Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла

Дынников, Иван Алексеевич

Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Дынников, Иван Алексеевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла»

Автореферат диссертации на тему "Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла"

На правах рукописи УДК 515.162.8

Иван Алексеевич Дынников

Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических

наук О.Я.Виро

— доктор физико-математических наук, член-корр. РАН С.В.Матвеев

— доктор физико-математических наук Е.В.Щепин

Ведущая организация — Российский государственный

педагогический университет им. А.И.Герцена

Защита диссертации состоится с 28 »_декабря_2006 г.

в 14 час. па заседании диссертационного совета Д.002.022.03 при Математическом институте им. В.А.Стеклова по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук по адресу: 117966, Москва, ул. Губкина, д. 8, МИРАН, конференцзал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан «_24_»_ноября_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.03 при МИРАН, доктор физико-математических наук

Н.П.Долбшган

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория узлов является классическим разделом топологии, активно развивающимся с конца XIX века. Центральное место в этой теории занимает проблема классификации узлов и зацеплений в трехмерном пространстве. На обычном языке это означает описать все способы, которыми можно завязать веревку (в случае зацеплений — несколько веревок).

Под узлом или зацеплением в диссертации всегда подразумеваются так называемые ручные узлы и зацепления. Это понятие в точности отвечает нашему представлению о «физических» узлах.

Множество всех классов объемлемой изотопии (ориентированных) зацеплений будет обозначаться через £ (соответственно, через £ог). Мы считаем также элементом множества £ (£ог) пустое зацепление.

На множестве £ (иди £ог) определена коммутативная и ассоциативная операция несвязной суммы. Относительно нее £ и £ог представляют собой счетно порожденные свободные абелевы полугруппы с единицей, роль которой играет пустое зацепление.

На множестве классов эквивалентности непустых ориентированных зацеплений определена также операция связного суммирования. Она неоднозначна, если хотя бы одно из зацеплений имеет более одной компоненты. Х.Шубет [1] и Й.Хашицуме [2] показали, что относительно связного и несвязного суммирований имеет место однозначное (в некотором уточненном смысле) разложение на простые слагаемые. Поэтому для классификации всех зацеплений достаточно классифицировать неприводимые зацепления.

[1] H.Schubert: Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten, Sitzungsber, S.-B. Heidelberger Akad. Wm. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949). no. 3, 57-104.

[2] Y. Hashizume, On the uniqueness of the decomposition of a link, Osaka Math. J. 10 (1958), 283-300.

веке [31, в то время как первые доказательства нетривиальности некоторых узлов появились лишь в начале XX века (по-видимому, первый результат такого рода принадлежит В.Виртингеру, который в 1905 г. доказал нетривиальность трилистника — простейшего из нетривиальных узлов — с помощью фундаментальной группы). В дальнейшем эти таблицы подвергались исправлениям и дополнениям. Значительное расширение таблиц произошло в последние годы благодаря использованию компьютеров и развитию численных методов.

Составленные списки узлов и зацеплений малой сложности заставляют усомниться в том, что задача классификации узлов и зацеплений допускает столь же удовлетворительное во всех отношениях решение, как, скажем, классификация двумерных поверхностей конечного типа. Никакой простой закономерности в этих списках не прослеживается, а с ростом тг количество неэквивалентных зацеплений сложности < тг (под которой в данном случае понимается минимально возможное число самопересечений на плоской проекции общего положения) стремительно растет.

Возможны различные точки зрения на то, что следует считать решением проблемы классификации зацеплений. Наиболее формализованный подход к классификации, называемый алгоритмической классификацией, состоит построении вычислимого взаимно однозначного соответствия между элементами множества С (или £ог) и натуральными числами. Не составляет труда построить алгоритм для перечисления элементов множества С (С01) с неконтролируемым числом повторений каждого элемента, поэтому задача алгоритмической классификации по сути равносильна задаче алгоритмического сравнения зацеплений.

Первым достижением в этой области была работа В.Хакена [4], который, используя теорию нормальных поверхностей, предложил алго-

[3] P. G. Tait, On knots, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 28 (1877), 145-190.

[4] W. Haken, Theorie der Normalflächen. Ein Isotopiekriterium für der Kreisknoten, Acta Math. 105 (1961), 245-375.

ритм для распознавания тривиального узла. X. Шуберт [5] обобщил его метод, построив алгоритм для полного разложения зацепления на неприводимые слагаемые. Отметим, что эти алгоритмы требуют достаточно большого перебора, который превышает возможности современных компьютеров даже для узлов небольшой сложности. Поэтому для составления таблиц и сравнения узлов на компьютере обычно используются другие методы — вычисление инвариантов, нахождение геометрической структуры дополнения, эвристические методы.

Полное решение задачи алгоритмической классификации зацеплений потребовало развития сложной теории и усилий целого ряда математиков и было завершено лишь недавно С.В.Матвеевым [6].

Построенный алгоритм дает формальное решение задачи алгоритмической классификации, но неприменим на практике из-за очень большой сложности, а биекция N <-» С, которую он вычисляет, не обладает какими-либо интересными свойствами помимо вычислимости.

Имеются и другие достижения, относящиеся к классификации узлов и зацеплений. К ним следует отнести классическую теорему К.Райдемайстера [7], которая описывает классы эквивалентности зацеплений в чисто комбинаторных терминах. А именно, он показал, что две диаграммы задают эквивалентные зацепления тогда и только тогда, когда их можно получить друг из друга конечной последовательностью преобразований, называемых теперь движениями Райдемайсте-ра, см. рис. 1. Под диаграммой при этом понимается рассматриваемая с точностью до изотопии плоская проекция зацепления, удовлетворяющая условию общего положения (допускаются только двойные транс-версальные самопересечения), причем для каждого самопересечения дополнительно указано, какая из двух ветвей проходит сверху, а какая — снизу.

[5] H.Schubert, Bestimmung der Primfactorzerlegung von Verkettungen, Math. Z. 76 (1961), 116-148; русский перевод: Х.Шуберт, Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые, Математика 10:4, 45-78.

[6] S.V.Matveev, Algorithmic topology and Classification of 3-manifolds, Springer 2003.

[7] K. Reidemeister, Knotentheorie. Ergebn. Math. Grenzgeb., Bd. 1; Berlin: SpringerVerlag, 1932.

Рис. 1: Движения Райдемайстера

Другой классический подход, основанный на теоремах Дж. Алек- ■>

сандера [8] и А.Маркова [9], дает описание-классов эквивалентности ориентированных зацеплений в комбинаторно-алгебраических терминах. В качестве множества диаграмм берется дизъюнктное объединение Bi U Вг U Вз U ... групп кос:

Вп = I o-i<7j = (TjVi, |г — j\ > 1; J

= <7t+iC>o'>+i> 1 ^ г < n — 2).

Элементы группы Bn называются косами на м нитях, поскольку они имеют соответствующую топологическую интерпретацию. Каждой паре (n, w), где п > 1 — натуральное число, a w — слово в образующих сг^1,1 < г ^ n—1, сопоставляется ориентированное зацепление, называемое замыканием соответствующей косы. Идея проиллюстрирована на рис. 2, подробности мы опускаем. Александер доказал (используя другую терминологию — группы кос были определены позднее), что каждое зацепление можно представить в виде замкнутой косы, а Марков указал набор сохраняющих класс эквивалентности зацепления преобразований, достаточных для того, чтобы перевести друг в друга любые

[8] J. W. Alexander, A lemma on systems of knotted curves. Proc. Nat. Acad. Sei. USA 9 (1923), 93-95.

[9] A. A. MarkofT, Uber die freie Äquivalenz der geschlossenen Zöpfe. Recueil Math. Moskau 1 (43) (1936), 73-78.

Рис. 2: Коса (4,сг2сг1 2а1) и ее замыкание

две косы, задающие эквивалентные зацепления. Эти преобразования, называемые теперь движениями Маркова, таковы:

1. (тг, ш) «-► (п, ю'), если в группе Вп выполнено равенство ги — ги

2. (тг, го) <-+ (п, ии)и~г) — сопряжение с помощью произвольной косы на таком же количестве нитей;

3. (тг, ги) «-* (тг 4-1, гист^1), если в слове и> встречаются лишь образующие сг^1, 1 < г < п — 1.

Если отбросить последний тип преобразований, то мы получим стандартный объект из теории групп — классы сопряженности в группах кос. Последний же тип движений Маркова представляет собой операцию, достаточно искусственную с алгебраической точки зрения. Использование замкнутых кос для представления зацеплений имеет также один серьезный недостаток, редко упоминаемый в литературе: таким способом можно описывать только ориентированные зацепления. Набор дополнительных преобразований, позволяющий «забыть» ориентацию, по-видимому, не имеет описания в разумных алгебраических терминах и в литературе не исследован.

Имеется несколько классов узлов и зацеплений, выделяемых из всего множества зацеплений каким-либо интересным свойством, которые удается полностью классифицировать (в некотором разумном смысле). Это относится, например, к торическим, двумостным [10] и альтернированным зацеплениям [11].

Имеется обширная литература по построению и изучению свойств всевозможных топологических инвариантов узлов и зацеплений, что также можно рассматривать как подход к решению задачи классификации. Однако, для построенных инвариантов, несмотря на их замечательные свойства, как правило, не удается ответить на самые естественные вопросы, а именно: сформулировать в топологических терминах, какие узлы различаются данным инвариантом, а какие — нет; указать область значения инварианта.

В диссертации развивается подход к теории узлов, основанный на нетрадиционном комбинаторном способе представления узлов и зацеплений. Вместо проецирования на плоскость или рассмотрения дополнительного пространства в работе изучаются зацепления, имеющие специальный вид, а именно, целиком содержащиеся в «книге» — объединении нескольких полуплоскостей, имеющих общий край. Тот факт, что любой узел можно продеформировать так, чтобы он имел указанный вид, где число «страниц» неограничено, отмечался еще в конце XIX века [12], а в более современной литературе вскользь отмечается и то, что для представления зацепления в таком «книжном» виде достаточно всего трех страниц. Однако, вплоть до недавнего времени комбинаторные и алгебраические свойства этой простой и естественной конструкция не изучались.

Рассматривая зацепления, вложенные в книгу с заранее фиксированным числом страниц, мы приходим к конструкции, устанавливающей взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентно] H.Schubert. Knoten mit zwei Brucken. Math. Z. 65 (1956), 133-170. ¡11] W. Menasco, M.Thistlethwaite, The classification of alternating links. Ann. of

Math. (2) 138 (1993), no. 1, 113-171. [12] H.Brunn, Uber verknotete Kurven, Mathematiker-Kongresses Zurich 1897, Leipzig (1898) 256-259.

ности зацеплений и центральными элементами некоторой конечно заданной полугруппы. В первой главе диссертации такие полугруппы построены для неориентированных зацеплений, во второй — для ориентированных. Они описаны явно с помощью порождающих соотношений. Таким образом, задача классификации зацеплений сведена к изучению классического объекта чистой алгебры — полугруппы, заданной конечным числом образующих и соотношений.

В третьей главе рассматриваются книжные зацепления без ограничения на число страниц. В этом случае естественно требовать, чтобы каждая страница содержала всего одну дугу зацепления — это условие общего положения. Для этого класса зацеплений имеется очень простой набор сохраняющих изотопический класс зацепления преобразований, которых достаточно, чтобы переводить эквивалентные книжные зацепления друг в друга. В третьей главе доказывается, что с помощью этих преобразований любое книжное представление тривиального узла можно монотонно упростить до узла, содержащегося в двух страницах, т.е. в плоскости. Иначе говоря, для того чтобы «распутать» тривиальный узел, заданный в книжном виде, достаточно применять только элементарные преобразования, сохраняющие или уменьшающие сложность. В качестве функции сложности при этом выступает количество задействованных страниц.

Заметим, что одним из наиболее предпочтительных вариантов решений задачи классификации каких-либо объектов является построение процедуры приведения к «каноническому виду». Последний как правило ассоциируется с самым простым способом представления объекта. Основной результат третьей главы как раз состоит в построении такой процедуры для тривиального узла. Кроме того, попутно доказывается, что с помощью монотонного упрощения можно раскладывать зацепления на простые слагаемые, что означает следующее.

но» разложение данного зацепления на простые. Здесь важно, что, в силу предыдущего результата, все тривиальные слагаемые при монотонном упрощении исчезают.

Таким образом, в третьей главе мы строим новые алгоритмы для распознавания тривиального узла и разложения зацеплений на простые слагаемые. Эти алгоритмы существенно проще алгоритма Ха-кена, хотя известные (очевидные из построения) формальные оценки на сложность этих алгоритмов достаточно плохие и принципиально от сложности алгоритма Хакена не отличаются. Алгоритмы с использованием монотонного упрощения имеют также преимущество в том, что в качестве ответа выдается не только информация о разложении на простые, но и последовательность преобразований, которая превращает исходное зацепление в то, которое имеет очевидную факторизацию.

Цель работы. Продвинуться в решении задачи классификации узлов и зацеплений, а также в построении алгоритмов для их сравнения.

Методы исследования. Методы работы в значительной степени элементарны, используются наглядные геометрические и топологические соображения, вычисления в полугруппах и комбинаторика слоений на поверхностях.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

Построены полугруппы, заданные конечным числом образующих и соотношений, центр каждой из которых классифицирует зацепления (ориентированные или неориентированные) в трехмерном пространстве.

Построен алгоритм распознавания тривиального узла и факторизации зацеплений, имеющий вид монотонного упрощения для диаграмм специального вида.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер могут быть использованы для дальнейшего изучения узлов и трехмерных многообразий, а также для построения алгоритмов и создания математического обеспечения для работы

с объектами маломерной топологии.

Апробация работы. Результаты диссертации многократно докладывались на научных семинарах в МГУ, НМУ и МИРАН, на заседаниях Московского и Санкт-Петербургского математических обществ, на международных конференциях:

«Low-dimensional topology and combinatorial group theory» в г. Челябинске (1999),

IV Международной алгебраической конференции в г. Новосибирске (2000),

XI конференции «Geometry, topology and physics» в Порто (2001),

«New Techniques in Topological Quantum Field Theory» в Калгари (2001),

«Knots in Polland» в Варшаве (2003),

«Колмогоров и современная математика» в Москве (2003), «Geometry, Topology, and Combinatorics» в Стокгольме (2004), «Topology of closed one-forms» в Цюрихе (2004), «Discrete differential geometry» в Обервольфах (2006).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, список которых представлен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, включающих в себя 26 параграфов, Приложения и списка литературы. В тексте диссертации приведено 49 рисунков. Список литературы содержит 68 наименований. Общий объем диссертации — 140 страниц.

Содержание работы.

Глава 1.

п-страничной книгой, обозначаемой Вп, называется объединение п штук попарно различных полуплоскостей 7*1, ..., Рп, вложенных в К3 и имеющих один и тот же край д~Р\ = дТ>2 = ... = дТп = При этом предполагается, что на прямой которая называется переплетом, фиксирована ориентация, и полуплоскости которые называются страницами, занумерованы в соответствии с положительным обходом вокруг I, см. рис. 3.

Пусть фиксирована некоторая п-страничная книга Вп. Тогда п-страничным зацеплением в Вп называется любое зацепление Ь С I3, удовлетворяющее следующим условиям:

• Ь целиком содержится в Вп\

Рис. 3: п-страничная книга В,

• Ь пересекает I в конечном числе точек, и в каждой из них переходит с одной страницы на другую;

• пересечение Ь с любой страницей Р* состоит из дуг, ортогональная проекция каждой из которых на переплет I является вложением.

Точки пересечения Ьп£ называются вершинами п-страничного зацепления Ь и обозначаются ,..., ут, причем их нумерация определяется направлением переплета £. Связные компоненты пересечений Ь ПРк, не являющиеся вершинами, называются дугами зацепления Ь.

п-страничное зацепление Ь называется специальным, если для любой вершины VI две дуги, концом которых является лежат в соседних страницах ~Рк, Тук+1- При этом номер страницы рассматривается с точностью до прибавления п, т.е. страницы Тп и "Р\ также считаются соседними.

Через Лп мы будем обозначать следующий алфавит: Лп = 6г„-

Через Л* обозначается множество слов (включая пустое) в алфавите Ап.

Для удобства мы считаем, что переплет I направлен слева направо.

Пусть Ь — произвольное специальное п-страничное зацепление,

..., ит — его вершины. Кодом зацепления Ь мы называем слово ги^1' 6 .4*, в котором на г-м месте стоит буква

ак, если вершина является левым концом дуг, лежащих в страницах Т>к и Т>к+1,

Ьк, если у^ является левым концом дуги, лежащей в Т^к и правым концом дуги, лежащей в ~Рк+1>

Ск, если вершина Vi является правым концом дуг, лежащих в страницах Т>к и Тк+1,

йк, если ы является правым концом дуги, лежащей в Т>к и левым концом дуги, лежащей в Рк+г-

Пусть Уз — полугруппа, заданная множеством образующих Аз и соотношениями

а. = — а;_гС£+1, а = 6.-101+1, ^ = (1)

сМг^з = 1, (2)

М, = ¿А = 1, (3)

ХгУх = УгХг, (4)

где

XI £ {вг-1Ьг-1, «¿г—1С»_1, 6^-2^-1^-2^-1},

У% £ {а>, С{, 1г £

Пусть У4 — полугруппа, заданная множеством образующих «44 и соотношениями (3), а также

<М2<М4 — 1> (®)

= а{+гЬг, 1 - Ьг+1С», (6)

= 1^1+1, &гС» = (7)

аф^й^ = 1, (8)

Ьг-1Мг+1<2. = Мя.гс№_1, (9)

а^У.+г - Ух+2а;<, (10)

где хг е Уг+2 6 {^+2,Ь4+2,С1+2,^+2}, г е 24.

При п > 5 пусть У„ — полугруппа, заданная множеством образующих Лп и соотношениями (3), (6)-(8), а также

<М2...С*П= 1, (11)

ЗЦУ] = (12)

для всех г,] 6 2„ таких, что г— ] ф {-1,0,1} и Хг € {аь^.с»,^},

Для слов ъи, у}' 6 Л* запись ш =п го' будет означать равенство этих слов в соответствующей полугруппе Уп.

Следующее утверждение является основным результатом первой главы.

Теорема 1. Для каждого п ^ 3 выполнено следующее:

1. Любое зацепление в К3 объемлемо изотопно некоторому специальному п-страничному зацеплению.

2. Два специальных п-страничных зацепления Ь, Ь' объемлемо изотопны в К3 тогда и только тогда, когда =п ш^?.

3. Элемент х е Уп имеет вид х = го^ для некоторого п-страничного зацепления Ь тогда и только тогда, когда х лежит в центре полугруппы Уп.

Глава 2.

Под ориентированным 2п-страничным зацеплением мы понимаем 2га-страничное зацепление, которое ориентировано как обычное зацепление, причем так, что все его дуги, лежащие в нечетных страницах, ориентированы слева направо, а в четных — наоборот, см. рис. 4.

Рис. 4: Пересечение ориентированного 2п-страничного зацепления с нечетными и четными страницами

Таким образом, не каждое 2п-страничное зацепление можно сделать ориентированным 2п-страничным зацеплением, а если можно, то

ровно одним способом. Иначе говоря, ориентированное 2п-страничное зацепление — это не обычное 2п-страничное зацепление с выбранной ориентацией, а, по сути, обычное 2п-страничное зацепление, удовлетворяющее некоторому ограничению, при выполнении которого ориентация выбирается каноническим образом. Это ограничение проще всего сформулировать для специальных плетений, а именно: специальное 2п-страничное зацепление ориентировало тогда и только тогда, когда его код содержит только буквы а»,^, г € Ъщ-

При п > 5 пусть 2п — полугруппа, заданная образующими г 6 п, и соотношениями:

где в 22тм Х{ 6 {а», у} £ %- 3 ф -1,0,1 € 22„.

Основной результат второй главы состоит в следующем.

Теорема 2. Для каждого п ^ 5 выполнено следующее:

1. Любое ориентированное зацепление в Ж3 объемлемо изотопно некоторому специальному ориентированному 2п-страничному зацеплению.

2. Два специальных ориентированных 2п-страничных зацепления Ь, Ь' объемлемо изотопны в Е3 тогда и только тогда, когда в полугруппе имеет место равенство шх, = ги^.

3. Элемент х € имеет вид х — изь для некоторого ориентированного 2п-страничного зацепления Ь тогда и только тогда, когда х лежит в центре полугруппы

Глава 3.

Мы называем прямоугольной диаграммой произвольную плоскую

а1Сг±1а»±1С» = 1, ахсоозсг ... а2П-1С2П-2 = а2С1а4сз .. .а2ПС2п-1 = 1>

Х^Уу — УзХъ,

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

диаграмму (в обычном смысле) И зацепления, удовлетворяющую следующим ограничениям:

1. £) состоит только из вертикальных и горизонтальных отрезков (которые мы называем ребрами)-,

2. в каждом пересечении на диаграмме И вертикальный отрезок проходит сверху, а горизонтальный — снизу;

3. никакие два ребра не лежат на одной прямой (см. рис. 5).

Рис. 5: Пример прямоугольной диаграммы

-Г

Две такие диаграммы называются комбинаторно эквивалентными, если одна переводится в другую гомеоморфизмом плоскости вида Ь{х,у) = (1(х),д(у)) с возрастающими функциями / и д.

Поскольку вид пересечения на прямоугольной диаграмме однозначно определяется по его расположению, нет необходимости указывать его на рисунках. Кроме того, чтобы задать прямоугольную диаграмму, нет необходимости рисовать ребра — достаточно указать множество вершин диаграммы. Вершинами называются концы ребер.

Легко показать, что с помощью деформации плоскости любую плоскую диаграмму зацепления можно превратить в прямоугольную.

Для прямоугольных диаграмм определяются следующие элементарные движения:

0. циклическая перестановка горизонтальных (вертикальных) ребер (см. рис. 6);

Рис. 6: Циклическая перестановка вертикальных ребер

1. стабилизация и дестабилизация (рис. 7);

Рис. 7: Стабилизации и дестабилизации

-П

стабилизация

дестабилизация

стабилизация

дестаби л из ация

-П

стабилизация

дестабилизация

стабилизация

дестабилизация

—1

2. рокировка — перестановка соседних параллельных незацеплен-ных ребер (рис. 8).

Горизонтальные (вертикальные) ребра называются зацепленными, если пары их концов, спроецированные на горизонтальную (соответ-

Рис. 8: Рокировки горизонтальных ребер

ственно, вертикальную) ось зацеплены как обычные (неориентированные) 0-циклы в К1.

На рис. 6-8 показаны частные случаи элементарных преобразований. Остальные случаи получаются всевозможными поворотами на углы ттк/2, к — 1,2,3, и отражениями относительно вертикальной и горизонтальной осей.

Элементарные движения играют для прямоугольных диаграмм зацеплений ту же роль, что и движения Райдемайстера для обычных плоских диаграмм — любые две прямоугольные диаграммы, задающие эквивалентные зацепления, получаются этими движениями друг из друга за конечное число шагов.

Для прямоугольных диаграмм имеется естественная функция сложности. Сложность с(£>) прямоугольной диаграммы В — это число вертикальных ребер в ней.

Циклические перестановки и рокировки ребер не меняют сложности прямоугольной диаграммы. При стабилизации она на единицу увеличивается, а при дестабилизации — уменьшается.

Простейшая из прямоугольных диаграмм — прямоугольник — называется тривиальной прямоугольной диаграммой. Ее сложность равна двум.

Прямоугольная диаграмма П называется несвязной суммой диаграмм Г?! и £>2) если найдется вертикальная прямая I, не пересекающая В и разбивающая П на две нетривиальные части, эквивалентные

и £>2- В этом случае мы пишем И = Их и £>2 ■

Прямоугольная диаграмма £> называется связной суммой диаграмм Д] и если найдется прямоугольник 72. с вертикальными и горизонтальными сторонами, граница которого дЛ пересекает диаграмму £) ровно дважды, причем так, что диаграммы £>1 и £>2 (в любом порядке) получаются из?1П1)и (Е2 \К)П1) соединением точек пересечения (дТ1) П £) простым путем, лежащим вне или, соответственно, внутри прямоугольника и содержащим наименьшее возможное число ребер. В этом случае мы пишем £> = £>1#£>2.

Если данная прямоугольная диаграмма раскладывается в нетривиальную связную или несвязную сумму двух или более диаграмм, то установить этот факт не представляет труда. Очевидно также, что диаграмма £>!#£> 2 представляет зацепление Ь\#Ь2, если £>1, £>2 представляют Ь\ и Аналогично для операции и. Наконец, понятно, что составное зацепление можно представить составной диаграммой, а разводимое — разводимой. Однако, отнюдь не любая диаграмма составного зацепления является составной, и не любая диаграмма разводимого зацепления разводима.

Основной результат третьей главы утверждает, что разложение зацепления на простые слагаемые можно «увидеть», если применить к его произвольной прямоугольной диаграмме конечное число элементарных движений, не увеличивающих сложность.

Теорема 3. Для произвольной прямоугольной диаграммы £) найдется такая последовательность £> ь-» £>1 н-► £>2 элементарных

движений, не включающих стабилизацию, что последняя диаграмма Юм является несвязной суммой Иц = .Олг,1 и ... в которой

каждое слагаемое либо является тривиальной диаграммой, либо имеет вид £>лг,1 = £>лг,1,1#... где все -Олг,^ — прямоугольные диаграммы неприводимых неразводимых зацеплений.

При доказательстве этого результата наибольшую трудность представляет случай, когда £> представляет тривиальный узел. В этом случае теорема утверждает, что за конечное число элементарных движений, сохраняющих или уменьшающих число ребер, диаграмму можно сделать тривиальной. Для доказательства усовершенствуется метод,

развитый ранее в работах [13], [14], [15], [16].

{13] D.Bennequin, Entrelacements et equations de Pfaff, Asterisque 107—108 (1983), 87-161; русский перевод: УМН 44 (1989), вып. 3, 3-53.

[14] J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids IV: Composite links and split links, Invent. Math. 102 (1990), 115-139.

[15] J. Birman and W. Menasco, Studying links via closed braids V: Closed braid representatives of the unlink, Trans. AMS 329:2 (1992), 585-606.

[16] P.Cromwell, Embedding knots and links in an open book I: Basic properties, Topology and its Applications 64 (1995), 37-58.

Список опубликованных работ по теме диссертации.

1. И. А. Дынников, Трехстраничное представление зацеплений. Успехи математических наук 53 (1998), 5(323), 237-238.

2. И. А. Дынников, Трехстраничные представления узлов. Кодирование и локальные движения. Функ. Ан. и его Прил. 33 (1999), 4, 25-37.

3. И. А. Дынников, Трехстраничное представление узлов. Универсальная полугруппа. Функ. Ан. и его Прил. 34 (2000), 1, 29-40.

4. I. A. Dynnikov. Three-page link presentation and an untangling algorithm. Proc. of the International Conference Low-Dimensional Topology and Combinatorial Group Theory, Chelyabinsk, July, 31 — August 7, 1999; Kiev, 2000; pp. 112-130.

5. И. А. Дынников, Конечно определенные группы и полугруппы в теории узлов. Труды МИАН 231 (2000), 231-248.

6. И. А. Дынников, Алгоритмы распознавания в теории узлов. Успехи математических наук 58 (2003), 6(354), 45-92.

7. I. A. Dynnikov, Finitely presented semigroups in knot theory. Oriented case. Geometry, topology, and mathematical physics, 133-144, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 212, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.

8. I. A. Dynnikov, Arc-presentations of links. Monotonic simplification, Fund. Math. 190 (2006), 29-76. (Proc. of the conference «Knots in Poland», 2003, V. 3)

Подписано в печать (¿",1£. £ с Формат 60x84/16. Усл.печ.л. {,<," Тираж С С экз. Заказ .¿3 Отпечатано в Отделе печати МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Дынников, Иван Алексеевич

Введение

Глава 1. Классификация неориентированных зацеплений с помощью полугруппы

§1.1. Неориентированные n-страничные зацепления

§1.2. Кодирование специальных n-страничных зацеплений

§1.3. Конструкция конечно определенных полугрупп с центром, классифицирующим зацепления

§1.4. Категория плетений и полугруппа плетений

§1.5. Полугруппа n-страничных плетений

§1.6. Построение гомоморфизма Т —>Yn

§1.7. Вывод «коротких» соотношений в Yn

§1.8. Вывод «длинных» соотношений в полугруппе Yn

§1.9. Завершение доказательства изоморфности Уп и

§1.10. Центр полугруппы Yn

Глава 2. Классификация ориентированных зацеплений с помощью полугруппы

§2.1. Ориентированные 2п-страничные плетения

§2.2. Ориентированные плетения

§2.3. Проверка соотношений в Zn

§2.4. Завершение доказательства предложения 2.2 и теоремы

Глава 3. Распознавание тривиального узла и факторизация зацеплений с помощью монотонного упрощения

§3.1. Теорема о монотонном упрощении

§3.2. Книжные зацепления и прямоугольные диаграммы

§3.3. Элементарные движения книжных зацеплений

§3.4. Обобщенные движения

§3.5. Схема доказательства теоремы

§3.6. Характеристические поверхности

§3.7. Преобразования характеристической поверхности

§3.8. Всегда присутствующие фрагменты слоения Т

§3.9. Упрощение характеристической поверхности

§3.10. Полное разложение на простые

§3.11. Алгоритм для распознавания тривиального узла и факторизации зацеплений

§3.12. Оценка сверху для числа дополнительных пересечений, достаточных для распутывания плоской диаграммы тривиального узла

Введение диссертация по математике, на тему "Новый подход к классификации зацеплений и алгоритмическому распознаванию тривиального узла"

Теория узлов является классическим разделом топологии, активно развивающимся с конца XIX века. Центральное место в этой теории занимает проблема классификации узлов и зацеплений в трехмерном пространстве. На обычном языке это означает описать все способы, которыми можно завязать веревку (в случае зацеплений — несколько веревок).

Под узлом или зацеплением в настоящей работе всегда подразумеваются так называемые ручные узлы и зацепления. Это понятие в точности отвечает нашему представлению о «физических» узлах. Поэтому мы сразу дадим определение таким образом, чтобы исключить так называемые дикие узлы (в которые можно завязывать только бесконечно тонкие веревки).

Итак, зацеплением мы будем называть объединение конечного числа попарно непересекающихся простых кусочно гладких замкнутых кривых в трехмерном пространстве R3 или трехмерной сфере S3. Эти кривые могут быть наделены ориентацией, в этом случае мы будем говорить об ориентированном зацеплении. Зацепление из одной связной компоненты называется также узлом. Зацепление (или узел) называется тривиальным, если оно эквивалентно зацеплению, целиком содержащемуся в некоторой плоскости.

Под простой кусочно гладкой кривой понимается одномерное PL-подмногообразие в R3 (или S3) для PL-структуры, заданной некоторой гладкой триангуляцией.

Два зацепления L и L' называются эквивалентными или объемлемо изотопными в R3 (или S3), если существует кусочно-гладкий гомеоморфизм h : М3 —► R3 (или, соответственно, h : S3 —> S3), изотопный тождественному и переводящий L в L' (с учетом ориентации, если речь идет об ориентированных зацеплениях).

Хорошо известно [54, 55], что в определениях зацепления и объемлемой изотопности условие кусочной гладкости можно заменить на кусочную линейность или гладкость, и получится эквивалентная теория. Известны также другие способы определить эквивалентность зацеплений, дающие те же классы эквивалентности. Например, для гомеоморфизма h достаточно требовать сохранение ориентации пространства R3 (то есть, чтобы его степень равнялась единице). Мы не останавливаемся подробно на этих вопросах, считая их общеизвестными.

Хорошо известно также, что для классификации не имеет значения, рассматривать ли узлы и зацепления в R3 или в S3. При одноточечной ком-пактификации пространства R3 получается сфера, что дает сопоставление каждому зацеплению в R3 зацепление в53и при этом: 1) отношение эквивалентности сохраняется; 2) каждый класс эквивалентности зацеплений в S3 содержит представителя, не проходящего через добавленную точку.

Множество всех классов объемлемой изотопии (ориентированных) зацеплений будет обозначаться через С (соответственно, через £ог). Мы считаем также элементом множества С (Сос) пустое зацепление.

На множестве С (иди Сот) определена коммутативная и ассоциативная операция несвязной суммы, если X, X' — два класса эквивалентности (ориентированных) зацеплений, то в них найдутся представители L £ X, U G X', лежащие но разные стороны от некоторой плоскости (или сферы S2 С S3). Тогда класс эквивалентности объединения L U 11 является но определению несвязной суммой классов X и X' и обозначается через X U X'. Легко показать, что это определение корректно, и что в полугруппах С и £ог имеется однозначное разложение на неприводимые слагаемые, называемые неразводимыми зацеплениями. Нетрудно также указать бесконечный набор попарно неэквивалентных (ориентированных) неразводи-мых зацеплений и показать, что множества £ и £ог счетны. Таким образом, С и Сог представляют собой счетно порожденные свободные абелевы полугруппы с единицей, роль которой играет пустое зацепление.

На множестве классов эквивалентности ориентированных узлов определена также операция связного суммирования. А именно, если К\ и К2 — два ориентированных узла в R3, расположенные по разные стороны от некоторой плоскости, то их связной суммой, обозначаемой К1ФК2, называется любой узел, полученный из К\ U К? вырезанием дуг а С К\ и

3 С К2 и заменой их на пару других дуг 7, S при условии, что объединение a U р U 7 U tf является краем вложенного двумерного диска D С Е3, внутренность которого не пересекает узлов К\ и При этом требуется также, чтобы ориентации дуг а., (5 в крае 0D совпадали. Связная сумма наследует ориентацию со своих слагаемых.

Легко убедиться, что связная сумма определена для любой пары ориентированных узлов, при этом однозначно с точностью до эквивалентности, и что она коммутативна и ассоциативна как операция на классах эквивалентности. Таким образом, множество классов эквивалентности ориентированных узлов является коммутативной полугруппой. Тривиальный узел играет роль единицы в этой полугруппе. Как показал X. Шуберт [61], в этой полугруппе также имеет место однозначное разложение на простые слагаемые. Узлы, не представимые в виде связной суммы двух нетривиальных узлов, называются простыми или неприводимыми, а представимые — составными.

Связное суммирование определяется также для ориентированных непустых зацеплений, но теперь эта операция является неоднозначной, если хотя бы одно из зацеплений имеет более одной компоненты. Если зафиксировать, из каких компонент вырезаются упомянутые выше дуги а и (5, результат снова определен однозначно с точностью до эквивалентности. Для неразводимых зацеплений имеет место аналог утверждения об однозначном разложении на простые слагаемые [34], в котором нужно лишь сделать необходимые поправки, связанные с неоднозначностью операции. Таким образом, для классификации всех зацеплений достаточно классифицировать неприводимые зацепления.

Интерес к классификации узлов и зацеплений появился еще до того, как были заложены основы математически формализованной теории. Таблицы простых узлов малой сложности составлялись уже в XIX веке [64, 45, 49], в то время как первые доказательства нетривиальности некоторых узлов появились лишь в начале XX века (по-видимому, первый результат такого рода принадлежит Виртингеру, который в 1905 г. доказал нетривиальность трилистника — простейшего из нетривиальных узлов — с помощью фундаментальной группы). В дальнейшем эти таблицы подвергались исправлениям и дополнениям [15, 14, 12, 58], значительное расширение таблиц произошло в последние годы благодаря использованию компьютеров и развитию численных методов [18, 38, 47].

Составленные списки узлов и зацеплений малой сложности заставляют усомниться в том, что задача классификации узлов и зацеплений допускает столь же удовлетворительное во всех отношениях решение, как, скажем, классификация двумерных поверхностей конечного типа. Никакой простой закономерности в этих списках не прослеживается, а с ростом п количество неэквивалентных зацеплений сложности ^ п (иод которой в данном случае понимается минимально возможное число самопересечений на плоской проекции общего положения) стремительно растет.

Возможны различные точки зрения на то, что следует считать решением проблемы классификации зацеплений. Наиболее формализованный подход к классификации, называемый алгоритмической классификацией, состоит в построении вычислимого взаимно однозначного соответствия между элементами множества С (или £ог) и натуральными числами. Не составляет труда построить алгоритм для перечисления элементов множества С (£ог) с неконтролируемым числом повторений каждого элемента, поэтому задача алгоритмической классификации по сути равносильна задаче алгоритмического сравнения зацеплений.

Первым достижением в этой области была работа В.Хакена [31], который, используя теорию нормальных поверхностей [46], предложил алгоритм для распознавания тривиального узла. X. Шуберт [62] обобщил его метод, построив алгоритм для полного разложения зацепления на неприводимые слагаемые. Отметим, что эти алгоритмы требуют достаточно большого перебора, который превышает возможности современных компьютеров даже для узлов с небольшим числом пересечений на диаграмме (10 — уже, как правило, слишком много). Поэтому для составления таблиц и сравнения узлов на компьютере обычно используются другие методы — вычисление инвариантов, нахождение геометрической структуры дополнения, эвристические методы.

Полное решение задачи алгоритмической классификации зацеплений потребовало развития сложной теории и усилий целого ряда математиков

32, 33, 39, 40, 36, 37, 65, 9] и было завершено лишь недавно С. В. Матвеевым [51].

Построенный в [51] алгоритм дает формальное решение задачи алгоритмической классификации, но неприменим на практике из-за очень большой сложности, а биекция N «-> которую он вычисляет, не обладает какими-либо интересными свойствами, помимо вычислимости.

Имеются и другие достижения, относящиеся к классификации узлов и зацеплений. К одному из первых продвижений в этой области следует отнести классическую теорему К. Райдемайстера [59], которая описывает классы эквивалентности зацеплений в чисто комбинаторных терминах. А именно, он показал, что две диаграммы задают эквивалентные зацепления тогда и только тогда, когда их можно получить друг из друга конечной последовательностью преобразований, называемых теперь движениями Райдемайстера, см. рис. 1. Под диаграммой при этом понимается D О

Рис. 1. Движения Райдемайстера рассматриваемая с точностью до изотопии плоская проекция зацепления, удовлетворяющая условию общего положения (допускаются только двойные трансверсальные самопересечения), причем для каждого самопересечения дополнительно указано, какая из двух ветвей проходит сверху, а какая — снизу [3].

Другой классический подход, основанный на теоремах Дж. Александе-ра [1] и А.Маркова [50], дает описание классов эквивалентности ориентированных зацеплений в комбинаторно-алгебраических терминах. В качестве множества диаграмм берется дизъюнктное объединение .B1U.B2U.B3LJ U . групп кос:

Вп = (сть . ,а„! | UiGj = o-j<7i, 1 ^ i, j ^ п - 1, \i - j\ > 1;

TjCr;+i<Ti = (7i+i(7i<7i+i, 1 < г < П — 2).

Элементы группы Вп называются косами на п нитях, поскольку они имеют соответствующую топологическую интерпретацию [4, 5]. Каждой паре (■n,w), где п ^ 1 — натуральное число, aw — слово в образующих afl, 1 ^ г ^ п — 1, сопоставляется ориентированное зацепление, называемое замыканием соответствующей косы. Идея проиллюстрирована на рис. 2,

Рис. 2. Коса (4,02(7! 2о'з0'20'з г) и ее замыкание подробности мы опускаем. Александер доказал (используя другую терминологию — группы кос были определены позднее), что каждое зацепление можно представить в виде замкнутой косы, а Марков указал набор сохраняющих класс эквивалентности зацепления преобразований, достаточных для того, чтобы перевести друг в друга любые две косы, задающие эквивалентные зацепления. Эти преобразования, называемые теперь двиэюе-ииями Маркова, таковы:

1) (n,w) (n,w'), если в группе Вп выполнено равенство w = w';

2) (n,w) «-» (n,uwu~l) — сопряжение с помощью произвольной косы на таком же количестве нитей;

3) (п, w) (п+1, wa^1), если в слове w встречаются лишь образующие af \ l^i^n-1.

Использование замкнутых кос для представления зацеплений имеет также один серьезный недостаток, редко упоминаемый в литературе: таким способом можно описывать только ориентированные зацепления. Набор дополнительных преобразований, позволяющий «забыть» ориентацию, по-видимому, не имеет описания в разумных алгебраических терминах и в литературе не исследован.

Стоит отметить несколько случаев, когда удается удовлетворительным образом классифицировать некоторый класс зацеплений, выделяемый из множества всех зацеплений каким-либо интересным свойством.

Например, торические узлы и зацепления, определяемые тем, что содержатся в некотором незаузленном вложенном двумерном торе Т2 С S3, естественным образом нумеруются неупорядоченными парами (р, q) целых чисел с условием p,q £ {—1,0,1}, рассматриваемых с точностью до общего знака, (p,q) ~ (— р, — q) ~ (q,p). А именно, паре (р, q), где р > 0, сопоставляется замыкание косы (р, (cri. ap-i)q). Торические зацепления замечательны также тем, что только для них и тривиального узла дополнение до S3 является так называемым зейфертовым многообразием (грубо говоря, расслоением над орбиобразием со слоем окружность).

Классифицированы двумостиые узлы и зацепления [63]. Это зацепления (отличные от тривиального узла), на которых некоторая функция высоты имеет ровно две точки локального максимума, или эквивалентные таким. Кроме этого свойства, они замечательны тем, что двулистное накрытие над сферой S3 с ветвлением вдоль двумостного зацепления имеет род Хегора один, то есть является линзовым пространством или S2 х S1, причем неэквивалентным двумостным зацеплениям соответствуют негомеоморфные (с учетом ориентации) линзовые пространства. Двумостные зацепления естественно нумеруются несократимыми дробями p/q, рассматриваемыми с точностью до следующей эквивалентности: (Р><7) ~ (PiQ')> если Я = Q1 (mod р) или qq' = 1 (mod р). Построить по дроби p/q соответствующее двумостное зацепление Lp/q можно, например, с помощью произвольного ее разложения в цепную дробь четной длины: p/q = к\+1/(к2+1/(кз+. .+1/к2т) • • •) (h не обязательно положительные). Зацепление Lp/q получается из косы (4,a2kiа*2а2кзof4.а2к2,"-1ак2т) операцией, похожей на замыкание, см. рис. 3.

Интересным классом зацеплений являются также неразводимые альтернированные зацепления, которые, по определению, представимы альтернированными плоскими диаграммами — такими, что прохождения сверху и снизу пересечений чередуются, если идти вдоль проекции зацепления (например, диаграмма на рис. 3 слева альтернированная). В частности, все двумостные узлы являются альтернированными. Известно [56], что наименьшее число самопересечений на диаграмме альтернированного зацепления достигается именно на его альтернированной диаграмме, при этом на различных альтернированных диаграммах это число одно и то же, при выполнении некоторого условия неприводимости, а именно, при

5/3 - 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/1)))

2-1/3

Рис. 3. Двумостный узел L5/3 отсутствии так называемых разбивающих пересечений на диаграмме. Доказано также [52, 53], что две неприводимые альтернированные диаграммы задают эквивалентные зацепления тогда и только тогда, когда они получаются друг из друга последовательностью операций (называемых Ауре), показанных на рис. 4. Эти два утверждения, сформулированных в

Рис. 4. Операция Ауре виде гипотезы Тейтом в конце XIX века, можно рассматривать как решение задачи классификации альтернированных зацеплений.

Имеется обширнейшая литература по построению и изучению свойств всевозможных топологических инвариантов узлов и зацеплений, что также можно рассматривать как подход к решению задачи классификации. Укажем лишь несколько ключевых работ: [2, 15, 41, 30, 42, 43, 68, 6, 44]. Однако, для построенных инвариантов, несмотря на их замечательные свойства, как правило, не удается ответить на самые естественные вопросы, а именно: сформулировать в топологических терминах, какие узлы различаются данным инвариантом, а какие — нет; указать область значения инварианта.

В настоящей работе развивается подход к теории узлов, основанный на нетрадиционном комбинаторном способе представления узлов и зацеплений. Вместо проецирования на плоскость или рассмотрения дополнительного пространства, мы будем изучать зацепления, имеющие специальный вид, а именно, целиком содержащиеся в «книге» — объединении нескольких полуплоскостей, имеющих общий край. Тот факт, что любой узел можно продеформировать так, чтобы он имел указанный вид, где число «страниц» неограничено, отмечался еще в конце XIX века [13], а в более современной литературе вскользь отмечается и то, что для представления зацепления в таком «книжном» виде достаточно всего трех страниц.

Однако, вплоть до недавнего времени (до работ [16, 19]) комбинаторные и алгебраические свойства этой простой и естественной конструкции не изучались.

Рассматривая зацепления, вложенные в книгу с заранее фиксированным числом страниц, мы приходим к конструкции, устанавливающей взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности зацеплений и центральными элементами некоторой конечно заданной полугруппы. В первой главе настоящей работы это сделано для неориентированных зацеплений, во второй — для ориентированных. Соответствующие полугруппы описаны явно с помощью порождающих соотношений. Таким образом, задача классификации зацеплений сведена к изучению классического объекта чистой алгебры — полугруппы, заданной конечным числом образующих и соотношений.

Заметим, что одним из наиболее предпочтительных вариантов решений задачи классификации каких-либо объектов является указание процедуры приведения их к каноническому виду, которая имеет вид «монотонного упрощения». Известно, что для плоских диаграмм узлов и движений Райдемайстера эта идея не работает. На рис. 5 показан пример плоской диаграммы тривиального узла, к которой нельзя применить ни одного движеиия Райдемайстера, сохраняющего или уменьшающего число пересечений. Этот пример принадлежит Гёрицу [67].

Рис. 5. Пример не упрощаемой монотонно плоской диаграммы тривиального узла

Отчасти желанием найти способ приведения узлов к каноническому виду мотивированы исследования различных функционалов, обычно называемых энергией узла [29, 48].

Основной результат третьей главы показывает, что приведение к каноническому виду с помощью упрощения возможно для тривиального узла. Достаточно выбрать «правильный» способ представления узлов и соответствующую функцию сложности. Кроме того, тот же метод позволяет раскладывать зацепления на простые слагаемые. Это означает следующее.

Если данное зацепление разводимое или составное, это может быть совершенно не очевидно из его комбинаторного представления. Однако, если зацепление задано в книжном виде, то, применив к его диаграмме конечное число элементарных операций, не увеличивающих сложность, всегда можно получить диаграмму, из которой будет «явно видно» разложение данного зацепления на простые (в главе 3 этому будет придан точный смысл). Здесь важно, что, в силу предыдущего результата, все тривиальные слагаемые при монотонном упрощении исчезают.

Основной результат третьей главы немедленно дает новые алгоритмы для распознавания тривиального узла и разложения зацеплений на простые слагаемые. Эти алгоритмы кардинально проще построенных ранее, хотя, к сожалению, известные (очевидные из конструкции) оценки на сложность этих алгоритмов также достаточно плохие и принципиально не отличаются от сложности алгоритма Хакена и других. Неоспоримое преимущество алгоритмов с использованием монотонного упрощения состоит в том, что в качестве ответа они выдают не только информацию о возможности разложении на простые или о тривиальности исходного зацепления, но и последовательность преобразований, которая превращает исходное зацепление в то, которое имеет очевидную факторизацию.

Для доказательства результатов третьей главы используется техника, развитая в работах [8, 10, 11, 16]. Основная теорема третьей главы имеет схожую формулировку с результатами работ [10, 11]. А именно, в [10, 11] доказано аналогичное утверждение, в котором вместо книжных зацеплений используются замкнутые косы, а в качестве функции сложности — число нитей косы. Принципиальное преимущество нашего подхода в том, что количество книжных зацеплений данной сложности конечно, а количество кос на данном числе нитей — нет. Поэтому результаты [10, 11] не дают алгоритма монотонного упрощения, подобного тому, что указан в настоящей работе.

В конце работы помещено Приложение, в котором для удобства читателя собраны некоторые из соотношений из первых двух глав.

Я признателен А. Сикора и У. Менаско, обратившим мое внимание на пробел, содержащийся в первоначальном варианте доказательства теоремы о монотонном упрощении тривиального узла.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Дынников, Иван Алексеевич, Москва

1. A. Dynnikov, A new way to represent links. One-dimensional formalism and untangling technology, Acta Appl. Math. 69 (2001), 243-283.И. А. Дынников, Алгоритмы распознавания в теории узлов. Успехи математических наук 58 (2003), 6(354), 45-92.

2. A. Dynnikov, Finitely presented semigroups in knot theory. Oriented case. Geometry, topology, and mathematical physics, 133-144, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 212, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2004.

3. A. Dynnikov, Arc-presentations of links. Monotonic simplification, Fund. Math. 190 (2006), 29-76.

4. H.Kauffman, State models and the Jones polynomial. Topology 26 (1987), no. 3, 395-407.

5. К. A. Perko. On the Classification of Knots. Proc. Amer. Math. Soc. 45, 262-266, 1974.

6. K. Reidemeister, Knotentheorie. Ergebn. Math. Grenzgeb., Bd. 1; Berlin: Springer-Verlag, 1932.

7. D.Rolfsen, Table of Knots and Links. Appendix С in Knots and Links. Wilmington, DE: Publish or Perish Press, pp. 280-287, 1976.

8. H.Schubert: Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten, Sitzungsber, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949). no. 3, 57-104.

9. H.Schubert, Bestimmung der Primfactorzerlegung von Verkettungen, Math. Z. 76 (1961), 116-148; русский перевод: Х.Шуберт, Алгоритм для разложения зацеплений на простые слагаемые, Математика 10:4, 45-78.

10. H.Schubert. Knoten mit zwei Brucken. Math. Z. 65 (1956), 133-170.

11. P.G.Tait, On knots, Trans. Roy. Soc. Edinburgh 28 (1877), 145-190.

12. W. Thurston, On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Dull. Amer. Math. Soc. 19 (1988), no. 2, 417-431.

13. В. Г.Тураев, Операторные инварианты связок и Л-матрицы. Изв. Акад. Наук СССР Сер. Мат. 53 (1989), 5, 1073-1107.

14. L. Goeritz, Bemerkungen zur knotenthoerie, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 10 (1934), 201-210.

15. V. A. Vassiliev, Cohomology of knot spaces. Theory of singularities and its applications, 23-69, Adv. Soviet Math., 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1990.