти" по базе.

3. Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе развивается общая теория метода максимальных особенностей. Введен класс многообразий, на изучение которых ориентирован метод (раздел 1): это Фано-расслоения— проективные алгебраические многообразия V, снабженные мор-физмом 7г: V —» 5, такие, что:

(i) V неособо в коразмерности 1: codimSingF > 2,

(ii) размерность базы S строго меньше dim У,

(iii) слой Fv над общей (незамкнутой) точкой базы S неприводим и удовлетворяет условию обрыва присоединения канонического класса: для любого дивизора Вейля D на Fv существует а € R+ такое, что линейная система

| aD + bKFr)\

пуста при любых целых неотрицательных a, b Е Z+ таких, что Ъ > аа.

Для произвольного дивизора Вейля D С V определяется важнейший инвариант — порог канонического присоединения с(У, D), на котором обрывается присоединение канонического класса. Вводится понятие пробной пары (У, Н')? где V' — Фано-расслоение, Н' — дивизор Вейля на V, причем линейная система \Н'\ подвижна. Приводятся типичные примеры Фано-расслоений и пробных пар. Цель метода — изучение бирациональных отображений

--->V>

между Фано-расслоениями в терминах порогов присоединения: пусть \х\ С — собственный прообраз на V, тогда имеем два числа, п(х) = c(V,D) и c(V',H'). Вводится понятие группы собственных бирациональных автоморфизмов Фано-расслоения

7г: V S: это группа бирациональных автоморфизмов его общего слоя

BirF,, С Bir V.

На этой основе дается ключевое

Определение 5. Фано-расслоение V называется бирацио-налъно жестким, если для любой пробной пары (V', Н') и любого бирационального отображения

x:V--->V',

существует собственный бирациональный автоморфизм

X* G Bir F^ С Bir V такой, что подкрученное бирациональное отображение

X ° ---

удовлетворяет условию монотонности

п(Х ox*)<<V',H!). Если это условие всегда выполнено:

n(X)<c(V',H'),

т.е. можно взять х* = idv, то Фано-расслоение V называется бирационалъно сверхжестким.

Предложение 1. Пусть Фано-расслоение V таково, что PicFv = Z, где общий слой Fv есть гладкое многообразие над (вообще говоря, незамкнутым) полем С(S), и пусть для любой подвижной линейной систе�