Нелокальные задачи качественной теории слоений коразмерности один на 3-мерных плоских многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГБ ОД

1 5 ДЕК 1996

На правах рукописи

МАМАЕВ Вадим Константинович

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ СЛОЕНИЙ КОРАЗМЕРНОСТИ ОДИН НА 3-МЕРНЫХ ПЛОСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1996

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор С. X. Арансон,

кандидат физико-математических наук, доцент Е. В. Жужома.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Р. В. Плыкин,

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник В. С. Медведев.

Ведущая организация — Военно-воздушная академия им. Ю. А. Гагарина.

Защита состоится « 1996 г. в

на заседании диссертационного совета д 063.77.07 в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета (603600, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23).

Автореферат разослан

/¿Ь^рЯ-й,___ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доцент В. И. Лукьянов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из основных задач качественной теории дифференциальных уравнений является доказательство существования или отсутствия периодических движений в данном подмногообразии фазового пространства динамической системы. Существенные результаты в этом направлении для различных классов динамических систем были получены А.Пуанкаре, Дж.Биркгофом, Х.Кнезером, Г.Дюлаком, И.Бен-диксоном, А.А.Андроновым и его нижегородской школой, и многими другими математиками.

Естественным обобщением динамических систем с непрерывным временем (однопараметрических групп преобразований) являются слоения коразмерности один. Возникновение качественной теории слоений восходит к работам С.11ееЪ, А.НеаШ§ег, С.П.Новикова.

Особый интерес к теории слоений возник в связи с изучением У-потоков и У-диффеоморфизмов, введенных Д.В.Аносовым. Применение "хирургической операции" к диффеоморфизмам Аносова коразмерности один приводит к нетривиальным базисным множествам коразмерности один, классифицированных в окончательном виде в многомерном случае Р.В.Плыкиным (ориентируемые базисные множества коразмерности один на м-мерном, п > 3, торе были классифицированы В.З.Гринесом и Е.В.Жужомой).

Единственными замкнутыми двумерными многообразиями, допускающими слоения без особенностей, являются тор и бутылка Клейна. Эти же многообразия являются единственными замкнутыми 2-многообразиями,

допускающими риманову метрику нулевой кривизны (т.е. являются плоскими многообразиями). На двумерном торе существуют слоения без компактных слоев. Что касается бутылки Клейна, то как показал Х.Кнезер, на ней любое слоение без особенностей имеет компактный слой (го-меоморфный окружности). С.Х.Арансон и 1Ч.Магк1еу обобщили теорему Х.Кнезера на ориентируемые слоения с особенностями. Именно, ими показано. что на бутылке Клейна у любого ориентируемого слоения (может быть с особенностями) не существует незамкнутых самопредельных слоев (то есть нетривиальных рекуррентных слоев).

Первый существенный результат о существовании компактного слоя для слоений на 3-многообразиях был получен в 60-ых годах С.П.Новиковым. Он доказал, что любое слоение коразмерности один на 3-мерной сфере или 3-многообразии с конечной фундаментальной группой имеет компактный слой, гомеоморфный 2-мерному тору. Метод доказательства, используемый в доказательстве основной теоремы в работе С.Х.Арансона, и работа С.П.Новикова послужили отправной точкой для исследований главы 1 диссертации.

Одной из основных задач качественной теории слоений является исследование асимптотичских свойств слоев слоений (то есть, поведения слоев "в бесконечности"), а одним из основных методов такого исследования является "сравнение" слоев с какими-либо геометрическими объектами, например, с вполне геодезическими подмногообразиями или со слоями соответствующих вполне геодезических слоений. В наиболее четкой форме этот подход нашел свое отражение в работах А.Вейля и Д.В.Аносова, который в 60-ых годах сформулировал ряд вопросов (эти вопросы в последнее, время стали называть проблемой Аносова-Вейля) по данной тематике.

Один из поставленных вопросов относился к существованию у данного слоя асимптотического направления и нахождению "геометрического" объекта (вполне геодезического подмогообразия) с тем же самым асимптотическим направлением. Следующий естественный вопрос относился К тому, насколько "далеко" данный слой может отклоняться от соответ-

ствующего вполне геодезического подмогообразия.

Во второй главе диссертации решается проблема Аносова-Вейля об ограниченном отклонении накрывающих слоев от их асимпотического направления для слоений коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоских замкнутых 3-многообразиях. А именно, доказыва-еся, что любой слой слоения коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоском замкнутом 3-многообразии обладает свойством ограниченного отклонения от вполне геодезического подмогообразия коразмерности один с тем же самым асимптотическим направлением.

Установление топологической классификации слоений является одной из основных задач качественной теории. При решении этой задачи выделяются определенные классы слоений, внутри которых решается задача топологической эквивалентности (нахождение эффективных топологических инвариантов, позволяющих установить необходимые и достаточные условия существования гомеоморфизма многообразия на себя, переводящего слои одного слоения в слои другого слоения) и задача реализации (выделение допустимых значений топологических инвариантов и построение слоений с данным инвариантом).

Существенные результаты в этом направлении для потоков на плоскости и сфере получены в работах А.А.Андронова и Л.С.Понтрягина, и, Е. А. Леонтович и А.Г.Майера. Для потоков на двумерном торе топологическая классификация для различных классов потоков была получена А.Пуанкаре, А.Данжуа, Л.Э.Рейзинем, С.Х.Арансоном и Е.В.Жужомой.

На двумерных многообразиях большего рода динамические системы с этой точки зрения рассматривались С.Х.Арансоном и В.З.Гринесом. М.М.Пейксото, и другими.

Для слоений коразмерности один на п-мерных, п > 3. многообразиях задачу топологической классификации решали в своих работах G.Reeb, H.Rosenberg, R.Roussarie, Локоть Т.В., Palmeira C.F.B., E.Ghys. V.Sergiescu, и С.Х.Арансоном, Е.В.Жужома. Коротко коснемся содержания этих работ.

Один из основателей теории слоений G.Reeb рассматривал с точки

зрения топологической классификации специальный класс С-слоений (г > 2) коразмерности один на трехмерном многообразии, который является прямым произведением двумерного тора на замкнутый отрезок (G.Reeb рассматривал слоения, трансверсальные второму множителю).

H.Rosenberg, R.Roussarie классифицировали С-слоения (г > 2) Рчба (то есть слоения, все слои которых гомеоморфны либо двумерным цилиндрам, либо двумерным плоскостям) на трехмерном торе. В дальнейшем эта классификация была продолжена С.Х.Арансоном и Е.В.Жужомой до С'-слоений, которые включают в себя слоения Данжуа с исключительными минимальными множествами (которые не существуют в классе гладкости С. г > 2. Отметим, что Сг-слоения, г > 2, Рэба необходимо транзитивны и даже минимальны).

Локоть Т.В. построила топологический инвариант для Сг-слоений (г > 2) коразмерности один с тривиальной группой голономии на п-мерных, п > 3, замкнутых многообразиях. Ею было доказано, что построенный инвариант является полным для многих классов слоений на трехмерных многообразиях (в частности, для слоений, состоящих из компактных слоев).

Palmeira C.F.B. доказал, что пространство слоев слоения из плоскостей коразмерности один на отрытом n-мерном, п > 3, многообразии является полным топологическим инвариантом.

E.Ghys, V.Sergiescu рассматривали гладкую эквивалентность для слоений из цилиндров и плоскостей на трехмерных замкнутых многообразиях, которые являются расслоениями над окружностью со слоем, гомео-морфным двумерному тору.

Е.В.Жужома классифицировал специальный класс С'-слоений коразмерности один с тривиально группой голономии на n-мерном, п > 3. торе (если тор представить как прямое произведение п окружностей, то от рассматриваемых слоений требовалось, чтобы они были трансверсальны одной из окружностей).

Нахождение эффективных топологических характеристик еще более усложняется при переходе от слоений к дискретным динамическим сй-

стемам - каскадам. Одним из основных эффектов, возникающих здесь уже для диффеоморфизмов двумерной сферы является существование счетного множества периодических точек в структурно-устойчивых системах. Важным классом структурно-устойчивых диффеоморфизмов, содержащих счетное множество периодических точек, являются диффеоморфизмы Аносова, которые в двумерном случае могут существовать только на торе. Обобщением диффеоморфизмов Аносова являются диффеоморфизмы, удовлетворяющие аксиоме А (А-диффеоморфизмы) Стефана Смейла.

Методы исследования. Основной метод, идея которого восходит к А.Данжуа и А.Вейлю, состоит в исследовании накрывающих слоений на универсальной накрывающей. Основные свойства исходного слоения выявляются при анализе свойств накрывающих слоений, которые инвариантны относительно группы накрывающих преобразований.

При построении трансверсальных к слоению поверхностей используются методы дифференциальной топологии.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новые. Именно

1. Перечисляются все плоские компактные 3-многообразия, на которых существуют слоения коразмерности один без компактных слоев (такие слоения могут быть даже вполне геодезическими), и перечисляются все плоские компактные 3-многообразия, на которых любое слоение коразмерности один имеет компактный слой (двумерный тор или бутылка Клейна).

2. Решена проблема Аносова-Вейля об ограниченном отклонении накрывающих слоев от их асимпотического направления для слоений коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоских замкнутых 3 - м но го о б р аз и я х (доказывается, что любой слой слоения коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоском замкнутом 3-многообразии обладает свойством ограниченного отклонения от вполне геодезического подмогообразия коразмерности один с тем же самым асимптотическим направлением).

3. Получена топологическая классификация слоений коразмерности один с тривиальной группой голономии на плоских замкнутых 3-многообразиях. которые допускают слоения без компактных слоев.

4. Доказано, что многообразие, на котором задан А-диффеоморфизм, неблуждающее множество которого состоит лишь из ориентируемых аттракторов и репеллеров коразмерности один, является связной суммой конечного числа п-мерных торов.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях, связанных с изучением предельных множеств и компактных слоев динамических систем с многомерным временем, аттракторов и репеллеров диффеоморфизмов, а также прикладных задач физики, механики, приводящих к качественному исследованию дифференциальных уравнений Пфаффа.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международном симпозиуме по геометрическому изучению слоений (Токио, 1993), на научном семинаре кафедры физико-математических дисциплин Обнинского института атомной энергетики, на научном семинаре кафедры высшей математики теоретической механики Нижегородской государственной сельскохозяйственной академии и на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы - 94 страницы, список литературы включает 95 наименований, в диссертации имеется 2 рисунка.

б

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Во введении формулируется цель исследования, дается краткий исторический обзор и анализ современного состояния изучаемых в диссертации проблем. Приводится аннотация полученных результатов.

В главе 1 решается вопрос о существовании компактного слоя у слоения коразмерности один на полном связном плоском римановом 3-мно-гообразии (то есть, евклидовой пространственной форме).

Определение. Слоением F коразмерности один класса С, г > 1. или аналитического класса Си на n-мерном замкнутом многообразии М называется разложение М на непересекающиеся связные компоненты Ln. называемые слоями, со следующим свойством:

• каждая точка из М имеет окрестность U и локальные координаты класса С (или С") (ii,..., х„) : U —> R." такие, что связная компонента каждого слоя La описывается уравнением вида хп = const.

Определение. Слоение F коразмерности один называется слоением с тривиальной группой голономии (без предельных циклов), если фундаментальная группа каждого слоя состоит из непредельных циклов.

Пусть М3 - риманово 3-мерное многообразие, и N С М3 - его подмногообразие. Напомним, что N называется вполне геодезическим, если для любой точки т S N и любой геодезической Lm, которая касается подмногообразия N в точке т, имеем Lm С N.

Определение. Пусть на М' задано Сг-слоение F (г > 2) коразмерности один. Слоение F называется вполне геодезическим, если каждый его

слой является вполне геодезическим подмногообразием.

Определение. Риманово многообразие называется плоским (или локально евклидовым), если кривизна и кручение соответствующей рима-новой связности тождественно равны нулю.

Будем рассматривать 3-мерный тор Т3 как фактор-группу И?|Zi, где 2Ъ - целочисленная 3-мерная решетка. Универсальное накрытие ж : К3 —> Т3, которое в данном случае является естественной проекцией, индуцирует на Т3 метрику, в которой Т3 является плоским римановым многообразием. Известно, что любое замкнутое плоское 3-многообразие конечно-листно накрывается тором Т3 и может быть представленно в виде фактор-пространства Т3/Г. где Г - вполне разрывная группа движений пространства И3. Более того, имеется ровно десять плоских замкнутых попарно не гомеоморфных 3-многообразий М1,...,Мю таких, что любое плоское замкнутое 3-многобразие аффинно диффеоморфно одному из этих десяти многообразий.

Перечислим многообразия М,-, г = 1,..., 10, приведя образующие групп Г,. Будем считать, что в Б.3 задана декартовая система координат (х, у,г).

1. Г[ порождена сдвигами

tl : (з;,у, ;) (я+ 1 ,у,г), : {х,у + 1.;).

Ь ■ (*,</,-) {х,у,г + 1)

2. Г'2 порждена сдвигами и движением

2'

3. Г;( порождена сдвигами

и движением

4. Г4 порождена сдвигами и движением

7 : (х,у,г) (х + -г. -у)

5. Г5 порождена сдвигами <[,¿2,

ч , 1 ^

.95 : (•'••• .V. (-г, У + 2• 2 +

и движением

1 г/ \/з 1/5

6. Гб порождена сдвигами и движениями а,

* , 1 ^

л , 1 1 1

7. Г7 порождена сдвигами t^,t2,Ц и движением

б : (х, у,г)

8. Г« порождена сдвигами ^|, ¿2,

дЙ : (х,у,г) (х + у + с + 1)

и движеием е

9. Гд порождена сдвигами и движениями а,

<7 : (х,</,2) ->(х,у + ^,-г) 10. Гю порождена сдвигами ¿1, ¿2, ¿3 и движениями а, й : (х,у,г) -» (я,у + + I)

Определение. Слоение в К3 с декартовыми координатами х, у, г называется линейным, если его слои определяются уравнениями

ах + Ьу ■+- сг + й = О

Обозначим через 7г,- : К/' —► М,- (г — 1,..., 10) естественную проекцию, которая является универсальным неразветвленным накрытием. Любое слоение на М,- имеет накрывающее относительно щ слоение на К3.

Определение. Назовем слоение ^ линейным, если накрывающее для него слоение на К3 является линейным, г = 1,..., 10.

Нетрудно показать, что вполне геодезическое слоение коразмерности один на плоском замкнутом 3-многообразии является линейным.

Теорема 1.3.1.

1. Среди замкнутых плоских 3-многообразий тор М] = Т3 является единственным многообразием, на котором существует линейное слоение из плоскостей. На торе также существуют линейные слоения из цилиндров и двумерных торов. Любое линейное слоение на торе принадлежит к одному из перечисленных видов.

2. На плоских замкнутых 3-многообразиях Мг, М7, Мз существуют линейные слоения из цилиндров и линейные слоения из компактных слоев.

3. На плоских замкнутых 3-многообразиях Мз — Мб, М9, Мщ существуют линейные слоения коразмерности один только из компактных слоев.

Следствие 1.1.1.

1. На М) = Т3 вполне геодезическое слоение коразмерности один является слоением либо из плоскостей, либо из цилиндров, либо из двумерных торов.

2. На плоских замкнутых 3-многообразиях Мг, М7, М« вполне геодезическое слоение коразмерности один является слоением либо из

цилиндров, либо из компактных слоев.

3. На плоских замкнутых 3-многообразиях М3 - Мб, М9, Мю любое вполне геодезическое слоение коразмерности один является слоением in компактных слоев.

Следующая теорема является основным результатом главы 1.

Теорема 1.4.1. На плоском замкнутом 3-многообразии

М:! £ {Мз,М4,М5,М6,М9,М10}

любое С-слоение (г > 2) коразмерности один имеет компактный слой. На остальных плоских замкнутых 3-многообразиях М), Mj, М7. Mg существуют Сг-слоения (г > 2) без компактных слоев.

Перейдем к изложению основных результатов главы 2. Все основные определения и проблемы, относящиеся к второй главе, были сформули-рованны (и частично решены) в 60-ых годах Д.В.Аносовым для изучения асимптотического поведения полубесконечных кривых без самопересечений на двумерных многообразиях.

Естественным образом основные определения и проблемы для изучения асимптотического поведения гиперповерхностей коразмеоности один переносятся на многомерный случай. Эти вопросы имеют особое значение для слоев слоений, поскольку позволяют в некоторых случаях свес ти изучение динамических объектов к изучению геометрических объектов.

Пусть на римановом п-многообразии М задано слоение F коразмерности один. Предположим, что универсальное накрывающее для М диф-феоморфно 7г-мерному шару или евклидову n-мерному пространству R". Множество, каждая точка которого отождествляется с пучком сонапра-вленных параллельных геодезических лучей (или ориентированных геодезических), образует сферу в бесконечности или абсолют, гомеоморф-ный стандартной (п — 1)-мерной сфере и обозначаемый через

Рассмотрим (п — 1)-мерную гиперплоскость Р. Она естественным образом определяет на абсолюте множество Р^, гомеоморфное (п — 2)-мерной сфере. Полученные таким образом множества Р^ будем называть окружностями большого круга.

Пусть F - накрывающее для F слоение на R". Доопределим F до слоения (которое мы также обозначим через F) на R" U считая

каждую точку абсолюта особенностью слоения F.

Определение. Пусть L - некомпактный слой слоения F. Будем говорить что слой L уходит в бесконечность, если для любой последовательности вложенных друг в друга множеств

В1,..., Вп,... С R"

таких, что ,ВН = R", пересечение Вп П L есть компактное подмножество слоя L для любого п.

Напомним, что предельным множеством Lim(l) произвольного слоя / называется множество

П~ ,(/ - А'„),

где К, С К-2 С ■■■ С К„ С ■■■ - последовательность компактных в I подмножеств К, С I таких, что UJ^, А'„ = I.

Очевидно, что если слой L уходит в бесконечность, то

Lim(L) С 5Г1

Определение. Слой L (как и слой L) имеет асимптотическое направление. если любой накрывающий его слой уходит в бесконечность и предельное множество накрывающего слоя L есть окружность большого круга.

Определение. Пусть слой L (и его поднятие L) имеет асимптотическое напрвление. Гиперплоскость Р в универсальной накрывающей называется асимптотическим представлением слоя L (и слоя L). если Lim(L) = Р.*,.

Определение. Пусть т - текущая точка на слое L. и пусть d{m) -расстояние от m до гиперплоскости Р. Будем говорить, что слой L = 7г(£) обладает свойством ограниченного отклонения, если для любого накрывающего слоя L и любого асимптотического представления Р слоя L имеем d(m) < const.

Пусть теперь М - компактное плоское 3-многообразие. Тогда М = И3 имеет стандартную евклидову метрику. Абсолют отождествляется с двумерной сферой.

Основной результат главы 2 содержится в следующей теореме.

Теорема 2.4.1 Пусть р1 - слоение класса, Сг (г > 2) с тривиальной группой голономии на плоском компактном 3-многообразии М. Тогда любой слой слоения Р имеет асимптотическое направление и обладает свойством ограиченного отклонения.

Следствие 2.4.1. Пусть Р - слоение класса Сг (г > 2) с тривиальной группой голономии на плоском компактном 3-многообр азии М. Тогда слоение Г квази-изометрично и кзази-геодезично.

Конец второй главы диссертации посвящен решению задачи топологической -эквивалентности и топологической класификации слоений с тривиальной группой голономии на плоских компактных 3-многообразиях.

Теорема 2.5.2. Пусть - Сг-слоение (г > 2) без компактных слоев на одном из плоских трехмерных многообразий М7, с функционалом вращения р(•?■;), г = 1,2. Тогда слоения -Г], топологически эквивалентны, если и только если существует целочисленная унимодулярная матрица такая, что выполняется соотношение

а + ср(Ъ)

Р{ 1) ь + арю)

В третьей главе диссертации рассматриваются А-диффеоморфизмы п-мерных (п > 5) замкнутых многообразий, неблуждающее множество которых состоит лишь из ориентируемых аттракторов и репеллеров коразмерности один.

Определение. Диффеоморфизм / удовлетворяет аксиоме А (является А-диффеоморфизмом), если множество его неблуждающих точек ЛГИ^/) гиперболическое, и периодические точки всюду плотны в

Определение. Базисное множество Л А-диффеоморфизма / называется базисным множеством коразмерности один, если П ф М, и либо <Ит(Еп) = 1 и Г2 состоит из (п — 1)-мерных неустойчивых многообразий

своих точек, либо (Ит(Е^) = 1 и ft состоит из устойчивых (п — 1)-мерных многообразий своих точек.

Определение. Базисное множество ft называется ориентируемым, если для любой точки х 6 ft и любых фиксированных чисел а > 0, /3 > О индекс пересечения 1У® „ П во всех точках пересечения один и тот же. В противном случае, множество ft называется неориентируемым.

Основным результатом главы 3 является следующая теорема.

Теорема 3.2.1. Пусть f - А-диффеоморфизм (т.е. диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме А С.Смейла) n-мерного (п > 5) замкнутого многообразия М. неблуждающее множество которого состоит только из ориентируемых базисных множеств коразмерности 1. Тогда М есть связная сумма конечного числа n-мерных торов.

Основные результаты диссертации содержатся в следующих работах

1. Мамаев В.К. Слоения коразмерности один на плоских 3-многооб-разиях. Мат. сб., 1996, 6, 41-52.

2. S. Aranson, V. Mamaev, Е. Zhuzhoma. Asymptotic properties of codimension one foliations and Anosov-Weil problem. Proc. of Geom. Study of Foliations (Intern Symp. and Workshops on Geom. Study of Foliations, Tokyo, 1993), 1994, 145-151.

3. S. Aranson, V. Mamaev, E. Zhuzhoma. Asymptotic properties of foliations and Anosov-Weil problem. Abstracts of Intern Symp. and Workshops on Geom. Study of Foliations, Tokyo, 1993, 43-44.

В работах, выполненных с научными руководителями С.Х.Арансоном и Е.В.Жужомой, диссертанту принадлежат доказательства основных теорем, включенных в диссертацию. С.Х.Арансону и Е.В.Жужоме принадлежат постановки задач.