Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях

Починка, Ольга Витальевна

Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Починка, Ольга Витальевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях»

Автореферат диссертации на тему "Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях"

На правах рукописи

Починка Ольга Витальевна

КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

МОРСА-СМЕЙЛА

С КОНЕЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ

ГЕТЕРОКЛИНИЧЕСКИХ ОРБИТ НА 3-МНОГООБРАЗИЯХ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н. Новгород, 2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики и теоретической механики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. 3. Гринес.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Белых, доктор физико-математических наук, профессор Л. М. Лерман.

Ведущая организация:

Математический Институт им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Защита состоится .2004 г. в(.%Ласов на заседаниидиссертаци-

онного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского Государственного университета (603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23).

Автореферат разослан ".'..Т*. и^&лЛ2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем (каскадов), заданных на замкнутых трехмерных ориентируемых многообразиях, и охватывает исследования автора начиная с 1998 года.

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из основных разделов качественной теории динамических систем — нахождению топологических инвариантов, определяющих разбиение многообразия на траектории с точностью до топологической эквивалентности.

В размерности 1 классификация структурно устойчивых потоков на оружности тривиальна. Классификация структурно устойчивых каскадов на окружности была получена Майером. Эти результаты были независимо повторены В. И. Арнольдом и В. А. Плиссом.

На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых потоков была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, Л. С. Понтрягина. Фундаментом для этого явились идеи Пуанкаре-Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтрягину.

Обобщением этих результатов явилась топологическая классификация структурно устойчивых потоков на поверхностях, полученная М. Пейксото. Полным топологическим инвариантом в этом случае явился некоторый граф, обобщающий понятие схемы потока на сфере, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. Грубые потоки на двумерных поверхностях характеризуются тем, что они имеют конечное число гиперболических состояний равновесия, конечное число замкнутых гиперболических траекторий и не содержат незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, а также траекторий, соединяющих два седловых состояния равновесия. В силу этого такие потоки представляют класс динамических систем, для которого получена исчерпывающая топологическая классификация.

РОС. НАЦ БИБЛ СП«

СПс ОЭ

♦

существование гомоклинических траекторий у структурно устойчивых систем, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.

Этот феномен, обнаруженный в работах Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах послужил толчком к выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой. Хорошо известными представителями таких систем стали Y-системы Д. В. Аносова и системы, удовлетворяющие аксиоме А С. Смейла. Параллельно изучались топологические и метрические свойства систем, исследовались различные аспекты, связанные с понятиями структурной устойчивости и типичности, нахождением необходимых и достаточных условий структурной устойчивости, различными модификациями гиперболичности и теории бифуркаций. Одновременно активно изучались динамические системы, не являющиеся гиперболическими в строгом смысле, но обладающие предельными притягивающими множествами (странными аттракторами) состоящими из траекторий с хаотическим поведением.

Всеми этими вопросами занимались ведущие отечественные и зарубежные математики такие, как Д. В. Аносов, В. М. Алексеев, В. И. Арнольд, С. X. Арансон, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю. С. Ильяшенко, Л. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисе, Р. В. Плыкин, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильников, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орнстейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многие другие.

Принципиальное отличие в топологической классификации многомерных структурно устойчивых систем по сравнению с классификацией грубых потоков на поверхностях заключается в том, что топологический тип как самих систем, так и их сложных предельных инвариантных множеств, уже не определяется конечным числом траекторий, и для нахождения топологических инвариантов приходится привлекать разнообразные методы символической динамики, теории групп, топологии и геометрии.

название систем Морса-Смейла. Причем вначале был введен класс систем Морса-Смейла, а затем было установлено, что этот класс состоит из структурно устойчивых систем.

Хотя усилия по классификации систем Морса-Смейла и не сравнимы с усилиями, затраченными на классификацию систем со счетным множеством периодических движений, тем не менее, интерес к изучению систем Морса-Смейла остается достаточно велик. Это объясняется по крайней мере двумя причинами. Во-первых, после того, как удается получить законченные классификационные результаты для нетривиальных базисных множеств некоторого типа, появляется возможность получения полного инварианта для классов систем, неблуждающие множества которых содержат такие базисные множества. Во-вторых, задача топологической классификации систем Морса-Смейла представляет и самостоятельный интерес, так как такие системы являются адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют эффекты, связанные с хаотическим поведением на неблуждающем множестве, и также требуют математического описания.

Сразу следует отметить, что хотя неблуждающее множество систем Морса-Смейла состоит из конечного множества периодических траекторий, блуждающее множество потока (каскада) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Это связано с возможностью существования особых блуждающих траекторий, принадлежащих пересечению устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических траекторий и называемых гетероклиническими траекториями.

Для потоков Морса-Смейла с бесконечным множеством гетероклинических траекторий не существует полных классификационных результатов. В. С. Афраймович и Л. П. Шильников доказали, что ограничение потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

грубые потоки на поверхностях без замкнутых траекторий. Оказалось, что топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов тесно связана с топологической классификацией периодических отображений поверхностей. Используя этот факт А. Н. Безденежных и В. 3. Гринесом была получена топологическая классификация ориентируемых градиентноподобных диффеоморфизмов поверхностей вместе с реализацией классов топологической сопряженности.

В том случае, когда диффеоморфизм Морса-Смейла обладает гстсроклиническими траекториями, вопрос о топологической классификации значительно усложняется. А. Н. Безденежных и В. 3. Гринесом были найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими множествами на языке различающих графов. В. 3. Гринесом получены полные топологические инварианты для диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных замкнутых ориентируемых многообразиях с конечным множеством гетероклинических траекторий. Новый топологический инвариант в духе работ М. Шуба и Д. Сулливана, найден Р. Ланжевеном для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемых поверхностях в случае, когда все периодические точки неподвижны и седловые неподвижные точки имеют отрицательный индекс. Вопрос о достаточных условиях топологической сопряженности Р. Ланжевеном не затрагивался, однако именно этот подход получил свое развитие при классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3- многообразиях.

Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях при наличии счетного множества гетероклитнических орбит получена Хр. Бонатти и Р. Ланжевеном с привлечением аппарата топологических цепей Маркова.

Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется небольшое число законченных результатов. Среди них отметим результат Ж. Флейтаса, который дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной, источниковой и 2к,к > 2 седловых особенностей. Я. Л. Уманским найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-

Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Дж. Френксом для потоков Морса-Смейла без особенностей получены неравенства, подобные неравенствам Морса, полученным С. Смейлом. Д. Азимовым найдены необходимые и достаточные условия, позволяющие определить, когда данное п-многообразие, П > 4, допускает такие потоки. Для случая п = 3 Дж. Морганом была изучена топологическая структура трехмерных многообразий, допускающих потоки-без особенностей.

Следует также отмстить, что в неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались Л. М. Лермапом и Л .П. Шильниковым, которые построили инварианты равномерной сопряженности таких систем.

Принципиальное отличие в топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерных многообразиях по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях обусловлено возможностью дикого вложения сепаратрис седловых точек в окрестности стока или источника. Примеры такого нетривиального вложения были построены Д. Пикстоном, Хр. Бонатти и В. 3. Гринесом.

Хр. Бонатти и В. 3. Гринесом получена топологическая классификация диффеоморфизмов трехмерных многообразий, неблуждающее множество которых состоит ровно из четырех неподвижных точек: двух стоков, одного источника и одного седла. Каждому диффеоморфизму рассмотренного класса ставится в соответствие узел вложенный в многообразие 82 x 8' и классификация таких диффеоморфизмов эквивалентна классификации соответствующих узлов.

Следующим принципиальным шагом стал результат Хр. Бонатти, В. 3. Гринеса, В. С. Медведева и Е. Пеку, устанавливающий, что замкнутое трехмерное ориентируемое многообразие допускает диффеоморфизм Морса-Смсйла без гетероклинических кривых (условие отсутствия гетероклинических кривых эквивалентно отсутствию пересечений двумерных устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек) тогда и только тогда, когда оно является либо сферой Б3, либо связной суммой конечного числа копий

Развитием этих идей явилась топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов, допускающих пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек

по конечному множеству гетероклинических кривых.

Первым шагом в изучении диффеоморфизмов Морса-Смейла с гетсроклиническими орбитами на 3-многообразиях (то есть не являющихся градиентноподобными) стали работы Хр. Бонатти, В. 3. Гринеса и О. В. Починки, в которых получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов, заданных на 3-многообразии, неблуждающее множество которых состоит в точности из шести точек и блуждающее множество не содержит гетероклинических кривых.

В настоящей диссертации рассматривается класс О сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерном гладком замкнутом ориентируемом многообразии М и удовлетворяющих следующим условиям:

1) множество гетероклинических орбит диффеоморфизма / б С? конечно;

2) блуждающее множество диффеоморфизма / 6 С не содержит гетероклинических кривых.

Цель работы состоит в разработке топологических и геометрических методов исследования нелокальных свойств каскадов из класса О и применении этих методов для их топологической классификации.

Методы исследования. В диссертации использованы методы качественной теории динамических систем, топологии и геометрии.

Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — получение и изучение топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий каскадов на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях и применение этих инвариантов к топологической классификации каскадов на них.

Автором получены следующие новые результаты.

1) Найден новый топологический инвариант каскадов на А/, названный гетероклинической J-ламинацией, определяющий топологию пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек, пересекающихся по конечному множеству гетероклинических траекторий и несущий информацию о вложении сепаратрис седловых точек в объемлющее многообразие.

2) Для каждого диффеоморфизма / из класса О диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий и без

гетероклинических кривых на 3-многообразии М сконструировано связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие М/, представляющее из себя прстранство орбит ограничения диффеоморфизма на многообразие получающееся из объемлющего многообразия путем удаления одномерных сепаратрис седловых точек и узловых точек диффеоморфизма Установлено, что фундаментальная группа многообразия М/ допускает нетривиальный эпиморфизм ам : —> Z.

3) Каждому диффеоморфизму /6 С поставлен в соответствие топологический инвариант — схема диффеоморфизма =

— проекция двумерных неустойчивых (устойчивых) многообразий седловых точек на многообразие Введено понятие эквивалентности схем и установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса О является эквивалентность их схем. Для построения гомеоморфизмов, сопрягающих два диффеоморфизма, из исследуемых в работе классов, был развит метод продолжения гомеоморфизмов путем введения слоений. Исследована связь схемы диффеоморфизма со структурой пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек и заузленностью сепаратрис.

4) Введено понятие проколотых, не проколотых поверхностей и гетсроклинических -ламинаций на произвольном замкнутом ориентируемом 3-многообразии фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Определена операция разрезания и склеивания на многообразии N вдоль множества А'. состоящего из попарно не пересекающихся не проколотых поверхностей и гетероклинических ламинаций. Описана структура фундаментальной группы многообразия

являющегося результатом этой операции.

5)Введено понятие совершенной схемы, представляющей из себя набор 5 = {М,а, Л", Л*), где Л/" — связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие, а : ^{АГ) —> Ъ — эпиморфизм и Л", Л* — непересекающиеся подмножества многообразия N такие, что для каждого <$ € {и, я} множество Л4 либо пусто, либо является объединением попарно не пересекающихся гстсроклинических ламинаций и не проколотых поверхностей таких, что каждая компонента связности многообразий Л/д» и Л/д* диффеоморфна многообразию & х 51. Установлено, что схема любого диффеоморфизма

является совершенной.

6) Построены модели инвариантных слоений в окрестностях ссдловых точек, представляющие из себя расслоенные 3-многообразия У(То), У'(Ко) и ^(5*), где К(То) (У(Ко)) — трубчатая окрестность тора (бутылки Клейна), 1^(5') — заполненный тор. Установлены топологические факты, связанные с возможностью построения на этих многообразиях гомеоморфизма на себя, совпадающего на некотором подмножестве с заданным и сохраняющего слои введенных слоений.

7) Решена проблема реализации, то есть по каждой совершенной схеме построен диффеоморфизм схема которого эквивалентна данной.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании конкретных трехмерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также четырехмерных потоков, с помощью изучения отображения последования на секущей к траекториям потока.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях:

— на международной конференции, посвященной столетию А.Н. Колмогорова (Москва 2003);

— на объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы"(Казань 2003);

— на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2000, 2002);

— на международной конфереции, посвященной столетию А.А. Андронова (Нижний Новгород 2001);

— на международных конферециях "Дифференциальные уравнения и их приложсния"(Саранск 2002, 2003).

По теме диссертации были также сделаны следующие доклады:

— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений МГУ (2004, руководитель проф. Ю. С. Ильяшснко);

— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений и динамических систем при МГУ (2003, руководители акад. Д. В. Аносов и проф. А. М. Степин);

— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ» прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2003, руководитель проф. Л. П. Шильняков);

— на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской Сельскохозяйственной академии (2002, 2003, руководитель проф. В. 3. Гринес).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 10 работ. Все основные результаты диссертации являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [1] - [10]. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринссу принадлежит постановка задачи и общее руководство, Хр. Бонатти являлся консультантом по вопросам трехмерной топологии и теории слоений.

Структура диссертации: оглавление, введение и история вопроса, формулировка результатов, три главы, заключение, список литературы. Объем диссертации: 104 стр., И рис., 70 наименований литературы. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1.1, 2.1 и 3.1.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы и основные результаты.

В первой главе вводится основной инвариант топологической сопряженности — схема диффеоморфизма, принадлежащего классу О и устанавливается, что схема есть топологический инвариант с точностью до эквивалентности. Вводится понятие абстрактной схемы на связном замкнутом ориентируемом 3-многообразии М, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм на группу Z. Определяются операции разрезания и склеивания на многообразии ЛГ, позволяющие выделить класс 8 совершенных схем. Доказывается, что схема любого диффеоморфизма /6 С принадлежит 8.

Пусть / : М -> М — диффеоморфизм из класса О. Обозначим через множество периодических точек диффеоморфизма через и Л — подмножества множества О, состоящие из седловых и узловых точек, соответственно; через Е* (Е') подмножество множества Е, состоящее из седловых точек, неустойчивое (устойчивое) многообразие которых является двумерным; через подмножество множества состоящее из

источниковых (стоковых) точек. Для любого подмножества А множества определим неустойчивое (устойчивое) многообразие как

объединение неустойчивых (устойчивых) многообразий всех точек множества Л.

Положим С4 = И^Д* и £'), С' = И"(Д" и Е") и М = М \ (С и С"). Введем на многообразии Л4 отношение эквивалентности условием: точки х,у £ М. — эквивалентны, если и только если существует число п € Ъ такое, что у ~ /"(х). Будем обозначать через М{ множество классов эквивалентности и через рМ)'М —> Л4/ естественную проекцию, ставящую в соответствие любой точке х € М се класс эквивалентности.

Лемма 1.3.1. Для каждого диффеоморфизма /еС факторпространство М/ является связным замкнутым ориентируемым 3-многообразисм.

Проекция рМ/:М —► М/ является накрытием, которое определяет эпиморфизм аМ/ : щ(М/) -> 2 со следующим свойством: любая кривая в М, соединяющая некоторую точку х с точкой /п(х), проектируется в замкнутую петлю с на М/ такую, что аи ([с]) = п. Положим Л"(/) = \ и Л*(/) = ^(И"^') \ ^«(Е')).

Определение 1.3.1. Набор 5(/) = (Л</,аЛ1/,Л"(/),Л*(/)) называется схемой диффеоморфизма /бб.

Определение 1.3.2. Схемы 5(/) = {М1,аМ/,Аи(/),А,(/)) и = > Л"(/'), Л*(/')) диффеоморфизмов /,/' € б, соответственно, назинаются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм : Л4] -¥ удовлетворяющий условиям:

2) у(Л"(/)) = Л«(Л, ^(Л'(/)) = Л'(/').

Лемма 1.3.3. Схема 5(/) есть инвариант топологической сопряженности с точностью до эквивалентности.

Следующие объекты позволяют описать структуру множеств Л"(/) и

Л'(/).

Пусть То - стандартный двумерный тор и простые замкнутые кривые ат, 6Т являются образующими фундаментальной группы тг^То); Ко -стандартная бутылка Клейна и простые замкнутые кривые вк, Ьк являются образующими фундаментальной группы тгЦКо) с соотношением [ак][Ьк] = [6к]-,[ак]. Для т > 0 положим Хт = 0 (Кт = 0), если т — 0 и Хт = {х1,...,Хт} (Ут = {у1 , ...,ут}) — множество, состоящее из т различных точек, принадлежащих То (Ко) и не принадлежащих кривым о,, 6Т (ак, 6К), если т 6 N. Положим Тт = Т0\ЛГт ( Кт = Ко\Ут) и К(Тт) = Тт X [-1,1] и И(Кт) - ориентируемое многообразие, которое является неориентируемым расслоением с базой Кш и слоем [—1,1].

Оснастим трехмерные многообразия V(To) и V(Ko) двумерными слоениями следующим образом:

• Рассмотрим многообразие С = R X S1 X [—1,1] и диффеоморфизмы h+ : С —> С и Л_ : С —> С, заданные формулами:

A+(r,e^t) = (r + 2,e^t),

Mr,é^,<) = (r + l>e-^,-í).

Заметим, что пространства орбит действий Л+ и Л_ совпадают с многообразиями V(To) и К(Ко), соответственно. Обозначим через р+ : С —> V(To) и р- : С —¥ К(Ко) естественные проекции.

• Пусть — стандартное двумерное слоение в R3, состоящее из плоскостей, параллельных плоскости XOY. Положим U = {(х, у, г) € R3 : (i2 + У2)«2 < 1}.

Пусть а„+ : R3 -> R3, а,+ : R3 -> R3, а„_ : R3 R3, а,_ : R3 ->• R3 -

линейные диффеоморфизмы, заданные формулами:

= (4х,4у,|), а»- {х, у, г) = (2z,-2j/,-¡),

Для любого S б {в, и}, е 6 {+,—} точка О(0,0,0) является неподвижной седловой точка диффеоморфизм age, множество U является о&-инвариантным и диффеоморфизм переводит слои слоения в слои этого же слоения.

Положим U° = U\ OZ и обозначим чере^^раничение слоения на множество

Рассматрим диффеоморфизмы ф„ : —¥ С и ф, : U0 —> С, заданные формулами:

Заметим, что ф{ сопрягает ограничение диффеоморфизма а$е на U0 с диффеоморфизмом h£. Обозначим через Ъобразы слоения

Н2

относительно отображения p¡+ = р+ о ф( : U° —> V(To), p¡- = Р- о Фг '■ U° -> V(Ko).

Пусть N — связное гладкое ориентируемое замкнутое 3-многообразие, чья фундаментальная группа 1Г\ (АГ) допускает эпиморфизм на группу Z. Зафиксируем эпиморфизм а : тп(Л0 Ъ и определим объекты, которые будут использованы в дальнейшем для описания структуры схемы диффеоморфизма / € С.

Определение 1.4.3. Подмногообразие Тт (Кт) многообразия N называется тором (бутылкой Клейна ) на многообразии Ы, если существует гомеоморфизм : Тт —► Тт ( 1/Кт : Кт —> Кт). Далее £) будет обозначать либо Т, либо К. Если т = 0 (т ф 0), то С}т = (Qm) называется не проколотой (проколотой) поверхностью на многообразии N.

Определение' 1.4.4. Подмногообразие многообразия N

называется трубчатой окрестностью поверхности С?т = ^„(Рт)) если существует гомеоморфизм ц^ : ~> У(Ят) такой, что ^„„1,,,, =

Образ относительно отображения любой простой замкнутой кривой

гомотопной I

мы называем

меридианом

В дальнейшем мы будем рассматривать только поверхности (¡т = ^„(Рт) вложенные в многообразие Л^ следующим образом:

«(КК)])>о, «(КА)]) = о. п

Определение- 1.4.5. Пусть 6 6 и £ — объединение

попарно непересекающихся поверхностей (торов и бутылок Клейна) на многообразии N. Множество Ь называется гстсроклинической ¿-ламинацией на многообразии N, если:

1) X — связное компактное множество;

2) Ь = Ьп О Ьр, где Ьп — непустое объединение не проколотых поверхностей, содержащее не более одной бутылки Клейна и Ьр — непустое объединение проколотых поверхностей;

3) Каждая не проколотая поверхность Оо € Ъп имеет окрестность такую, что, если К((?о) Л ф 0 Для некоторой проколотой поверхности

пересекается в точности с одной компонентой связности множества У((2о) \ Qo и П Qт) является объединением конечного

числа слоев слоения (соответственно, если — тор или бутылка

Клейна).

Пусть Л", Л* — непересекающиеся подмножества многообразия Л^ такие, что для каждого в 6 {и, з} множество Л* либо пусто, либо является обЪединеиисм попарно непересекающихся гстсроклинических ¿-ламинаций и не проколотых поверхностей.

Определение 1.4.6. Набор 5 = (Л/",а, Л", Л') называется абстрактной схемой.

Определение 1.4.7. Две абстрактные схемы 5 = (М, а, Л", Л*) и 5' =

(ЛГ', Ы, Л"*, Л") называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм <р: М Н' со следующими свойствами:

2) у>(Л") = Л'», <р(А') = \".

На многообразии N вводится операция разрезания и склеивания вдоль множества Л*. Мы обозначаем через многообразие, полученнное в результате этой операции.

Определение 1.4.8. Абстрактная схема 5 = (М,а, Л", Л*)называется совершенной схемой, если каждая компонента связности многообразий Л/д« и .Л/л» диффеоморфна многообразию 52 х 51. Обозначим через 8 множество всех совершенных схем.

Основным результатом первой главы является следующая теорема. Теорема 1.1. Для любого диффеоморфизма / € С схема £(/) является совершенной схемой.

Во второй главе доказываются топологические леммы, которые используются в дальнейшем для доказательства следующей теоремы.

Теорема 2.1. Диффеоморфизмы /,/' е й топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны.

Третья глава посвящена построению по заданной совершенной схеме стандартного представителя в каждом классе топологически эквивалентных систем. Основным результатом этой главы является теорема о реализации.

Теорема 3.1; Для каждой совершенной схемы 5 6 Б существует диффеоморфизм Морса-Смейла / С в, схема которого эквивалентна 5.

Основные публикации по теме диссертации.

{1] Бонатти Хр., Гринес В. 3., Починка О. В. Классификация

диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях. ДАН, т. 396, N0 4, (2004). [2] Бонатти Хр., Гринес В. 3., Починка О. В. Классификация

простейших не градиентноподобных диффеоморфизмов на 3-многообразиях. Современная математика и ее приложения. Институт кибернетики АН Грузии, т. 7, (2003), 43 - 71.

[3j Pochinka О. V. On topological conjugacy of the simplest Morse-Smale diffeomorphisms with a finite number of heteroclinic orbits on S3. Progress in nonlinear science, v. 1, (2002), 338 - 345.

[4j Починка О. В. Новые геометрические инварианты диффеоморфизмов Морса-Смейла. Труды объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы", Казань, (2003), 149 - 153.

|5j Починка О. В. Классификация неградиентноподобных диффеоморфизмов с конечным числом гетероклинических орбит на 3-многообразиях. Труды средневолжского математического общества, Саранск, Т. 5, No 1, (2003), 104 - 109.

|6) Pochinka О. V. Classification of the simplest nongradient-like diffeo-morphisms on three-manifolds. Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика", Москва, (2003), 81 - 82.

[7j Pochinka О. V. Realization of gradientlike diffeomorphisms with given sheme of sink fixed point on 3-sphere. Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, (2000).

[8J Починка О. В. О классификации неградиентноподобных диффеоморфизмов. Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим- системам, Суздаль, (2002), 108 - 110.

|9| Починка О. В. О топологической сопряженности простейших диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит на многообразии 53 классификации неградиентноподобных диффеоморфизмов. Труды средневолжского математического общества, Саранск, Т. 3 - 4, No 1 (2002), 138 - 142.

|10| Починка О. В. Локальные топологические инварианты каскадов на 2,3-многообразиях. Тезисы докладов шестой нижегородской сессии молодых ученых, Саров, (2001), 84 - 86.

Подписано в печать 31.03.2004. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тир. 100 экз. Зак. 445.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лицензия № 18-0099. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Починка, Ольга Витальевна

Введение. История вопроса

Формулировка результатов

1 Введение множества топологических инвариантов

1.1 Основные определения.

1.2 Вспомогательные факты.

1.3 Определение схемы диффеоморфизма / G G.

1.4 Совершенная схема.

1.4.1 Вспомогательные определения.

1.4.2 Операции разрезания и склеивания на многообразии Af.

1.5 Структура схемы диффеоморфизма / Е G.

1.5.1 Допустимая система окрестностей.

1.5.2 Связь динамики диффеоморфизма f £ G со схемой S(f).

2 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса G

2.1 Вспомогательные леммы.

2.2 Доказательство теоремы 2.1.

2.2.1 Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве W1(Sn).

2.2.2 Построение сопрягающего гомеоморфизма на множестве W1(SP).

3 Построение диффеоморфизма fs G G, реализующего совершенную схему S € S

3.1 Присоединение седловых точек.

3.1.1 Присоединение седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых не содержат гетероклинических точек.

3.1.2 Присоединение седловых точек, двумерные инвариантные многообразия которых содержат гетероклинические точки.

3.2 Присоединение узловых точек

Введение диссертация по математике, на тему "Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях"

Топологическая классификация динамических систем включает в себя следующие аспекты:

• нахождение топологических инвариантов для класса рассматриваемых динамических систем;

• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение множеств топологических инвариантов является необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем;

• реализация, то есть построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя в каждом классе топологически эквивалентных систем.

Приведем краткую информацию о результатах по топологической классификации структурно устойчивых потоков динамических систем с непрерывным временем) и каскадов (динамических систем с дискретным временем), заданных на замкнутых многообразиях. Более подробную информацию об этом можно найти в книгах [44], [34], а также в обзорных статьях [5], [б], [2], [3], [10], [55], [20].

В размерности 1 классификация структурно устойчивых потоков на оружности тривиальна. Классификация структурно устойчивых каскадов на окружности была получена Майером в работе [40]1.

На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых потоков была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, JI. С. Понтрягина ([8], [36], [37]). Фундаментом для этого явились идеи Пуанкаре-Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и JI. С. Понтрягину ([8]).

Обобщением этих результатов явилась топологическая классификация структурно устойчивых потоков на поверхностях, полученная М. Пейксото ([47], [48]). Полным топологическим инвариантом в этом случае явился некоторый граф, обобщающий понятие схемы потока на сфере, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. Согласно работам [8], [47], [48] грубые потоки на двумерных поверхностях характеризуются тем, что они имеют конечное число гиперболических состояний равновесия, конечное число замкнутых гиперболических траекторий и не содержат незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, а также траекторий, соединяющих два седловых состояния равновесия. В силу этого такие потоки представляют класс динамических систем, для которого получена исчерпывающая топологическая

1 Результаты этой работы были независимо повторены В. И. Арнольдом ([9]) и В. А. Плиссом ([50]). классификация.

При переходе к каскадам (динамическим системам с дискретным временем) на многообразиях размерности большей единицы или к потокам на многообразиях размерности большей двух становится возможным существование гомоклинических траекторий у структурно устойчивых систем, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.

Этот феномен, обнаруженный в работах Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах ([4], [54]), послужил толчком к выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой. Хорошо известными представителями таких систем стали У-системы Д. В. Аносова и системы, удовлетворяющие аксиоме А С. Смейла. Параллельно изучались топологические и метрические свойства систем, исследовались различные аспекты, связанные с понятиями структурной устойчивости и типичности, нахождением необходимых и достаточных условий структурной устойчивости, различными модификациями гиперболичности и теории бифуркаций. Одновременно активно изучались динамические системы, не являющиеся гиперболическими в строгом смысле, но обладающие предельными притягивающими множествами (странными аттракторами) состоящими из траекторий с хаотическим поведением.

Всеми этими вопросами занимались ведущие отечественные и зарубежные математики такие, как Д. В. Аносов, В. М. Алексеев,

B. И. Арнольд, С. X. Арансон, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю.

C. Ильяшенко, JT. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисс, Р. В. Плыкин, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, JI. П. Шильников, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орнстейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж.

Френке, М. Шуб и многие другие (см., например, [5], [6], [7], [10], [2], [3], [1], [13], [43], [52], [56], где содержится обширная библиография по данной тематике).

Так как конечное число периодических движений не является необходимым условием грубости для многомерных систем, то класс грубых систем, имеющих конечное число периодических движений, был введен специальным образом по аналогии с грубыми потоками на поверхностях. Это было сделано С. Смейлом, и такие динамические системы получили название систем Морса-Смейла ([55]). Причем вначале был введен класс систем МорсагСмейла, а затем было установлено, что этот класс состоит из структурно устойчивых систем ([46], [51]).

Согласно теореме С. Смейла о спектральном разложении, множество неблуждающих точек динамической системы, удовлетворяющей аксиоме А С. Смейла, представляется в виде конечного объединения попарно непересекающихся замкнутых инвариантных множеств, каждое из которых содержит всюду плотную траекторию и называется базисным множеством ([55]). Базисное множество, являющееся периодической траекторией, называется тривиальным, а базисное множество не совпадающее с периодической траекторией называется нетривиальным. В частности, неблуждающее множество динамической системы Морса-Смейла состоит из тривиальных базисных множеств.

Хотя усилия по классификации систем Морса-Смейла и не сравнимы с усилиями, затраченными на классификацию систем со счетным множеством периодических движений, тем не менее, интерес к изучению систем Морса-Смейла остается достаточно велик. Это объясняется по крайней мере двумя причинами. Во-первых, после того, как удается получить законченные классификационные результаты для нетривиальных базисных множеств некоторого типа, появляется возможность получения полного инварианта для классов систем, неблуждающие множества которых содержат такие базисные множества. Примерами таких результатов являются работы [30], [31], [27]. В этих работах удалось объединить информацию о поведении ограничения системы на базисные множества с информацией о поведении системы на дополнении к объединению всех нетривиальных базисных множеств, на котором система является, в некотором смысле, системой Морса-Смейла. Во-вторых, задача топологической классификации систем Морса-Смейла представляет и самостоятельный интерес, так как такие системы являются адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют эффекты, связанные с хаотическим поведением на неблуждающем множестве, и также требуют математического описания.

Для потоков Морса-Смейла с бесконечным множеством гетероклинических траекторий не существует полных классификационных результатов. В связи с этим отметим, что в работе [11] доказано, что ограничение потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

Весьма законченные результаты имеются по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных многообразиях. Простейшими представителями таких диффеоморфизмов являются введенные С. Смейлом градиентноподобные диффеоморфизмы, они не содержат гетероклинических траекторий и наиболее похожи на грубые потоки на поверхностях без замкнутых траекторий. Оказалось, что топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов тесно связана с топологической классификацией периодических отображений поверхностей. Используя этот факт в работах [14], [16], [17] была получена топологическая классификация ориентируемых градиентноподобных диффеоморфизмов поверхностей вместе с реализацией классов топологической сопряженности.

В том случае, когда диффеоморфизм Морса-Смейла обладает гетероклиническими траекториями, вопрос о топологической классификации значительно усложняется. В [15], [18] были найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла с ориентируемыми гетероклиническими множествами на языке различающих графов. При этом оказалось, что множество гетероклинических точек распадается на подмножества, каждое из которых принадлежит области гомеоморфной кольцу (гетероклиническому кольцу), граница которого есть одномерный комплекс состоящий из замыканий устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек. Диффеоморфизм в этом случае гомотопен гомеоморфизму алгебраически конечного типа по терминологии Я. Нильсена ([45]) (то есть на М существует конечное инвариантное семейство вложенных в М непересекающихся между собой областей cri,., гомеоморфных замкнутому кольцу и таких, что ограничение гомеоморфизма к f на множество А = М \ U int <т,- является периодическим i=l гомеоморфизмом).

В работе [29] получены полные топологические инварианты для диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных замкнутых ориентируемых многообразиях с конечным множеством гетероклинических траекторий. Новый топологический инвариант в духе работ М. Шуба и Д. Сулливана, найден в работе [35] для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемых поверхностях в случае, когда все периодические точки неподвижны и седловые неподвижные точки имеют отрицательный индекс. Вопрос о достаточных условиях топологической сопряженности в этой работе не затрагивался, однако именно этот подход получил свое развитие при классификации диффеоморфизмов МорсагСмейла на 3-многообразиях.

Классификация диффеоморфизмов МорсагСмейла на поверхностях при наличии счетного множества гетероклитнических орбит получена в работе [25] с привлечением аппарата топологических цепей Маркова.

Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется очень небольшое число законченных результатов. Среди них отметим работу [26] Ж. Флейтаса, в которой получена классификация полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источниковой и 2к, к > 2 седловых особенностей. В работе Я. JI. Уманского найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях ([59]). В работе [28] для потоков Морса-Смейла без особенностей получены неравенства, подобные неравенствам Морса из работы [53] (см. также [54]). В работе [12] найдены необходимые и достаточные условия, позволяющие определить, когда данное п-многообразие, п > 4, допускает такие потоки. Для случая п = 3 в работе [41] была изучена топологическая структура трехмерных многообразий, допускающих потоки без особенностей.

Следует также отметить, что в неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались в работе JI. М. Лермана и Л.П. Шильникова ([38]), в которой были построены инварианты равномерной сопряженности таких систем и доказана теорема о грубости относительно неавтономных возмущений класса неавтономных систем градиентноподобного типа. Вопросы равномерной геометризации пространств — неавтономных надстроек над диффеоморфизмами в связи с вопросом о возможности построения неавтономного векторного поля со структурой траекторий, аналогичной данному диффеоморфизму изучались в работах Л. М. Лермана и А. Г. Вайнштейна ([39]).

Принципиальное отличие в топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерных многообразиях по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях обусловлено возможностью дикого вложения сепаратрис седловых точек в окрестности стока или источника. Примеры такого нетривиального вложения были построены в работах [49], [19] (см. а) / - диффеоморфизм с тривиально вложенными сепаратрисами b) f - диффеоморфизм с дико вложенными сепаратрисами

Рис. 1: Фазвые портреты диффеоморфизмов, классификация которых получена в работе [19] рис. 1).

В работе [19] получена топологическая классификация диффеоморфизмов трехмерных многообразий, неблуждающее множество которых состоит ровно из четырех неподвижных точек: двух стоков, одного источника и одного седла. Каждому диффеоморфизму рассмотренного класса ставится в соответствие узел вложенный в многообразие S2 х S1 (см. рис. 2) и классификация таких диффеоморфизмов эквивалентна классификации соответствующих узлов.

Следующим принципиальным шагом стала работа [21], в которой установлено, что замкнутое трехмерное ориентируемое многообразие допускает диффеоморфизм Морса-Смейла без

52X5' S^S1 а) узел, соответствующий Ъ) узел, соответствующий диффеоморфизму / диффеоморфизму /'

Рис. 2: Топологические инварианты диффеоморфизмов, рассматриваемых работе [19] гетероклинических кривых (условие отсутствия гетероклинических кривых эквивалентно отсутствию пересечений двумерных устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек) тогда и только тогда, когда оно является либо сферой 53, либо связной суммой конечного числа копий S2 х S1.

Идеи работы [19] получили развитие в работах [22], [24], [23], в которых была получена топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов, допускающих пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек по конечному множеству гетероклинических кривых.

Первым шагом в изучении диффеоморфизмов Морса-Смейла с гетероклиническими орбитами на 3-многообразиях (то есть не являющихся градиентноподобными) стали работы [63] и [62], в которых получены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов, заданных на 3-многообразии, неблуждающее множество которых состоит в точности из шести точек и блуждающее множество не содержит гетероклинических кривых. Объемлющим многообразием для таких диффеоморфизмов может быть только одно из следующих многообразий: S3, S2 х S1, S2 х 5Х#52 х S1.

В настоящей диссертации рассматривается класс G сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерном гладком замкнутом ориентируемом многоообразии М и удовлетворяющих следующим условиям:

1) множество гетероклинических орбит диффеоморфизма / Е G конечно;

2) блуждающее множество диффеоморфизма f G G не содержит гетероклинических кривых.

Автором получена полная топологическая классификация диффеоморфизмов из класса G. Изложению этих результатов посвящена диссертация.

Цель работы состоит в разработке топологических и геометрических методов исследования нелокальных свойств каскадов из класса G и применении этих методов для их топологической классификации.

Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы:

1) Найден новый топологический инвариант каскадов на М, названный гетероклинической <£-ламинацией определяющий топологию пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек, пересекающихся по конечному множеству гетероклинических траекторий и несущий информацию о вложении сепаратрис седловых точек в объемлющее многообразие.

2) Для каждого диффеоморфизма / из класса G диффеоморфизмов МорсагСмейла с конечным множеством гетероклинических траекторий и без гетероклинических кривых на 3-многообразии М сконструировано связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие Л4представляющее из себя прстранство орбит ограничения диффеоморфизма / на многообразие Л4, получающееся из объемлющего многообразия путем удаления одномерных сепаратрис седловых точек и узловых точек диффеоморфизма /. Установлено, что фундаментальная группа многообразия Л4/ допускает нетривиальный эпиморфизм «л*, • (Mf) Z.

3) Каждому диффеоморфизму / € G поставлен в соответствие топологический инвариант — схема диффеоморфизма S(f) = (Mf,aMf,A«(f),A>(f)), где Л»(/) (Лв(/)) - проекция двумерных неустойчивых (устойчивых) многообразий седловых точек на многообразие Л4/. Введено понятие эквивалентности схем и установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса G является эквивалентность их схем. Для построения гомеоморфизмов, сопрягающих два диффеоморфизма, из исследуемых в работе классов, был развит метод продолжения гомеоморфизмов путем введения слоений. Исследована связь схемы диффеоморфизма со структурой пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек и заузленностью сепаратрис.

4) Введено понятие проколотых, не проколотых поверхностей и гетероклинических £-ламинаций на произвольном замкнутом ориентируемом З-многообразии Af, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Определена операция разрезания и склеивания на многообразии Af вдоль множества А6, состоящего из попарно не пересекающихся не проколотых поверхностей и гетероклинических 5-ламинаций. Описана структура фундаментальной группы многообразия Af\s, являющегося результатом этой операции.

5) Введено понятие совершенной схемы, представляющей из себя набор S = («Л/*, а, Ли, Лв), где Af — связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие, а : тт\ (Af) —Z — эпиморфизм и Л", А8 — непересекающиеся подмножества многообразия Af такие, что для каждого S Е {и, s} множество As либо пусто, либо является объединением попарно не пересекающихся гетероклинических 5-ламинаций и не проколотых поверхностей таких, что каждая компонента связности многообразий Л/а« и Л/а» диффеоморфна многообразию S2 х S1. Установлено, что схема любого диффеоморфизма / G G является совершенной.

6) Построены модели инвариантных слоений в окрестностях седловых точек, представляющие из себя расслоенные 3-многообразия F(T0), У (Ко) и ^(S1), где V(T0) (У (Ко)) — трубчатая окрестность тора (бутылки Клейна), Vr(5'1) — заполненный тор. Установлены топологические факты, связанные с возможностью построения на этих многообразиях гомеоморфизма на себя, совпадающего на некотором подмножестве с заданным и сохраняющего слои введенных слоений.

7) Решена проблема реализации, то есть по каждой совершенной схеме S построен диффеоморфизм fs G G, схема которого эквивалентна данной.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях: на международной конференции, посвященной столетию А. Н. Колмогорова (Москва 2003); на объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы" (Казань 2003); на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2000, 2002); на международной конфереции, посвященной столетию А. А. Андронова (Нижний Новгород 2001); на международных конферециях "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск 2002, 2003).

По теме диссертации были также сделаны следующие доклады: на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений МГУ (2004, руководитель проф. Ю. С. Ильяшенко); на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений и динамических систем при МГУ (2003, руководители акад. Д. В. Аносов и проф. А. М. Степин); на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2003, руководитель проф. JI. П. Шильников); на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской Сельско-хозяйственной академии (2002, 2003, руководитель проф. В. 3. Гринес).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 10 работ (смотри список литературы). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, Хр. Бонатти являлся консультантом по вопросам трехмерной топологии и теории слоений.

Структура диссертации: оглавление, введение и история вопроса, формулировка результатов, три главы, заключение, список литературы. Объем диссертации стр. 108, рис. 11, наименований литературы 70. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1.1, 2.1 и 3.1.

Формулировка результатов

Основным результатом диссертации является нахождение необходимых и достаточных условий топологической сопряженностии и реализиция диффеоморфизмов Морса-Смейла, с конечным множеством гетероклинических траекторий, заданных на трехмерном гладаом ориентируемом 3-многообразии М.

Мы рассматриваем класс G сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерном гладком замкнутом ориентируемом многоообразии М и удовлетворяющих следующим условиям:

1) множество гетероклинических орбит диффеоморфизма / £ G конечно;

2) блуждающее множество диффеоморфизма f € G не содержит гетероклинических кривых.

Классификация диффеоморфизмов из рассматриваемого нами класса имеет самостоятельное значение и нигде ранее не изучалась.

Первая глава состоит из пяти параграфов.

Параграф 1.1 содержит основные понятия, используемые в этой работе.

В параграфе 1.2 приведены необходимые для понимания работы топологические факты.

В параграфе 1.3. вводится основной инвариант топологической сопряженности — схема диффеоморфизма, принадлежащего классу G и устанавливается, что схема есть топологический инвариант с точностью до эквивалентности.

В параграфе 1.4 вводится понятие абстрактной схемы на связном замкнутом ориентируемом 3-многообразии Af, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм на группу Z. Определяются операции разрезания и склеивания на многообразии Л/", позволяющие выделить класс S совершенных схем. Доказывается, что схема любого диффеоморфизма f G G принадлежит S.

В параграфе 1.5 изучается предельное поведение устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек диффеоморфизма / Е G. Устанавливается связь между динамикой ограничения диффеоморфизма / на сепаратрисы седловой периодической точки и пространством орбит этих сепаратрис. С помощью объектов, введенных в разделе 1.4.1 описывается структура схемы диффеоморфизма, принадлежащего классу G. Доказывается, что схема любого диффеморфизма рассматриваемого класса является совершенной.

Пусть f : М —t М — диффеоморфизм из класса G. Обозначим через Q множество периодических точек диффеоморфизма /; через Е и А — подмножества множества fi, состоящие из седловых и узловых точек, соответственно; через Е" (Ев) подмножество множества Е, состоящее из седловых точек, неустойчивое (устойчивое) многообразие которых является двумерным; через Д" (А8) подмножество множества А, состоящее из источниковых (стоковых) точек. Для любого подмножества А множества О определим неустойчивое (устойчивое) многообразие WU(A) (W8(A)) как объединение неустойчивых (устойчивых) многообразий всех точек множества А.

Положим Cu = Wu(A8 U Ев), С9 = W8(AU U Eu) и М = М \ (Са U С"). Введем на многообразии Л4 отношение эквивалентности условием: точки х,у Е Л4 — эквивалентны, если и только если существует число п Е Z такое, что у = fn{x). Будем обозначать через Л4 / множество классов эквивалентности и через РМ/'Л4 —> М / естественную проекцию, ставящую в соответствие любой точке х € АЛ ее класс эквивалентности.

Лемма 1.3.1. Для каждого диффеоморфизм f £ G факторпространство АЛ f является связным замкнутым ориентируемым 3-многообразием.

Проекция pMf: АЛ АЛ/ является накрытием, которое определяет эпиморфизм aMf : 7Ti (-М/) —v Z со следующим свойством: любая кривая в АЛ, соединяющая некоторую точку х с точкой /п(х), проектируется в замкнутую петлю с на АЛ/ такую, что atMf([c]) = п. Положим Л"(/) = pM {W»(£tt) \ W*(Su)) и

Л8(Л =PMf{We(F) \ W«(£*))•

Определение 1.3.1. Набор 5(/) = {Mf,ctMf,Au(f),A*(f)) называется схемой диффеоморфизма / G G.

Определение 1.3.2. Схемы 5(/) = (Mf,aMf,Au(f),A8(f)) и 5(/') = (M'fl,aM, ,Au(f),Aa(f')) диффеоморфизмов /, /' е

G, соответственно, называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм <р АЛ / —> Aij,, удовлетворяющий условиям:

Ч ^Mf = ° V»;

2) ^(Л«(/)) = Ли(/'), = Ля(/').

Лемма 1.3.3. Схема S(f) есть инвариант топологической сопряженности с точностью до эквивалентности.

Следующие определения позволяют описать структуру множеств

А«(Я и Ав(/).

Пусть То - стандартный двумерный тор и простые замкнутые кривые ат, Ьт являются образующими фундаментальной группы 7Ti(To); Ко - стандартная бутылка Клейна и простые замкнутые кривые ак, Ьк являются образующими фундаментальной группы 7Ti(Ko) с соотношением [ак][Ьк] = [6к]1[ак]. Для тп > 0 положим Хт = 0 (Ут = 0), если т = 0 и Хт = {хъ.,Хт} (Ут = {Уъ • ■ • >2/т}) — множество, состоящее из m различных точек, принадлежащих То (Ко) и не принадлежащих кривым ат, 6Т (ак,

Ък), если m £ N. Положим Тт = Т0 \ Хт ( Кт = Ко \ Ут) и V(Tт) = Тт х [—1,1] и V^Kjn) - ориентируемое многообразие, которое является неориентируемым расслоением с базой Кт и слоем и. я

Оснастим трехмерные многообразия V(To) и У (Ко) двумерными слоениями следующим образом:

• Рассмотрим многообразие С = R х S1 х [— 1,1] и диффеоморфизмы h+ : С —► С и h- : С —¥ С, заданные формулами:

Мле^,*) = (г + 2,е^,*), h-(r, е*^, t) = (г + 1, —t).

Заметим, что пространства орбит действий h+ и h- совпадают с многообразиями К (То) и V(To), соответственно. Обозначим через р+ : С —> V(To) и р : С ч У (Ко) естественные проекции.

• Пусть J^ — стандартное двумерное слоение в R3, состоящее из плоскостей, параллельных плоскости XOY. Положим U = {(x,y,z) G R3 : {х2 + y2)z2 < 1}.

Пусть Ои+ : R3 —У R3, а8+ : R3 —^ R3, о>и— R3 —^ R*3, а8 : R3 R3 — линейные диффеоморфизмы, заданные формулами: au+(x,y,z) = (4х,4у, f), a8+(x,y,z) = (f,|,4 z), au-(x,y,z) = (2x,-2y,-§), a8-(x,y,z) = (f,-|, —2z).

Для любого £ € e £ {+, —} точка 0(0,0,0) является неподвижной седловой точка диффеоморфизм а$е, множество U является а«уе-инвариантным и диффеоморфизм а§£ переводит слои слоения JF2 в слои этого же слоения.

• Положим U° = U \ OZ и обозначим через 7i2 ограничение слоения на множество

Рассматрим диффеоморфизмы фи : U0 —> С и ф8 : U0 С, заданные формулами: фи(х, у, z) = (b^V^TF, zV^^+F), ф8(х,у,г) = {—1од2л/ хг + е^^+Ч V*2 +

Заметим, что ^ сопрягает ограничение диффеоморфизма а&Е на U0 с диффеоморфизмом h£. Обозначим через т, ^к образы слоения относительно отображения р&+ = р+ о ф$ : «7° К(Т0), ре-= р-о ф6: U0V(Ко) (см. рис. 7).

Пусть ЛГ — связное гладкое ориентируемое замкнутое 3-многообразие, чья фундаментальная группа 7Ti(AT) допускает эпиморфизм на группу Z. Зафиксируем эпиморфизм а : ж\{АГ) —V Z и определим объекты, которые будут использованы в дальнейшем для описания структуры схемы диффеоморфизма / Е G.

Определение 1.4.3. Подмногообразие Тт (Кт) многообразия Af называется тором (бутылкой Клейна ) на многообразии Af, если существует гомеоморфизм vTm : Tm Тт ( vKm : К^, —>• Кт). Далее Q будет обозначать либо Т, либо К. Если ш = 0 (т ф 0), то Qm = vQm (Qm) называется не прюколотой (проколотой) поверхностью на многообразии Af.

Определение 1.4.4. Подмногообразие V(Qm) многообразия Af называется трубчатой окрестностью поверхности Qm = vQm (Qm), если существует гомеоморфизм fj,Qm : V(Qm) —> V(Qm) такой, что fiQm|Qm = vQm. Образ относительно отображения fiQm любой простой замкнутой кривой гомотопной bQ на V(Qo) мы называем меридианом V(Qm).

В дальнейшем мы будем рассматривать только поверхности Qm — vQm (Qm) вложенные в многообразие Af следующим образом:

К. К)]) > 0, a(Km (bq)]) = 0. (*)

Определение 1.4.5. Пусть S Е {и, s} и L — объединение попарно непересекающихся поверхностей (торов и бутылок Клейна) на многообразии ЛЛ Множество L называется гетероклинической (5-ламинацией на многообразии Af, если:

1) L — связное компактное множество;

2) L = Ln U Lp, где Ln — непустое объединение не проколотых поверхностей, содержащее не более одной бутылки Клейна и Ьр — непустое объединение проколотых поверхностей;

3) Каждая не проколотая поверхность Qq Е Ln имеет окрестность V(Qo) такую, что, если V{Qo) П Qm ф 0 для некоторой проколотой поверхности Qm Е Lp тогда Qm пересекается в точности с одной компонентой связности множества V(Qo) \ Qq и /^(V^Qo) П Qm) является объединением конечного числа слоев слоения или Wj^ (соответственно, если Qq — тор или бутылка Клейна).

Пусть Л", А8 — непересекающиеся подмножества многообразия Af такие, что для каждого S Е {и, s} множество А6 либо пусто, либо является объединением попарно непересекающихся гетероклинических £-ламинаций и не проколотых поверхностей.

Определение 1.4.6. Набор S = (ЛГ, а, Ли, Лв) называется абстрактной схемой.

Определение 1.4.7. Две абстрактные схемы S = (Л/", а, Л", Л8) и 5" = {N', с/, А*, А'8) называются эквивалентными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм <р : Af —> ЛР со следующими свойствами:

1) а = а' о (р

2) ч>(Л") = А'и, <р(А8) = А'8.

На многообразии Л/* вводится операция разрезания и склеивания вдоль множества Л*. Мы обозначаем через Af\s многообразие, полученнное в результате этой операции.

Определение 1.4.8. Абстрактная схема S = (Af,a,Au,A8) называется совершенной схемой, если каждая компонента связности многообразий Л/ди и Л/л« диффеоморфна многообразию S2 х 51. Обозначим через S множество всех совершенных схем.

Основным результатом первой главы является следующая теорема.

Теорема 1.1. Для любого диффеоморфизма / Е G схема S(f) является совершенной схемой.

Теорема 2.1. Диффеоморфизмы /, /' Е G топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны.

Теорема 3.1. Для каждой совершенной схемы S Е S существует диффеоморфизм Морса-Смейла / Е G, схема которого эквивалентна S.

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

В диссертации исследована актуальная задача топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем на трехмерных многообразиях.

Рассмотренный в диссертации класс систем представляет значительный интерес, так как с одной стороны, динамическим системам из этого класса присущи все основные эффекты более общего класса диффеоморфизмов МорсагСмейла на трехмерных многообразиях (сложная структура блуждающего множества, обусловленная наличием гетероклинических траекторий, возможность нетривиального вложения сепаратрис седловых точек в окрестности узлов и т.п.), а с другой стороны для них удается найти полную систему эффективных топологических инвариантов с привлечением разнообразных методов качественной теории, топологии и геометрии.

Работа носит теоретический характер. Основной научный результат состоит в разработке методов исследования глобальных свойств динамических систем с дискретным временем на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях и применении этих методов к топологтической классификации основных классов таких систем на них.

Основные научные результаты являются новыми и заключаются в следующем:

1) Найден новый топологический инвариант каскадов на Af, названный гетероклинической 5-ламинацией определяющий топологию пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек, пересекающихся по конечному множеству гетероклинических траекторий и несущий информацию о вложении сепаратрис седловых точек в объемлющее многообразие.

2) Для каждого диффеоморфизма / из класса G диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических траекторий и без гетероклинических кривых на 3-многообразии М конструируется связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие Л4/, представляющее из себя прстранство орбит ограничения диффеоморфизма / на многообразие Л4, получающееся из объемлющего многообразия путем удаления одномерных сепаратрис седловых точек и узловых точек диффеоморфизма /. Установлено, что фундаментальная группа многообразия Л4/ допускает нетривиальный эпиморфизм «м, : *i(Mf) Z.

3) Каждому диффеоморфизму / Е G поставлен в соответствие топологический инвариант — схема диффеоморфизма S(f) = (Л4fjatMf, Л"(/), Лв(/)), где Л»(/) (Л'(/)) " проекция двумерных неустойчивых (устойчивых) многообразий седловых точек на многообразие /Af. Введено понятие эквивалентности схем и установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из класса G является эквивалентность их схем. Исследована связь схемы диффеоморфизма со структурой пересечений устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических точек и заузленностью сепаратрис.

4) Введено понятие проколотых, не проколотых поверхностей и гетероклинических <£-ламинаций на произвольном замкнутом ориентируемом 3-многообразии Л/", фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Определена операция разрезания и склеивания на многообразии М вдоль множества As, состоящего из попарно не пересекающихся не проколотых поверхностей и гетероклинических 5-ламинаций. Описана структура фундаментальной группы многообразия Ла«, являющегося результатом этой операции.

5) Введено понятие совершенной схемы, представляющей из себя набор S = (Л/*,а, Л", Л8), где N — связное замкнутое ориентируемое 3-многообразие, а : тгг(ЛГ) —У Z — эпиморфизм и Аи, А8 — непересекающиеся подмножества многообразия Л/" такие, что для каждого S € {it, s} множество Л6 либо пусто, либо является объединением попарно не пересекающихся гетероклинических <5-ламинаций и не проколотых поверхностей таких, что каждая компонента связности многообразий А/л» и Л/д» диффеоморфна многообразию S2 х S . Установлено, что схема любого диффеоморфизма / G G является совершенной.

6) Построены модели инвариантных слоений в окрестностях седловых точек, представляющие из себя расслоенные 3-многообразия V(T0), V(Ko) и ^(S1), где V(T0) (V(Ko)) — трубчатая окрестность тора (бутылки Клейна), V(S1) — заполненный тор. Установлены топологические факты, связанные с возможностью построения на этих многообразиях гомеоморфизма на себя, совпадающего на некотором подмножестве с заданным и сохраняющего слои введенных слоений.

Разработанные в диссертации методы и результаты могут быть использовапны при исследовании конкретных трехмерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также при исследовании четырехмерных потоков имеющих трехмерную секущую.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы специалистами МИ РАН им. В.А. Стеклова, МГУ, ЛГУ, НГУ и др.

Диссертация является существенным продвижением в направлении глобальной классификации основных классов динамических систем на многообразиях.

Всего по теме диссертации опубликовано 10 работ, при этом основные научные результаты, вошедшие в диссертацию явлются новыми и принадлежат автору.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Починка, Ольга Витальевна, Нижний Новгород

1. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников JI. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ РАН, т. 5, 1986, 283 с.

2. Арансон С. X., Гринес В. 3. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных поверхностях. Успехи Мат. Наук, т. 45, No 4, (1090), 3 32. Английский перевод в Российской Мат. Серии, No 4, 1990.

3. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Тр. мат. ин-та им. В .А. Стеклова АН СССР, т. 90, (1967), 1 210.

4. Аносов Д. В. Исходные понятия. Глава 1 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы -I. ВИНИТИ АН СССР, (1985), 151 178.

5. Аносов Д. В. Элементарная теория. Глава 2 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.

6. Фундаментальные направления. Динамические системы I. ВИНИТИ АН СССР, (1985), 178 - 204.

7. Аносов Д. В. Flows on closed surfaces and behavior of tajectories lifted to the universal covering plane. Journal of dynamical and control systems, v. 1, No 1, (1995), 125 138.

8. Андронов А. А., Понтрягин JI. С. Грубые системы. Докл. АН СССР, т. 14, No 5, (1937), 247 250.

9. Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Отображение окружности на себя. Известия АН СССР, сер. Мат., т. 25, (1961), 21 86.

10. Аносов Д. В., Солодов В. В. Гиперболические множества. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Итоги науки и техники. Динамические системы -9 (под ред. Д. В. Аносова), т. 66, (1991), 12 99.

11. Афраймович В. С., Шклышков JI. П. Об особых множествах систем Морса-Смейла. Труды ММО, т. 28, (1973), 181 214.

12. Azimov D.Round bundles and non-singular Morse-Smale flows. Ann. of Math., v. 102, (1975), 41 54.

13. Белых В. H. Хаотические странные атракторы двумерных отображений. Матем. сб., т. 185, No 3, (1995), 3 18.

14. Grines V. Z. Dynamical properties and topological classification of gradientlike diffeomorphisms on two-dimensional manifolds I. Sel. Math. Sov., 1992, v. 11, 1 11.

15. Безденежных A. H., Гринес В. 3. Диффеоморфизмы с ориентируемыми гетероклиническими множествами на двумерных многобразиях. Дифференциальные и интегральные уроавнения. Сб. науч. тр. под ред. Н. Ф. Отрокова. Горький, ГГУ, 1985, 111 112.

16. Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the sphere S3. Journal of Dynamical and Control Systems (Plenum Press, New York and London), v. 6, No 4, (2000), 579 602.

17. Bonatti Ch., Grines V., Langevin R. Dynamical system in dimension 2 and 3: conjugacy invariants and classification. Computational and Applied Mathematics, v. 20, No 1-2, (2001), 11 -50.

18. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Рбсои E. Three-manifolds admitting Morse-Smale diffeomorphisms without hete-roclinic curves. Topology and its applications, v. 117, (2002), 335 -344.

19. Бонатти Xp., Гринес В. 3., Медведев В. С., Пеку

20. Е. Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности градиентноподобных диффеоморфизмов без гетероклинических кривых на три-многообразиях. Труды Института Математики Стеклова, т. 236, (2002), 58 69.

21. Bonatti Ch., Grines V., Medvedev V., Рёсои E. Topological classification of gradientlike diffeomorphisms on 3-manifolds. Topology, No 43, (2004), 369 391.

22. Bonatti Ch., Grines V., Рёсои E. Two-dimensional links and diffeomorphisms on 3-manifolds. Ergodic Theory and Dynam. Systems, v. 22, No 3, (2002), 687 710.

23. Bonatti Ch., Langevin R. Diffgomorphismes de Smale des surfaces. Ast6risque No 250, soci6t6 math&natique de Prance, Paris, (1998).

24. Fleitas G. Classification of gradient-like flows in dimension two and three. Bol. Soc. Mat. Brasil 6, v. 2, (1975).

25. Franks J. The period structure of non-singular Morse-SmaJe flows. Comment. Math. Helv., v. 53, (1978), 279 294.

26. Franks J. Symbolic dynamics in flows on three-manifolds. Trans. AMS, v. 279, No 1, (1983), 231 236.

27. Гринес В. 3. Топологическая классификация диффеоморфизмов МорсагСмейла с конечным множеством гетероклинических траекторий на поверхностях. Матем.заметки, т. 54, вып. 3, (1993), 3 17.

28. Гринес В. 3. Топологическая классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами. Мат. Сборник, т. 188, No 4, (1997), 57 94.

29. Гринес В. 3., Жужома Е. В. Стуктурная устойчивость диффеоморфизмов с базисным множеством коразмерности один. Известия РАН, сер. Мат., т. 66, No 2, (2002), 3 66.

30. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. Москва "Мир", (1983), 300 с.

31. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Москва, Наука, (1977), 496 с.

32. Katok A., Hasselblatt В. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems. Encyclopedia of Math, and its Appl. Cambridge Univ. Press, v. 54, (1995).

33. Langevin R. Quelques nouveaux invariants des diffeomorphismes Mors-Smale D'une surface. Ann. Ins. Fourier, Grenoble, v. 43, j 1, (1993), 265 278.

34. Леонтович Б. А., Майер А. Г. О траекториях, опредляющих качественную структуру разбиения сферы на траектории. Докл. АН СССР, т. 14, No 5, (1937), 251 257.

35. Леонтович Е. А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории. Докл. АН СССР, т. 103, No 4, (1955), 557 560.

36. Лерман Л. М., Шильников Л. П. О классификации грубых неавтономных систем второго порядка с конечным числом ячеек. ДАН СССР, т. 209, No 3, (1975), 544 547.

37. Лерман Л. М., Вайнштейн А. П. Равномерная структура и эквивалентность диффеоморфизмов. Мат. Заметки, т. 23, No 5, (1975), 739 752.

38. Майер А. Г. Грубое преобразование окружности в окружность. Уч. Зап. ГГУ. Горький, Изд-во ГГУ, вып. 12, (1939), 215 229.

39. Morgan J. W. Non-singular flows on 3-manifold. Topology, v. 14, No 1, (1975), 41 53.

40. Munkres J. Obstructions to the smoothing of piecewise-differentiable homeomorphisms. Ann. of Math., v. 72, No 3, (1960), 521 554.

41. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. Москва. : Наука, (bf 1972), 472 с.

42. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. Москва, (1975), 304 с.

43. Nielsen J. Die Structure periodisher Transformation von Flachen. Det. Kgl. Dansk Videnskaternes Selskab. Math.-Phys. Meddelerser, v. 15, (1937).

44. Palis J. On Morse-Smale dynamical systems. Topology, v. 8, j 4, (1969), 385 404.

45. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds. Topology, v. 1, (1962), 101 120. A further remarks, Topology, v. 2, 1963, 179 - 180.

46. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds. Dynamical systems Proc. Symp. held at the Univ.of Bahia, Salvador, Brasil, (1971). M. Peixoto (ed.) N.Y.London: Acad, press, 1973, 389 419.

47. Pixton D. Wild unstable manifolds. Topology, v. 16, No 2, (1977), 167 172.

48. В. А. Плисс О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе. Вестник ЛГУ. Сер. Мат., Мех., т. 13, No 3, (1960), 15 23.

49. Плыкин Р. В., Сатаев Б. А., Шлячков С. В. Странные аттракторы. Глава 1 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 9. ВИНИТИ АН СССР, (1991), 100 -148.

50. Smale S. Morse inequalities for a dynamical systems. Bull. Am. math. Soc., v. 66,(1960), 43 49.

51. Смейл С. Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм с бесконечным числом периодических точек.

52. Тезисы доклада на симпозиуме по нелинейным колебаниям. Киев, Институт математики АН УССР, (1961), 1-3; или Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев, Изд-во АН УССР, т. II, (1963), 365 366.

53. Smale S. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc., v. 73, No 6, (1967), 747 817. Пер. на рус. яз.: Смейл С. Дифференцируемые динамические системы. Успехи мат. наук. 1970, т. 25, No 1, 113 - 185.

54. Сафонов А. В., Старков А. Н., Степин А. М.

55. Динамические системы с транзитивной группой симметрий. Геометрические и статистические свойства. Глава 4 в кн. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Динамические системы 9. ВИНИТИ РАН, т. 66, (1991, 187 -242.

56. Rolfsen D. Knots and Links. University of British Columbia. Math. Lecture Series 7, (1990).

57. У. Терстон Трехмерная геометрия и топология. МЦНМО, Москва, (2001).

58. Уманский Я. Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий. Мат. сб., т. 181, No 2, (1990), 212 239.

59. Хирш М. Дифференциальная топология. Москва, (1979), 280 с.

60. Вонатти Хр., Гринес В. 3., Починка О. В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях. ДАН, т. 396, No 4, (2004).

61. Бонатти Хр., Гринес В., Починка О. В. Классификация простейших не градиентноподобных диффеоморфизмов на 3-многообразиях. Современная математика и ее приложения. Институт кибернетики АН Грузии, т. 7, (2003), 43 71.

62. Pochinka О. V. On topological conjugacy of the simplest Morse-Smale diffeomorphisms with a finite number of heteroclinic orbits on Sz. Progress in nonlinear science, v. 1, (2002), 338 345.

63. Починка О. В.Новые геометрические инварианты диффеоморфизмов МорсагСмейла. Труды объединенной международной научной конференции "Новая геометрия природы", Казань, (2003), 149 153.

64. Починка О. В.Классификация неградиентноподобных диффеоморфизмов с конечным числом гетероклинических орбит на 3-многообразиях. Труды средневолжского математического общества, Саранск, Т. 5, No 1, (2003), 104 109.

65. Pochinka О. V. Classification of the simplest nongradient-like diffeomorphisms on three-manifolds. Тезисы докладов международной конференции "Колмогоров и современная математика", Москва, (2003), 81-82.

66. Pochinka О. V. Realization of gradientlike diffeomorphisms with given sheme of sink fixed point on 3-sphere. Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, (2000), 92 93.

67. Починка О. В. О классификации неградиентноподобных диффеоморфизмов. Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, (2002), 108 110.

68. Починка О. В. Локальные топологические инварианты каскадов на 2,3-многообразиях. Тезисы докладов шестой нижегородской сессии молодых ученых, Саров, (2001), 84 86.