Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых

Седых, Вячеслав Дмитриевич

Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Седых, Вячеслав Дмитриевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых»

Автореферат диссертации на тему "Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Математический институт им. В. А. Стеклова

На правах рукописи УДК 515.164.15+514.755.24

Седых Вячеслав Дмитриевич

Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина.

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор, академик РАН В. И. Арнольд

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С. М. Гусейи-Заде доктор физико-математических наук, профессор Н. Ю. Нецветаев доктор физико-математических наук, профессор А. В. Чернавский

Ведущая организация: Санкт-Петербургское отделение

Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится 06 апреля 2006 г. в 14 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.022.03 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН но адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, дом 8, МИРАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН

Автореферат разослан "

2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 002.022.03 доктор физико-математических наук

Н. П. Долбилин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи глобальной теории особенностей - бурно развивающейся области современной математики (см. главу 4 в обзоре1). А именно, мы изучаем вопросы сосуществования устойчивых вещественных (мульти)особенностей коранга 1. Необходимость глобального исследования таких особенностей возникает во многих задачах и, в частности, при изучении глобальных свойств гладких кривых.

Возьмем, например, замкнутую кривую на евклидовой плоскости. Опорными окружностями этой кривой называются касательные окружности, от которых кривая лежит с одной стороны. Суммарная кратность касания опорной окружности с кривой общего положения не превосходит трех. При этом может быть лишь конечное число опорных окружностей, которые касаются кривой в трех различных точках или являются ее окружностями кривизны (последние касаются кривой ровно в одной точке с кратностью три).

Рассмотрим внешне-опорные окружности кривой, т.е. опорные окружности, от которых кривая лежит с внешней стороны по отношению к центру окружности. Пусть Т - число внешне-опорных окружностей, касающихся данной кривой в трех точках, а С - число ее внешне-опорных окружностей кривизны. Тогда

С — Т = 2 (1)

для любой замкнутой выпуклой кривой общего положения на плоскости. Аналогичное соотношение справедливо и для соответствующих чисел внутренне-опорных окружностей.

Эти замечательные формулы обнаружил Р. Бозе2 в 1932 году, получив, тем самым, простое доказательство классической теоремы Махопадхайя3 о четырех вер-i шинах. Согласно этой знаменитой теореме, любая замкнутая вложенная кривая на

евклидовой плоскости имеет не менее четырех геометрически различных вершин (экстремумов кривизны). Для выпуклых кривых общего положения это мгновенно • следует из формул Бозе.

Действительно, если окружность кривизны кривой в данной точке t является опорной, то t - критическая точка функции кривизны этой кривой. Поскольку все критические точки функции кривизны кривой общего положения невырождены, то

1 Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности. I. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1988.

3 Dose R. С. On the number of circles of curvature perfectly enclosing or perfectly enclosed by a closed convex oval. Math. Zeitsch. 35 1932, 16-24.

3 Mukhopadliaya S. New Methods in the Geometry of a Plane Arc - I, Cyclic and Sextactic points, Bull. Calcutta Math. Soc. 1 (1909), 31-37.

< - вершина рассматриваемой кривой. Остается заметить, что никакая окружность не может быть одновременно внешне-опорной и внутренне-опорной окружностью кривой общего положения (кривая общего положения не является окружностью).

Формула (1) послужила отправной точкой исследований, результатам которых посвящена данная диссертация. Основной нашей целью было нахождение соотношений между дифференциально-геометрическими характеристиками расположения гладких подмногообразий в пространствах с дополнительной структурой (в частности, получение многомерных обобщений формул Бозе). Основным результатом явились не только многочисленные таблицы найденных нами новых соотношений, но и те методы, которые позволяют эффективно их вычислять в некоторых задачах анализа, геометрии и топологии.

Рассмотрим, например, замкнутую кривую общего положения в евклидовом пространстве К*. Внешне-опорная гиперсфера кривой называется особой, если либо кривая касается этой гиперсферы в одной точке с кратностью, большей 1, либо она касается гиперсферы в нескольких разных точках. Центры особых внешне-опорных гиперсфер кривой образуют особую гиперповерхность в К*. Особенности этой гиперповерхности хорошо известны4. Наша задача состояла в том, чтобы изучить условия сосуществования этих особенностей.

В случае выпуклой кривой на плоскости это сделать нетрудно. Указанная гиперповерхность представляет собой конечный граф, локальная степень вершин которого равна либо 1 (такие вершины являются центрами внешне-опорных окружностей кривизны кривой), либо 3 (центры внешне-опорных окружностей, касающихся кривой в трех точках). Формула Бозе следует из того, что этот граф односвязен, а его ребра удовлетворяют известному соотношению инцидентности: удвоенное число ребер графа равно сумме локальных степеней всех его вершин (это верно для любого конечного графа при условии, что вклад в локальную степень вершины каждого ребра, являющегося петлей, инцидентной этой вершине, равен двум).

В случае выпуклых кривых в пространствах большего числа измерений особенностей больше и ситуация значительно сложнее. Во-первых, необходимо найти топологические условия на гиперповерхность центров внешне-опорных гиперсфер кривой, которые следуют из условия выпуклости (напомним, что кривая в К* выпукла, если она пересекает любую гиперплоскость не более, чем в к точках с учетом кратностей; такая кривая может' быть замкнутой только при четном А). Во-вторых, необходимо вычислить линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей у любой гиперповерхности с аналогичными особенностями (такие

4 Арнольд В. И., Васильев В. Л., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности. II. Итоги пауки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 39. М.: ВИНИТИ, 1989.

соотношения обобщают соотношение инцидентности в графах).

Обе эти задачи удалось решить. Более того, что касается второй из них, то мы предлагаем мегод, который позволяет эффективно вычислять линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивого гладкого отображения гладкого замкнутого многообразия в пространство той же или большей размерности при условии, что это отображение имеет только особенности коранга 1. Необходимость изучения глобального поведения особенностей таких отображений возникает во многих областях математики и, в частности, в контактной геометрии пространственных кривых. Вычисление соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей позволило нам получить важные результаты в ряде хорошо известных задач.

Для примера мы приведем обобщение формулы Бозе для замкнутых выпуклых кривых общего положения в R10. А именно, пусть .. '.**) ~ число внешне-опорных гиперсфер, которые касаются данной кривой в ki+.. .+кр попарно различных точках, среди которых kiti = 1,...,р точек касания с кратностью ц,, где /íj > ... > цр и kiHi + ... + крЦр = 11. Тогда

42XÍ/J - 14Х(Й) - 5Х(Щ) + 5*(И) - 4Х(25;1) - 2ХЩ) + 2*(Щ)

- 2х(Ц) + xffi) - X(SJ) + Х(й) - Х(") = 252.

С точностью до знака каждый коэффициент в левой части этого соотношения является произведением нескольких членов из последовательности Каталана 1,1,2,5,14,42. Правая часть соотношения равна (10/2 + 1) • 42. Аналогичное соотношение справедливо и для внутренне-опорных гиперсфер кривой.

Цель работы. Разработать единую теорию глобального исследования устойчивых вещественных особенностей коранга 1, встречающихся в различных задачах анализа, геометрии и топологии. С ее помощью получить новые условия сосуществования (мульти)особенностей указанного типа. Применить эти условия для решения некоторых известных задач в контактной геометрии пространственных кривых.

Методы. Основная часть результатов диссертации, получена путем использования оригинальной конструкции разрешения устойчивых мультиособенностей коранга 1, возникающих в соответствующих задачах. Наша конструкция разрешения является обобщением известного в алгебраической геометрии принципа итерации Клеймана5, который обычно используется в комплексных задачах при исследовании циклов кратных точек общих голоморфных отображений с особенностями коранга 1 (см. •статью С. Колей6, работы Д. Монда с В. Мараром7 и В. В. Горюновым8).

6 Kleiman S. L. Multiple-point formulas I: Iteration. Acta math. 147 (1981), №1-2, 13-49.

• Col ley S. J. Enumerating stationary multiple-points. Adv. in Math. 66 (1987), №2, 149-170.

7 Marar W. L., Mond D. Multiple-point schemes for corank 1 maps, J. London Math. Soc.(2) 30

(1989), №3, 553-567.

В отличие от принципа итерации, мы рассматриваем циклы произвольных устойчивых мультиособенностей коранга 1, причем используем более тонкую процедуру при построении разрешающего многообразия. Это позволяет получить значительно большую информацию о топологии рассматриваемых особенностей, что и приводит к новым результатам в различных приложениях. Мы изучаем здесь только вещественные задачи. В комплексном случае использование обобщенного принципа итерации также привело к некоторым новым результатам в глобальной теории особенностей коранга 1 (см. диссертацию9 и обзор10 М. Э. Казаряна).

В работе также используются стандартные методы теории особенностей гладких отображений, контактной и проективной геометрии, топологии многообразий (классификации особенностей, нормальные формы, производящие семейства, гомологии, гомотопии, эйлеровы характеристики, теория узлов и др.). Конкретные вычисления в больших размерностях проводились на компьютере с использованием пакета программ "Mathematica".

Важнейшие терминологические соглашения. Бели не оговорено противное, то слова "гладкий" и "дифференцируемый" везде далее означают иС°°-дифференци-руемый", рассматриваемые многообразия вещественны и не имеют края. Гладкое компактное многообразие без крал называется замкнутым. Эйлеровой характеристикой х(£) топологического пространства Е мы называем альтернированную сумму чисел Бетти групп гомологий с компактными носителями. Накрытием называется любое локально тривиальное расслоение с конечным слоем.

Все встречающиеся в дальнейшем пространства гладких отображений снабжены С°°-топологией Уитни (тонкой в случае некомпактного прообраза). Многие утверждения мы формулируем для отображений (в частности, для подмногообразий) общего положения. Это означает, что для каждого утверждения существует открытое всюду плотное подмножество в соответствующем пространстве, для всех отображений из которого справедливо указанное утверждение.

Пусть А - свободная абелева полугруппа по сложению со счетной системой образующих. Выберем подмножество ВС А и рассмотрим вещественное векторное пространство Ев финитных функций В —► R (т.е. равных нулю всюду, кроме конечного числа точек). Зафиксируем непустое подмножество П С Ев и возьмем произвольную ненулевую линейную функцию а : Ев —► R. Если а принимает одинаковое значение ß € R во всех точках из П, то мы будем говорить, что имеется универсальное линей-

® Goryuuov V. V., Mond D. Vanishing cohomoloyy of singularities of mappings, Compositio Math. 89 (1993), ЯП, 45-80.

* Казаряи M. Э. Характеристические классы в теории особенностей, Дисс.... докт. физ.-матем. наук., МПРАН им. В. А. Стсклова, Москва, 2003.

10 Казаряи М. Э. Мультиособенности, кобордизми и иснислителъная геометрия, УМН 58 (2003), вып. 4, 29-88.

ное соотношение а{х) = ß между значениями функций х € ÎÎ. Система универсальных линейных соотношений называется полной, если она определяет минимальное аффинное подпространство в Ев, содержащее ÍÍ.

В дальнейшем мы изучаем подмножества Cl в пространствах вида Ев, построенные по некоторым классам гладких отображений следующим способом: отображению / сопоставляется функция х/ € Ев, значение Х/М) которой на элементе А £ В равно эйлеровой характеристике х(-4/) некоторого гладкого многообразия Л/, естественным образом определяемого по / и Л.

Научная новизна. Построена глобальная теория устойчивых вещественных особенностей коранга 1. В ее основании лежит оригинальная конструкция разрешения (мульти)особенностей указанного типа. Свойства этой конструкции привели к ряду новых результатов в анализе, геометрии и топологии.

1) Впервые вычислены универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей в образе устойчивого гладкого отображения гладкого замкнутого многообразия в пространство нестрого ббльшей размерности при условии, что это отображение имеет только особенности коранга 1. Для каждой из четырех комбинаций четностей размерностей пространств образа и прообраза найдена полная система таких соотношений. Следует отметить, что сам факт существования подобных соотношений (причем, даже в случае произвольной стратификации Уитни гладкого замкнутого многообразия) можно в принципе извлечь из некоторых работ по топологии стратифицированных множеств (например, из статьи11 или работы12). Тем не менее этот факт нигде не формулировался, а указанные соотношения никогда не вычислялись, кроме некоторых частных случаев (сводящихся к соотношениям инцидентости в графах). Мы же предъявляем простой комбинаторный алгоритм для их вычисления в любых фиксированных размерностях.

2) Впервые вычислены универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей устойчивого компактного волнового фронта коранга < 1 (т.е. имеющего лишь особенности коранга I). Отдельно для случаев нечетной и четной размерности пространства, объемлющего фронт, найдена полная система таких соотношений. Вычислены также универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на краях связных компонент определенного вида у дополнения к устойчивому компактному фронту коранга < 1. В частности выяснилось, что при некоторых дополнительных условиях числа изолированных особенностей разных типов на крае так называемой ■эллиптической компоненты дополнения удовлетворяют замечательному линейному

11 Romero Fus ter M. С. Sphere stratifications and the Gauss map, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, 95 (1983), 115-136.

12 McCrory C., Parusiñski A. Algebraically constructible functions. Ann. scient. Éc. Norm. Sup.(4) 30 (1997), №4, 527-552.

соотношению, коэффициенты которого определяются числами Каталана.

3) В качестве следствия указанных выше вычислений получены многомерные обобщения формул Изумии-Марара для эйлеровых характеристик устойчивых компактных поверхностей13 и фронтов14 в трехмерном пространстве (в случае, когда соответствующие многомерные объекты имеют лишь устойчивые особенности коранга 1). Составлены таблицы универсальных линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей следующих множеств: множества Максвелла глобальных минимумов общего семейства гладких функций, зависящих не более чем от шести параметров; множества опорных гиперплоскостей гладкого замкнутого подмногообразия общего положения в аффинном пространстве не более семи измерений; некоторых подмножеств множества симметрий гладкого замкнутого подмногообразия общего положения в евклидовом пространстве R*, где к < 6 (например, средних осей, рассматриваемых в компьютерном моделировании15).

4) Найдены многомерные обобщения формулы Бозе (1) для замкнутых выпуклых кривых общего положения в евклидовом пространстве четной размерности не выше 1С и для замкнутых выпуклых по Барнеру16 кривых общего положения в аффинном пространстве нечетной размерности не выше 17. Во втором случае полученная формула связывает между собой числа опорных гиперплоскостей разных типов, для которых сумма порядков касания гиперплоскости с кривой равна размерности объемлющего пространства. Следует отметить, что в работе К. Ромеро-Фюстер17 получено обобщение формулы Бозе для слабо выпуклой кривой (лежащей на границе своей выпуклой оболочки) общего положения в R3. Обобщения формулы Бозе для выпуклых кривых общего положения в R* при четном к < S можно получить также из формул Казаряна18 для образующих групп когомологий комплекса, определенного классами особенностей функции минимума на окружности.

5) Получено многомерное обобщение известной теоремы М. Фридмана19 о том, что если связная замкнутая кривая общего положения в R3 не имеет точек уплощения (где кручение равно нулю), то число ее тройных касательных плоскостей (касаю-

13 Izumiya S., Marar W. L. On topologically stable singular surfaces in a 2>-manifold. J. Geoni. 62 (1995), 108-119.

14 Izumiya S., Marar W. L. The Euler characteristic of a generic wave front in a Z-manifold, Proc.

Amer. Math. Soc. 118 (1993), №4, 1347-1350.

l& Giblin P. J., Kiinia D. D. On the local form and Transitions of Symmetry Sets, Medial Axes, and Shocks. Int. J. Computer Vision 54 (2003), 143-157.

ie Darner M. l/ber die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 20 (1956), 196-215.

IT Romero Fuster M. C. Convexly generic curves in R3, Geoiu. Dedicata, 28 (1988), 7-29.

18 Кааарин M. Э. Относительная теория Морса одномерных расслоений и циклические гомоло-

гии, Функц. анализ и его прил. 31 (1997), вып. 1, 20-31.

,e FVeedman M. H. Planes triply tangent to curves with nonvanishing torsion. Topology 10 (1980), №1,

1-8.

щихся кривой в трех различных точках) четно. Работа Фридмана изучалась многими авторами. Т. Банчев, Т. Гаффни и К. МакКрори20 получили формулу, описывающую четность числа тройных касательных плоскостей произвольной связной замкнутой кривой общего положения в аффинном пространстве R3. Нам же удалось обобщить все эти результаты на случай произвольных кривых общего положения в нечетно-мерном пространстве RРп (не обязательно связных, аффинных или стягиваемых).

6) Доказана теорема о том, что всякая С3-вложенная замкнутая слабо выпуклая кривая со всюду ненулевой кривизной в R3 имеет не менее четырех (геометрически различных) точек уплощения. Эта теорема является трехмерным обобщением теоремы о четырех вершинах. Все предыдущие варианты теоремы о четырех точках уплощения слабо выпуклой кривой в R3, найденные в разных статьях, опубликованных после работы Махопадхайя и посвященных обобщениям его теоремы, были доказаны только при сильных дополнительных предположениях (см. работы Г. Мормана21, М. Барнера (сноска 16 на стр. б), Т. Быстрицкого22, К. Ромеро-Фюстер [сноска 17 на стр. 6j и др.). Условие же всюду ненулевой кривизны кривой является необходимым в указанной теореме.

7) Найдены новые инварианты допустимых по Арнольду гомотопий кривой в RP3. При помощи одного из них решена задача Арнольда, сформулированная под номером 1998-6 в известном сборнике23. А именно, в задаче спрашивается: можно ли уничтожить допустимыми гомотопиями все шесть точек уплощения кривой х = cosí, у = siní, г = cos3í? Мы даем отрицательный ответ на этот вопрос.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в дифференциальной геометрии (исследование дифференциально-геометрических характеристик расположения подмногообразий в евклидовых, аффинных и проективных пространствах), в прикладных задачах анализа (изучение множеств Максвелла семейств гладких функций, зависящих от многих параметров), в теории оптимального управления (задачи оптимального синтеза управления системами с многомерным фазовым пространством), в гамиль-тоновой механике и геометрической оптике (вопросы сосуществования особенностей каустик и волновых фронтов), в компьютерном моделировании (анализ и распознавание образов).

Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре В. И. Арнольда в МГУ по теории особенностей гладких отображений.

. 20 BanchofF Th., Gaffney Т., McCrory С. Counting tritangent planes of space curves. Topology 24(1985), №1, 15-23.

31 Moljrmaim H. Die minimalzahl der stationären Ebenen eines räumlichen Ovals, Sitz. Ber. kgl. Bayerichen Akail. Wiss. Math. Phys., Kl., 1917, 1-3.

32 Bisztriczky T. Inflectional convex space curves, Can. J. Math. 36 (1984), 537-549.

23 Арнольд В. И. Задачи Арнольда, М.: Фазис, 2000.

Они также докладывались на семинаре В. А. Васильева в НМУ по теории узлов и дискриминантов, на научных семинарах в университетах и математических центрах Санкт-Петербурга (отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН); Кампинаса и Рио-де-Жанейро (Бразилии); Валенсии и Мадрида (Испания); Парижа и Страсбурга (Франция); Кембриджа, Воорика, Ливерпуля и Лидса (Великобритания); Уппсалы (Швеция) и Утрехта (Нидерланды).

Результатам диссертации были посвящены доклады на различных международных конференциях. В частности, на: конференциях в Сан-Пауло (Бразилия 1992, 1996) по вещественным и комплексным особенностям; конференции в Париже (Франция 1994) по выпуклости; конференции в Ливерпуле (Великобритания 199G), посвященной 60-летию Т. Воола; симпозиумах в Варшаве (Польша 1998, 2002) по геометрии и топологии каустик; конференции в Кембридже (Великобритания 2000) по приложениям теории особенностей в теории распространения волн и динамических системах; конференции в МГУ (Москва 2003), посвященной 100-летию А. Н. Колмогорова; конференции в Эдинбурге (Великобритания 2003) по теории особенностей; конференции в Саппоро (Япония 2003) по теории особенностей и ее приложениям; конференции в МГУ (Москва 2004), посвященной 103-летию И. Г. Петровского; польско-японской конференции в Бедлево (Польша 2004) по теории особенностей.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 23 работы. Все они выполнены без соавторов. Перечень публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Первые четыре главы состоят из параграфов, разбитых на разделы. Пятая глава состоит из тринадцати таблиц.

Объем работы - 250 страниц. Список литературы содержит 105 наименований. В работе имеется 16 рисунков.

Содержание работы

Диссертация открывается введением, в котором дается общее описание всей работы и излагаются основные результаты.

В первой главе мы изучаем топологию мультиособенностей устойчивого гладкого отображения гладкого многообразия в пространство нестрого ббльшей размерности в предположении, что это отображение имеет лишь особенности коранга 1.

Пусть М и V - произвольные гладкие многообразия положительных размерностей m и п, соответственно, где / = п — т > 0. Рассмотрим гладкое собственное отображение / : М —> V. Его ростки в особых точках классифицируются относительно гладких замен локальных координат на многообразиях Л/ и V. Классы эквивалентности ростков называются особенностями. Отображение / называется отображением коранга < 1, если размерность ядра его производной нигде не превосходит 1.

Предположим, что / - устойчивое отображение коранга < 1. Тогда локальные алгебры ростков этого отображения изоморфны R-алгебрам срезанных многочленов от одной переменной степени не выше ц, где /i - целое неотрицательное число, < m/(i +1). В подходящих гладких локальных координатах на многообразиях M и V все ростки отображения / с локальной алгеброй, изоморфной алгебре R[[*]]/(i'1+l)l задаются одной и той же формулой Морена24. Соответствующая особенность называется особенностью типа Лм.

Мультиособенностью отображения / в точке у G V называется неупорядоченный набор особенностей / в попарно различных точках х из полного прообраза /~х(у). Мультиособенности устойчивого отображения / коранга < 1 классифицируются по элементам А = + ... + Ahp свободной абелевой полугруппы А по сложению, образующими которой служат символы Aq,Ai........ (в частности, / имеет муль-

тиособенность типа 0 € А в любой точке у G V \ f(M)). Множество А/ точек у G V, в которых / имеет мультиособенность типа А, является гладким подмногообразием коразмерности codim/А = (/ + 1) Mi+pl < л в К. Оно называется многообразием мультиособенностей типа А отображения /.

Образ f(M) отображения / является особым подмножеством коразмерности I в V. Его ростком в точке у G V называется объединение образов ростков (/, х) в точках х G f~l(y)- Если / > 0, то особенности образа устойчивого отображения / коранга < 1 также классифицируются по элементам полугруппы А. А именно, множество /(А/) имеет особенность типа А G А в точке у G V, если мультиособенность отображения / в точке у имеет тип А. Две особенности образа устойчивого отображения / коранга < 1 в пространство ббльшей размерности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый тип. Многообразие А/ в этом случае называется многообразием особенностей типа А образа отображения /.

В параграфе 2 мы определяем конструкцию, которая каждому устойчивому отображению / коранга < 1 сопоставляет новое отображение того же типа с той же коразмерностью образа, но с более простыми особенностями. Эта операция задается типом Ац особенностей отображения / и называется ./^-преобразованием.

Пусть - замыкание множества точек х G Л/, в которых / имеет особенность типа Это - гладкое подмногообразие коразмерности ц(1 +1) в Л/. Чтобы определить .¿^-преобразование (Л^](/) отображения /, необходимо взять замыкание Флм,д0 подмножества в Фдм х ФЛо, образованного парами (х,£) точек х G Фам \Фам+ь£ € Фл0 \ Флп£ Ф х таких, что /(х) = /(£). Это замыкание является гладким подмногообразием в ф^ х ФЛо (теорема 2.1.1). По определению, [Л^](/) - композиция гладких отображений Флм,д0 * Фд0 —► Фл„, первым из которых является естественное

24 Morin В. Formes canoniques des singularités d'une application différentiable. C. R. Acatl. Sei. Paris, Sér I Math. 260 (19G5), 5662-5665.

вложение, а второе представляет собой проекцию прямого произведения на первый сомножитель.

Отображение [Л,,](/) является устойчивым гладким собственным отображением коранга < 1 (теорема 2.1.2). Его свойства описаны в теореме 2.1.7. Оказывается, что особенности отображения (Л^/) связаны с краевыми особенностями серии В, которые изучались В. И. Арнольдом25. Например, если j = 0 и образ отображения / имеет особенность типа A„,v > /л, в некоторой точке у € К, то росток в точке /~1(у) пары в Ф.дм, образованной подмногообразием Ф/»„+, и множеством критических значений отображения [Л,,](/), диффеоморфеи ростку в нуле прямого произведения пространства Rn~" и пары, состоящей из неприводимых компонент замыкания множества неособых точек вещественной части многообразия нерегулярных орбит действия группы Вейля В„-м на комплексификации евклидова пространства R"-*4.

В параграфе 3 определяется основная конструкция - разрешение мультиособен-иостей устойчивого отображения / коранга < 1. Разрешение мультиособенностей тина Л = + ... + Л,1р € А отображения / строится при помощи итерации Л^-преобразований, где ц = ц\, ...,/хр. Такая итерация сопоставляет элементу Л гладкое многообразие Фд (пространство, в котором лежит образ последнего Лм-преобразования) и гладкое собственное отображение : Ф.4 —* V такие, что:

1) образом отображения (рд является замыкание в V объединения многообразий (Л + АгЛо)/ по всем целым к > 0 (если / > 0, то это - замыкание многообразия Л/)',

2) если мультиособенность типа -VGA отображения / примыкает к мультиосо-бенности тина Л + АЛо, то - конечное накрытие над многообразием Xj\

3) кратность этого накрытия зависит только от Л и X (т.е. не зависит ни от отображения /, ни от многообразий Л/ и V); она называется индексом мультиособенности типа X относительно мультиособенности типа Л и обозначается /д(А').

Пары полученные при разных упорядочениях набора /ii,...,/xp есте-

ственно диффеоморфны (теорема 3.1.4). В теореме 3.2.1 мы приводим рекуррентную формулу, которая позволяет быстро вычислять индексы 1^{Х). А именно, индекс 1а{Х) мультиособенности типа А' = Л„, + ... + Л„г относительно мультиособенности типа Л = ЛР1 + ... + Ацр вычисляется рекуррентно, исходя из следующих условий:

1) если ц* = max{/ii,... ,цр] > v* = max{t>i,..., i/r), то IA(А') = 0;

2) если ц* < i/', то

UX) = Л 1а-а„Л А' - A J + Y1 1Л-ЛАХ ~ А*. + ^W-i),

где /o(V) = 1 для любого Ye А.

36 Арнольд В. И. Критические тонки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Dk,Ck,Ft и особенности эволют, УМН 33 (1078), вып. 5, 91-105.

В параграфе 4 изучается каноническая стратификация многообразия Фд на связные компоненты многообразий ip^(Xj) по типам А' € А мультиособенностей отображения /. Эта стратификация является С°°-стратификацией Уитни (теорема 4.2.5). Ее особенности описаны в теореме 4.2.2 с точностью до диффеоморфизмов объемлющего многообразия Фд. Эти особенности устойчивы (относительно малых деформаций исходного отображения /) и просты (не имеют модулей). Росток остова коразмерности 1 канонической стратификации многообразия Фд в любой точке состоит из нескольких гладких неприводимых компонент (коразмерностей 1 и /+1) и нескольких компонент, каждая из которых является ростком образа (при I > 0) или множества критических значений (при I = 0) устойчивого гладкого отображения коранга < 1.

Параграф 5 посвящен первым приложениям. Как известно, наличие (мультиособенностей того или иного типа у отображения общего положения ограничивается различными условиями топологического характера. Для их нахождения используются различные методы и объекты: многочлены Томы, классы кобордизмов и пр. (см. [сноска 1 на стр. 1], [сноски 9 и 10 на стр. 4[, работу А. Сюча26 и др.). В диссертации используется указанное выше разрешение для получения новых условий сосуществования (другой природы) устойчивых мультиособенностей коранга 1. Мы вычисляем универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивых гладких отображений коранга < 1 замкнутых многообразий в многообразия нестрого б0льшей размерности. Для каждой из четырех комбинаций четностей размерности многообразия-образа и коразмерности образа отображения в этом многообразии найдена полная система таких соотношений (теоремы 5.2.1, 5.3.1, 5.5.1 - 5.5.3).

А именно, пусть / : Мт —► V" - устойчивое гладкое отображение коранга < 1, где / — п — т>0 и М замкнуто. Тогда эйлерова характеристика Xf(-A) = хМ/) любого нечетномерного многообразия А/ мультиособенностей типа А € А\{0} отображения / является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Х/(Х) четномерных многообразий А'/, образованных мультиособен-ностями типов X таких, что codimj X € [codimi.4 +1, п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А, X соответствующих мультиособенностей и от четности числа I. Мы приводим комбинаторные формулы, позволяющие вычислять эти коэффициенты на компьютере для любых наперед заданных А, X.

Например, для особенностей типа 2А0 образа отображения / многообразия М четной размерности в пространство V нечетной размерности п < Ы + 2,

2Х(2) = Х(1) + 6*6) - 2*0) - 5*(Ц) - 40*0) ______+5x(S) + 24*(Ц) + 12Х(Й) + 92x({;S) + 672X(0r),

36 Szücs A. Cobordism of тара with simplest singularities, in: Topology Symposium, Siegen, Lect. Notes in Math. 788 (1980), 223-244.

гАе Х&'.гй) обозначает эйлерову характеристику х/(^1 Ач + • • • + крА»,) многообразия (кхАщ + ... + крАИр)/. Эта формула является многомерным обобщением соотношения инцидентности 2х(о) — Х(!) + 6х(о) в графе, образованном изолированными особенностями и особенностями, встречающимися на односвязных кривых, у устойчивой компактной поверхности в трехмерном пространстве (х(о) ~ число односвязных компонент множества точек пересечения двух гладких ветвей поверхности» х(о) ~ число точек тройного самопересечения; х({) ~ число зонтиков Уитни; терминологию см., например, в [сноска 1 на стр. 1]). Система, состоящая из этого (единственного) равенства является полной системой универсальных линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей таких двумерных поверхностей. Действительно, для любых Л^,..., Л4 € К таких, что А2 + ... + А2 ф 0, существует устойчивая компактная поверхность в К3, для которой ^1Х(о) + ^2Х({) + ^зХ(о) + Ф 0, где х(о) ~ эйлерова характеристика многообразия ее неособых точек.

Алгоритм вычисления указанных выше соотношений основан на том, что для любого устойчивого отображения / : М'п —> V* коранга < 1 замкнутого многообразия Л/ и для любого Л € А \ {0} многообразие Фд замкнуто, а его эйлерова характеристика х(Ф.л) вычисляется по формуле

А 6 А

где сумма берется по типам X всех мультиособенностей отображения /, примыкающих к мультиособенностям типов А+кАа, А: > 0. Если размерность многообразия Фд нечетная, то х(Фл) = 0» что дает систему линейных уравнений на эйлеровы характеристики многообразий мультиособенностей отображения /. Искомые выражения для эйлеровых характеристик х/(-4) нечетномерных многообразий Л/ являются решениями этой системы линейных уравнений. Полнота полученной системы соотношений между эйлеровыми характеристиками доказывается отдельно путем построения достаточного количества примеров отображений рассматриваемого типа.

Заметим, что найденные нами соотношения позволяют представить эйлерову характеристику х(/(Л/)) образа отображения / в виде суммы эйлеровой характеристики х(М) многообразия М и линейной комбинации эйлеровых характеристик четно-мерных многообразий мультиособенностей этого отображения. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей мультиособенности. Например, при нечетном I и нечетном » < 5/ + 2,

х(ДМ)) = х(л/) + 1[х(1) + 2х(2)]-хО-9х(3)

+ * [5хФ + 20х($ + Юх© + 80х(Ц) + 620х(о7)].

Эта формула является многомерным обобщением известной формулы Изумии-Мара-ра х(/(Л/)) = х(Л/) + аХ(1) + х(о) Аля устойчивой компактной поверхности в трехмерном пространстве (см. (сноска 13 на стр. 6)).

Во второй главе мы изучаем топологию особенностей фронта27 устойчивого ле-жандрова отображения коранга < 1.

Параграф 1 содержит все необходимые определения и факты теории особенностей лежандровых отображений. Напомним, что контактной структурой на нечетно-мерном гладком многообразии называется максимально неинтегрируемое поле контактных элементов (гиперплоскостей в его касательных пространствах). Многообразие, снабженное контактной структурой, называется контактным. Подмногообразия контактного многообразия, являющиеся интегральными многообразиями контактной структуры и имеющие наивысшую размерность (равную п — 1, если размерность объемлющего контактного многообразия равна 2п — 1) называются лежандровыми.

Гладкое расслоение называется лежандровым, если пространство этого расслоения является контактным многообразием, а все слои лежандровы. Примером ле-жандрова расслоения может служить проективизированное кокасателыюе расслоение РТ*У —> V гладкого многообразия V. Проектирование лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандровым отображением. В этой работе мы рассматриваем только собственные лежандровы отображения. Образ лежандрова отображения называется фронтом.

Рассмотрим произвольное лежандрово расслоение с п-мерной базой V и зафиксируем в его пространстве лежандрово подмногообразие Ь (размерности п — 1). Лежандрово отображение / : Ь —► V называется лежандровым отображением коранга

< 1, если размерность ядра его производной нигде не превосходит 1. Фронт Т = /(£<) лежандрово устойчивого лежандрова отображения коранга < 1 называется устойчивым фронтом коранга < 1. Важным примером подобного фронта является множество критических значений устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 многообразий одинаковой размерности. Вообще любой устойчивый фронт коранга

< 1 в V является проекцией некоторого лежандрова подмногообразия в пространстве расслоения РТ'У —► V в базу этого расслоения.

37 Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, М.: Фазис, 1996.

размерности п, имеющего в соответствующей точке многообразия-образа мультиосо-бенность типа А. Множество Ат точек у € V, в которых фронт Т имеет особенность типа А, является гладким подмногообразием коразмерности сосНт А = ц\ + ... + цр в V. Оно называется многообразием особенностей типа А фронта Т.

В параграфе 2 мы описываем конструкцию разрешения особенностей устойчивого фронта коранга < 1. В основе этой конструкции лежит преобразование, которое сопоставляет данному устойчивому фронту коранга < 1 новый устойчивый фронт коранга < 1 в пространстве меньшей размерности. Как и в случае произвольных устойчивых отображений коранга < 1, это преобразование определяется классом особенностей типа Лм > 1) и также называется Лр-преобразованием.

Пусть Т - фронт устойчивого собственного лежандрова отображения / : £ —» V коранга < 1. Рассмотрим замыкание Фдм множества точек х € I», в которых / имеет особенность типа Это - гладкое подмногообразие коразмерности ц — 1 в Ь. Замыкание [А^Т) в многообразии множества точек х таких, что фронт Т имеет особенность типа Ай + А\ в точке /(х), является устойчивым фронтом коранга < 1 (теорема 2.1.3). Этот фронт мы и называем ./^-преобразованием фронта Т.

Разрешение особенностей типа А = ЛЙ1 + ... + А^р 6 А+ фронта Т строится при помощи итерации Лм-преобразований, где ц — • • • >А*Р- Такая итерация сопоставляет элементу А гладкое многообразие Фд (пространство, в котором лежит фронт, полученный в результате последнего ^^-преобразования) и гладкое собственное отображение у?д • Фд —> V такие, что:

1) образом отображения <рд является замыкание в V многообразия А?\

2) если особенность типа А' € А+ фронта Т примыкает к особенности типа А, то у?д - конечное накрытие над многообразием

3) кратность этого накрытия зависит только от А и X (т.е. не зависит ни от фронта Т, ни от объемлющего многообразия V).

Пары (Фд,уд), полученные при разных упорядочениях набора есте-

ственно диффеоморфны (теорема 2.2.5). Кратность отображения <рд над многообразием X? равна /д(А) для любого X € А+ (раздел 2.3).

Отметим, что все локальные свойства рассматриваемого нами разрешения особенностей фронтов следуют из локальных свойств разрешения мультиособенностей устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 многообразий одинаковой размерности (предложение 2.2.3). Используя это наблюдение, а также соответствующие результаты главы 1, мы формулируем свойства Л^-преобразования фронтов (теорема 2.1.8) и описываем особенности канонической стратификации многообразия Фд на связные компоненты многообразий (Л'У) по всем типам X особенностей фронта Т (раздел 2.4).

Например, пусть £ - точка остова коразмерности 1 канонической стра-

тификации многообразия Ф^. Предположим, что фронт Т имеет особенность тина А„ в точке у = yuiO- Тогда к = и — codim.4 > max{l,p — 1} и на многообразии Ф^ существуют гладкие локальные координаты Л = (А|,..., An_COdim^) с началом в точке { такие, что росток (Sfj(Фа)>0 является ростком в нуле объединения следующих гиперповерхностей в пространстве R"~cod"n** = {А}:

1) фронта, образованного точками, для которых функция

как многочлен от t имеет кратный вещественный корень;

2) р гладких гиперповерхностей

5|(=_(Aj+...+A,_,) = 0, г = 1,...,р-1; £||=0 = 0;

3) р(р — 1)/2 гиперплоскостей

Ai + ... + A,_t =0, 1 < i < j < p.

Все эти результаты мы используем в параграфе 3. Здесь вычисляются универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей компактных устойчивых фронтов коранга < 1. Отдельно для случаев нечетной и четной размерности пространства, объемлющего фронт, найдена полная система таких универсальных соотношений (теоремы 3.1.4, 3.2.1 и 3.2.2). Алгоритм вычислений аналогичен описанному выше в случае произвольных устойчивых гладких отображений коранга < 1. Результаты также аналогичны.

А именно, пусть Т - устойчивый компактный фронт коранга < 1 в гладком п-мерном многообразии V. Тогда эйлерова характеристика Хг(-А) = x(Af) любого нечетномерного многообразия А? особенностей тина А € А+ \ {0} фронта Т является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик четномерных многообразий Xобразованных особенностями типов X € А+ таких, что codim А' € [codim*4 + 1,п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А и А' соответствующих особенностей. Имеются комбинаторные формулы, которые позволяют быстро вычислять эти коэффициенты на компьютере для любых наперед заданных А и X.

Например, для особенностей коразмерности 2 (всего два типа, 2А\ и Аг) фронта ¡F в пространстве V нечетной размерности п < 5,

2x(f) = ex(?) + 2x(ii) + x(i)

- 40хЙ) " 18х(й) - SX(I:i) " llxffi) " 5хЩ) ~ 7x(J:l) - 4x(J),

2x6) = 2Х(Й) + 2Х(1) - 4*(Ц) - 4хб:!) " 4х(й) ~ ЗхЩ) - 4х(Ц) -

где X(¿1 '.--¿р) обозначает эйлерову характеристику Х-И^Л/ц +.. .~\-крА^) многообразия (к\Ащ +... + крАйр)т. Указанные формулы являются многомерным обобщением соотношений инцидентности 2х(?) = 6х(?) + 2х(й) + х(з) и 2Х(£) = 2х(й) + 2х(з) в двух графах, образованных изолированными особенностями и односвязными кривыми, состоящими из особенностей типов 2А\ и Л2, соответственно, у устойчивого компактного фронта в трехмерном пространстве (х(?) ~ число односвязных компонент множества точек пересечения двух гладких ветвей фронта; х(?) ~ число точек тройного самопересечения; х(г) ~ число односвязных компонент множества, полученного из ребер возврата выбрасыванием точек пересечения с гладкими ветвями фронта; х(й) _ число точек пересечения ребер возврата с гладкими ветвями фронта; х(з) ~ число ласточкиных хвостов; терминологию см. в (сноска 27 на стр. 13]).

Отметим, что эти соотношения позволяют представить эйлерову характеристику ХР7) фронта Т в виде суммы эйлеровой характеристики х(£) многообразия Ь, фронтом которого является и линейной комбинации эйлеровых характеристик четномерных многообразий особых точек этого фронта. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей особенности. Например, при нечетном п < 5

Х(Л = X (I) + Нх(з) + 2Х(?)]

- !1х(4) + зх(И) + х(Ц) + 4*(й) + 2x6!) + 6*(й) + юхй)] •

Эта формула является многомерным обобщением известной формулы Изумии-Мара-ра хС-?7) = х(£) + 2*(з) + х(?) Для устойчивого компактного волнового фронта в трехмерном пространстве (см. [сноска 14 на стр. 6]).

В параграфе 4 изучается топология особенностей на крае правильной связной компоненты дополнения к устойчивому фронту Т коран га < 1 в гладком п-мерном многообразии V. Связная компонента С/ дополнения V \ Т называется правильной, если ее замыкание V является С°-подмногообразием с краем Г — 17 \ и в V. Мы рассматриваем правильные связные компоненты нескольких типов, в основном, -эллиптические и гиперболические. Правильная компонента £/ называется эллиптической, если фронт Т имеет на ее крае Г только особенности типов ЛМ1 + ... + ЛЯр с нечетными кратностями ..., /1р. Определение гиперболичности см. в разделе 4.1.

Ростки краев двух эллиптических (или двух гиперболических) связных компонент дополнения к Т диффеоморфны тогда и только тогда, когда диффеоморфны ростки самого фронта Т в соответствующих точках. Край Г эллиптической (или гиперболической) связной компоненты {/ дополнения V \ Т имеет особенность тина Л € А+ в данной точке у € Г, если фронт Т имеет в у особенность типа А-

В диссертации вычисляются универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на компактных краях эллиптических и гиперболических связных компонент дополнений к устойчивым фронтам коранга < 1. Отдельно для случаев нечетной и четной размерности пространства, объемлющего фронт, и для каждого типа связных компонент дополнения к фронту (эллиптическая, гиперболическая) получена полная система таких универсальных соотношений (теоремы 4.2.10, 4.2.13, 4.3.1, 4.3.2 и 4.3.3).

А именно, как и для особенностей всего фронта Т, эйлерова характеристика ХгМ) = хМг) любого нечетномерного многообразия Аг = А?Г\Г особенностей типа А € А+ края Г является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик хг(^0 четномерных многообразий Яр, образованных особенностями типов X G А+ таких, что codimA' (Е [codim,4 + 1,п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А,X соответствующих особенностей и типа компоненты (эллиптическая, гиперболическая). Имеются комбинаторные формулы, позволяющие вычислять эти коэффициенты для любых заданных А и X.

Например, для особенностей типа 2Ai края Г эллиптической связной компоненты дополнения к фронту Т в пространстве V нечетной размерности п < 5

2Х(?) = 3Х(?) + x(J) - 5Х(?) - X(tf) ~ X(l).

Здесь x(£i'.'."j£) обозначает эйлерову характеристику Хг^Л,,, + ... + крАМр) многообразия (к\АИ1 + ... + крАИг)г.

Используя указанные универсальные соотношения можно при нечетном п представить эйлерову характеристику края Г эллиптической (или гиперболической) связной компоненты дополнения к фронту Т в виде линейной комбинации эйлеровых характеристик четномерных многообразий особенностей этого края. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей особенности. В частности, если п < 5, то

Х(Г) = х(1) + \ [хО - х(?)] + \ [x(i) + 2х(М

для края Г эллиптической компоненты. Последний факт совершенно неожиданно привел к следующему результату.

Пусть А „и с А+ - свободная абелева полугруппа по сложению, образующими которой служат символы Л|, Аз,..., Aik+i.....Каждому элементу А = АМ1 +.. ■ + АМр €

Аом сопоставим степень deg А = codim А + р и вес w(A) = (—l)^4tü(i4M1).. где [z] - целая часть числа х, а и>(Л2*+1) = Si+lC**"1) (что является к-м числом Каталана, А; > 0). Рассмотрим эллиптическую связную компоненту дополнения к устойчивому фронту Т коранга < 1 в гладком многообразии V нечетной размерности п. Предположим, что край Г этой компоненты компактен и ХгМ) = 0 Аля

любого Л € А„¿л \ {0} такого, что deg.4 < п. Тогда

£ НЛ)хг(А) = ^ w(An) хо, (2)

Л € Aojj: codim Д = п

где Хо = Х(Г) - эйлерова характеристика гиперповерхности Г.

Эта формула проверена мной вручную при п < 11 и на компьютере вплоть до п = 17. Я думаю, что она верна для любого (нечетного) п.

В третьей главе рассматриваются приложения указанных выше результатов к некоторым задачам анализа и геометрии. Здесь мы допускаем наличие у многообразия связных компонент разных размерностей, в том числе нульмерных.

В параграфе 1 изучается топология особенностей множества Максвелла глобальных минимумов семейства F(x, А) гладких функций на гладком замкнутом многообразии Л/, гладко зависящих от Л-мерного параметра А. Множеством Максвелла этого семейства называется множество значений А, при которых глобальный минимум функции F(-, А) достигается либо в одной вырожденной критической точке, либо в нескольких разных точках многообразия М.

Множество Максвелла Е семейства F(x, А) общего положения является множеством особых точек функции минимумов этого семейства, сопоставляющей точке А пространства параметров Л абсолютный минимум функции F(-, А). График Г функции минимумов семейства F(x, А) является краем правильной связной компоненты дополнения к некоторому фронту. Если к < б или размерность каждой связной компоненты многообразия М не превышает 1, то Г имеет только особенности типов Л 6 А „¿а \ {0}, т.е. является краем эллиптической компоненты [сноска 4 на стр. 2[.

Легко видеть, что для любого Л естественная проекция графика функции минимумов в пространство А путем забывания значений этой функции осуществляет гладкое вложение многообразия Лг особенностей типа Л гиперповерхности Г в А. Если codim*4 > 1, то образ многообразия Лг принадлежит множеству Максвелла Е и состоит из точек, в которых ростки Е диффеоморфны. По определению, множество Е имеет в этих точках особенности типа Л.

Таким образом, если многообразие А замкнуто, то при указанных ограничениях на его размерность (или на размерности связных компонент многообразия М) эйлеровы характеристики Хе(«4) = х(-4е) = хМг) многообразий Де особенностей типов Л G Aodd \ {0, Л1} множества Максвелла Е семейства F(x, А) общего положения удовлетворяют всем соотношениям, полученным в главе 2 для эйлеровых характеристик многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 1.1.6). В разделе 1.2 мы показываем, что при четном к и некоторых дополнительных условиях формула (2) с n = fc + 1 и хо = Х(Л) имеет место даже для семейств F(x, А) с некомпактным пространством параметров А (теорема 1.2.3).

В параграфе 2 изучается топология особенностей множества опорных гиперплоскостей гладкого замкнутого подмногообразия Л/ в К". Опорной гиперплоскостью называется касательная гиперплоскость, от которой многообразие лежит с одной стороны. Множество всех опорных гиперплоскостей многообразия является особым подмножеством в пространстве V всех аффинных гиперплоскостей в К". Если многообразие М не лежит ни в какой гиперплоскости в И", то это множество гомеоморфно (п — 1)-мерной сфере.

Множество всех касательных гиперплоскостей многообразия Л/ является фронтом в пространстве V. Множество Г опорных гиперплоскостей многообразия Л/ общего положения является краем правильной связной компоненты дополнения к этому фронту (состоящей из гиперплоскостей, которые не пересекают Л/ и от которых Л/ лежит с одной стороны). Если п < 7 или размерность каждой связной компоненты многообразия Л/ не превышает 1, то гиперповерхность Г имеет только особенности типов А 6 Ком \ {0}, т.е. является краем эллиптической компоненты28.

Точки, в которых Г имеет особенность типа А называются опорными гиперплоскостями типа А. При указанных ограничениях на размерности, эйлеровы характеристики Хг(«4) = х(А0 многообразий Аг опорных гиперплоскостей типов А € А^Д {0} замкнутого подмногообразия Л/ общего положения в К" удовлетворяют всем соотношениям из главы 2 между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 2.1.9). При нечетном п и соответствующих дополнительных условиях справедлива формула (2) с Хо = 2.

В параграфе 3 мы изучаем топологию особенностей множества опорных гиперсфер гладкого подмногообразия М в евклидовом пространстве К*. Опорной гиперсферой называется касательная гиперсфера, от которой многообразие лежит с одной стороны. Множество Г опорных гиперсфер и гиперплоскостей многообразия Л/ общего положения является объединением краев некоторых правильных связных компонент дополнения к фронту касательных гиперсфер и гиперплоскостей этого многообразия в пространстве всех гиперсфер и гиперплоскостей в К4. Если к < б или размерность каждой связной компоненты многообразия Л/ не превышает 1, то гиперповерхность Г имеет только особенности типов А € Ао«ы \ {0}, т.е. является объединением краев эллиптических компонент.

Гиперсферы, соответствующие особенностям типа А гиперповерхности Г, называются опорными гиперсферами тина А. Как и в предыдущих задачах, при указанных выше ограничениях на размерности, эйлеровы характеристики Хг(Л) = хМг) многообразий Ар опорных гиперсфер и гиперплоскостей типов А € А^Д {0} замкнутого

38 Закалкжин О. М. Особенности выпуклых оболочек гладких многообразий, Функц. анализ и его прил. И (1977), вып. 3, 76-77.

подмногообразия Л/ общего положения в R* удовлетворяют тем же универсальным линейным соотношениям, что и эйлеровы характеристики многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 3.1.9).

В разделе 3.3 изучается топология некоторых подмножеств множества центров особых опорных гиперсфер многообразия М. Это особенно важно для компьютерного моделирования и других прикладных задач (см. статьи П. Гиблина29 и (сноска 15 на стр. 6), Д. Сирсмы30 и др.).

Напомним, что опорная гиперсфера многообразия Л/ называется внешне-опорной, если Л/ лежит от этой гиперсферы с внешней стороны по отношению к ее центру. Опорные гиперсферы типа А\ называются неособыми. Все остальные опорные гиперсферы называются особыми. Предположим, что дополнение Rfc \ М имеет ограниченную связную компоненту U. Объединение связных компонент многообразия М, лежащих строго внутри замыкания U области U обозначим через Л/{/. Множеством средних точек области U назовем подмножество £ С t/, образованное центрами особых внешне-опорных гиперсфер многообразия М (иногда это множество называют средней осью или конфликтным множеством).

Пусть ХеМ) = хМе) ~ эйлерова характеристика подмногообразия Ат. в (/, образованного центрами из £ опорных гиперсфер типа А. Предположим, что хе(-4) = О для любого А € АолД{0, } такого, что deg А < &+1. Тогда для гладкого замкнутого подмногообразия Л/ общего положения в четномерном пространстве R*, к < 6, числа ХеМ) внешне-опорных Л-сфер многообразия М с codim А = п = к + 1 и центром в Е удовлетворяют соотношению (2), где ХгМ) = Хе(-4) и Хо = х{Щ ~ (_1)*Х(ЛМ (теорема 3.3.8). В случае замкнутой выпуклой кривой Л/ общего положения на евклидовой плоскости, это утверждение дает формулу Бозе (1), и следовательно, является ее многомерным обобщением. Имеется и другое обобщение этой формулы, не использующее тот факт, что хотя бы одна из связных компонент многообразия М является гиперповерхностью. Оно получено в главе 4.

Четвертая глава посвящена основному приложению - решению некоторых известных задач в контактной геометрии гладких пространственных кривых.

Параграф 1 начинается с напоминания основных определений. Мы также показываем, что фронт касательных гиперплоскостей замкнутой кривой 7 общего положения в RP" является множеством критических значений устойчивого гладкого отображения коранга < 1 гладкого замкнутого «-мерного многообразия в пространство RРи*. Используя этот факт мы получаем для пространственных кривых ряд

а® Giblin P. J. Symmetry sets und medial axes in two and three dimensions. The Mathematics of Surfaces IX, Roberto Cipolla and Ralph Martin (eds.), Springer-Verlag 2000, 306-321.

30 Siersma D. Properties of conflict sets in the plane. Danach Center Publications 50 (1999), 267-276.

важных следствий из результатов предыдущих глав. В частности, в разделе 1.3 получено многомерное обобщение известной теоремы Фридмана [сноска 19 на стр. 6J о том, что если связная замкнутая кривая 7 общего положения в R3 не имеет точек уплощения, то число ее тройных касательных плоскостей четно.

А именно, пусть 7 - замкнутая кривая общего положения в RР". Предположим, что она имеет в(-у) нестягиваемых компонент. Касательной гиперплоскостью типа А = АМ1 + ... + А^р 6 А+\ {0} кривой 7 называется всякая гиперплоскость, касающаяся 7 в р попарно различных точках с кратности ми цх.....цр. Для каждого А

такого, что codim А = Ц\ + ... + цр = п, через XiM) обозначим число всех касательных гиперплоскостей типа А кривой 7. Через х-т(«4) обозначим число касательных гиперплоскостей типа А, у каждой из которых количество точек трансверсального пересечения с 7 сравнимо с deg А + в (у) по модулю 4, где (leg A = codim >1 + p.

Одно из обобщений теоремы Фридмана состоит в следующем (теорема 1.3.1): для любой замкнутой кривой 7 общего положения в пространстве RP" нечетной размерности п > 3,

Х-ДпЛО = Ху{А3 + (п - 3)Л0 (mod 2).

В частности, если кривая 7 не имеет касательных гиперплоскостей типа Лз+(п—3)Л1, то число ее n-касательиых гиперплоскостей четно. Бели п = 3, то число х-у(Лз) сравнимо с [N + 0(7) С}/2 по модулю 2, где С - число точек уплощения кривой 7, а N -число точек, в которых 7 трансверсально пересекает свои соприкасающиеся плоскости в точках уплощения. Поэтому четность числа Т = х-т^Л)) тройных касательных плоскостей любой замкнутой кривой 7 общего положения в RР3 определяется по формуле:

TsN + yC (mod 2) «

(она обобщает на случай произвольных проективных кривых формулу Т = N/2 (mod 2) из работы |сноска 20 на стр. 7], где рассматривались связные кривые в R3).

Теорема Фридмана имеет и другие многомерные обобщения. Мы приведем здесь еще только одно (теорема 1.3.4). А именно, для любой замкнутой кривой 7 общего положения в пространстве RРп нечетной размерности п > 3,

Х7(2Л(„_1)/2 + Л0 = x-i(An) (mod 2).

В частности, если кривая 7 не имеет точек уплощения, то число ее касательных гиперплоскостей типа 2Л(„_1)/г + А\ четно.

В параграфе 2 мы доказываем теорему о четырех точках уплощения слабо выпуклой кривой в R3 (теорема 2.1.2): всякая С3-вложенная связная замкнутая слабо выпуклая кривая со всюду ненулевой кривизной в R3 имеет не менее четырех (геометрически различных) точек уплощения. Имеются десятки работ, в которых это

утверждение доказано при различных дополнительных условиях на кривую. Нам же удалось доказать теорему о четырех точках уплощения слабо выпуклой кривой в трехмерном пространстве при самых слабых предположениях.

В параграфе 3 решается задача Арнольда номер 1998-С из сборника [сноска 23 на стр. 7). Речь идет о так называемых допустимых гомотопиях кривой в RP3 (определение дано в разделе 3.1). Этот класс гомотопий был введен В. И. Арнольдом в работе31. Там же был найден замечательный инвариант этих гомотопий, отвечающий за точки уплощения кривой, - ее штурмовость. Однако этот инвариант не решает, например, следующую задачу: можно ли уничтожить допустимыми гомотопиями все шесть точек уплощения кривой х = cosí, у = sint, г = cos3f? Мы даем отрицательный ответ на этот вопрос. Для доказательства мы определяем новый инвариант допустимых гомотопий пространственных кривых - число замкнутых двойных линий фронта ее касательных плоскостей. Кроме того, мы строим инвариант, обобщающий штурмовость кривой. Это некоторая весовая хордовая диаграмма. В ней число хорд, пересекающих нечетное число других хорд, равно штурмовости кривой.

В заключительном параграфе 4 получены обобщения формулы Бозе (1) для некоторых классов кривых в многомерных пространствах. В разделе 4.1 мы рассматриваем произвольную замкнутую выпуклую кривую 7 общего положения в чегномер-ном евклидовом пространстве R* (к < 16). Оказывается, что числа Х-уМ) внешне-опорных гиперсфер типов Л € Aodd кривой 7 таких, что coditn Л = к + 1, связаны соотношением (2), где п = к + 1, Хг(-4) = Х7М) и Хо = 1- Аналогичное утверждение справедливо и для внутренне-опорных гиперсфер кривой.

В разделе 4.2 рассматриваются кривые выпуклые по Барнеру. По определению, кривая в RРп называется выпуклой по Барнеру, если через любые п — 1 ее точек (не обязательно геометрически различных) можно провести гиперплоскость, которая не пересекает кривую в других точках. Барнер [сноска 16 на стр. С] получил для таких кривых многомерное обобщение теоремы о четырех вершинах: всякая замкнутая выпуклая по Барнеру кривая в RPn имеет по меньшей мере n +1 геометрически различных точек уплощения. Мы обобщаем на этот класс кривых формулу Бозе. А именно, рассмотрим произвольную замкнутую выпуклую по Барнеру кривую 7 общего положения в нечетномерном пространстве R" (п < 17). Тогда числа XiM) опорных гиперплоскостей типов Л € А^ кривой 7 таких, что codim^4 = п, связаны соотношением (2), где Хг(-4) = Х-уМ) и Хо = 2.

Автор выражает глубокую благодарность руководителю научной школы и семинара, в рамках которых выполнена диссертация, Владимиру Игоревичу Арнольду за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения.

31 Арнольд В. И., К лежандроиой теории Штурма пространственных кривых, Функц. анализ и его прил. 32 (1998), вып. 2, 1-7.

Публикации автора по теме диссертации

1. Седых В. Д. Двойные касательные плоскости к пространственной кривой. Сиб. матем. журн. 30 (1989), №1, 209-211.

2. Седых В. Д. Теорема о четырех вершинах выпуклой пространственной кривой. Функц. анализ и его прил. 26 (1992), вып. 1, 35-41.

3. Седых В. Д. Инварианты выпуклых многообразий. Докл. РАН, 326 (1992), №6, 948-952.

4. Седых В. Д. Инварианты строго выпуклых многообразий. Функц. анализ и его прил. 27 (1993), выи. 3, 67-75.

5. Sedykh V. D. Some invariants of convex manifolds. Mat. Contemp. 5 (1993), 187. 198.

6. Sedykh V. D. Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (1994), N»119, 177-180.

7. Седых В. Д. Связь лагранжевых особенностей с лежандровыми при стереографической проекции. Матем. сб. 185 (1994), XU2, 123-130.

8. Седых В. Д. Строгая выпуклость выпуклого многообразия общего положения. Труды МИРАН им. В. А. Стеклова 209 (1995), 200-219.

9. Седых В. Д. Инварианты неровных многообразий. Функц. анализ и его прил. 29 (1995), вып. 3, 41-50.

10. Седых В. Д. Теорема о четырех опорных вершинах ломаной. Функц. анализ и его прил. 30 (1996), вып. 3, 88-90.

11. Sedykh V. D. Invariants of submanifolds in Euclidean space, in: Arnold-Gelfand Mathematical Seminars. Geometry and Singularity Theory (V. I. Arnold, I. M. Gelfand, M. Smirnov, and V. S. Retakh, eds.), Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1997, 389-395.

12. Sedykh V. D. Discrete versions of the four-vertex theorem. Amer. Math. Soc. Transl. (2), Providence, RI, 180 (1997), 197-207.

13. Sedykh V. D. On some classes of curves in a projective space. Banach Center Publ. 50 (1999), 237-266.

14. Седых В. Д. Некоторые инварианты допустимых гомотопий пространственных кривых. Функц. анализ и его прил. 35 (2001), вып. 4, 54-66.

15. Седых В. Д. Соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей коранга 1 фронта общего положения. Докл. РАН 383 (2002), №6, 735-739.

16. Седых В. Д. Разрешение особенностей коранга 1 фронта общего положения. Функц. анализ и его прил. 37 (2003), вып. 2, 52-64.

17. Sedykh V. D. On the topology of singularities of Maxwell sets. Mosc. Math. J. 3 (2003), 1097-1112.

18. Седых В. Д. О топологии образа устойчивого гладкого отображения с особенностями коранга 1. Докл. РАН 395 (2004), №4, 459-463.

19. Седых В. Д. О топологии устойчивых особенностей коранга 1 на крае связной компоненты дополнешгя к фронту. Матем. сб. 195 (2004), Л"»8, 91-130.

20. Седых В. Д. Полная система линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей коранга 1 фронта общего положения. Функц. анализ и его прил. 38 (2004), вып. 4, 73-78.

21. Sedykh V. D. On the topology of singularities of the set of supporting hyperplanes of a smooth submanifold in an affine space. J. London Math. Soc. (2) 71 (2005), Jf»l, 259-272.

22. Sedykh V. D. The topology of corank 1 multi-singularities of stable smooth mappings of equidimensional manifolds. C. R. Acad. Sci. Paris, Sir I Math. 340 (2005), №6, 441-444.

23. Седых В. Д. Особенности коранга 1 устойчивых гладких отображений и особые касательные гиперплоскости пространственной кривой. Матем. заметки 78 (2005), вып. 3, 413-427.

Подписано в печатьФормат 60x90/16 Объем Тираж НО

Заказ

119991, Москва, Ленинский просп. ,65 Отдел оперативной полиграфии РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Седых, Вячеслав Дмитриевич

Введение б

1 Топология мультиособенностей коранга 1 устойчивого гладкого отображения в пространство нестрого большей размерности

1 Устойчивые гладкие отображения коранга <

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Некоторые сведения из теории стратификаций.

1.3 Примыкание мультиособенностей отображения.

2 /^-преобразование устойчивого гладкого отображения коранга <

2.1 Определение и основные свойства.

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Доказательство теорем 2.1.1, 2.1.2 и 2.1.7.

3 Разрешение мультиособенностей устойчивого гладкого отображения коранга <1.

3.1 Основная конструкция.

3.2 Вычисление относительных индексов мультиособенностей.

4 Каноническая стратификация характеристического многообразия.

4.1 Особенности типа

4.2 Особенности канонической стратификации.

4.3 Вспомогательные утверждения

4.4 Доказательство теоремы 4.2.2.

5 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивого гладкого отображения коранга <1.

5.1 Основная формула.

5.2 Вычисление линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей образа отображения в пространство большей размерности.

5.3 Вычисление линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей отображения многообразий одинаковой размерности.

5.4 Некоторые соотношения по модулю 2 между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей отображения многообразий одинаковой размерности.

5.5 Полнота систем соотношений (1.10) и (1.19).

2 Топология особенностей коранга устойчивого волнового фронта

1 Лежандровы отображения, фронты и их особенности.

1.1 Основные примеры лежандровых отображений.

1.2 Классификация особенностей лежандровых отображений

1.3 Устойчивые лежандровы отображения коранга < и их фронты.

1.4 Примыкания особенностей устойчивого фронта коранга <1.

2 Разрешение особенностей устойчивого фронта коранга <1.

2.1 ^-преобразование фронта.

2.2 Основная конструкция.

2.3 Вычисление относительных индексов особенностей фронта

2.4 Особенности канонической стратификации характеристического многообразия особенностей фронта.

3 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей устойчивого фронта коранга <1.

3.1 Вычисление соотношений между эйлеровыми характеристиками.

3.2 Полнота системы соотношений (2.9).

4 Линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на крае связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга <1.

4.1 Правильные связные компоненты дополнения к фронту.

4.2 Вычисление соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей.

4.3 Полнота систем соотношений (2.19) и (2.23).

4.4 Специальные фронты в Rn.

4.5 Доказательство теоремы 4.3.7.

4.6 Вспомогательные утверждения

4.7 Доказательство теоремы 4.2.4.

Введение диссертация по математике, на тему "Глобальная теория вещественных особенностей коранга 1 и ее приложения в контактной геометрии пространственных кривых"

Опорными окружностями замкнутой кривой на евклидовой плоскости называются касательные окружности, от которых кривая лежит с одной стороны. Суммарная кратность касания опорной окружности с кривой общего положения не превосходит трех. При этом может быть лишь конечное число опорных окружностей, которые касаются кривой в трех различных точках или являются ее окружностями кривизны (последние касаются кривой ровно в одной точке с кратностью три).

Рассмотрим внешне-опорные окружности кривой, т.е. опорные окружности, от которых кривая лежит с внешней стороны по отношению к центру окружности. Через Т обозначим число внешне-опорных окружностей, касающихся данной кривой в трех точках, а через С - число ее внешне-опорных окружностей кривизны. Тогда

С-Т = 2 (0.1) для любой замкнутой выпуклой кривой общего положения на плоскости. Аналогичное соотношение справедливо и для соответствующих чисел внутренне-опорных окружностей.

Эти замечательные формулы обнаружил Бозе [62] в 1932 году, получив, тем самым, простое доказательство классической теоремы Махопадхайя [84] о четырех вершинах. Согласно этой знаменитой теореме, любая замкнутая вложенная кривая на евклидовой плоскости имеет не менее четырех геометрически различных вершин (экстремумов кривизны). Для выпуклых кривых общего положения это мгновенно следует из формул Бозе.

Действительно, если окружность кривизны кривой в данной точке £ является опорной, то t - критическая точка функции кривизны этой кривой. Поскольку все критические точки функции кривизны кривой общего положения невырождены, то £ - вершина рассматриваемой кривой. Остается заметить, что никакая окружность не может быть одновременно внешне-опорной и внутренне-опорной окружностью кривой общего положения (кривая общего положения не является окружностью).

Формула (0.1) послужила отправной точкой исследований, результатам которых посвящена данная диссертация. Основной нашей целыо было нахождение соотношений между дифференциально-геометрическими характеристиками расположения гладких подмногообразий в пространствах с дополнительной структурой (в частности, получение многомерных обобщений формул Бозе). Основным результатом явились не только многочисленные таблицы найденных нами новых соотношений, но и те методы, которые позволяют эффективно их вычислять в некоторых задачах анализа, геометрии и топологии.

Рассматриваемые проблемы относятся к глобальной теории особенностей (см. главу 4 в обзоре [8]). Возьмем, например, замкнутую кривую общего положения в евклидовом пространстве М*1. Внешне-опорная гиперсфера кривой называется особой, если либо кривая касается этой гиперсферы в одной точке с кратностью, большей 1, либо она касается гиперсферы в нескольких разных точках. Центры особых внешне-опорных гиперсфер кривой образуют особую гиперповерхность в Особенности этой гиперповерхности хорошо известны (см., например, [9]). Наша задача состояла в том, чтобы изучить условия сосуществования этих особенностей.

В случае выпуклых кривых в пространствах большего числа измерений особенностей больше и ситуация значительно сложнее. Во-первых, необходимо найти топологические условия на гиперповерхность центров внешне-опорных гиперсфер кривой, которые следуют из условия выпуклости (напомним, что кривая в Е^ выпукла, если она пересекает любую гиперплоскость не более, чем в к точках с учетом кратностей; такая кривая может быть замкнутой только при четном к). Во-вторых, необходимо вычислить линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей у любой гиперповерхности с аналогичными особенностями (такие соотношения обобщают соотношение инцидентности в графах).

Обе эти задачи удалось решить. Более того, что касается второй из них, то мы предлагаем метод, который позволяет эффективно вычислять линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивого гладкого отображения гладкого замкнутого многообразия в пространство той же или большей размерности при условии, что это отображение имеет только особенности коранга 1. Необходимость изучения глобального поведения особенностей таких отображений возникает во многих областях современной математики и, в частности, в контактной геометрии пространственных кривых. Вычисление соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей позволило нам получить важные результаты в ряде хорошо известных задач.

Для примера мы приведем обобщение формулы Возе для замкнутых выпуклых кривых общего положения в К10. А именно, пусть х(ри'■■'%) ~ число внешне-опорных гиперсфер, которые касаются данной кривой в к\+. .+кр попарно различных точках, среди которых к^г = 1 ,.,р точек с кратностью касания щ, где > . > /лр и + . + кр1лр = 11. Тогда

42хСп) - 14*® - + ЫгАг) ~ ЫЦ) ~ ЫЦ) + 2Х&Ц)

ЫЦ) + х(Ц)-Х(Ц) + Х(Ц)-Х(\1) = 2Ь2.

Эти формулы, как и многие другие результаты диссертации, получены при помощи оригинального разрешения устойчивых мультиособенностей коранга 1, возникающих в соответствующих задачах. Наш метод разрешения является обобщением известного в алгебраической геометрии принципа итерации Клеймана [75], который обычно используется в комплексных задачах при исследовании циклов кратных точек общих голоморфных отображений коранга 1 (см. [64],[68],[69],[76],[80] и др.).

Подробное описание полученных нами результатов приведено ниже. Мы предваряем его кратким содержанием диссертации, описанием структуры текста и важнейшими терминологическими соглашениями.

Краткое содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из пяти глав. В первых двух главах описывается конструкция разрешения мультиособенностей коранга 1 устойчивого гладкого отображения в пространство той же или большей размерности, а также особенностей коранга 1 фронта устойчивого лежандрова отображения. Вычисляются линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий этих (мульти)особенностей. Третья и четвертая главы посвящены различным приложениям результатов глав 1 и 2 в теории особенностей множеств Максвелла глобальных минимумов семейств гладких функций, множеств сим-метрий гладких подмногообразий в Жк, конфликтных множеств, множеств средних осей, а также в контактной геометрии пространственных кривых. В заключительной пятой главе мы собрали вместе таблицы линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий (мульти) особенностей коранга 1 в пространствах небольшой размерности.

Каждая из первых четырех глав состоит из параграфов, разбитых на разделы. Параграфы нумеруются заново в каждой главе, разделы нумеруются заново в каждом параграфе. Номер раздела b в параграфе а имеет вид a.b.

Все определения, теоремы, следствия, предложения, леммы, замечания и примеры пронумерованы единым перечнем заново в каждом разделе. Номер имеет вид a.b.с, где а - номер параграфа, b - номер раздела, а с - номер элемента перечня. При ссылках на элемент перечня из другой главы указывается, дополнительно, номер этой главы (например, теорема 4.2.5 из главы 1).

Рисунки, а также выключные формулы нумеруются заново в каждой главе. Нумерации формул и рисунков раздельные. Номер имеет вид (а, b), где а - номер главы (для введения а = 0), а b - номер рисунка (или формулы). Нумерация таблиц является единой для всего текста.

Важнейшие терминологические соглашения. Если не оговорено противное, то слова "гладкий" и "дифференцируемый" везде далее означают "С'°°-дифференцируемый", рассматриваемые многообразия вещественны и не имеют края. Гладкое компактное многообразие без края называется замкнутым. Эйлеровой характеристикой х(£) топологического пространства £ мы называем альтернированную сумму чисел Бетти групп гомологий с компактными носителями. Накрытием называется любое локально тривиальное расслоение с конечным слоем.

Пусть А - свободная абелева полугруппа по сложению со счетной системой образующих. Выберем подмножество Б С А и рассмотрим вещественное векторное пространство Ев финитных функций В ->• К (т.е. равных нулю всюду, кроме конечного числа точек). Зафиксируем непустое подмножество Q с Ев и возьмем произвольную ненулевую линейную функцию а : Ев М. Если а принимает одинаковое значение /3 6 К во всех точках из £1, то мы будем говорить, что имеется универсальное линейное соотношение а(х) = Р между значениями функций х 6 П. Система универсальных линейных соотношений называется полной, если она определяет минимальное аффинное подпространство в Ев, содержащее Г2.

В дальнейшем мы изучаем подмножества в пространствах вида Ев, построенные по некоторым классам гладких отображений следующим способом: отображению / сопоставляется функция х/ £ Ев, значение Xf(Л■) которой на элементе Л € В равно эйлеровой характеристике х(Л/0 некоторого гладкого многообразия Л/, естественным образом определяемого по / и А.

Подробное описание полученных результатов. В первой главе мы изучаем топологию мультиособенностей устойчивого гладкого отображения гладкого многообразия в пространство большей или той же размерности в предположении, что это отображение имеет лишь особенности коранга 1.

Пусть М и V - произвольные гладкие многообразия положительных размерностей тип, соответственно, где I — п-т > 0. Рассмотрим гладкое собственное отображение / : М —>■ V. Его ростки в особых точках классифицируются относительно гладких замен локальных координат на многообразиях МиУ. Классы эквивалентности ростков называются особенностями. Отображение / называется отображением коранга < 1, если размерность ядра его производной нигде не превосходит 1. Отображения общего положения многообразия М в многообразие V при т < 4+2/ являются отображениями коранга <1.

Предположим, что / - устойчивое отображение коранга < 1. Тогда локальные алгебры ростков этого отображения изоморфны К-алгебрам срезанных многочленов от одной переменной степени не выше ¡л, где ц - целое неотрицательное число, ¡1 < т/(1 + 1). В подходящих гладких локальных координатах на многообразиях М и V все ростки отображения / с локальной алгеброй, изоморфной алгебре Е[[£]]/(^+1), задаются одной и той же формулой Морена [83] (см. также [5]). Соответствующая особенность называется особенностью типа Ам (объясняется это тем, что если / = 0 и локальная алгебра отображения / в точке х изоморфна алгебре К[[£]]/(£п+1), то множество критических значений ростка (/, х) диффеоморфно ростку в нуле замыкания множества неособых точек вещественной части многообразия нерегулярных орбит действия группы Вейля Ап на комплексификации евклидова пространства К").

Мультиособенностыо отображения / в точке у £ V называется неупорядоченный набор особенностей / в попарно различных точках х £ М из полного прообраза /~х(у). Мультиособенности устойчивого отображения / коранга < 1 классифицируются по элементам А = А1Ч + . + Асвободной абелевой полугруппы А по сложению, образующими которой служат символы А0,А1,.,Ац,. (в частности, имеет мультиособенность типа 0 € А в любой точке у е V \ /(М)). Множество точек у е V, в которых / имеет мультиособенность типа Л, является гладким подмногообразием коразмерности р сосШпг А = (/ + 1) + р1 < п г=1 в У. Оно называется многообразием мультиособенностей типа А отображения /.

Образ f(M) отображения / является особым подмножеством коразмерности I в V. Его ростком в точке у Е V называется объединение образов ростков (/, х) в точках х е /1(у)- Если I > 0, то особенности образа устойчивого отображения / коранга < 1 также классифицируются по элементам полугруппы А. А именно, множество /(М) имеет особенность типа А Е А в точке у ЕУ, если мультиособенность отображения / в точке у имеет тип А. Две особенности образа устойчивого отображения / коранга < 1 в пространство большей размерности диффеоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый тип. Многообразие А/ в этом случае называется многообразием особенностей типа А образа отображения /.

Пример. Устойчивая поверхность (т.е. образ устойчивого гладкого собственного отображения двумерного многообразия) в трехмерном пространстве состоит из неособых точек типа А0 (образующих гладкие куски), а также может иметь точки типов 2Ао (образующих кривые) и ЗЛ0 (изолированные точки) трансверсального пересечения двух и трех гладких ветвей, и отдельные точки с особенностью типа Ах, называемой зонтиком Уитни (см. рис. 0.1 на стр. 12). Устойчивая гиперповерхность в четырехмерном пространстве может иметь лишь особенности типов рА0,р < 4 (трансверсалы-юе пересечение р гладких ветвей), Аг (цилиндр над зонтиком Уитни) и А\ + А0 (трансверсалы-юе пересечение цилиндра зонтиков Уитни с гладкой гиперповерхностью).

В параграфе 2 мы определяем конструкцию, которая каждому устойчивому отображению / коранга < 1 сопоставляет новое отображение того же типа с той же коразмерностью образа, но с более простыми особенностями. Эта конструкция задается типом Ац особенностей отображения / и называется ^-преобразованием.

Пусть Фа - замыкание множества точек х Е М, в которых /' имеет особенность типа А^ Это - гладкое подмногообразие коразмерности ц(1 + 1) в М. Чтобы определить ^-преобразование [Ац](/) отображения /', необходимо взять замыкание Фа^,а0 подмножества в ФА/1 х Фд0, образованного парами (х, £) точек х Е Ф\ Фл„+ъ£ £ ФАо \ ФФ х таких, что /(х) = /(£). Это замыкание является гладким подмногообразием в Ф^ х ФАо (теорема 2.1.1). По определению, [Ац](/) - композиция гладких отображений Фа„,а0 х Фа0 Фа?, первым из которых является естественное

Рис. 0.1: Особенности устойчивых поверхностей в трехмерном пространстве. вложение, а второе представляет собой проекцию прямого произведения на первый сомножитель.

Отображение [Ац}(/) является устойчивым гладким собственным отображением коранга < 1 (теорема 2.1.2). Его свойства описаны в теореме 2.1.7. Оказывается, что особенности отображения [-Ад](/) связаны с краевыми особенностями серии В, которые изучались Арнольдом в [3]. Например, если I = 0 и образ отображения / имеет особенность типа А„,и > ц, в некоторой точке у £ V, то росток в точке /-1(у) пары в ФА , образованной подмногообразием Фд(1+1 и множеством критических значений отображения [А^](/)} диффеоморфен ростку в нуле прямого произведения пространства Мп;/ и пары, состоящей из неприводимых компонент замыкания множества неособых точек вещественной части многообразия нерегулярных орбит действия группы Вейля на комплексификации евклидова пространства М17-^.

В параграфе 3 определяется основная конструкция - разрешение мультиособенностей устойчивого отображения / коранга < 1. Разрешение мультиособенностей типа Л — А№ + . + А^р 6 А отображения / строится при помощи итерации Ам-преобразований, где ц = цх,., ¡хр. Такая итерация сопоставляет элементу А гладкое многообразие Ф.д (пространство, в котором лежит образ последнего А^-преобразования) и гладкое собственное отображение уд : Фл V такие, что:

1) образом отображения ср^ является замыкание в V объединения многообразий (Л + кАо)? по всем целым к > 0 (если I > 0, то это - замыкание многообразия Л/);

2) если мультиособенность типа X € А отображения / примыкает к мультиосо-бенности типа Л + кА0, то 1рд - конечное накрытие над многообразием Х/\

3) кратность этого накрытия зависит только от А и X (т.е. не зависит ни от отображения /, ни от многообразий М и V); она называется индексом мультиособенности типа X относительно мультиособенности типа А и обозначается 1л{Х).

Пары (Фд,<£д)> полученные при разных упорядочениях набора естественно диффеоморфны (теорема 3.1.4). В теореме 3.2.1 мы приводим рекуррентную формулу, которая позволяет быстро вычислять индексы 1л{Х).

Пример. Рассмотрим устойчивую компактную поверхность в трехмерном пространстве. Многообразие $2л0 представляет собой одномерное многообразие, каждая связная компонента которого диффеоморфна окружности. Образом этого многообразия при отображении <£>2Ао является множество всех особых точек поверхности. Полный прообраз относительно отображения 1р2л0 любой особой точки типа зонтика Уитни состоит из одной точки. Полный прообраз любой точки двойного (тройного) самопересечения поверхности состоит ровно из двух (шести, соответственно) точек.

В параграфе 4 изучается каноническая стратификация многообразия Фд на связные компоненты многообразий по всем типам X £ А мультиособенностей отображения /. Эта стратификация является С'°°-стратификацией Уитни (теорема 4.2.5). Ее особенности описаны в теореме 4.2.2 с точностью до диффеоморфизмов многообразия Фд. Эти особенности устойчивы (относительно малых деформаций исходного отображения /) и просты (не имеют модулей). Росток остова коразмерности 1 канонической стратификации многообразия Фд в любой точке состоит из нескольких гладких неприводимых компонент (коразмерностей 1 и I + 1) и нескольких компонент, каждая из которых является ростком образа (при I > 0) или множества критических значений (при I = 0) устойчивого гладкого отображения коранга < 1.

Параграф 5 посвящен первым приложениям. Как известно, наличие (мульти) особенностей того или иного типа у отображения общего положения ограничивается различными условиями топологического характера. Для их нахождения используются различные методы и объекты: многочлены Томы, классы кобордизмов и пр. (см. [8], [29], [30], [99], [100]). В диссертации используется указанное выше разрешение для получения новых условий сосуществования (другой природы) устойчивых мультиособенностей коранга 1. Мы вычисляем универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивых гладких отображений коранга < 1 замкнутых многообразий в многообразия нестрого большей размерности. Для каждой из четырех комбинаций четностей размерности многообразия-образа и коразмерности образа отображения в этом многообразии найдена полная система таких соотношений (теоремы 5.2.1, 5.3.1, 5.5.1 - 5.5.3).

А именно, пусть / : Мт Vй - устойчивое гладкое отображение коранга < 1, многообразие М замкнуто и I = п — т > 0. Тогда эйлерова характеристика Xf(•A) = х(Л/) любого нечетномерного многообразия А/ мультиособенностей типа Л £ А\{0} отображения / является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Х/С^) четномерных многообразий Xf, образованных мультиособенностями типов X Е А таких, что сосНтгХ 6 [сосНтгЛ + 1 ,п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов Л, X соответствующих мультиособенностей и от четности числа I. Мы приводим комбинаторные формулы, которые позволяют быстро вычислять эти коэффициенты на компьютере для любых наперед заданных А и X.

Например, для особенностей типа 2Ао образа отображения / многообразия М четной размерности в пространство V нечетной размерности п < Ы + 2,

2х(о) = х(1) + 6х(8) - 2ХЙ) - 5*© - 40х(о) 5хЙ) + 24+ 12х& + 92х(1Й) + 672х(£).

Здесь хС^-Фр) обозначает эйлерову характеристику х/^лн +• • • +^р-^м?) многообразия (к\А+. + крА^)}. Указанная формула является многомерным обобщением соотношения инцидентности 2х(о) = х(1) + 6х(о) в графе, образованном изолированными особенностями и особенностями, встречающимися на односвязных кривых, у устойчивой компактной поверхности в трехмерном пространстве (х(о) - число односвязных компонент множества точек пересечения двух гладких ветвей поверхности; х(о) ~ число точек тройного самопересечения; х(1) ~ число зонтиков Уитни). Система, состоящая из этого (единственного) равенства является полной системой универсальных линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей таких двумерных поверхностей. Действительно, для любых Аъ ., А4 £ Ж таких, что А^ + . + \1 ф 0, существует устойчивая компактная поверхность в К3, для которой Ахх(о) + + Азх(о) + Ф 0, где х(о) ~ эйлерова характеристика многообразия ее неособых точек.

Другие универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенностей устойчивых отображений коранга < 1 в пространства не слишком больших размерностей приведены в таблицах 1-6. Следует отметить, что сам факт существования подобных соотношений (причем, даже в случае произвольной стратификации Уитни гладкого замкнутого многообразия) можно в принципе извлечь из некоторых работ по топологии стратифицированных множеств (например, из [85] или [81]). Тем не менее этот факт нигде не формулировался, а указанные соотношения никогда не вычислялись, кроме некоторых частных случаев (сводящихся к соотношениям инцидентости в графах). Мы же предъявляем простой комбинаторный алгоритм для вычисления полной системы универсальных линейных соотношений между эйлеровыми характеристиками многообразий мультиособенно-стей устойчивых отображений коранга < 1 замкнутых т-мерных многообразий в пространства размерности п при любых фиксированных пи 1 = п- т > 0.

Этот алгоритм основан на том, что для любого устойчивого отображения / : Мт —» Vй коранга < 1 замкнутого многообразия М и для любого А Е А \ {0} многообразие Фд замкнуто, а его эйлерова характеристика х(Фл) вычисляется по формуле

1)соШтМх(фл) = "£ЫГй'1т1ХЫХ)х1(Х), хеА где сумма берется по типам X всех мультиособенностей отображения /, примыкающих к мультиособенностям типов А+кА0, к > 0. Если размерность многообразия Фд нечетная, то х(Фд) = 0, что дает систему линейных уравнений на эйлеровы характеристики многообразий мультиособенностей отображения /. Искомые выражения для эйлеровых характеристик Х/(Л) нечетномерных многообразий Л/ являются решениями этой системы уравнений. Полнота полученной системы соотношений между эйлеровыми характеристиками доказывается отдельно путем построения достаточного количества примеров отображений рассматриваемого типа.

Заметим, что найденные нами соотношения позволяют представить эйлерову характеристику х(1{М)) образа отображения / в виде суммы эйлеровой характеристики х{М) многообразия М и линейной комбинации эйлеровых характеристик четно-мерных многообразий мультиособенностей этого отображения. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей мультиособенности. Например, при нечетном I и нечетном п < Ы + 2, х(№)) = х(М) + | [х(1) + 2х(§)] - X© - 9х(§) + 20х($) + 10х(Ц) + 80Х(Й) + 620х(07)] •

Это - многомерное обобщение известной формулы Изумии-Марара [73] хтм)) = х(м) + 1-х(\) + х( I) для устойчивой компактной поверхности в трехмерном пространстве.

По всей видимости результаты, аналогичные изложенным выше, справедливы и для устойчивых отображений коранга < 1 в пространство меньшей размерности.

Однако соответствующая теория еще не создана. Здесь пока получены лишь первые весьма предварительные результаты (см. [89]).

Во второй главе мы изучаем топологию особенностей фронта устойчивого лежан-дрова отображения коранга < 1.

Параграф 1 содержит все необходимые определения и факты теории особенностей лежандровых отображений. Напомним, что контактной структурой на нечетно-мерном гладком многообразии называется максимально неинтегрируемое поле контактных элементов (гиперплоскостей в его касательных пространствах). Многообразие, снабженное контактной структурой, называется контактным. Подмногообразия контактного многообразия, являющиеся интегральными многообразиями контактной структуры и имеющие наивысшую размерность (равную п— 1, если размерность объемлющего контактного многообразия равна 2п — 1) называются лежандровыми.

Гладкое расслоение называется лежандровым, если пространство этого расслоения является контактным многообразием, а все слои лежандровы. Примером ле-жандрова расслоения может служить проективизированное кокасателы-юе расслоение РТ*У —» V гладкого многообразия V. Проектирование лежандрова подмногообразия пространства лежандрова расслоения в базу этого расслоения называется лежандровым отображением. В этой работе мы рассматриваем только собственные лежандровы отображения. Образ лежандрова отображения называется фронтом.

Рассмотрим произвольное лежандрово расслоение с я-мерной базой V и зафиксируем в его пространстве лежандрово подмногообразие Ь (размерности га - 1). Лежандрово отображение / : Ь —> V называется лежандровым отображением коранга

1, если размерность ядра его производной нигде не превосходит 1. Фронт Т = /(Ь) лежандрово устойчивого лежандрова отображения коранга < 1 называется устойчивым фронтом коранга < 1. Важным примером подобного фронта является множество критических значений устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 многообразий одинаковой размерности. Вообще любой устойчивый фронт коранга

1 в V является проекцией некоторого лежандрова подмногообразия в пространстве расслоения РТ*У ч-Ув базу этого расслоения.

Особенности устойчивого фронта коранга < 1 (а также соответствующие муль-тиособенности самого лежандрова отображения) классифицируются по элементам свободной абелевой полугруппы А+ с А по сложению, образующими которой служат символы А1,А2>., Ац,. А именно, устойчивый фронт Т коранга < 1 в многообразии V имеет особенность типа Л = А1Л1 +. + АМр е А+ в данной точке у е V, если его росток (Т, у) в этой точке диффеоморфен ростку множества критических значений устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 гладких многообразий размерности п, имеющего в соответствующей точке многообразия-образа мультиособенность типа А. Множество Ат точек у £ V, в которых фронт Т имеет особенность типа А, является гладким подмногообразием коразмерности сосНт А = ¡1\ + . + /лр в V. Оно называется многообразием особенностей типа А фронта Т.

Пример. Устойчивый фронт в трехмерном пространстве может иметь особенности только следующих типов: А\ (неособая точка), 2А\ (трансверсалы-юе пересечение двух гладких ветвей фронта), А2 (ребро возврата), ЗА1 (трансверсальное пересечение трех гладких ветвей), А2+А1 (трансверсальное пересечение ребра возврата с гладкой ветвыо фронта) и А3 (ласточкин хвост). Ростки соответствующих гиперповерхностей изображены на рис. 0.2 (стр. 18).

В параграфе 2 мы описываем конструкцию разрешения особенностей устойчивого фронта коранга < 1. В основе этой конструкции лежит преобразование, которое сопоставляет данному устойчивому фронту коранга < 1 новый устойчивый фронт коранга < 1 в пространстве меньшей размерности. Как и в случае произвольных устойчивых отображений коранга < 1, это преобразование определяется классом особенностей типа А^ (¡л > 1) и также называется ^-преобразованием.

Пусть Т - фронт устойчивого собственного лежандрова отображения / : Ь —> V коранга < 1. Рассмотрим замыкание Ф^ множества точек х Е Ь, в которых / имеет особенность типа А^. Это - гладкое подмногообразие коразмерности ц — 1 в Ь. Замыкание [А^Т) в многообразии множества точек х таких, что фронт Т имеет особенность типа Ац + Ах в точке /(х), является устойчивым фронтом коранга < 1 (теорема 2.1.3). Этот фронт мы и называем Ад-преобразованием фронта Т.

Разрешение особенностей типа А = Ам + . + АМр £ А+ фронта Т строится при помощи итерации ^-преобразований, где ¡л = ., Такая итерация сопоставляет элементу А гладкое многообразие Фд (пространство, в котором лежит фронт, полученный в результате последнего /^-преобразования) и гладкое собственное отображение такие, что;

1) образом отображения грд является замыкание в V многообразия Ар;

2) если особенность типа X Е А+ фронта Т примыкает к особенности типа А, то (рл ~ конечное накрытие над многообразием Х?\

Пары (Фа,<Ра), полученные при разных упорядочениях набора ¡11,.,/лр естественно диффеоморфны (теорема 2.2.5). Кратность отображения уд над многообразием X? равна /д(Х) для любого X Е А+ (раздел 2.3). пример. Рассмотрим устойчивый компактный фронт в трехмерном пространстве. Многообразие Ф2А1 представляет собой одномерное многообразие, каждая связная компонента которого диффеоморфна окружности. Образом этого многообразия при отображении является замыкание множества точек трансверсального пересечения двух гладких ветвей фронта. Полный прообраз относительно отображения </?2Ах любой особой точки типа ласточкин хвост состоит из одной точки. Полный прообраз точки трансверсального пересечения ребра возврата с гладкой ветвыо фронта состоит из двух точек. Полный прообраз точки трансверсального пересечения двух (трех) гладких ветвей фронта состоит ровно из двух (шести, соответственно) точек.

Многообразие Фа2 также представляет собой одномерное многообразие, каждая связная компонента которого диффеоморфна окружности. Образ этого многообразия при отображении ц>а2 получается замыканием ребер возврата фронта. Полный прообраз относительно отображения ц)Аг любой особой точки типа ласточкин хвост, ребро возврата или точки трансверсального пересечения ребра возврата с гладкой ветвыо фронта состоит из одной точки.

Отметим, что все локальные свойства рассматриваемого нами разрешения особенностей фронтов следуют из локальных свойств разрешения мультиособенностей устойчивого гладкого собственного отображения коранга < 1 многообразий одинаковой размерности (предложение 2.2.3). Используя это наблюдение, а также соответствующие результаты главы 1, мы формулируем свойства ./^-преобразования фронтов (теорема 2.1.8) и описываем особенности канонической стратификации многообразия Фа на связные компоненты многообразий (р^1 РО7) по всем типам X особенностей фронта Т (раздел 2.4).

Например, пусть £ - точка остова »^(Фд) коразмерности 1 канонической стратификации многообразия Ф^. Предположим, что фронт Т имеет особенность типа А„ в точке у = <р,д(£)- Тогда к = и — сосИт А > тах{1 ,р — 1} и на многообразии Ф^ существуют гладкие локальные координаты А = (Ах,., Апсоснтл) с началом в точке £ такие, что росток является ростком в нуле объединения следующих гиперповерхностей в пространстве Кп-С0(11т-4 = {Л}:

1) фронта, образованного точками, для которых функция к г=р как многочлен от I имеет кратный вещественный корень;

2) р гладких гиперповерхностей а1+.+ар1) = 0, г = 1,. — 1; = 0;

3) р(р — 1)/2 гиперплоскостей

Аг + . + А;1 = 0, 1 < г < э < р.

А именно, пусть ? - устойчивый компактный фронт коранга < 1 в гладком п-мерном многообразии V. Тогда эйлерова характеристика хИ*4) — Х^Лт7) любого нечетномерного многообразия Дг особенностей типа А Е А+ \ {0} фронта Т является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Хт'(Х) четномерных многообразий X?, образованных особенностями типов X е А+ таких, что сосШпХ е [сосИтД-Ь 1,гг.]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А и X соответствующих особенностей. Имеются комбинаторные формулы, которые позволяют быстро вычислять эти коэффициенты на компьютере для любых наперед заданных А и X.

Например, для особенностей коразмерности 2 (всего два типа, 2Ах и А2) фронта Т в пространстве V нечетной размерности п < 5 имеем:

2х(?) = бхй) + 2x6:1) + хб)

Здесь обозначает эйлерову характеристику хИ^Л^ + ■ • • + крА11р) многообразия {кхАм,1+. ■+крА/1р)^. Указанные формулы являются многомерным обобщением соотношений инцидентности 2х(?) = Ы1) + 2х6',1) + х(з), 2х(г) = 2x6:1) + 2х(з) в двух графах, образованных изолированными особенностями и односвязными кривыми, состоящими из особенностей типов 2А\ и А2, соответственно, у устойчивого компактного фронта в трехмерном пространстве (х(?) ~ число односвязных компонент множества точек пересечения двух гладких ветвей фронта; х(!) ~ число точек тройного самопересечения; хб) ~ число односвязных компонент множества, полученного из ребер возврата выбрасыванием точек пересечения с гладкими ветвями фронта; хб' 1) " число точек пересечения ребер возврата с гладкими ветвями фронта; х(з) число ласточкиных хвостов). Другие универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей устойчивых фронтов коранга < 1 в пространствах не слишком больших размерностей приведены в таблицах 7 и 8.

Отметим, что эти соотношения позволяют представить эйлерову характеристику х(Т) фронта Т в виде суммы эйлеровой характеристики многообразия Ь, фронтом которого является Т, и линейной комбинации эйлеровых характеристик четномерных многообразий особых точек этого фронта. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типа соответствующей особенности. Например, при нечетном п < 5 х(Я = Х(Ь) + Ы1) + Ы1)}

- Ы) + + х(Ц) + ЫЦ) + 2хй!) + 6ХЙЗ) + 18х(?)] •

Это - многомерное обобщение известной формулы Изумии-Марара [72] x(r) = x(L) + \x(l)+x(l) для устойчивого компактного фронта в трехмерном пространстве.

В параграфе 4 изучается топология особенностей на крае правильной связной компоненты дополнения к устойчивому фронту Т коранга < 1 в гладком та-мерном многообразии V. Связная компонента U дополнения V \ Т называется правильной, если ее замыкание U является С°-подмногообразием с краем Г = U \ U в V. Мы рассматриваем правильные связные компоненты нескольких типов, в основном, -эллиптические и гиперболические. Правильная компонента U называется эллиптической, если фронт Т имеет на ее крае Г только особенности типов Aw + . + А^р с нечетными кратностями fii,., /j,p . Определение гиперболичности см. в разделе 4.1.

Ростки краев двух эллиптических (или двух гиперболических) связных компонент дополнения к Т диффеоморфны тогда и только тогда, когда диффеоморфны ростки самого фронта Т в соответствующих точках. Край Г эллиптической (или гиперболической) связной компоненты U дополнения V \ Т имеет особенность типа А Е А+ в данной точке у G Г, если фронт Т имеет в у особенность типа А.

А именно, как и для особенностей всего фронта эйлерова характеристика Хг (А) = хМг) любого нечетномерного многообразия Аг = Л?-Г) Г особенностей типа А <е А+ края Г является линейной комбинацией (с рациональными коэффициентами) эйлеровых характеристик Хг(-^0 четномерных многообразий Хг, образованных особенностями типов X е А+ таких, что codimX е [codim А+1, п]. Каждый коэффициент этой комбинации зависит только от типов А,Х соответствующих особенностей и типа компоненты (эллиптическая, гиперболическая). Имеются комбинаторные формулы, позволяющие вычислять эти коэффициенты для любых наперед заданных А и X.

Например, для особенностей типа 2А\ края Г эллиптической связной компоненты дополнения к фронту Т в пространстве V нечетной размерности п < 5

2Х(?) = Зх(?) + Х(1) - 5хЙ) - ХЙ:?) - ХЙ)

Здесь хФи-.'Х) обозначает эйлерову характеристику Хг(^1^4/ц • • • крА^р) многообразия {кхА^ +. + крАцр)г. Другие универсальные линейные соотношения между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей на краях эллиптических (а также гиперболических) связных компонент дополнений к устойчивым фронтам коранга < 1 в пространствах небольших размерностей приведены в таблицах 9-12.

Х(Г) = х(1) + \ [хй) - х(?)] + \ [хШ + 2х(?)] для края Г эллиптической компоненты. Последний факт совершенно неожиданно привел к следующему результату.

Пусть А0<и с А+ - свободная абелева полугруппа по сложению, образующими которой служат символы Аг, А3,., А2к+ь • ■ ■• Каждому элементу А — А^ + . + Ацр € коМ сопоставим степень с^ А = сосИт А + р и вес где [х] - целая часть числа х, а . . 1/2к + 1" и!{А2к+1) =

2к+1\ к что является к-м числом Каталана, к > 0).

Рассмотрим теперь эллиптическую связную компоненту дополнения к устойчивому фронту Т коранга < 1 в гладком многообразии V нечетной размерности п. Предположим, что край Г этой компоненты компактен и Хг{А) = 0 для любого А Е А0<и \ {0} такого, что с^ А < п. Тогда ю(А) хг(А) = ^ ы(Ап) Хо, (0.2)

-4 6 Аом: сосПт А=п где хо = х(Г) - эйлерова характеристика гиперповерхности Г.

Эта формула проверена мной вручную при п < 11 и на компьютере вплоть до п = 17. Я думаю, что она верна для любого (нечетного) п. Формулы (0.2) для всех п < 13 приведены в таблице 13.

В параграфе 1 изучается топология особенностей множества Максвелла глобальных минимумов семейства Р(х, А) гладких функций на гладком замкнутом многообразии М, гладко зависящих от /с-мерного параметра А. Множеством Максвелла этого семейства называется множество значений Л, при которых глобальный минимум функции Л) достигается либо в одной вырожденной критической точке, либо в нескольких разных точках многообразия М.

Множество Максвелла Е семейства Р(:г, А) общего положения является множеством особых точек функции минимумов этого семейства, сопоставляющей точке Л пространства параметров Л абсолютный минимум функции Л). График Г функции минимумов семейства Р(х, Л) является краем правильной связной компоненты дополнения к некоторому фронту. Если к < 6 или размерность каждой связной компоненты многообразия М не превышает 1, то Г имеет только особенности типов Л £ А ом \ {0}, т.е. является краем эллиптической компоненты (см. [9]).

Легко видеть, что для любого А естественная проекция графика функции минимумов в пространство А путем забывания значений этой функции осуществляет гладкое вложение многообразия Аг особенностей типа А гиперповерхности Г в А. Если сосИтД > 1, то образ многообразия Аг принадлежит множеству Максвелла Е и состоит из точек, в которых ростки Е диффеоморфны. По определению, множество Е имеет в этих точках особенности типа А.

Таким образом, если многообразие А замкнуто, то при указанных ограничениях на его размерность (или на размерности связных компонент многообразия М) эйлеровы характеристики Хт,{Л) = хО^е) = х(Лг) многообразий А% особенностей типов Л £ АоМ \ {0, Ах} множества Максвелла Е семейства Р(х, А) общего положения удовлетворяют всем соотношениям, полученным в главе 2 для эйлеровых характеристик многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 1.1.6). В разделе 1.2 мы показываем, что при четном к и некоторых дополнительных условиях формула (0.2) сп = /с + 1ихо = х(Л) имеет место далее для семейств Р(х, А) с некомпактным пространством параметров А (теорема 1.2.3).

В параграфе 2 изучается топология особенностей множества опорных гиперплоскостей гладкого замкнутого подмногообразия М в Мп. Опорной гиперплоскостью называется касательная гиперплоскость, от которой многообразие лежит с одной стороны. Множество всех опорных гиперплоскостей многообразия является особым подмножеством в пространстве V всех аффинных гиперплоскостей в К". Если многообразие М не лежит ни в какой гиперплоскости в Кп, то это множество гомеоморфно (п — 1)-мерной сфере.

Множество всех касательных гиперплоскостей многообразия М является фронтом в пространстве V. Множество Г опорных гиперплоскостей многообразия М общего положения является краем правильной связной компоненты дополнения к этому фронту (состоящей из гиперплоскостей, которые не пересекают М и от которых М лежит с одной стороны). Если п < 7 или размерность каждой связной компоненты многообразия М не превышает 1, то гиперповерхность Г имеет только особенности типов А е А ом \ {0}, т.е. является краем эллиптической компоненты (см. [25]).

Точки, в которых Г имеет особенность типа А называются опорными гиперплоскостями типа А. При указанных ограничениях на размерности, эйлеровы характеристики Хт{Л) = х(Лг) многообразий Лт опорных гиперплоскостей типов А £ АО(М\{0} замкнутого подмногообразия М общего положения в Кп удовлетворяют всем соотношениям из главы 2 между эйлеровыми характеристиками многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 2.1.9). При нечетном п и соответствующих дополнительных условиях справедлива формула (0.2) с Хо = 2.

В параграфе 3 мы изучаем топологию особенностей множества опорных гиперсфер гладкого подмногообразия М в евклидовом пространстве Опорной гиперсферой называется касательная гиперсфера, от которой многообразие лежит с одной стороны. Множество Г опорных гиперсфер и гиперплоскостей многообразия М общего положения является объединением краев некоторых правильных связных компонент дополнения к фронту касательных гиперсфер и гиперплоскостей этого многообразия в пространстве всех гиперсфер и гиперплоскостей в М.к. Если к < 6 или размерность каждой связной компоненты многообразия М не превышает 1, то гиперповерхность Г имеет только особенности типов А 6 А0£и \ {0}, т.е. является объединением краев эллиптических компонент.

Гиперсферы, соответствующие особенностям типа А гиперповерхности Г, называются опорными гиперсферами типа А. Как и в предыдущих задачах, при указанных выше ограничениях на размерности, эйлеровы характеристики Хг(А) = х{^т) многообразий Ат опорных гиперсфер и гиперплоскостей типов А £ АоЛД{0} замкнутого подмногообразия М общего положения в Жк удовлетворяют тем же универсальным линейным соотношениям, что и эйлеровы характеристики многообразий особенностей компактного края эллиптической связной компоненты дополнения к устойчивому фронту коранга < 1 (теорема 3.1.9).

В разделе 3.3 изучается топология некоторых подмножеств множества центров опорных гиперсфер многообразия М. Это особенно важно для компьютерного моделирования и других прикладных задач (см. [66], [67], [98] и др.).

Напомним, что опорная гиперсфера многообразия М называется внешне-опорной, если М лежит от этой гиперсферы с внешней стороны по отношению к ее центру. Опорные гиперсферы типа Ах называются неособыми. Все остальные опорные гиперсферы называются особыми. Предположим, что дополнение Шк \ М имеет ограниченную связную компоненту [У. Объединение связных компонент многообразия М, лежащих строго внутри замыкания и области и обозначим через Ми. Множеством средних точек области II назовем подмножество £ с и, образованное центрами особых внешне-опорных гиперсфер многообразия М (иногда это множество называют средней осыо или конфликтным множеством).

Пусть Хв(Д) = %(./4е) - эйлерова характеристика подмногообразия Лт, в {7, образованного центрами из £ опорных гиперсфер типа Л. Предположим, что Хе(Л-) = О для любого А £ АО(й\{0, Ах} такого, что degA < к+1. Тогда для гладкого замкнутого подмногообразия М общего положения в четномерном пространстве Жк, к < 6, числа внешне-опорных Л-сфер многообразия М с со&гп А — п — к + 1 и центром в £ удовлетворяют соотношению (0.2), где хг(Л) = и Хо — х(и) ~ (—1)кх(Ми) теорема 3.3.8). В случае замкнутой выпуклой кривой М общего положения на евклидовой плоскости, это утверждение дает формулу Возе (0.1), и следовательно, является ее многомерным обобщением. Имеется и другое обобщение этой формулы, не использующее тот факт, что хотя бы одна из связных компонент многообразия М является гиперповерхностью. Оно получено в главе 4.

Параграф 1 начинается с напоминания основных определений. Мы также показываем, что фронт касательных гиперплоскостей замкнутой кривой 7 общего положения в ЖРп является множеством критических значений устойчивого гладкого отображения коранга < 1 гладкого замкнутого п-мерного многообразия в пространство ШРп*.

Используя этот факт мы получаем для пространственных кривых ряд важных следствий из результатов предыдущих глав. В частности, в разделе 1.3 получено многомерное обобщение известной теоремы Фридмана [65] о том, что если связная замкнутая кривая 7 общего положения в К3 не имеет точек уплощения (где кручение обращается в нуль), то число ее тройных касательных плоскостей (касающихся кривой в трех различных точках) четно.

Работа Фридмана изучалась многими авторами. В работе [59] Банчев, Гаффни и МакКрори обобщили результат Фридмана на случай кривых в Е3, имеющих точки уплощения. А именно, пусть Т - число тройных касательных плоскостей кривой 7, а N - общее число точек, в которых 7 трансверсально пересекает свои соприкасающиеся плоскости в точках уплощения. Тогда Т = N/2 (mod 2). Мы обобщаем эту формулу (а тем самым и теорему Фридмана) на случай произвольных замкнутых кривых общего положения в нечетномерном пространстве ШРп (не обязательно связных, аффинных или стягиваемых).

Рассмотрим замкнутую кривую 7 общего положения в R.Рп. Предположим, что она имеет 0(7) нестягиваемых компонент. Касательной гиперплоскостью типа Л = А^ +. + А[1Р £ А+\ {0} кривой 7 называется всякая гиперплоскость, касающаяся 7 в р попарно различных точках с кратностями fii,., /лр. Для каждого А такого, что codim А = /¿i+. -+1лр = п, через х-у (А) обозначим число всех касательных гиперплоскостей типа А кривой 7. Через х~/{А) обозначим число касательных гиперплоскостей типа А, у каждой из которых количество точек трансверсального пересечения с 7 сравнимо с deg А + 0(7) по модулю 4, где deg А = codim А + р.

Одно из обобщений теоремы Фридмана состоит в следующем (теорема 1.3.1): для любой замкнутой кривой 7 общего положения в пространстве ШРп нечетной размерности п > 3,

Х1{пА1) = х1(А3 + {п-3)А1) (mod 2).

В частности, если кривая 7 не имеет касательных гиперплоскостей типа А^+(п—3)А1; то число ее п-касательных гиперплоскостей четно. Если п = 3, то число £7(^4з) сравнимо с [N + 0(7) С]/2 по модулю 2, где С - число точек уплощения кривой 7, а А^ -число точек, в которых 7 трансверсально пересекает свои соприкасающиеся плоскости в точках уплощения. Поэтому четность числа Т = %7(3Аг) тройных касательных плоскостей любой замкнутой кривой 7 общего положения в ШР3 определяется по формуле: mod 2).

Х7(2A(ni)/2 + Ах) = х7(А0 (mod 2).

В частности, если кривая 7 не имеет точек уплощения, то число ее касательных гиперплоскостей типа 2A(nx)/2 + Ai четно.

В параграфе 2 доказывается теорема о четырех точках уплощения слабо выпуклой кривой в R3 (теорема 2.1.2). Кривая называется слабо выпуклой, если она лежит на границе своей выпуклой оболочки. Мы доказываем, что всякая С3-вложенная связная замкнутая слабо выпуклая кривая со всюду ненулевой кривизной в R3 имеет не менее четырех (геометрически различных) точек уплощения. Это утверждение является трехмерным обобщением теоремы Махопадхайя [84] о четырех вершинах плоской кривой. Вообще за время, прошедшие после работы Махопадхайя (а это почти сто лет), были опубликованы десятки работ, посвященные ее обобщениям (см. [77],[82],[60],[61],[86] и др). Во многих из них рассматривались слабо выпуклые кривые, удовлетворяющие различным дополнительным условиям. Мы же доказываем теорему о четырех точках уплощения слабо выпуклой кривой при самых слабых предположениях.

В параграфе 3 решается задача Арнольда номер 1998-6 из сборника [14]. Речь идет о так называемых допустимых гомотопиях кривой в RР3 (определение см. в разделе 3.1). Этот класс гомотопий был введен Арнольдом в [13]. Там же был найден замечательный инвариант этих гомотопий, отвечающий за точки уплощения кривой, -ее штурмовость. Однако этот инвариант не решает, например, следующую задачу: можно ли уничтожить допустимыми гомотопиями все шесть точек уплощения кривой х = cosí, у = smt, z = cos31? Мы даем отрицательный ответ на этот вопрос. Для доказательства мы определяем новый инвариант допустимых гомотопий пространственных кривых - число замкнутых двойных линий фронта ее касательных плоскостей. Кроме того, мы строим инвариант, обобщающий штурмовость кривой. Это некоторая весовая хордовая диаграмма. В ней число хорд, пересекающих нечетное число других хорд, равно штурмовости кривой.

В заключительном параграфе 4 получены обобщения формулы Возе (0.1) для некоторых классов кривых в многомерных пространствах. В разделе 4.1 мы рассматриваем произвольную замкнутую выпуклую кривую 7 общего положения в четно-мерном евклидовом пространстве М.к (к < 16). Оказывается, что числа х7(Д) внешне-опорных гиперсфер типов А £ A0¡id кривой 7 таких, что codim А = к + 1, связаны соотношением (0.2), где п = к + 1, Хт{Л) = Х7М) и Хо — 1- Аналогичное утверждение справедливо и для внутренне-опорных гиперсфер кривой.

В разделе 4.2 рассматриваются кривые выпуклые по Барнеру. По определению, кривая в ШРп называется выпуклой по Барнеру, если через любые п — 1 ее точек (не обязательно геометрически различных) можно провести гиперплоскость, которая не пересекает кривую в других точках. Барнер [60] получил для таких кривых многомерное обобщение теоремы о четырех вершинах: всякая замкнутая выпуклая по Барнеру кривая в RРп имеет по меньшей мере п + 1 геометрически различных точек уплощения. Мы обобщаем на этот класс кривых формулу Возе. А именно, рассмотрим произвольную замкнутую выпуклую по Барнеру кривую 7 общего положения в нечетномерном пространстве R" (п < 17). Тогда числа х7(Д) опорных гиперплоскостей типов А <= Áodd кривой 7 таких, что codim Л = п, связаны соотношением (0.2), где Хг{Л) = хМ) и Хо = 2.

В заключении я хотел бы выразить глубокую благодарность Владимиру Игоревичу Арнольду, который на протяжении многих лет учил меня настоящей Математике и вдохновлял мои исследования в теории особенностей. Я также хотел бы поблагодарить всех участников (бывших и нынешних) семинара В. И. Арнольда в МГУ по теории особенностей гладких отображений. Их внимание, многочисленные полезные обсуждения и замечания, всегда очень помогали в моей работе. Особенно я благодарен М. Э. Казаряну, за плодотворные обсуждения различных вопросов глобальной теории особенностей.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Седых, Вячеслав Дмитриевич, Москва

1. Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. М.-Л.: ОГИЗ, 1948.

2. Арнольд В. И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы. УМН 30 (1975), вып. 5, 3-65.

3. Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли В^Ск^А и особенности эволют. УМН 33 (1978), вып. 5, 91-105.

4. Арнольд В. И. Устойчивые колебания с гармонической по пространству и периодической по времени потенциальной энергией. Прикладная математика и механика 43 (1979), вып. 2, 360-363.

5. Арнольд В. П., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений 1. М.: Наука, 1982.

6. Арнольд В. И. Особенности систем лучей. УМН 38 (1983), вып. 2, 77-147.

7. Арнольд В. И., Гиперболические многочлены и отображения Вандермонда. Функц. анализ и его прил. 20 (1986), вып. 2, 52-53.

8. Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности I. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1988.

9. Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В. Особенности II. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 39. М.: ВИНИТИ, 1989.

10. Арнольд В. И. Исчисление змей и комбинаторика чисел Вернулли, Эйлера и Спрингера групп Кокстера. УМН 47 (1992), вып. 1, 3-45.

11. Арнольд В. И. Топологические проблемы теории распространения волн. УМН 51 (1996), вып. 1, 3-50.

12. Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.

13. Арнольд В. И., К лежандровой теории Штурма пространственных кривых. Функц. анализ и его прил. 32 (1998), вып. 2, 1-7.

14. Арнольд В. И. Задачи Арнольда. М.: Фазис, 2000.

15. Богаевский И. А. Особенности выпуклых оболочек трехмерных гиперповерхностей. Труды МИРАН им. В. А. Стеклова 221 (1998), 81-100.

16. Брызгалова Л. Н. О функциях максимума семейства функций, зависящих от параметров. Функц. анализ и его прил. 12 (1978), вып. 1, 66-67.

17. Вайнштейн А. Д., Шапиро В.З. Особенности границы области гиперболичности. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 33. М.: ВИНИТИ, 1988, 193-214.

18. Варченко А. Н. Перестройки выпуклых оболочек и фазовые переходы в термодинамике. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 33. М.: ВИНИТИ, 1988, 157-191.

19. Васильев В. А., Топология дополнений к дискриминантам. М.: Фазис, 1997.

20. Васильев В. А. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. М.: МЦНМО, 2000.

21. Виро О. Я. Об интегральном исчислении, основанном на эйлеровой характеристике. Л.: ЛОМИ, 1986.

22. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977.

23. Горески М., Макферсон Р. Стратифицированная теория Морса. М.: Мир, 1991.

24. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.

25. Закалюкин В. М. Особенности выпуклых оболочек гладких многообразий. Функц. анализ и его прил. 11 (1977), вып. 3, 76-77.

26. Закалюкин В. М. Особенности лагранжевых и лео/сандровых отображений. Дисс. канд. физ.-матем. наук., МГУ, Москва, 1977.

27. Казарян М. Э. Характеристические классы лагранжевых и лежандровых особенностей. УМН 50 (1995), вып. 4, 45-70.

28. Казарян M. Э. Относительная теория Морса одномерных расслоений и циклические гомологии. Функц. анализ и его прил. 31 (1997), вып. 1, 20-31.

29. Казарян М. Э. Характеристические классы в теории особенностей. Дисс. докт. физ.-матем. наук., МИРАН им. В. А. Стеклова, Москва, 2003.

30. Казарян М. Э. Мультиособенности, кобордизмы и исчислительная геометрия. УМН 58 (2003), вып. 4, 29-88.

31. Ландо С. К. Лекции о производящих функциях. М.: МЦНМО, 2002.

32. Мазер Дж. Стратификации и отображения. УМН 27 (1972), вып. 5, 85-118.

33. Матов В. И. Области эллиптичноости общих сем,ейств однородных многочленов и функции экстремума. Функц. анализ и его прил. 19 (1985), вып. 2, 26-36.

34. Ope О. Теория графов. М.: Наука, 1968.

35. Пушкарь П. Е., Чеканов Ю. В. Комбинаторика фронтов лежандровых зацеплений и 4-гипотезы Арнольда. УМН 60 (2005), вып. 1, 99-154.

36. Седых В. Д. Строение выпуклой оболочки пространственной кривой. Труды сем. им. Петровского 6 (1981), 239-256.

37. Седых В. Д. Функциональные модули особенностей выпуклых оболочек многообразий коразмерности 1 и 2. Матем. сб. 119 (1982), №2, 233-247.

38. Седых В. Д. Особенности выпуклых оболочек. Сиб. матем. журн. 24 (1983), №3, 158-175.

39. Седых В. Д. Двойные касательные плоскости к пространственной кривой. Сиб. матем. журн. 30 (1989), №1, 209-211.

40. Седых В. Д. Теорема о четырех вершинах выпуклой пространственной кривой. Функц. анализ и его прил. 26 (1992), вып. 1, 35-41.

41. Седых В. Д. Инварианты выпуклых многообразий. Докл. РАН, 326 (1992), №6, 948-952.

42. Седых В. Д. Инварианты строго выпуклых многообразий. Функц. анализ и его прил. 27 (1993), вып. 3, 67-75.

43. BanchoffTh. Triple points of projections of smoothly immersed surfces. Proc. Amer. Math. Soc. 46 (1974), №3, 402-406.

44. BanchoffTh., Gaffney T., McCrory C. Counting tritangent planes of space curves. Topology 24 (1985), №1, 15-23.

45. Barner M. Uber die Mindestanzahl stationärer Schmiegebenen bei geschlossenen streng-konvexen Raumkurven. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 20 (1956), 196— 215.

46. Bisztriczky T. Inflectional convex space curves. Can. J. Math. 36 (1984), 537-549.

47. Bose R. C. On the number of circles of curvature perfectly enclosing or perfectly enclosed by a closed convex oval. Math. Zeitsch. 35 1932, 16-24.

48. Bruce J. W., Giblin P. J., Gibson C. G. Symmetry sets. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 101 (1985), 163-186.

49. Colley S. J. Enumerating stationary multiple-points. Adv. in Math. 66 (1987), №2, 149-170.

50. Freedman M. H. Planes triply tangent to curves with nonvanishing torsion. Topology 19 (1980), №1, 1-8.

51. Giblin P. J. Symmetry sets and medial axes in two and three dimensions. The Mathematics of Surfaces IX, Roberto Cipolla and Ralph Martin (eds.), SpringerVerlag 2000, 306-321.

52. Giblin P. J., Kimia B. B. On the local form and Transitions of Symmetry Sets, Medial Axes, and Shocks. Int. J. Computer Vision 54 (2003), 143-157.

53. Goryunov V. V., Mond D. Vanishing cohomology of singularities of mappings. Compositio Math. 89 (1993), №1, 45-80.

54. Goryunov V. Semi-simplicial resolutions and homology of images and discriminants of mappings. Proc. London Math. Soc. 70 (1995), №3, 363-385.

55. Haupt O. Verallgemeinerung eines Satzes von R. C. Bose über die Anzahl der Schmiegkreise eines Ovals, die vom Oval umschlossen werden oder das Oval umschließen. J. Reine Angew. Math. 239/240 (1969), 339-352.

56. Heil E. A four-vertex theorem for space curves. Math. Pannon. 10 (1999), №1, 123132.

57. Izumiya S., Marar W. L. The Euler characteristic of a generic wave front in a 3-manifold. Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993), №4, 1347-1350.

58. Izumiya S., Marar W. L. On topologically stable singular surfaces in a 3~manifold. J. Geom. 52 (1995), 108-119.

59. Kazarian M. E. The Chern-Euler number of circle bundle via singularity theory. Math. Scand. 82 (1998), 207-236.

60. Kleiman S. L. Multiple-point formulas I: Iteration. Acta math. 147 (1981), №1-2, 13-49.

61. Kleiman S. L., Lipman J., Ulrich B. The multiple-point schemes of a finite curvilinear map of codimension one. Ark. Mat. 34 (1996), №2, 285-326.

62. Kneser A. Bemerkungen über die Anzahl der Extreme der Krümmung geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht-euclidischen Geometrie. Festschrift H. Weber 70, Leipzig, 1912, 170-180.

63. Levine H. I. The singularities, S\. Illinois J. Math 8 (1964), 152-168.

64. Lojasiewicz S. Ensembles semi-analitiques. Bure sur Yvette, IHES, 1965.

65. Marar W. L., Mond D. Multiple-point schemes for corank 1 maps. J. London Math. Soc.(2) 39 (1989), №3, 553-567.

66. McCrory C., Parusiriski A. Algebraically constructible functions. Ann. scient. Ec. Norm. Sup. (4) 30 (1997), №4, 527-552.

67. Mohrmann H. Die minimalzahl der stationären Ebenen eines räumlichen Ovals. Sitz. Ber. kgl. Bayerichen Akad. Wiss. Math. Phys., KL, 1917, 1-3.

68. Morin B. Formes canoniques des singularités d'une application différentiable. C. R. Acad. Sei. Paris, Sér I Math. 260 (1965), 5662-5665.

69. Mukhopadhaya S. New Methods in the Geometry of a Plane Arc I, Cyclic and Sextactic points. Bull. Calcutta Math. Soc. 1 (1909), 31-37.

70. Romero Fuster M. C. Sphere stratifications and the Gauss map. Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Sect. A, 95 (1983), 115-136.

71. Romero Fuster M. C. Convexly generic curves in R3. Geom. Dedicata, 28 (1988), 7-29.

72. Romero Fuster M. C. and Sedykh V. D. On the number of singularities, zero curvature points and vertices of a simple convex space curve. J. Geom. 52 (1995), 168-172.

73. Romero Fuster M. C. and Sedykh V. D. A lower estimate for the number of zero -torsion points of a space curve. Beitrage Algebra Geom. 38 (1997), №1, 183-192.

74. Saeki 0. Topology of singular fibers of differentiable maps. Lecture Notes in Math. 1854 (2004).

75. Sedykh V. D. Some invariants of convex manifolds. Mat. Contemp. 5 (1993), 187198.

76. Sedykh V. D. Four vertices of a convex space curve. Bull. London Math. Soc. 26 (1994), №119, 177-180.

77. Sedykh V. D. Invariants of submanifolds in Euclidean space, in: Arnold-Gel-fand Mathematical Seminars. Geometry and Singularity Theory (V. I. Arnold, I. M. Gelfand, M. Smirnov, and V. S. Retakh, eds.) Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1997, 389-395.

78. Sedykh V. D. Discrete versions of the four-vertex theorem. Amer. Math. Soc. Transl. (2), Providence, RI, 180 (1997), 197-207.

79. Sedykh V. D. On some classes of curves in a projective space. Banach Center Publ. 50 (1999), 237-266.

80. Sedykh V. D. On the topology of singularities of Maxwell sets. Mosc. Math. J. 3 (2003), №3, 1097-1112.

81. Sedykh V. D. On the topology of singularities of the set of supporting hyperplanes of a smooth submanifold in an affine space. J. London Math. Soc. (2) 71 (2005), №1, 259-272.

82. Sedykh V. D. The topology of corank 1 multi-singularities of stable smooth mappings of equidimensional manifolds, C. R. Acad. Sci. Paris. Ser I Math. 340 (2005), №6, 441-444.

83. Siersma D. Properties of conflict sets in the plane. Banach Center Publ. 50 (1999), 267-276.

84. Sziics A. Cobordism of maps with simplest singularities, in: Topology Symposium, Siegen. Lect. Notes in Math. 788 (1980), 223-244.

85. Sziics A. Multiple points of singular maps. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 100 (1986), 331-346.

86. Thom R. Les singularités des applications différentiables. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 6 (1955-1956), 43-87.

87. Umehara M. A unified approach to the four vertex theorems. I. Amer. Math. Soc. Transi. (2), Providence, RI, 190 (1999), 185-228.

88. Umehara M. and Thorbexgsson G. A unified approach to the four vertex theorems. II. Amer. Math. Soc. Transi. (2), Providence, RI, 190 (1999), 229-252.

89. Uribe-Vargas R. Four-vertex theorems in higher-dimensional spaces for a larger class of curves than the convex ones. C. R. Acad. Sci. Paris, Serie I, 330 (2000), 1085— 1090.

90. Wall C.T.C. Stratified sets: a survey. Lecture Notes in Math. 192 (1971), 133-140.