Топологические аспекты надстроечных слоений

Чубаров, Георгий Владимирович

Топологические аспекты надстроечных слоений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Чубаров, Георгий Владимирович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Топологические аспекты надстроечных слоений»

Автореферат диссертации на тему "Топологические аспекты надстроечных слоений"

На правах рукописи

Чубаров Георгий Владимирович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАДСТРОЕЧНЫХ СЛОЕНИЙ

Специальность 01.01.04 — Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 о МОЯ 2013 005539936

Казань — 2013

005539936

Работа выполнена на кафедре геометршш и высшей алгебры механико-математического факультета ФГАОУ ВПО «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского (Национальный исследовательский университет)».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, доцент Жукова Нина Ивановна.

Аминова Ася Васильевна, доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»,

Султанов Адгам Яхиевич, кандидат физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет».

ФГБУН «Институт математики с ВЦ УНЦ РАН».

Защита состоится 19 декабря 2013 года в 17 ч. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д.212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан « » ноября 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.081.10 кандидат физ.-мат. наук, доцент -- Е.К Липачёв

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одним из способов построения слоений является предложенный Хефлигером1 в 1962 году, алгоритм надстройки (suspension). Слоения, которые можно построить с помощью алгоритма надстройки, называются надстроечными.

Надстроечные слоения изучались Тёрстоном и Хиршем2 с точки зрения слоёных расслоений.

В теории динамических систем важную роль играет вариант надстройки3, с помощью которой строятся специальные потоки над диффеоморфизмами. Надстройка использовалась для построения примеров слоений с «экзотическими» свойствами. Так Данжуа посредством надстройки сконструировал поток класса С1 на двумерном торе, определяющий одномерное слоение с исключительным минимальным множеством.

Блюменталь и Хебда4 ввели понятие связности Эресмана для слоений как естественное обобщение понятия связности для расслоений. Исследованиям слоений со связностью Эресмана посвящены работы Волака, Шуры-гина, Жуковой, Малахальцева и других. Надстроечные слоения образуют подкласс слоений с интегрируемой связностью Эресмана.

Как известно, на многообразии М с надстроечным слоением Т существует риманова метрика д, относительно которой (М, J7) — вполне геодезическое слоение, то есть каждый его слой — вполне геодезическое подмногообразие риманова многообразия (М,д).

Вполне геодезические слоения на римановых многообразиях исследуются в работах Карьера, Жиса5, Джонсона6, Блюменталя и Хебды7, Кейрнса8

1Haefliger A. Varietes feuilletees // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1962. V. 16. P. 367-397.

2Hirsch M.,Thurston W. Foliated bundles, invariant measures and flat manifolds // Ann. Math. 1975. V. 101, № 3. C. 369-390.

3Смейл С. Дифференцируемые динамические системы ,// УМН. 1970. Т. 25, №1 (151). С. 113—185.

4Blumenthal R.A., Hebda J.J. Ehresmann connection for foliations // Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33. P. 597-611.

5Ghys E. Classification des feuilletage totalement gcodesiques do codimension 1 // Comment. Math. Helv. 1983. V. 58. P. 543-572.

6Jonson D.L. Deformations of totally geodesic foliations // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York. 1987. V. 105. P. 167-178.

7Blumcnthal R.A., Hebda J.J. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations // Quarterly J. Math. 1984. V. 35, № 2. P. 383-392.

8Cairns G. The duality between Riemannian foliations and geodesible foliations // in P. Molino,

и других.

Понятие группоида голономии слоения введено Эресманом. Позднее Винкельнкемпером9 была предложена эквивалентная конструкция, названная им графиком слоения.

График G(J-) гладкого слоения Т коразмерности q на п мерном многообразии М несёт в себе информацию о росткововых группах голономии слоения (М,Т) и является линейно связным, вообще говоря нехаусдорфо-вовым, (2п — д)-мерным многообразием того же класса гладкости, что и слоение IF.

График применялся: Винкельнкемпером10 — при оценке количества концов универсального слоя риманова слоения на односвязных компактных многообразиях; Волаком11 — при решении аналогичной задачи для слоений с трансверсалыюй системой дифференциальных уравнений; Жуковой12 13 — при исследовании локальной устойчивости компактных слоёв слоений.

Конн14 построил С*-алгебры комплекснозначных функций, заданных на группоиде голономии G(F) слоения (М, .F), и заложил основы некоммутативной геометрии и топологии слоений (см. обзор Кордюкова15). В работах, где С*-алгебры применяются для исследования топологических свойств слоений, нехаусдорфовость графика выступает препятствием, которое либо обходится нетривиальным образом (Конн), либо изначально предполагается хаусдорфовость многообразия G{T) (Гектор16, Фак и Скандалис17).

В этом контексте целесообразно выделить те классы слоений, которые

Riemannian Foliations. Boston: Birkhauser, 1988. Progress in Math. V. 73. P. 249-263.

9Winkelnkemper H.E. The graph of a foliation // Ann. Global Analysis and Geometry. 1983. V. 1. P. 57-75

10Winkelnkemper H. E. The number of ends of the universal leaf of a Riemannian foliation // Progr. in Math. 1983. V. 32. P. 247-254

nWolak, R.A. Le graphe d'un feuilletage admettant un systeme transverse d'e'quations diffe'rentielles // Math. Z. 1989. V. 201, № 2. P. 177-182

12Zhukova N. I. Local and Global Stability of Compact Leaves and Foliations // Журн. матем. физ., анал., геом. 2013. Т. 9, Л'! 3. Р. 400-420.

13Жукова Н.И. Графики слоений со связностью Эресмана и слоевая стабильность // Изв. вузов Математика. 1994. № 2. С. 78-81.

14Connes A. Geometrie поп commutative. Paris: InterEdition, 1990. 240 p.

15Кордюков, Ю. А. Теория индекса и некоммутативная геометрия на многообразиях со слоением // Успехи математических наук. 2009. Т. 64, вып. 2 (386). С. 73-202.

16Hcctor G. Groupoides, feuilletages et C*-algebres // Geometryc study of foliation. Tokyo. 1993. P. 3-34.

"Fack Т., Skandalis G. Sur les representations et ideaux de la C*-algebre d'un feuilletage // Journal of Operator Theory. 1982. V. 8. P. 95-129.

имеют хаусдорфов график. Винкельнкемпером18 доказан общий критерий хаусдорфовости графика слоения в терминах локальных голономных диффеоморфизмов.

Для топологизации множества слоений существуют два подхода. Первый — Сг-топология, являющаяся обобщением Сг-топологии на множестве динамических систем. Второй — топология, специально введённая Хиршем и Эпштейном19 для слоений. Последняя топология учитывает не только близость касательных пространств к слоям, но и близость их голономий.

Понятие структурной устойчивости введено Андроновым и Понтряги-ным20. Структурная устойчивость диффеоморфизмов и потоков на компактных многообразиях является одной из центральных проблем качественной теории динамических систем.

Глубокие результаты по структурной устойчивости слоений в настоящее время получены лишь для отдельных, наиболее простых классов слоений. Структурной устойчивости собственных слоений с морсовскими особенностями коразмерности 1 на компактных многообразиях посвящены работы Бонатти21 и Брунеллы22. Исследование структурной устойчивости надстроечных слоений на компактных многообразиях начато Палисом23. Им был приведён без доказательства критерий структурной устойчивости надстроечных слоений на компактных многообразиях. Различные вопросы структурной устойчивости слоений изучались так же в статьях Леви и Шуба24, Жуковой25.

Орбифолдфы можно рассматривать как многообразия с особенностями. Они введены Сатаки26 и нашли применение в теоретической физике.

18Winkelnkemper Н.Е. The graph of a foliation

19Epstein D. A topology for the space of foliation // Geometry and Topology, Lecture Notes in Math. 1976. V.597. P. 132-150.

20Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т.14. N 5. С. 247-250.

21Bonatti С. Sur les feuilletages singuliers stables des variétés de dimension trois. // Commun. Math. Helv. 1985. V. 60 № 2. P. 429-444.

22Brunella M. Remarks on structurally stable proper foliations // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1994. V.115, № 1. P. 111-120.

23Palis J. Regidity of centralizers of diffeomorphisms and structural stability of suspended foliations // Lecture Notes in Math. 1978. V. 652. P.114-121.

24Levin H., Shub M. Stability of foliations // Trans of AMS. 1973. V. 184. P. 419-437.

25Жукова H.И. Компактные слои структурно устойчивых слоений // Труды МИАН, 2012. Т. 278. С. 102-113.

26Satake I. The Gauss-Bonnet theorem for K-manifolds // J. Math. Soc. Japan. 1957. V. 9. P. 464-492.

Двумерные орбифолды использовал Тёрстон27 для классификации трёхмерных многообразий. Орбифолды возникают так же в теории слоений как пространства слоёв некоторых классов слоений.

Всё выше сказанное говорит об актуальности темы диссертации.

Цель диссертационной работы. Исследование надстроечных слоений:

• с точки зрения хаусдорфовости их графиков, а именно — сравнение множества слоений с хаусдорфовым и нехаусдорфовым графиками:

— в теоретико-множественном аспекте;

— в топологическом аспекте;

• с точки зрения структурной устойчивости, применительно:

— к слоениям с хаусдорфовыми и нехаусдорфовыми графиками,

— к общим надстроечным слоениям;

• с точки зрения возможности обобщения конструкции надстройки.

Методы исследования. В работе использовались методы римановой геометрии, теории регулярных накрытий, теории связностей Эресмана для расслоений и слоений. При исследовании структурной устойчивости надстроечных слоений использовались результаты качественной теории динамических систем и теории представлений групп.

Научная новизна. Все результаты, выносящиеся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказательство критерия изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений JroZr's, где г>1, 0<s<r (теорема 1.4.1).

2. Доказательство эквивалентности хаусдорфовости графика G(T) надстроечного слоения (М, J7) := Sus(B, Т, р) квазианалитичности действия его структурной группы Ф := Imp на трансверсальном многообразии Т (теорема 2.2.2). Построение на основе этого результата двух континуальных

27Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds // Mimeographed Notes. Princeton Univ. 1978.

семейств попарно неизоморфных вполне геодезических слоений с хаусдор-фовыми и нехаусдорфовыми графиками на каждой из следующих компактных локально евклидовых поверхностей: торе, цилиндре, листе Мёбиуса, и бутылке Клейна (теорема 2.3.1).

3. Доказательство структурной устойчивости представления

в пространстве представлений Аг(тт1(В,Ьо),Т), задающего структурно устойчивое слоение (М, Т) = ^иэ(Т, В, р) в пространстве слоений То1гч(М) (предложение 3.2.1).

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследованиях в геометрической теории слоений, а так же применены в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов физико-математических специальностей и при выполнении курсовых и учебно-исследовательских работ.

Апробация. Результаты диссертации докладывались: на международной летней школе-семинаре «Современные проблемы теоретической и математической физики» в Казани в 1999, 2001, 2002, 2003 гг.; на международной конференции «Лаптевские чтения» в Москве (МГУ) в 2000 г.; в весенней математической школе «Понтрягинские чтения-ХШ» в Воронеже в 2002 г, на международной конференции «Дифференциальные уравнения и динамические системы» в Суздале в 2004 и в 2010 гг., на Четвёртой молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» в Казани в 2005 г., на международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», проводимой Институтом математики с ВЦ УНЦ РАН на Южном Урале в 2009 году.

По теме диссертации делачись доклады: на «Итоговой научной конференции ННГУ» в Нижнем Новгороде в 1999, на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. проф. Е.И. Яковлев) в 1999-2013 гг.

Исследования по теме диссертации вошли в научные проекты, поддержанные следующими грантами в которых диссертант являлся испол-

нителем: 2001-2003 гг. Грант РФФИ «Слоение и расслоение со связно-стями» проект № 01-01-590-а; 2009-2011 гг. ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», контракт №П495; 2012-2013 гг. ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2012-2013 годы», контракт № 14.В37.21.0361.

Публикации по теме диссертации и вклад соискателя. По теме диссертации опубликовано 15 работ. Среди них б статей, из которых 4 входят в издания, рекомендованные ВАК РФ. Две работы написанны единолично, остальные совместно с научным руководителем.

Во всех совместных работах с научным руководителем вклад каждого из соавторов составляет 50 %.

Все результаты, выносимые на защиту, получены Чубаровым Г.В. самостоятельно.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, заключения и четырёх глав основного текста, разбитых на 10 разделов (4 в первой главе 3 во второй и 2 в третьей и 1 в четвёртой) 10 рисунков и списка литературы из 82 наименований. Общий объём работы 116 страниц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий обзор литературы по вопросам, рассмотренным в диссертации, сформулированны цели, методы и основные результаты диссертации, кратко описано её содержание, приведён список публикаций автора по теме диссертации.

В главе 1 описаны два способа конструктивного определения надстроечного слоения, а так же даны различные характеризации надстроечных слоений. Доказан критерий изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений.

Раздел 1.1 носит реферативный характер. В нём даётся определение слоения и связности Эресмана для слоений, вводится категория Сг-слоений •7-оГ'5, морфизмами в которой служат С3-диффеоморфизмы, где 0 < я < г, переводящие слои в слои (определение 1.3.3).

ности р п я соответственно и гомоморфизм р : тг1(В,Ьо) —> Дг//г(Т) фундаментальной группы многообразия В в группу глобальных диффеоморфизмов многообразия Т. Введём обозначения С := 7Гх(В,Ь) и Ф.:= /э(С).

Пусть / : В —>• В - универсальное накрывающее отображение, рассматриваемое как главное расслоение со структурной группой б и базой В. Гомоморфизм р задаёт левое действие группы С? на многообразии Т, поэтому можно построить28 расслоение М(В,в,Т,В), ассоциированное с главным. Действие дискретной группы С? на В х Т сохраняет тривиальное р-мерное слоение ^ := {В х {¿} | Ь е Т} произведения В х Т. Поэтому фактор-отображение /0 : В х Т -»• (ВхТ) /С = М индуцирует на (р + д)-мерном фактор-многообразии М гладкое р-мерное слоение Т, слои которого трансверсальны слоям расслоения р : М —> В.

Пара (М, Т7) называется надстроечным слоениелг и обозначается нами через <5иэ(Т, В,р). Субмерсия р : М —> В называется трансверсалъ-нъш расслоением, Т — полной трансверсалью. Группа диффеоморфизмов Ф := р(С) многообразия Т называется структурной группой надстроечного слоения

Предположения. Везде далее предполагается, что Т компактно, а груп- . па б имеет конечное число образующих.

В разделе 1.3 надстроечные слоения охарактеризованны в классе дву-слоений (предложение 1.3.2) и в классе слоений со связностью Эресмана (предложение 1.3.3). Здесь доказано также, что слоение (М, Г) трансвер-сальное слоям субмерсии р : М —> В со связными компактными слоями, является надстроечным тогда и только тогда, когда на М существует полная риманова метрика д, относительно которой (М, Т) — вполне геодезическое слоение (предложение 1.3.5).

Раздел 1.4 посвящён доказательству следующего критерия изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений, который выносится на защиту (пункт 1).

Теорема 1.4.1. Пусть

1) (М, Т) = 5иэ(Т, В, р) и (М', Р) = 5ив(Т', В', р') - надстроечные Сг-слоения, г > 1;

28Кобаяси Ш., Ноыидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука. 1981. Т.1

2) О, & — группы накрывающих преобразований универсальных накрытий для слоёных многообразий М и М' соответственно;

3) <72 : С —> С?2, : ~^у ~ естественные эпиморфизмы на индуцированные группы диффеоморфизмов &2 и многообразий Т и Т' соот-ветсвенно.

Слоения (М, У7) и {М', «7*"') изоморфны в категории 7~о1г'3, 0 ^ 5 ^ г тогда и только тогда, когда существуют

1) С3-диффеоморфизмы и: В хТ В' хТ" и V :Т Т";

2) изоморфизмы групп р, и х ■ —>

которые для любого д Е О удовлетворяют коммутативной диаграмме:

92 Ы ^

В хТ-

-ВхТ

В' х Т-

»(я)

-В' х Т'

</Мя))=х(я2(д))

Как показывают примеры (пример 1.4.1), структурная группа Ф надстроечного слоения не является инвариантной в категории слоений.

В главе 2 доказывается критерий хаусдорфовости графика надстроечного слоения и на его основе даётся теоретико-множественная оценка соотношения между множествами бесконечно гладких надстроечных слоений с хаусдорфовым и нехаусдорфовым графиком на компактных поверхностях.

Раздел 2.1 посвящён описанию базовых для главы 2 понятий, таких как ростковая группа голономии Г(Ь,х), группа 9Л-голономии Н^{Ь,х), график слоения С{Т). Кроме того, приводится пример надстроечного строения с нехаусдорфовым графиком (пример 2.1.1).

В подразделе 2.2.1 доказывается, что расслоение М(В, Т, тт^В, Ь0), В) с проекцией р : М —> В, трансверсальное надстроечному слоению (М, Т7) = 5ив(Т,В,р), где Т = р~1(р(х)), имеет группу голономии Ф(:г), изоморфную структурной группе Ф = р(ж\(В,Ьо)). Группа ШТ-голономии Нт(Ь,х) слоя Ь = Ь{х) слоения (А/, Т) изоморфна группе изотропии Фх структур-

ной группы Ф, а ростковая группа голономии T(L, х) образована ростками диффеоморфизмов из группы изотропии Фх в точке х (теорема 2.2.1).

В подразделе 2.2.2 мы напоминаем понятие квазианалитического действия группы диффеоморфизмов на многообразии (определение 2.2.1) и доказываем следующий критерий, выносящийся на защиту (в п. 2).

Теорема 2.2.2. Если {М,Т) := Sus(B,T, р) — произвольное надстроечное слоение на многообразии М со структурной группой Ф := Imp, то график слоения G{T) хаусдорфов тогда и только тогда, когда группа Ф действует на многообразии Т квазианалитическц.

Следствие. Если для надстроечного слоения (M,J-) := <Sus(B,T, р) выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) все стационарные подгруппы структурной группы Ф конечны;

б) фундаментальная группа многообразия М конечна;

в) фундаментальная группа многообразия В конечна,

то график G(.Т) этого слоения хаусдорфов (следствия 2.2.1 - 2.2.3).

В разделе 2.3 доказывается, что среди двумерных поверхностей нетривиальные надстроечные слоения допускают только цилиндр, тор, бутылка Клейна и лист Мёбиуса (предложение 2.3.1). На каждой из этих поверхностей строятся два континуальных семейства бесконечно гладких попарно неизоморфных надстроечных слоений. Все слоения первого семейства имеют хаусдорфов график, а второго — нехаусдорфов график. Вывод содержится в теореме 2.3.1 и следствии 2.3.1. Этот результат выносится на защиту (в п. 2).

В главе 3 изучаются топологические аспекты пространства надстроечных слоений.

Раздел 3.1 посвящён топологической оценке множества слоений с хау-сдорфовым графиком в пространстве всех одномерных надстроечных слоений на n-мерном замкнутом многообразии с С1-тоиологией.

Напомним, что Е называется множеством первой категории в топологическом пространстве X, если оно представимо в виде конечного или счётного объединения подмножеств, нигде не плотных в X. Если Е является дополнением в X к множеству первой категории, то Е называется множеством второй категории. Свойство подмножества Е называется типичным

в X, если Е - множество второй категории в X.

Через Fq(M) обозначаем топологическое пространство Сг+1-слоений коразмерности q с С-топологией. Доказывается, что свойство графика слоения быть хаусдорфовым типично в подпространстве одномерных надстроечных слоений на компактном многообразии M (теорема 3.1.3).

Обозначим через Sus2(M) пространсво С2-гладких надстроечных слоений с С1-тоиологией на двумерной поверхности М. Пусть SusH2(M) — подпространство слоений в Sus2{M) с хаусдорфовым графиком, а SusNH2(M) — с нехаусдорфовым графиком. Доказывается, что множества классов эквивалентности слоений в категории слоений Toi2'0, находящихся в множествах SusH2{M) и SusNH2(M), равномощны. При этом SusH2{M) является множеством второй категории, a SusNH2(M) — множеством первой категории в пространстве Sus2(M) (Предложение 3.1.1).

В разделе 3.2 пространство слоений класса СТ коразмерности q на п-мерном многообразии M с топологией Хирша - Эпштейна обозначается через Folrq{M).

В подразделе 3.2.1 описывается топология на множестве Ar{G,T) гладких класса Сг представлений дискретной группы G в Diffr(T) и даётся определение Сг-структурно устойчивого представления р G Ar(G,T) (определение 3.2.3).

Слоение (M, Т) называется структурно устойчивым в пространстве FoVq{M), если для любой окрестности U = £/"(Ым) в Нотео(М) существует такая окрестность U = U{J:, U) слоения J7 в Tolq{M), что для каждого слоения F' G U найдётся гомеоморфизм d Е U, который является изоморфизмом слоений (M, Г) и (M, ¡F') в категории слоений J7olr,° (определение 3.2.5).

В подразделе 3.2.4 доказано следующее необходимое условие структурной устойчивости надстроечных слоений, выносящееся на защиту (п.З).

Предложение 3.2.1. Если слоение {M,F) = 5us(T, В,р) структурно устойчиво в пространстве слоений Folrq(M), то структурно устойчиво и представление р : iri(B,bo) —> Diffr(T) в пространстве представлений A'faÇВ,Ьо),Т).

Обратное утверждение к предложению 3.2.1 доказано Жуковой в сов-

местной работе с соискателем [3]. Суммарный результат сформулирован в виде критерия структурной устойчивости надстроечного слоения (теорема 3.2.2).

Связь с результатами Палиса. Палис29 исследовал С°°-структурную устойчивость надстроечных слоений на компактных многообразиях М. В этом случае база В = р(М) также компактна, следовательно, фундаментальная группа G = 7Ti(ß,60) — конечно порождённая.

Нами исследуются надстроечные слоения в более общих предположениях:

1) требование компактности многообразия М ослаблено до компактности стандартного слоя Т расслоения р : М В и конечной порождённое™ группы G;

2) наши результаты получены в классе гладкости Сг, для любого г > 1;

3) в определении структурной устойчивости слоений и представлений групп, в отличие от Палиса, мы предполагаем, что сопрягающий гомеоморфизм есть £-гомеоморфизм, то есть является малым. В случае потоков это соответствует структурной устойчивости в смысле Андронова-Понтрягина.

Пейксото в определении структурной устойчивости требовал лишь существования топологического сопряжения. Позднее, как подчеркнул Аносов30, «весьма нетривиальным образом» была доказана эквивалентность определений структурной устойчивости Андронова-Понтрягина и Пейксото для динамических систем. Не известно, как обстоит дело в случае слоений.

В подразделе 3.2.5 доказываются несколько следствий из критерия структурной устойчивости. В частности, если группа iti(B,bo) :=< д > имеет одну образующую, то слоение {M,F) = Sus(T,B,p), полученное надстройкой гомоморфизма р : ni(B,b0) Diff{T), структурно устойчиво тогда н только тогда, когда диффеоморфизм гр = р(д) структурно устойчив (теорема 3.2.3).

Опираясь на это утверждение, в подразделе 3.2.6 доказывается, что

29Palis J. Regidity of centralizcrs of diffeomorphisms and structural stability of suspended foliations // Lecture Notes in Math. 1978. V.652. P.114-121.

30 Аносов, Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. М.: МЦНМО, 2000. Вып. 1. 74 с

все надстроечные слоения с нехаусдорфовым графиком на компактных поверхностях (^-структурно неустойчивы (следствие 3.2.4), в отличие от надстроечных слоений с хаусдорфовым графиком, которые могут быть как структурно устойчивыми, так и структурно неустойчивыми (предложения 3.2.4 - 3.2.5). Это объясняет различие между теоретико - множественной и топологической оценкой подпространства надстроечных слоений с нехаусдорфовым графиком на компактных поверхностях.

В главе 4 нами вводятся и исследуются обобщённые надстроечные слоения.

В подразделе 4.1.1 напоминается определение орбифолда и гладкого отображения орбифолдов. Обобщённое надстроечное слоение получается надстройкой гоморфизма р : ж^гЬ(В,Ь) иг//г(Г) фундаментальной группы хорошего орбифолда в группу диффеоморфизмов произвольного многообразия Т. В случае, когда орбифолд является многообразием, эта конструкция совпадает с надстроечным слоением.

В подразделе 4.1.2 нами вводится понятие канонического двуслое-ния (определение 4.1.3). Доказывается, что любое двуслоение, накрытое произведением, изоморфно некоторому каноническому двуслоению, определённому однозначно, с точностью до сопряжённости (теорема 4.1.1).

В подразделе 4.1.3 в классе канонических двуслоений выделяется подкласс слоений, которые являются обобщёнными надстроечными (лемма 4.1.1). Доказывается, что любое обобщённое надстроечное слоение изоморфно в категории слоений некоторому каноническому обобщённому надстроечному слоению (теорема 4.1.2). На основании этой теоремы строятся примеры обобщённых надстроечных слоений, не являющихся надстроечными (пример 4.1.1).

В заключении проводится краткий обзор основных результатов, полученных диссертантом.

Публикации в журналах из списка ВАК

[ 1 ] Чубаров, Г.В. Об одном типичном свойстве одномерных суспенси-рованных слоений /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление. -

Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2003. - Вып. 1 (26). - С. 12-21.

[ 2 ] Chubarov, G.V. Aspects of the Qualitative Theory of Suspended Foliations / N.I. Zhukova, G.V. Chubarov // J. Diff. Equat. and Appl. - 2003. - V. 9, № 3/4. - P. 393-405.

[ 3 ] Чубаров, Г.В. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. -2011. - №1. - С. 153-161.

[ 4 ] Чубаров, Г.В. Обобщённые надстроечные слоения / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ. - 2012. - №5(1). - С. 157-164.

Публикации в других изданиях

[ 5 ] Чубаров, Г.В. Вполне геодезические слоения с нехаусдорфовыми графиками /Н.И. Жукова Г.В. Чубаров // Международная школа-семинар памяти Н.В. Ефимова, 1998 г. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону: НПП Коралл-Микро. - 1998. - С. 28-29.

[ 6 ] Чубаров, Г.В. Графики суспенсированных слоений /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров //XI Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: «Хэттер». - 1999. - С. 63.

[ 7 ] Чубаров, Г.В. Графики слоений накрытых произведениями / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Материалы международной конференции посвящённая 90-летию Г.Ф. Лаптева. - М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом ф-те МГУ. - 1999. - С. 21-22.

[ 8 ] Чубаров, Г.В. О суспенсированных слоениях / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // В кн.: Новейшие проблемы теории поля 1999-2000. - Казань: Изд-во КГУ. - 2000. - С. 95-103.

[ 9 ] Чубаров, Г.В. Пространство суспенсированных слоений / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная научная конференция «Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения» (МНК

АДМ - 2000). Тезисы докладов. - Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2000. - С. 97-98.

[ 10 ] Чубаров, Г.В. Суспенсированные слоения и их графики /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // XIII Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. - Казань: «Хэттер». - 2001. - С. 54-55.

[ 11 ] Чубаров, Г.В. Некоторые вопросы качественной теории суспенсиро-ванных слоений /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Современные методы в теории краевых задач. Материалы воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XIII» 3-9 мая 2002 г. Воронеж: Изд-во ВГУ. - 2002. - С. 54.

[ 12 ] Чубаров, Г.В. Типичность хаусдорфовости графика слоения /Г.В. Чубаров // XIV Международная школа семинар по современным проблемам теоретической и математической физики. Тезисы докладов. -Казань: ООО «Издательство РегентЪ». - 2002. - С. 38-39.

[ 13 ] Чубаров, Г.В. Структурная устойчивость суспенсированных слоений с абелевой голономией /Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 5-10 июля 2004 г. Тезисы докладов. - Владимир: Изд-во ВлГУ. - 2004. - С. 89-91.

[ 14 ] Чубаров, Г.В. О хаусдорфовости графиков некоторого класса вполне геодезических слоений /Г.В. Чубаров // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 31. - Казань: Изд-во Казанского математического общества. - 2005. - С. 170-172.

[ 15 ] Чубаров, Г.В. Критерий структурной устойчивости надстроечных слоений и его применение / Н.И. Жукова, Г.В. Чубаров // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 2-7 июля 2010 г. Тезисы докладов. - М.: МИАН. - 2010. - С. 83-84.

Подписано в печать 12.11.2013 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1. Заказ № 963. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 603000, г. Нижний Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Чубаров, Георгий Владимирович, Нижний Новгород

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Н.И.ЛОБАЧЕВСКОГО

04201453871 На правах рукописи

Чубаров Георгий Владимирович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ НАДСТРОЕЧНЫХ СЛОЕНИЙ

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

Научный руководитель к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии в высшей алгебры ННГУ

Н.И. Жукова

Нижний Новгород — 2013

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 4

1 Надстроечные слоения 18

1 1 Слоения со связностью Эресмана 18

111 Эквивалентные подходы к слоению 18

112 Связность Эресмана 21 1 2 Эквивалентные подходы к надстроечному слоснию 23

12 1 Определение надстроечных слоений 23

12 2 Эквивалентная конструкция надстроечного слоения 27 1 3 Различные характеризации надстроечных слоений 32

13 1 Характеризация в классе двуслосний 32 13 2 Характеризация с помощью связности Эресмана 34

13 3 Характеризация в классе вполне геодезических слоений 36

1 4 Критерий изоморфности надстроечных слоений 38

14 1 Доказательство критерия изоморфности надстроечных сло-

ений в категории слоений 38

14 2 Следствия из критерия изоморфности 42

2 Графики надстроечных слоений 45

2 1 График слоения 45

2 11 Группа голономии слоя 45

2 12 Определение графика 48

2 2 Хаусдорфовость графика надстроечноего слоения 53

2 2 1 Интерпретация групп голономии 53

2.2.2 Критерий хаусдорфовости графиков надстроечных слоений . 56

2.3 Надстроечные слоения с нехаусдорфовыми графиками ..............59

2.3.1 Допустимые для надстройки поверхности......................59

2.3.2 Надстроечные слоения на ориентируемых поверхностях ... 63

2.3.3 Надстроечные слоения на неориентируемых поверхностях . 70

3 Топологическое пространство надстроечных слоений 73

3.1 Типичность хаусдорфовости графика..................................73

3.1.1 Подпространство надстроечных слоений........................73

3.1.2 Типичность хаусдорфовости графика в пространстве одномерных надстроечных слоений....................................74

3.2 Структурная устойчивость надстроечного слоения....................79

^ 3.2.1 Пространство представлений....................................79

3.2.2 Пространство слоений............................................83

3.2.3 Вспомогательные утверждения..................................86

3.2.4 Критерий структурной устойчивости............................90

3.2.5 Следствия из критерия структурной устойчивости............93

3.2.6 Структурная устойчивость и хаусдорфовость графика .... 94

4 Обобщённые надстроечные слоения 96

4.1 Строение обобщённых надстроечных слоений..........................96

4.1.1 Понятие обобщённого надстроечного слоения..................96

4.1.2 Канонические двуслоения, накрытые произведением..........99

4.1.3 Каноническое обобщённое надстроечное слоение.......102

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 105

ЛИТЕРАТУРА 108

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Одним из способов построения слоения является предложенный Хефлигером [56] в 1962 году, алгоритм надстройки (suspension). Слоения, которые можно построить с помощью алгоритма надстройки, мы называем надстроечными.

Надстроечные слоения изучались Тёрстоном и Хиршем [60] с точки зрения слоёных расслоений. В теории динамических систем важную роль играет вариант надстройки [35], с помощью которого строятся специальные потоки над диффеоморфизмами. Надстройка использовалась для построения примеров слоений с «экзотическими» свойствами. Так Данжуа (см. например [38], §7) посредством надстройки сконструировал поток класса С1 на двумерном торе, определяющий одномерное слоение с исключительным минимальным множеством.

Блюменталь и Хебда [45] ввели понятие связности Эресмана для слоений как естественное обобщение понятия связности для расслоений. Слоениям со связностью Эресмана посвящены работы Волака, Шурыгина, Жуковой, Мал ахал ьцева и других. Надстроечные слоения образуют подкласс слоений с интегрируемой связностью Эресмана.

Как известно, на многообразии М с надстроечным слоением Т существует риманова метрика д, относительно которой (М,}г) — вполне геодезическое слоение, то есть каждый его слой — вполне геодезическое подмногообразие риманова многообразия (М,д).

Вполне геодезическим слоениям на римановых многообразиях посвящены работы Карьера, Жиса [55], Джонсона [61], Блюменталя и Хебды [46], Кейрнса, [49] и других.

Понятие группоида голономии слоения введено Эресманом в 1955 году. Позднее Винкельнкемпером [76] была предложена эквивалентная конструкция, названная им графиком слоения.

График G(J-) гладкого слоения Т коразмерности q на п мерном многообразии М несёт в себе информацию о росткововых группах голономии слоения (М, Т) и является линейно связным, вообще говоря нехаусдорфововым, (2п — q)-

мерным многообразием того же класса гладкости, что и слоение Т.

График применялся: Винкельнкемпером [77] — при оценке количества концов универсального слоя риманова слоения на односвязных компактных многообразиях; Волаком [79] — при решении аналогичной задачи для слоений с транс-версальной системой дифференциальных уравнений; Жуковой[14, 82] — при исследовании локальной устойчивости компактных слоёв слоений.

Конн [50] построил С*-алгебры комплекснозначных функций, заданных на группоиде голономии слоения (М, Т) и заложил основы некоммутативной

геометрии слоений (см. обзор Кордюкова [31]). В работах, где С*-алгебры применяются для исследования топологических свойств слоений, нехаусдорфовость графика выступает препятствием, которое либо обходится нетривиальным образом (Конн), либо изначально предполагается хаусдорфовость многообразия С(Т) (Гектор [57], Фак и Скандалис [54]).

В этом контексте важно выделить те классы слоений, которые имеют хау-сдорфов график. Винкельнкемпером [76] был доказан общий критерий хаусдорфовости графика слоения в терминах локальных голономных диффеоморфизмов.

Для топологизации множества слоений существуют два подхода. Первый — Сг-топология, являющаяся обобщением Сг-топологии для множестве динамических систем. Второй — специфическая для слоений топология, введённая Хиршем [59] и Эпштейном [52]. Последняя топология учитывает не только близость касательных пространств к слоям, но и близость их голономий.

Понятие структурной устойчивости введено Андроновым и Понтрягиным [2]. Структурная устойчивость диффеоморфизмов и потоков на компактных многообразиях является одной из центральных проблем качественной теории динамических систем.

ных многообразиях начато Палисом [69]. Им был приведён без доказательства критерий структурной устойчивости надстроечных слоений на компактных многообразиях. Структурная устойчивость слоений изучалась так же в статьях Леви и Шуба [65], Жуковой [17].

Орбифолдфы можно рассматривать как многообразия с особенностями. Они введены Сатаки [74] и нашли применение в теоретической физике. Двумерные орбифолды использовал Тёрстон [75] для классификации трёхмерных многообразий. Орбифолды возникают так же в теории слоений как пространство слоёв для слоений некоторых классов [15].

Всё выше сказанное говорит об актуальности темы диссертации.

Цель диссертационной работы. Исследование надстроечных слоений:

— в теоретико-множественном аспекте;

— в топологическом аспекте;

• с точки зрения структурной устойчивости, применительно:

— к слоениям с хаусдорфовыми и нехаусдорфовыми графиками,

— к общим надстроечным слоениям;

• с точки зрения возможности обобщения конструкции надстройки.

Научная новизна. Все результаты, выносящиеся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказательство критерия изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений Toi™ (теорема 1.4.1)

2. Доказательство эквивалентности хаусдорфовости графика G{T) надстроечного слоения (M, Т) Sus(B,T, р) квазианалитичности действия его структурной группы Ф := Imp на трансверсальном многообразии Т (теорема 2.2.2). Построение на основе этого результата двух континуальных семейств попарно неизоморфных вполне геодезических слоений с хаусдорфовыми и нсхаусдорфо-выми графиками на каждой из следующих компактных локально евклидовых поверхностей: торе, цилиндре, листе Мёбиуса, и бутылке Клейна (теорема 2.3.1).

3. Доказательство структурной устойчивости представления

p:7r1(B,b0)^Diff(T),

в пространстве представлений Ar(ni(B,bo),T), задающего структурно устойчивое слосние (M, Т) = <Sus(T, В,р) в пространстве слосний Tolrq(M) (предложение 3.2 1).

Апробация. Результаты диссертации докладывались, на международной летней школе-семинаре «Современные проблемы теоретической и математической физики» в Казани в 1999, 2001, 2002, 2003 гг ; на международной конференции «Лап-тевские чтения» в Москве (МГУ) в 2000 г ; в весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XIII» в Воронеже в 2002 г, на международной конференции «Дифференциальные уравнения и динамические системы» в Суздале в 2004 и в 2010 гг., на Четвёртой молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские

чтения» в Казани в 2005 г., на международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ», проводимой Институтом математики с ВЦ УНЦ РАН на Южном Урале в 2009 году.

По теме диссертации делались доклады: на «Итоговой научной конференции ННГУ» в Нижнем Новгороде в 1999, на геометрических семинарах кафедры геометрии и высшей алгебры ННГУ (рук. проф. Е.И. Яковлев) в 1999-2013 гг

Исследования по теме диссертации вошли в научные проекты, поддержанные следующими грантами в которых диссертант являлся исполнителем 2001— 2003 гг. Грант РФФИ «Слоение и расслоение со связностями» проект № 01-01-590-а; 2009-2011 гг. ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», контракт №1495; 2012-2013 гг ФЦП «Научные и научно-псдагогическис кадры инновационной России на 2012-2013 годы», контракт № 14.В37.21.0361.

Публикации по теме диссертации и вклад соискателя. По теме диссертации опубликовано 15 работ. Среди них 6 статей, из которых 4 входят в издания, рекомендованные ВАК РФ. Две работы написанны единолично, остальные совместно с научным руководителем.

Во всех совместных работах с научным руководителем вклад каждого из соавторов составляет 50 %

Все результаты, выносимые на защиту, получены Чубаровым Г.В самостоятельно

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, заключения и четырёх глав основного текста, разбитых на 10 разделов (4 в первой главе 3 во второй и 2 в третьей и 1 в четвертой) 10-ти рисунков и списка литературы из 81 наименований. Общий объём работы 116 стр.

Краткое содержание работы Во введении обоснована актуальность темы, дан краткий обзор литературы по вопросам, рассмотренным в диссертации, сформулированны цели, методы и

основные результаты диссертации, кратко описано её содержание, приведён список публикаций автора по теме диссертации.

Раздел 1.1 носит реферативный характер. В нём даётся определение слоения и связности Эресмана для слоений, вводится категория Сг-слоений ТоГ^, морфизмами в которой служат Св-диффеоморфизмы, где я < г, переводящие слои в слои (определение 1.3.3).

Раздел 1.2 посвящён описанию двух подходов к определению надстроечного слоения и доказательству их эквивалентности. Для построения надстроечного слоения нужно задать два гладких многообразия В и Т размерности р ид соответственно и гомоморфизм р : -к^В^Ъо) —>■ -Ог//г(Т) фундаментальной группы многообразия В в группу'глобальных диффеоморфизмов многообразия Т. Введём обозначения С := 7Т1(В,Ь) и Ф :=

Пусть / : В —>■ В — универсальное накрывающее отображение, рассматриваемое как главное расслоение со структурной группой С и базой В. Гомоморфизм р задаёт левое действие группы С на многообразии Т, поэтому можно построить [30] расслоение М(В, С, Т, В), ассоциированное с главным. Действие дискретной группы С на ВхТ сохраняет тривиальное р-мерное слоение F := {В х {£} | I € Т} произведения ВхТ. Поэтому фактор-отображение /о : ВхТ—> (ВхТ) /С = М индуцирует на (р + д)-мерном фактор-многообразии М гладкое р-мернос слоснис Т, слои которого трансверсальны слоям расслоения р : М —> В.

Пара (М, Т) называется надстроечным слоением и обозначается нами через <5)118(Т,В,р). Субмерсия р : М —» В называется трансверсалъным, расслоением, Т — полной трансе ер салью. Группа диффеоморфизмов Ф := р(С) многообразия Т называется структурной группой надстроечного слоения (М,Т).

Предположения. Везде далее предполагается, что Т компактно, а группа С имеет конечное число образующих.

В разделе 1.3 надстроечные слоения охарактеризованны в классе двусло-

ений (предложение 1.3.2) и в классе слоений со связностью Эресмана (предложение 1.3.3). Здесь доказано также, что слоение (М, Т) трансверсальнос слоям субмерсии р : М —¥ В со связными компактными слоями, является надстроечным тогда и только тогда, когда на М существует полная риманова метрика д, относительно которой (М,Т) — вполне геодезическое слоение (предложение 1.3.5).

Раздел 1.4 посвящён доказательству следующего критерия изоморфизма надстроечных слоений в категории слоений, который выносится на защиту (пункт !)•

Теорема 1.4.1. Пусть

1) (М,Т) = <5иа{Т,В,р) и (М',Я) = 5ив(Т', В', р') - надстроечные С'-слоения;

2) С, С — группы накрывающих преобразований универсальных накрытий для слоёных многообразий М и М' соответственно;

3) <72 : О —О2, ^ • —У О2 — естественные эпиморфизмы, на индуцированные группы диффеоморфизмов и С2 многообразий Т и Т' соответпсвенно. Слоения (М,Т) и (М',ТГ) изоморфны в категории То!,7'0, г >1, т,огда и только тогда, когда существуют:

1) С8-диффеоморфизмы, где в > 0 и : В х Т ->• В' х Т' и V : Т Т';

2) изоморфизмы групп р : С —>■ & и х ¿2 —&2,

которые для любого д £ О удовлетворяют коммутативной диаграмме:

92(9) ^

Т-

рг 2

РГ2

В х Т-

В х Т

В' х Т'

я '*Ш)=хЫ9))

В главе 2 доказывается критерий хаусдорфовости графика надстросчно-

го слоения и на его основе даётся теоретико-множественная оценка соотношения между множествами бесконечно гладких надстроечных слоений с хаусдорфовым и нехаусдорфовым графиком на компактных поверхностях.

Раздел 2.1 посвящён описанию базовых для главы 2 понятий, таких как группа ростковой голономии Г(L, х)) группа 9Я-голономии х), график сло-

ения (группоид голономии) G(J-) (определение 2.1.3). Кроме того, в нём приводится пример надстроечного строения, имееющего нехаусдорфов график (пример 2.1.1).

В подразделе 2.2.1 доказывается, что расслоение М(В,Т,тт1(В,Ьо), В) с проекцией р : М В, трансверсальное надстроечному слоению (М,Т) = Sus(T, В, р), где Т = р_1(р(ж)) имеет группу голономии Ф(ж), изоморфную структурной группе Ф = p(i:i(B, bo)). Группа 9Л-голономии H<m(L,x) слоя L = L(x) слоения (М, Т) изоморфна группе изотропии Фж структурной группы Ф, а ростковая группа голономии Г(L, х) образована ростками диффеоморфизмов из группы изотропии Ф-j; в точке х (теорема 2.2.1).

Теорема 2.2.2. Если (М.Т) := Sus(B,T, р) — произвольное надстроечное слоение на многообразии М со структурной группой Ф := Imp, то график слоения G(F) хаусдорфов тогда и только тогда, когда группа Ф действует на многообразии Т квазианалитически.

Следствие. Если для надстроечного слоения (М, Т) := Sus(B,T, р) выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

а) все стационарные подгруппы структурной группы Ф конечны;

б) фундаментальная группа многообразия М конечна;

в) фундаментальная группа многообразия В конечна,

то график G(J-) этого слоения хаусдорфов (следствия 2.2.1 - 2.2.3).

В разделе 2.3 доказывается, что среди двумерных поверхностей нетривиальные надстроечные слоения