Монотонное упрощение зацеплений и лежандровы графы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ФГБОУ ВО Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

На правах рукописи

Прасолов Максим Вячеславович

Монотонное упрощение зацеплений и лежандровы графы

Специальность 01.01.04 — Геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

19 АПР 2015

Москва — 2015

005568111

005568111

Работа выполнена на кафедре высшей геометрии и топологии Механико-математического факультета ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова».

Научный руководитель: Дынников Иван Алексеевич,

доктор физико-математических наук, профессор.

Официальные оппоненты: Лексин Владимир Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор (ГАОУ ВПО «Московский государственный областной социально-гуманитарный институт», физико-математический факультет, кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математики),

Пушкарь Пётр Евгеньевич, кандидат физико-математических наук, доцент (НИУ «Высшая школа экономики», факультет математики).

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

Защита состоится 29 мая 2015 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д501.001.84 на базе ФГБОУ ВО «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова» по адресу Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, ФГБОУ ВО МГУ имени М. В. Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВО МГУ имени М. В. Ломоносова по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, сектор А, http://mech.math.msu.su/~snark/index.cgi.

Автореферат разослан 29 апреля 2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета Д 501.001.84 на базе

ФГБОУ ВО МГУ имени М. В. Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория узлов — классический раздел топологии, который развивается с конца XIX века. Фундаментальный вопрос этой теории — это классификация узлов и зацеплений в трёхмерном пространстве. Задача распознавания узла и, в частности, тривиального узла алгоритмически решена. Решение предложил Вольфганг Хакен 1 2 в 1961 году. Его идею довели до строгого доказательства усилия многих математиков3 4 5 6 7 8 9. Однако этот алгоритм очень медленный. Теоретическая оценка на время его работы — двойная экспонента от сложности узла.

Хотелось бы найти полиномиальный алгоритм или доказать, что его нет. В связи с этим опишем предпочтительную классификацию узлов и зацеплений: функция сложности на множестве представителей, конечный набор канонических представителей и преобразование любого представителя к каноническому, не увеличивающее сложность. Такие преобразования мы будем называть монотонными упрощениями или просто упрощениями. Рассмотрим пример представления узлов плоскими диаграммами. Сложность плоской диаграммы — количество перекрёстков. Теорема Райдемайстера описывает три простых движения, которые переводят плоскую диаграмму узла в любую другую. Однако тривиальный узел обладает бесконечным числом монотонно неупрощаемых плоских диаграмм: например, диаграмма на рисунке 1 и любая её кратная сумма с собой. Это говорит о том, что подход плоских диаграмм не вписывается в предпочтительную классификацию.

Но для прямоугольных диаграмм теорема о монотонном упрощении диаграммы тривиального узла верна, как показал Иван Дынников10. На прямоугольных диаграммах определены операции — аналог движений Райде-

1 W.Haken, «Theorie der Normälfiachen», Acta Math., 105 (1961), p. 245-375.

2 W.Haken, «Uber das Homöomorphieproblem der 3-Mannigfaltigkeiten», I. Math. Z., 80 (1962), p. 89-120.

3 K.Johannson, «Homotopy Equivalences of 3-Manifolds with Boundaries», BerUn:Springer-Verlag, 1979. (Lecture Notes in Math. V. 761.)

4 W.Jaco, P.Shalen, «Seifert fibered spaces in З-manifoIds», Mem. Arne г. Math. Soc. (1979), 21, no. 220

Б G.Hemion, «On the classification of the homeomorphisms of 2-manifolds and on the classification of

3-manifolds», Acta Math., 142 (1979), no. 1-2, p. 123-155

6 F.Waldhausen, «On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large», Ann. of Math.. (2), 87 (1968), p.56-88

7 M.Bestvina, M.Handel, «Train-tracks for surface homeomorphisms», Topology, 34 (1995), no. 1, p. 109-140

8 W.Thurston, «On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces», Bull. Amer. Math. Soc., 19 (1988), no. 2, p. 417-431

9 С.В.Матвеев, «Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий», - М.: МЦНМО, 2007, 456 с.

10 I.Dynnikov, «Arc-presentations of links: Monotonie simplification», Fand.Math., 190 (2006), p. 29-76

Рис. 1. Диаграмма тривиального узла, Гёритц, 1934

майстера, — из которых одни не меняет сложности диаграммы — числа вертикальных рёбер, — другие увеличивают сложность и называются стабили-зациями, а обратные им — дестабилизациями. Марк Лакенбай11 улучшил результат Дынникова и показал, что диаграмму тривиального узла можно монотонно упростить, применив небольшое число операций — ограниченное некоторым многочленом от сложности диаграммы. Это, в частности, означает, что проблема распознавания тривиального узла принадлежит классу NP, хотя это было показано ранее12 без построения движений, приводящих к тривиальной диаграмме. Отметим также, что теорема Лакенбая даёт полиномиальную оценку на количество движений Райдемайстера, необходимых для приведения плоской диаграммы тривиального узла к тривиальной. Это следует из того, что от прямоугольной диаграммы можно перейти к плоской и обратно очень быстро, за время, ограниченное квадратом сложности.

Однако для сравнения узлов нет таких теорем, даже о принадлежности классу NP. Первым шагом на пути решения этой проблемы может быть ответ на вопрос, когда прямоугольная диаграмма зацепления допускает упрощение. В этой работе мы формулируем критерий о том, что упрощаемость прямоугольной диаграммы эквивалентна дестабилизируемое™ некоторого лежан-дрова зацепления. Это не решает трудный вопрос, но связывает между собой два трудных вопроса и позволяет решать вопрос методами как прямоугольных диаграмм, так и контактной топологии.

Цель работы

Сформулировать геометрический критерий того, что прямоугольная диаграмма допускает дестабилизацию после нескольких рокировок и циклических перестановок.

Научная новизна

Все результаты работы являются новыми, получены автором самостоятельно. В диссертации получены следующие основные результаты:

11 M.Lackenby, «А polynomial upper bound on Reidemeister moves», preprint, arxiv:1302.0180

12 J.Hass, J.Lagarias, N.Pippenger, «The computational complexity of knot and link problems», J. ACM, 46 (1999), p. 185-211

• Сформулирован и доказан критерий упрощаемости прямоугольной диаграммы в терминах лежандровых зацеплений.

• Доказана независимость (в некотором смысле) двух типов дестабилизации прямоугольной диаграммы.

• Доказана гипотеза Джонса об инвариантности алгебраического числа пересечений минимальной косы, представляющей данное зацепление.

• Получено комбинаторное описание лежандровых графов с помощью обобщённых прямоугольных диаграмм.

Методы исследования

Для доказательства основного результата применяется техника, разработанная Дж.Бирман и У.Менаско в серии работ, где они изучали зацепления, представленные замкнутыми косами13 14. Важнейшие элементы этой техники появлялись уже в работе Д.Беннекена15. П.Кромвель16 заметил, что метод Бирман-Менаско переносится на книжные представления зацеплений (которые с комбинаторной точки зрения суть прямоугольные диаграммы).

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории узлов и контактной топологии.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались автором на следующих семинарах и общеуниверситетских, всероссийских и международных конференциях.

• Семинар «Алгебраическая топология и приложения» под руководством чл.-корр. В.М. Бухштабера, проф. A.B. Чернавского, проф. И.А. Дынни-кова, проф. Т.Е. Панова, доц. JI.A. Алании, механико-математический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, неоднократно в 2012 - 2014 гг.

13 J.Birman, W.Menasco, «Studying links via closed braids IV: Composite links and split links», Invent. Math., 102 (1990), p. 115-139

14 J.Birman, W.Menasco, «Studying links via closed braids V: Closed braid representatives of the unlink», Trans. AMS, 329 (1992), no.2, p. 585-fi06

15 D.Bennequin, «Entrelacements et equations de Pfaff», Asterisqve, 107-108 (1983), p. 87-161

16 P.Cromwell, «Embedding knots and links in an open book I: Basic properties», Topology and its Applications, 64 (1995), p. 37-58

• Семинар «Дискретная геометрия и геометрия чисел» под руководством проф. Н.Г. Мощевитина, проф. М.Д. Ковалёва, механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014 г.

• Семинар по топологии, университет Индианы, 2014 г.

• Конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 14.11 - 23.11, 2011);

• Конференция «Александровские чтения» (Москва, 21.05 - 25.05, 2012);

• Конференция «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 4.12 - 6.12, 2013);

• Конференция «Ломоносов» (Москва, 7.04 - 11.04, 2014);

• Конференция «Квантовая и классическая топология трёхмерных многообразий» (Магнитогорск, 4.07 - 17.07, 2014);

• Конференция «Комбинаторные теории гомологий зацеплений, Косы и Контактная геометрия» (Провиденс, 4.08 - 8.08, 2014);

• Конференция «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 24.09 -27.09, 2014).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в шести работах, список которых приводится в конце автореферата [1-6].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, разбитых на параграфы, дополнительной главы, посвящённой дальнейшему исследованию темы диссертации, списка литературы и списка публикаций автора. Общий объём работы составляет 166 страниц. Список литературы включает ^/наименований.

Краткое содержание работы.

Во Введении изложена краткая история вопроса, показана актуальность рассматриваемых задач. Сформулированы цель работы и основные результаты.

В Главе 1 изложены необходимые понятия и предварительные сведения о них.

Определение. Прямоугольной диаграммой зацепления называется конечное объединение замкнутых ломаных на плоскости, составленных лишь из горизонтальных и вертикальных звеньев (называемых рёбрами диаграммы), никакие два из которых не лежат на одной прямой. Каждая такая диаграмма интерпретируется как плоская диаграмма зацепления, в которой во всех пересечениях рёбер вертикальное ребро считается проходящим сверху. Концы рёбер прямоугольной диаграммы называются её вершинами. Число вертикальных рёбер прямоугольной диаграммы R называется её сложностью и обозначается через c(R).

В параграфе 1.2 введены такие элелкптарные преобразования, что две прямоугольные диаграммы представляют эквивалентные зацепления тогда и только тогда, когда они связаны конечной последовательностью этих элементарных преобразований17 18. Циклическая перестановка и рокировка -это преобразования, не меняющие сложность диаграммы, а стабилизация и дестабилизация соответственно увеличивают и уменьшают сложность на 1. Мы различаем два тина стабилизации и дестабилизации: тип I и тип II. Преобразованиями типа I (типа II) мы называем преобразования, не меняющие сложность, а также стабилизацию и дестабилизацию типа I (типа И). Упрощением типа I (типа II) мы называем последовательность преобразований типа I (типа II), которая не содержит стабилизации и содержит хотя бы одну дестабилизацию.

В параграфе 1.5 мы даём комбинаторное описание классов Бирман-Мена-ско — классов эквивалентности кос с точностью до операции обмена — с помощью прямоугольных диаграмм.

В параграфе 1.8 каждой диаграмме R сопоставляется два лежандровых зацепления Ьц и Lr^ таким образом19, что две прямоугольные диаграммы Ri и 7?о связаны последовательностью преобразований типа I (типа II), если и только если лежандровы зацепления и Ьцг и лежандрово изотопны.

Глава 2 посвящена ключевому понятию — понятию шунта — и основному техническому результату данной работы — Ключевой лемме.

Определение (2.2.1). Пусть L — лежандрово зацепление. Пару (а, /3), состоящую из гладкой простой лежандровой (т.е. всюду касающейся стандартной контактной структуры) дуги а € R3 с концами на L и дуги ¡3 С L с теми же концами, мы будем называть шунтом для L, если в R3 найдется вложенный двумерный диск D со следующими свойствами:

17 P.Cromwell, «Embedding knots and links in an open book I: Basic properties». Topology and its Applications, 64 (1995), p. 37-58

18 I.Dynnikov, «Arc-presentations of links: Monotonie simplification», Fund.Math190 (2006), p. 29-76

19 P.Ozsvâth, Z.Szabô, D.Thurston, «Legendrian knots, transverse knots and combinatorial Floer homology», Geometry and Topology, 12 (2008), p. 941-980

(AO) D является образом при гладком вложении полудиска {(х, у) б К2 ; х2+ у2 ^ 1, х ^ 0} в К3;

(AI) край диска 3D совпадает с a U ß;

(А2) пересечение DDL совпадает с ß\

(A3) диск D всюду вдоль а касается стандартной контактной структуры.

В параграфе 2.3 мы даём комбинаторное определение шунта в терминах прямоугольных диаграмм.

Ключевая Лемма. Пусть R — прямоугольная диаграмма зацепления и (а, ß) — шунт меньшего веса, чем число вертикальных рёбер той компоненты зацепления R, на рёбрах которой находятся концы шунта а.

Тогда найдётся прямоугольная диаграмма R!, лежандрово эквивалентная (R\ß) Uа, которая из R может быть получена Ь последовательными элементарными упрощениями типа II, где Ь — вес шунта (а, ß).

В параграфе 2.5 приведён план доказательства Ключевой леммы. Чтобы упростить диаграмму с помощью шунта мы действуем, как при доказательстве теоремы о монотонном упрощении тривиального узла20. А именно, прямоугольной диаграмме с шунтом мы сопоставляем их книжное представление (см. параграф 1.4), при этом на диске возникает слоение, высекаемое страницами книги. Упрощая слоение на диске, мы добиваемся упрощения зацепления.

Глава 3 посвящена следствиям из Ключевой леммы. Мы получаем геометрический критерий упрощаемости прямоугольной диаграммы, что является целью данной работы:

Теорема (Следствие 3.2.2). Прямоугольная диаграмма R допускает упрощение типа II (типа I), то есть последовательность циклических перестановок, рокировок и хотя бы одной дестабилизации типа II (типа I), если и только если лежандрово зацепление Ьц ) дестабилизируемо.

В параграфе 3.2 мы приводим более простое (по сравнению с оригинальным) доказательство о монотонном упрощении тривиального узла:

Следствие (3.2.3). Любая нетривиальная диаграмма тривиального узла допускает последовательность элементарных упрощений, заканчивающихся тривиальной диаграммой.

В том же параграфе мы приводим ещё четыре следствия Ключевой леммы:

20 I.Dynnikov, «Arc-presentations of links: Monotonie simplification», Fani.Math., 190 (2006), p. 29-76

Теорема (3.2.4). Пусть прямоугольная диаграмма Я допускает к последовательных элементарных упрощений Я Я[ и-» Я!^ >-►... Я!к типа I, а также £ последовательных элементарных упрощений Я (-> Я" ... ь-»- Щ типа II.

Тогда диаграмма Я'к допускает £ последовательных упрощений типа II, причем полученная в результате диаграмма связана с диаграммой Щ последовательностью циклических перестановок, рокировок и (де)стабилизаций типа I.

Аналогично, диаграмма Щ допускает к последовательных упрощений типа I, причем полученная в результате диаграмма связана с диаграммой Я'к последовательностью циклических перестановок, рокировок и стабили-заций/дестабилизаций типа II.

Теорема (3.2.5). Пусть С\ и £2 — два лежандровых типа лежандровых зацеплений, имеющих зеркально симметричные топологические типы. Тогда найдётся прямоугольная диаграмма Я такая, что лежандровы зацепления 1/д и имеют типы С\ и £2 соответственно.

Следствие (3.2.6). Если Я — минимальная диаграмма, то Ьц и Ьмаксимизируют число Торстона-Беннекена.

В предложении 3.2.7 мы приводим (ранее неизвестные) максимальные числа Торстона-Беннекена для узлов 12п41, 12ппэ, 12п\2о, 12П121, 12П145, 1271153, 12П199, 1271200, 12П243, 12п260, 12п282, 12Пзю, 12П322, 12п351, 12пз62, 12п368, 12п377, 1271403, 12п414, 12гг425, 1271475, 1271523, 127г54д.

В параграфе 3.3 мы приводим усиление Ключевой леммы:

Теорема (3.3.1). Пусть Я — прямоугольная диаграмма зацепления, К С Я — одна из её связных компонент, С — некоторый лежандров тип. Следующие условия равносильны:

(С1) диаграмма Я допускает Ъ > 0 последовательных элементарных упрощений типа II на компоненте К, приводящих к диаграмме, имеющий лежандров тип С;

(С2) для диаграммы Я найдётся шунт а веса Ь с концами на рёбрах компоненты К, и при замене им шунтируемого пути получается диаграмма, имеющая лежандров тип С.

В параграфе 3.5 мы доказываем гипотезу Джонса:

Теорема (3.5.1). Обозначим за -м(Р) — алгебраическое число перекрёстков косы р. Пусть косы /Зх £ Вт и /32 £ Вп представляют один и тот же класс

ориентированных зацеплений, причем коса ß\ имеет наименьшее возможное для этого класса число нитей. Тогда

|w(/?2) - w(ßi)| <n-m. В частности, при п = m мы имеем vf(ßi) = w(/?2).

Гипотеза Джонса вытекает из следующей теоремы, которая также доказана в другой работе21, где использован другой подход:

Теорема (3.4.1). Пусть классы сопряжённости кос В\ и В2 задают эквивалентные ориентированные зацепления. Тогда найдется класс сопряжённости В, который может быть получен из В\ последовательностью только положительных, а из В2 только отрицательных стабилизаций и дестаби-лизаций Маркова.

Глава 4 посвящена комбинаторному описанию лежандровых графов с помощью обобщённых прямоугольных диаграмм.

В параграфе 4.2 мы даём предварительные сведения о лежандровых графах.

В параграфе 4.3 мы обобщаем понятие прямоугольной диаграммы (определение 4.3.1) и вводим элементарные движения для обобщённых прямоугольных диаграмм.

В параграфе 4.5 каждой обобщённой прямоугольной диаграмме R мы сопоставляем лежандров граф Gr таким образом, что верна следующая теорема:

Теорема (4.5.2). Соответствие R Gr определяет биекцию между обобщёнными прямоугольными диаграммами с точностью до элементарных движений типа I и лежандровыми графами с точностью до лежандровой изотопии и раздутия или стягивания ребра.

В параграфе 4.7 мы вводим понятие заборных диаграмм и их движений. Эти понятия ввёл Ли Рудольф22 23 для классификации квазиположительных поверхностей. Оказалось, что классы заборных диаграмм по модулю заборных движений описывают лежандровы графы. Баадер и Ишикава24 построили естественное отображение из лежандровых графов в классы заборных

21 D.LaFountain, W.Menasco «Embedded annuli and Jones' conjecture», preprint, arxiv:1302.1247

22 L.Rudolph, «Quasipositive annuli (Constructions of quasipositive knots and links, IV)», J. Knot Theory Rami}., 1 (1993), p.451-466

23 L.Rudolph, «Quasipositivity as an obstruction to sliceness», Bull Amer. Math. Soc. (N.S.), 29 (1993), no. 1, p. 51-59

24 S.Baader, M.Ishikawa, «Legendrian graphs and quasipositive diagrams», Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques, 18 (2009), no. 2, p. 285-305

диаграмм. Мы показываем, что это отображение превращается в биекцию, если рассматривать лежандровы графы с точностью до раздутия и стягивания рёбер:

Теорема (4.7.3). Обозначим за 3-1/(3 множество лежандравых графов с точностью до лежандровой изотопии, валентности вершин которых равны 2 или 3, за FD — заборные диаграммы с точностью до заборных движений, за ЬЯ — лежандровы графы с точностью до лежандровой изотопии и раздутий, за Cr.fi!-О/ — обобщённые прямоугольные диаграммы с точностью до элементарных движений типа I.

Пусть Ъ-ЬО —у FD — отображение, определённое Баадером и Ишика-вой, З-ЬО —> ЬЯ — естественное отображение, —> ЬЯ — отображе-

ние Я 1-4 Оц, определённое в 4-5.1. Тогда существует биекция F£> —> СЯБ; такая, что следующая диаграмма коммутативна:

3 -1X3 РП I 4

ЬЯ <- СЯБг

Благодарности

Автор благодарен своему научному руководителю профессору Ивану Алексеевичу Дынникову за постановку задач и внимание к работе. Автор выражает благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Левану Анзоровичу Алании за внимание к работе и ценные замечания. Автор выражает благодарность всем сотрудникам кафедры высшей геометрии и топологии механико-математического факультета МГУ за тёплую атмосферу. Автор выражает благодарность всем сотрудникам лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета за внимание к работе. Работа выполнена при поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского госуниверситета (грант правительства РФ 14.750.31.0020).

Список публикаций

1. И.А.Дынников, М.В.Прасолов, «Шунты для прямоугольных диаграмм. Доказательство гипотезы Джонса и связанные вопросы», Труды ММО, 74:1 (2013), с. 115-173 (И. А. Дынникову принадлежат результаты раздела 3: теоремы 5, 6, 7 и следствия 1, 2, 3; М. В. Прасолову принадлежит формулировка частного случая Ключевой леммы и результаты раздела 5: теоремы 8,9,10,12 и следствие 4).

2. M.Prasolov, «Rectangular Diagrams of Legendrian Graphs», Journal of Knot Theory and Its Ramifications, V. 23 (2014), no. 13, 1450074.

3. Прасолов M.B., «Прямоугольные диаграммы лежандровых графов», Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-ЁОЦОтв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов. — М.: МАКС Пресс, 2014, электронное издание: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2014/2592/2200_72493_23bf5c.pdf

4. М. Prasolov, «Bypasses for Rectangular diagrams of a link and Jones' conjecture», Abstracts of the International Conference "Geometry and Analysis on Metric Structures", Novosibirsk. — 2013, электронное издание: http://gct.math.nsc.ru/wordpress/wp-content/uploads/ 2013/07/Prasolov.pdf

5. M. Prasolov, «Rectangular Diagrams and Jones' Conjecture II- Legendrian graphs, bypasses and simplifying disks», Supporting materials for conference «Combinatorial Link Homology Theories, Braids, and Contact Geometry», электронное издание: http://icerm.brown.edu/twl4-6-clht/

6. Prasolov M. V., «Rectangular diagrams of Legendrian graphs», ДНИ ГЕОМЕТРИИ В НОВОСИБИРСКЕ - 20Ц: Тезисы Международной конференции, посвященной 85-летию академика Ю. Г. Решетняка, Новосибирск: Институт математики им. С. JL Соболева СО РАН, 2014, 126 с.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № 21