Комплексы форм на многообразиях над алгебрами и слоениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение . -.

Глава I. Предварительные сведения

1. Многообразия над алгебрами

2. Слоения.

3. Расслоения. Производная Ли

4. Расслоения струй

5. Комплексы. Длинная точная последовательность

6. Р-комплекс Спенсера

Глава II. Комплекс Спенсера, ассоциированный со структурой многообразия над алгеброй

7. Дифференциальный оператор, соответствующий G-структуре

8. Комплекс Спенсера многообразия над алгеброй

Глава III. Базовые функции канонического слоения многообразия над алгеброй

9. Подкомплекс А-дифференцируемых форм, определяемый структурой многообразия над алгеброй

10. М(е)-дифференцируемые функции на двумерном торе.

11. М(е)-дифференцируемые формы на двумерном торе

12. Проектируемые отображения слоений и компактные многообразия над локальными алгебрами

13. Некоторые естественные инварианты слоений

Актуальность. Естественность и плодотворность изучения многообразий над алгебрами была подтверждена работами многих математиков. Родоначальником данного направления стал А. П. Котельников [24]. В этой области работал немецкий математик Штуди Э. [88]. Широков П. А. с учениками Коппом В. Г. и Петровым П. И. продолжили исследования многообразий над алгебрами [23]. Естественные связи с локальными алгебрами возникают в дифференциальной геометрии высшего порядка, как было показано Вагнером В. В. [3] ( см. также работы Вейля А. [95] и Моримото А. [83] ).

Многие работы Нордена А. П. посвящены изучению многообразий со структурами, тесно связанными с алгебрами. Ученики Нордена А. П. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В., Нейфельд Э. Г. и другие глубоко развили данное направление ( см., например, [4] - [9], [29], [37] - [41], [42] - [49] ). Вышеуказанные работы позволили установить тесную связь между структурой многообразия над алгеброй и касательными структурами высших порядков. Вишневским В. В. введены и изучены новые классы структур, названные полукасательными [6], подробно изучены полиаффинорные структуры, возникающие на многообразиях над алгеброй [4], [7], [5]. Геометрия расслоения струй с помощью теории многообразий над алгебрами изучалась в работах Широкова А. П. [38] и Шурыгина В. В. [42], [43], [46]. Шурыгиным В. В. построена теория когомологий пучков на многообразиях над алгебрами [43], [44], [47] и указаны ее применения.

Необходимо сказать, что с теорией многообразий над алгебрами непосредственно связаны исследования многих математиков, отметим здесь лишь Кручковича Г. И. [25], Розенфельда Б. А. [31].

Поскольку на многообразии над локальной алгеброй естественно определена структура слоения, которая называется каноническим слоением, то аппарат теории слоений используется в теории многообразий над алгебрами. Отметим результаты о канонических слоениях на многообразиях над локальной алгеброй Малахальцева М. А. [26], В.В.Шурыгина [44], [47].

Теория слоений, ведущая свое начало с работ Ж.Риба и Ш.Эресмана, в настоящее время представляет собой развитую область, в которой получено много глубоких результатов. Имеется ряд монографий и обзоров, посвященных различным аспектам теории слоений, например [50], з

78], [80], [97]. Широко известные результаты для слоений коразмерности один получил Новиков С. П. [28]. В данной области ряд результатов получили Шапиро Я. Л. [35] и Игошин В. А. [19].

Каноническое слоение многообразия над локальной алгеброй несет листовую (X, (7)-структуру [46]. В частности, для многообразия над алгеброй дуальных чисел каноническое слоение является аффинным. В [92] рассматривается пучок функций, аффинных вдоль слоев, и пучки аффинных форм, то есть форм, компоненты которых лежат в пучке " функций, аффинных вдоль слоев. Отмечается, что так как морфизм аффинных слоений индуцирует морфизм пучков, то группы когомоло-гий с коэффициентами в пучке аффинных форм являются глобальными инвариантами аффинного слоения. Кольцо аффинных функций на двумерном торе изучается в работе Т.Инабы и К.Масуды [70].

Целью данной работы является изучение комплексов форм на многообразиях над локальными алгебрами и слоениях.

Конкретные задачи диссертации:

1) Построение Р-комплекса Спенсера для структуры многообразия над локальной алгеброй.

2) Нахождение вида глобальных М(е)-дифференцируемых форм на компактном одномерном многообразии над Е(б). Вычисление когомоло-гий комплекса Е(б)-дифференцируемых форм на таком многообразии.

3) Исследование проектируемых отображений компактного многообразия со слоением.

4) Исследование А-дифференцируемых отображений компактного многообразия над локальной алгеброй А в свободный А-модуль произвольной размерности. Оценка размерности пространства вещественных форм, продолжимых до А-дифференцируемых форм на одномерном компактном многообразии над локальной алгеброй А.

Метод исследования. Исследование проводится методами дифференциальной топологии и гомологической алгебры.

Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Материалы диссертации могут войти в содержание спецкурсов по этой тематике.

Результаты, выносимые на защиту. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Приведем из них следующие:

1) Построен Р-комплекс Спенсера для структуры многообразия над локальной алгеброй, и найдено его выражение через известные комплексы на таких многообразиях.

2) Найден вид глобальных М(е)-дифференцируемых форм на компактном одномерном многообразии над М(е). Вычислены когомологии комплекса Ж(е)-дифференцируемых форм на таком многообразии.

3) Для проектируемого отображения / компактного многообразия со слоением, такого, что на компактных в индуцированной топологии слоях слоения ранг / строго меньше коразмерности слоения, доказано, что ранг / глобально меньше коразмерности слоения. Для слоений ко- г размерности один с не более чем счетным числом компактных слоев на компактных многообразиях доказано, что все глобальные базовые функции постоянны, а размерность пространства глобальных базовых 1-форм ограничена размерностью первой группы когомологий комплекса де Рама данного многообразия.

4) Доказана невозможность А-дифференцируемого погружения компактного многообразия над локальной алгеброй А в свободный А-модуль произвольной размерности. Для одномерного многообразия М над локальной алгеброй А доказано, что вещественные части глобальных А-дифференцируемых функций, определенных на М, постоянны, а пространство вещественных частей глобальных А-дифференцируемых 1-форм, определенных на М, конечномерно, и его размерность ограничена размерностью первой группы когомологий комплекса де Рама А-значных форм многообразия М.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.

1) Международный геометрический семинар им. Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей». Казань, 4-6 февр. 1997 г.

2) 11 Петровские чтения-1999. Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-11». Казань, Республика Татарстан, 5-16 июля 1999 г.

3) Школа-конференция, посвященная 130-летию со дня рождения

Д. Ф. Егорова. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, 13-18 сентября 1999 г.

4) Международный семинар. Геометризация физики-4. Казань, 4-8 октября 1999 г.

5) Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики. Москва, 25-30 октября 1999 г.

6) Научный семинар кафедры геометрии КГУ под руководством Б. Н. Шапукова. / 1999 г. /

7) Итоговые научные конференции Казанского университета. / 1996, 1997, 1999 гг. /

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях [10] - [15]. Работы выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, включающих в себя 13 параграфов, и списка литературы, содержащего 99 работ. Объем диссертации — 80 страниц. Нумерация лемм и теорем в главах изолирована. Нумерация формул — сквозная.

1. Апанасов Б. Н. Геометрия дискретных групп и многообразий - М.: Наука, 1980.

2. Ботт Р. и Ту J1.B. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. -Наука. 1989.

3. Вагнер В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу, вып. 10. М., 1956. — С.31—88.

4. Вишневский В. В. Аффинерные структуры как структуры, определяемые алгебрами. // Тр. семин. кафедры геометрии, вып.4-5. Изд-во Казан, ун-та, 1970.С.54—68.

5. Вишневский В. В. Аффинорные структуры как структуры, определяемые алгебрами. // Tensor, 1972, 26. — С.363—372.

6. Вишневский В. В. О геометрической модели полукасательных структур. // Изв. вузов, Математ., 1983, 3. — С.73-—75.

7. Вишневский В. В. О полиаффинорных структурах, определяемых тензорными произведениями полиномиальных алгебр. // Тр. геом. семинара, Изд-во Казан, ун-та, вып. 11, 1979. — С.17—20.

8. Вишневский В. В. Многообразия над плюральными числами и полу касательные структуры. // Итоги науки и техн. Пробл. геометрии. / ВИНИТИ, М. 1988. Т.20.С.35—74.

9. Вишневский В.В, Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами.Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1985.

10. Гайсин Т.И. Комплекс Спенсера для многообразий над алгебрами. // Труды геометрического семинара, выпуск 23. Казань: Издательство Казанского математического общества, 1997. — 260 с. — С.33—41.

11. Гайсин Т.И. Базовые функции канонического слоения многообразия над алгеброй./ Казан, ун-т. —Казань, 1999. — 19 с. Деп. в ВИНИТИ. 04.06.99, N1784-B 99.

12. Гайсин Т.И. Формы, дифференцируемые над алгеброй дуальных чисел на торе. // Международная конференция. Геометризация физики-4, г. Казань, 4-8 октября 1999 г. — Труды — С.63—68. '

13. Де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия Москва, Изд-во иностр. лит-ры, 1956, 250 с.

14. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия. Методы теории гомологий М.: „Наука" - 1984.

15. Жукова Н.И. График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев. // Известия вузов. Математика. 1994, №2. - С. 79-81.

16. Игошин В. А. Теорема разложения для двуслоений, совместимых с пульверизацией. 11 Мат. заметки 1980 т. 28. Вып. б. С. 923 — 934.

17. Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 752 с.

18. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1979 — Т.1; М.: Наука, 1981. — Т.2.

19. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976. — 544 с.

20. Копп В. Г. Линейные комплексы и их пучки в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. // Уч. зап. Елабужск. пед. ин-та, 1958, т.З. — С.35—71.

21. Котельников А. П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. // Казань, 1899.

22. Кручкович Г. И. Условия интегрируемости регулярной гиперкомплексной структуры. — Укр. геом. сб., вып.9, 1970. — С.67-75.

23. Малахальцев М. А. Классы Годбийона и Вея одномерного многообразия над локальной алгеброй. // Труды геометрического семинара, выпуск 23. Казань: Издательство Казанского математического общества, 1997. — 260 с. — С.33—41.

24. Малахальцев М.А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. // Тр.геом. семинара , вып. 22, 1994.—С. 47—62.

25. Новиков С.П. Топология слоений // Тр.Моск. мат. об-ва. 1965. - Т.14. - 248-278.

26. Нейфельд Э. Г. Геометрия поверхности в проективном пространстве над алгеброй. // Сб.: Геометрия обобщенных пространств. Уфа, 1982. — С. 32 — 50.

27. Ж.Поммаре Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983. -400 с.

28. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии над комплексными и гиперкомплексными числами и их применение к вещественным геометриям. // В кн.: 125 лет неевклидовой геометрии Лобачевского. М. Л., 1952. — С. 151-166.

29. Спеньер Е. Алгебраическая топология М.: Мир, 1971.

30. Тамура И. Топология слоений.// Издательство "Мир". Москва 1979.

31. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильто-новых дифференциальных уравнений. —- Изд-во «Факториал», 1995.

32. Шапиро Я. Л., Игошин В. А. Стабильность слоев слоения с совместимой с ним метрикой. // Мат. заметки 1980 т. 27. Вып. 5. С. 767 — 778.

33. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом. - 1983. - Т. 15. - 61 -93. .

34. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1974. - Т. 11. - 153-207.

35. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. II Итоги науки и техн. Пробл. геометрии / ВИНИТИ. — 1981. — 12. — С.61—96.

36. Широков А. П. Пространства над ассоциативными унитальными алгебрами. // Уч. зап. Казан, ун-та, 1963, 123:1. — С.222—247.

37. Широков А. П. К теории пространств, определяемых коммутативными алгебрами. II Уч. зап. Казан, ун-та, 125:1, 1965. — С.165—182.

38. Широков А. П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами. // Тр. геом. сем. / ВИНИТИ АН СССР, T.1, 1966. — С.425—456.

39. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. I. // Тр. геом. семинара, Казан, ун-т, вып. 15, 1983.—С. 98—115.

40. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. II. // Изв. вузов, Математ., 1984, 11. — С.77—81.

41. Шурыгин В.В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами // Изв. вузов, 1996, 9. — С.71-85.

42. Шурыгин В.В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами. // Итоги науки и техн. Пробл. геометрии. ВИНИТИ.—1987—19. — С.З—22.

43. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй.// УМН. — 1993 —- Т.48, вып.2—С.75—106.

44. Шурыгин В.В. Классы Атъи-Молино гладкого многообразия над локальной алгеброй А как препятствия к продолжению трансеерсальных связностей до А-гладких. // Тр. геом. семинара, Казан, ун-т, вып. 23, 1997. — С.199—210.

45. Шурыгин В.В. Связность Эресмана для канонического слоения для многообразия над локальной алгеброй // Мат. зам. 1996. - Т.59. - Вып. 2. - 303-310.

46. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами эквивалентные расслоению струй // Изв.вузов. Математика. 1992. - №10. - 68-79.

47. Фукс Д.Б. Слоения // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра, топология, геометрия. 1981. - Т. 18. - С. 151 - 212.

48. Abraham, R, Marsden, J.E. Foundations of Mechanics. 2nd. ed. Reading, Mass.: Benjamin/ Cummings, 1978.

49. Белько И.В. Класс Атья-Молино слоеного алгеброида Ли. // Докл. АН Беларуси. 1993. - Т. 37. - №5. - 16-18.

50. Blumental R.A., Hebda J.J. Ehresmann connections for foliations. // Indiana Math. J. 1984. - V. 33. - №4. - 597-612.

51. Blumental R.A., Hebda J.J. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations. // Quart. J. Math. 1984. -V. 35. - №4. - 597-612.

52. Blumental R.A., Hebda J.J. An analogue of the holonomy bundle for a foliated manifold. // Tôhoku Math. J. 1988. - V. 40. - №. 2. - 189-197.

53. Brickell F., Clark R.S. Integrable almost tangent structures // Journal of Diff. Geom.- 1974. Vol. 9. - №4. - 557- 563

54. Chachelet G., Rosenberg H. Manifolds which admit R"-actions // IHES Publ. Math.- 1973 №43.

55. Cordero L., Wolak R. Examples of foliations with foliated geometrical structures // Pacif. J. Math. 1990. - V. 142. - №2. - 265-276.

56. Crampin M., Thompson G. Affine bundles and integrable almost tangent structures // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. 1985. - V.98.

57. Dazord P., Hector G. Integration symplectique des variétés de Poison totalement asphériques, in Symplectic Geometry, Groupoids and Integrable Systems, Séminaire Sud Rhodanien à Berkeley (1989), Springer Math. SRIP 20 (1991), Springer-Verlag, 38-72.

58. Fried D., Goldman W., Hirsch M. Affine manifolds with nilpotent holonomy // Comment. Math. Helv. 1981. - V. 56. - Fasc. 4. - 487-523.

59. Furness P.M.D. Affine foliations of codimension one// Quart. Journal of Math., 1974, v. 25, n. 98

60. Furness P.M.D., Fédida E. Transversely affine foliations // Glasgow Math. J. 1976- V. 17.- Part 2. 106-112.

61. Godbillon C. Holonomie transversale // C.R.Ac.Sci. t.264, A,B. - №24. - 10501052.

62. Goldman W., Hirsch M. Polynomial forms on affine manifolds // Pacific J. of Math.- 1982. V.101 - №1.

63. Goldman W. On polynomial cohomology of affine manifolds // Invent, math. 1982.- V.65. 453-457.

64. Haefliger.A. Homotopy and integrability // Lect.Notes Math. 1971,197,p.133-163

65. Hector G.-, Hirsch U. Introduction to the Geometry of Foliations, Part A and B, Vieweg, Braunschweig 1981,1983.

66. Inaba T. The tangentially affine structure of lagrangian foliations and the tangentially projective structure of legendrian foliations // Preprint.

67. Inaba, T., Masuda, K. Tangentially affine foliations and leafwise affine functions on the torus// Kodai Math. J. 1993. - V. 16. - No 1. - 32-43.

68. Inaba T., Matsumoto S. Some qualitative aspects of transversely projective foliations //Proc. Jap.Acad. A. - 1989. - V. 65. - №4. 116-118.

69. Kamber F., Tondeur Ph. Characteristic classes of foliated bundles Lect.Notes Math.- 1975 V.494.

70. Kasimi-Alaoui A.E. Sur la cohomologie feuilletée // Compositio Mathematica 1983.- 49. 195-205.

71. Kasimi-Alaoui A.E., Tihami A. Cohomologie bigraduée de certains feuilletages // Bulletin de la Société Mathématique de Belgique 1986 - 38 - fasc 2. - ser. B. -144-156.

72. Kodaira K. Complex manifolds and Deformations of Complex Structures. Springer- 1986.

73. Kodaira K., Spencer D.C. Multifoliate structures. Ann. Math. 1961 - vol.74., №l.- 52-100.

74. Kolâr I., Michor P.W. Slovak J Natural Operations in Differential Geometry. Springer-Verlag, 1993, 434 p.

75. Lawson B. The Quantative Theory of Foliations. CBMS, no. 27, AMS Providence (1977).

76. Malakhaltsev M.A. The Lie derivative and cohomology of G-structure // Lobachevskii Journal of Mathematics. 1999 - vol. 3. - 197-200.

77. Molino P. Riemannian foliations Birkhàuser, 1988.

78. Molino P. Sur la géométrie transverse des feuilletages Ann. Inst. Fourier, - 1975 -25 - №. 2. - P. 279-284.

79. Molino P. Théorie des G-structure: le problème d'equivalence. Lecture Notes in Mathematics. - V. 588. - Springer. - 1977.

80. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. //J. Different. Geom., 1976, 11, N4, 479-498.

81. Plante J.F. Locally free affine group actions // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. - V. 259 - №. 2. - 449-456.

82. Sabitova M.N. Polynomial manifolds // Tensor. 2000. - V.62. - №. 3

83. Salem E. Riemannian foliations and Pseudogroups of Isometries // in book Molino P. Riemannian foliations (Appendix D.) 1983

84. Sarkaria K.S A finiteness theorem for foliated manifolds // Journal of Math. Soc. Japan 1978 - V.30. - №4, 687-696.

85. Study E. Geometrie der Dynamen. Leipzig, 1902.- 80

86. Thompson G. Integrable almost cotangent structures and Legendrian bundles Math. Proc. of the Cambridge Philosophical Society. - 1987. - V. 101. - Part 1. - 61-78.

87. Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds Mimeographed Lecture Notes. Princeton Univ., 1978/79 Ch. 1-9, 1980 Ch. 11-13.

88. Tischler D. Locally free actions of Kn1 on Mn without compact orbits // Topology.- 1974. V.13. - №. 3 - 215-217.

89. Vaisman I. df -cohomologies of Lagrangian foliations // Monatshefte fur Math. -1988 V.106. - 221-244.

90. Vaisman, I. Basics of Lagrangian-foliations. Publ. Mat., Bare. 33, No.3, 559-575 (1989). •

91. Vaisman, I. Cohomology and Differential Forms. Marcel Dekker inc., New York, 1973

92. Weil A.A. Theorie des points proches sur les variétés differentiables. // Strasburg, Paris: Colloq. internat Center nat. rech. sci., 52, 1953.

93. Winkelnkemper H. E. The graph of the foliation// Ann. Glob. Analysis and Geometry- 1983. V.l. - №3. - 51-75.

94. Wolak, R. Geometric structures on foliated manifolds — Publicaciones del Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Santiago de Compostela. 76. Santiago de Compostela: Univ., Dept. de Geometría y Topología, x, 1989.

95. Wolak, R. Graphs, Ehresmann connections and vanishing cycles // Proc. Conf., Aug. 28-Sept. 1, 1995, Brno, Czech Republic, Masaryk university, Brno 1996, 345-352.

96. Wolak, R. On leaves of Lagrangian foliations // Russian Mathematics, 6, 24-31 (1998).