Пространственные задачи теории упругости со смешанными граничными условиями для тел сложной геометрии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Пожарский, Дмитрий Александрович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ол
На правах рукописи
Пожарский Дмитрий Александрович
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ СО СМЕШАННЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ
01.02.04 — механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 1998
(Ш
Диссертационная работа выполнена в Ростовской-на-Дону государственной академии сельскохозяйственного машиностроения
Научный консультант:
заслуженный деятель науки РФ, член-корреспондент АЕН РФ, доктор физико-математических наук, профессор В.М.АЛЕКСАНДРОВ
Оффициальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор А.В.БЕЛОКОНЬ доктор физико-математических наук, профессор А.С.КРАВЧУК доктор физико-математических наук, профессор Д.В.ТАРЛАКОВСКИЙ
Ведущая организация:
Институт проблем механики Российской академии наук
Защита состоится "&0 " «Ц^йп^ 1998 года в 16 часов на заседании специализированного совета Д 053.05.03 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, диссертационный совет по механике №3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.
Автореферат разослан " -X 1998 г.
Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор
С.В.Шешенин
Общая характеристика работы
Актуальность проблемы. В диссертации рассматривается ряд статических, в основном трехмерных, смешанных задач (контактных задач, и связанных с ними задач о разрезах) для упругих тел сложной геометрии (наличие угловых точек или линий, ограничеппость размеров), а ч ;< также смешанных задач теории изгиба тонких;, пластин и толстых плит.
Исследование особенностей контактного, взаимодействия различных , тел при учете их геометрии представляем собой »важнейшую задачу на- ... уки и техники, от решения которой во многом зависят успехи в маши-. ностроешш, строительстве, материаловедении, в поддержании обороноспособности страны на должном уровне. Повысить надежность и снизить металлоемкость машин и механизмов возможно лишь в, результате высокоточных расчетов на контактную прочностьи жесткость совокупности взаимодействующих деталей. . .,
Научно-исследовательские программы стран с большим промышленным и научным потенциалом (США, Япония» СССР-Россия и др.) продолжают указывать на необходимость широкого развития работ по изучению контактного взаимодействия и предусматривают конкретные рекомендации по их реализации. Например, секция "Теория контактных взаимодействий твердых тел с учетом трения и износа" Научного совета АН СССР по трению и смазкам определила (на январской сессии 1986 г.) одним из перспективных направлений исследований на период до 2000 года изучение пространственных контактных задач для тед со сложной геометрией и при односторонних ограничениях.
Актуальность контактных задач связана также с перспективностью , контактных испытаний материалов, которые можно выполнять с учетом сложности геометрии различных деталей. 1Т ,
В 1995 году в Италии состоялась уже вторая международная конференция "Contact Mechanics 95". Из 123 докладов, включенных в Pçovisi- ' onal Programme этой конференции, авторы 30 — из стран СНГ, что. свидетельствует о сохранении ведущей роли бывшего СССР в данной отрасли знания. Если 10 лет назад у нас практически не было персональных ЭВМ, то в настоящее время открылись дополнительные возможности .широкого внедрения вычислительных методов в контактную механику.
Задачи о разрезах в упругих телах сложной геометрии позволяют дать количественную и качественную оценку концентрации напряжений, что ' важно для аспектов механики разрушения таких тел.
Актуальной научно-технической задачей остается разработка эффективной методики расчета пластин на упругом основании, являющихся конструктивными элементами аэродромно-дорожного, гидротехнического строительства, сооружений на поверхности ледяного покрова.
Большой вклад в решение задач теории упругости со смешанными граничными условиями внесли С.М.Айзикович, В.М.Александров, Ю.А.Антипов, Н.Х.Арутаонян, В.А.Бабешко, А.А.Баблоян, А.В.Бело-конь, Н.М.Бородачев, Ф.М.Бородич, И.И.Ворович, В.А.Галанов, Л.А.Галин, Е.В.Глушков, Р.В.Гольдштейн, А.Г.Горшков, И.Г.Горячева, А.А.Евтушенко, А.Б.Ефимов, Е.В.Коваленко, А.С.Кравчук, А.В.Манжиров, В.И.МоссаковскиЙ, С.М.Мхитарян, Н.И.Мусхелшпвили, Б.М.Нуллер, О.В.Они1Дук,В.В.Панасюк,В.З.Партон,П.И.Перлин,Б-Е-Победря, Г.Я.Попов, В.С.Проценко, О.Д.Пряхина, Ю.Н.Работнов, В.Л.Рвачев, Б.И.Смета-нин, Д.В.Тарлаковский,В.М.Толкачев, А.Ф.Улитко,Я.С.Уфлянд,М.И.Че-баков, Й.Я.Штаерман, J.R.Barber, С.М.Ь.С1ас1лге11, КХЛоЬпэоп, кег, Ь.М.Кеег и др.
Цель исследования. Целью предлагаемой диссертации является учет сложности геометрии упругого тела (наличие угловых точек или линий, конечность размеров) в смешанных, преимущественно пространственных, задачах теории упругости. Для этого анализируются статические контактные задачи и задачи о разрезах для пространственного клина, плоские задачи для бесконечного и конечного клина, контактные задачи для конуса, бесконечного или конечного цилиндра, сферической линзы, т.е. тела, образованного пересечением двух сфер разного радиуса, круговой лунки (пересечение двух разных окружностей), а также исследуются смешанные задачи для тонких бесконечных пластин и толстых плит, лежащих на упругом основании, и для клиновидных пластин. Между методами решения всех этих задач существует связь; эти методы могут быть распространены на широкий круг других аналогичных задач для тел сложной геометрии. Усложнение рассмотренных задач, видимо, будет идти в дальнейшем путем учета динамики, шероховатости и износа, смазки, температуры, неоднородности, межатомных сил сцепления и др. факторов.
Основные научные положения. Соискателем выносятся на защиту следующие основные положения и результаты:
— при помощи решения обобщенных по И.Н.Векуа краевых задач Гильберта получены функции Грина в аналитическом виде (ряды по
степеням 1 — 2и\ и — коэффициент Пуассона, что подтверждает гипотезу Я.С.Уфлянда, 1972 г.) для трехмерного упругого клина при разных , граничных условиях на одной сто грани (отсутствие напряжений, скользящая или жесткая заделка); как частные случаи отсюда получаются решения задач Хетени для упругого четвертьнространства и Буссинеска , и Черрути для полупространства; ■ — доказана теорема об обращении комбинации интегральных операторов, входящих в функцию Грина для клина, одна грань которого свободна от напряжений; изучены трехмерные задачи об эллиптическом, клиновидном и полосовом разрезах в срединной полуплоскости клина при разных условиях на его гранях; сделан расчет коэффициентов интенсивности напряжений; указанная теорема позволила эффективно решить задачу о полосовом разрезе, когда грани клина свободны от напряжений, и контактную задачу для полосового штампа, выходящего дд, ребро клина, одна грань которого свободна от напряжений;
— исследованы трехмерные контактные задачи о взаимодействии упругого клина с жестким штампом — эллиптическим параболоидом (точка начального касания подходит сколь угодно близко к ребру- клипа, определена неизвестная область контакта, рассчитано эффективное напряжение в точке'начального касания), а также с полосовым и клино-виднымштампами; изучена асимптотика контактных давлений в верши-' не клиновидного штампа, выходящей на ребро упругого клина, а также в вершине штампа, занимающего в плане всю. грань клина с клиновидным, вырезом малого угла, и в вершине штампа,, лежащего на упругом-полупространстве, когда область контакта в плане — плоскость с клиновидным вырезом малого угла; при решении плоских контактных задач для бесконечного клина развит асимптотический метод "малых А", а в случае усеченного клина — метод однородных решений;
— получено интегральное уравнение пространственной контактной задачи для упругого конуса и при осевой симметрии найдены однородные решения для конуса, позволяющие решать задачи для усеченного конуса; решены задачи о взаимодействии конуса с жестким или деформируемым кольцевым бандажом, с периодической системой жестких клиновидных штампов (вершины штампов совпадают с вершиной конуса, исследована асимптотика контактных давлений в вершине штампов), с жестким-штампом в форме эллиптического параболоида при неизвестной области контакта;
— предложены легко факторизуемые аппроксимации символа ядра интегрального уравнения, встречающегося в осесимметричиых контактных задачах для упругих конических и цилиндрических тел, которые позволяют получить эффективные решения по асимптотическому методу "малых А" ;' на этой основе решены задачи о взаимодействии жесткого бандажа с упругим бесконечным цилиндром й жесткого вкладыша с упругим пространством, имеющим цилиндрическую полость, а также решена контактная задача для цилиндра конечных размеров с использованием однородных решений; изучены контактные задачи о двух деформируемых и о периодической системе деформируемых бандажей на цилиндре;
— при помощи анализа обобщенных по И.Н.Векуа краевых задач Гильберта развита методика решения пространственной задачи для упругой сферической линзы; в неосесимметричном случае исследованы контактные задачи для усеченного шара и при осевой симметрии — для полупространства со сферической выемкой (выступом); изучена плоская контактная задача для круговой лунки;
— путем обобщения асимптотического метода найдено решение интегрального уравнения на двух участках с неиптегрируемыми особенностями, соответствующего контактной задаче о вдавливании двух ребер жесткости в бесконечную пластину на упругом основании; изучены контактные задачи для клиновидных пластин, где предложены новые простые аппроксимации символов ядер интегральных уравнений, позволяющие получить решение в замкнутом виде; решена трехмерная контактная задача для двухслойного основания (слой на полупространстве) с неизвестной областью контакта; :
— рассмотрена контактная задача о движущемся штампе с учетом тепловыделения от трения, исследован вопрос потери термоупругой устойчивости.
Достоверность основных научных положений и результатов
обеспечивается математической корректностью постановок всех решаемых задач, применением строгих математических аналитических и численных методов решения; совпадением результатов при применении для решения одной и той же задачи разных методов; совпадением результатов в частных случаях с результатами других авторов; совпадением части результатов с экспериментом.
Научная новизна. Все результаты и положения, выносимые соиска-
хелем на защиту, являются новыми и установлены впервые.
Практическое значение работы. Результаты численного апализа контактной задачи о вдавливании эллиптического параболоида в упругий пространственный клин были использованы для уточнения методики расчета на контактную прочность зубчатых передач Новикова в лаборатории специальных зубчатых передач НИИ механики и прикладной математики при РГУ (Короткий В.И. Об учете краевых эффектов при расчете передач Новикона на контактную выносливость // Вестник машиностроения. 1997. X? 6. С. 8-11.).
Контактные задачи для конечного бапдажированного цилиндра со свободными от напряжений торцами, а также для бандажированного копуса могут быть использованы при расчетах бандажированных валков холодной прокатки в прокатных станах.
Важен для практики, при расчете клиновидных и конических деталей механизмов и машин, в числе других результатов, вывод о невозможности осуществления полного контакта между пространственным упругим клипом и жестким клиновидным штампом малого угла раствора (вершина штампа выходит на ребро упругого клина), а также между упругим конусом и периодической системой жестких клхиювидных штампов малого угла раствора (вершины штампов и конуса совпадают).
Результаты решения контактных задач для тонких пластин и толстых плит на упругом основании могут применяться при анализе элементов аэродромно-дорожных, гидротехнических конструкций, сооружений на поверхности ледяного покрова, биметаллических деталей.
Полученные простые формулы для КИН в задачах об эллиптической и полосовой трещинах в упругом трехмерном клине должны пополнить справочники по КИН.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на IV Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Одесса, 1989 г.); на XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1990 г.); на Выездной сессии Межведомственного научного совета по трибологии (Ростов-на-Дону, 1990 г.); на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва, 1991 г.); на 3 Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1997 г.); на семипаре кафедры теории упругости РГУ (рук. — акад. И.И.Ворович, 1991 г.); на семинаре ИПМ РАН (рук. — акад. Н.Х.Арутюнян и проф. В.М.Алексан-
дров, 1992 г.); на семинаре кафедры теории пластичности МГУ (рук. — проф. В.Д.Клюшников, 1997 г.); на семинарах лаборатории контактной прочности НИИ механики и прикладной математики при РГУ (рук. — с.н.с. М.И.Чебаков, 1989-1995 г.); на-1Х-Х1 научных конференциях в Ростовской академии сельхозмашиностроения (1995-1997 г.).
За цикл из 8 статей по смешанным задачам для трехмерного упругого клина в 1995 г. соискатель долучил первую премию на Всероссийском конкурсе Международного гуманитарного фонда "Знание" для молодых ученых в области механики и машиноведения "Молодые дарования" (см. газету "Поиск" 1995, № 9, с. 2). ' ' ;
В 1997 г. по совокупности публикаций в центральной печати соискатель стал лауреатом премии Европейской академии наук для молодых ученых СНГ (см. газету "Поиск" 1997, № 24, с. 15).
Объем и структура диссертации. Диссертация содержит введение, 7 глав, 3 приложения, заключение и список литературы (555 источников) и занимает объем 398 страниц, включая 44 рисунка и 52 таблицы.
Содержание работы
Во введении обосновываются актуальность и цель исследования, дается обзор литературы по смешанным задачам теории упругости для плоского и пространственного клина, конуса, цилиндра, линзы и лунки, а также для тонких пластин.
В главе 1 развивается предложенный в работах А.Ф.Улитко и Е.И.Ор-люка, эффективный метод решения первой краевой и смешанной задач теории упругости для пространственного клина, заключающийся в сведении их при помощи интегрального преобразования Конторовича-Ле-бедева в комплексной плоскости к обобщенной по И.Н.Векуа краевой задаче Гильберта. Рассматриваются случаи, когда одна грань клина свободна от напряжений (§1.1), либо находится в условиях скользящей или жесткой заделки (§1.2), а на другой грани действуют нормальные и касательные усилия. Все три задачи окончательно сводятся к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Проведено численно-аналитическое исследование норм соответствующих интегральных операторов в пространстве непрерывных ограниченных на полуоси функций Сд/(0,оо) и определены диапазоны изменения коэффициента Пуассона, содержащие, как правило, все практически важные значения, в которых решения этих
интегральных уравнений представляются в виде рядов Неймана по степеням (1 — 27/), где V — коэффициент Пуассона (§1.3). Возможность такого представления предсказывалась еще Я.С.Уфляндом и пожни для применения аналитических методов решения интегральных уравнений смешанных задач для трехмерного клина. В частном случае из этих формул получаются известные решения задач Буссинеска и Черрути для полупространства, а также известные формулы плоской задачи для клина. Приводится пример функции Грина для упругой четверти пространства с одной свободной от напряжений гранью (решение задачи Хетени), который показывает недостатки приближенной функции Грина, использованной в ряде статей других исследователей (§1.4). Даются однородные решения уравпений Ламе для плоского клина при разных граничных условиях на одной его грани, используемые далее для решения контактных задач для конечного клина (§1.5).
В главе 2 на основе методики, развитой в главе 1, выводятся интегральные уравнения контактной задачи для трехмерного клина и задачи о математическом разрезе в срединной полуплоскости упругого клина (§2.1). Контактная задача рассматривается в следующей постановке (г, <р, г — цилиндрические координаты, ось 2 направлена по ребру клина). Пусть в грань ¡р — 2а клина силой Р, приложенной на полуоси г = 0 на расстоянии Н от ребра клина, вдавливается жесткий штамп, форма основания которого описывается функцией д(г,г), четной по г. Силы трения между штампом и клином не учитываем. Предположим, что известная или неизвестная область контакта есть П. Под действием силы Р штамп оседает на величину 5 и поворачивается на угол 7 вокруг прямой г = а, проходящей через область П. На грани (р = 0 выполняется одно из следующих условий: а) отсутствие напряжений, б) скользящая заделка или в) жесткая заделка. Требуется найти распределение нормальных контактных напряжений под штампом сгр{г, 2а, г) = — с/(г, г), (г, г) € П, область контакта (если она неизвестна) и определить связь между величинами 6, 7, а, функцией д(г, г) и величинами Р и Н, Интегральное уравнение этой задачи можно записать в виде (в = (7(1 — С — модуль сдвига)
¡¡я(х,у)К(х,У,г,г)(1х<1у =/(г,г) = 8+'у(г-а)-д(г,г), (г,л) £ ¡1; (1)
п
2 осоо
К(х,у,г,г) = — ууаЪ1гиУУп(и)К{и{&) х
D^ch^K^ta
lch(7ru/2) Г" 2 "ч*"'JJ cosí^ ~ 2/)dudí (n = 1'2'3)' (2) Здесь К,„(г) — функция Макдональда; для задачи а (п = 1)
r,u _ п„ w2(u,a)
А - ЖМ^1 ~ ' (dj
а для задач 5 (п = 2) и в (п = 3) = S3 4, где (fc = 1,2,3,4)
00 00
m=0 ¿
т / ч „ , яи , пу , , f shirtgt(t,a)dt Lk(u, у) = 2 ch — sh ~ W¿(w, a) / 7--, , ' y-:-r,
TT7 / \ I ch2au í cos2a . . ícthaul sin22a
Wlt2(u, a) = ±—-T . . , gi,i{u, a) = —---j-,
sh 2au ± и sin 2a j ch 2au :f eos 4a
Wz(u, a) = W\(u, 2a), gs{u,a) - gi(u,2a),
гтг , , 2к sh 4au - 2u sin 4cc . . .
Wa(u, a) = -——-—-:-í—г (« = 3 - 4i/j,
y ' ' 2k ch 4au -f 2м2 — 2u2 eos4a + + 1
gi{u,a) = -g%{u, 2a) + {sin2 2a (gb(u)[2g6(u) -
-98(u)[2gi(u) 4- ugeí«)]) ~ 2(1 - f)sin2a {g5(u)(sia6a-
— sin2a ch4au) — g¿(u) eos2a sh 4au)}/gcj(u),
дь(и) — Ksh4au cos4a — usin4a, g%{u) = cos4a + sin24a - ch4au,
g-¡{u) = sin4a th 2au (1 + eos 4a), g&(u) — (к ch 4au — 1) sin 4a,
ga(n) = [g¡(u) + 3¡(u)](sh2 2a и + cos2 4a),
W\u) = W(v, a) = V2 [Wi(u, <*) - W2(u, o)], W2'\u) = W3,4(i/, a).
При 2a- = 7Г в случае задачи a интегральное уравнение (1) переходит в известное интегральное уравнение контактной задачи для полупространства. Ядра интегральных уравнений (1) вида (2) удовлетворяют условию К(х,у, г, z) == К (г, г), а интегральные операторы в уравнениях (1) самосопряженные.
Затем рассматривается задача о разрезе в следующей постановке. Пусть упругий пространственный клин угла раствора 4а (0 < а < ?г/2) в своей срединной полуплоскости <р — 0 имеет математический разрез, занимающий область Í3. Разрез находится в раскрытом состоянии под
действием приложенной к его берегам нагрузки (т,р = —q(r, z), <р = ±0, (г, z) е О, q(r, —z) = q(r, z). Предполагается, что грани клина свободны от нанряжений (задача а), либо леясат без трения на жестком основании (скользящая заделка, задача б), или жестко защемлены (задача в). Требуется найти форму раскрытия трещины и9 = ±f(r, z), — ±0, (г, z) £ П, затем может быть определен коэффициент интенсивности нормальных напряжений. В силу симметрии задачи по ip будем изучать лишь область ()<-/>< 2а. Граничные условия при /р — 0 можно записать в форме
<р ~0 : тГ1р — — 0; uv = 0, (г, z) <£ CI; av — —q(r, z), (r, z) £ fi.
Интегральные уравнения задач а, б, о о разрезе могут быть выведены, исходя из уравнения (1) при использовании известной связи между контактными задачами и задачами о трещинах в упругих телах. Для этого необходимо знание операторов, обратных операторам JDJj (п = 1,2,3). Для случаев б и в такие операторы очевидны: (D^)"1 = / — (1 - 2v)A"4, где I — тождественный оператор, и интегральные уравнения этих задач имеют вид
JJ f(x,y)F(x,y,r,z)dx dy = — q{r,z), (r,z)eii, (5)
4 и2
F(x,y,r,z) = -Г- / / sh 7ruKiu(f3r) cos(3(z - y) —-Kia(/3x)- , , 7ГlrxJ J WSA(u,a) ■
сЬ(тг«/2) 3,41 W3,4{s, a) '
d/3 du. (6)
Для задачи а о разрезе при помощи решения вспомогательной обобщенной по И.Н.Векуа краевой задачи Гильберта установлена
Теорема, Оператор D" : См{0, оо) —► (7^(0, оо) вида (3) при любых углах а хотя бы при и > 0.053 имеет обратный, равный I - (1 - 2v)A%, где онератор А\j определяется формулами
АЦШ = ]ыи, s)f(s)ds + 2ch^ + х
о 1 о о 1
X sh ЖУ 9й{у, <*) вЬ(тз/2)/(а) dsdy _ W0(u,a) f(s)\, (ch 7Tu + ch ту)(сЬ it's -f- ch 7гг/) 2 оШ8Я+
+(1 - 2,)chTyy jru)(ch7Г< + chтгу)
w (,, «Л - Wl(u,a) + W2{u,a) _ gi(t,a) + g2(t,a)
a) - WM-W^aY 90{t>a) ~-2-' (7)
Lq(u, s) = 2ch ~sh—W(s,a) 7— ^t9z(t a)dt
" v ' 2 2 о ( 7ru)(cb wt -f ch 7rs)
oo
■WOO) = E (1 - 2^)"(Лз)" о C4/(s)},
n=0
C{/(,)> = 4ch £ /go(yt(?/2)Tt/(v51 x 1 WJ 2 ^ (ch тгу + ch7rs)(ch тгу + ch xi)
x/(.)+ /¿3(*,')Wl{'>$t+%{ata) f(.)ds.
Интегральное уравнение задачи a имеет-вид (5), (6), где вместо функции W3ii(u, а) следует взять функцию W{u,a), а вместо оператора — оператор Ад. При 2а = 7г в случае a интегральное уравнение (5) переходит в известное уравнение задачи о трещине в бесконечном пространстве. При помощи аппарата обобщенных функций в (5) выделяется главная особая интегро-дифференциальная часть. Ядра интегральных уравнений (5), (6) для задач а, б, е удовлетворяют условию F(x, у, г, z) = F(r, у, x,z), а интегральные операторы в этих интегральных уравнениях самосопряженные.
При численной реализации формул (4), (7) вместо суммирования рядов Неймана предлагается численно решать интегральные уравнения Фредгольма второго рода, аналитические решения которых представляются этими рядами, по методу механических квадратур с использованием квадратурной формулы Гаусса.
В §2.2 рассматривается задача о полосовом разрезе, занимающем область ft {0 < г < Ь, \z\ < оо}. Считается, что функция q(r, z) периодическая по z с периодом 2/, четна по 2 и представима рядом Фурье. Тогда достаточно решить задачу для случая q(r, z) = q(r) cospz, /(r, z) — jf(r) cos/32, ¡3 = mijl и составить суперпозицию решений, полученных при разных значениях п > 1, а также известного решения задачи для клина о плоской деформации (п = 0). Для решения возникающего одномерного интегрального уравнения применяется метод парных уравнений, в итоге получаются интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Показано, что поведение функции /(г) на ребре клина (г —> 0) зависит от значения предела lirri shiru Wn(u) = А (и -» 0, п= 1,2,3). Для
задачи б при 2а — тг (бесконечное пространство) и для задачи в при любом а имеем А — /(0) = 0. В остальных случаях А ф 0, /(0) ф 0, т.е. происходит расклинивание упругого клина по ребру. Получено точное решение задачи а при 2а = тг. Коэффициент интенсивности нормальных напряжений при г = Ь, отнесенный к cos ßz, находится по формуле
6
1С; = - lim ГV^bqir)], qir) = в [ f(x)K(r,x)dx (г > Ь), (8)
где К (г, х) — ядро исходного интегрального уравнения для полосового разреза. Окончательно Kj выражается через решение полученного уравнения Фредгольма второго рода. В табл.1 для задачи а при а = тг/г/16, V — 0.3, q{r)G~x = q даны результаты расчетов величины
KjiVbGq)-1
(8) при разных значениях вЬ. Таблица 1.
к 1 2 3 4 5 6 7
0Ь=1 /36 = 2 ßb — 3 3.20 1.28 0.747 0.554 0.519 0.493 0.482 2.29 0.790 0.478 0.403 0.395 0.387 0.383 1.37 0.481 0.352 0.327 0.325 0.323 0.322
В §2.3 предполагается, что область разреза — эллипс П: (г — а)2/с2 + +22/Ь2 < 1, я > с, Ь > с. Вводятся безразмерные параметры А = аЬ"1, ц = сЬ'1. Безразмерный параметр А характеризует относительную удаленность эллипса О от ребра клина. Для решения интегрального уравнения (5) используется асимптотический метод "больших А", границы эффективности которого по А в зависимости от а следующие: А > 1 + ц (1<2а< тг), А > (2а)-1 + р (р/2 < 2а < 1), А > + /г2(1 + 4а2)(2а)~1 (0 < 2а < /х/2). В случае д(г, z)9~í = ц решение уравнения (5) для эллиптического разреза получено в виде (< = \/1 — /х2)
V
2А3
t2(r - а)
3E(i) 6AD(0
+ 0
U5
(9)
D(2) = (1 -f i2)E(i) - (1 - t2)K(t).
Здесь K(i), E(t) — полные эллиптические интегралы; значения постоянной А приведены в табл.2 для задач а, б, в при v — 0.3, а = як/48. Из (9) получена формула для отношения коэффициентов интенсивности
нормальных напряжений для рассматриваемого случая и для известного случая трещины в пространстве (А —> со):
, _ V
К? 2А5
В (10) угол (р отсчитывается от положительного направления оси г' = = (г — а)Ь-1. Проведено сравнение с известными решениями задачи а для полупространства.
Таблица 2.
к а б в к а б в
1 -1870 1020 1710 13 -0.245 -0.130 0.192
2 -229 114 207 14 -0.179 -0.123 0.132
3 -65.5 29.0 58:5 15 -0.132 -0.104 0.0913
4 -26.0 9.78 22.9 16 -0.103 -0.0802 0.0632
5 -12.5 3.82 10.7 17 -0.0815 -0.0765 0.0412
6 -6.75 1.61 5.61 18 -0.0608 -0.0552 0.0281
7 -3.78 0.574 3.11 19 -0.0555 -0.0449 0.0186
8 -2.26 0.148 1.84 20 -0.0473 -0.0316 0.0143
9 -1.43 -0.0197 1.15 21 -0.0377 -0.0177 9.74 • Ю-3
10 -0.859 -0.111 0.705 22 -0.0355 -0.0112 6.92 • Ю-3
11 -0.545 -0.131 0.447 23 -0.0308 -4.45 • Ю-3 4.19 • 10~3
12 -0.369 -0.125 0.294 24 -0.0265 0 2.36 • 10~3
В.М.Александровым и В.А.Бабешко было показано, что в контактной
задаче о клиновидном штампе малого угла раствора на упругом полупространстве главными в разложении искомых нормальных контактных давлений в кончике штампа оказываются осциллирующие члены порядка (г —» 0). Встает вопрос: сохраняются ли обнаруженные осциллирующие члены в контактной задаче для полупространства о действии клиновидного штампа утла раствора 27Г—2/3 при малых ¡31 Известно, что нормальные напряжения вне
V сое <р
ЗЕ(0 хв{г)
+ 0
©
(10)
ребро клина
клиновидного разреза угла 2/3 в упругом пространстве в вершине этого разреза имеют ту же асимптотику, что и контактные напряжения в задаче о клиновидном штампе угла 2я- — 2(3 на упругом полупространстве. Аналогично связаны задачи о разрезе угла 2/3 в срединной полуплоскости упругого клина угла 4а и о действии штампа на грань упругого клина угла 2ог, когда область контакта в плане занимает всю эту грань за исключением клиновидного выреза угла 2/3 и заштрихована на рис.1. В §2.4 область разреза fi — незашгрихованный клин угла 2(3 (рис.1). В (5) вводятся полярные координаты г = рcost/), z = psini/», f(r,z) = /*(р,ф), q(r,z) = q*(p,ifi) и решение разыскивается в форме интеграла Меллина, где контур интегрирования следует выбирать из условий /„(О, ф) = 0 и конечпости интеграла энергии деформации по области разреза. При помощи асимптотического метода "больших А = 1//3" для случая q*(p, ф) = qp>xe"1P (р > 0, 7 > 0) получено характеристическое уравнение, корни которого определяют качественное поведение функции }*{р->Ф) ПРИ /> —> 0, а также нормального напряжения вне разреза (контактного напряжения в задаче о штампе) д*(/>, ф) при р —> 0. При фиксированном угле а и А —► oo.q*(p, ф) ~ (е —* 0), что согласуется с известным результатом, полученным численным методом для задачи о клиновидном штампе угла 2-тг — 2/3 на упругом полупространстве. Апализ полученного уравнения показывает, что в контактных задачах о клиновидном штампе угла 2эт — 2/3 на упругом полупространстве и о штампе ' в виде полуплоскости с вырезанным клином угла 2(3 на грани упругого клина при малых /3 в разложении контактного давления q*(p, ф) при р —» 0 не будет осциллирующих членов порядка При фиксиро-
ванном А влияние граничных условий на одной грани упругого клина на показатель е наиболее ощутимо при малых углах 2а, когда для контакт- 1 ной задачи а е значительно возрастает.
В главе 3 изучаются пространственные контактные задачи для клина. В §3.1 для полосового в плане штампа (в (1) ft : {а < г < b, \z\ < 00}) используются метод парных уравнений при а = 0, сводящий решение задачи к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, и при а ф 0 — метод сведения к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с сингулярной матрицей, главная часть которой может быть точно обращена, и в итоге получаются уравнения второго рода, для численного решения которых примепимы известные методы. Сделан расчет коэффициента при особенности нормальных контактных напряжений на границе
области контакта г = b (а = 0).
В §3.2 область контакта Q — незаштрихованный клин угла 2/3 (рис.1). Основное внимание уделяется выделению особенностей контактных давлений в кончике штампа. Исключаются решения уравнения (1) с бесконечной энергией типа решения В.Л.Рвачева для задачи б при а — тг/4 и плоской подощве штампа. Вводятся полярные координаты г = р cos г/>, z = рsinф и новые функции ç»(/>,0) = g(r,z)0-1, Мр,ф) = f(r,z). При помощи преобразования Меллина получается одномерное интегральное уравнение. Для случая /*(р, ?/;) = fpMe~7P (fi > 6 — 1, ê > 0, 7 > 0) асимптотическое при малых ¡3 решение этого уравнения получено методом "больших А = 1//3" при условии а > /3/4. В результате возникает характеристическое уравнение, корни которого исследуются для определения особенностей функции ч*(р,ф) при р —> 0. Кроме обычных особенностей порядка р~е, е € (0; 1), доказано наличие осциллирующих особенностей р-3/2 cos(0* ln />7) и /Г3-'2 sin(0* In /ту), т.е. в окрестности вершины клиновидного штампа, выходящей на ребро упругого клина, могут нарушаться условия контакта; для задачи а частота этих осцилляций возрастает при а —+ 1/(4А) -f 0. При фиксированном значении А и а —* 1/(4А) + 0 для задачи о обнаружены особенности порядка p~~z/2~c, е £ (0; 1).
Известно (В.А.Бабешко, Е.В.Глушков и др.), что показатель особенности функции q*(p, ip) при р —> 0 связан с точками спектра интегрального оператора в одномерном интегральном уравнении контактной задачи. При не слишком малых а, ¡3 для нахождения точек спектра используется метод Бубнова-Галеркина, связанпый с нахождением корней детерминанта D(s) бесконечномерной матрицы. Если D(s^) = 0, то q(p, гр) ~ p~s, е = 3/2 -f sj; (р —> 0). В табл.3,4 соответственно для задач а, б" даны значения наибольшего показателя е в (0; 1) особенности порядка р~е в зависимости от углов а и /? (в градусах). В расчетах v — 0.3. Как показывают расчеты, для задачи а при 2/3 = тт и 2а « 100° на интервале s 6 (-3/2; -1/2) вблизи точки s = -1/2 появляются два дополнительных нуля D(s), которые, если зафиксировать а и уменьшать угол 2/3, сливаются в двукратный корень, дающий особенность вида р'е{С\ -f C^ln р), а затем сходят с действительной оси и становятся комплексно сопряженными, что приводит к осцилляциям функции контактных давлений при р —» 0 и отрыву кончика штампа. Для задачи в при достаточно острых углах а замечены нули D(s) при s G (0; 1/2), что подтверждает результаты, полученные выше асимптотическим методом. Например,
при 2а = 0.17Г, 2/3 = 45° si = 0.45, so = 0.47. Соединяясь и выходя в комплексную область, эти нули приводят к наиболее сильной особенности порядка е = u>i + iu>2 -f 3/2, 6 (0; 1/2). Сравниваются показатели особенностей для одного штампа и двух центрально симметричных клиновидных штампов на упругом полупространстве. Результаты численного метода для вещественных корней хорошо стыкуются с результатами, полученными асимптотическим методом. Однако этот метод даже для известного случая упругого полупространства не эффективен при поиске чисто мнимого корня уравнения D(s) = 0, приводящего к особенности порядка е = 3/2 + iui. Тем не менее, по асимптотическому методу для упругого полупространства при Л = 2 (угол штампа 57.3°) с точностью до 0(Л-61п3Л) о; = 4.72.
Таблица 3.
2а 45 90 105 120 135 180
2/3 = 45 2/3 = 90 2/3 = 135 0.999 0.985 0.972 0.868 0.862 0.788 0.999 0.987 0.966 0.785 0.740 0.703 0.999 0.990 0.761 0.662 0.632 0.611
Таблица 4.
2а 45 90 135 180 225 270 315
2/3 = 45 2/3 = 90 2/3 = 135 0.448 0.528 0.447 0.390 0.411 0.422 0.412 0.224 0.295 _ 0.224 0.180 0.194 0.204 0.195 0.158 0.080 0.246 0.416 0.353 0.310 0.350
Для эллиптического в плане жесткого штампа -— эллиптического параболоида в §3.3 задача решается Яри помощи асимптотического метода, эффективного при достаточной удаленности области контакта от ребра. Получены простые формулы, позволившие провести численный анализ связи между эксцентриситетом эллипса контакта и отношением радиусов кривизны штампа, между вдавливающей силой, плечом силы и осадкой и перекосом штампа.
В случае близкого подхода штампа — эллиптического параболоида — к ребру клина область контакта перестает иметь эллиптическую форму. Для этого случая в §3.4 используется метод нелинейных граничных интегральных уравнений, развитый Б.А.Галановым, позволяющий одновременно определить контактные давления и неизвестную область контакта. Предполагается, что область полностью содержится в прямоугольнике 5, две стороны которого параллельны ребру клина, с центром на оси
г и полуосями Ь и с (6 > с). Интегральные уравнение и неравенство, к которым сводится решение этой задачи, имеют вид
в-1 JK(M,N)q(N)dQN = 2тг/(М), i(M)>0, МеП,
" ' (И)
6Г1 JК(М, N)g(N)dnN > 2тг/(М), g(M) = О, М € (ЗД,
s
М = (г,z), ЛГ = (х,у), /(г,г) = 5 + 7(г-а)-(г-а)2(2й1Г1-г2(2Д2Г1.
Также предполагается, что существует ограниченная область So = {М : /(М) > 0} такая, что О С So С S. Вводятся нелинейные операторы v+(M) = sup{u(M),0}, v~(M) — inf{a(M),Q} и рассматривается операторное уравнение
2> = 0 (М € Q), Tt = ¡iv~ + 0~1Kv+ - 2тг/, /i = const, (12)
где = v±(M), j = f(M), К — интегральный оператор вида Kv+ = — f K(M, N)v+(1V") dStf. Формулируются теоремы эквивалентности (11)
и уравнения (12), существования и единственности решения уравнения (12). Для определения величин Р и if к уравнению (12) следует присоединить два интегральных условия равновесия штампа. При численном решении уравнения (12) применяется метод М.А.Красносельского, суть которого заключается в построении последовательных приближений по формулам un+1 = v„ - (Q'vn)"1 T*vn, vn = vn(M), n = 0,1,..., v0 = g, где Q — дифференцируемый оператор, хорошо аппроксимирующий оператор Т, вида (12) по равномерной метрике. Ядро интегрального уравнения контактной задачи регуляризуется как вне ребра, так и на ребре клипа. Если прямоугольник S не выходит на ребро клина, то его центр помещается в точку г = a, z = 0 и вводятся безразмерные величины и обозначения г - а = r'b, z = z'b, 6 = 6'b, А = 6/(2i?i), В = 6/(2i?2), Л = a/b, е = с/6, Р — Р'2жвЬ2, ii' —» и т.д. Эти формулы имеют место при А > е, когда прямоугольник S вытянут вдоль оси г (R\ < R^) или А > 1, когда он вытянут вдоль оси г (R\ > R^). При А < е (R\ < R%) или А < 1 (Ri > Rt) считается, что одна сторона прямоугольника находится на ребре клина и за его центр принимается точка г = с, z = 0 при R\ < или точка г = b, z = 0 при R\ > R4. В этих случаях используются те же обозначения с заменой первого на г —с = г'Ь при R\ < или на r — Ъ ~ г'Ь при Ri > R'2- Штрихи опускаем. Для отладки созданной компьютерной программы использовались известные точные решения контактных за-
дач для полупространства и найденные в §3.3 асимптотические решения. Численный анализ проводится для задачи а при v = 0.3 и двух ориен-тациях штампа относительно ребра клипа. В силу регуляризации ядра значение Л = 0 отвечает случаю, когда точка первоначального касания штампа и клина "почти" выходит на ребро. Показано, что при 2а та 90° значение Р — Р(ё) при Л —> 0 мало зависит от того, вдоль какой из осей координат (г или z) вытянут эллиптический параболоид. При острых углах раствора клина легче вдавить вытянутый вдоль ребра штамп, а при тупых углах — вытянутый перпендикулярно ребру клина. Вблизи ребра сохраняется известная для задачи Герца зависимость 6 ~ Р2/3. На рис.2,3 заштрихованы верхние половины областей контакта Г2 для углов 2а = 65° (рис.2) и 2о = 135° (рис.3). При этом е = 0.15, S = 0.005, 7 = 0, А = 0.1, В = 0.005; при Л = 0 граница области Q показана сплошной линией, а при А = е — пунктиром. При 2а = 65° площадь области П значительно меньше, чем при 2а = 135° (этот факт имеет место и в случае А < В). Для достаточно острых углов 2а и А —> 0 наблюдается эффект нарушения контакта в окрестности точки первоначального касания (ребро как бы отходит), особенно при вытянутости штампа вдоль ребра.
2 1
////?£ .- /УрУ '
—е 0 г е —е Ore
Рис. 2. Рис. 3.
После решения контактной задачи при знании функции q(r, z) и площадки контакта П возможно определение играющего важную роль в приложениях (расчет зубчатых передач Новикова) безразмерного эффективного напряжения сг'е = стР/(2х(?). В качестве примера в рамках понятия поверхностной прочпости определяется а'е в точке первоначального касания г = ао, z = 0 (ао = А — е при А < е и Ri < R2; «о = Л — 1 при А < 1
и > л2; в других случаях а о = 0) по формуле (штрих опустим)
- [(<71 - + (<т2 - аз)2 + («7! - аз)2]1/2,
где ¿г„ (га = 1,2,3) — главные напряжения. Расчеты показывают, что вблизи ребра зависимость ае от 6, а также от Л может быть немонотонной. Для острых углов раствора клина эффективные напряжения менее опасные, чем для тупых углов, что объясняется большей податливостью упругого клина в окрестности ребра (осадка же вблизи ребра растет с уменьшением а). При тг/2 < 2а < тг максимум поверхностного эффективного напряжения в точке первоначального контакта как функции параметра Л достигается вблизи ребра либо на самом ребре клина (Л —► 0), где следует ожидать наибольшего выкрашивания зубчатой передачи. На рис.4,5 приведены характерные графики зависимости <те в точке начального касания от Л при 2а; = 110°, е = 0.15, 7 = 0 и 103А = 4.8, 103_В = 48 (рис.4, подход к ребру большей полуосью) или 10^А = 48, 10:'-В = 4.8 (рис.5, подход к ребру меньшей полуосью), а также при постоянной вдавливающей силе 103Р = Р, = 0.374 (сплошная линия), 103Р = 1.5Р* (мелкий пунктир), 103Р = 2Р„ (крупный пунктир). Из рис.5 видно, что при вытянутости штампа вдоль ребра для появления вблизи ребра локального максимума функции сге(А) требуется достаточно большая сила Р (при этом абсолютный максимум имеем на ребре клина). При тех же параметрах задачи у зависимости нормального контактного давления до(А) в точке начального касания локальных максимумов не наблюдается.
104
Ю Ч
1.5-
/ \
0.5-
0.5 -
0.25 0.5 А Рис. 4.
0 0.075 0.15 А - . Рис- 5.
В §3.5 изучаются плоские контактные задачи для бесконечного (асимптотические методы "больших и малых Л", безразмерный параметр Л характеризует относительную удаленность области контакта от ребра клина; замкнутое решение интегрального уравнения при специальной аппроксимации функции-символа его ядра) или усеченного (конечного, метод однородных решений) клина. Сингулярный асимптотический метод "малых Л" модифицируется для случая символа ядра типа сШ (одна грань клина свободна от напряжений или лежит без трения на недефор-мируемом основании). Рассматривается случай параболического штампа и строятся ограниченные решепия для бесконечного клина. Численный анализ показывает смыкание разных асимптотических решений в пределах их точности в определенных диапазонах Л, зависящих от угла клина 2а. При решении контактных задач для усеченного клина можпо использовать полученные решения аналогичных задач для бесконечпого клина, а для удовлетворения граничных условий па линии усечения, близкой к канонической, предлагаются методы наименьших квадратов и коллока-ций.
Глава 4 посвящена пространственным контактным задачам для упру-, гого конуса. При помощи разложения векторных функций по полной системе векторных гармоник на поверхности конуса с использованием интегрального преобразования Меллина и ряда Фурье в §4.1 выводится интегральное уравнение контактной задачи для пространственного конуса. Используются сферические координаты р, т], гр. Для осевой симметрии находятся однородные решения для конуса, включая корни характеристического уравнения при разных углах конусности 2а, полезные при решении контактных задач для усеченного конуса. Затем рассматриваются задачи о взаимодействии конуса с жестким. (§4.2) или деформируемым (§4.3) кольцевым бандажом (асимптотические методы "больших и малых Л", параметр А характеризует относительную удаленность бандажа от вершины конуса). Численный анализ" свидетельствует о смыкании разных асимптотических решений в определенном диапазоне значений Л, зависящем от а. ; .-
Контактная задача о вдавливании без трения системы N периодически расположенных одинаковых клиновидных штампов угла раствора 2/3 (/3 < к/М) в упругий конус угла 2а (вершины штампов и конуса совпадают) изучается в §4.4. В расчетах N = 1,2. После использования преобразования Меллина получается одномерное интегральное уравнение.
26.9.
Исключаются решения с неограниченной энергией. Следуя методике,
развитой в §3.2, находится асимптотическое решение этого уравнения для малых углов штампов. Анализ нулей характеристического уравнения позволяет описать поведение функции контактных давлений (¡{р. ф) в кончиках штампов. Как и в §3.2, 11,2 / здесь независимо от формы основа-
ния штампа в асимптотическом разложении функции q{p,'ф) при р —> О
4
7 к
имеются члены порядка р
ггш-3/2
Рис. 6.
(осцилляции) и />~£, £■ £ (0; 1). Исследуется влияние степени конусности упругого тела на показатели ы и е
при фиксированном достаточно малом ¡3. На рис.6 приведена зависимость частоты осцилляции штампа и (Лг = 1) от угла а = тг/с/8 (/3 = 0.2, и = 0.3); пунктирная линия соответствует такой же задаче для пространственного упругого клина угла раствора а (§3.2). Если частота осцилля-ций клиновидного штампа на упругом клине мало зависит от угла раствора последнего, то для упругого конуса частота имеет минимум при а — 7г/2 (полупространство), причем при а = тг/;/8 и а = тг — жк/&, к — 1,2,3 различие соответствующих значений А не превышает' 3%. Расчеты показывают, что при фиксированном малом угле /3 и уменьшении угла а возникают дополнительные осцилляции штампа. При N = 2 и малых углах штампов качественная картина не меняется по сравнению с описанной выше.
При не слишком малых углах ¡3 для анализа асимптотики функции контактных давлений в вершине клина применяется численный метод поиска спектра интегрального оператора, уже опробованный в §3.2. Если при я = в); детерминант бесконечномерной матрицы обращается в нуль, то </(/?, ~ р~е, £ = 3/2 + вк при р —» 0. В табл.5 и 6 при N = 1 и N = 2 соответственно даны значения наибольшего показателя особенности е, соответствующего вещественным нулям я £ (-3/2;—1/2) в зависимости от углов а = тгт/8 и /3 = тгп/8 при V = 0.3. Для случая N = 1 при небольшом отклонении угла конуса 2а от 7г (от полупространства) в ту или другую сторону и фиксированном /3 из точки .ч = —1/2
появляется новый нуль функции О(я), дающий более сильную особенность функции q(p, ф) при р —> 0, чем тот корень уравнения = 0 в интервале в £ (-3/2; -1/2), который был единственным при 2а = тт. При дальнейшем плавном изменении а этот нуль меняется непрерывно, давая значения показателя особенности е, приведенные в табл. 5. При N = 1 для углов /5, близких к 7Г, и значений а — тгт/8, ш = 2,3,5, б появляется двукратный корень уравнения В{в) — 0. Возникающая при этом особенность может приводить к смепе знака функции контактных давлений при р —► 0, т.е. к отрыву кончика штампа. При N = 2 и 2а > ж (конусообразная воронка) наблюдаются более сильные, чем при 2а < ж, вещественные особенности функции контактных давлений, а также кратные корни. В целом, как видно нз сравнения таблиц 5, 6, при N — 2 вещественные показатели особенности более слабые, чем при N = 1.
Таблица. 5.
\ т п\ 1 2 3 4 5 6 7
1 0.999 0.999 0.999 0.788 0.999 0.999 0.999
2 0.989 0.991 0.999 0.703 0.998 0.998 0.999
3 0.938 0.951 0.996 0.611 0.994 0.992 0.997
4 0.798 0.848 0.989 0.500 0.983 0.976 0.989
5 0.551 0.665 0.980 0.357 0.966 0.944 0.973
6 0.266 0.463 0.971 0.184 0.945 0.899 0.950
7 0.065 0.375 0.965 0.043 0.930 0.860 0.936
Таблица, б.
\т п\ 1 2 3 4 5 6 7
1 0.602 0.567 0.524 0.528 0.704 0.882 0.973
2 0.366 0.335 0.294 0.295 0.577 0.822 0.956
3 0.116 0.104 0.087 0.080 0.488 0.772 0.938
В §4.5 исследуется контактная задача с неизвестной областью контакта о вдавливании без трения жесткого штампа — эллиптического параболоида в упругий конус. В отличие от упругого клина здесь отмечается проблематичность точного выделения всех особенностей ядра интегрального уравнения контактной задачи вне вершины конуса. Для приближенного решения интегрального уравнения при достаточной удаленности области контакта от вершины конуса применяется метод нелинейных граничных уравнений, использованный в §3.4. Приводятся графики
вдавливающей штамп силы при постоянной осадке штампа и осадки при постоянной силе в зависимости от удаленности штампа от вершины конуса при разных а, графики зависимости момента силы от а при отсутствии перекоса штампа. Определяются границы неизвестных областей контакта. При приближении штампа к вершине конуса острого угла раствора площадь области контакта уменьшается, а осадка при постоянной вдавливающей силе увеличивается.
В главе 5 изучаются контактные задачи для цилиндрических тел. В §5.1 рассматриваются трехмерные задачи теории упругости о действии нормальной нагрузки на бесконечный цилиндр и пространство с цилиндрической полостью. Построены осесимметричные однородные решения, нужные при решении контактной задачи для усеченного (конечного) цилиндра, рассчитаны корни характеристического уравнения.
В §5.2 для решения известных задач о взаимодействии жесткого бандажа с упругим бесконечным цилиндром и жесткого вкладыша с упругим пространством, имеющим цилиндрическую полость, предлагаются легко факторизуемые аппроксимации символа ядра интегрального уравнения, позволяющие получить эффективные решения по асимптотическому методу "малых А". Безразмерный параметр А характеризует относительную толщину цилиндра'. Эти аппроксимации могут быть использованы и при решении аналогичных контактных задач для конических тел. Также указанные две задачи решены асимптотическим методом "больших А". В итоге получено решение во всем диапазоне изменения А. Произведены расчеты. . „.. .
В §5.3 изучается осесимметричная контактная задача о взаимодействии цилиндра радиуса Я с двумя одинаковыми деформируемыми бандажами. Область контакта описывается неравенствами Ь < \г\ < а, ось л направлена по оси цилиндра. При специальной аппроксимации символа ядра интегрального уравнения контактной задачи его решение Получается в замкнутом виде и имеет относительную погрешность 13%. Затем задача решается асимптотическим методом "больших А". "Устанавливается, что взаимовлияние бандажей ослабевает с уменьшением относительной толщины цилиндра А = Да-1 при неизменном к = 6 а-1. Для решения задачи в случае относительно широких банд ¿шей рассматривается вспомогательное интегральпое уравнение, соответствующее задаче о двух полубесконечных бандажах на цилиндре. Затем строится решение для двух конечных бандажей относительной ширины 1 — к, если вели-
чина (1 — &)А-1 достаточно велика. В заключении §5.3 излагается метод ортогопальных мпогочленов, также пригодный для решения задачи. Приводятся результаты расчетов.
Контактная задача о периодической системе деформируемых или жестких бандажей на цилиндре при осевой симметрии анализируется в §5.4. Для деформируемых бандажей излагаются метод ортогональных многочленов и метод сингулярных интегральных уравнений, работающий в отличие от предыдущего при любых значениях параметров двухпараметри-ческого интегрального уравнения задачи. При специальной аппроксимации символа ядра интегрального уравнения задачи решение получается в замкнутом виде с относительной погрешностью 13%. В случае жестких бандажей указанные методы оказываются неэффективны, предлагается метод парных уравнений, приводящий к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода, для решения которой применим метод редукции. Даются результаты расчетов.
В §5.5 в цилиндрических координатах г, г рассматривается осесимме-тричная задача о взаимодействии без учета сил трения конечного (усеченного) упругого цилиндра радиуса Д с жестким цилиндрическим бандажом, посаженным с натягом ¿(г) = 6 (|г| < а; ось г направлена по оси цилиндра). Торцы цилиндра симметричны и описываются гладкой функцией г = ±/(г), при 1{г) = I имеем цилиндр длины 21 с плоскими торцами. Ставится два варианта граничных условий на торцах цилиндра: а) жесткая заделка и б) отсутствие напряжений. Для определения неизвестных напряжений в области контакта аг = — д(г) (г = Я, \г\ < а) применяется метод однородных решений. Удобство метода состоит в том, что при решении интегрального уравнения, в левой части которого находятся однородные решения, можно использовать развитые для бесконечного цилиндра асимптотические методы (§5.2). Для удовлетворения граничных условий на торцах цилиндра применяется метод наименьших квадратов, эффективный, когда кривая, по которой усекается упругое тело, близка к канонической. Бели же торцы цилиндра в значительной степени неплоские, то для удовлетворения граничных условий следует применять метод наилучшего приближения в смысле Чебышева, который, однако, алгоритмически гораздо сложнее. Расчеты сделаны для случая плоских торцов. Вводятся безразмерные величины <р(х) — д(г)9~1, в = С(1 — и)'1, х = го-1, А = До-1, ¡1 = Га-1, / = 6а"1. На рис.7 приведен график контактных давлений tfi(x)f~1 при А = 1 и ц — оо (сплошная линия), ц 1.1
(мелкий пунктир, вариант а; крупный пунктир, вариант 6). Видно, что для варианта а вблизи концов области контакта могут возникать участки
P{x)f
-1
-1
"о1-
Рис. 7.
1 х
падения контактного давления, что может приводить к ослаблению контакта. Ослабление контакта уменьшается, если, зафиксировав значения длины области контакта и радиуса цилиндра (значение Л), увеличивать длину цилиндра (значение /¿); либо при фиксированных значениях длин области контакта и цилиндра (// фиксированно) уменьшать радиус цилиндра (значение Л), при этом
влияние торцов на распределение контактных давленый значительно ослабевает. Находится связь между натягом и интегралом от функции q(z) по области контакта (интегральной характеристикой). Аналогично может быть решена контактная задача для полубесконечного цилиндра.
Геометрическое преобразование инверсии в пространстве связывает клин и сферическую линзу. В главе 6 показывается, что схожи и математические ■ методы решения задач теории упругости для этих тел. В §6.1 метод сведения задачи теории упругости к обобщенной но И.Н.Векуа краевой задаче Гильберта распространяется на смешанную пространственную задачу для усеченного шара, сферическая поверхность которого ¡жестко защемлена, а на срезе заданы нормальные напряжения, а также на аналогичную задачу для полупространства со сферической выемкой или выступом. Используется обобщенное комплексное интегральное преобразование Мел ера- Фока и тороидальные координаты '//, <р, причем Г) = const — уравнения поверхности тела. Системы функциональных уравнений этих задач преобразуются к системам сингулярных интегральных уравнений. Излагаемая методика применима к исследованию задач для произвольной упругой сферической линзы, т.е. тела, образованного пересечением двух сфер разного радиуса.
Затем рассматриваются пеосесимметричная контактная задача о вдавливании кругового в плане штампа в срез усеченного шара (§6.2) и осе-снмметричная контактная задача о вдавливании кольцевого штампа в плоскую часть поверхности полупространства, имеющего жестко защемленную сферическую выемку иДи выступ (§6.3). Интегральные урав-
нения этих задач сводятся при помощи метода парных уравнений к интегральным уравнениям Фредголъма второго рода. Приводится следующий численный пример. Пусть R — радиус усеченного шара, Rt — радиус среза (ту = 0), RtR~l = sin а. В условиях осевой симметрии по координате ip функция нормальных коптактаых давлений под штампом az(í;,0,<¿>)9~1 = --ф{£)(сЪ.£ 4- I)3/2 (9 — контактная жесткость, координата £ отпесепа к Rz = 0 — уравнение среза в цилиндрических координатах). Пусть отнесенная к Rt осадка плоского штампа — 6, а область контакта — круг £ < Ь. В табл. 7 даны значепия коэффициента при особенности функции контактных давлений в точке £ = 6 lim v'ch b — сЪ£ф({;)6~1 = к (£ —> b) при разных Ъ и углах а = тгп/6, характеризующих степень усеченпости шара (у = 0.3).
Таблица 7.
п 1 2 3 4 5 6
6—0.1 6=1 6=2 0.300 0.302 0.312 0.324 0.324 0.325 0.240 0.146 0.194 0.347 0.350 0.359 0.0943 0.0757 0.127 0.310 0.344 0.359
Отпошение размерного радиуса круговой области контакта к радиусу сечения i?» при 6 = 0.1 равно 0.050, при b = 1 — 0.462, а при 6=2 — 0.762. Расчеты показывают, что при дальнейшем увеличении b значение к может менять знак, т.е. упругая среда шара может отходить от кромки штампа. Это происходит, например, при b = 3 (размерный радиус области контакта равен 0.905 R») и а = 7г/6.
В §6.4 рассматривается плоская контактная задача для круговой лунки, т.е. тела, образованного пересечением двух окружностей (преобразование инверсии клипа па плоскости). Используются биполярные координаты. Как и для плоского упругого клина, здесь удается получить точную функцию Грина для последующего решения коптактпой задачи. Однако для этого после применения комплексного интегрального преобразования Фурье приходится решать функциональное уравнение со сдвигом. Для решения интегрального уравнепия контактной задачи применяется асимптотический метод, эффективный для относительно удаленной от угловых точек области контакта. Приводятся численные результаты.
В главе 7 исследуются смешанные задачи для тонких пластин Кирхгофа-Лява и для толстых плит на упругом основании. Изучаются задачи о вдавливании одного включения в виде ребра жесткости (§7.1) или двух
таких включений (§7.2) в бесконечную пластину, лежащую на основании Винклера. Из свойств ядер интегральных уравнений этих задач следует, что их решения имеют неинтегрируемые особенности. В случае одного включения применяются асимптотические методы "больших и малых Л" (безразмерный параметр X характеризует жесткость пластины относительно жесткости основания). Вычисляются изгибающие моменты Мх и Му. Как показывают расчеты, проведенные при разных А > 0, на любом луче, выходящем из начала координат (центра включения), Мх, Му имеют бесконечное число локальных максимумов, затухая на бесконечности. Как правило, абсолютный максимум — первый или второй локальный. Могут быть построены эпюры равных максимальных моментов, близкие по форме к дугам эллипса. Сечения пластины по этим контурам наиболее опасны при проектировании конструкций. Вдоль ребра изгибающие моменты значительно больше, чем на линии, ему перпендикулярной. В §7.2 путем обобщения метода "больших А" впервые строится асимптотическое решение интегрального уравнения на двух участках в классе функций с неинтегрируемыми особенностями. Находится главный член асимптотики решения интегрального уравнения для двух включений при малых А. Рассчитываются усилия и моменты, приложенные к включениям, изгибающие моменты в окрестности включений, исследуется вопрос о взаимовлиянии включений. В §7.3 рассматривается задача о вдавливании ребра жесткости в клиновидную пластину при разных граничных условиях на ее краях. Здесь, предлагаются простые специальные аппроксимации символов ядер возникающих интегральных уравнений, приводящие к замкнутым решениям. При этом интегральное уравнение, в частности, сводится к интегральному уравнению на двух участках, имеющему точное решение. Приводятся примеры, когда задача имеет точное решение, результаты расчетов.
В §7.4 при помощи метода нелинейных граничных интегральных уравнений проводится численный анализ пространственной контактной задачи с неизвестной областью контакта для двухслойного основания (слой толщины Л с упругими характеристиками ь^, сцепленный с полупространством (£?2, ^г))- Штамп — эллиптический параболоид /(х,у) = = х1/(2Кх) + у2/(2Д2) — под действием центрально приложенной силы Р внедряется без перекоса на величину 6. Пусть область контакта содержится в прямоугольнике 5 : {|ж| < а, |у| < Ь}. Вводятся безразмерные обозначения х' = хЬ~\ у' — уЬ-1, 6' = ¿1Г1. А = ЛЬ-1, е = аЬ-1,
1.0
А = b(2Rl)-\ В = b(2R2)-\ Р' = Р(2тгв1б2)"1, 0i = Gi(l - I/O"1 и т.д. В расчетах полагалось А = 0.002, В = 0.001, е = 0.8. Рассматривались 4 случая двухслойного основания: 1) сталь на латуни; 2) латунь на стали; 3) бетон на замороженном песке; 4) бетон на глине. Значения модуля Юнга Е (104кг/см2) и коэффициента Пуассона v брались: для стали Е = 200, v = 0.28; для латуни Е — 90, v = 0.35; для бетона Е = 20, v = 0.17; для замороженного песка при —10°С Е — 1.5, v — 0.30; для глины Е = 0.077, v = 0.17. На рис.8 для случаев 1-4 при Л = 1/4 S = 0.001 показана граница четверти области контакта. На рис.9,10 соответствеппо для случаев 1, 2 показана зависимость силы от осадки при разных Л. Когда контактная жесткость слоя больше жесткости полупространства, область контакта и сила уменьшаются с уменьшением относительной толщины слоя. Если же жесткость полупространства превосходит жесткость слоя, то, наоборот, следует ожидать увеличение области контакта и силы с уменьшением Л. 2.4Г
3.5
у' 1 / 2 t
\ \=оо
к
'V 3 -—-4 \w х'
Ф
Рис. 8.
0.9
0.6
0.3
Р'103 А=2 ч \ , J/,
А = 1 \ у//
А = 1/4 ¿'10:
1.6
0.8
Р'103 Â
А = 1 \ \ W
А = 2 <5'10:
0
1 2 Рис. 9.
3
0
1 2 Рис. 10.
В приложении изучается контактная задача о движущемся штампе с счетом тепловыделения от трения между штампом и упругой полосой юлыиой толщины. При решении несвязанной квазистационарпой задачи ^ермоупругости в подвижной системе координат предполагается зависи-юсть коэффициента трения от температуры. Основное внимание уде-гается вопросу о возможности теплового взрыва или резкого изменения
(бифуркации) контактных температур. Показано, что потеря квазистационарной термоупругой устойчивости происходит, если коэффициент трения линейно возрастает с увеличением температуры. Предлагаемая модель в первом приближении может объяснять лавинообразный износ различных движущихся деталей, например тонких поршневых колец, вызванный их перегревом.
Заключение
В работе поставлен и решен ряд статических, в основном пространственных, контактных и смешанных задач теории упругости для тел сложной геометрии, а также теории изгиба тонких пластин.
Основные научные результаты:
1. Путем применения комплексного интегрального преобразования Конторовича-Лсбедева и решения обобщенных по И.Н.Векуа краевых задач Гильберту в аналитическом виде (ряды по степеням 1-2^; и — коэффициент Пуассона) получены функции Грина для трехмерного упругого клина при разных .граничных условиях на одной его грани (отсутствие напряжений, скользящая или жесткая заделка). Как частные случаи отсюда получаются решения задач Хетени для упругого четвертьпростран-ства и Буссинеска и Черрути для полупространства.
2. Используя известную связь между интегральными уравнениями контактных задач и задач о разрезах (трещинах), а также при помощи решения вспомогательной обобщенной по И.Н.Векуа краевой задачи Гильберта, доказана теорема об обращении комбинации интегральных операторов, входящих в функцию Грина для клина, одна грань которого свободна от напряжений. Затем впервые изучены трехмерные задачи об эллиптическом, клиновидном (асимптотические методы) и полосовом (метод парных уравнений) разрезах в срединной полуплоскости клина произвольного угла раствора при разных условиях на его гранях, сделан расчет коэффициентов интенсивности напряжений. Упомянутая теорема также позволила эффективно решить контактную задачу для полосового штампа, выходящего на ребро клина, одна грань которого свободна от напряжений.
3. На основе полученных интегральных уравнений впервые исследованы трехмерные' контактные задачи о взаимодействии упругого клина
произвольного угла раствора со штампом — эллиптическим параболоидом (асимптотический метод, штамп досаточно удален от ребра клина), полосовым (методы бесконечных систем и парных уравпепий) и клиновидным (асимптотический и численный методы) штампами. Показана невозможность осуществления полного контакта между жестким клиновидным штампом достаточно острого угла раствора и упругим клином (вершипа штампа выходит на ребро упругого клина): в вершине штампа возникают осцилляции контактных давлений определенной частоты. Между тем, как показывает анализ задачи о клиновидном разрезе малого угла раствора в срединной полуплоскости клина, таких осцилляций не наблюдается в вершине штампа, занимающего в плане всю грань клина г клиновидным вырезом малого угла (угла разреза), а также в вершине штампа, лежащего на упругом полупространстве, когда область контакта з плане — плоскость с клиновидным вырезом малого угла.
При подходе штампа — эллиптического параболоида близко к ре-эру клина использован численный метод нелинейных граничных интегральных уравнений, позволяющий одновременно определить неизвестные контактные давления и область контакта. Сделан расчет эффектив-аого напряжения в точке начального касания. Численный анализ этой задачи позволил уточнить методику расчета на контактную прочность зубчатых передач Новикова.
Для решения плоских контактных задач для бесконечного клина раз-зиты асимптотические методы, а в случае конечного (усеченного кли-1а) — метод однородных решений.
4. Впервые получено интегральное уравнение пространственной контактной задачи для упругого конуса и при осевой симметрии найдены однородные решения для конуса, позволяющие решать задачи для усеянного конуса. Рассмотрены задачи о взаимодействии конуса с жестким 1ли деформируемым кольцевым бандажом (асимптотические методы), 1ериодической системой жестких клиновидных штампов (асимптотиче-;кий и численный методы), с жестким штампом в форме эллиптического гараболоида (неизвестная область контакта, метод нелинейных гранич-1ых интегральных уравнений).
5. Для решения задач о взаимодействии жесткого бандажа с упру-тш бесконечным цилиндром и жесткого вкладыша с упругим пространном, имеющим цилиндрическую полость, предложены легко фактори-(уемые аппроксимации символа ядра интегрального уравнения, позво-
ляющие получить эффективные решения по асимптотическому методу "малых А". Изучены контактные задачи о двух деформируемых (асимптотические методы), а также о периодической системе деформируемых или жестких бандажей на цилиндре (методы ортогональных многочленов, сингулярных интегральных уравнений, парных уравнений). Рассмотрена контактная задача для цилиндра конечных размеров (метод однородных решений).
6. На основе обобщенного комплексного интегрального преобразования Мелера-Фока и анализа обобщенных по И.Н.Векуа краевых задач Гильберта развита методика решения пространственной задачи для упругой сферической линзы. Исследованы контактные задачи для линзы и полупространства со сферической выемкой или выступом (метод парных уравнений).
Рассмотрена плоская контактная задача для круговой лунки.
7. Путем обобщения асимптотического метода, впервые найдено решение интегрального уравнения на двух участках с неинтегрируемыми особенностями, соответствующего контактной задаче о вдавливании двух ребер жесткости в бесконечную пластину на упругом основании. Изучены контактные задачи для клиновидных пластин. Здесь предложены новые простые аппроксимации символов ядер интегральных уравнений, позволяющие получить решение в замкнутом виде. ,
Решена трехмерная контактная задача для двухслойного основания (слой на полупространстве) с неизвестной областью контакта (метод нелинейных граничных интегральных уравнений).
8. Рассмотрена контактная задача о движущемся штампе с учетом тепловыделения от трения. Показано, что потеря термоупругой устойчивости (тепловой взрыв, бифуркация) происходит, если коэффициент трения линейно возрастает с увеличением температуры.
По теме диссертации сдана в издательство монография (издательский грант РФФИ № 95-01-00036-6):
Александров В.М., Пожарский Д.А. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел. М.: Факториал, 1998.
Основное содержание диссертации изложено в работах:
1. Пожарский Д.А. Контактная задача теории упругости для пространственного несжимаемого клина // Вестник МГУ. Сер. Мат.
Мех. 1988. № 5. С. 78-81.
2. Пожарский Д.А. Смешанные задачи изгиба пластин на упругом основании // Тез. докл. IV Всес. конф. "Смешанные задачи механики деформируемого тела". Одесса. 1989. Ч. 2. С. 56.
3. Пожарский Д.А. Об эллиптической трещине в упругом пространственном клипе // Изв. РАН. MTX 1993. № 6. С. 105-112.
4. Пожарский Д.А. К задаче о действии полосового штампа на упругий пространственный клин с одной свободной от напряжений гранью // Прикл. механика. 1994. Т. 30. № 5. С. 32-42.
5. Пожарский Д.А. О пространственной задаче для упругого клина, имеющего полосовой разрез // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 5. С. 148-153.
6. Пожарский Д.А. О пространственной контактной задаче для упругого клина с неизвестной областью контакта // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 5. С. 812-818.
7. Пожарский Д.А. О пространственной контактной задаче для упругого конуса // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 4. С. 51-60.
8. Александров В.М., Пожарский Д.А. Интегральное уравнение контактной задачи теории упругости для пространственного несжимаемого клина // Тез. докл. Респ. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения". Одесса. 1987. Ч. 1. С. 8-9.
9. Александров В.М., Пожарский Д.А. Об одной контактной задаче для упругого клина // ПММ. 1988. Т, 52. Вып. 4. С. 651-656.
10. Александров В.М., Пожарский Д.А. Действие полосового штампа на упругий несжимаемый пространственный клин // Прикл. механика. 1989. Т. 25. № 8. С. 19-26.
11. Александров В.М., Пожарский Д.А. Некоторые смешанные задачи теории изгиба пластин на упругом основании // ПММ. 1990. Т. 54. Вып. 1. С. 80-85.
12. Александров В.М., Пожарский Д.А. Смешанные задачи изгиба клиновидных пластин // Труды XV Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Казань. 1990. Т. 1. С. 462-469.
13. Александров В.М., Пожарский Д.А. О контактных задачах для клиновидных пластин // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 1. С. 142-147.
14. Александров В.М., Пожарский Д.А. Действие полосового штампа на упругий пространственный клин // Прикл. механика. 1992. Т. 28. № 1. С. 56-62.
15. Александров В.М., Пожарский Д.А. Ghконтактных напряжениях-в вершине клиновидного штампа, выходящей на ребро упругого пространственного клина // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 1. С. 135-141.
16. Александров В.М., Пожарский Д. А. Об осесимметричной контактной задаче теории упругости для усеченного шара // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 2. С. 305-311.
17. Ворович И.И., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Задача термоупругости о движущемся штампе при учете тепловыделения от трения // ПММ. 1994. Т. 58. Вып. 3. С. 161-166.
18. Короткии В.И., Пожарский Д.Ас Вдавливание штампа в упругий пространственный клин как модель контактного взаимодействия зубьев зубчатых передач // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1996. № 3. С. 107-113. ."->
19. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Пространственные контактные задачи для упругого клина // Отчет о нир. Разработать методы и исследовать прикладные задачи контактного взаимодействия с учетом ограниченности размеров контактирующих тел, предварительного напряжения, неоднородности материала и наличия дефектов. № гос. регистр. 0187.008.7814. НИИМ и ПМ при РГУ. Ростов-на-Дону, 1990. С. 31-65!
20. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Действие эллиптического в плане штампа на упругий пространственный клин // Тез. докл. выездной сессии Межвед. научного совета по трибологии. Ростов-на-Дону. 1990. С. 68.
21. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Обобщение задач ^у$синеска и Черрути для случая упругого пространственного клина // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 1. С. 58-62.
22. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Пространственные контактные задачи для упругого клипа // Аннот. докл. VII Всес. съезда по теоретич. и прйкл. механике. М., 1991. С. 232-233.
23. Лубягин И.А., Пожарский Д.А., Чебаков М.И. Внедрение штампа в форме эллиптического параболоида в упругий пространственный клин // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 2. С. 286-295.
