О некоторых комбинаторных инвариантах узлов и зацеплений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КАРЕВ Максим Владимирович 1' _____

2?

О НЕКОТОРЫХ КОМБИНАТОРНЫХ ИНВАРИАНТАХ УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ

01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2009

Работа выполнена в лаборатории теории представлений и вычислительной математики учреждения Российской академии наук "Санкт-Петербургское отделение математического института имени В. А. Стеклова РАН".

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

с.н.с. ДУЖИН Сергей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

проф. ЛАНДО Сергей Константинович (Государственный университет "Высшая школа экономики")

кандидат физико-математических наук, с.н.с. ПОДКОРЫТОВ Семен Сергеевич

(ПОМИ РАН)

Ведущая организация: Математический институт имени

В. А. Стеклова РАН (г. Москва)

Защита диссертации состоится декабря 2009 г. в часов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском Государственном университете по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

Адрес диссертационного совета: 198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Университетский пр., д. 28.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения математического института имени В. А. Стеклова.

Автореферат разослан иц£ ноября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.29 в СПбГУ

доктор физ.-мат. наук, профессор В. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена теории инвариантен! узлов и зацеплений. На защиту выносятся три результата. Первый результат относится к теории инвариантов конечного типа. Второй — к комбинаторной теории гомо-логий Хегора-Флоера. Третий результат -- к теории фундаментальных групп дополнений до зацеплений в трехмерной сфере S3.

Понятие инварианта конечного тина (или инварианта Васильева) для узлов независимо появилось в трудах В. А. Васильева1 и М. Н. Гусарова2. В. А. Васильев рассматривал эти инварианты как компоненты определенной фильтрации нулевых когомологий дополнения к дискри-минантному множеству пространства гладких отображений прямой в К3 с фиксированной асимптотикой на бесконечности. Подход М. Н. Гусарова был более комбинаторным и основывался на изучении гауссовых диаграмм узлов. Вскоре выяснилось, что большое количество уже известных инвариантов узлов так или иначе связаны с инвариантами конечного типа, что и побудило многих исследователей к их тщательному изучению. Была высказана гипотеза о полноте класса инвариантов конечного типа, которая и по сей день остается ни доказанной, ии опровергнутой. Таким образом вопрос, насколько хорошо инварианты конечного типа могут различать узлы и, в частности, использоваться для определения ориентации, является одним из актуальных вопросов маломерной топологии.

Одна из глав диссертационной работы посвящена проблеме различения ориентации на длинных зацеплениях с помощью инвариантов конечного типа. Напомним, что длинным зацеплением называется гладкое вложение объединения нескольких ориентированных пронумерованных копий К1 в К3 со стандартной асимптотикой на бесконечности, рассматриваемое с точностью до изотопии, тождественной вне некоторого шара. Операция смены ориентации на длинных зацеплениях может быть определена так. Сначала мы изменяем ориентацию на всех компонентах параметризующего зацепление многообразия, а потом подвергаем R3 евклидову повороту на 180°. Очевидно, что при таком преобразовании мы

Например, В.А.Васильев Топология дополнений к дискриминантам. — М.: Фазис, 2007.

2М. Н. Гусаров Новая форма полинома Конвея-Джонса для ориентированных зацеплений. // Зап. научных семинаров ЛОМИ, 193, Геометрия и топология, 1, 163, 1991, стр. 4-9.

снова получаем вложение того же класса. Мотивация этого определения основывается на том, что если применить указанное преобразование к длинному узлу, то мы получим узел с обращенной ориентацией в классическом смысле.

В 1964 году Троттер доказал3 необратимость некоторых узлов (например, крендельного узла Рз,5,7)- Простейшим необратимым узлом является узел 8174. Инварианты, используемые для доказательства неэквивалентности узла своему обратному, довольно сложны, и до сих пор не известно, можно ли различить какую-то пару взаимно обратных узлов при помощи инвариантов конечного типа.

Единственным опубликованным результатом по проблеме определения ориентации зацеплений является теорема Лина5, которая утверждает, что инварианты Васильева различают ориентацию замкнутых зацеплений с 6 или более компонентами. Имеется еще несколько работ, имеющих к этой задаче лишь косвенное отношение. Например, Бар-Натан6 изучает гомотопические инварианты струнных зацеплений, а Лин7 и Фидлер8 используют классы инвариантов, отличные от классических инвариантов конечного типа.

В случае длинных зацеплений переформулировка проблемы различения ориентации в терминах хордовых диаграмм немедленно показывает, что ответ утвердителен, если число компонент зацепления строго больше 2. В случае 2-компонентных зацеплений этот вопрос нетривиален и является одним из трех вопросов, изучаемых в диссертационной работе.

Следующая глава диссертационной работы посвящена комбинаторной теории гомологий Хегора-Флоера. Гомологии Хегора-Флоера родились как инвариант 3-многообразий, определенный через подсчет голоморфных дисков и диаграммы Хегора. В работах Ожвата-Сабо9 и Расмуссе-на10 был сконструирован аналог этого инварианта для гомологичных ну-

3Н. F. Trotter Non-invertiblc knots exist. // Topology 2, 1964, pp. 275-280.

4A.Kawauchi The invertibility problem on amphichieral exellent knots. // Proc. Japan Acad., Ser. A Math. Sci. 55, no.. 10, 1979, pp. 399-402.

5X.-S. Lin Finite type link invariants and the invertibility of links. — Math. Res. Letters 3, 1996, no. 3, pp. 405-417.

"D. Bar-Natan Vassiliev Homotopy String Link Invariants. // Journal of Knot Theory and its Ramifications 4-1,1995, pp. 13-32.

7X.-S. Lin Finite type link invariants and the invertibility of links. // Math. Res. Letters 3,1996, no. 3, pp. 405-417.

8T. Fiedler Isotopy invariants for closed braids and almost closed braids via loops in stratified spaces. - Preprint, 2006.

9P. S. Ozsv&th, Z.Szabd Holomorphic Discs and Knot Invariants. — // Adv. Math., 186, 2004, no.l, pp. 58-116.

10J. A. Rasmussen Floer Homology and Knot Complement. — PhD thesis. — Harvard University, 2003.

лю узлов в замкнутом ориентированном 3-многообразии. Впоследствии был найден замечательный способ подсчета этого инварианта для узлов в 3-сфере комбинаторными методами. Этот подход был развит в работе Манолеску-Ожвата-Сабо-Терстона11.

Напомним, что категорификацией инварианта /, принимающего значение в некоторой абелевой группе, называется предъявление теории гомологий С/, такой, что (градуированная) эйлерова характеристика в этой теории дает инвариант I, а гомологические группы (или даже сильнее, тип квазиизоморфизма) сами являются инвариантами. По-видимому, первым примером категорификации является построение клеточного цепного комплекса для эйлеровой характеристики CW-комплекса. Классическим современным примером служит комплекс Хо-ванова (см. оригинальную работу Хованова12 или обзор Бар-Натана13), категорифицирующий полином Джонса. Известно (см., например, работу Манолеску-Ожвата-Сабо-Терстопа14), что гомологии Хегора-Флоера решают задачу категорификации полинома Александера.

К сожалению, вычисление гомологий Хегора-Флоера крайне трудоемко. Число образующих комплекса Флоера с ростом сложности зацепления растет факториальпым образом. Поэтому хотелось бы иметь в руках способ, позволяющий упростить вычисления. Это напоминает ситуацию с полиномом Александера, оригинальное определение которого (см., например, книгу Рольфсена15) весьма неудобно для вычислений, однако наличие скейн-соотношений (известных еще Александеру) значительно упрощает дело. Оказывается, в случае с гомологиями Хегора-Флоера также есть инструмент, позволяющий вычислять их рекурсивно. Длинная точная последовательность, категорифицирующая разрешение перекрестка, была построена в работе Ожвата и Сабо16, а задача, которую мы ставим перед собой, является естественным продолжением этой деятельности. Мы рассматриваем зацепления, одна из компонент которых незаузленна и незацеплена с остальными и вычисляем гомологии Хегора-Флоера в этой ситуации.

"С.Manolescu, P.S.Ozsväth, Z.Szabö, D.P.Thurston On Combinatorial Link Floer Homology. — Preprint, 2006.

,2M. Khovanov A categorification of the Jones polynomial. — // Duke Math. J. 101(2000) no. 3, pp. 359-426.

13D. Bar-Natan Khovanov's homology for tangles and cobordisms. — // Geom. Topol. 9(2005), pp. 1443-1499.

14C.Manolescu, P.S.Ozsväth, Z.Szabö, D.P.Thurston. Opus citatum.

15D. Rolfsen Knots and linb. - AMS Bookstore, 2003.

16P. S. Ozsväth, Z. Szabö On the Skein exact sequence for knot Floer homology. — Preprint, 2007.

Замечание. Гомологии Хегора-Флосра для несвязной суммы зацеплений были вычислены Ожватом и Сабо17 с использованием оригинальной техники подсчета голоморфных дисков. Однако в этой работе использовался менее тонкий вариант гомологий, в котором алсксандеровская градуировка имела только одну компоненту безотносительно к числу компонент зацепления. Вычисление, проведенное в настоящей работе, использует другой, более тонкий вариант гомологий Хегора-Флоера, а также развивает технику, которая может оказаться полезной при решении других задач.

Последняя глава диссертационной работы посвящена эпиморфизмам фундаментальных групп зацеплений. Интерес, испытываемый к фундаментальным группам различными исследователями, в первую очередь, связан с тем обстоятельством, что фундаментальная группа является довольно сильным инвариантом. В частности, простые узлы определяются своими фундаментальными группами однозначно. Изучение эпиморфизмов между группами зацеплений может быть мотивировано тем, что отношение "группа узла К допускает эпиморфизм на группу узла К"' является частичным порядком на множестве всех простых узлов (см., например, работу Сильвера-Виттена18). Многие ожидают, что наличие этого отношения на множестве простых узлов когда-нибудь поможет найти новые связи между топологическими свойствами и инвариантами зацеплений. Хорошо известным примером подобной связи может служить такое утверждение: если существует эпиморфизм -кК —> ir К', то полином Александера узла К делится на полином Александера К' (см., например, книгу Кроуэлла и Фокса19).

Систематический способ построения пар узлов, группы которых допускают эпиморфизм из одной в другую, был предложен Каваути20. Его теория помогает построить узел, который имеет схожие с данным узлом топологические свойства. В частности, эта схожесть свойств индуцирует наличие эпиморфизма. Известны также эпиморфизмы групп зацеплений, получаемые при использовании симметрии, связных сумм и сателлитов.

пР. S. Ozsvàth, Z. Szabö Holomorphic disks and knot invariants. — // Adv. Math. 186, no. 1,2004, pp. 58-116.

18D.S. Silver, W.Whitten Knot group epimorphisms. — // J. Knot Theory and Ramifications, 15(2), 2006, 153-166.

19 R. H. Crowell, R. H. Fox Introduction to Knot theory. — Graduate text 57. — Springer-Verlag. — New-York, 1977.

20A.Kawauchi Topological imitations. — // Lectures at KNOTS '96 (Tokyo), Ser. Knots Everything 15. - World Sei. Publ., River Edge, NJ, 1997, pp. 19-37.

Мы предлагаем еще один способ построения зацеплений, группы которых допускают эпиморфизм и группу данного зацепления. Наша конструкция проводится с помощью изучения свойств копредставления группы зацепления, получаемого из действия группы кос на свободной группе. Также мы показываем, что эпиморфизм из группы связной суммы зацепления Ь с узлом К в группу Ь и эпиморфизм, приходящий из факторизации по действию циклической группы, могут быть получены с помощью нашего метода.

Цель работы.

Основной целыо диссертационной работы является изучение свойств таких комбинаторных инвариантов узлов и зацеплений, как инварианты Васильева, гомологии Хегора-Флоера и фундаментальная группа дополнения до замкнутого узла к трехмерной сфере б?3.

Основные методы исследования.

Для доказательства различимости ориентации двукомпонентных длинных зацеплений использовались методы теории алгебр Ли (такие как теория универсальных обертывающих и симметрических алгебр). Для выражения гомологий Хегора-Флоера использовались методы гомологической алгебры, такие как построение длинной точной гомологической последовательности. Для построения серий зацеплений, группы которых допускают эпиморфизм в группу данного, использовались методы теории расширений групп.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Получено доказательство того факта, что инварианты конечного типа различают ориентацию двукомпонентных длинных неоснащенных зацеплений; указан способ построения инварианта двукомпонентных длинных неоснащенных зацеплений порядка 7, позволяющего определить ориентацию.

2. Найдена связь гомологии Хегора-Флоера зацепления, одна из компонент которого незаузлена и незацеплена с остальными, с гомоло-

гиями Хегора-Флоера зацепления, полученого из исходного выбрасыванием этой компоненты.

3. Для данного замкнутого зацепления L построена серия зацеплений, фудаментальная группа которых допускает эпиморфизм в фундаментальную группу данного. Показано, что для всех узлов К связная сумма ЬфК, а также разветвленное накрытие, ассоциированное с действием циклической группы на сфере S3, попадают в эту серию.

Практическая и теоретическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в различных задачах теории инвариантов узлов и зацеплений.

Апробация результатов.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

1. Семинар по маломерной математике под руководством С. В. Дужина, ПОМИ (2007).

2. Международная конференция "Algebra and Geometry around Knots and Links", СПб (2007).

3. Русско-японский коллоквиум молодых математиков под руководством Т.Мива, Б. Л.Фейгина и Д.Б.Каледина, Киото (2009).

4. Санкт-Петербургский городской топологический семинар под руководством Н. Ю. Нецветаева (2009).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4]. В статье [1], написаной в соавторстве с C.B. Дужиным, автору диссертации принадлежит доказательство существования инварианта конечного типа, способного различать ориентацию оснащенных двукомпонентных зацеплений, в терминах

крашеных диаграмм Якоби и раздел о переходе к неоснащенному случаю. Соавтору принадлежит доказательство существования инварианта конечного типа, способного различать ориентацию оснащенных двуком-понентных зацеплений, в терминах хордовых диаграмм и компьютерная программа для вычисления весовых систем фиф. Статья [1] опубликована в журнале, входящем в перечень ВАК. Остальные работы написаны соискателем без соавторов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 51 странице и состоит из четырех глав и списка литературы. Список литературы содержит 42 наименования.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертации носит вводный характер. В ней мотивируются исследования, проведённые в диссертации, кратко излагается содержание работы и формулируются основные результаты.

Вторая глава посвящена инвариантам конечного типа.

Мы определяем инварианты конечного типа для длинных зацеплений со значениями в поле характеристики 0 аналогично тому, как они определены в классическом случае узлов.21

Интеграл Концевича дает возможность изучать свойства инвариантов конечного типа для двукомпонентых длинных неоснащенных зацеплений в терминах пространства обобщенных хордовых диаграмм на двух нитях Л{2). Напомним, что обобщенной хордовой диаграммой на двух нитях называется конечный (возможно, пустой) 1-3-валентный граф, снабженный двумя дополнительными структурами. Первая структура — это заданый циклический порядок полуребер, сходящихся в каждой трехвалентной вершине. Вторая структура — это сопоставление каждой одновалентной вершине графа элемента множества {1,2} (называемого цветом) и полное упорядочивание множества вершин, покрашенных в один и тот же цвет. Каждой хордовой диаграмме можно приписать степень — половину числа вершин соответствующего графа.

Пространством обобщенных хордовых диаграмм на двух нитях Л(2) называется некоторое факторпростраство векторного пространства, по-

21 см., например, D. Bar-Natan On the Vassiliev knot invariants. — // Topology, 34, 1995, pp. 423-472.

рожденного всеми хордовыми диаграммами. Соотношения, участвующие в определении .4(2), однородны по степени, что дает возможность ввести на Л(2) структуру градуированного векторного пространства.

Замечание: на самом деле на .4(2) можно ввести структуру локально конечной кокоммутативной алгебры Хопфа. Структурная теорема для алгебр Хопфа окажется чрезвычайно полезной для наших нужд при переходе к неоснащенному случаю.

Связь между фильтрованным пространством инвариантов Васильева (оснащенных) двукомпонентных длинных зацеплений и градуированным пространством .4(2) состоит в том, что существует изоморфизм ассоциированного с фильтрацией градуированного пространства инвариантов Васильева на пространство, двойственное к .4(2).

Оказывается, что существует инволюция тд пространства .4(2), являющийся градуированным аналогом операции смены ориентации на зацеплении (лемма 2.1). Весовая система Концевича у? для заранее вы-браной метризованной алгебы Ли д — это некоторое линейное отображение из Л(2) в д-инвариантную часть тензорного квадрата универсальной обертывющей д — 11(2) = [II(з)02]в. Можно показать, что существует инволюция тц пространства С/(2), которая делает диаграмму

| ТА |т(/

А{2)-¥—и(2)

коммутативной (лемма 2.3). Это дает возможность предъявить две обобщенные хордовые диаграммы степени 7, образы которых под действием <р неинвариантны относительно тц- Это значит, что сами диаграммы неинвариантны относительно тд. Впервые эти диаграммы были получены С. В. Дужиным.

Проверка ту-неинвариантности образа этих диаграмм в пространстве 1/(2) была проведена с помощью компьютерной программы. Вычисление занимает несколько часов на современном компьютере средней мощности.

Существование диаграммы, неинвариантной относительно действия та, можно доказать и по-другому. Двуцветной диаграммой Якоби назовем 1-3-валентный граф с циклической ориентацией полуребер, выходящих из каждой трехвалентной вершины, каждая из 1-валентных вершил которого покрашена в один из двух цветов (понятие диаграммы

Якоби отличается от понятия обобщенной хордовой диаграммы тем, что у диаграмм Якоби нет порядка на множестве одновалентных вершин). Степень диаграммы Якоби определяется аналогично степени хордовой диаграммы. Градуированное пространство диаграмм Якоби В(2) определяется как некоторое факторпространство векторного пространства, порожденного всеми диаграммами Якоби.

Пространство В(2) важно для нас не только существованием изоморфизма х: #(2) —» Л{2), но и тем, что оператор смены ориентации тц приобретает ira нем особенно простой вид. А именно, если мы определим оператор гд на образующих диаграммах как умножение на (—1) в степени, равной числу одновалентных вершин, то следующая диаграмма, как доказывается в лемме 2.4, коммутативна:

Кроме этого можно также предъявить отображение ф: В(2) —» 5(2), где под 5(2) мы понимаем д-инвариантную часть второй тензорной степени симметрической алгебры для алгебры Ли д и инволюцию 75: 5(2) —> 5(2), такое, что куб

В{ 2)-*» .4(2).

тв та

В{ 2)-^*Л{2)

Л(2)

U(l)

коммутативен (лемма 2.7; под 7г понимается отображение, индуцированное изоморфизмом Пуанкаре-Биркгофа-Витта). Оказывается, что диаграмма

как элемент пространства В{2) отличается от своего образа под действием оператора тв. Эта проверка вполне доступна ручному счету.

Впервые диаграмма Н, упомянутая выше, была найдена Д. Бар-Натаном: она фигурирует в файле table. m на его веб-сайте22 как один из базисных элементов пространства двуцветных диаграмм. Однако, в препринте, содержащем комментарии к этой таблице, сказано, что программа, при помощи которой она получена, не готова к публикации ввиду наличия некоторых недостатков в алгоритме. Кроме того, тот факт, что эта диаграмма отлична от своего образа под действием автоморфизма тв, остался автором незамеченным.

До сих пор речь шла про инварианты оснащенных зацеплений. Вообще говоря, определение ориентации оснащенного зацепления является более простой задачей, поскольку в теории с оснащениями есть дополнительная структура, которая (в принципе) может менять свои свойства при обращении. В разделе 2.6 объясняется, как полученные результаты переносятся на теорию без оснащений. Раздел 2.7 посвящен объяснению того, как можно построить необратимое зацепление и инвариант, различающий на нем ориентацию. Необратимое зацепление строится с помощью разрешения перекрестков сингулярного зацепления, получаемого по необратимой хордовой диаграмме. Интересующий нас инвариант является одним из членов в интеграле Концевича. Тем самым мы доказали следующую теорему:

Теорема 1. Существует инвариант Васильева f порядка, не превосходящего 1, и двухкомпонептное струпное зацепление L, такие, что

Третья глава посвящена гомологиям Хегора-Флоера для расширенных зацеплений, то есть таких, одна из компонент которых незаузлена и незацеплена с остальными. В первом разделе дастся краткое определение гомологий Хегора-Флоера над полем F2 = Z/2Z для замкнутых зацеплений из статьи Манолеску-Ожвата-Сабо-Терстона23, описываются дифференциал, александеровская и масловская градуировки. После чего для решеточной диаграммы G зацепления ¿ вводится комплекс C(G) (впервые предъявлений теми же авторами), гомологии которого отличаются от гомологий Хегора-Флоера зацепления L, являющихся инвариантом, легко контролируемым тензорным множителем.

22http: //www.matii.toronto.eciu / ~drorbn /LOP.html

23С. Manolescu, Р. S.Ozsväth, Z. Szabö, D. P. Thurston. Opus citatum.

Рассматривается произвольное зацепление Ь и его расширение Ь®, которое получается из Ь добавлением нсзаузлспной и незацепленной компоненты. Выбирается специальная решеточная диаграмма б зацепления ьо. После чего с иомощыо комбинаторных соображений доказывается (лемма 3.1), что комплекс С(С?) распадается в прямую сумму двух подкомплексов, гомологии которых изоморфны с некоторым сдвигом градуировки. Это позволяет свести задачу вычисления гомологий С((?) к вычислению гомологий только одного из этих подкомплексов, обозначаемого

Далее при помощи небольшой модификации диаграммы С (см. рисунок ниже) строится диаграмма (?', представляющая зацепление Ь. Рассматривается некоторый факторкомплекс комплекса С {С), тесно связанный с комлексом А именно, оба этих комплекса включаются в качестве средних членов в некоторые короткие точные последовательности комплексов, крайние члены которых совпадают (с точностью до градуировки), но при этом переставлены местами.

О ;х О X

I0 О X

О: X 01 X

I ,о X о

ОХ X О: !х! О: |Х ХО: О

X О:

Пример модификации решеточной диаграммы; слева представлена диаграмма С, справа — й', общие части диаграмм залиты серым

С помощью комбинаторных соображений устанавливается, что гомологии комплекса изоморфны гомологиям комплекса С(С1), где — некоторая диаграмма, представляющая зацепление Ь. Гомологии одного из комплексов, входящего в короткие точные последовательности, упомянутые в предыдущем абзаце, изоморфны гомологиям комплекса , где С2 — еще одна диаграмма, представляющая Ь. Гомологии комплекса С{С1) отличаются от гомологий С (С 2) тензорным множителем размерности 2.

Далее с помощью явного предъявления расщепляющего морфизма мы доказываем, что короткая точная последовательность комплексов, включающая расщепляется (лемма 3.2). Таким образом, гомологии

F[ представляют собой прямую сумму гомологии комплексов, включающихся в короткую точную последовательность, а гомологии одного из них уже известны. Это дает возможность найти гомологии второго. Вместе с тем фактом, что короткая точная последовательность для комплекса F\ также расщепляется (лемма 3.3; также явно предъявлен расщепляющий морфизм), это дает нам возможность выразить гомологии Хегора-Флоера зацепления LP через гомологии зацепления L. А именно, имеет место следующая теорема:

Теорема 2. Имеет место следующее соотношение, связывающее полиномы Пуанкаре гомологий Флоера для зацепления L и его расширения Ю:

P(LO) = (l + k-l)P(L),

где под расширением понимается добавление к зацеплению незаузленой и незацепленой с остальными компоненты.

Четвертая глава посвящена эпиморфизмам групп зацеплений. Мы показываем, как с помощью хорошо известного действия группы кос на свободной группе можно получить копредставление фундаментальной группы зацепления в виде короткой точной последовательности

1 Nb Fn ttL6 1,

где b — элемент группы кос на п нитях Вп, Fn — свободная группа на п образующих, тгЬь — фундаментальная группа зацепления, получаемого замыканием косы Ь, a JVj - нормальная подгруппа свободной группы, порожденная элементами Ь(у)у~х для всех v £ Fn. Аналогичное копредставление было построено в книге Бирман24. Рассмотрим две операции над косами.

• Обращение. Коса b S Вп переводится в косу b~l G Вп.

• Связная сумма с тривиальным узлом. Эта операция увеличивает число нитей в косе. Пусть коса b G Вп. Зададимся некоторым натуральным числом m > п. Рассмотрим вложения pi ' Вп —> Вт и р2 Вт-п+1 —> Вт, заданные формулами:

__Рг{оГп+1) = «Ci-1.

24 J. Birman Braids, Links and Mapping class groups. — Princeton Univercity Press, 1975.

где ст- — г-тая артиповская образующая группы кос на 3 нитях. Возьмем произвольную косу Ь' £ Вт-п+\, замыкание которой является тривиальным узлом. Тогда операция связной суммы с тривиальным узлом заключается в переходе от косы Ь Е Вп к косе Р1(Ь)Р2(Ь') б вт.

Оказывается, что для всех кос на п нитях, замыкание которых является тривиальным узлом, ядро копредставления будет одинаковым, поскольку все образующие свободной группы в таком копредставлении переводятся в меридианы замыкания. Из представления связной суммы зацеплений в виде замыкания косы следует, что при связной сумме с тривиальным узлом все добавляемые образующие дают один и тот же элемент группы зацепления. Также можно легко проверить, что копред-ставление замыкания обратной косы совпадает с исходным. Эти утверждения составляют содержание предложения 4.1.

Основная теорема этой главы диссертации формулируется следующим образом.

Теорема 3. Пусть зацепление Ь представлено в виде замыкания косы Ь е Вп. Рассмотрим набор кос Ь\,...,Ьк £ Вп>, каждая из которых может быть получена из Ъ с помощью применения произвольной конечной последовательности операций обращения и связной суммы с тривиальным узлом. Тогда группа замыкания косы Ь^...Ь^ допускает эпиморфизм на группу замыкания косы Ь.

Доказательство этой теоремы существенным образом использует предложение 4.1 и основано на том, что ядро копредставления группы замыкания косы Ь\.. .Ъп содержится в ядре копредставления группы замыкания каждой из кос

Остаток главы посвящен обсуждению двух следствий теоремы 3, согласно которым построенное по данному зацеплению семейство зацеплений, группы которых допускают эпиморфизм на группу данного, включает в себя связные суммы со всеми возможными узлами (предложение 4.2) и зацепления, из которых данное получается действием циклической группы на сфере .5':1 (предложение 4.3). Доказательство предложения 4.2 основывается на лемме 4.1, согласно которой любой узел допускает представление в виде замыкания произведения нечетного числа квазитори-ческих кос, то есть кос, получаемых из стандартной торической косы путем изменения произвольных перекрестков. Предложение 4.3 вытекает из теоремы 3 с помощью предположения, что все косы 6,; одинаковы.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность к. ф.-м. н. С. В. Дужину за мудрое научное руководство и постоянное внимание к моей работе.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Дужии С. В., Карев М. В. Определение ориентациии струнных зацеплений при помощи инвариантов конечного типа // Функ. анализ и его прил., 2007, 41:3, стр. 48-59.

Другие публикации:

[2] Карев М. В. Гомологии Хегора-Флоера для зацеплений с тривиальной компонентой. // Зап. научи, сем. ПОМИ, 2007, 344, 37-55.

[3] Karev М. V. Heegaard-Floer homology of a link with trivial component added. // Сборник тезисов международной конференции "Algebra and Geometry around Knots and Braids", СПб, 2007 г.

[4] Карев M.B. Группа кос и эпиморфизмы групп зацеплений // Препринты ПОМИ, п. 7 (2009).

1 Введение

1.1 История вопроса.

1.2 Основные результаты.

1.3 Краткое описание диссертации.

1.4 Благодарности.

2 Различение ориентации двукомпонентных струнных зацеплений с помощью инвариантов конечного типа

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Сведение к хордовым диаграммам.

2.3 Первое доказательство теоремы

2.4 Сведение к диаграммам Якоби.

2.5 Второе доказательство теоремы

2.6 Переход к неоснащенному случаю.

2.7 Конструкция необратимого зацепления и инварианта, различающего ориентацию.

3 Гомологии Флоера зацеплений с одной незаузленной и неза-цепленной с остальными компонентой

3.1 Предварительные сведения.

3.2 Определения.

3.3 Комплекс Флоера С(-) для расширенного зацепления

3.4 Вычисление гомологий комплекса F\.

4 Косы и эпиморфизмы групп зацеплений

4.1 Предварительные сведения.

4.2 Группа кос и ее связь с зацеплениями.

4.3 Эпиморфизмы групп зацеплений.

1.1 История вопроса Эта работа посвящена теории инвариантов узлов и зацеплений, чье развитие в последние годы было весьма динамично. Интерес, который люди испытывают к этой теории, связан с тем, что в, казалось бы, чисто топологической задаче находят свое применение и теория алгебр Ли, и аппарат гомологической алгебры, и уравнение Янга-Бакстера, и аппарат фейимановского интегрирования, и многие другие алгебраические, геометрические и аналитические методы. Это дает надежду, что исследования в этой области помогут найти какие-нибудь глубокие закономерности в математике.Считается, что родоначальником теории узлов был К. Ф. Гаусс, который нашел замечательную интегральную формулу для индекса зацепления двух кривых в пространстве. В его дневниках, впоследствии, были также найдены несколько рисунков заузленных кривых, хотя и без какихлибо комментариев. Позже, в XIX веке, У. Томпсон (лорд Кельвин) предложил гипотезу об устройстве атомов в виде заузленных трубочек с циркулирующим в них эфиром. Однако Дж. Максвелл, исследовав эту гипотезу, доказал, что она ошибочна. Но тем не менее, начало теории узлов было положено: один из учеников Томпсона составил первую таблицу альтернированных узлов вплоть до 9 перекрестков.В двадцатом веке теория узлов занимала умы таких людей как К. Рейдемейстер (который доказал теорему, позволяющую говорить об узлах в терминах их плоских диаграмм), Дж. Александер (нашедший первый полиномиальный инвариант узлов и показавший связь между зацеплениями и косами), Дж. Конвей (показавший, что полином Александера может быть определен аксиоматически), В. Джонс (неожиданным образом связавший теорию узлов с теорией представлений), В. Васильев и М. Гусаров (независимо предложившие понятие инварианта конечного типа), М. Кон2 цевич (построивший универсальный инвариант конечного типа) и многих других исследователей.Пусть Si — дизъюнктное объединение I пронумерованных экземпляров ориентированной окружности, Ж} — дизъюнктное объединение I пронумерованых экземпляров ориентированной вещественной прямой, а 1\ — дизъюнктное объединение / пронумерованных ориентированных отрезков [0,1].Определение. • Назовем I-компонентным замкнутым зацеплением гладкое вложение S\ в ориентированную трехмерную сферу S3, рассматриваемое с точностью до изотопии, сохраняющей компоненты.Иными словами, I-компонентным замкнутым зацеплением называется класс гладких вложений Sf в ориентированную S3 относительно эквивалентности, заданой коммутативной диаграммой:

1. J.W.Alexander A lemma on systems of knotted curves. — // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 19 (1923), pp. 93-95.

2. E. Artin Theory of braids. — // Annals of Mathematics (2) 48 (1947), pp. 101-126.

3. D. Bar-Natan On the Vassiliev knot invariants. — // Topology 34 (1995), pp. 423-472.

4. D. Bar-Natan Vassiliev Homotopy String Link Invariants. — // Journal of Knot Theory and its Ramifications 4-1 (1995), pp. 13-32.

5. D. Bar-Natan Some Computations Related to Vassiliev Invariants. — j j Web document http: //www.math. toronto. edu/~drorbn/papers, (1996).

6. D. Bar-Natan Khovanov's homology for tangles and cobordisms. // Geom. Topol. 9(2005), pp. 1443-1499. Online at arXiv:math/0410495.

7. J. A. Baldwin, W. D. Gillam Computations of Heegaard-Floer Knot Homology. — Preprint. — Online at arXiv:math.GT/061067.

8. J.Birman Braids, Links and Mapping Class Groups. — Princeton University Press, 1975.

9. С.Дужин Программы и файлы данных, относящиеся к вычислению весовых систем ср и яр. — Web document http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/dataprog/OrLinks/,(2005).

10. P. R. Cromwell Embedding Knots and Links in an Open Book. I. Basic Properties. — // Topology Appl., 64(1995), no.l, pp. 37-58.

11. R. H. Crowell, R. H. Fox Introduction to Knot Theory. — Graduate text 57. — Springer-Verlag. — New York, 1977.

12. S. Chmutov, S.Duzhin, J.Mostovoy CDBook. Introduction to Vassiliev Knot invariants. — Draft. — Online at http://www.pdmi.ras.ru/~duzhin/papers/.

13. I. Dynnikov Arc Presentation of Links: Monotonic Simplification.- // Fund. Math., 190(2006), pp. 29-67. Online at arXiv:math.GT/0208153.

14. T. Fiedler Isotopy invariants for closed braids and almost closed braids via loops in stratified spaces. — Preprint. — arxiv:/math.GT/0606443.

15. A. Kawauchi The invertibility problem on amphicheiral excellent knots. — // Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 55 (1979), no. 10, pp. 399-402.

16. A. Kawauchi Topological imitations. — // "Lectures at KNOTS '96 (Tokyo)". Ser. Knots Everything 15. - World Sci. Publ. - River Edge, NJ (1997), pp. 19-37.

17. M. Kontsevich Vassiliev's knot invariants. — // Adv. in Soviet Math., 16 Part 2 (1993), pp. 137-150.

18. M. Khovanov A categorification of the Jones polynomial. — // Duke Math. J., 101(2000), no. 3, pp. 359-426. Online at arXiv:math/9908171.

19. X.-S. Lin Finite type link invariants and the invertibility of links.- 11 Math. Res. Letters 3 (1996), no. 3, pp. 405-417. Online at arXiv:q-alg/9601019.

20. X.-S. Lin Finite type link-homotopy invariants. — // FEnseignement Mathematique 47 (2001), pp. 315-327. — Online at arXiv:math. GT/0012095.

21. T. Q.T.Le, J.Murakami The universal Vassiliev-Kontsevich invariant for framed oriented links. — // Compositio Math. 102 (1996), pp. 41-64.

22. В. О. Мантуров Теория узлов. — Изд. РХД. — М.-Ижевск, 2005.

23. P. Vogel Algebraic structures on modules of diagrams. — Institut de Mathematiques de Jussieu, Prepublication 32, August 1995, Revised in 1997. — Online at http://www.math.jussieu.fr/~vogel/.

24. Г. Вейль Классические группы, их инварианты и представления. М. - ИЛ, 1947.Публикации автора по теме диссертацииСтатьи в журналах, рекомендованных ВАК:

25. С.В.Дужин, М. В. Карев Определение ориентациии струнных зацеплений при помощи инвариантов конечного типа. — j j Функ. анализ и его прил., 2007, 41:3, стр. 48-59.Другие публикации:

26. M.V. Karev Гомологии Хегора-Флоера для зацеплений с тривиальной компонентой. — // Зап. научн. сем. ПОМИ, 344, 2007, стр. 37-55.

27. М. V. Karev Heegaard-Floer homology of a link with trivial component added. — Abstract. — // International conference "The algebra and geometry around knots and braids", St.-Petersburg, 2007.

28. M. В. Карев Группа кос и эпиморфизмы групп зацеплений. — Препринты ПОМИ, н. 7 (2009).