Зацепления в вещественом проективном пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Ленинградский ордена. Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственный университет

На правах рукописи

ДРОБОтаИНА Юлия Владимировна

ЗАЦЕПЛЕНИЯ В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (01.01.04 - геометрия и топология)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград 1991

Работа выполнена в лаборатории геометрии и топологии Ленинградского отделения ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

ТУРАЕВ Владимир Георгиевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор

ХАРЛАМОВ Вячеслав Михайлович,

доктор физико-математических наук профессор

МАТВЕЕВ Сергей Владимирович

Ведущая организация - Математический институт имени В.А.Стеклова АН СССР.

Защита состоится "¿6 " 06_ 1991 г. в

час. на заседании специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ленинградском государственном университете. Адрес совета: 198904, Ленинград, ст.Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет ЛГУ. Защита будет проходить по адресу: 191011, Ленинград, наб.р.Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение ЛОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького ЛГУ, Ленинград, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "Д| " 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент Р.А.ШМИДТ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и цель работы. Объектами классической теории узлов являются узлы и зацепления в трехмерной сфере.Однако многие понятия и результаты этой теории распространяются на случай трехмерных многообразий:, отличных от сферы. Вещественное проективное пространство К Р ближе других трех -мерных многообразий к сфере 5Э. Оно естественно возникает в многочисленных геометрических ситуациях. В классической теории узлов эажную роль играет представление зацеплений диаграммами на плоскости. Проекция проективного пространства из точки на проективную плоскость доставляет возможность представлять зацепления в НР диаграммами.

В 1985 году Дкоунс [-4] ввел новый полиномиальный инвариант классических зацеплений. Многочлен Джоунса определен для ориентированных зацеплений; Кауффман [б] в 1986 году предложил версию многочлена Джоунса для оснащенных зацеплений и новый способ вычисления многочлена Джоунса, основанный на статиста- ■ ческой модели. С помощью кауффманской модификации многочлена Дяоунса оказалось возможным решть ряд задач теории узлов, поставленных еще в прошлом веке. Впоследствии были определена _ родственные полиномиальные инварианты классических зацеплений [з] , [б] я числовые инварианты зацеплений в трехмерных многообразиях, обобщающие значения многочлена Джоунса в корнях из единицы [7] , [9] . Оцнако все эти инварианты пока уступают многочлену Джоунса в простоте статистических моделей, участвующих в их определении, и в яркости приложений к геометрическим задачам.

Цель настоящей работы - построить полиномиальные инварианты зацеплений в ЯР3 , обобщающе версии многочлена Джсун-са классических зацеплений а использовать эти инварианты для решения ряда проблем теории зацеплений в КР •

Научная новизна.

I. Дня зацеплений в ЕР (ориентированных, неориентированных, оснащенных) определены полиномиальные инварианты -

многочлены Лграна от одной переменной, обобщающие соответству-тоае варианты многочлена Джоунса.

П. Доказаны аналоги теорем Кауффмаяа-Мурасуги, выражащке связь между комбинаторными характеристиками диаграммы зацепления ж многочленом защелления. -

Ш. Введен класс проективных зацеплений Монтесиноса ( и проективных четырахсплетений), аналогичный классу зацеплений Монтесиноса в 55 (включающему в себя четкрехсшетения). Для этого класса зацеплений решены задачи классификации с точностью до изотопия и до гомеоморфизма. Расклассифицированы (с точностью до изотоши ж до гомеоморфизма) зацепления с числом двойных точек <6.

Методика исследований. В работе црименяются метода классической теория узлов и алгебраической топологии.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы в топологии многообразий малых размерностей и в вещественной алгебраической геометрии.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре ям.Александрова в МГУ (1990 г.), на топологическом семинаре Ленинградского отделения Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР (1989, 1990 гг.) и на третье! сессии семестра по квантовым группам Международного математического института им. Эйлера (1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ю- н] , перечисленных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 86 страниц машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 22 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

§ I. Зацепления в КР , их диаграммы и многочлены хауффшнского типа

1.1. Зацепления в КР и их диаграммы. Зацеплением в КР называется одномерное замкнутое гладкое подмногообразие [_,С1 КР. Изотопией зацепления Ь называется гладкая гомотопен (ц : I*

КР3

[0,1] , где 4»- включение Ь ВР* . Два

зацепления , Ьа изотопны, если существует изотония ( ) зацепления с Зацепления в

КР3

1 " = задаются диаграммами, которые отличается от обычных ди-

к3

аграш зацеплений в 1К~ тем, что размещаются ке на дяоскости, а в круге, причем концы дуг, выходящих на границу этого круга, разбиваются кс пары диаметрально противоположных точек. На рис. I показаны локальные преобразования диаграмм, обоб-

щающее преобразования Еэйдема2стера диаграмм обычных зацеплений.

>о • \ О.: ¥-)(.

а.

Вас. I

Зацепления в ЯР изотопны тогда и только тогда, когда их диаграммы можно соединить последовательностью преобразований и изотопией диаграмм. 1.2. Диаграммы и оснащения зацепления. Оснащением зацепления Ь называется неособоа нормальное векторное поле на Ь »

Оно рассматривается с точностью до гомотошш в классе не особых норггальвнх векторных поле! на 1_, . Оснащение зацепления Ь с: К Р строятся со диаграмме зацепления Ь следуодим образом. Диаграмме 2) поставам в соответствие оснащение зацепления С нормальными цряшш, вдоль которых производится проектирование Для каждой стягиваемой в КР компоненты зацепления это оснащение прямыми порождается некоторым оснащением векторами, определенным однозначно с точность» до нзотоши. В случае нестя-гаваемой компоненты для получения из этого оснащения цряшш векторного оснащения необходимо изменить оснащение прямыми на пол-оборота. Условимся, для определенности, цроизвести изменение так, чтобы оснащение сделало дополнительные пол-оборота по левому винту . Задаваясь любым зацеплением в КР3 , его диаграммой и оскащешен, ш иогем посредством нескольких цреобразований добиться, чтобы это оснащение отвечало дааграм-це. Если оскащеннне зацепления с оснащениями, построенными по днаграшам, изотопны (как оснащенные зацепления), то эти диаграммы получаются друг из друга при помощи преобразований

1.3. Состояния диаграммы и многочлен оснащенного зацепления. Состоянием диаграммы называется выбор в каядой двойной точке юры вертикальных углов. Этот выбор в кавдой, двойной точке можно произвести двумя способами. - см. рис. 2. Выбранные

хнА

Вис. 2

области указывает соединяюнщм их отрезком - маркером. Маркеры бывают двух типов: типа А и типа В , см. рис. 2.

Пусть 5 - состояние диаграммы.. <Ь . Обозначим через &(&) и 6($) число маркеров типа А и типа В соответственно. Произведен в каждоЗ двойной точке сглаживание в соответствии с ее маркером - см. рис. 3. При зтом образ диаграммы в проективной плоскости , которая получается из круга диаграммы .отовде

ствлением диаметрально противоположных точек границы круга,

Ряс. 3

превратится в несколько непересекающихся окружностей. Число этих окружностей обозначим через |5| . Многочлен гГ(А) =

ас&)-6с5) г » ,5,-! = ¿т- ч п л у , где суммирование производится по

О

всевозможным состояниям & диаграммы 2) , инвариантен относительно "преобразований а, следовательно, является инвариантом оснащенного зацепления.

. 1.4. Многочлены ориентированного и неориентированного зацепления. Црсть Ь - ориентированное зацепление. Ориентация зацепления 1_ определяет ориентации его диаграммы 2) и позволяет определять число = 211 , где £¿=«1 или

- 1 в зависимости от типа двойной точки - см. рис. 4, а суммирование производится го всем двойным точкам. Многочлен

Ряс. 4

УЬ(А) = (-А) (А) инвариантен относительно преобразо-

ваний и, следовательно, является инвариантом ориенти-

рованного зацепления. Многочлен (А) обобщает многочлен Дкоунса (в форме КауфЗмана) для зацеплений в К3 : для зацеплений в К*С ЯР3 эти многочлены совпадают.

IfycTb L - неориентированное, зацеплеше с диаграммой 50 . Ориентируем L произвольным образом и положим itf (ft)=

® Ь к , где суммирование производится по всем двойным

точкам диаграммы eö , являющимися. точками самопересечения одной и той же компоненты зацепления. Многочлен J, (А) =

~ "O^j (А) на зависит от выбора ориентации зацеп-

ления L и является инвариантом неориентированного зацепления.

1.5. Шшшость зацеплений, Зацеояение в RP называется аффалным, если оно изотопно зацеплению, содержащемуся в афрян-ной частя пространства R Р . Дяя многочлена Лорана V от одной переменной через bpcui- V обозначим разность между максимальным и минимальным показателями степеней одночленов, входящая в V .

Теорема.. Цусть L - зацепление в IRP с к компонентами. Если среди степеней одночленов, входящих в V^ встречаются числа, не сравнимые с 2,(k-i)moi4 , то зацеплеше неаффинно.

Теорема. Зацеплеше L , цредставленной альтернированной диаграммой, аадинно тогда и только тогда, когда&pouvVL«OvuodL^. Назовем сетью образ в RP нескольких окружностей при догружении общего положения. Каждой диаграмме отвечает сеть в проективной плоскости, полученной из крута диаграммы отождествлением диаметрально противоположных точек границы круга.

Теорема. Зацепление, представленное альтернированной диаграммой, афрдкно тогда и только тогда, когда сеть, отвечающая этой диаграмме, стягиваема в ¡RP .

§ 2. Обобщение теоремы КауЗфмава-ЭДурасуги

2.1. Оценки числа двойных точек диаграммы, фсть 2) - диаграмма зацепления L . Обозначим через C-(Ä) число двойных точек диаграммы Sh , через ц, (Sb) - число компонент связности соответствующей сети.

Теорема I. Цусть 5) - диаграмма зацепления L СIR Р1 .

Тогда

4 (с (Ä)* 1 (Я)- L) > &ра* VL .

Эта теорема обобщает неравенство Кауф|шна-Мурасугя [ю]. Для диаграмм специального вида неравенство можно усилить.

Сеть называется разбивающей, если она служит общей границей двух подмножеств своего дополнения в КРа . Сеть называется стягиваемой, если ее включение в КРг гомотопно постоянному отображению.

Теорема 2, Для диаграмм с разбиващей нестягиваемой сетью

4 (с (£) + г(&))-6 > браи^.

Теорема 3. Для диаграмм с неразбивающей сетью, в которой найдутся 2.р односторонне влоненных окруаностей без общих ребер (но, разумеется, с общими вершинами),

А (с (&) + г (&)-±-р) > Эрои^.

2.2. Экстремальные свойства оценок. Диаграмма зацепления в КР1 называется альтернированной, если при ее обходе прохо^-ды и переходы чередуются тогда а только тогда, когда дуга между соседними двойными точка;,щ пересекает границу круга диаграммы в точках, к= 0,1,2,... . Диаграмма называется редуцированной, если в КР не существует двусторонне вложенной окружности, пересекающей эту диаграмму ровно в двух точках поблизости от двойной точки, как на рис. 5.

Втс. 5

Теорема 4. В случае диаграммы с разбивающей сетью Ц ( С(2>) + Т'(ЙЗ)-1)«$ран,У1> тогда и только тогда, когда 2) является редуцированной диаграммой со стягиваемой сетью и пе-

реводатся. последовательностью преобразований и Q5 в диаграмму, являщуюся сеязной суммой нескольких альтернированных дааграш (одна нз которых - диаграмма зацепления в КР^ , остальные - диаграммы зацеплений в 5Э

Эта теорема обобщает теорему Кауффшна-Мурасуги.

Теорема 5. В, случае диаграммы с неразбивавдей сеть©

А тогда и только тогда, когда Я)

является редуцированной диаграммой и переводится последовательностью преобразований £25 в диаграмму, являющуюся связной сушой"дааграш, которые все, кроме одной, альтернированы, а в единственной неальтершрованвой диаграмме условие альтер-ннрованностн нарушается ровно на одном ребре.

Теорет 6. В случае диаграммы с разбивающей сетью А (с (а) +1 (&))-<> =■ брал У^ тогда и только тогда, когда является редуцированной диаграммой с нестягиваемой сетью и переводятся последовательностью преобразований 0,ц и 01$ в диаграмму, являющуюся связной сушой нескольких альтернированных дааграш..

В теоремах 4. 5, и 6 участвует одно и то же свойство да- * аграки. Диаграмму зацепления в КР3 - назовем слабо альтернированной, если она переводится последовательностью преобразований и в диаграмму, являщуюся связной суммой некоторого числа диаграмм, из которых все, крше может быть одной, альтернированы, единственная же неальтернкрованная диаграмма появляется лишь в случае неразбивающей сети, причем условие альтернарованности нарушается ровно на одном ребре.

Следствие теорем. Две слабо альтернированные редуцированные диаграммы изотопных зацеплений в ЕР1 имеют одинаковое число двойных точек. Это число является минимальным числом двойных точек для всех диаграмм зацеплений этого изотопического типа. Любая-диаграмма зацепления того'ае изотопического-типа с этим числом двойных точек является.слабо альтернированной и редуцированной. . ' . •

§ 3. Проективные четырехсплетения и проективные зацепления Монтисиноса

3.1. Определения. Тенглом называется одномерное комшкт-

вое гладкое подмногообразие Ь стандартного шара границей 31 , состоящей из двух пар центрально симметричных точек, лежащих на. ортогональных диаметрах. Следуя Конвею [£] , раци-

ональным тенглом

4-1 + II

называют тенгл,

изображенный на рис. 6. Проенгиввш четнрехсплетением называется зацепление Ь си , полученное из рационального тенгла

4 X у> /)

I £ V X * Я

3

Вю. 6

i С 5)5 при отождествлении диаметрально противополояннх точек граничной сферы 9 ЗУ1 . Проективным зацеплением Монтесино-са типа (е > р±/ ,..., рг/) называется зацепление, изображенное на рис, 7, где ее Ж , 1 р^у^ - рациональный тенгл

р^/ (¡11 , ^>2. а р^ , (Ц взаимно просты для всех V 3 I »• • • | Т' *

Ейс. 7

3.2. Классификапвя проективных четырехсплетений. Теорема. Два зацепления в КР3 , получающиеся из рациональных генглов р/о, и 1/5 (со взаимно простыми р ,

н Ч* , & ) изотопны тогда и только тогда, когда р /с^ = = %/ 5 яли р /С| = - 5 /1/ и гомеоморфны тогда я только

тогда, когда или |р/<у| «|5/*И

Существенным элементом доказательства этой теорема является изучение двулистных накрытий цространства |КРа , разветвленных над проективным че тырехс плетением. Существуют в точности два накрытия пространства 1ЯР , разветвленных над зацеплением, полученным из рационального тенгла р . Они гомеоморфны призматическим многообразиям С1(|р|,)^|) я Это позволяет воспользоваться известной топологической классификацией призматических многообразий [I] , [8] .

3.3. Класси(|жкация проективных зацеплений Монтесиноса.

Теорема. Два проективных зацепления Монтесиноса типов

рг/н) и Се'с

1,Ч',>2. изотопны тогда и только тогда, когда

1) и

Iе! 1 4гш1

2) последовательности (р, ^ шоА { ,...; рх,/^ и^А 1) и СР±1; • • • з Рг' А}V ^но^О получаются друг из друга в

результате циклической перестановки и (или) обращения порядка.

В доказательстве этой теоремы используется классификация зацеплений Монтесиноса в 5 и го обстоятельство, что прообраз проективного зацепления Монтесиноса при накрытии 6 —»-К.Р3 является зацеплением Монтесиноса.

Следствие. Два проективных зацепления Монтесиноса типов

гомеоморфны тогда в только тогда, когда существует такое , равное I или -I, что

1) я

2) последовательности .p^^tftoii^ и

(twoiLy-.} vuod 1) получаются друг

из друга в результате циклической перестановки и (или) обращения порядка. ■

j

§ 4. Классификация зацеплений в RР с небольшим числом точек скрещивания

Расклассифицированы с точностью до изотоши и до гомеоморфизма неприводимые неаффинные зацепления в RP , которые можно задать диаграммами с числом точек скрещивания ^ Эта классификация основана, во-первых, на применении к зацеплениям в IRP схемы, предложенной Конвеем [2] для классификации зацеплений в R3 , я, во-вторых, на использовании поли- " номиального инварианта зацеплений - многочлена | (см.п.1.4). В таблице приведены 110 неизотопных зацеплений и их многочлены. Заметим, что таблица неприводимых классических зацеплений в IR3 , которые можно задать диаграммами с числом точек скрещивания ^ 6, содержит 14 зацеплений. Многочлена f достаточно для различения всех ПО зацеплений таблицы. Ш одно из зацеплений таблицы не имеет тривиального многочлена. Среди 110 табличных зацеплений восемь являются зеркальными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Asano К. Hoirteomorphisms of prism manifolds // Yokohama Math.J., 26 (1978), 19-29.

2. Conway J.H. An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties // Computational problems in Abstract Algebra. Pergamon Press, 1970.

3. Freyd P., Yetter D., Lickorish W.8.R., Millett K., Ocneanu A., Host J. A new polynomial invariant of knots and links // Bull. Amer.Math.Soc. 12(2) 1985, 239-246.

4. Jones V. A polynomial invariant for knot via von Neumann algebras // Bull.Amer.Math.Soc. 12 (1985), 103-111.

5. Kauffman L. State models and Jones polynomial // Topology 26 (1987), 395-407.

6. Kauffman L. An invariant of regular isotopy // Trans. AMS 318 (1990), 417-471.

7. Reshetikhin H.Xu., Turaev V.G. Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups // Preprint, 1989,

S. Rubinstein J.K. On 3-manifolds that have finite fundamental group and contain Klein bottles // Trans. AMS 251 (1979), 129-137,

9. Turaev V.G. Quantum invariants of links and 3-valent graphs in.3-manifolds Ц Preprint, 1990.

Работы автора no теме диссертации:

10. Дроботухина Ю.В. Аналог многочлена Джоунса для зацеплений в RP3 и обобщение георемы Кауффмана-Мурасугн // Алгебра и анализ, 2, вып.З (1990), I7I-IS2.

11. Дроботухина Ю.В. Классификация проективных зацеплений Монтесиноса // Алгебра и анализ, 3, вып.1 CI99I) , II8-I30.

Зак. 427. Тирах 100 зкз.6.05.У1 г. Печ. л. 0,9. Бесплатно.