Интегральные уравнения и матрицы Грина метода элементов влияния в механике деформируемых тел тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На пр; 3 эх рукописи УДК Б39.3

ШЕРЕМЕТ ВИКТОР ДМИТРИЕВИЧ

МШ'ШЬШЕ УРАВНЕНИИ И МАТРИЦУ ГРША МЕТОДА ЭЛЕМЕНТОВ ВЛИЯНИЯ В МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ

Спэцлаяьяость: 01.02.04 - кэхавяка тфорщ. ътгв тезрял-о г»лЧ

АВТОРЕФЕРАТ дкивртдам на соноканя» гюной ствпорн докторе хавшнггат фязнко-ивтематггчвских наук

¿•аЗага выполнена в. Аграрной Государствэннои Уйиээрскгете Иа-лдозы а г. Тшшичаокои Ундвврситэго Иоддош

Научный консудьтодт

доктор хазцдктст Физика-математически* наук, профессор В.Ю.1!эрцша \ .

Официальные оппоненты: Ю.Н.Шзвченко,

члэн-корр. ¿II Укрзжы, , доктор хебилитат технических.наук, профессор.

П.П.Теодорес* у, доктор хабидигат физико-матеьгатичесщя наук, профессор.

В.Г.ЧзбаНг ' доктор хабилэтат физико-ыатеиатичзсюк наук, профессор.

Ваидага состоится"" ьч>н я 1995 в № — па ваоеданвд сщцаализироьйЁюх-о Совета ДН-05.83.<Д? при Техническом Унжяр-сетете ыоддоеы по адрэсу: г.Кишинев, бульвар Дачия, 41.

0 диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Техннлзского Университета Молдовы: г.Кишинев, ул.Студэнчаокая, 9/8, корп.б.

Просим Вас принять участив в эащете и направить отзыв ю адресу: 277060, г.Кишинев, бульвар Дачия,,41.

Автореферат разослан » Мхь^ 1995 г.

Ученыа секретарь специализированного Совете доктор 1в1лических наук . \ А.И.Иоян

------------------------------ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА-РАБОТЫ------------------

Актуальность теш. Развитие различных областей совремечроч техники трзбуот развитие и создаю© адекватных математическ!« но -тодов решения граничных задач механики деформируемых твердых те. .

В отличие от плоской задачи рвпюкиэ пространственных задач дакз в линойиой постановке классической теории ."пруг^стк встречен и по настоящее время серьезные трудности. К м?т"оящвму времени еще пз создзез одетая теория ш метод и'- проптранстяпни1>пс

задач. Однако спи встрэтгятсл повсюду, постольку все г?-<:у'»и, возникающие в инженерной практшее ла;:>стгсл, по сути, пространственными. Поэтому расработка эффективных методов решения пространственных задач теории упругости и других теории механики деформируемых твердых тел является а:ггуальной научно-технической проблемой.

Для решения пространственпых задач в настоящее время прико-пяэтея различимо математически »«втода, хорошо издоданнка в фундаментальней научных работах: метод общих рошни* - в лассичес^оа монографии Л.Е.Х.Лява, в книгах А.И.Лурье и ¡0,А.Пруткова и в монографии П.П.Теодореску; метод комплексных переменных - в монографии

A.Я.АЛоКсэ^роза и Ю.И.Соловьева; метод интегральных преобразований - в-монографиях Н.Н./дабедева и Я.С.Уфлянда; метод собствениш мкторяых функций - в монографиях А.Ф.Улитко И В.Т.ГрИЯЧОНКО; гвтод разделения переменных и метод однородных рошош'.г - в кг-яо-графиях А.И.Лурье» В.1.Грипчвнко, Ю.Н.Додэльчука;.. вариационныз методы' - в работах и монографиях И.Г.Бубнова,' Б.Г.Галеркина, Л.В.Кантаровича, М.В.Келдыша, Н.М.Крылова, С.Г.Михлина,' Б.Ритца, С.П.1имошвнко, М.М.Фодювенко-Бородач, В.Н.Иок/па и П.М.Огг^алова; метод к-функций - в монографиях.В.Л.Евачева; котод упругих потенциалов - в монографиях В.Д.Купрадзе и учеников его 1лк0лы, в книгах

B.З.Партона и П.И.Берлина, В раЗоТах О.Д.Копешша, В. А.Мельникова . и др.; котоды конечных элементов и конечных разностей - в монографии Н.Ф.ОгиЗалова, Л.К.Савельева, Х.С.Хазанова, в монографии С'.К.Годунова и В.С.Рябвяькова и др.

Теория регулярных линейных интогралышх урашзкка была разработана Фредголшом, Вольтера, Трикоми и др. Теория сингулярных ливэйеых иггогральньос уравнений разработана я изложена в монографиях и реботах Н.П.Векуя, В.Д.Купрадав, С.Г.йихлина, Н.Н.Иусхо-

¿штили и яр. Численные методы решгтпя интегральных регулярных уравнение представлены в справочнике А.Ф.Верлаяь и В.С.Сизикова, Численныа метода сингулярных интегральных уравнения представлены в монографии В.З.Партона и П.И.Пзрлина и в монографии В.А.Золота-ревспого.

Особое место в м~хашам деформируемых твзрдах тел заншащ контактныв\и смешанные задачи, методы решения которых представлены в монографиях и работах В.А.Александрова, В.А.Бабеико, Н.И.Еоро-вича, А.НЛ'узя, Л.А.Галина, В.И.Мосаковского,.Н.Ф.Морозова, Г.А. Мораря, Г.Я.ПЬпова, В.С.Процонко, В.Л.Рвачева, И.Я.Игаермана и др.

Разработка и развитие математических моделей и методов, описывающих процессы деформирования различных сплошных сред, отражены в работах Н.Х.Арутюняна, В.В.Болотина, Г.О.Варданяна, А.Н.Гузя, С.С.Григоряна, А.Ю.йплинского, А.А.Илюшина, л.Кристеску, М.Г.Лз-нзока, В.Ю.Марина, В.Новацкого, Б.Е.Победой, Г.Я.Попова, Ю.Н.Ра-ботнова, Х.А.Рахматулина, А.И.Седова, П.П.Теодореску, И.Г.Фижщпова, Г.Л.Хесина, Ю.Н.Шевченко, Г.Э.Шаблинского и др.

Метода линеаризации уравнений термовязкопластичности разработаны и изложены в монографии и работах А.А.Илюшина, Б.Е.Победри, Ю.Ь.Шевченко, И.А.Биргера и др. К этим методам относятся метод упругих решешг, ;.;отод переменных упругих параметров, метод допол-. нигельных дефорлаций и метод последовательных приближений. Как показано в монографии Ю.Н.Шевченко, метод последовательных приблж-хюнпй в отличив от других методов применим как к теории процессов малой кривизны, так и в теории произвольных процессов деформирования. Наконец, метода решения задач механики деформируемых тавр,пых т«л могут быть разделены на две группы: прямые и косвенные расчетные методы. Прямые методы решают граничные задачи в их исходной формулировке и представляют собой, как правило, численные метода (например, метода конечных элементов и конечных разностей), В основе косвенных методов решения задач лежит установление некоторых представлений, общих решения, преобразований и др., цель которых состоит в переходе от граничных задач в исходной формулировке к некоторым боже простым граничным задачам. Косвенные методы является, как правило, аналитическими или полу аналитическими катодами. Произведенный в данной работе внализ показал, к сожалению, чго существующие косвенные методы к настоящему времени основываются на интегральных или дифференциальных представлениях, которые учитывают лшъ некоторые факторы, влияэдие на решение граничной

задачи (только уравнения равновесия в перемещениях или уравнения неразрывности в напряжениях, или только граничные условия). Эта

ситуация объясняет, по-видимому, существование з настоящее время______

разных методов с различными возможностями и, кроме того, отсутс-— тага ©данного метода решения пространственных граничных »вдзт-Разработка единого эффективного метода в пространственных зала-чех теории упругости должна базироваться, по нашему мнению, на более общих представлениях, которые учитывали бы все фякторн, влияющие на искомое решение (исходные уравнения,, геометрия тола гл граничные условия), т.е. на представлениях, г^тш* удовлетворяют названной нами концепции о тотальном влиянии.

С точки зрения математического аппарата, в настоящее время хорошо язвостпы преимущества формулировки граничных задач в ввд? интегральных уравнений. Однако, построение интегральных уравнения, основанных на интегральных представлениях решений граничных задач, ядра которых удовлетворяют но только коншпции о тотальном влиянии, но я критерию аналитическое разрешимости представляется до сих пор одно« из фундаментальных нетр-аиальнкх проблем мэханяки дэформи-руекых твердых тал.

Основнши целятся работ» является:

- раэргб07..а мэтода построения ивтогральных уравнений в иегагш» ■ дефоржфуемых твердая тол на оезовэ интогральшк представлений,

ядра которых являются фуядзяенталымот решениями некоторая аналитически разрзпшых граничхш задач, названного нами методом элок§нтЬв влияния;

- пряло»»®© предрожнвого метода я построению интегральных уравнения, матриц Грива, решения в квадратурах и в аналитическом виде и демонстрация его .эффективности не то.">ко на уш иг^стных задачах, но в на новых классах задач механики деформируемых твердых тел.

Научную новизну работа составляют:

г введение некоторых новых понятна в механике деформируемых твер-"даг тел (саямээмь» и веекимаекыэ агэшати влияния, исходная и расчетная системы, функции влияния тормоупругих тремвцэны, вызванных единичными поверхностными температурами или тепловыми штоками), которые удовлетворяют концзпцяи о тотальном влиянии я критерию об аналитическое разрешимости;

- получен» в а основе понятия о несжимаема алиментах влияния в

различных ортогональных системах координат новых общие интегральных представлений в теории упругости, ядра которых являются фундаментальными решениями определенных аналитически разрешимых граничных задач;

построение на основе полученных общих интегральных представление новых граничных шг-егральных уравнений метода несжимаемых элементов, влияния <МНЭВ) для основных граничных задач теории упругости, которые являются слабо-сингулярными в пространственных задачах и регулярными в плоской задаче. К решению проложенных уравнений применима теория интегральных уравнений второго рода Фредгольма;

модификация с помощью введенного понятия о функциях влияния термоупругих перемещений формулы Майзеля в виде интеграла по поверхности?

построение при помощи предложенного МНЭВ новых матриц перемещений Грина различных классов смешанных граничных задач теории упругости для тел декартовой и других ортогональных систем координат, представленных в компактном аналитическом виде, удобной для приложений, которые существенно расширяют спектр известных до сих пор матриц Грина;

распространение и обобщение решений в интегралах для различных конкретных тел из теории гармонических потенциалов в теории упругости и термоупругости;

разработка на базе полученных матриц Грина и введенных понятий об исходной и расчетной системе нового метода построения интегральных уравнений в механике деформируемых твердых тел, названного нами методом сжимаемых элементов влияния (МСЭВ). В отличие от существующих методов, предложенный метод позволяет "единым образом построить новые интегральные представления и приводит к существенно меньшему количеству интегральных уравнений как для уже известных, так и для новых граничных задач. Предложенный метод применим не только для канонических, но и для сложных тел, не только в теории упругости, но и в других теориях механики деформируемых твердых тел;

построение и применение не только новых интегральных уравнений и решений в квадратурах, но и решений в аналитическом виде упругих граничных задач для различных конкретных по форме тел, представленных в элементарных функциях. Получешю некоторых новых интегральных уравнений, удобных для исследования геометрических

сингулярностей решений.

Достоверность результатов была обеспечена строгостью и кор-------

—ректност'ью постановок и решения поставленных для исследования задач, детальным теоретическим и расчетным анализом результатов, подробной мотивацией всех введенных новых понятия, а также различ ными сравнениями, сопоставлениями и подтверждениями результатов, полученных предложенным методом с результатами, полученными другими существующими методами, включая известные точные решения.

Теоретическое и практическое значение работы состоит в:

- значительном вкладе в теорию упругости новых аналитических выражений, удобных для приложений, которые существенно расширяют спектр известных до сих пор матриц Грина;

- получении новых решений в квадратурах различных новых классов смешанных трехмерных граничных задач теории упругости, которые представляют собой распространение и обобщение соответствующих интегральных формул для различных конкретных тел из теории гармонических потенциалов в теории упругости и термоупругости;

- разработке нового перспективного метода - мет1 .а элементов влияния, который позволяет единым подходом построить матрицы Грина, интегральные уравнения и представления решении, а также решений в квадратурах не только для известных до сих пор задач, но и для новых классов сложных задач теории упругости и других теорий механики деформируемых твердых тел, в том числе неканонической формы;

- основные идеи и понятия предложенного метода могут быть использованы для разработки новых расчетах методов в' других областях математической физики.

Основные результаты работы внедрены:

- в учебном продассе и в научных исследованиях в курсах по теории упругости, в курсах по высшей математике, в том числа по уравнениям математической физики. Внедрение реализовано опубликованном справочника: В.Шеремет - Функции и матрицу Грина. Эласто-,

■ термо-, электростатика твердых тел. Граничные задачи для областей декартовой систем координат. - Кишинев: Штиинца, 1994 - «20 с. <на румынском языке). Справочник предназначен для студентов старших курсов университетов и технических вузов, а такве для специалистов, которые занимаются изучением, исследованием и применением метода функции Грина к решению граничных задвч меха-

ники дефорлируемых твердых тел и терко-, электростатики;

- в расчетной практика и проектировании некоторых элементов конструкций, оснований и фундаментов насосных станций в проектном институте "МОДЦГИШЮВОДХОЗ" (справка о внедрении н 01-6/3498);

- в научных отчетах кафедры "Строительная механика и инженерные конструкции" 1{ишине1 кого с/х института по теме "Исследование напряжений и деформаций элементов конструкций гвдрсмелиоратавных систем" с номером госрегистрации м г/р 780-647-99.

Аппробация работы. Результаты работы были доложены, обсуждены

и аппробированы аа П-оя Национальной Конференции по конечный и граничным элементам (Румыния, СиЗиу, 1993), хчш-оы Конгрессе Румынско-Американской Академии наук и искусств (Кишинев, 1993), на 1-оя Научной Конференции по Прикладной и Индутриальноа ^етемртикв (Румыния. Орадие, 1993), П-оа Всесоюзной Конференции по теории упругости (Грузия, Тбилиси, 1984), на семинара "Механика твердого деформируемого тела" кафедры "Сопротивление материалов" Техничес- • кого Университета Молдовы (1995), семинаре кефедры "Строительная механика" Технического Университета Молдовы (1881, 1995), семинара Лаборатории численных методов в мегашше Института Математики АН Молдовы (1981, 1985, 1995), семинар Института Проблем механики АН СССР (Москва, 1988), семинаре отделов термоупругости и торгашке-течности Института Механики АН Украины (Киев, 1982, 1995), семинаре кафедры теории упругости МГУ им.М.В.Ломоносова (Москва, 1983), семинаре "Численные методу в механике сплошной среда" ЛГУ йяон-град, 1984), семинаре кафедры "Механика и управление процессами" ЛПИ (Ленинград, 1984), семинчре "Механика твердого деформируемого тела" МИСИ им.В.В.Куйбышева (Москва, 1986), семинаре механико-математического факультета ДГУ (Днепропетровск, 1987), семинаре механико-математического факультета ОГУ (Одесса, 1986), на Научно-технических республиканских конференциях Кишиневского сельхозинститута (Кишинев, 1977-1994).

Личный вклад автора. Все новые результаты получены в работе

лично автором. Использованные в работе материалы имеют ссылки на соответствующие источники, которые приводятся в списке использованной литературы.

Публикации. Основные результаты, полученные по теме диссертации были опубликованы в 40 наутал работах, включая одау монографию в справочник по функщта! и матрицам Грина.

Структура и объем работа. Диссертация состоит из трех основных частей. Первая и вторая часть содержат теорию предложенного __матова, а третья часть содержит различные его пршен<-чкя и приложения. Каждая глава, часть, а тагао работа в цэлом снабжены соответствующими выводами. Диссертация содержит тага;» введение, за! о-ченто, приложения и список использованной литературы. Общиа объем работа составляет 308 о«, включая список литературы из 135 наиме-новззий» 33 рисунка и 4 ПрЯЛ0!Я0Ш!Я.

На заиггу автор выносит .слвдутаио научииз положения:

- разработка нового зффаэтквяого иотздз в ¡¿аханика дэформирукт твердо? тел долкна основываться на интегральных представлениях, •яда которых максимально соответствуют концепции о тотальном влиянии и критерии об аналитической разрешимости;

- понятия об исходной й расч<тюа системе, о сжимгошх и нвгатаяе-тх обобщенных, элэмэнта: влияния, кдарвыз введенные а тхатщ дофорашрубшж те^щл. тел, соответствуют зшэуказанной концепции и критерию»

- метод элэшйтой ¡шяпяа <НЗВ>, раарабйтанншг чя'оскою введенных новых понятия, поэвшшг одивш образом попугать на только У'КО извс^тг» розудьтгт;, но и повуо результаты в построении матриц Грина, рвшша в квадратурах, граничных интегральных уравнений (в теория упругости), интегральных Гфэдстаалвнш и интегральных уравнений по обьеху я го поверхности (в других теориях мэхякикп дафорафуегм тазрдах тол) да различных по фор«? тал, шишгя векййоничэскио тела;

- в отличиэ от судэстаувдих методов, МЭН приводит к сущэственно меныэеку количеству интегральных уравнений я вкшчэет в себя универсальность чпслшшх п прайму пзслва авлдтпэских методов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

«

Во введении приводится основная характеристика работы; общэе состояние поставленных для исследования задач и актуальность темы, а также цели, новизна и основные научные положения работы,- выносимые на защиту.

■ Глава первая содержит обзор фундаментальных научных работ по математическим методам механики деформируемых твердых тел, Отмечается, что до настоящего времени еще не создана единая теория или единый метод решения пространственных задач, даже в рамках линейной классической' теории упругости. Из анализа существующих методов сделан вывод о том, что разработка единого эффективного метода решения пространственных задач, который одновременно включал бы в себя преимущества аналитических и численных методов должна основываться на построенных специальным образом интехраль-ных уравнениях. Они могут быть построены только на базе некоторых общих интегральных представлений решений граничш-х задач, ядра которых должны удовлетворять концепции о тотальном влиянии (эти ядра должны учитывать одновременно и уравнения равновесия в дара-Кл цениях или другие уравнения математической физики, и геометрию тела, и граничные условия) и критерию об аналитической разрешимости. Таким образом, сделан вывод, что ядра должны представлять собой фундаментальные решения определенных аналитически разрешимых граничных задач, которые в дальнейшем уточняются введением новых понятий о сжимаемых и несжимаемых элементах влияния.

Предложенный в диссертации метод построения интегральных представлений, уравнений и решений, названный наш методом элементов влияния (МЭВ) разработав в двух варазэтах. В первом варианте (МНЭВ) в качестве ядер используются функции Грина для несжимаемых элементов влияния, а во втором варианте (МСЭВ) ядрайи" являются матрицы шремещний Грива дая сжимаемых элементов влияния. МНЭВ разработан для построения интегральных представлений, уравне^ вод и решений граничных задач теории упругости. Особенно аффективным МНЭВ оказахсг дхя построения матриц трвмешения Грина дхя тел канонической формы, которые используются в дальнейшем в качестве ядер в МСЭВ. МСЭВ разработав с целью построения интегральных представлений, уравнений и решение граничных задач не только теории упругости, но и других теорий механики деформируемых паврдах тел, включая тела сложной формы.

Теория МЭВ разработана в первой части (МНЭВ) и во второй

----части—(МСЭВ)—диссертации. В третьей части работы приводятся

приложения и примененя МЭВ к построению матриц Грина, к получению интегральных уравнения, представлений и решений разнообразных граничных задач, включая трэхмерныэ, дяя различных по форме конкретных тел, включая канонические тела и тела сложной формы.

Во второй главе предложены общие интегральные представления решения и граничные интегральные уравнения МНЭВ в теории упругости полученные в прямоугольной системе координат. Введены понятия об общая граничной задаче для упругого тела у с кусочно-гладкой поверхностью г и соответственно для сжимаемых и несжимаемых элементов влияния. Эти общие граничные задачи содержат в себе уравнения равновесия в перемещениях с объемными силами, 8 также обшие типы граничных условий. В исходной общей граничной задаче для тела У+г объемные силы и нагрузки, смещения на г являются в общем случае распределенными величинами. В соответствующей общей граничной задаче для сжимаемого элемента влияния объемные силы являются единичными сосредоточенными „ точке силами, а общие граничные условия является однородными (случай построения натри« перемещений Грина). Общая граничная задача для несжимаемого элемента влияния отличается от соответствующей задачи для сжимаемого элемента влияния значением коэффициента Пуассона ^=0,5 (объемная деформация отсутствует) и заменой однородных граничных условий дня нагрузок па однородные граничные условия для производных по внешним нормалям к г от перемещений. Общие граничные условия сформулированы таким образом, что в частных случаях они обращайся в различные частные типы граничных условии: первой, второй и основной смешанной, локально-смешанной и наконец, в различные комбинации перечисленных граничных условий-. задач теории упрА /оста. Отмет ь, что решение общей граничной задачи для несжимаемых элементов влияния в сравнении с соответствующими общими граничными задачами дяя тела У+г или для сжимаемого злэмента влияния является на много проще, так как исходная система дифференциальных уравнений и связанные Граничные условия разделяются и приводятся к построению соответствующих функций Грина для оператора Лапласа. Таким образом, установление некоторых общих интегральных представления в теории упругости в случае прямоугольной системы координат приводятся к установлению некоторых зависимостей между решениями общее граничной задачи для тела у+г или'для сжимаемых элементов влияния, вырз-т-

ныв через функции Грина оператора Лаг/ласа. Из сравнения исходных: общих граничных задач с соответствующими общими граничными Задачами для функций Грина гармонического оператора, использовав при этом некоторые формулы математической физики (формулы Грина, формула Остроградского-Гаусса, правило бютслэния кратных интегралов по частям, свойств а-фут^а Дирака л др.), гослэ определенных нетривиальных преобразовании были получены общие интегральные представления в теории упругости не только для тела у+г, загруженного распределенными объемными силами, нагрузками и смещениями, но и для сжимаемых элементов влияния. Например, для компонент матриод перемещений Грина и[к> сжимаемого элемента влияния эти общие интегральные представления, полученные в прямоугольной системе координат (Ох1,х1,х1) записываются в вица:

и[к,(х,<г) - и*'<х,о + - и^у.о ]о1(у,*)аг(у).

+ /[(4- в<к,<У^)п1<У' «[•><У^)п/у))о1(у,х)+ (I)

- - : = ?1-|г-)о1(х,о 4 х.-^ Ое(х,о]г1,Н-1,2,3. <21

Соответственно дяя функций влияния объемного расширения подучена следующее общее интегральное представление

- ©""(у,«) Ов(у,х)йГ<у> (3)

В (1)-(3): и'1", р[к>, е<к' и являются перемещениями, нагрузками, объемным расширением (в дальнейшем просто расширение) и вращением, вызванным единичными и объемными силами а1|с<5(х-?), приложенными в произвольной точке < в по направлению оси Охк/ ¿.к- символ Кронекера, ¿(х-С) » единичная импульсная функция Дирака; х а (х4,х>,хв) - точка наблвдения; о^, ав являются функциями Грина оператора Лапласа с соответствующими граничными условиями (если и[к)-о, то од-о^о; если р[к,-о, то лз./лпг» вов/л»г-о).

Высокая степень общности полученных представления была продемонстрирована в нескольких направлениях. I). Варьировав граничными условиями дяя функций Грина ов были получены общие интегральные представления решений основных (первой, второй и смешан-

ной), локально-смешанны* и рэзлшных комбинация этих граничных задач (частично локально-смешанные, частично с граничными уело— виями основных оздач) в теории упругости. Конкретнее, ч;т, ижгл —кар,'все фу;шки Грина о., ой совпадают и являются фунявдяии Грина опэраторз Лагшсэ с граничными условиями соотеэтсгйэнно ■ттов Дирихле, Неямзнз или смешанными, то по.яучаем соответственно общие интегральные представления рзшеши первой, ?тороя ®г основной смешанной задачи теории упругости. Еелр «.да Грив о ои о0 удовлетворяют независимым типам грайкт^ых у^иые, тогда получаем общие интегральные представления решений лжзльно-смешэнныг. а также разнообразных кочбингзиа типов ^-рпзячпих задач теории упругости, Например, в случае первой основной задачи теории упругости (на границе задаются смещения), общие интегральные представления для компонент матрицы перемещений Грияа и для функций влияния расширения, полученных из Ш-(3) в частном случае, когда о4» о?" а^'О- функция Гргаа граничной эадэчи Диршгяо для оператора Лапласа, записывается в виде:

и[к,{х,?) - и^(хд) - X а<у,маг .,у); (4!

и|к,<х,С) ■ (хг ?.) (5)

0Л\х,К) » -ъЬ щ- 0(Х,?) - / в*\у.к> 0(у,х)6Г<у). {«!

Оп'зтта, что представ, дакгл <4)-<5) удовлетворяет1 Автоматически граничным у елозят. Аналогично, когда б,- <зв» • о - функция Грина •граничной задачи Йэймана дам оператора Лапласа, из (1)-(3) были получены общие интегральные представления решений второй основной задачи теории упругости, выраженные через в"", вв<к>/еп ,

В поавэдетвии на базе этих представлвоиа, исключив е н

«>"°/*пг были получены такав соответствующие новь» интегральные представления, выраженные тольхо через вращения в пространственных задачах и выраиеяные только через й»<ь/л»г ш только

г

через одно вращение - в плоской задаче теории упругости. Откатим, что общие интегральные представления во второй основное и в локально-сйэпаяных граничных задачах получены (из-за функция Грива граничной задачи Неймана для оператора Лапласа) с точностью некоторых произвольных постоянных. В случае некоторого евмоурав-аовепанного тела эти постоянные характеризуют двияеняв тела в

пространства как жесткое целое и могут быть определены из условий закрепления тела в некоторой произвольной точке против смещений и вращений. 2). Полученные общие интегральные представления, будучи конкретизированы аналитическими выражениями для функций Грина, автоматическим образом показывают нам в какой рациональной форме следует искать решение данной граничной задачи для упругого тела о конкретной геометрией (отметим, что в методах, основанных на общих решениях, в которых, по сути, не учитывается геометрия тела и граничные условия поиск рациональной формы решения носит скорее всего интуитивный характер). Например, если подставим аналитические выражения функция Грина для полуплоскости, полупространства или для круга, шара с граничными условиями Дирихле в представлениях (4), тогда получаем соответственно рэшение типа Папковича-Нэйбера или типа Трзффца. 3). Опустив регулярные части в фугщиях Грина et, ов, входящие в общие интегральные представления типа (1)-<3), были получены интегральные представления типа В.Д.Купрадае, интегральные формулы типа Сомилияно, формулы Бетти для расширения и вращения и др.

Отметим, что, если для полученных общих интегральных представлений или интегральных представлений основных задач теории упругости были бы известны значения ва поверхности величин ел>, ле,к>/вп

(Ici

или тогда эти представления обращались в решения указанных граничных задач в квадратурах. В.. дальнейшем, для определения граничных значений вышеуказанных величин на основе предложенных представлений были получены соответствующие граничные интегральный уравнения основных задач теории упругости. Например, в первой основной задаче теории упругости, на основе представлений (4), (5) было получено граничное интегральное уравнений относительно расширения типа уравнения Лихтенштейна:

•""(У'»«» ♦ В'4/ «Л><У,<)МУ,У»Х1Г<У) - jJ^j в,к,<уь<)»

5Л,(У,С» - %<*»#*» - à [в ¿г ч (yjr <•) а<у,<м

к, 1 к m

В третьей главе доказаны три теоремы, которые для определенных классов смешанных граничных вадач теории упругости устанавливаю! конструктивные формулы для компонент матриц перемещений Грина и для обьемього расширения в форме квадратур. Эти классы задач

были установлены введением понятия о прямоугольном обобщенном сжимаемом элементе влияния. Это понятие содержит геометрическую - модель- обобщенной области, ограниченной плоскостями, - чраллельными декартовыми координатными плоскостями, обобщенный закон Гука для упругого материала, загружениэ единичными сосредоточенными сю^ми и локально-смешанные однородные граничные условия (па гранях задаются нулевые нормальные перемещения; и тангенциальные напряжения или наоборот) и однородные условия первой или второй основных граничных задач теории упругости (только на одной грани).

Например, согласно теореме I, если на гранях г4., г1т, г^ прямоугольного обобщенного снимаемого элемента влияния заданы только локально-смешанные однородные граничные условия, которые взаимосвязаны с граничными условиями для функций Грина оператора Лапласа: ,

"и" "¿к>" V V V 0;

о-^'- *[»* о; 04= «5г/9пи* аал/впиш аов/впа* о, (8)

- на параллельных гранях Г^ - (х4« аг);'

С" V V V °г

С" <Г О ва/вп.„- V «Vе"*,- <9)

- на параллельных гранях г1га - (у.2° ьт>

<С'' С" V О," <*,/«"„. V 0;

и""= о-'*0» 0; /¿т = аа /Лп •> в » - о, Ш)

в 31 82 1 Вп Т Пп Я И йп

- на параллельных гранях г8п - (хя= ср), где ¿,т,п»о,1,2,з,

*/опхт, - производные по внешним нормалям к граням

Тиг г*т' г»п; а«' ьт' сп " некоторые действительные числа, тогда объемное расширение и компоненты матриц перемещений Грина я теории упругости определяются слэдухщиш квадратурными конструктивными формулами:

в<м<М> •(И) „ д [(вд№- ^ з^-) о4(*,е) + ^ ав<х,а - <121

яГ я М (у,*). ' щ;--а^су,«к-1,2,3

Отметим, что на базе конструктивных формул, установленных в теоремах I, 2 и 3, были получены аналитические выражения для матриц

перемещения Грине и функций влияния объемного расширения для 257 граничных задач теории упругости,, которые представлены • через аналитические выражения соответствующих функций Грета, построенных для 190 граничных задач для уравнения Пуассона, охватывающих 16 областей декартовой системы координат. Эти выражения для функций и матриц Грин?, полученные в компактном и удобном для приложение виде, существенно расширяют известные до настоящего времени результаты и представлены в справочнике автора' ш. Отметим также, что одно из ценных применений полученных аналитических выражений состоит в том, что они позволяют нам заткать решения соответствующих зэдач в квадратурах.

и. «л « .(к (х>и<к>(х,? )«1У(х> +

V

+ /[р/у)^к'(у/х> - и^(у$р^'(у,*|]аг(у) (13)

в теории упругости и

и I?) • у / Т(х)©<к,и,«)<Жх) (14)

V

в теории стационарной термоупругости. В (10), (II): к^х) - объемны силы; РЛу), и^у) - нагрузки и пэрзкадэзия, заданные на поверхности г; т(х) - стационарное температурное поле; г - а(2м+зм» а - козффищ. ^ линейного темшрзтурного расширэния; к, н -упругиэ постоянное Ламе.

В последнем параграфа главы III была продажна модифдашот формулы В.Ыайзеля (14) в виде интеграла ш поверхности:

ик(° " * /[ ^гн^2" О*»*1 " т(у) 0*»<,]аг'*>» <19>

которая позволяет определять торкоупругш шреизщзния (у о нетое-редственно через тепловой поток «т<у)/»пг или через температуру т(у), заданные на разных частях поверхности г. Введенные в работе функции и^' и могут быть. определены раз и навсегда (для данной граничной задачи теории упругости и для граничной еадачи стационарной теплопроводности) по формуле: •

*/ о(у,х) 0м(х,()М<х)/ Ш)

V • у

Функции и^' и и^ были названы функциями термического влияния для термоупругих перемещений. Они п^дотавляит собой териоупругж?

перэмещэния в точке ? « ? " V по направлению оси С\

(и»1,2,з), вызванный единичным топленым потоков <?т<у)/<»пг» <5(у^-у»-заданным н-з часта поверхности (ит на есэ-й поверхнос ¡) с граничными условиями типа Неймана и соответственно температурой т(у) = ■ <Яув-у), заданное на оставшейся часта повлрхноста с хрэггоятг-^т условиями типа Щяшз. Например, для улругоя »глупо.го'л! (озх^®, 0<ч1<а1) С граничными УСЛОВИЙ»«! и^ иа«0, я "О, >', = '), ха=0,аж, для перемене пй я напряжений и т - г<х , о; ? » с, (<.ад для температуры, термоупрупзд перемедония отделяются интегральной формулой, записанной в замкнутом визе

сМпГ /а ) - сод 1 <г(у -? )/а )

или интегральной формулой: леписаниоа в к идо ряда,

а

и,« «(Вп>"«, /т(уа) -1 «ш^у, 8ШР/, йу (10)

* к о а тпгъ *

где в - \>~

Отметим, что интегральные формулы (15)-(16) мог т Сыть записан;; а конкретнок шде для равных конкретных упругих алл которых бьии построен матрида Грота и^', функции в'1" и а, при-иэдекные ь справочника ш. С этой точки зрения подученные результаты прэдставляжт собой распространение и обеббщэнйэ интегрзлшя хжассичесж О&рчул (для разных конкретных тел) из теории гармонических потенциалов в теории упругости и термоупругости.

Четвертая глава госвйпша построению интегральных представлз-ний, уравнений и решений граничных задач теории уйругости, сформулированных в криволинейных ортогональных системах координат: полярных, цилиндрических и сферических. В указ?^ных системах координат были введены понятия' об общих граничных задачах дхя упругого тела, затрушенного распределенными воздействиями и для сжимаемых и несжимаемых элементов влияния. Однако, необходимо отметить, что получение общих интегральных представлений для решений и для матриц Грина, представ-вэннь» через функции Грота несжимаемых але-йентгов влияния путем прямого сравнения соответствующих общих граничных задач, не представляется возмояныа (из-за сложности уравнений в криволинейных системах координат). Поэтому указанные общие, интегральные представления были получены косвенным образом - путем перевода предложенных . представления <1)-(3) из прямоугольной системы в соответствующую криволинейную ортогональную систему

координат. В результате такого перевода, который представляет собой с математической точки зрения довольно слакшую нетривиальную задачу, были получены общие интегральные представления рдшэпиа для упругого тела \/+г, загруженного распределенными воздействиями, а также для матриц перемещений Грина сжимаемых о^омептов влияния, »формулированные в шляпной, цилиндрической и сферической системах координат.-.Из-за отсутствия типографического объема нет возможности привести соответствуащие формулы для полученных общих Интегральных представлений. Поэтому отметим лишь, что они выражается через функции Грина душ соответствующих несжимаемых элементов влияния, которые, в отличии от случая прямоугольной системы координат, в ортогональных криволинейных координатах, эти функции Грина удовлетворяют системам дифференциальных уравнений и выражаются через функции Грина для оператора Лаплас. В дальнейшем как частные случаи полученных общих интегральных представлений приводятся соответствующие интегральныэ представления и граничные интегральные уравнения основных задач теории упругости. Например, интегральные представления для компонент матриц перемещений Грина и^ч'(м,к); в»1,г,р; ч«1,р,у в первой основной вадаче теории упругое.!, полученные в цилиндрической системе координат <х4,г,р) записываются в виде:

- /^'«м-,«>агшп,

Г Г

где перемещения и^<м,н) определяются выражениями:

и[ч,(Н,И) » (20)

функция а(н,ы) является функцией Грина задачи Дирихле дня оператора Лапласа; них,,!,^ - точка, где определяются перемещения, а - точка прилоиения единичных сосредоточенных сил; ь'4' ¡шляется дий»пвнциальным оператором

+ \р ¿¡Г ™

- символом <5 с нижними - индексами— является " символ~ К^зекера. Гра -• личное интегральное уравпепио относительно объемного расширения а"1', полученное на базе представлений (19)-(21) в первой основной задаче теории упругости, записывается в вице:

• . е'ч>(М ЖН) + В'1/0<ч,(М,,К)ГЛМ'7Мо)аГ(Н') = в'ч>(И ,Н>, (22)

г

где ялро ь(н',но) определяется выражением

мм»,н ) - ыкнн'^у/гп^' Г(угув) Л- * г'Гсови»'-^) +

и о ^ О

♦ -] - Го (23)

о о * о-»

Для второй основной задачи теории упругости ограничимся одним храничным 1штегральным уравнением относительно производной по внешней нормали от объемного расширения, которое в случае действия на тело распределенных поверхностных сил записывается в вида

ля/мм «ИоЧМ > „„ ,

^п -» ^НдБ агш ' ЙГ -""О''

о г м- о о

п(н',м0) = ьс(м',мо) + ^ р0 / с(й,но)0(м',м)<1г(м)- (24)

- в пространственных задачах и

о г да(М' >__о .г,и1 , _ ¿м о /ос I

----ЗС+/7 Зп ' (25)

О Г М' о о

- в плоской задаче. Уравнения (24), (25) являются инвариантными по отношЬшю к системам координат; ь, являются дайфэрендаальными ошраторьми в соответствующая,системе координат; с(м»,мо) является функцией Грина задачи Нагмана для оператора "апласа; о{мо- является известной частью объемного, расширения, которая определяется на основе известных перемещений

" Т{р,<м')/2*||асн»,м„)аг(м'>,

/[умм/г^

где р. (и') являются заданными на поверхности г*нагрузками. Отметки, ■что независимость ядра вьо/впо уравнения (26) от упругих констап? приводит к тоореме Ь.Леви о независимости напряжений в плоской задачо теории упругости от упругих свойств материала. Аналогично, независимость указанного ядра от упругих констант приводит, с помощью формулы В.Майззлд,, к теореме Г.С.Варданяна о влиянии упругая

констант на перемещения и напряжения во второй основной плоской задаче стационарной термоупругости, Указанные теоремы, как известно, играют важную роль в теории войной вязкоупругости и в моделировании плоской задачи методом фотоупругости.

В параграфе 4.5 получены представления и конструктивные формулы для матриц Грин;- смешанных задач теории упругости в квадратурах, где., по сути, результаты, полученные в главе III обобщены на случаи полярных, щшшдричэских и сферических элементов влияния. Дцесь нет возможности привести указанные результаты. Ограничимся лишь тем, что были введены понятия полярных, цилиндрических и сферических обобщенных сжимаемых элементов влияния и были установлены те смешанные классы граничных задач теории упругости, для которых построение матриц Грина сводится к построению функций Грина для соответствующих несжимаемых элементов влиг.ния и к вычислению квадратур.

В заключении четвертой главы и первой части диссертации приводятся следующие выводы:

1). Предложенный метод васишаемых элементов влияния (ШЗВ) позволяет единым образом получить общие интегральные представления, из которых в частных случаях следуют различные граничные интегральные уравнения и представления основных и смешанных граничных задач упругости, сформулированные для упругого тела с кусочно-гладкой поверхностью, в произвольных ортогональные системах координат. Подученные представления и уравнения включают в себя не только уже известные, но к новые интегральные уравнения а представления;

2). Согласно МНЭВ реиенке основных задач теории упругости сводится к решению: а', одного интегрального уравнения относотельзо расширения в - в первой основной задаче (пространственной ида; „ плоской); б) системы трех граничных интегральных уравнений относительно вращений (в пространственной задаче) и одного граничного интегрального уравнения относительно вращения o>ta или относительно производной по внешней нормали к 'поверхности г от расширения дв/дпг (в плоской задаче) - во второй основное задаче тооргш упругости; в) системы четырех граничных интегральных уравнений относительно в на гц и «tJ на го (в пространственной задачо) и системы двух граничных интегральных уравнений относительно о на Гц

и на го или относительно о на ru и аа/оп^наг^ (в тоской задаче) - в основной смешанной задаче теории упругости, После

решения интегральных уравнений окончательные решения задач теории

упругости представляются в квадратурах; ________________

__________3).-В отличш от 1гатегральпьоГурвнеш1й метода упругих потенциалов, которые являются сингулярными, катод несжимаемых элементов влияния приводит к существенно меньшему количеству уравнений, которые являются граничными интегральными уравнениями второго рода, слабо-сингулярными в пространственных задачах и регулярными в плоской задаче теории упругости. К решению граничных интегральных уравнении МНЭВ применима хорошо разработанная классическая теория фредгольма. Этот факт играет важную роль не только с точки зрения приложения к решению конкретных граничных заадч, но и с теоретической точки зрения для доказательства теорем существования решений основных задач теории упругости. Эти теоремы следуют из тео ремы существования функций Грина оператора Лапласа, из теоремы единственности решения граничных задач теории упругости и из теоремы существования решения интегральных уравнений второго рода Фредгольма;

4). Установлено, что в первой и во второй основных задач для упругих тел, ограниченных одной координатной поверхностью произвольной ортогональной системы предложенные интегральные уравнения допускают точные решения в виде рядов или в элементарных функциях.

■ Для упругих тел, ограниченных двумя и более ортогональными поверхностями, предложенные интегральные уравнения выражаются в простых алгебраических уравнениях (в классах локально-смешанных граничных задач) и приводятся к бесконечным системам линейвых алгебр?нчоскжс уравнений в случав основных задач теории упругости.

5). 1ШВ, содержав в себе представления и интегральные уравнения различных существующих методоз, позволяет вдетым образом получать не только уже известные решения. но и решения новь' , задач, в особенности в построении матриц перемещений Грина определенных классов смешанных задач для ортогональных сжимаемых элементов влияния.

Вторая часть работы посвящена разработка метода сжимяетх элементов влияния <МСЭВ) для построения интегральных уравнений и представлений решений в слойных граничных задачах механики прога -вольно-деформируемых твердых тел, поверхности которых могут п;;;-надлежать к разным произвольным ортогональным системам координат. Такой метод можно было бы постройте аа основ© интегральных представлений, ядра которых, согласно концепции о тотальном влип-

н>ш, должны бы представлять собой фундаментальные решения некоторых граничных еадач механики деформируешх твердых .тел. Одни...», построение таких решений (за исключением уравнений линейной теорш упругости однородного тела) представляет, до настоящего времени, трудноразрешимую математическую проблем даже для неограниченного пространства. Поэтому в предложенном МСЭВ в качестве ядор используются матрицы перемещений Грива для ортогональных сжимаемых элементов влияния, которые . с успехом могут быть построены в аналитической форме предложенным МНЗВ.

В главе у сформулирована общая граничная задача для произвольно-деформированных твердых тел, записанная в локализированном виде. Для решения этой общей граничной задачи подучены общие'' интегральные представления, выраженные через матрицы перемещений Грина соответствующей упругой задачи. Согласно предложенному МСЭВ, решение граничных задач механики произвольно-деформированных твердых тел сводится к решенго соответствуют граничной задачи для упругого линейно-деформируемого однородного изотропного тела, загруженного дополнительными обьомншм силами к* и дополнительными . нагрузками р* . Дня их определения получены следующие фузкциопально-интогральные уравнения:

- Г р*(М»}и^к>(и,#м)ага(н'>1 - к^м);

(26)

- £ р*{м">и[|°<м",м,)<аг<5см")| « £

где по нижнему индексу"!** и по индексу "к* производится суммирование; пк- направляющие. косинусы внешней нормали к г; ?*к являюггея функциональными операторами, которые, воздействовав на перемещения, определяют напряжения. Они отражают различие между законами деформирования соответственно упругого и произвольно-деформированного тела. Соответственно ь*к являются функциональными операторами, которые определяются 1*к и уравнениями равновесия в гарстгещэниях;

р^м'). К"(И'.), и[к,(м,и) являются соответственно известными на-1рузками, объемными скяаки и компонентами матрицы пзрзкощзнла 1рина. Поело решения уравнений <26) и ипрэделзния величия к; и -

окончательное решение граничной задачи для прокзво,?ию-дафоршрув-мого тела представляется в зиде квадратур:

и*(н> = и, (м) - ПГ*(Ы)и!к,(м,м)ау(Н) + Г Р*(И' )и!к,(и1 ,шаг. <»') !.".

К к. I к * I I

Перемещения ик(м} прадстэвляхгг собой рэшо.тае соответствующей упрутся задачи и определяется и;:гогрально?. «¿ормулоь:

- и^мчр^м'.н^апм«), (28)

где к {«), £> (ич, и (н*) являются зеванными в исходной ац<#че объемными силами и нзгрузками, перемещениями па г.

Отметим, что, в случае линейгш законов деформирования, которые отличаются от обобщенного закона Гука, функционально-интегральные уравнения <28> обращаются в линейные интегральны© уравнения. В случае деформации тела по обобщенному закону Гука и операторы Г*к, дошлшггельные объемные силы к* и нагрузки р^

7ч:Я в тодаспна нательное -.хнсе-

являэтсп лулзвьйп- и тогда сравнения (23) превращав н тогда формулы (27), (23) представляет собой оке; над исходной задачи а квадратурах. Откатим, что для практического построены уравнения (20) представления (27), (28) необходимо' знать аналитические выражения для компонент матриц перемещений Грипа и^ сооТЕЭтствувдзв упругой граничной задачи, талучапио которых во многих случага представляет собоа трудоу« задачу. В дальнейшем в гл<зза VI эта задача решается введением понятия орто гонального обобщенного сжимаемого элемента влияния, для которого построение в'аналитическом виде матриц Грина обеспечена предложенным МНЭВ.

В главе ух разработана общая схема МСЭВ для построения интегральных уравнений и представлений решений граничных задач механики произвольно-деформируемых твердых тел сложной формы. Вводятся понятия исходной и расчетной системы, понятие об ортогональных обобщенных сжимаемых элементов влияния, для которых построение матриц Грина обеспечивается МНЭВ.

Согласно общей схеме МСЭВ ревент граничных задач механики произвольно-деформируемых тел сложной формы приводится к решению соответствующих граничных задач для канонических упругих тел, загруженных дополнительно по объему объемными фиктивными силами I по

поверхности определенными на1рузками или смещениями. Для определения этих дополнительных величин предложены соответствующие системы интегральных уравнения, которые были получены из условий эквивалентности исходной и расчетной системы. После определения из *; интегральных уравнений указанных дополнительных воздействий решение исходной граничной задачи для произвольно-деформируемого тела сложной формы представляется в виде квадратур для каждого канонического тела.

Третья часть работы содержит приложения и применения цредло-женного метода к построению матриц Грина и решений в квадратурах, а также к построению интегральных уравнений и решений в аналити- л* ческом виде для различных конкретных упругих тел, в том числе сложной формы.

В главе уц ив приложениях приводятся применения МЭВ в граничных задачах теории упругости душ различных упругих тел, которые содержат по одному ьлементу влияния. Были исследованы как плоские граничные задачи для плоскости, полуплоскости, четверти плоскости, плоскости с круговой полостью, полуплоскости с полукруговой выемкой, круга, полукруга, плоского клина, полосы, полуполосы, прямоугольника, так и пространственные граничные задачи для пространства, полупространства, четверти пространства, восьмой части пространства, слоя, полуслоя, четверти слоя, пространствен- • ного клина и пространственного полуограниченного клина, а также для ограниченных, неограниченных параллэлипишдов. Для указанных .' областей различными методами математической физики (отражений, : разделение переменных, интегральных преобразований и др.) были-построены функции Грина соответствующих несжимаемых элементов влияния, которые охватывают около 200 граничных задач. Использовав зги построенные функции Грина, с помощью предложенного МНЭВ были получены для соответствующих сжимаемых элементов влияния аналитические выражения для компонент матриц перемещения Грина и для обьемного расширения, которые охватывает свыше 260 граничных задач теории упругости. Эти результаты не только подтверждают из-эестные уже результата, но существенно расширяют еще спектр функций и матриц Грина, построенных да настоящего времени в теории упругости и в теории гармонических потенциалов. Отметим лишь, что функции и матрицы Грина для прямоугольника и параллэлипишдов представлены в одинарных родах (для прямоугольника) и в двойных радах (для параллэлипипвдов), в виде произведения экспоненциальных и три-

гонометрических функций. Функции и матрицы Грина для сдоя, шду--

слоя и четверти слоя предстазлени как в виде оданарных рядов,---------

-----содержащих нулевые функции Бессоля второго рода и тригономеаричес-

кие функции, так и в вида интегралов, содержащее нулевые функции Бесселя первого рода и гиперболические функции. Для остальных изученных ;выше указанных областей функции и матрицы Грина представлены элементарными функциями. Отметим также, что в отличив от громоздких и неудобных для приложений известных до сих пор выражений для матриц Грина, аналитические выражения, полученные МНЭВ представлены компактно через простыв дифференциальные операторы от соответствующих функций Грина гармонического оператора, что существенно упрощает их практическое применение. В качестве примера приведем функции влияния для объемного расширения в"" и компонен ты матрицы перемещений Грина и[к> для восьмой части упругого пространства (osx(,xa,xesoo), на гранях которого заданы локально-смешанные граничные условия типа <8)-<10);

«""<*'<> - -jeи? <29>

u[k>u,?» - *[(Цк- ^]o.<x,C) + х. Щ- ge(x,?>]; l,k=l,2,3.

Функции Грина ot, gq оператора Лапласа для восьмой части пространства в случае когда, например, на его гранях заданы нулевые нормальные тарэмещения и касательные напряжения определяются выражениями:

Yx'e) ° -Ь (r"1? «г* С - о о - с)? - 4? 5 «с* с*»«.)• <э°>

где радиус r - Rix,о - |х-?|; х В (х^х^х^), ч ■ ?,,?„), а радиусы Rt; R,j R,; R^/ Rte; RIS и R^ получаются из выражения для радиуса r путем следующих замен, соответственно: <rt* -tj

VW -v-v-v

Построенные функции и матрицы Грина дают возможность записать рэпзенкя различных граничных задач теории упругости для вышеперечисленных областей в квадратурах. Например, для пространственного полуогранячэнного клина <osxt,tia>) ospsa) о граничными условиями:

о » и (Я)» Й а (o,r,p)i j* 13i>

Но" наа ^

перемещения определяются квадратурами

(32)

00 О 00 ООг

и„(м) ■ -I / и<м)Р'к>(м,и)? агЛр ♦ У X /|р.(1)«н )и'ч'(н ,н)

4 о о 1 > 1.«о,а о о«-

+ ^•уСЧ'«' - "^»^Ч'"»]^'

где компоненты и^ч> матрицы перемещении Грина и соответствующие им нагрузки р^4' были построены МНЭВ в элементарных функциях. /

Другое применение полученных функций и матриц Грина было реализовано для построения с помощью МЭВ граничных интегральных уравнений во всех трех основных задачах теории упругости для четверги плоскости, че-^вергги пространства, восьмой части пространства, прямоугольника, пространственного полуограниченного клина и параллелиготедов. Например, в первой основной задаче

V ии,у); У ° <0'У,»Ув>» у « Г4о'

для четверти пространства (озх^х^®, -<гх1хш£оа) была подучена система двух слабо-сйнгулярных интегральных уравношя относительно значений доя объемного расширения на храни г1<9(у1»о, 05у8$«о, -<я£уи£о>) и еж на грани Г1О(уа-0, Ойу^ш, -<в£ул&в):

V ш / К* «У.-У,)"] - V . «3«) .

шо ,

V Ш X V <у,-- ^ V

Гю

в МНЭВ и одао слабо-сингулярное интегральное уравнение относительно нагрузки хв(У) на грани г,^:

ЯГ X х,<У)[в<к"*' «Г» ■ 2УЛБ"Х*]аг«о<У) " (35>

«о

в МСЭВ. В <35) 8 - /у4-у4>'+(у,-у,)* ; получается из в заменой У» на " V

После решения системы (34) и определения и решение первой основной задачи для упругой чзтворти пространства представ-

' 28

ляотся в Ш1ЭВ квадратурами:

-------U.(х) . ОЛх. - [ Г drio(y) ♦

to

*f 1~УГ*№> «P.«уф

_ ïo

гда П8р0кещ.оиия U.(x); вя И G(y,x) являются известными функциями. Аналогично, после решения интегрального уравнения (35) и определения нагрузки хг(у ) решение шрвой основно? задачи ,.ря упругой четверги пространства представляется 'ОЭВ квадратурой;

U.(x) - и*(х) - Г Xa(yîL'^,(y<xîdrï0(yi, i 37 i

где перемещения и t и ядра и„'(у#х) являются известными функциями а вырашакггея элементарными функциями. Отметим, что решение указанной граничной задачи для четверти пространства о применением метода традиционных упругих потенциалов приводится к решению системы шести сингулярных граничных интегральных уравнений относительно шести нвкэЕОСтщх плотностей шремаг^ний не гранях rio> r.Q<

Приведем таккэ другой пример интегральных уравнений МОЭВ для основной скашанша: задачи теории упругости дяя пространственного шдуограииченного киша ¡oix^ss», osp52a> с трагичными условиями:

V V*" Я * Г«°'

РГ Я * <38>

па гранях Г (55=0, OSrSoo, OslSiZa) 1 г_( ?» 0, OSx .rio1); Г (p=2ct,

* tO A fpO 1

osx^rsco), Относительно бисекториальной симметричной плоскости »•«», рассматриваемую задачу можно привести к двум независимым задачам, которые соответствуют случаю симметричного и случаю ко-сосиннетричного нагружешш. Например, решение симкетричноа вадачи с граничными условиями

V W*" р - PJ<f>0>m>; Я = (xt,F,o), îkr^,

•W»<R' ■ p.(f*»(R> " P„«»<R) * 0. H ■ »x,.F.o», R«^. (3»»

приводится при помощи МСЭВ к решению одного граничною интетрадь ного ур грани г^:

ного уравнения относительно неизвестного перемещения ) ва

ч

27

J Zi - Р^.Жо'' • <«)

гро * *

ядро которого выражается элементарными функциями через компоненты матрицы перемещений Грина ¿

и;«'(н,н> . £ Т (С- С)'

к«0

и;<"(и,н) - (о С)' <«>

ui4,(M'N) ■ fe ^ у (о R¡y, >

МММ ,

построенных ННЭВ. Перемещения и^ч>, и^ч>, и[ч> были получены, в элементарных функциях на основе выражений (20); известный

дифференциальный оператор; rktt, rMi являются pa*, ¡усами, аналогичными предыдущим радиусам для восьмой части пространства типа r - |х-?|, однако записанные в цилиндрических координатах. После решения интегрального уравнения (40) и определения неизвестное

Z4M'), окончательное решение смешанной задачи (39) для пространственного полусграниченного упругого клина представляется квадратурой:

и <М) - -Г 2' (Я)»'" (Н.И^Г^.Ш) ♦ и*(Н), (42)

• А ■■ сю •

г^ f» *нро>

где перемеиения и*<ю и ядро р"' (Я,м> известны и представляются

?(*»)

элементарными функциями. Аналогичным образом было получено -одно граничное интегральное уравнение в кососимметричной смешанной задаче дня пространственного полуограниченного упругого клина.

Отметим, что одна из основных трудностей, возникающих при решении пространственных задач состоит в исследовании сингуляр-ностей решений в зоюх угловых точек и линий деформируемого тела. Даже в случав восьмой части упругого пространства зги исследования представляют до настоящего времени трудаоразрешщую математическую задачу. Основная трудность этих исследований состояли в том, что необходимо было выяснить ассшггготическое поведение решения систем трех или доух граничных интегральных уравнение, которые связывали некоторые физические величины на разных гранях октанта. В диссертации проблема исследования сингуляреостей в угловых точках и линиях пространственного полуограниченного клина, в том

числе и упругого октанта, во всех трех основных граничных задачах — теории упругости принципиально разрешена. Это объясняется тем, что проблема исследования сингулярностея сведена в указанных случаях только к одному граничному интегральному уравнен» типа (40) относительно нормального перемещения (во второй основной и в основной смешанной задачах) или относительно нормального напряжения на одной грани (в первой основной задаче). При этом исследование ассимптотического поведения решений полученных интегральных уравнения типа (40) в окрестностях угловых точек и линий не вызывает затруднений, поскольку для этой дали применим метод, представленный в монографии В.А.Вабешко, Е.В.Глушкова, Н.Ф.Зииченко. - Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.:Наука, 1989, 344 с.

Отметим и другое преимущество разработанного метода по сравнению с другими существующими методами. Оно состоит в том, что МСЭВ приводит к существенно меньшему количеству интегральных уравнения. Например, решение основных задач теории упругости для параялвлипипеда, в том числе ад классической задачи Ламе приводится с помощью МСЭВ к решению системы четырех граничных интегральных уравнения (в случае использования симметрии приводится к решению двух систем, содержащих по два граничных интегральных уравнения), в то время как. классический метод упругих потенциалов приводит к системе, состоящей из 18 граничных интегральных уравнений. Отметим также, что возможность разработки на основе полученных интегральных уравнения типа (40) некоторых сингулярных грантлых элементов совместно с построеннсл системой двух граничных интегральных уравнения можно рассматривать как значительно« принципиальное продвижение в решении основных классических задач для упругого паралле-липищца.

В заключение отметим, что на базе построенных при помощи МЗВ матриц Грина, интегральных уравнений и решения для различных конкретных тел декартовой, полярноа и цилиндрической систем координат в главе VII получены также аналитические решения новых конкретных граничных задач теории упругости, которые могут быть использованы в качестве тестовых задач для приближенных методов. Решения ряда задач, представленных в виде графиков и таблиц, были использованы в расчетной и проектной практике некоторых элементов конструкций, оснований и фундаментов нассных отанция (справка о внедрении я 01-63498).

В главе vin приводятся примеры построения интегральных уравнений основных задач теории упругости для регулярных ' сложных тел, состоящих из канонических частей. Окончательные решения, после решения предложенных интегральных уравнений, представляются в виде ..■ квадратур для каждой канонической части, входящей в состав исход- ■ ного регулярного сложного тела. Приводятся представления решений и интегральна уравнения для упругой пластинки, составленной из прямоугольк;жа и полукруга, а также для упругого тела, составленного из параллэлипипеда и полупространства при смешанных граничных условиях. Отмечается значительное снижение порядка системы интегральных уравнений МСЭВ по сравнению с методом упругих потенциалов.

Намечены также возможности применения МСЭВ в случае нерегулярных неканонических тел. При этом нерегулярное неканоническое тело может быть условно разделено на ортогональные супорзломенты влияния (построение матриц Грина для которых обеспечено МНЭВ) таким образом» чтобы суммарная площадь их контакта была по возможности минимальной. С этой точ1си зрения МЭВ может рассматриваться как ^"»циальный метод конечных суперэломзнтов. Канонические тела (ограниченные или полу ограниченные) ортогональных систем координат, для которых были построены в аналигичоском виде матрицы перемещений Грина могут рассматриваться как суперэлеминты влиллпн. Применение сутарэлэментов влияния к рзсчоту сложных произвольно-деформируемых твердых тел изменяет принципиально сущность традиционного метода конечных элементов, повышая в принципе его еффек-тивность и точность, сохраняя при этом универсальность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Впервые разработан единый метод построения интегральных уравнений трехмерных граничных задач механики произвольно-деформируемых твердых тел сложной формы, названный методом элементов влияния. Метод базируется на установленных в различных ортогональных системах координат общих интегральных представлений решений граничных задач механики деформируемых твердых тел, ядра которых впервые удовлетворяют концепции о тотальном влиянии и аналктачес-•кой разрешимости.

2. В граничных задачах теории упругости ядра установленных общих интегральных прбдетамкш рзвекла являются функциями га

для специально введенных несжимаемых ортогональных элементов шшя ння. Построенные на это2 основе граничные интегральные уравнения являются слабо-сингулярнымй з трехмерных и регулярными " в двумерных основных задачах теории упругости, К их решению применима хорошо разработанная классическая теория интегральных уравнений Фредголь-ма второго рода.

3. В граничных задачах механшси произвольно-дефоржруошх тверда тел сложной фор<ы ядра установленных общих интегральных представлений являются тензорами перемеяоннй Гриша для специально введенных сжимаемых ортогональных элементов влияния. Построенные на зтоа основе фунмдаонально-ннтегральнш ург является слабосингулярными в первой основной задаче и сингулярными во второй и основной смешанной граничных задачах механики деформируемых твор дах тол. В теории упругости тел сложной формы установленные уравнения обращаются в соответствующие граничные интегральные уравнения, к решению которых применимы теории многомерных сингулярных интегральных уравнений С.Г.Михлина, В.Д.Купрадзе и др.

4. Согласно предложенного метода решение трехмерных задач механики произвольно-дефоргаровэнных "."ел сложной формы сводится к решению соответствующих задач дет канонических тел, загруженных в общем случае дополнительном массовыми и поверхностными силами, предварительно определяемыми из установленных интогральных уравнений. Причем решения указанных задач для отдельных канонических тел представляются квадратурами.

5. Предложенный метод элементов влияния содержит в себе как универсальность прямых численных, так и точность аналитических методов, причем максимальная часть информации в окончательном решении получается в аналитическом виде. Показано» что он не просто содаержиг в себе как частные случаи отдельные существующие метода, но и имеет еще по сравнению с ними вполне определенные качественные и количественные преимущества.

В определенном смысле, предложенный метод может трактоваться как специальный метод суторконечных элементов, роль которых выполняют канонические ортогональные элементы влияния (для которых матирицы Грина построены в аналитическом виде), а вопросы их сопряжения сводятся к интегральным уравнениям относительно некоторых непрерывных функция на границе контакта, которые (например, методом коллокяций) могут быть сведены к опряиению ее отдельных точек.

6. Практическая реализация метода элементов влияния обесточена, во-первых, построенными уже в аналитическом и в удобном для приложений виде функций и тензоров перемещений Грина дня соответствующих неахимаемых и сжимаемых ортогональных элементов влияния,'; существенно расширяющих спектр функций и тензоров Грина, известных до настоящего времени и, во-вторых, возможностью их построения (на основе предложенных конструктивных формул) практически для любых областей ортогональных систем координат.

7. Эффективность предложенного метода продемонстрирована как ^ на известных, так и на новых трехмерных задачах теории упругости, для которых построены новью тензоры перемещений Грина, получены но-".*'; вые решения в интегральном и в аналитическом виде и построены новые интегральные уравнения для различных конкретных упругих тел, включая тела сложной формы. При этом построешпэ интегральные уравнения основных трехмерных граничных задач позволяют на основе известных существующих методик исследовать ассимггготическое поведение решений в угловых точках и на угловых линиях конкретных упругих тел.

8. Основные идеи и понятия предложенного метода элементов влияния могут служить основой для разработки новых методов решения трехмерных граничных задач для систем уравнений "з различных областей математической физики. В частности предложенный метод , может быть обобщен на динамические задачи механики деформируемых твердых тел сложной формы.

Обобщая наше заключение можно утверждать, что в предложенной <: диссертации намечено, по сути, новое направленна, в разработке. перспективных методов решения трехмерных граничных задач из различных областей математической физики, основанных на ойдах интегральных представлениях решения, которые через ядра удовлетворяют концепции о тотальном влиянии и аналитической разрешимости. Разработанный, в частности, на основе этой хонцзпции метод элементов влияния открывает широкие перспективные возможности реванш новых сложных трехмерных граничных вадеч мехвншл проиавольяо-двфории-рованных тверда тел нмишошпмм* Форш.

<

Основное содержат» диссертации отражено в публикациях:

1. Çeremet V.D. - FuncVll matrice Green. Elaato-, terieo-, electrostática corpurllor solide. Chlçinâu: ÇtllnVa, 1994, -220 p.

2. Шеремет В.Д. - Построение матриц Грина и их приложение в теории упругости. Кишинев.: Монография деп. в МолДИИШГГИ н 346 - M 94, - 289 О.

3. Sereraet V.D., - General Integral presentations and Oreen matrl-/ ces of one class elastlcltheory value problems. Proceedings of

the 2-nd National Conference on boundary and FINITE ELEMENT -with International participation. Section 1. Elfin II. Rom&nia. Stblu, 13-15 mat 1993, p.169-178.

4. Çeremefc V.D. - Hetoda funcVUlúc Green In problenele de frontier* ale teozlel elaatlclt&lil - Congresul XXIII al Academlel Hon&no-Amerlcane de çtilnV» »1 Arte, 1993, p.60.

5. Çeresset V.D, - Construirea natrlcelor elastice Green si apll-carea lor In mecánica. Prima conferlnV& de Hatematica Apllcati ?i industríala. Romania, Oradea, 1993, p.20.

в. Шеремет В.Д. - Построение функций и матриц влияния для упругой полосы. - Научные труда Гос.АУМ,' т.2, 1992. С,50-53.

7. Шеремет В.Д. - Функции и матрицы Грина граничных задач стационарной теплопроводности и статической упругости для прямоугольника. Деп.ВИНИТИ, и 2606 - 891, Ï99I, - 41 с.

81 Шеремет В.Д. - Позтроонда функций и матриц Грина для одного класса граничных задач теории упругости. Деп. ВИНИТИ, н 5I8-B 90 1990 - 23 с.

9. Шеремет В.Д. - Функциональные уравнения и общие интегральные представления решений краевых задач теории упругости. -Дэп.ВИНИТИ, N 904 - В.89, 1989, - 47 с.

10. Шеремет В.Д. - Фундаментальные решения некоторых зэдач теории упругости. - Изв.вузов. Математика, 1988, n II, с,85-88.

11.' Шеремет В.Д. - Построение тензора Грина некоторых задач для упругого паралелепипеда. Пред.журн. "Изв. АН Армянской ССР. Механика. N 2409 - В 88, 1988, 19 с.

12. Шеремет В.Д. - Тензоры влияния одной задачи для упругой четверги пространства. - Изв.вузов. с-тоительство и архитектура. 1086, N в, С.43-46.

13. Шеремет1 В.Д. - Построе"» тензора Грина в теории упругости. -

Вестник М1У, Серия I, Математика. 1'<эханика, 1984,.ч 2, С.94.

14. Шеремет В.Д. - Расчет упругого основания, подарепенного подпорной стенкой. - Изв.вузов. Строительство и архитектура, n 10, 1984, С.45-БО.

15. Шеремет В.Д. - К решению пространственной задачи теории упругости методом гармонических интегральных уравнений. -Тбилиси.: II Всесоюзн. конференц. по теории упругости, С. 296-297.

16. Шеремет В.Д. - Тензор Грина одной локально-смешанной задачи для упругого квадранта. - Изв.вузов. Математика, 1984. к 8, С. 52-58.

17. Шеремет В.Д. - Статическое равновесие упругой полуплоскости разгруженной сосредоточенной силой. - Прикладная механика, 1984 N 8, С.52-58.

18. Шеремет В.Д. - Применение функций влияния к определению напряжений несущей стены здания. Изв.вузов. Строительство и архитектура, 1984, N 5, С.24-29.

19. Шеремет В.Д. - Построение тензора Грина одной задачи для .упругого октанта. - Предст.журн. Изв.вузов. Математика, N 91084, 1984, II с.

20. Шеремет Б.Д. - Построение функций источника одной смешанной задачи для упругого октанта. - Математические исслэдования, Кишинев: Штиинца, 1984, н 77, С.162-167.

21. Шеремет В.Д. - Тензор влияния перемещений Грина одной локально-смешанной задачи для упругого полупространства. Изв.вузов. Математика, 1983, и 9, С .30-84.

22. Шеремет В.Д. - Построение и применение тензоров Грина в механике твердого деформируемого тела. Строительная механика и расчет сооружений, 1983, N 2, С.81.

23. Шеремет В.Д. - Единичное напряженно-деформированное состояние упругого октанта. - В кн.: Совершенств, мелиоратив. с/х систем. - 1983, С.75-79, .

24. Шеремет В.Д. - Термоупругая плоская деформация четверти пространтства. - Изв.вузов. Строительство и архитектура, 1983, N 7, С.41-45.

25. Шеремет В.Д. - Новое решение и обобщение задачи Миндяина для упругого полупространства. - Прикладная математика и механика сплошных сред. Кишинев: Штиинца, 1983, С.134-140.

28. Шеремет В.Д. - Равновесие упругого октанта, загруженного сос-

редоточенной силой. - Перед журналом "Изв. АН Армянской ССР ------- Механика. ы 6265-83, 1983, __ II <2.______

27. Шеремет В.Д. - Расчет упругих массивов в виде~четверти прост---------

ранства. В кн.: Совершенствование мелиоративных с/х систем. -Кишинев, 1983, С.72-75.

28. Шеремет В.Д. - Гармониеская аналогия одного класса зада теории упругости. Межвуз. сб. научн. статей "Повышение прочности деталей машин с/х техники", 1983, С.78-81.

29. Шеремет В.Д. - Тензор перемещений Грш: упругого полу-пространтста с защемленной граничнсг плоскостью. В кн.: Численный анализ в задачах механики. - Кишинев: ©псица,

С.139-143.

30. Шеремет В. Д. - Расчет прочности с/х конструкций с учетом неоднородности материала методом интегральных уравнений. Распубл. Научно-произв. конференц. ч.И, 1981, C.II9-I20.

31. Шеремет В.Д. - Тензоры Грина одной смошанной задачи для упругого полупространства. - Изв.зузов. Строительство и архитектура, 1981, N 3, С.32-36.

32. Иерег^ет В.Д. - Некоторые фундаментальные решения задач глпггго статики и их приложения к расчету трубопровода, Межвуз. сб. научн. статей "Прочность конструктивных элементов с/х систем", 1980, С.7-1Б.

aonotare

In tez*, pentru priesa ¿ata, a foet elaborat* o aetod» unltarà de construite at&t a matrlcelor Oreen »1 a solutlllor Integrale In teoría elastlclt*Vil, c»t a ecuatlllor »1 soluVlllor Integrale In problemel« spatiale fundamentale ale oecanlcli corpurllor arbltrar-deforaablle. de forai. complicata. Metoda , se bazeazk pe concep^ll fl no^lunl nol, Introduee tn «od special cu scopul coabaterll dezavantagelor metodelor existente da calcul ale pro-blemelor spatiale de frontier*.

Resultatela teoretlce »I practice de ordln general si concret obtlnute demonstreaza c* raetoda propusâ nu numal с* convine în sine, ca cazur 1 particulate, diverse metode deja existente, dar posed* In comparable cu el» anuslte prlorlt*(l care dau posibilítate de a reaolva clase nûl de problem« spatiale In itecanlca corpurllor deforaabilês

SUMMARY

In this thesis, there hat been elaborated foe the fleet tine a nev method of construction the Green'» matrix and Integral solutions within the resilience theory, «8 veil as Integral equations and solutions In Mechanic fundamental special problems of arbitrary-deformed corps of a complicate form, the method is based upon nev conceptions and notions introduced especially on purpose of controlling the existent calculus methods of special / boundary problems.

The obtained theoretical and practical results of general and concrete order demonstrate that the given method not only contains as In particular cases different existent methods, but also has in comparison with them certain priorities vhlch give us the poslbl-llty of solving nev categories of special problems in the deformed corps mechanics.

i