Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3

Гуревич, Елена Яковлевна

Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Гуревич, Елена Яковлевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2008 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3»

Автореферат диссертации на тему "Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3"

На правах рукописи

Гуревич Елена Яковлевна

ПОЛНЫЙ ИНВАРИАНТ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ МОРСА-СМЕЙЛА НА МНОГООБРАЗИЯХ РАЗМЕРНОСТИ БОЛЬШЕЙ, ЧЕМ 3

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Н. Новгород, 2009

003464275

Работа выполнена на кафедре высшей математики и теоретической механики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии и на кафедре теории управления и динамики машин Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор В. 3. Гринес.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Белых, доктор физико-математических наук, профессор Е. А. Сатаев.

Ведущая организация:

Математический Институт им. В. А. Стсклова Российской Академии Наук.

Защита состоится "Iffr. 8609 г. в/^.^часов ца заседании

диссертационного совета Д 212.16G.06 в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2, коиференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета (603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 1).

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского, электронный адрес: http:// www.unn.ru

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем, заданных на замкнутых ориентируемых многообразиях размерности большей трех, и охватывает исследования автора 2002-2008 годов.

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории дифференциальных уравнений — нахождению топологических инвариантов, определяющих разбиение многообразия на траектории с точностью до топологической эквивалентности.

История вопроса. На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых непрерывных динамических систем (потоков) была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, А. Г. Майера, Л. С. Понтрягнна. Фундаментом для этого явились идеи А. Пуанкаре и И. Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтрягину.

Следующим шагом была топологическая классификация структурно устойчивых потоков без состояния равновесия на двумерном торс, которая свелась к топологической классификация структурно устойчивых диффеоморфизмов окружности, нолучепиой А. Г. Майсром и затем независимо В. И. Арнольдом и В. А. Плиссом.

Существенным продвижением в классификации произвольных структурно устойчивых потоков на поверхностях, отличных от двумерной сферы, явились работы М. Псйкшото. В частности, для таких потоков он нашел полный топологический инвариант, называемый теперь графом Псйкшото. Фактически, этот инвариант является обобщением понятия схемы, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майсром для потоков на сфере, и позволяет свести проблему топологической классификации к решению комбинаторных задач.

Достигнутый прогресс обусловлен тем, что структурно устойчивые потоки на поверхностях имеют конечное число гиперболических состояний равновесия и замкнутых гиперболических траекторий, которые вместе с сепаратрисами седловых состояний равновесия однозначно определяют разбиение несущей поверхности на траектории.

Переход к диффеоморфизмам на многообразиях размерности большей единицы или к потокам на многообразиях размерности большей двух выявляет новые свойства структурно устойчивых систем, в частности, для таких систем становится возможным существование гомоклшшчсских траекторий, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.

Этот феномен, обнаруженный в работах Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах, привел к выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой неблуждающего множества, а также систем, не являющихся гиперболическими в строгом смысле, но обладающих предельными множествами с хаотическим поведением траекторий. Этой тематике посвящены работы таких математиков как Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Грннес, 10. С. Ильяшенко, Л. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисс, Р. В. Плыкин, Е.А. Сатаев, Я. Г. Синай, А. М. Стспип, А. Н. Шарковский, Л. П. Шилышков, Хр. Бопатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орпстсйп, Дж. Пали, Я. Пссин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливап, Ф. Таксис, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других.

В то же время С. Смейл ввел класс динамических систем (потоков и диффеоморфизмов), аналогичных грубым потокам на поверхностях. Неблуждающее множество таких систем (получивших впоследствии название систем Морса-Смейла) состоит из конечного числа гиперболических периодических движений, устойчивые и неустойчивые многообразия которых пересекаются трапсверсалыю. И хотя потоки (диффеоморфизмы) Морса-Смейла не являются типичными па многообразиях размерности большей двух (большей единицы), они представляют класс структурно устойчивых

динамических систем, имеющих важное значение в качественной теории и ее приложениях, связанных с адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют хаотические явления.

Следует отметить, что новые проблемы в топологической классификации систем Морса-Смейла связаны с тем, что блуждающее множество потока (диффеоморфизма) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Так, В. С. Афраймович и Л. П. Шилышков доказали, что ограничение многомерных потоков Морса-Смейла на замыкание множества гетероклшшческих траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

К настоящему времени имеются весьма законченные результаты по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла па двумерных многообразиях, полученные в работах В. 3. Безденежных, Е. А. Боревич, И. Ю. Власенко, В. 3. Гринеса, X. Бопатти и Р. Ланжевена. Одним из основных инвариантов для перечисленных классов топологической сопряженности является некоторый граф, аналогичный графу Пейкшото, снабженный дополнительной информацией, описывающей структуру множества гетероклшшческих траекторий.

Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется относительно небольшое число содержательных результатов. Среди них отметим результат Ж. Флейтаса, который па языке диаграмм Хегора дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной нсточниковой и 2к, к > 2 седловых особых точек. Я. Л. Умаиским найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Топологический инвариант Я. Л. Уманского является обобщением схемы динамической системы, введенной Е. А. Леонтович и

А. Г. Майером. С. 10. Пилюгин полностью решил задачу классификации для потоков Морса-Смсйла на сфере 5" размерности п > 3, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечении. Инвариантом для таких потоков является граф, аналогичный графу Пейкшото.

В неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались Л. М: Лсрманом и Л. П. Шилышковым, которые построили инварианты равномерной сопряженности таких систем.

Как стало ясно сравнительно недавно, классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3 и выше, является принципиально более сложной по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. В частности, из работ Хр. Бонатти н В. 3. Грипсса следует, что уже в классе диффеоморфизмов трехмерной сферы с нсблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек: седла, одного источника и двух стоков, существует счетное множество топологически иесопряжспных диффеоморфизмов (при этом их графы Пейкшото изоморфны). Этот результат связан с возможностью дикого вложения инвариантных многообразии седловых периодических точек. Отмстим, что примеры диких вложении кривых и двумерных сфер были открыты в работах Дж. Александсра, Е. Артипа и Р. Фокса, а их существование в качестве замыкания инвариантных многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов было обнаружено Д. Пикстоном. Построению топологических инвариантов для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3, в предположениях различной общности посвящены работы Хр. Боиаттн, В. 3. Гринеса, В. С. Медведева, Е. Пеку и О. В. Починки. Топологические инварианты, введенные в этих работах, представляют собой комбинацию классических комбинаторных инвариантов, аналогичных графу Пейкшото, с новыми топологическими инвариантами, описывающими вложение сепаратрис.

В диссертации выделен важный класс С\{Мп) диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемых многообразиях размерности большей

чем 3, для которого удалось доказать, что полным топологическим инвариантом диффеоморфизмов из С\{Мп) вновь является граф Пейкшото (с заданным на нем автоморфизмом).

Доказательство этого результата существенно основано на полученных относительно недавно фактах из топологии многообразий высших размерностей, не имеющих места в размерности 3. Наиболее важными из них являются результаты Дж. Кантрелла, А. В. Чернавского и Р. Давсрмана о вложении с многообразие размерности п > 3 дуг и сфер коразмерности 1, следствием которых явилась невозможность дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов Морса-Смейла из рассматриваемого в диссертации класса.

Пусть Сп(М") — класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на связном замкнутом гладком ориентируемом многообразии Мп размерности п > 4 и таких, что любой / 6 С\{Мп) удовлетворяет следующим условиям:

1) неустойчивое многообразие любой ссдловой периодической точки из множества 0(/) является одномерным;

2) неустойчивые и устойчивые многообразия различных седловых периодических точек нз П(/) не пересекаются.

Цель работы состоит в топологической классификации диффеоморфизмов из множества С\{Мп), то есть нахождению полного топологического инварианта и построению стандартного представителя каждого класса топологической сопряженности.

Методы исследования. Используются топологические и геометрические методы исследования нелокальных свойств динамических систем на многообразиях.

Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — отысканию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий дискретных динамических систем на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности большей трех и применению этих инвариантов к решению проблемы топологической классификации.

Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы:

1) Изучена топология вложения замыканий сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов, принадлежащих классу Gi(M"). Установлено отсутствие дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек. В частности, доказано, что замыкание сепаратрисы размерности (п — 1) ссдловой периодической точки диффеоморфизма / 6 Gi(Mn) является цилиндрически вложенной сферой Sп-1.

2) Установлено, что для любого диффеоморфизма из класса G\{Mn) несущее многообразие Мп является сферой 5", а неблуждающее множество П(/) состоит в точности из одной отталкивающей точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

3) Каждому диффеоморфизму / € G\{Mn) поставлен в соответствие топологический инвариант, представляющий собой ориентированный граф Г(/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек П(/), а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. Граф Г(/) оснащен сохраняющим ориентацию ребер автоморфизмом P(f), индуцированным диффеоморфизмом /.

Установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из Gi(Mn) является изоморфизм графов Г(/), Г (/') при помощи сохраняющего ориентацию ребер изоморфизма rj, сопрягающего автоморфизмы P(f) и P(f'), то есть удовлетворяющего условию T]P(f) = P{f')rj.

4) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса G\{Mn)\

a) выделено множество допустимых графов, оснащенных автоморфизмами, и установлено, что граф Г(/) любого диффеоморфизма / £ Gi(Mn) является допустимым;

b) для любого допустимого графа Г и произвольного сохраняющего ориентацию ребер автоморфизма графа Р построен диффеоморфизм / G Gi(Mn), граф Г(/) которого изоморфен графу Г посредством изоморфизма, сопрягающего автоморфизмы P(f) и Р.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут

быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании каскадов, заданных на многообразиях размерности большей чем 3, а так же при исследовании многомерных неавтономных периодических но времени систем дифференциальных уравнений и потоков, имеющих секущую размерности п > 3.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях:

— на международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтряпша (Москва 2008);

— на международной конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2006, 2008);

— на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной И. Г. Петровскому (Москва 2007);

— на международных конферециях "Дифференциальные уравнения и их приложения "(Саранск 2005, 2006, 2008);

— на международной конференции, посвященной столетию А. Н. Колмогорова (Москва 2003).

По теме диссертации были также сделаны следующие доклады:

— на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2008 г., руководитель проф. Л. П. Шилышков);

— на научном семинаре кафедры ТУиДМ факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (в 2006 г, руководитель проф. А. А. Хситов и в 2008 г, руководитель проф. Г. В. Осипов);

— на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской сельскохозяйственной академии (2006-2008 гг., руководитель проф. В. 3. Гринес).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертации. Все основные результаты диссертации являются новыми, принадлежат автору и изложены в работах [1] - [16]. В работах,

выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, В. С. Медведев являлся консультантом по вопросам многомерной топологии.

Структура диссертации: оглавление, введение и история вопроса, формулировка результатов, четыре главы, заключение, список литературы. Объем диссертации: 115 стр., 12 рис., 111 наименований литературы. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1, 2 и 3.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы и основные результаты.

В первой главе приводится краткий обзор необходимых результатов многомерной топологии и доказывается ряд технических лемм, базирующихся на этих результатах.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 приводятся определения, необходимые для понимания работы.

В параграфе 2.2 описывается топология вложения сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов из Gi(Mn), в частности, доказывается следующая лемма. Пусть Е - замыкание (п — 1)-мерной сепаратрисы седловой периодической точки.

Лемма 2.2 Сфера К является цилиндрически вложенной.

В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема, являющая основным результатом второй главы.

Теорема 1 Для любого диффеоморфизма / € Gi{Mn) (п > 4) нссущсе многообразие Мп является сферой Sn, а неблуждающее множество П(/) состоит в точности из одной отталкивающей точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

Третья глава посвящена отысканию необходимых и достаточных условий топологической сопряжеппостп диффеоморфизмов из класса G\{Mn).

Поставим в соответствие каждому диффеоморфизму / £ G\(Mn) ориентированный граф Г(/), множество вершин которого изоморфно

множеству неблуждающих точек fi(/), а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. На каждом ребре графа Г(/) зададим ориентацию следующим образом. Пусть а и Ь - вершины Г(/), инцидентные ребру I. Тогда одна из этих вершин соответствует седловой периодической точке, а другая — притягивающей или отталкивающей периодической точке диффеоморфизма /. Если вершина а соответствует седловой периодической точке, а вершина Ь — притягивающей периодической точке, то ориентируем ребро I от а к 6. Если вершина а соответствует седловой периодической точке, а вершина 6 — отталкивающей периодической точке, то ориентируем ребро I от Ь к о. Граф Г(/) будем называть графом диффеоморфизма f. Диффеоморфизм / индуцирует автоморфизм P(f) графа Г(/).

Пусть /,/' Ç Gi(Mn) и существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм т] графов Г(/),Г(/') такой, что r]P(f) = P(f')r].

Будем говорить, что точка р 6 П(/) изоморфна точке р' € Cl(f') (сепаратриса I изоморфна сепаратрисе Z'), если точки р,р' (сепаратрисы I, V) соответствуют изоморфным при отображении т] вершинам (ребрам) графов

г(/), г(/').

Пусть и, <J — изоморфные стоковые периодические точки диффеоморфизмов /, /' соответственно, и m — период точек w, ui'. Обозначим через Ws(u) устойчивое многообразие точки ш и через Lu = {/<*,, множество всех сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма /, принадлежащих множеству Ws(u). Из условий, определяющих класс Gi(M"), следует, что для любого i G {1, ...,к} сепаратриса 11и принадлежит одномерному неустойчивому многообразию некоторой седловой периодической точки ст*. Обозначим через L'^i — {/^у, - • ■, } множество всех сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма /', в замыкании которых содержится сток а/. Не уменьшая общности будем полагать, что при выбранной нумерации сепаратрисы 1*ы и изоморфны.

Основное содержание главы 3 составляет построение гомеоморфизма H : M" —> M", осуществляющего топологическое сопряжение диффеоморфизмов /,/', то есть удовлетворяющего условию f = HfH~l.

Построение гомеоморфизма Н разбито на несколько этапов. На первом этапе строится гомеоморфизм, сопрягающий ограничения диффеоморфизмов /,/' на устойчивые многообразия \У3(и>), стоковых точек и, ш'

соответственно и отображающий сепаратрису Ги в сепаратрису Гш, для каждого г = 1,... ,к. Построение такого гомеоморфизма базируется на следующих леммах, доказанных в первом разделе третьей главы.

Лемма 3.1 Существует цилиндрически вложенная сфера Б™-1 С У/8(и}), ограничивающая открытый шар В™ Э ш, такая, что:

2) для любого г € {1,..., /:} пересечение П 1 состоит из единственной

точки г1;

3) кольцо К™ = ВЦ\ /т(ВЩ) гомеоморфно комбинаторному кольцу.

Пусть сфера С Ш3(и>) обладает всеми свойствами, перечисленными в лемме 3.1. Обозначим через В„ открытый шар такой, что ш € и дВ% = Б*. Положим # = /т(5®), Ка -~Щ\НЩ)-

Обозначим через ВЦ,, и Кы> аналогичные объекты для

диффеоморфизма /'.

Лемма 3.2 Существует гомеоморфизм : Ки —> Кш/ такой, что:

1) '

= /щ/ П Кы' для любого € Ьы.

Следствие 3.1.1 Пусть ц^, ...,ыт-1 — стоковые периодические точки периода т, принадлежащие одной орбите диффеоморфизма /, и — стоковые периодические точки диффеоморфизма /' такие, что для любого г 6 {1, ...,т— 1} точки и/;, изоморфны.

Тогда существует гомеоморфизм такой, что:

1) гчзг1) С В[

1=1

2) для любых г £ {1 ,...,т — 1}, 3 £ {1,.имеет место равенство

Следующим этапом в построении гомеоморфизма Н : Мп —> М", сопрягающего диффеоморфизмы /,/', является продолжение гомеоморфизмов вида )0(и<)) построенных для каждой стоковой орбиты, на (п — 1)-мерпые сепаратрисы седловых периодических точек. Принципиальная возможность такого продолжения доказывается в лемме 3.3 (являющейся основным результатом разделов 3.2-3.3). Метод доказательства состоит в переходе к пространству орбит ограничения диффеоморфизма / на некоторое подмножество в окрестности (п — 1)-мерной сепаратрисы и применении ряда нетривиальных топологических фактов.

Итогом лемм 3.1-3.3 является следующая теорема.

Теорема 2 Диффеоморфизмы /,/' £ 0\(Мп) (п > 4) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм т] графов Г(/),Г(/') такой, что т]Р(/) = Р{р)т].

В четвертой главе решается проблема реализации. В параграфе 4.1 вводится множество допустимых графов Г. Связный ориентированный граф Г принадлежит множеству Г, если множество Г° его вершин можно представить в виде трех непустых непересекающихся подмножеств Г^ = {а}},

= {аЪ,...,<4}, Г§ = {с4,...,а£+1} таких, что:

а) для любого I £ {1 ,...,к} вершина а\ инцидентна ровно трем ребрам: одно ребро соединяет вершину а\ с вершиной а} и два ребра соединяют вершину аг2 с различными вершинами из множества ГЦ;

б) не существует ребер, соединяющих между собой вершины из множества Г® и ребер, соединяющих вершину а} с вершинами из множества Г®;

в) для любого ] £ {1,..., к} ребро (а},«г) ориентировано от а} к а32 ;

г) для любой нары г £ {1,..., к}, j £ {1,..., к+1} такой, что вершины аг2, являются смежными, ребро (а'2, а33) ориентировано от а12 к а^;

д) граф Г \ а{ является связным.

Основным результатом параграфа 4.1 является следующая лемма.

Лемма 4.1 Пусть диффеоморфизм / S G\(Mn), тогда Г(/) е Г.

В параграфе 4.2 строится стандартный представитель каждого класса топологической сопряженности диффеоморфизмов из G\{Mn). Основной результат этого параграфа заключается в следующей теореме.

Теорема 3 Пусть Р — произвольный сохраняющий ориентацию ребер автоморфизм графа Г 6 Г. Тогда существует диффеоморфизм / € Gi(Mn) такой, что граф Г(/) изоморфен графу Г посредством изоморфизма С : Г(/) -> Г, такого, что СP(f) = PC-

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ

[1] Гринес В.З. Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех/ В. 3. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев// Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2008.

- Т. 261. - С. 61-86.

[2] Гринес В.З. О диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех/ В. 3. Гринес, Е. Я. Гуревич// Доклады академии наук, 2007. - Т. 416, N. 1. - С. 15-17.

[3] Гринес В.З. Реализация графов Пейксото диффеоморфизмами Морса-Смейла без гетероклинических пересечений с седловыми периодическими точками индекса один / В. 3. Грннсс, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев// Труды средневолжского математического общества, 2008. - Т. 10, № 1. - С. 55-69.

[4] Gurevich. Е. Y. The Realization of Peixoto's graph by Morse-Smale diffeomorphisms on manifolds of dimension greater than three/ E. Y. Gurevich// Тезисы докладов международной конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008. - С. 292-294.

[5] Гуревич Е.Я. Реализация графа Пейксото диффеоморфизмами Морса-Смсйла па многообразиях размерности большей чем три 3/ Е. Я. Гуревич// Сборник тезисов докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология посвященной Л.С. Понтрягину, Москва, 2008. - С. 121.

[6] Гуревич Е.Я. Полный топологический инвариант в классе диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности большей 3/ Е. Я. Гуревич// Сборник тезисов докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной И.Г. Петровскому, Москва, 2007. - С. 114.

[7] Gurevich. Е. Y. Smale graph as a complete invariant of Morse-Smale diffcomorphisms on a manifolds of large dimension/ E. Y. Gurevich// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2006. - С. 265-266.

[8] Гуревич Е.Я. О диффеоморфизмах Морса-Смейла сферы Sn/ Е. Я. Гуревич// Тезисы докладов международной конференции "Тихонов и современная математика2006. - С. 91-92.

J9] Гуревич Е.Я. О реализации диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех/ Е. Я. Гуревич// Сборник трудов 7 всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем Нижний Новгород, 2005. - С. 78.

[10] Гуревич Е.Я. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис / Е. Я. Гуревич// Тезисы докладов международной конференции, посвященной семидесятилетию Л.П. Шилышкова "Динамика, бифуркации и хаос Нижний Новгород, 2005. - С. 51.

[11] Гуревич Е.Я. О вложении пучка одномерных сепаратрис диффеоморфизмов Морса-Смейла в многообразие размерности большей трех/ Е. Я. Гуревич// Труды средисволжского математического общества, 2005. - Т. 7, № 1. - С. 184-192.

[12] Гуревич Е.Я. Условия топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смсйла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис/ Е. Я. Гуревич// Труды средисволжского математического общества, Саранск, 2004. - Т. 6, № 1. - С. 180-181.

[13] Гуревич Е.Я. О вложении сепаратрис диффеоморфизмов Морса-Смейла в несущее многообразие/ Е. Я. Гуревич// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004. - С. 119-120.

[14] Гуревич Е.Я. О классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей 3/ Е. Я. Гуревич// Тезисы докладов конференции "Колмогоров и современная математика Москва, 2003. - С. 99100.

[15] Гуревич Е.Я. Критерий топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла с седловыми периодическими точками коразмерности 1/ Е. Я. Гуревич// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2002. - С. 47-48.

[16] Гуревич Е.Я. О топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла на п-мерных многообразиях без гстероклшшческих пересечений/ Е. Я. Гуревич// Труды срсдпеволжского математического общества, Саранск, 2002. - Т.3-4, № 1. - С. 252-254.

Подписано в печать 10.02.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тир. 100. Зак. 72.

Типография Нижегородского госуниверситета Лицензия № 18-0099 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Гуревич, Елена Яковлевна

Введение. История вопроса

Формулировка результатов

1 Вспомогательные топологические результаты

1.1 Вложения в многообразие.

1.2 Евклидовы полиэдры

1.3 Вложение полиэдров в евклидово пространство

1.4 Пространство орбит действия группы.

1.5 Теорема об 5-кобордизме

2 Структура неблуждающего множества диффеоморфизмов класса С\{Мп) и топология несущего многообразия Мп

2.1 Основные определения.

2.2 О вложении сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма / б О:(Мп).

2.3 Доказательство теоремы 1.

3 Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности диффеоморфизмов класса (?1(МП)

3.1 Локальная сопряженность.

3.2 Каноническая модель окрестности седловой точки

3.3 Допустимые окрестности седловых периодических точек диффеоморфизма из 0\(Мп).

3.4 Доказательство теоремы 2.

4 Теорема реализации

4.1 Допустимый граф.

4.2 Доказательство теоремы 3.

Введение диссертация по математике, на тему "Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3"

Актуальность темы. Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории дифференциальных уравнений — топологической классификации структурно устойчивых динамических систем на замкнутых многообразиях.

Топологическая классификация динамических систем включает в себя следующие направления:

• нахождение топологических инвариантов для класса рассматриваемых динамических систем;

• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение топологических инвариантов является достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем;

• построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя в каждом классе топологически эквивалентных систем.

Приведем краткую информацию о результатах по топологической классификации гладких динамических систем, заданных на замкнутых многообразиях. Более подробную информацию об этом можно найти в книгах [65], [51], а также в обзорных статьях [3], [4], [7], [8], [6], [82], [22].

На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых непрерывных динамических систем (потоков) была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леон-тович, А. Г. Майера, Л. С. Понтрягина ([1], [58], [59]). Фундаментом для этого явились идеи А. Пуанкаре и И. Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтряги-ну (см. [1]).

Следующим шагом была топологическая классификация дискретных структурно устойчивых динамических систем (каскадов) на окружности, полученная вначале А.Г. Майером в [61] и затем независимо В. И. Арнольдом и В. А. Плиссом ([9], [73]).

Существенным продвижением в классификации структурно устойчивых потоков на поверхностях, отличных от двумерной сферы, явились работы [69], [70] М. Пейкшото. В частности, для таких потоков он нашел полный топологический инвариант, называемый теперь графом Пейкшото. Фактически, этот инвариант обобщает понятие схемы потока, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером для потоков на сфере, и сводит проблему топологической классификации к решению комбинарных задач. Достигнутый прогресс в классификации структурно-устойчивых потоков на поверхностях обусловлен тем, что эти потоки имеют конечное число гиперболических состояний равновесия и замкнутых гиперболических траекторий которые вместе с сепаратрисами седловых состояний равновесия однозначно определяют разбиение несущей поверхности на траектории.

При переходе к диффеоморфизмам на многообразиях размерности большей единицы или к потокам на многообразиях размерности большей двух становится возможным существование гомоклиниче-ских траекторий у структурно устойчивых систем, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.

Этот феномен, обнаруженный в работах [2], [81] Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах, привел к-выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой неблуждающего множества, а также систем, не являющихся гиперболическими в строгом смысле, но обладающих предельными множествами с хаотическим поведением траекторий. Этой тематике посвящены работы таких математиков как Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю. С. Ильяшенко, Л. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисс, Р. В. Плыкин, Е. А. Са-таев, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, Л. П. Шильни-ков, Хр. Бонатти, Р. Воуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орн-стейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других (см., например, [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [19], [64], [74], [78], где содержится обширная библиография по данной тематике) .

В то же время С. Смейл ввел класс динамических систем (потоков и диффеоморфизмов), аналогичных грубым потокам на поверхностях (см. [82]). Неблуждающее множество таких систем (получивших впоследствии название систем Морса-Смейла) состоит из конечного числа гиперболических периодических движений, устойчивые и неустойчивые многообразия которых пересекаются трансверсаль-но. И хотя потоки (диффеоморфизмы) Морса-Смейла не являются типичными на многообразиях размерности большей двух (большей единицы), они представляют класс структурно устойчивых динамических систем, имеющих важное значение в качественной теории и ее приложениях, связанных с адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют хаотические явления.

Следует отметить, что новые проблемы в топологической классификации систем Морса-Смейла связаны с тем, что блуждающее множество потока (диффеомрфизма) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Так, В. С. Афраймович и Л. П. Шильников в [11] доказали, что ограничение многомерных потоков Морса-Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

К настоящему времени имеются весьма законченные результаты по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных многообразиях, полученные в работах В. 3. Безденежных, Е. А. Боревич, И. Ю. Власенко, В. 3. Грине-са, X. Бонатти и Р. Ланжевена (см. [14]-[18], [28], [32], [45], [27]). Одним из основных инвариантов для перечисленных классов топологической сопряженности является некоторый граф, аналогичный графу Пейкшото, снабженный дополнительной информацией, описывающей структуру множества гетероклинических траекторий.

Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется небольшое число законченных результатов. Среди них отметим результат Ж. Флейтаса, который на языке диаграмм Хегора дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источ-никовой и 2к,к > 2 седловых особых точек (см. [41]). Я. Л. Уман-ским в [90] найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Топологический инвариант Я. Л. У майского является обобщением схемы динамической системы, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. С. Ю. Пилюгин в [71] полностью решил задачу классификации для потоков Морса-Смейла на сфере 5П размерности п > 3, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений. Инвариантом для таких потоков является граф, аналогичный графу Пейкшото.

В неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались Л. М. Лерманом и Л.П. Шильниковым, которые построили инварианты равномерной сопряженности таких систем (см. [60]).

Отметим, что примеры диких вложений кривых и двумерных сфер были открыты в работах Дж. Александера (1924 г.), Е. Артина и Р. Фокса (1948 г.), а их существование в качестве замыкания инвариантных многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов было обнаружено Д. Пикстоном (см. [72]).

Построению топологических инвариантов для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3, в

Два топологически не сопряженных диффеоморфизма на 5'3. 9 предположениях различной общности посвящены работы Хр. Бо-натти, В. 3. Гринеса, В. С. Медведева, Е. Пеку и О. В. Починки [21], [23], [24], [25], [26]. Топологические инварианты, введенные в этих работах, представляют собой комбинацию классических комбинаторных инвариантов, аналогичных графу Пейксото, с новыми топологическими инвариантами, описывающими вложение сепаратрис.

В диссертации выделен важный класс С?1(МП) диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на ориентируемых многообразиях размерности большей чем 3, для которого удалось доказать, что полным топологическим инвариантом диффеоморфизмов из С\(Мп) вновь является граф Пейкшото (с заданным на нем автоморфизмом).

Доказательство этого результата существенно основано на полученных относительно недавно фактах из топологии многообразий высших размерностей, не имеющих места в размерности 3. Наиболее важными из них являются результаты Дж. Кантрелла, А. В. Чер-навского и Р. Давермана о вложении в многообразие размерности п > 3 дуг и многообразий коразмерности 1 (см. [35], [87] и [38]), следствием которых явилась невозможность дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов Морса-Смейла из рассматриваемого в диссертации класса.

Пусть Сх(Мп) — класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на связном замкнутом гладком ориентируемом многообразии Мп размерности п > 4 и таких, что любой / е (?х(Мп) удовлетворяет следующим условиям:

1) неустойчивое многообразие любой седловой периодической точки из множества является одномерным;

2) неустойчивые и устойчивые многообразия различных седловых периодических точек из ^(/) не пересекаются.

Цель работы состоит в топологической классификации диффеоморфизмов из множества 0\(Мп), то есть нахождению полного топологического инварианта и построению стандартного представителя каждого класса топологической сопряженности.

Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы:

1) Изучена топология вложения замыканий сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов, принадлежащих классу

Мп). Установлено отсутствие дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек. В частности, доказано, что замыкание сепаратрисы размерности (п — 1) седловой периодической точки диффеоморфизма / 6 С\(Мп) является цилиндрически вложенной сферой 5П1.

2) Установлено, что для любого диффеоморфизма класса С\(Мп) несущее многообразие Мп является сферой 5П, а неблуждающее множество состоит в точности из одной отталкивающей точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

3) Каждому диффеоморфизму / £ С?1(МП) поставлен в соответствие топологический инвариант, представляющий собой ориентированный граф Г(/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. Граф Г(/) оснащен сохраняющим ориентацию ребер автоморфизмом Р(/), индуцированным диффеоморфизмом /.

Установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из Сх (Мп) является изоморфизм графов Г(/), Г(/') при помощи сохраняющего ориентацию ребер изоморфизма 77, сопрягающего автоморфизмы Р(/) и Р(Г), то есть удовлетворяющего условию г)Р(/) = Р(/')?7.

4) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса (Мп): a) выделено множество допустимых графов, оснащенных автоморфизмами, и установлено, что граф Г(/) любого диффеоморфизма/б (?1 (Мп) является допустимым; b) для любого допустимого графа Г и произвольного сохраняющего ориентацию ребер автоморфизма графа Р построен диффеоморфизм / е (?1(МП), граф Г(/) которого изоморфен графу Г посредством изоморфизма сопрягающего автоморфизмы Р(/) и Р.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании каскадов, заданных на многообразиях размерности большей чем 3, а так же при исследовании многомерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений и потоков, имеющих секущую размерности п > 3.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях: на международной конференции "Дифференциальные уравнения и топология", посвященной 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва 2008); на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2006, 2008); на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной И.Г.Петровскому (Москва 2007); на международных конферециях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск 2005, 2006); на международной конференции, посвященной столетию

A. Н. Колмогорова (Москва 2003).

По теме диссертации были также сделаны следующие доклады: на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при нижегородском государственном университете (2008 г., руководитель проф. Л.П. Шильников); на научном семинаре кафедры ТУиДМ факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (в 2006 г, руководитель проф. A.A. Хентов и в 2008 г, руководитель проф. Г. В. Осипов); на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской сельско-хозяйственной академии (2006-2008 гг., руководитель проф.

B. 3. Гринес).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертации (см. список литературы). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, B.C. Медведев являлся консультантом по вопросам многомерной топологии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании конкретных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений порядка п > 3, а также многомерных потоков, имеющих секщую размерности п > 3.

Структура диссертации: оглавление, введение и история вопроса, формулировка результатов, четыре главы, заключение, список литературы. Объем диссертации стр. 115, рис. 12, наименований литературы 111. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1, 2 и 3.

Формулировка результатов

Основным результатом диссертации является получение необходимых и достаточных условий топологической сопряженности, а также построение стандартного представителя каждого класса топологической сопряженности на множестве Сх (Мп) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутом ориентируемом многообразии Мп размерности большей трех и таких, что для любого / £ (?х(Мп) множество неустойчивых сепаратрис одномерно и не содержит гетероклинических орбит.

Классификация диффеоморфизмов из рассматриваемого класса имеет самостоятельное значение и нигде ранее не изучалась.

В параграфе 2.2 описывается топология вложения сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов из С\{Мп)) в частности, доказывается следующая лемма. Пусть Е - замыкание (п — 1)-мерной сепаратрисы седловой периодической точки. Лемма 2.2 Сфера Е является цилиндрически вложенной.

В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема, являющая основным результатом второй главы.

Теорема 1 Для любого диффеоморфизма / £ (Мп) (п > 4) несущее многообразие Мп является сферой а неблуэ/сдающее множество состоит в точности из одной отталкиваюшрй точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

Третья глава посвящена отысканию необходимых и достаточных условий топологической сопряженности диффеоморфизмов из класса G\(Mn).

Поставим в соответствие каждому диффеоморфизму / G G\{Mn) ориентированный граф Г(/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек Г2(/), а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. На каждом ребре графа Г(/) зададим ориентацию следующим образом. Пусть а и Ь - вершины Г(/), инцидентные ребру I. Тогда одна из этих вершин соответствует седловой периодической точке, а другая — притягивающей или отталкивающей периодической точке диффеоморфизма /. Если вершина а соответствует седловой периодической точке, а вершина Ъ — притягивающей периодической точке, то ориентируем ребро I от а к Ъ. Если вершина а соответствует седловой периодической точке, а вершина b — отталкивающей периодической точке, то ориентируем ребро I от b к а. Граф Г(/) будем называть графом диффеоморфизма /. Диффеоморфизм / индуцирует автоморфизм P(f) графа Г(/).

Пусть /, /' G G\(Мп) и существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм 77 графов Г(/),Г(/') такой, что r]P(f) = P(f')r). Будем говорить, что точка р G изоморфна точке р' G (сепаратриса I изоморфна сепаратрисе V), если точки р,р' (сепаратрисы I, /') соответствуют изоморфным при отображении rj вершинам (ребрам) графов Г(/), Г(/').

Пусть и>, ш' — изоморфные стоковые периодические точки диффеоморфизмов /, f соответственно, и m — период точек ии/. Обозначим через Ws(u>) устойчивое многообразие точки ш и через Lw = {1ц, .,1^} множество всех сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма /, принадлежащих множеству Ws(lu). Из условий, определяющих класс Gi(Mn), следует, что для любого г G {!,.,&} сепаратриса 1ги принадлежит одномерному неустойчивому многообразию некоторой седловой периодической точки сг^. Обозначим через 1— \J\o4 ^ш'У множество всех сепаратрис сед-ловых периодических точек диффеоморфизма /', в замыкании которых содержится сток о/. Не уменьшая общности будем полагать, что при выбранной нумерации сепаратрисы 1гш и 1гш, изоморфны.

В первом разделе третьей главы доказываются следующие важные леммы, составляющие первый этап доказательства топологической сопряженности диффеоморфизмов /, /'.

Лемма 3.1 Существует цилиндрически вложенная сфера С \У8(ш), ограничивающая открытый шар В" Э ш, такая, что:

1) ГИГ1) С В1;

2) для любого % £ {1,., к} пересечение 1гш П состоит из единственной точки гг;

3) кольцо К™ = В™\/т(В™) гомеоморфно комбинаторному коль

ЧУ

Пусть сфера С И/8(ш) обладает всеми свойствами, перечисленными в лемме 3.1. Обозначим через В^ открытый шар такой, что шев%идв% = Положим = г), кы = в*\7ЧВД

Обозначим через Ви Ки> аналогичные объекты для диффеоморфизма /'.

Лемма 3.2 Существует гомеоморфизм С^у : —> К^ такой, что:

1) =

П для любого 11ш Е Ьш.

Следствие 3.1.1 Пусть о>1,., и)т-1 — стоковые периодические точки периода т, принадлежащие одной орбите диффеоморфизма /, — стоковые периодические точки диффеоморфизма такие, что для любого г Е {1,., ш — 1} точки щ, из\ изоморфны. ш—1

Тогда существует гомеоморфизм С , : и —>

УЛ-\ и ТУ5(о;-) такой, что: г=1 г=1

О ^0(и1),0(ы1)Лт-1 / ^(а,!),©(и,') 1т-1 г=1 г=1

2) дли любых г £ {1, .,7тг — 1}; у £ {1,., имеет место равенство 6? , ,,(//,.) = П

Следующим этапом в построении гомеоморфизма Л" : Мп —V М сопрягающего диффеоморфизмы /, /', является продолжение гомеоморфизмов вида построенных для каждой стоковой орбиты, на (п — 1)-мерные сепаратрисы седловых периодических точек. Принципиальная возможность такого продолжения доказывается в лемме 3.3 (являющейся основным результатом разделов 3.23.3). Метод доказательства состоит в переходе к пространству орбит ограничению диффеоморфизма / на некоторую окрестность (п — 1)-мерной сепаратрисы и применении ряда нетривиальных топологических фактов.

Итогом лемм 3.1-3.3 является следующая теорема.

Теорема 2 Диффеоморфизмы /, /' £ С\{Мп) (п > 4) типологически сопряжены тогда и только тогда, когда существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм г) графов Г(/),Г(/') такой, что чР(/) = Р(/')т7.

Четвертая глава состоит из двух параграфов. В параграфе 4.1 вводится множество допустимых графов Г. Связный ориентированный граф Г принадлежит множеству Г, если множество Г° его вершин можно представить в виде трех непустых непересекающихся подмножеств Г? = {а}}, Г§ = {аз,.,^}, Г§ = {а^,., таких, что: а) для любого i Е {1, .,&} вершина а\ инцидентна ровно трем ребрам: одно ребро соединяет вершину а\ с вершиной о} и два ребра соединяют вершину а\ с различными вершинами из множества Гд; б) не существует ребер, соединяющих между собой вершины из множества Г3 и ребер, соединяющих вершину а* с вершинами из множества Г3; в) для любого з Е {1,.,/г} ребро (а},¿4) ориентировано от а\ к а32 ; г) для любой пары г Е {1,., ] Е {1,., к + 1} такой, что вершины аг2,а33 являются смежными, ребро (¿4, аз) ориентировано от а\ к аз; д) граф Г \ а\ является связным.

Основным результатом параграфа 4.1 является следующая лемма.

Лемма 4.1 Пусть диффеоморфизм / Е Сх(Мп), тогда Г(/) Е Г.

В параграфе 4.2 доказывается следующая теорема реализации.

Теорема 3 Пусть Р — произвольный сохраняющий ориентацию ребер автоморфизм графа Г Е Г. Тогда существует диффеоморфизм / Е Сп (Мп) такой, что граф Г(/) изоморфен графу Г посредством изоморфизма £ : Г(/) —> Г; такого, что С-Р(/) =

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Заключение

В диссертации исследована актуальная задача топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности большей трех.

Рассмотренный в диссертации класс С?1(МП) диффеоморфизмов представляет интерес, так как, с одной стороны, для него удалось найти полную систему топологических инвариантов, а с другой стороны, привлеченные для исследования методы качественной теории динамических систем, топологии и геометрии, могут быть использованы в дальнейшем для анализа более общего класса диффеоморфизмов и потоков Морса-Смейла на многомерных многообразиях.

Работа носит теоретический характер. Основной научный результат состоит в топологической классификации диффеоморфизмов из класса 0\{Мп).

Основные научные результаты являются новыми и заключаются в следующем:

Мп). Установлено отсутствие дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек. В частности, доказано, что замыкание сепаратрисы размерности (п — 1) седловой периодической точки диффеоморфизма / £ Са(Мп) является цилиндрически вложенной сферой 5П1.

2) Установлено, что для любого диффеоморфизма класса С\(Мп) несущее многообразие Мп является сферой 5П, а неблуждающее множество £}(/) состоит в точности из одной отталкивающей точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

3) Каждому диффеоморфизму / Е G\(Mn) поставлен в соответствие топологический инвариант, представляющий собой ориентированный граф Г(/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. Граф Г(/) оснащен сохраняющим ориентацию ребер автоморфизмом Р(/), индуцированным диффеоморфизмом /.

Установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из G\(Mn) является изоморфизм графов Г(/), Г(/') при помощи сохраняющего ориентацию ребер изоморфизма rj, сопрягающего автоморфизмы P(f) и P(f'), то есть удовлетворяющего условию rjP(f) = P(f')rj.

4) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса Gi(Mn): a) выделено множество допустимых графов, оснащенных автоморфизмами, и установлено, что граф Г(/) любого диффеоморфизма/б G\(Mn) является допустимым; b) для любого допустимого графа Г и произвольного сохраняющего ориентацию ребер автоморфизма графа Р построен диффеоморфизм / Е G\(Mn), граф Г(/) которого изоморфен графу Г посредством изоморфизма сопрягающего автоморфизмы P(f) и Р.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных многомерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также при исследовании потоков, имеющих секущую размерности п > 3.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы специалистами МИ РАН им. В.А. Стеклова, МГУ, ЛГУ, НГУ и др.

Диссертация является существенным продвижением в направлении глобальной классификации динамических систем Морса-Смейла на многообразиях размерности большей чем три.

Всего по теме диссертации опубликовано 16 работ (из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертаций), при этом основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, являются новыми и принадлежат автору.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Гуревич, Елена Яковлевна, Нижний Новгород

1. Андронов А. А. Грубые системы/ А. А. Андронов, JI. С. Пон-трягин// Докл. АН СССР, 1937.- Т. 14, № 5.- С. 247-250.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны/ Д. В. Аносов// Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1967.-Т. 90.-С. 1-210.

3. Аносов Д. В. Исходные понятия. Глава 1/ Д. В. Аносов// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы I. - ВИНИТИ АН СССР, 1985.- С. 151 - 178.

4. Аносов Д. В. Элементарная теория. Глава 2/ Д. В. Аносов// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы I. -ВИНИТИ АН СССР, 1985,- С. 178 - 204.

5. Anosov D. V. Flows on closed surfaces and behavior of trajectories lifted to the universal covering plane/ Д. В. Аносов// Journal of dynamical and control systems, 1995. V. 1, № 1.- C. 125 - 138.

6. Аносов Д. В. Гиперболические множества/ Д. В. Аносов, В. В. Солодов// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 9 (под ред. Д. В. Аносова), 1991,- Т. 66,- С. 12 - 99.

7. Арансон С. X. Топологическая классификация каскадов на замкнутых двумерных поверхностях/ С. X. Арансон, В. 3. Гри-нес// Успехи Мат. Наук, 1990. Т. 45, № 4,- С. 3 - 32.

8. Арнольд В. И. Малые знаменатели I. Отображение окружности на себя/ В. И. Арнольд// Известия АН СССР. Сер. Мат., 1961.Т. 25. С. 21 - 86.

9. Арнольд В. И. Теория бифуркаций/ В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, JI. П. Шильников// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ РАН, 1986. - Т. 5. 283 с.

10. Афраймович В. С. Об особых множествах систем Морса-Смейла/ В.С. Афраймович, Л.П. Шильников// Труды ММО, 1973. Т. 28.- С. 181 - 214.

11. Azimov D. Round bundles and non-singular Morse-Smale flows/ D. Azimov// Ann. of Math., 1975.- V. 102,- P. 41 54.

12. Bass H. The Whitehead group of a polinomial extensión/ H. Bass, A. Heller, R. Swan// Publ. Inst. Hautes Etudes Sci., 1964. V. 22. -P. 61-79.j

13. Андроновой, Горький, 1985. С. 22 - 38. Имеется перевод: Bez-denezhykh A. N., Grines V. Z. Dynamical properties and topological classification of gradientlike diffeomorphisms on two-dimensional manifolds I. Sel. Math. Sov., 1992. - V. 11. - P. 1 - 11.

14. Белых В. Н. Хаотические странные аттракторы двумерных отображений/ В. Н. Белых// Матем. сб., 1995. Т. 185, № 3. - С. 3- 18.

15. Bing R.H. Locally tame sets are tame/ R.H. Bing// Ann. of Math., 1954,- V. 2, № 59. P. 145-158.

16. Bonatti Ch. Knots as topological invariants for gradient-like dif-feomorphisms of the sphere S^/Ch. Bonatti , V. Grines// Journal of Dynamical and Control Systems, Plenum Press, New York and London, 2000. V. 6, № 4. - P. 579-602.

17. Bonatti Ch. Dynamical system in dimension 2 and 3: conjugacy invariants and classification/Ch. Bonatti, V. Grines, R. Langevin// Computational and Applied Mathematics, 2001. V. 20, № 1-2. -P. 11 - 50.

18. Бонатти X. О диффеоморфизмах Морса-Смейла без гетерокли-нических кривых на три-многообразиях/ X. Бонатти, В.З. Гри-нес, B.C. Медведев, Э. Пеку// Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2002. Т. 236. - С. 58-69.

19. Bonatti Ch. Three-manifolds admitting Morse-Smale diffeomor-fisms without heteroclinic curves/ Ch. Bonatti, V. Grines, V. Medvedev, E. Pecou// Topology and its Applications, 2002. -V. 111. C. 335-344.

20. Bonatti Ch. Topological classification of gradient-like diffeomor-phisms on З-manifolds/ Ch. Bonatti, V. Grines, V. Medvedev, E. Pecou// Topology, 2004. V. 43. - C. 369-391.

21. Бонатти X. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным множеством гетероклинических орбит на 3-многообразиях/ X. Бонатти, В. 3. Гринес, О.В. Починка// Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2005. Т. 250.- С. 5-53.

22. Bonatti Ch. Difféomorphismes de Smale des surfaces/Ch. Bonatti, R. Langevin// Astérisque N2 250, société mathématique de France, Paris, 1998, 235 p.

23. Боревич E. A. Условия топологической эквивалентности двумерных диффеоморфизмов Морса-Смейла/ Е. А. Боревич// Дифференц. уравнения, 1981. № 6. - С. 1481-1482.

24. Brown M. Locally flat imbeddings of topological manifolds/ M. Brown// Ann. of Math, 1962. V. 75, № 2. - P. 331-341.

25. Brown M. A proof of the generalised Schoenflies theorem/ M.Brown// Bull.Amer.Math.Soc., 1960.-V. 66, № 2,- P. 74-76. Имеется Перевод:-Математика, 1961.-T. 5.- С. 13-15.]

26. Brown M. Stable structures on manifolds:I Homeomorphisms of S71/ M.Brown, H. Gluck// Ann. of Math, 1964.-V. 79, № 1,- С. 1-17.

27. Власенко И. Полный инвариант диффеоморфизма Морса-Смейла на двумерных многообразиях/ И.Власенко// Некоторые вопросы современной математики. Т. 25 / под ред. В. В. Шарко.-Киев: Ин-т математики НАНУ, 1998.-С. 60-93.

28. Cantrell J.С. Almost locally poliedral curves in Euclidean n-space/ J.C.Cantrell , C.H. Edvards// Trans. Amer. Math. Soc., 1963,- V. 107, № 3. P. 451-457.

29. Cantrell J.C. Almost locally flat sphere Sп'г in Sn/ J.C.Cantrell// Proceeding of the American Mathematical society, 1964,- V. 15, №4.- P. 574-578.

30. Cantrell J.С. n-frames in Euclidean к-space/ J.C.Cantrell// Proceeding of the American Mathematical society, 1964.- V. 15, № 4. -P. 574-578.

31. Cappell S. E. On 4-dimensional s-cobordisms/ S. E.Cappell , J. L. Shaneson // J. Differential Geom., 1985.- V. 22(1).- P. 97-115.

32. Chapman T.A. Topological invariance of Whitehead torsion/ T.A.Chapman// Am. J. Math., 1974.-V. 96.- P. 488-497.

33. Daverman R.J. Embeddings of (n-l)-spheres in Euclidean n-spase./ R.J.Daverman// Bulleting of the American Mathematical society, 1978.-V. 84, № 3. P.377-405.

34. Donaldson S. K. Irrationality and the h-cobordism conjecture/ S. K.Donaldson// J. Differential Geom., 1987.- V. 26 (1). P. 141-168.

35. Edwards R. D. The solution of the 4-dimensional annulus conjecture (after Frank Quinn)/ R. D.Edwards// Contemp. Math., 1984.-V. 35. P. 211-264.

36. Fleitas G. Classification of gradient-like flows in dimension two and three/ G.Fleitas// Bol. Soc. Mat. Brasil, 1975.- V. 6. P. 155 - 183.

37. Freedman M. H. Teichner P. 4-Manifold topology I: Subexponcntial groups/ M. H.Freedman// Invent. Math., 1996. -V. 122, №. 3. -P. 509-529.

38. Freedman M. H. Topology of 4-manifolds/ M. H. Freedman , F.Quinn. Princeton University Press, 1990.- 255 p.

39. Gluck H. Embeddings in the trivial range/ H.Gluck// Ann. of Math., 1965.- V. 81, № 2. P. 195-210.

40. Гринес В. 3. Топологическая классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических траекторий на поверхностях/ В. 3. Гринес// Мат. заметки, 1993.Т. 54, № 3.- С. 3-17.

41. Gugenheim V. К. А. М. Piecewise linear isiotipy and embedding of elements and spheres/ V. К. A. M.Gugenheim// Proc. London Math.Soc., 1953.- V. 66, № 3.-P. 30-53.

42. Гуревич В. Теория размерности/ В.Гуревич , Г. Волмэн; пер. с англ. М.: Издательство иностранной литературы, 1948.- 232 с.

43. Higman G. The units of group rings/ G.Higman// Proc. London Math. Soc., 1940.- V. 46. P. 231- 248.

44. Hudson J.F., Zeeman E.C. On combinatorial isotopy/J.F.Hudson , E.C. Zeeman// Publ. IHES, 1964,- V.19.- P. 69-74.

45. Зейферт Г. Топология/ Г.Зейферт ,В. Трельфалль. Ижевск.: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001.- 448 с.

46. Katok A. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems/ A.Katok,B.Hasselblatt; Encyclopedia of Math, and its Appl. Cambridge Univ. Press, 1995.- V. 54.

47. Келдыш JI. В. Топологические вложения в евклидово пространство/ Л. В.Келдыш; Труды математического института им. В. А. Стеклова. М.: Наука, 1966. -183 с.

48. Kirby R. С. Stable Homeomorphisms and the Annulus Conjecture/ R. C.Kirby// Ann. Math., 1969.- V. 89,- P. 575-582.

49. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. /Ч.Косневски. М.: Мир, 1983. -302 с.

50. Kwasik S. On low dimensional S-cobordisms/ S.Kwasik// Comment. Math. Helvetici, 1986,- V. 61. P. 415-428.

51. Langevin R. Quelques nouveaux invariante des diffeomorphismes Mors-Smale D'une surface/ R.Langevin// Ann. Ins. Fourier, Grenoble, 1993,- V. 43, № 1. P. 265 - 278.

52. Леонтович E. А. О траекториях, опредляющих качественную структуру разбиения сферы на траектории/ Е. А.Леонтович, А.Г.Майер // Докл. АН СССР, 1937.- Т. 14, № 5. С. 251 - 257.

53. Леонтович Е. А. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории/ Е. А.Леонтович , А.Г.Майер// Докл. АН СССР, 1955,- Т. 103, № 4.- С. 557 560.

54. Лерман Л. М. О классификации грубых неавтономных систем второго порядка с конечным числом ячеек/ Л. М. Лерман ,Л. П. Шильников// ДАН СССР, 1975.- Т. 209, № 3,- С. 544 547.

55. Майер А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность/ А.Г.Майер// Уч. Зап. ГГУ. Горький: Изд-во ГГУ, 1939. Вып. 12. - С. 215 - 229.

56. Milnor J. W. Lectures on the s-cobordism theorem/ J. W.Milnor.-Princeton U. Р., 1965, 113 р. Русский перевод: Милнор Дж. Теорема об А-кобордизме/Дж.Милнор. М.:Мир, 1969, 113 е.]

57. Morgan J. W. Non-singular flows on З-manifold/ J. W.Morgan// Topology, 1975,- V. 14, N. 1.- P. 41 53.

58. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний./ Ю.И.Неймарк. М.: Наука, 1972,- 472 с.

59. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику/ З.Нитецки. М.:Наука, 1975. - 304 с.

60. Palis J. On Morse-Smale dynamical systems/ J. Palis// Topology, 1969.- V. 8, № 4,- P. 385 404.

61. Палис Ж. Геометрическая теория динамических систем. Введение/ Ж. Палис, В.Ди Мелу. М.:Мир, 1986. - 301 с.

62. Peixoto М. Structural stability on two-dimensional manifolds/ M.Peixoto// Topology, 1962,- V. 1. C. 101 - 120. A further remarks: Topology, 1963,- V. 2. -C. 179 - 180.

63. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds/ M.Peixoto// Dynamical systems Proc. Symp. held at the Univ.of Bahia, Salvador, Brasil, 1971.- M. Peixoto (ed.) N.Y.London: Acad, press, 1973.- C. 389 419.

64. Пилюгин С.Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах/ С.Ю.Пилюгин// Дифференциальные уравнения, 1978.- Т. 14, № 2. С. 245-254.

65. Pixton D. Wild unstable manifold/ D.Pixton// Topology, 1977. -V. 16. P. 167-172.

66. Плисс В. А. О грубости дифференциальных уравнений, заданных на торе/ В. А.Плисс// Вестник ЛГУ; Сер. Мат., Мех., 1960.Т. 13, № 3. С. 15 - 23.

67. Плыкин Р. В. Странные аттракторы. Глава 1/ Р. В.Плыкин , Е. А. Сатаев, С. В.Шлячков// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 9. ВИНИТИ АН СССР, 1991,- С. 100 -148.

68. Понтрягин JI.C. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий/ JI.С.Понтрягин. М.:Наука, 1976.- 176 с.

69. Понтрягин JI.C. Основы комбинаторной топологии/ JI.C. Понтрягин. М.:Наука, 1986. - 120 с.

70. Прасолов В.В. Элементы теории гомологий/ В.В.Прасолов. -М.:МЦНМО, 2006,- 448 с.

71. Сафонов А. В. Динамические системы с транзитивной группой симметрий. Геометрические и статистические свойства./А.

72. B.Сафонов , А. Н.Старков , А. М. Степин// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Динамические системы 9. ВИНИТИ РАН, 1991,- Т. 66. - С. 187 - 242.

73. Smale S. Morse inequalities for a dynamical systems/ S.Smale// Bull. Am. math. Soc., I960.- V. 66.- C. 43 49.

74. Smail S. On structure of manifolds/ S.Smale// Amer. J. Math., 1962.- V. 84. P. 387-399.

75. Смейл С. Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм с бесконечным числом периодических точек/

76. C.Смейл// Тезисы доклада на симпозиуме по нелинейным колебаниям. Киев, Институт математики АН УССР, 1961.- С. 1 3. Или: Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев, Изд-во АН УССР, 1963. - T. II. - С. 365 - 366.

77. Smale S. Differentiable dynamical systems/ S.Smail// Bull. Amer. Math. Soc., 1967. V. 73, № 6. - P. 747 - 817. Перевод: Смейл С.

78. Дифференцируемые динамические системы./С.Смейл// Успехи мат. наук, 1970.- Т. 25, № 1. С. ИЗ 185.

79. Stallings J. On infinite processes leading to differentiability in the complement of a point/ J.Stallings// Differential and Combinatorial Topology, (A Symposium in honor of M. Morse), Princeton University Press, Princeton, N. J., 1965.- P. 245-254.

80. Quinn F. The embedding theorems for towers/ F.Quinn// Con-temp. Math., 1984.- V. 35. P. 461-471.

81. Рохлин В.А. Начальный курс топологии. Геометрические главы/ В.А.Рохлин, Д.Б.Фукс. Москва: Наука, 1977.- 488 с.

82. Рурк К. Введение в кусочно-линейную топологию/ К.Рурк , Б. Сандерсон.- М.: Мир, 1974,- 208 с.

83. Чернавский А.В. О ^-стабильности гомеоморфизмов и объединении клеток/ А.В.Чернавский // ДАН СССР, 1968.- Т. 180, № 5.- С. 1045-1047.

84. Чернавский А.В. О работах JI.B. Келдыш и её семинара/ А.В.Чернавский// Успехи математических наук, 2005.- Т.60, № 4. С. 11-36.

85. Методы качественной теории в нелинейной динамике/ Л.П. Шильников и др.], Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 428 с.

86. Уманский Я. Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий/ Я. Л.Уманский// Мат. сб., 1990,- Т. 181, № 2. С. 212 - 239.

87. Хирш М. Дифференциальная топология/ М. Хирш. М.: Мир, 1979,- 280 с.

88. Whitehead J. H. C. On subdivisions of complexes/ J. H. C.Whitehead// Proc. Cambrige Phil. Soc., 1935.- V. 31.- P. 69-75.

89. Whitehead J. H. C. On ^-complexes/ J. H. C.Whitehead// Ann. of Math., 1940.- V. 41, № 4. P. 809-824.

90. Whirehead J. H. C. Simple homotopy types/ J. H. C.Whitehead// Amer. J, Math., 1950.- V. 72. P. 1-57.

91. Zeeman E. C. Unknotting spheres/ E. C.Zeeman// Ann. of Math., I960.- V. 72, № 2.- P. 350-361.

92. Гринес В.З. Граф Пейкшото диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех/ В.З. Гринес, Е.Я.Гуревич, В.С.Медведев// Труды математического института им. В.А. Стеклова, 2008,- Т. 261.- С. 61-86.

93. Гринес В.З. О диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех/ В.З. Гринес, Е.Я.Гуревич// Доклады академии наук, 2007. Т.416, N.I.- С. 15-17.

94. Гуревич Е.Я. О диффеоморфизмах Морса-Смейла сферы Sn/ Е.Я.Гуревич// Тезисы докладов международной конференции "Тихонов и современная математика", 2006.- С. 91-92.

95. Гуревич Е.Я. О реализации диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех/ Е.Я.Гуревич// Сборник трудов 7 всероссийской научной конференции "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород, 2005. С. 78.

96. Гуревич Е.Я. О вложении пучка одномерных сепаратрис диффеоморфизмов Морса-Смейла в многообразие размерностибольшей трех/ Е.Я.Гуревич// Труды средневолжского математического общества, 2005.- Т. 7, № 1.- С. 184-192.

97. Гуревич Е.Я. Условия топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла с одномерным множеством неустойчивых сепаратрис/ Е.Я.Гуревич// Труды средневолжского математического общества, Саранск, 2004. -Т. 6, № 1,-С. 180-181.

98. Гуревич Е.Я. О вложении сепаратрис диффеоморфизмов Морса-Смейла в несущее многообразие/ Е.Я.Гуревич// Тезисы докладов международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2004,- С. 119120.

99. Гуревич Е.Я. О классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей 3/ Е.Я.Гуревич// Тезисы докладов конференции "Колмогоров и современная математика", Москва, 2003.- С. 99-100.

100. Гуревич Е.Я. О топологической сопряженности диффеоморфизмов Морса-Смейла на п-мерных многообразиях без гетеро-клинических пересечений/ Е.Я.Гуревич // Труды средневолжского математического общества, Саранск, 2002.- Т.3-4, № 1,-С. 252-254.