Топологические характеристики случайных алгебраических поверхностей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Подкорытов Семен Сергеевич

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

01.01.04 — геометрия и топология

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н. Н. Ю. Нецветаев

Санкт-Петербург 1998 г.

Оглавление

Глава 0. Введение

0.0. Предмет работы 2 0.1. Конфигурации точек и прямых. Поверхности

степени 4 4

0.2. Случайные алгебраические гиперповерхности 8

Глава 1. Конфигурации точек и прямых

1.0. Структура главы. Специальные обозначения 11

1.1. Конструкции 12

1.2. Запреты 13

1.3. Одна лемма 15

1.4. Зеркальные конфигурации точек и перестановки 19

1.5. Незеркальность поверхностей степени 4 26

Глава 2. Случайные алгебраические гиперповерхности

2.0. Специальные обозначения и прочее 28

2.1. 2-струя благородного случайного многочлена 30

2.2. Регулярность случайного многочлена 31

2.3. Эйлерова характеристика случайной гиперповерхности 32

Литература

41

0. Введение

0.0. Предмет работы

Топология вещественных алгебраических многообразий — один из основных разделов вещественной алгебраической геометрии. Ею занимались многие известные математики, среди них — Клейн, Гильберт, И. Г. Петровский, А. О. Олейник, Р. Том, В. А. Рохлин, В. И. Арнольд, Д. А. Гудков, О. Я. Виро, В. В. Никулин, В. М. Харламов и другие. Круг возникающих здесь вопросов весьма широк ([6], [28], [2], [4], [17]). Это и топологические характеристики вещественных алгебраических многообразий, и возможное расположение их в (аффинном или проективном) пространстве (классическая шестнадцатая проблема Гильберта), и проблема жесткой изотопности, и вопросы, касающиеся "средних значений" топологических характеристик алгебраических многообразий.

В шестнадцатой проблеме Гильберта особо выделены поверхности степени 4 — квартики. Окончательно жесткая изотопическая классификация квартик была получена Никулиным и Харламовым в [14], [16], [25]. Для этого потребовалось доказать незеркальность некоторых квартик, что потребовало применения весьма нетривиальной техники, включая глобальную теорему Торелли и теорему об эпи-морфности отображения периодов. Для части этих квартик Харламовым были предложены элементарные доказательства, использу-

2

ющие аналогию между поверхностями и конфигурациями точек и прямых в пространстве. Виро в [3] предложил изучать такие конфигурации сами по себе. В настоящий момент теория подобных конфигураций (в том числе старших размерностей) представляет собой самостоятельный быстро развивающийся раздел вещественной алгебраической геометрии (см. [5], [23], [11], [27], [26], [21], [22]).

С другой стороны, особенно в последнее время, внимание привлекают вопросы, касающиеся "средних значений" топологических характеристик алгебраических многообразий. Один из первых результатов в этом направлении был получен М. Кацем, который нашел математическое ожидание числа корней вещественного многочлена с независимыми стандартными нормальными коэффициентами ([24], см. также [10]). В работах И. А. Ибрагимова и Н. Б. Масловой [7], [8], [9], [12], [13] изучалось распределение числа корней многочлена большой степени с независимыми одинаково распределенными коэффициентами. Также изучалось распределение значений корней случайного многочлена ([18]). В дальнейшем Ибрагимов оценил математическое ожидание числа компонент случайной вещественной гиперповерхности ([III]).

Предлагаемая диссертация посвящена именно этим вопросам. Виро и Ю. В. Дроботухина поставили вопрос о том, сколько точек и прямых может быть в зеркальной конфигурации. Частичные результаты в этом направлении были получены самим Виро и А. Боробиа.

3

В диссертации дается полный ответ на этот вопрос (теорема 0.1.1 и комментарий к ней).

На основе полученных результатов дается элементарное доказательство результата Харламова о незеркальности нестягивающихся квартик (теорема 0.1.3).

В главе 2 изучаются случайные многообразия. Главный результат здесь — вычисление математического ожидания эйлеровой характеристики гиперповерхности пространства КР^ , определяемой случайным многочленом степени т, имеющим нормальное распределение со средним 0, инвариантное относительно действия ортогональной группы 0(с?+ 1) (теорема 0.2.5).

Структура диссертации

Основные результаты и комментарии приводятся в параграфах 0.1 и 0.2, доказательства — в главах 1 и 2, соответственно.

0.1. Конфигурации точек и прямых. Поверхности степени 4

Конфигурации точек и прямых

Виро в [3] рассматривал конфигурации точек и конфигурации прямых в пространстве КР3 и ввел понятие зеркальности таких конфигураций. Виро и Дроботухина в [5] предложили рассматривать смешанные конфигурации точек и прямых.

Пусть ЕС?! обозначает пространство прямых в пространстве КР3 .

4

Определение. Конфигурацией т точек и п прямых называется набор

(Р15 • • • > Рт , , . . . , 1п) , р{ е МР3 , Ц е . Конфигурация называется неособой, если выполнены следующие условия: ее точки попарно различны;

никакие три ее точки не лежат на одной прямой;

никакие четыре ее точки не лежат в одной плоскости;

никакие две ее прямые не пересекаются;

никакая ее точка не лежит ни на какой ее прямой;

никакие две ее точки не лежат в одной плоскости ни с какой

ее прямой.

Определение. Жесткой изотопией т точек и п прямых называется такой набор (Рь ..., Рт, ..., Ьп) путей Р\: [0,1] -)■ ЖР3 , Ьу: [0,1] —>• , что при каждом Ь £ [0,1] конфигурация

(Рг (г),..., Рт (£), ¿1 (г),..., Ьп (г)) неособа.

Фиксируем зеркальную симметрию в: ЕР3 —> ЖР3 . Пусть г: Ж(?3 —> Ж(73 — инволюция, индуцированная симметрией в .

Определение. Неособая конфигурация (рх,... ...,1п) назы-

вается зеркальной, если существуют такие жесткая изотопия (Рь ... ,Рт,1/1,... ,Ьп) и перестановки /: {1,... ,т} ->> {1,... ,га} , д: {1,..., п} {1,...,п}, что Р<( 0) = з(р{) , 1^(0) - г(1,) и Рг{ 1) = Pf{i) > = 1д{з) •

В диссертации доказывается следующая теорема. Она обобщает результаты Виро о конфигурациях точек и конфигурациях прямых.

0.1.1. Теорема. Зеркальные конфигурации из т точек и п прямых существуют, если и только если

либо т < 4, п ее 0 или 1 (mod 4),

либо т = 0 или 1 (mod 8) , п = 0 (mod 2) .

Виро и Дроботухина в [5] определили также зеркальность конфигурации точек и прямых в пространстве R3. Для таких конфигураций утверждение теоремы остается справедливым, и это следует из ее доказательства. Это дополняет результаты Боробиа о таких конфигурациях ([19], [20]).

Доказательство запретов на возможное число точек и прямых зеркальной конфигурации использует введенное Виро понятие коэффициента зацепления тройки прямых и следующее предложение.

0.1.2. Предложение. Пусть даны неособая конфигурация точек (pi,... ,рт) и такие жесткая изотопия (Pi,..., Рто) и перестановка /: {1,... ,т} ->• {1,... , га} , что Р»(0) = s(pi) и Р*(1) = • Тогда если т ^ б, то все циклы перестановки f имеют длины d = 4 (mod 8) , кроме, возможно, одного цикла длины d = 1 .

Замечание. Я не знаю примеров того, чтобы перестановка / имела цикл длины d > 4 .

Поверхности степени 4

Определение. Семейство У(£) с ЕР3 , £ е [0,1] , неособых поверхностей степени т называется жесткой изотопией степени т , если существует такая изотопия Н{{): ЕР3 ЕР3 , £ е [0,1], что

я(0) - 1с1 и я(*)(У(о)) = у (г), г е [о, 1].

Напомним, что фиксирована зеркальная симметрия й .

Определение. Неособая поверхность X С ЕР3 степени т называется зеркальной, если существует такая жесткая изотопия У(£) с ЕР3 , Ь Е [0,1] , степени т , что У(0) = в(Х) и У(1) = X .

Харламов в [16], [25] завершил жесткоизотопическую классификацию поверхностей степени 4. В частности, он нашел ряд запретов на изотопический тип зеркальной поверхности. Для некоторых из них он дал элементарное доказательство, и он предложил найти такое доказательство для остальных.

Определение. Поверхность X С ЕР3 будем называть нестягива-ющейся, если она не стягивается по пространству ЕР3 в точку.

В диссертации дается элементарное доказательство следующего утверждения.

0.1.3. Теорема (Харламов). Неособая поверхность степени 4, не-

стягивающаяся и имеющая М ^ 5 компонент, незеркальна.

7

Харламов нашел аналогию между такими поверхностями и конфигурациями т = М — 1 точек и одной прямой и дал элементарное доказательство для случаев М — 5, б, 7,8 . Приводимое доказательство охватывает оставшиеся случаи М = 9,10 (не используя результат Харламова о том, что М ^ 10 ([15])). Оно использует конструкцию и рассуждение Харламова и для М — 5,6 повторяет его доказательство, а для М ^ 7 опирается на предложение 0.1.2.

0.2. Случайные алгебраические гиперповерхности

Когда X — случайный элемент, принимающий значения в измеримом пространстве ф , будем использовать запись X £ .

Пусть ит(Мй+1) — векторное пространство однородных многочленов степени т на пространстве . На пространстве ^т(Жсг+1) очевидным образом действует ортогональная группа 0(с? + 1) .

Координаты точки х Е будем обозначать хо,... ■ Пусть

^ = {ж £ Е^1 | \х\ = 1} — единичная сфера. Пусть х° = (1, 0,..., 0) 6Е б'6* — отмеченная точка.

Определение. Случайный многочлен Р е НТП(М.<1+1) будем называть благородным, если он имеет нетривиальное нормальное распределение со средним 0 , инвариантное относительно действия группы

0(с1 + 1), при этом параметром случайного многочлена .Р будем

8

называть число

Г 'EF(x0)2 '

0.2.1. Утверждение. Значения параметров благородных случайных многочленов F Е Hm(M,d+1) заполняют отрезок

1- (-l)m m(m + d- 1)

2 d '

0.2.2. Пример. Определим случайный многочлен F £ Нт(Rd+1) формулой

= ^ ^ -^то.-.т^о ° • ' ' Xd d 1 Ж G R ,

т-оН-----b md=m

где -Fmo...m<j — независимые нормальные случайные величины со средним 0 и дисперсией

Т-,2

m°-md = m0!...md!" Тогда случайный многочлен F благороден, его параметр

г — т.

0.2.3. Пример. Введем в пространстве Hm(Kd+1) скалярное произведение

(Л, /2)= f h(x)f2(x)dx. Jx£Sd 9

Пусть F ё ffm(Rd+1) — такой нормальный случайный многочлен, что

E((f1,F)(f2,F)) = (Д,/2), /ь/2 G

Тогда случайный многочлен F благороден, его параметр

г =

т(т + d -f 1)

d + 2

Определение. Многочлен / £ Нт(Ша+1) будем называть регулярным., если не существует таких точек х е Жсг+1 \ 0 , что одновременно

нулей. Если многочлен / регулярен, то множество V/ есть гладкая гиперповерхность.

0.2.4. Утверждение. Благородный случайный многочлен почти наверное регулярен.

В диссертации получен следующий результат.

Для d = 1 (mod 2) определим многочлен Id и функцию М^ на полуоси формулами

/0*0 = 0 и grad/(z) = 0.

Для многочлена / G Hm(M.d+1) пусть Vf С KPd — множество его

о

1

s е м,

0.2.5. Теорема. Пусть d= 1 (mod 2) . Пусть F G Ягп(Мо!+1) — благородный случайный многочлен с параметром г . Тогда

Е x(VF) = Md(r).

1. Конфигурации точек и прямых

1.0. Структура главы. Специальные обозначения

В параграфе 1.1 строятся зеркальные конфигурации т точек и п прямых для перечисленных в теореме 0.1.1 значений шип. В параграфе 1.2 доказываются запреты на возможное число точек и прямых зеркальной конфигурации. Вместе это составляет доказательство теоремы 0.1.1. Построения проводятся в евклидовом пространстве, которое понимается как аффинная часть пространства 1LP3 ; жесткие изотопии не выводят точки на бесконечность. Поэтому утверждение теоремы остается справедливым для конфигураций в пространстве М3 . Доказательство запретов использует предложение 0.1.2. В параграфах 1.3, 1.4 доказывается предложение 0.1.2. В параграфе 1.5 доказывается теорема 0.1.3. Доказательство использует предложение 0.1.2.

Специальные обозначения и соглашение

Скалярное произведение векторов х\,Х2 Е М4 будем обозначать

(xi,x2) , длину вектора х G М4 — |ж| . Пусть S3 — {х G К4 | |ж| = 1}

11

— единичная сфера. Линейная зависимость точек сферы S3 понимается как линейная зависимость их как векторов пространства R4 ; так же понимается скалярное произведение точек. Для стандартного накрытия —У ЕР3 используется обозначение х н-> ire .

1.1. Конструкции

В этом параграфе строятся зеркальные конфигурации т точек и и прямых. Построения проводятся в евклидовом пространстве с декартовой системой координат Oxyz . Есть две конструкции.

Конструкция 1: т < 4, п = О или 1 (mod 4) . Пусть R, г > 0 . Выберем на плоскости Оху такой треугольник, что продолжения его сторон не пересекают окружность х2-\-у2 = R2-\-г2 . В качестве точек конфигурации возьмем любые т его вершин. Пусть п — по + е , по = 0 (mod 4) , е = 0 или 1. В качестве прямых

конфигурации возьмем прямые

2тг к , 2-кк

х cos--1- у sin-= R,

п0 п0

. 27тк 27тк к

—х sin--Ь у cos-= г + (■— 1) z, к = 1,..., по-

п0 п0

Если е = 1, то добавим прямую Oz . Построенная конфигурация неособа и переходит в себя после зеркального отражения относительно

плоскости Оху и жесткой изотопии, при которой точки конфигура-

2тг

ции неподвижны, а прямые поворачиваются на угол — вокруг оси

п0

Oz.

Конструкция 2 (Боробиа): т = 0 или 1 (тос! 4) , п = 0 (тос1 2) . Пусть т — 4т" + е , е = 0 или 1 . Для к = 1,..., т" выберем числа ак , Ьк , ск ив качестве точек конфигурации возьмем точки (ак:Ьк,ск), (-а*, -Ък,ск) , (~Ьк,ак, -ск) , (Ьк,-ак, -ск) . Если е = 1, то добавим точку О . Пусть го = 2го'. Для & = 1,..., п' выберем числа рк , д/. , г*; ив качестве прямых конфигурации возьмем прямые ркх + дку = 0, г = гк и -цкх + рку = 0,2; = . Легко видеть, что при общем выборе параметров конфигурация будет неособой. Она переходит в себя после зеркального отражения относительно плоскости Оху и поворота на угол вокруг оси Ох .

1.2. Запреты

В этом параграфе доказываются запреты на возможные значения тип для зеркальной конфигурации т точек и п прямых.

Следуя Виро, неособой тройке прямых (/ь/2^3) ? Ц £ Ш?3 , сопоставим коэффициент зацепления (¿1Ы3) = ±1 следующим образом. Ориентируем прямые произвольным образом. Так как они

не стягиваются по пространству КР3 в точку, то их попарные рациональные коэффициенты зацепления отличны от 0. Положим

{1Мз) = 8§п (1к (Ь, к', <0>) 1к (к, к\ О) 1к (1Ъ О))-

Легко видеть, что результат не зависит от выбора ориентаций.

Коэффициент зацепления тройки прямых не меняется от их перестановки, сохраняется при жесткой изотопии и меняет знак при

13

зеркальном отражении. Есть пять серий запретов. Серия 1 (Виро): т любое, п = 3 (mod 4) .

Так как при таких п число троек прямых конфигурации, равное ' нечетно5 то произведение их коэффициентов зацепления меняет знак при зеркальном отражении.

Серия 2: т = 2 или 3 (mod 4) , п = 2 (mod 4) . Так как при таких тип число троек прямых, одна из которых проходит через две точки конфигурации, а две другие принадлежат

то произведение их коэффициентов зацепления меняет знак при зеркальном отражении.

Серия 3: т = 4, 5, б или 7 (mod 8) , п = 1 (mod 2) .

Так как при таких шип число троек прямых, которые получаются, если взять четыре точки конфигурации, разбить их на две пары, через точки каждой пары провести прямую — это будут две прямые —, а третьей взять прямую конфигурации (такие тройки не-

J п , нечетно, то произведение их коэффициентов зацепления меняет знак при зеркальном отражении.

Серия 4-' m ^ 6 , гп = 2 или 3 (mod 4) , п любое.

Это следует из предложения 0.1.2.

Серия 5: m ^ 6 , n = 1 (mod 2) .

Из предложения 0.1.2 следует, что при m ^ 6 некоторые d =

конфигурации (такие тройки неособы), равное

4 (mod 8) точек конфигурации и ее прямые образуют зеркальную конфигурацию, что запрещено (серия 3).

1.3. Одна лемма

В этом параграфе доказывается следующая лемма, которая нужна для доказательства предложения 0.1.2.

1.3.1. Лемма. Пусть дан такой набор (Qi,..., Qm), rn ^ А, путей Qi: [0,1] —>■ S3 , что для любых различных ¿i,...,«4 точки Qi1(t),..., Qi4(t) линейно независимы, t £ [0,1]. Тогда существует такая изотопия H{t): S3 —» S3 , t Е [0,1], что Н(0) = id и

sgn{Qi{0),x) = sgn(Qi{t),H(t){x)), t € [0,1],

Идею доказательства леммы предложил Виро.

Доказательство леммы.

Для Xq,Xi е S3, XI ф -XQ, определим отображение а{хо, х\)\ [0,1] S3 формулой

(1 - r)xQ + rxi

а(ж0,Ж1)(г) = т--г---г, г G 0,1 .

|(1 - г)х0 + rxi|

Пусть С — множество наборов с = (ci,... ,ст) , С{ = ±1 или 0 .

Введем на множестве С частичный порядок: для с, с' € С пусть

с' ^ с, если cj = Ci или 0 . Для с G С, i G [0,1] определим подмно-

15

жества сферы 53

ес(£) = {х Е 53 | sgn(Qi(t),x) = Сг}, Ес&)= и ес,(£), ЗД- У ес/(£).

с'зСс с'<с

Пусть даны с Е С и отрезок С [0,1] . Тогда про такой путь

в: \Ь', —> ¿>3 , что 6 ес(^) , £ Е , будем условно говорить:

сечение в: \Ь', —ь ес .

Пусть фиксированы произвольные с Е С , £ Е [0,1] .

1 0 . Если х Е -Ес(^) 5 то —х<£Е{£). Действительно. Так как т ^ 4, то в силу условия линейной независимости для некоторого г имеем (С}^)^) ф 0. Следовательно, sgn(Qг(¿),ж) = с; и неверно,

ЧТО Sgn —X) = Сг ИЛИ 0 .

2° . Пусть хо,х± £ ес(Х) , в Е [0,1]. Тогда, как следует из 1 0 , хг ф -жо и ^ ес(£) .

3°. Если ес(£) — 0 , то = 0. Действительно, пусть

ж0 Е -Бс(^) • Пусть / = {г | (ф^жо) = 0}- В силу условия линейной независимости \1\ < 4 и, следовательно, точки (¿{(1) , г Е /, линейно независимы. Поэтому в сфере 53 сколь угодно близко к точке хо найдется такая точка х , что = С{ , г Е I. Если

выбрать точку х достаточно близко к точке ж о , то будем иметь sgn (Qi(t),x) — = Сг, г ^ I, и, таким образом, X Е ес(г) .

4° . Пусть хо Е ес{Ь) . Рассмотрим конус

{*}иадх[о,1] /

/ (ж,0) = *'

Используя 1 ° , определим отображение А: й 53 формулами А(*) = хо и А(х,г) = а(хо,х)(г) , х € , г € [0,1] . Тогда, как легко убедиться, отображение А есть гомеоморфизм на множество Ес{1).

Теперь пусть фиксирован произвольный элемент с £ С. 5°. Пусть ¿о £ [0,1], ес(£о) 0. Покажем, что существуют окрестность [£_,£+] С [0,1] точки £о и сечение в±: [£_,£+] —»• ес . Пусть хо е ес(£о), / = {г | с^ = 0} . Для г € / имеем {Я^о)^^) — 0; в силу условия линейной независимости |/| < 4 и, следовательно, точки о) 5 ъ £ I,